四边形学案06-矩形的判定同步练习04

矩形的判定-【重难点突破练】-八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)

§18.2.1.2矩形的判定一、知识导航矩形的判定：类别判定方法符号语言图形角有一个角是直角的平行四边形是矩形四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒∴四边形ABCD 是矩形有三个角是直角的四边形是矩形90ABC BCD ADC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是矩形对角线对角线相等的平行四边形是矩形四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =∴四边形ABCD 是矩形二、重难点突破重点1利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定例1.如图，▱ABCD 中，点O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．请连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是矩形，并说明理由．【分析】连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足EF =AC 是，四边形AECF 是矩形，首先证明四边形AECF 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．【详解】连接EC 、AF ，则EF 与AC 满足EF =AC 时，四边形AECF 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO =OC ，AB //CD ．∴∠E =∠F又∠AOE =∠COF∴△AOE ≌△COF （ASA ）．∴OE =OF ．∵AO =CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF =AC ，∴四边形AECF 是矩形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题变式1已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．【分析】（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =，然后根据平行四边形的性质得到AE=BC ，由此即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ，∵DC CE =，∴AB CE =，∴四边形ABEC 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BCE D∴∠=∠∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，重点点拨：在判定矩形时，一定要注意前提条件是四边形还是平行四边形，再考虑用哪条定理，用定义判定或用对角线判定时，前提条件必须是平行四边形，而不能是四边形.∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠，∴FC FE =，又∵四边形ABEC 是平行四边形，∴BC=2FC ，AE=2FE ，AE BC ∴=，∴四边形ABEC 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识点，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．重点2利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定例2.如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，过点A 作//AE BC ，且AE BD =，连接BE ，交AD 于点F ，连接CE ．求证：四边形ADCE 为矩形；【分析】先证明四边形ADCE 是平行四边形，由AD BC ⊥得到∠ADC =90°，实现解题目标；【详解】∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD =DC ，∠ADC =90°，∵//AE BC ，且AE BD =，∴//,=AE DC AE DC，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵∠ADC =90°，∴四边形ADCE是矩形；【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，三角形的全等，熟练掌握矩形判定和性质，根据平行线性质灵活证明三角形的全等是解题的关键．变式2如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．【分析】根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【详解】∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，∴∠ABE=12∠ABD，∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，∴∠CDF=12∠CDB，∵在平行四边形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CDF=∠ABE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，∠A=∠C，即A CAB DCABE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CDF（ASA）；∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE ⊥AD ，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE 是矩形．【点睛】本题考点：1.平行四边形的性质和判定，2.矩形的判定，3.全等三角形的性质和判定重点3利用有三个角是直角的四边形是矩形进行判定例3.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD是矩形．【分析】（1）根据等量代换得到BE=CF ，根据平行四边形的性质得AB=DC ．利用“SSS”得△ABF ≌△DCE ．（2）平行四边形的性质得到两边平行，从而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C ，从而得到一个直角，问题得证.【详解】（1）∵BE=CF ，BF=BE+EF ，CE=CF+EF ，∴BF=CE ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ．在△ABF 和△DCE 中，∵AB=DC ，BF=CE ，AF=DE ，∴△ABF ≌△DCE ．（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠B=∠C ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ．∴∠B+∠C=180°．重点点拨：要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再证明有一个角是直角或对角线相等.∴∠B=∠C=90°．∴平行四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键．变式3如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．【详解】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．难点4矩形的性质与判定的综合例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．【分析】(1)由AE∥BD，且AE＝BD可得四边形AEBD是平行四边形,再根据AB＝AC，D为BC中点,可知AD⊥BC即可得出四边形AEBD是矩形.(2)根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出EB,再根据矩形的性质求出BC即可利用勾股定理求出EC,由题意可证△AEF∽△BCF,再根据对应边成比例即可求出结果.【详解】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝BC＝4，∴EC＝∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴12 EF AECF BC==，∴EF13EC=3．重点点拨：在一个四边形中如果能够比较容易地证得两个角是直角，可以考虑证明另外两个角中的一个是直角，从而证得该四边形为矩形.【点睛】本题为矩形与等腰三角形的结合题型,关键在于熟练掌握矩形与等腰三角形的性质.变式4在 ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．重点点拨：利用矩形的性质和判定解决问题，一般是先判定一个四边形是矩形，再根据矩形的性质解决其他问题.三、提升训练1.▱ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是（）A．AB=CD B．∠B+∠D=180°C．AC=AD D．对角线互相垂直【答案】B【分析】根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；由矩形的判定即可得出A、C、D不正确，B正确．【详解】解：A、当AB=CD，不能判定▱ABCD为矩形，故该选项不符合题意；B、∵▱ABCD中，∠B=∠D，∠B+∠D=180°，∴∠B=∠D=90°，∴▱ABCD是矩形；故该选项正确，符合题意；C、∵AC=AD，不能得出▱ABCD是矩形，故该选项不符合题意；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【分析】由矩形的判定方法依次判断即可得出结果．【详解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确，故选B．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.3.下列命题是假命题的是（）A．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合B．同旁内角互补，两直线平行C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质对A进行判断；根据平行线的判定方法对B进行判断；根据角平分线的性质对C进行判断；根据矩形的判断方法对D进行判断．【详解】A选项，等腰三角形的底边上的高线、中线和顶角的平分线互相重合，故符合题意；B选项，同旁内角互补，两直线平行，故不符合题意；C选项，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，故不符合题意；D选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、矩形的判定等知识，解答本题的关键是熟练掌握并运用以上知识．4.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB＝2，△DOE的面积为54，则AE的长为（）AB．2C．1.5D【答案】C【分析】连接BE ，由题意可得OE 为对角线BD 的垂直平分线，可得BE=DE ，S △BOE =S △DOE =54，由三角形的面积则可求得DE 的长，得出BE 的长，然后由勾股定理求得答案．【详解】连接BE ，如图所示：由题意可得，OE 为对角线BD 的垂直平分线，∴BE ＝DE ，S △BOE ＝S △DOE ＝54，∴S △BDE ＝2S △BOE ＝52．∴12DE •AB ＝52，又∵AB ＝2，∴DE ＝52，∴BE ＝52在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE 1.5=．故选C ．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．5.矩形ABCD 与矩形CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，,,C D G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ，若3BC EF ==，1CD CE ==，则GH =（）A BC ．2D ．43【答案】A【分析】如图，延长GH 交AD 于点M ，先证明△AHM ≌△FHG ，从而可得AM=FG=1，HM=HG ，进而得DM=AD-AM=2，继而根据勾股定理求出GM 的长即可求得答案.【详解】如图，延长GH 交AD 于点M ，∵四边形ABCD 、CEFG 是矩形，∴AD=BC=3，CG=EF=3，FG=CE=1，∠CGF=90°，∠ADC=90°，∴DG=CG-CD=3-1=2，∠ADG=90°=∠CGF ，∴AD//FG ，∴∠HAM=∠HFG ，∠AMH=∠FGH ，又AH=FH ，∴△AHM ≌△FHG ，∴AM=FG=1，HM=HG ，∴DM=AD-AM=3-1=2，∴==，∵GM=HM+HG ，∴，故选A.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.6.如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，DF AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列结论不正确的是（）A ．DE 平分AEC∠B ．ADE ∆为等腰三角形C ．AF AB=D ．AE BE EF=+【答案】C【分析】根据矩形的性质及HL 定理证明Rt △DEF ≌Rt △DEC ，然后利用全等三角形的性质进行推理判断【详解】解：在矩形ABCD 中，∠C=90°，AB=CD∵DF AE ⊥于点F ，且DF AB=∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD在Rt △DEF 和Rt △DEC 中DF DC DE DE=⎧⎨=⎩∴Rt △DEF ≌Rt △DEC∴∠FDE=∠CDE ，即DE 平分AEC ∠，故A 选项不符合题意；∵Rt △DEF ≌Rt △DEC∴∠FED=∠CED又∵矩形ABCD 中，AD ∥BC∴∠ADE=∠CED∴∠FED=∠ADE∴AD=AE ，即ADE ∆为等腰三角形，故B 选项不符合题意∵Rt △DEF ≌Rt △DEC∴EF=EC在矩形ABCD 中，AD=BC ，又∵AD=AE∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF ，故D 选项不符合题意由于AB=CD=DF ，但在Rt △ADF 中，无法证得AF=DF ，故无法证得AB=AF ，故C 选项符合题意故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质及三角形全等的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．7.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =，动点Р满足3PAB ABCD S S = 矩形，则点Р到A 、B 两点距离之和PA PB +的最小值为（）AB C ．D【答案】D 【分析】由3PAB ABCD S S = 矩形，可得△PAB 的AB 边上的高h =2，表明点P 在平行于AB 的直线EF 上运动，且两平行线间的距离为2；延长FC 到G ，使FC =CG ，连接AG 交EF 于点H ，则点P 与H 重合时，PA +PB 最小，在Rt △GBA 中，由勾股定理即可求得AG 的长，从而求得PA +PB 的最小值．【详解】解：设△PAB 的AB 边上的高为h∵3PAB ABCDS S = 矩形∴132AB h AB AD ⨯= ∴h =2表明点P 在平行于AB 的直线EF 上运动，且两平行线间的距离为2，如图所示∴BF =2∵四边形ABCD 为矩形∴BC =AD =3，∠ABC =90゜∴FC =BC -BF =3-2=1延长FC 到G ，使CG =FC =1，连接AG 交EF 于点H∴BF =FG =2∵EF ∥AB∴∠EFG =∠ABC =90゜∴EF 是线段BG 的垂直平分线∴PG =PB∵PA +PB =PA +PG ≥AG∴当点P 与点H 重合时，PA +PB 取得最小值AG在Rt △GBA 中，AB =5，BG =2BF =4，由勾股定理得：AG ===即PA +PB 故选：D ．【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识，难点在于确定点P 运动的路径，路径确定后就是典型的将军饮马问题．8.在ABCD 中，请加一个条件：________可以判定ABCD 是矩形．【答案】AC BD=【分析】根据矩形的判定方法，即可求解．【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，对角线相等的平行四边形为矩形，当AC BD =时，可得ABCD 为矩形故答案为AC BD =（答案不唯一）【点睛】此题考查了矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．9.如图，矩形ABCD 中，已知AB=6，BC=8，BD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 于点F ，则△BOF 的面积为____．【答案】【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD ，证明△BOF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF ，根据勾股定理求出OF ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴根据勾股定理可得：BD=10，∵EF 是BD 的垂直平分线，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴△BOF ∽△BCD ，∴，即，解得，BF=，则OF=，则△BOF 的面积=×OF×OB=，【点睛】（1）矩形的性质；（2）线段垂直平分线的性质；（3）勾股定理的应用10.如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1_____S 2；（填“＞”或“＜”或“＝”）【答案】=【分析】利用矩形的性质可得△ABD 的面积＝△CDB 的面积，△MBK 的面积＝△QKB 的面积，△PKD 的面积＝△NDK 的面积，进而求出答案.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，四边形MBQK 是矩形，四边形PKND 是矩形，∴△ABD 的面积＝△CDB 的面积，△MBK 的面积＝△QKB 的面积，△PKD 的面积＝△NDK 的面积，∴△ABD 的面积﹣△MBK 的面积﹣△PKD 的面积＝△CDB 的面积﹣△QKB 的面积＝△NDK 的面积，∴S 1＝S 2．故答案为＝．【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质定理是解题关键.11.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，点G 为四边形DEAF 对角线交点，则线段GF 的最小值为_______.【答案】185【分析】由勾股定理求出BC 的长，再证明四边形DEAF 是矩形，可得EF=AD ，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．【详解】解：∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，∴在Rt △ABC 中，利用勾股定理得：22BA AC +22912+=15，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∠BAC=90°∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，∴四边形DEAF 是矩形，∴EF=AD ，GF=12EF∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时，△ABC 的面积=12AB×AC=12BC×AD ，∴AD=BA AC BC ⨯=91215⨯=365，∴EF=AD=365,因此EF 的最小值为365；又∵GF=12EF∴GF=12×365=185故答案为：185．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12.如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，过矩形ABCD 的对角线交点O 作直线分别交AD 、BC 于点E F 、，连接AF ，若AEF 是等腰三角形，则AE =____.【答案】4或133【分析】连接AC ，由矩形的性质得出∠B =90°，AD =BC =6，OA =OC ，AD ∥BC ，由ASA 证明△AOE ≌△COF ，得出AE =CF ，若△AEF 是等腰三角形，分三种情讨论：①当AE =AF 时，设AE =AF =CF =x ，则BF =6-x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当AF =EF 时，作FG ⊥AE 于G ，则AG =12AE =BF ，设AE =CF =x ，则BF =6-x ，AG =12x ，得出方程12x =6-x ，解方程即可；③当AE =FE 时，作EH ⊥BC 于H ，设AE =FE =CF =x ，则BF =6-x ，CH =DE =6-x ，求出FH =CF -CH =2x -6，在Rt △EFH 中，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．【详解】解：连接AC ，如图1所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =90°，AD =BC =6，OA =OC ，AD ∥BC ，∴∠OAE =∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，OAE OCF OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴AE =CF ，若△AEF 是等腰三角形，分三种情讨论：①当AE =AF 时，如图1所示：设AE =AF =CF =x ，则BF =6-x ，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：42+（6-x ）2=x 2，解得：x =133，即AE=133；②当AF =EF 时，作FG ⊥AE 于G ，如图2所示：则AG =12AE =BF ，设AE =CF =x ，则BF =6-x ，AG =12x ，所以12x =6-x ，解得：x =4；③当AE =FE 时，作EH ⊥BC 于H ，如图3所示：设AE=FE=CF=x，则BF=6-x，CH=DE=6-x，∴FH=CF-CH=x-（6-x）=2x-6，在Rt△EFH中，由勾股定理得：42+（2x-6）2=x2，整理得：3x2-24x+52=0，∵△=（-24）2-4×3×52＜0，∴此方程无解；综上所述：△AEF是等腰三角形，则AE为133或4；故答案为133或4．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程、等腰三角形的性质、分类讨论等知识；根据勾股定理得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论．13.如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】先由两组对边分别相等证明四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可.【详解】证：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，灵活的根据已知条件选择合适的判定方法是证明的关键.14.如图，在▱ABCD中，点F是边BC的中点，连接AF并延长交DC的延长线于点E，连接AC、BE．（1）求证：AB＝CE；（2）若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC是什么特殊四边形？请说明理由【分析】（1）根据AB//CD可知∠ABF=∠ECF，由BF=CF，∠AFB=∠CFE，可证明△ABF≌△ECF.即可证明AB=CE.（2）根据∠AFC=2∠D及外角性质可证明AF=BF进而证明AE=BC，即可证明四边形ABEC是平行四边形.【详解】（1）∵F是BC的中点，∴BF=CF.∵在四边形ABCD中，AB//CD，∴∠ABF=∠ECF，∵∠AFB=∠CFE，∴△ABF≌△ECF，∴AB=CE.（2）四边形ABEC是矩形，理由如下：∵△ABF≌△ECF，∴EF=AF，∵BF=CF，∴四边形ABEC是平行四边形.∴∠ABF=∠D，∵∠AFC=2∠D，∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF，∴AF=BF，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，熟练掌握全等三角形和矩形的判定方法是解题关键.15.如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若OE⊥BD交BC于E，求证：BE＝2CE．【分析】（1）只要证明AC=BD即可解决问题．（2）在Rt△BOE中，易知BE=2EO，只要证明EO=EC即可【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD，∵△ABO是等边三角形，∴AO=BO=AB，∴AO=OC=BO=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形；∴OB=OC，∠ABC=90°，∵△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，∵OE⊥BD，∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，∴∠EOC=∠ECO，∴EO=EC，∴BE=2EO=2CE．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是直角三角形30度角的性质的应用，属于中考常考题型．。

矩形的性质与判定习题及答案

由题意得：AE＝CF＝t
AE＝CF＝t
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、 EF＝5﹣2（5﹣t）＝2t-5
DC的中点，
∴ BG 1 AB，CH 1 CD
2
2
∴2t-5=4 ∴t＝4.5
又∵AB=CD,AB∥CD
综上，当t为0.5秒或4.5秒时，
∴BG∥CH，BG=CH
四边形EGFH为矩形
∴四边形BCHG为平行四边形
2
2
4
∴ 13 PE PF 15
4
∴ PE PF 60 13
（1）矩形的面积公式是S=长×宽（两邻边的乘积）
（2）过矩形对角线交点O的任一直线平分矩形ABCD的面积
（3）矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，则
①△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB
△ABO，△CDO，△AOD，△COB都是等腰三角形
1
2
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，在△AEG与△CFH中
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∠B＝90°
∴∠1＝∠2 ∵G、H分别是AB、DC的中点 ∴AG＝BG，CH＝DH ∴AG＝CH
AG CH
1
2
AE CF
∴△AEG≌△CFH（SAS）
∴EG＝FH
∵AE＝CF
又∵GF＝HE
②△ABD≌△CDB≌△BAC≌△DCA
△ABD，△CDB，△BAC，△DCA都是直角三角形
③S△ABO
=S△BCO
=S△CDO
=S△AOD
=
1 4
S矩形ABCD
例4．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、 H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG ＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．

数学八年级下华东师大版20.2 矩形的判定同步练习

20.2 矩形的判定同步练习目标与方法1．会证明矩形的判定定理．2．能运用矩形的判定定理进展简单的计算与证明．3．能运用矩形的性质定理与判定定理进展比拟简单的综合推理与证明．根底与稳固1．以下条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是〔〕．A ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90°C ．AB=BC ，AD=CD ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90°2．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，有6个条件：①AB ∥CD ，②AB=CD ，③BC ∥AD ，• ④BC=AD ，⑤AC=BD ，⑥∠A=90°．从这6个条件中选出〔直接填写序号〕_______3个，能使四边形ABCD 是矩形．3．：如图，在ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ．求证：ABCD 是矩形．4．：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．5．：如图，AB=AC ，AE=AF ，且∠EAB=∠FAC ，EF=BC ．求证：四边形EBCF 是矩形．拓展与延伸6．：如图，在ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △ACE ，且∠BED 为直角．•求证：•四边形ABCD 是矩形． B A C D O B A C D N M B AC E F BA CE D O后花园智力操如图，以△ABC 的三边为边，在BC•的同侧分别作3•个等边三角形，•即△ABD 、△BCE 、△ACF ．请答复以下问题并说明理由：〔1〕四边形ADEF 是什么四边形？〔2〕当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？参考答案:1．C2．〔答案不唯一，只要写出一组即可〕①②⑥，①③⑥，①②⑤，①③⑤，②④⑤，②④⑥．3．由ABCD ，可得AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴∠A+∠B=180°，∴∠AOD=∠CDO ，∠BOC=∠DCO ．又∵∠AOD=∠BOC ，∴∠CDO=∠DCO ．∴OD=OC ．又∵AO=BO ，∴△ADO ≌△BCO ．∴∠A=•∠B=90°，∴ABCD 是矩形．4．由等边三角形的性质，可推出∠DMB=∠MBN=∠BND=90°，可得四边形BMDN 是矩形．5．∵AE=AF ，∠EAB=∠FAC ，AB=AC ，∴△AEB ≌△AFC ．∴EB=FC ，∠ABE=∠ACF ．•又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ．∴∠EBC=∠FCB ．B AC ED F∵EB=FC，EF=BC，∴四边形EBCF是平行四边形．∴EB∥FC，∴∠EBC+∠FCB=180°．∴∠EBC=∠FCB=90°，∴EBCF是矩形．6．证明：连接OE．在ABCD中，OA=OC，OB=OD．以AC为斜边的Rt△ACE中，OE•为斜边AC上的中线，∴OE=12AC，即AC=2OE．以BD为斜边的Rt△BDE中，OE为斜边BD上的中线，∴OE=12BD，即BD=2OE，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．智力操〔1〕四边形ADEF是平行四边形．理由：△ABD、△BCE•是等边三角形，•∠ABD=∠EBC=60°．∠ABD-∠EBA=∠EBC-∠ABE，即∠DBE=∠ABC．又∵DB=AB，EB=CB，•∴△EDB≌△CAB．∴DE=AC=AF．同理△CEF≌△CBA，∴EF=AB=DA，∴四边形ADEF是平行四边形；〔2〕当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．。

九年级数学平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定同步练习苏科版

初三数学某某科技版平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定同步练习（答题时间：20分钟）1. 已知AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，需要增加一个条件。

例如：AB//DC，除此之外，你还可以添加的条件是________________________（至少写出两种）2. 爱动脑筋的小丽同学，为检验四边形桌面ABCD是否为矩形（如图），她用三角尺量了∠B=∠D=90°，用刻度尺量了AB=CD，就判断四边形桌面ABCD是矩形，请你说明道理。

B C3. 已知：BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线且交AB于点E，交BC于点F。

求证：四边形BFDE是菱形。

AEDB F C4. 将一X矩形的纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，最后分别沿AE，CF折叠，这样得到四边形AECF是什么样的四边形？试证明你的猜想。

5. 如图，将矩形纸片ABCD的一角折叠，使宽CD落在长AD上，若将其余三个角也像这样折叠后，再将矩形纸片展平，得到4条折痕，它们相交于H，E，F，G。

猜想4条折痕所围成的四边形是什么样的四边形？并证明你的猜想。

A M N DB P Q C【试题答案】1. AD=BC或∠B=∠D2. 道理如下：连接AC可以证明Rt△ABC≌Rt△CDA∴∠BAC=∠DCA∴AB//CD又∵AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形又∵∠B=90°∴平行四边形ABCD是矩形3. 证明：∵EF是BD的垂直平分线∴EB=ED∴∠EBD=∠EDB同理∠FBD=∠FDB又∵BD平分∠ABC∴∠EBD=∠FBD∴∠FBD=∠EDB ∠EBD=∠FDB∴BF//DE，BE//DF∴四边形BFDE是平行四边形又∵BE=ED∴平行四边形BFDE是菱形4. 解：四边形AECF是菱形证明：∵A、C关于折痕EF对称∴EF垂直平分AC∴EA=EC，FA=FC∴∠1=∠3，∠2=∠4又∵AD//BC ∴∠2=∠3∴∠1=∠2=∠3=∠4∴AE//FC∴四边形AECF是平行四边形又∵EA=EC∴平行四边形AECF是菱形B E C5. 解：四边形EFGH是正方形证明：∵M、C关于DP对称∴DM=DC ∴∠DMC=∠DCM∵∠DMC=∠BCM∴∠BCM=∠DCM=45°∴∠DGC=90°同理：∠GHE=∠HEF=∠EFG=90°∴四边形EFGH是矩形很容易证明△BEQ≌△CGP∴EQ=GP又∵FP=FQ ∴FE=FG ∴矩形EFGH是正方形。

湘教版八年级下册数学2.5.2矩形的判定同步练习

湘教版8年级下册数学2.5.2矩形的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题)1. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角2. 下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠1=∠24. 已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH的形状是（）.A.平行四边形B.矩形C.任意四边形D.不能判断其形状5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥6. 在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC7. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC8. 如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )二、填空题(本大题共6小题)9. 如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB 为__________度时，四边形ABFE为矩形.10. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．11. 在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．若DE=BC，则判断四边形BFCE是形．12. 如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).13. 如图所示，折叠矩形纸片ABCD，•先折出折痕（•对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG．若AB=2，BC=1，则AG的长是．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．三、计算题(本大题共3小题)15. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．16. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．17. 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1. D分析：根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选D．2. B分析：根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．3. C分析：根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．解：A、是邻边相等，不能判定平行四边形ABCD是矩形；B、是对角线互相垂直，不能判定平行四边形ABCD是矩形；C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D、是对角线平分对角，不能判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．4. B分析：可利用角的变化来证明所形成的图形形状。

北师大版九年级数学上同步练习：矩形的判定 (含答案)

矩形的判定一、填空：1．矩形ABCD的周长为52cm，对角线AC和BD相交于O，且△OCD和△OAD的周长差是10cm，则矩形的长边长________，短边长_________ 2．在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且CE：EA=1：3，若AB=5cm，则AC=_________3．在矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，且CE=AB，连结DE，则∠ADE=_________4．矩形两条对角线的交点到小边的距离比到大边的距离多1cm，若矩形周长是26cm，则矩形各边长为__________5．_________的四边形是矩形6．_________的平行四边形是矩形二、判断：1．矩形是轴对称图形且有两条对称轴（）2．矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段（）3．两条对角线互相平分的四边形是矩形（）4．有两个角是直角的四边形为矩形（）三、解答：1．如图，已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是BC的中点，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：ME=MF2．如图，已知，△ABC中，CE⊥AD于E，BD⊥AD于D，BM=CM求证：ME=MD参考答案一、1．18cm 8cm2．10cm3．15°4．7.5cm 5.5cm 7.5cm 5.5cm5．有三个角是直角（或对角线互相平分且相等）6．对角线相等二、1．√2．√3．×4．×三、1．∵∠A=90°，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∴四边形AEPF 为矩形，∴AF=EP∵AB=AC ，∠BAC=90° ∴∠B=45°∵PE ⊥AB 于E ，∠EPB=45°，∴∠B=∠EPB∴BE=EP ∴BE=AF∵直角△ABC 中，∠BAC=90°M 为BC 边中点 ∴BC AM 21即AM=BM∵AB=AC ，M 为BC 中点，∴AM 平分∠BAC∴∠MAF=45° ∴∠MAF=∠B在△AMF 与△BME 中，∵AF=BE ，∠MAF=∠B ，AM=BM ∴△AMF ≌△BME ∴ME=MF2．延长DM 与CE 交于N∵CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D∴CE ∥BD ∠NCM=∠DBM在△CMN 与△BMD 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BMD CMN BM CM DBM NCM ∴△CMN ≌△BMD ∴NM=DM即M 为ND 中点 ∵CE ⊥AD 于E ∴△NED 为Rt △ ∴ND ME 21=∴ME=MD。

矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判定一．填空题1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt △DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=，故答案为：．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin ∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。

2.5.2矩形的判定同步练习(答案版)

2.5.2矩形的判定1.已知平行四边形ABCD，下列条件，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC2.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件，不能判定□ABCD为矩形的是( C )A．AC＝BDB．AB＝6，BC＝8，AC＝10C．AC⊥BDD．∠1＝∠23.平行四边形的四个内角的平分线相交所构成的四边形一定是( D )A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形4.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( B )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组5.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长度为( B ) A．4 B．3 C．2 D．1【点拨】要使▱ABCD是矩形，则OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3.6.如图，在▱ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( B )A．OM＝12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND7.在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的是( B )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④【点拨】▱ABCD的面积最大时，AB⊥BC，即▱ABCD是矩形，根据矩形的性质判断．8.在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C ) A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD【点拨】∵∠B＋∠C＝180°，∴AB∥DC，∵∠A＝∠C，∴∠B＋∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．而由AC⊥BD，即对角线互相垂直不能判定▱ABCD是矩形．【答案】C9.在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？( C )A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线互相垂直【点拨】此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．【答案】C10.如图，D，E是△ABC中AB，BC边上的点，且DE∥AC，∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，连接BG，BH.则下列结论错误的是( C )A．若BG∥CH，则四边形BHCG为矩形B．若BE＝CE，则四边形BHCG为矩形C．若HE＝CE，则四边形BHCG为矩形D．若CH＝3，CG＝4，则CE＝2.5【点拨】∵∠ACB的平分线和△ABC的外角的平分线分别交直线DE于点G和点H，∴∠HCG＝90°，∠ECG＝∠ACG.∵DE∥AC，∴∠ACG＝∠HGC＝∠ECG.∴EC＝EG.同理可得HE＝EC，∴HE＝EC＝EG＝12 HG.若CH∥BG，易知∠HCG＝∠BGC＝90°，易知∠EGB＝∠EBG，∴BE＝EG，∴BE＝EG＝HE＝EC，∴四边形CHBG是平行四边形．∵∠HCG＝90°，∴四边形CHBG是矩形，故A正确；若BE＝CE，∴BE＝CE＝HE＝EG，∴四边形CHBG是平行四边形．∵∠HCG＝90°，∴四边形CHBG是矩形，故B正确；若HE＝EC，无法判定四边形BHCG为矩形，故C错误；若CH＝3，CG＝4，根据勾股定理可得HG＝5，∴CE＝2.5，故D正确．【答案】C11.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件AC＝BD(答案不唯一) ，使得□ABCD是矩形.12.如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则EH＝ 5 .13.在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AC＝12，BD＝9，则四边形ABCD各边中点连线构成的四边形的面积是___27_____．14.如图，在矩形ABCD 中，BC ＝20 cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3 cm/s 和1 cm/s ，则最快____5____s 后，四边形ABPQ 为矩形．【点拨】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ＝20 cm.设最快x s 后，四边形ABPQ 为矩形，∵四边形ABPQ 是矩形，∴AQ ＝BP.∴3x ＝20－x ，∴x ＝5.15.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝3，AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为___125_____．【点拨】连接AD.∵∠BAC ＝90°，BA ＝3，AC ＝4，∴BC ＝BA 2＋AC 2＝5.∵DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，∴∠DMA ＝∠DNA ＝∠BAC ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．∴MN ＝AD.当AD ⊥BC 时，AD 的值最小．此时△ABC 的面积＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ， ∴AD ＝AB ·AC BC ＝125.∴MN 的最小值为125. 16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，CD ．求证：EF ＝CD ．证明：∵DE ，DF 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱DECF是矩形，∴EF＝CD.17.如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．证明：连接EO.∵O是AC，BD的中点，∴OA＝OC，OB＝OD.∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠AEC＝∠BED＝90°，∴OE＝12AC，OE＝12BD.∴BD＝AC.∴▱ABCD是矩形.18.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC 交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.(1)证明：∵AB∥DC，FC＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形．(2)：∵四边形ABCF是矩形，∴∠AFC＝∠AFD＝90°.∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠DAF＝∠CGF.又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.∴EA ＝EG.19.如图，已知点E 是□ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F.(1)连接AC ，BF ，若∠AEC ＝2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD 是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC 的面积．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠ABE ＝∠ECF ，又∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△ABE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠ABE ＝∠ECFBE ＝CF ∠AEB ＝∠FEC，∴△ABE ≌△FCE(ASA)；∴AE ＝EF ，AB ＝CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵∠AEC ＝2∠ABC ＝∠ABC ＋∠BAE ，∴∠ABC ＝∠BAE ，∴AE ＝BE.∵AE ＝EF ，BE ＝CE ，∴AF ＝BC.∴平行四边形ABFC 是矩形．(2)：∵△AFD 是等边三角形，∴∠AFC ＝60°，AF ＝DF ＝4，∴CF ＝CD ＝2，∵四边形ABFC 是矩形，∴∠ACF ＝90°，∴AC ＝AF 2－CF 2＝23，∴四边形ABFC 的面积＝AC ·CF ＝4 3.20.如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长 AE 至G ，使EG ＝AE ，连接CG.(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE ＝12OB ，DF ＝12OD ，∴BE ＝DF ， ∵在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF( SAS)；(2)解：当AC ＝2AB 时，四边形EGCF 是矩形．理由如下：∵AC ＝2OA ，AC ＝2AB ，∴AB ＝OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴同理，CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG ∥CF ，∵EG ＝AE ，OA ＝OC ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∴EF ∥CG ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形．21.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，AD ＝12 cm ；P 点在AD 边上以每秒1cm 的速度从A 向D 运动，点Q 在BC 边上，以每秒4 cm 的速度从C 点出发，在CB 间往返运动，两点同时出发，待P 点到达D 点为止，求经过多长时间四边形ABQP 为矩形？解：∵在矩形ABCD 中，AD ＝12 cm ，∴AD ＝BC ＝12 cm.当四边形ABQP 为矩形时，AP ＝BQ.①当0＜t ＜3时，t ＝12－4t ，解得t ＝125； ②当3≤t ＜6时，t ＝4t －12，解得t ＝4；③当6≤t ＜9时，t ＝36－4t ，解得t ＝365； ④当9≤t ≤12时，t ＝4t －36，解得t ＝12.综上所述，当t 为125s 或4s 或365s 或12 s 时，四边形ABQP 为矩形．22.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AD 与BE 交于点O ，点F 、G 分别是BO 、AO 的中点，分别连接DE 、EG 、GF 、FD.(1)求证：GF ∥DE ；(2)若AC ＝BC ，求证：四边形EDFG 是矩形．(1)证明：∵AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB 且DE ＝12AB. ∵点F 、G 分别是BO 、AO 的中点，∴FG 是△OAB 的中位线，∴FG ∥AB 且FG ＝12AB.∴GF ∥DE. (2)：由(1)GF ∥DE ，GF ＝DE ，∴四边形EDFG 是平行四边形．∵AD 、BE 是BC 、AC 上的中线，∴CD ＝12BC ，CE ＝12AC. 又∵AC ＝BC ，∴CD ＝CE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC∠C ＝∠C CD ＝CE，∴△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE.∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ，∴∠DAB ＝∠EBA ，∴OB ＝OA.∵点F 、G 分别是OB 、AO 的中点，∴BF ＝12OB ，AG ＝12OA ，∴BF ＝AG ， ∵BE ＝AD ，∴EF ＝DG ，∴四边形EDFG 是矩形．23.如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB ，∠ACD 的平分线于点E ，F.(1)若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长；(2)连接AE ，AF.问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．(1)解：∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACD 的平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠DCF.∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF ，∴∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF.∵∠OCE ＋∠BCE ＋∠OCF ＋∠DCF ＝180°，∴∠OCE ＋∠OCF ＝90°，即∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2＝CE 2＋CF 2，∴EF ＝82＋62＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5. (2)解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当点O为AC的中点时，有AO＝CO，由(1)知EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．24.【中考·连云港】如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形？并说明理由．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵△ABC经过平移得到△DEF，∴AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，∴∠ACB＝∠DEC，∴OE＝OC，即△OEC为等腰三角形．(2)解：如图，当点E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．理由：∵AB＝AC，点E为BC的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC.∵△ABC经过平移得到△DEF，∴BE∥AD，BE＝AD，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴四边形AECD是矩形．25.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：(1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？(1)解：四边形ADEF是平行四边形．理由如下：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴DB＝AB＝AD，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°.∴∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA.∴∠DBE＝∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE＝AC.∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF.∴DE＝AF.同理可得△ABC≌△FEC，∴EF＝BA＝DA.∵DE＝AF，DA＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形．(2)【点拨】第(2)问利用逆向思维法来解，即由四边形ADEF是矩形来推断△ABC应满足的条件，利用周角的定义来探究∠BAC的度数即可．解:若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.∵∠DAB＝∠FAC＝60°，∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150°.∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．。

矩形的判定(分层作业)-八年级数学下册(人教版)(解析版)

人教版初中数学八年级下册18.2.2矩形的判定同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列给出的判定中不能判定一个四边形是矩形的是（）A ．有三个角是直角B ．对角线互相平分且相等C ．对角线互相垂直且相等D ．一组对边平行且相等，一个角是直角【答案】C【分析】利用矩形的判定方法即可对各选项进行判断，得到符合题意的选项．【详解】解：A 、有三个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；B 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，该选项原说法错误，符合题意；D 、一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意；故选：C ．【点睛】此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．2．如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（）A ．=BAD ABCB ．AB BDC ．AC BD D ．=A B BC【答案】A【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可；【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，+=180°ABC BAC ，=ABC BAC ∵，==90°ABC BAC ，平行四边形ABCD 是矩形，故选项A 符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BD ，++=180°BAD ABD DBC ，90ABD ，90°BAD ，选项B 不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B 不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ，平行四边形ABCD 是菱形，故选项C 不符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，=A B BC ，平行四边形ABCD 是菱形，故选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．3．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC 交AD 于E ，若4,8AB BC ，则AE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．【答案】C 【分析】根据矩形ABCD ，得到AD =BC =8，∠ADC =90°，OA =OC ，从而得证△AOE ≌△COE ，AE =CE ，设AE =x ，则EC =x ，DE =8-x ，利用勾股定理计算即可．【详解】如图，连接EC ，∵矩形ABCD ，OE AC ，4,8AB BC ，∴AD =BC =8，AB =CD =4，∠ADC =90°，OA =OC ，∵OE AC ，∴∠AOE =∠COE =90°，∵OE=OE ，∴△AOE ≌△COE ，AE =CE ，设AE =x ，则EC =x ，DE =8-x ，在Rt △DEC 中，222CE DE CD ，∴222(8)4x x ，∴x =5，∴AE =5，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形全等，勾股定理是解题的关键．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， AOB是等边三角形，OE BD交BC于点E，CD＝2，则CE的长为（）DA．1B C．235．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，垂足为O ，点E 、F 、G 、H 分别为边AD 、AB 、BC 、CD 的中点．若8AC ，6BD ，则四边形EFGH 的面积为（）A ．48B ．24C ．32D ．12∴EF ∥GH ，FG ∥HE 且EF ⊥FG ．四边形EFGH 是矩形．∴四边形EFGH 的面积=EF •EH =3×4=12，即四边形EFGH 的面积是12．故选：D ．【点睛】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的性质，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．6．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，CA 的中点，若四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 需满足的条件是（）A ．AB DCB ．AC BD C ．AC BD D ．AB DC∵//EF AB ，//HE CD ，∴AB CD ，故选：A ．【点睛】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形，再利用 FE HE 推出AB CD ．7．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ，3AC ，4BC ，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME AC 于点E ，MF BC 于点F ，则EF 的最小值是（）A ．2B ．2.4C ．2.5D ．2.6【答案】B 【分析】根据题意可证四边形ECFM 是矩形，得EF =CM ，再由垂线段最短得CM 最短进而可得EF 最短，最后进行计算即可．【详解】连接CM ，∵ME AC ，MF BC ，∴ MEC = MFC =90°,当CM AB ，1122ABC S AC BC AB CM △，∴113422CM AB ， ABC 中，二、填空题：8.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，欲使四边形ABCD变成矩形，则还需添加______．（写出一个合适的条件即可）【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定条件求解即可．【详解】解：添加条件AC=BD，利用如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定条件是解题的关键．9．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是______．【答案】三个角都是直角的四边形是矩形（或：“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）【分析】使用矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形【详解】因为木板的对边平行，在进行两次锯开时都是沿着垂直于对边的方向，所以会出现4个直角，有三个角是直角的四边形是矩形．故答案是三个角是直角的四边形是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定，需要熟记矩形的判定定理并灵活运用．10．如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，AC 与BD 应满足的的条件是___________．,,,E F G H ∵分别为,,CD AD AB 1,2EF AC GH EF GH AC 四边形EFGH 为平行四边形，要使平行四边形EFGH 为矩形，则AC BD，．故答案为：AC BD【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．AB CD，PM、PN、QM、QN分别为角平分线，则四边形PMQN是__________．11．如图，//∴四边形PMQN是平行四边形，∵∠NPM＝90°，∴四边形PMQN是矩形．故答案为：矩形．【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行线的性质，解题关键是根据角平分线和平行线的性质得出90°角和平行四边形．12．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．【答案】44【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OB=OC，∴∠ACB=∠OBC=23°，∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC，∴∠DBE=44°．故答案为：44【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．13．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____【答案】6【分析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．【详解】如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中APD CED ADP CDE AD DC＝＝＝，∴△ADP ≌△CDE ，∴DP =DE ，S △ADP =S △CDE ，∴四边形BEDP 为正方形，S 四边形ABCD =S 正方形BEDP ，∴DP 2=36，∴DP =6．故答案为6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．三、解答题：14．如图，在ABC 中，AB AC ，AD 平分BAC 交BC 于点D ，分别过点A 、D 作AE BC ∥、DE AB ∥，AE 与DE 相交于点E ，连接CE ．(1)求证：AE BD ；(2)求证：四边形ADCE 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据AE BC ∥、DE AB ∥证明四边形ABDE 为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出BD CD ，AD BC ，得出AE CD ，90ADC ，先证出四边形ADCE 是平行四边形．再证明四边形ADCE 是矩形即可．【详解】（1）证明：∵AE BC ∥、DE AB ∥，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE BD ；（2）证明：∵AB AC ，AD 平分BAC ，∴BD CD ，AD BC ，∵AE BD ，∴AE CD ，∵AE CD ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AD BC ，∴90ADC∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD CD ，AD BC ，是解决问题的关键．15．如图，四边形ABCD 是平行四边形，过点D 作DE AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF AE ，连接AF ，BF ．(1)求证：四边形BFDE 是矩形．(2)若AF 是DAB 的平分线．若6CF ，8BF ，求DC 的长．DAF DFA ，10AD FD ，10616DC DF FC ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，角平分线的定义，等角对等边，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．16．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ，90ABC BCD ．对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC 交BC 于点E ，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若2CD ，DBC =30 ，求△BED 的面积．17．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE BD 于点E ，DF AC 于点F ，且AE DF ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形．(2)若:4:5BAE EAD ，求EAO 的度数．∴904050OBA OAB ，∴504010EAO OAB BAE ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，点P 是Rt ABC 中斜边(AC 不与A ，C 重合)上一动点，分别作PM AB 于点M ，作PN BC 于点N ，点O 是MN 的中点，若9AB ，12BC ，当点P 在AC 上运动时，则BO 的最小值是（）A ．3B ．3.6C ．3.75D ．4【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．2．如图，在Rt ABC △中，90A ，M 为BC 的中点，H 为AB 上一点，过点C 作CG AB ∥，交HM 的延长线于点G ，若10AC ，8AB ，则四边形ACGH 周长的最小值是（）A ．28B ．26C ．22D ．18【答案】A 【分析】通过证明BMH CMG △≌△可得BH CG ，可得四边形ACGH 的周长即为AB AC GH ，进而可确定当MH AB 时，四边形ACGH 的周长有最小值，通过证明四边形ACGH 为矩形可得H G 的长，进而可求解．【详解】解：CG AB ∥∵，B MCG ，M ∵是BC 的中点，BM CM ，在BMH V 和CMG V 中，B MCG BM CM BMH CMG，()BMH CMG ASA △≌△，HM GM ，BH CG ，10AC ∵，8AB ，四边形ACGH 的周长18AC CG AH GH AB AC GH GH ，当GH 最小时，即MH AB 时四边形ACGH 的周长有最小值，90A ∵，MH AB ，GH AC ∥，四边形ACGH 为矩形，10GH ，四边形ACGH 的周长最小值为181028 ，故选：A ．【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定GH 的值是解题的关键．3．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD 交BC 于点E ，15CAE ．连接OE ，则下面的结论：①DOC 是等边三角形；②BOE △是等腰三角形；③2BC AB ；④150 AOE ；⑤AOE COE S S ，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：4．如图，在平行四边形ABCD 中，90A ，10AD ，=8AB ，点P 在边AD 上，且BP BC ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且=PM CN ，连接MN 交CP 于点F ，过点M 作ME CP 于E ，则=EF ___________.，根据等角对等边可得5．如图，在矩形ABCD 中，4AB cm ，12AD cm ，点P 从点A 向点D 以每秒1cm 的速度运动，Q 以每秒4cm 的速度从点C 出发，在B 、C 两点之间做往返运动，两点同时出发，点P 到达点D 为止(同时点Q 也停止)，这段时间内，当运动时间为______时，P 、Q 、C 、D 四点组成矩形．【答案】2.4s 或4s 或7.2s【分析】根据已知可知：点Q 将由,C B C B C 根据矩形的性质得到AD ∥BC ，设过了t 秒，当AP=BQ 时，P 、Q 、C 、D 四点组成矩形，在点Q 由C B 的过程中，则PA=t ，BQ=12-4t ，求得t=2.4（s ），在点Q 由B C 的过程中，t=4（t-3），求得t=4（s ），在点Q 再由C B 中，t=12-4（t-6），求得t=7.2（s ），在点Q 再由B C 的过程中，t=4（t-9），t=13（s ），故此舍去，从而得到结论．【详解】解：根据已知可知：点Q 由,C B C B C在点Q第一次到达点B过程中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，，则四边形APQB是矩形，则以P、Q、C、D四点为顶点组成矩形．若AP BQ设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4t，∴t=12-4t，∴t=2.4（s），的过程中，在点Q由B C设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-3），t=4（t-3），解得：t=4（s），在点Q再由C B过程中，设过了t秒，则PA=t，BQ=12-4（t-6），t=12-4（t-6），解得：t=7.2（s），的过程中，在点Q再由B C设过了t秒，则PA=t，BQ=4（t-9），t=4（t-9），解得：t=13（s）>12(s)，故此舍去．故答案为：2.4s或4s或7.2s；【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，此题属于动点型题目．解题时要注意数形结合与方程思想的应用．三、解答题：6．如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF AE ，连接AF BF ，．(1)求证：四边形BFDE 是矩形．(2)已知60DAB AF ，是DAB 的平分线，若6AD ，则□ABCD 的面积为______．7．如图，在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ，D 是AC 的中点，CE AB ∥，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点B 出发向点A 移动，连接PD 并延长交CE 于点F ，设点P 移动的时间为t 秒．(1)求AB与CE之间的距离；(2)当t为何值时，四边形PBCF为平行四边形；(3)当4PF 时，求t的值．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．。

人教八年级下册数学_矩形的判定同步练习

18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第2课时矩形的判定【基础练习】一、填空题：1.四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =∠D , 则四边形ABCD 是；2.若矩形两对角线相交所成的角等于120°，较长边为6cm ，则该矩形的对角线长为 cm ；3.直角三角形两直角边长分别为6cm 和8cm, 则斜边上的中线长为 cm ，斜边上的高为 cm. 二、选择题：1.下列命题是真命题的是（）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形[来源:Z*xx*]C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形2.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（）.A. 15cmB. 30cmC. 45cmD. 90cm 三、解答题：1.如图3-12， A BCD 中，∠DAC =∠ADB , 求证：四边形ABCD 是矩形.图3-12BAC DO2.如图3-13，P 是 ABCD 的边的中点，且PB = PC . 求证：四边形ABCD 是矩形.【综合练习】如图3-14， ABCD 的四个内角的平分线相交于点E 、F 、G 、H. 求证：EG = FH .答案与提示【基础练习】一、1. 矩形； 2. 43； 3. 5，4.8. 二、1. C ； 2. B.PDCAB 图3-13图3-14HG F EBACD三、1. 提示：证明AC = BD； 2. 提示：证∠A =∠D =∠ABC = 90°【综合练习】提示：证四边形EFGH是矩形.【素材积累】1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。

倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。

求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。

桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。

人教八年级下册数学_.矩形的判定同步练习

D A C F OE B 18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形第2课时矩形的判定1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，正确的是（）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE ⊥DC 于点E ，DACFPEB•OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE•⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？9．（一题多解题）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P•为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE•是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC的一个角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12．已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（）13．正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，•再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图1 图214．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．参考答案1．C 2．B 3．D 4．8cm 5．矩；1：2 6．8cm；4cm 7．解：∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF=•∠F=•∠FH=90°，所以四边形EFGH是矩形．8．解：四边形AECF是矩形．∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．∠AEC=∠AFC=90°，点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证为平行四边形，再证有个角为直角得出结论．9．解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．图1又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．又因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC所以DH+HC=PE+P，即DC=PE+PF．图2．解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，四边形HEDC是矩形．所以EH=•PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．△PHC≌△PFC，所以PH=PF，所以PE+PF=DC．10．解：是矩形；理由：∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，•所以AE=BD，所以AE=DC．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．又因为∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．11．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．12．D13．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：方法一：如图（1），方法二：如图（2）14．解：如图所示，过点G作GE⊥BD于点E，则AG=EG，AD=ED．在Rt△ABD 中，由勾股定理，得55，BG=•AB-AG=2-AG，设AG=EG=x，则BG=2-x．在Rt△BEG中，由勾股定理，得BG2=EG2+BE2，即（2-x）2=5）2+x2，解得51-51-．【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。

华东师大版八年级下册1912矩形的判定同步练习含答案

1.2矩形的判定19．矩形、菱形与正方形19．1矩形19华东师大版八年级下册第章同步练习题)(1．如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是⊥BD D．ACC．∠1＝∠2 A．AB＝BC B．∠ABC＝90°，，连结DE交AC于点F交AB于点E，DF∥AB∥2．如图，在△ABC中，AD ⊥BC于点D，DEAC满足条件时，四边形AEDF是矩形．FD，当△ABC3．如图，在?ABCD中，点M为CD边的中点，且AM＝BM.求证：四边形ABCD是矩形．位同．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的44)(学拟定的方案，其中正确的是．测量两组对边是否分别相等 B A．测量对角线是否相互平分．测量四边形其中的三个角是否都为直角D．测量一组对角是否都为直角 C ) (5．平行四边形各内角的角平分线围成的四边形为D．以上都不对C．矩形A．任意四边形B．平行四边形垂足为AE，，BE⊥，AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线AC，6．如图在△ABC中，AB＝，ADE.(1)求证：DA⊥AE；(2)试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．7．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCDE 是矩形．1，添加一个DB，EC，，连结．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝ADEB9)成为矩形的是(条件，不能使四边形DBCEDE．CE⊥ADB＝90° D A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠；④＝OCAB ①＝CD；②AB∥CD；③OA10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从是矩形，如①②，这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCDOD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°OB＝；⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个组合：．11．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件时，四边形PEMF为矩形．12．如图，平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD 边上，且AE＝CG，AH＝CF.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AB＝AD，且AH＝AE，求证：四边形EFGH是矩形．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为____.14．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.OF＝；(1)求证：OE 的长；5，求OC，若(2)CE＝12CF＝是矩形？并说明理由．AC在边上运动到什么位置时，四边形AECFO(3)当点2答案：B1.°∠BAC＝902.180°，又∠C＋∠D＝3. 易证△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D. ABCD是矩形＝∠D＝90°，∴平行四边形∴∠CD 4.C5.1 BAF，又∵AE平分∠∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，6. (1)∵AD平分2111180°＝×BAC＋∠BAF)，∴∠BAD＋∠BAE＝(∠∴∠BAE＝∠BAF，∵∠BAC＋∠BAF＝180°222故，∴AD⊥BC＝ABAC，AD平分∠BAC，，即∠DAE＝90°，故DA⊥AE(2)AB＝DE.理由：∵＝90°DE ＝AEBD是矩形．∴AB90°，∵∠DAE＝90°，故四边形∠ADB＝90°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝B7.，又CADBAC，∴∠BAE＝∠，∴∠BAD－∠BAC＝∠CAE－∠8. 连结BD，EC，∵∠BAD＝∠CAE是平行四边BCDE＝CB，∴四边形CAD(SAS)，BE＝CD，∵DE∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△是矩形BD，∴四边形BCDE 形，易证△ABD≌△ACE(SAS)，∴EC＝B9.③④⑥①②⑥10.1BC＝11. AB 2 ＝CG，，∠B＝∠D，又∵AE(1)12. 在平行四边形ABCD中，∠A＝∠CAB＝BC，∴中，AB＝CD，ADCF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH＝GF，在平行四边形ABCDAH＝，＝EF≌△，∴△BEFDGH(SAS)，∴GH－CF，即BE＝DG，DH＝BF－－AE＝CD－CG，ADAH＝BC 是平行四边形∴四边形EFGHCD. AB＝，AB∥CD，(2)在平行四边形ABCD中AH，，∵AE＝D＝α，则∠＝180°－α设∠Aα180°－α＝∠AEH∴∠AHE＝－＝90°，＝ADAB＝CD，∵22 ，即DH＝DGAD－AH＝CD－CG，AH＝AE＝CG，∴）α180°－（180°－α＝DGHDHG＝∠∴∠＝，22 ，AHE＝90°180°－∠DHG－∠EHG∴∠＝四边形EFGH是矩形EFGH又∵四边形是平行四边形，∴4.813.，＝OEOF＝OC.同理可证：OC，BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO∴∠14. (1)∵CF平分ACD，且MN∥OF∴OE＝∠＋OCE＝∠OFC＝∠OEC，∴∠OCF ＋∠∠OE(2)由(1)知：OF＝OC＝，∴∠OCF＝∠OFC，OCE22CE＝＝90°，∴EFOCE，OFC＋∠OEC＝180°∴∠ECF＝∠OCF＋∠＋OCFOEC，而∠＋∠OCE ∠CF＋11322EF＝，∴OC＝12＝＋5＝1322(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形，理由：连结AE，AF，由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时有OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形34。

2021年湘教版数学八年级下册2.5.2《矩形的判定》同步练习(含答案)

湘教版数学八年级下册2.5.2《矩形的判定》同步练习一、选择题1.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BDB．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BDD．∠A=∠B=90°，AC=BD2.下列命题中，假命题是（）A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形3.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对）5.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥7.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分8.如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA=OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE 平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题9.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.10.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).11.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.三、解答题13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．14.如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，求证:四边形BCDE是矩形.15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》第2课时矩形的判定同步练习(含答案)

第2课时矩形的判定（典型题）1．甲、乙、丙、丁四名同学到木工厂参观时，一位木工师傅要他们拿尺子帮忙检测一个窗框是不是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是()A．甲量得窗框的两组对边分别相等B．乙量得窗框的两条对角线相等C．丙量得窗框的一组邻边相等D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等2．如图16，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．图163．如图17所示，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，对角线AC和BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD为矩形，则还需增加一个条件是____________．图174．如图18，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件________，才能保证四边形EFGH是矩形．图185．2017·徐州如图19，在▱ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．图196．如图20，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当BC＝2AB时，四边形PEMF为________形．图207．如图21，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.(1)求∠CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连接CF，CE.求证：四边形AFCE是矩形．图218．已知：如图22，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图229．如图23，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从点A开始沿折线A→B→C→D 以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，则当t为________时，四边形APQD为矩形．图2310．如图24，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图2411．如图25，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度1 cm/s向点C，A运动．(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是不是平行四边形？请说明理由．(2)若AC＝16 cm，BD＝12 cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．图2512．如图26，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝12x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.求证：四边形ABCD是矩形．图2613．如图27①，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a.(1)平移后的图形是矩形吗？为什么？(2)图②中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E.求证：∠2＝∠1＋∠3.27参考答案1．D.2．证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足132＝52＋122，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．3．答案不唯一，如∠BAD＝90°或AC＝BD等4．答案不唯一，如AC⊥BD5．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC.∵O为BC的中点，∴BO＝CO.在△BOE和△COD中，∠OEB＝∠ODC，∠BOE＝∠COD，BO＝CO，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形．(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°.∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，∴CO＝OD.又∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC.∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．6．矩7．解：(1)∵△ABC是等边三角形，且D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°.∵△DAE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°.(2)证明：∵△ABC是等边三角形，F是AB边的中点，∴CF⊥AB.由(1)知∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，∴∠F AE＝90°，∴AE∥CF.∵△ABC是等边三角形，且AD，CF分别是BC，AB边的中线，∴AD＝CF. 又∵AD＝AE，∴CF＝AE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵∠F AE＝90°，∴▱AFCE是矩形．8．证明：∵E是OA的中点，∴OE＝12OA.同理OG＝12OC.∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴OE＝OG.同理OF＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形．∵OE＝12OA，OG＝12OC，∴EG＝OE＋OG＝12AC.同理FH＝12BD.又∵AC＝BD，∴EG＝FH，∴▱EFGH是矩形．9．410．解：(1)证明：如图，∵CE平分∠ACB，∴∠1＝∠2.又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝OC.同理，FO＝OC，∴EO＝FO.(2)∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝12×180°＝90°，∴△ECF为直角三角形．在Rt△ECF中，∵CE＝8，CF＝6，∴EF＝10.∵EO＝FO＝OC，∴OC＝12EF＝5.(3)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO＝FO，O是AC的中点，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴▱AECF是矩形．11．解：(1)当点E与点F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F两动点分别从A，C两点以相同的速度向点C，A运动，∴AE＝CF，∴OE＝OF，∴BD，EF互相平分，∴四边形DEBF是平行四边形．(2)∵四边形DEBF是平行四边形，∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形．∵BD＝12 cm，∴EF＝12 cm，∴OE＝OF＝6 cm.∵AC＝16 cm，∴OA＝OC＝8 cm，∴AE＝2 cm或AE＝14 cm.∵动点的速度都是1 cm/s，∴t＝2 s或t＝14 s.故当运动时间t＝2 s或14 s时，四边形DEBF为矩形．12．证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠ACD.又∵BE＝DE，∴△ABE≌△CDE，∴AE＝CE，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝4，∴m＝6.∵点B在直线y＝12x＋1上，∴n＝4，∴A(2，4)，B(6，4)，∴AB∥CD∥x轴．∵△AEB的面积是2，∴▱ABCD的面积是8.又∵CD＝4，∴▱ABCD的高是2，∴q＝4－2＝2.把q＝2代入直线y＝12x＋1得p＝2，∴点D(2，2)，∴点C(6，2)，∴AD∥BC∥y轴，∴四边形ABCD 是矩形．13．解：(1)平移后的图形是矩形．理由：∵平移后的图形是平行四边形，又这个平行四边形相邻的两边垂直，∴平移后的图形是矩形．(2)证明：∵AD∥BC，∴∠3＝∠GCB.∵∠1＋∠CDB＝90°，∠DBC＋∠CDB＝90°，∴∠1＝∠DBC.∵∠2＝∠DBC＋∠GCB，∴∠2＝∠1＋∠3.。

《矩形的判定》练习及答案

《矩形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形2．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线相等且互相平分D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．14．对于四边形ABCD，给出下列6组条件，①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°；⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是（写一个即可）．6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：；．7．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．10．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE 的面积为．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．故选：C．2．【分析】由矩形的判定与性质分别作出判断，即可得出结论．【解答】解：A、对角线相等的四边形是矩形，不正确；B、对角线互相平分的四边形是矩形，不正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，正确；D、矩形的对角线互相垂直且平分，不正确；故选：C．3．【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．4．【分析】根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．【解答】解：①由∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故①正确；②由∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故②正确；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，故③正确；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；⑤AC＝BD，只有一组对边相等的四边形不一定是矩形，故⑤错误，⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四边形为平行四边形，故⑥错误，∴正确的有4个，故选：D．二．填空题（共4小题）5．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC＝BD．6．【分析】根据平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形）得出平行四边形ABCD，再根据矩形的判定定理推出即可．【解答】解：①②⑥或③④⑥，理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：①②⑥，③④⑥．7．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．8．【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝∴AM＝，故答案为：．三．解答题（共2小题）9．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，……………………………………………………………………1分∵E是AC中点，∴AE＝EC，…………………………………………………………………………2分在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，………………………………………………………………3分∴EF＝DE，………………………………………………………………………4分∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，…………………………………………………5分∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．…………………………………………………………6分（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，…………7分∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，………………………………………………………8分∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．…………………………………………………………………………………10分10．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB?AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，……………………………………………………………………1分∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，……………………………………………………………………2分∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，……………………………………………………………………………3分同理：FO＝CO，∴EO＝FO；……………………………………………………………………………4分（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：……5分由（1）得：EO＝FO，又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形CEAF是平行四边形，……………………………………………………6分∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，……………………………………………………………………………7分∴四边形CEAF是矩形；……………………………………………………………8分（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝5，△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，∵122+52＝132，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴△ABC的面积＝AB?AC＝×12×5＝30，∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；故答案为：24．……………………………………………………………………10分。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》典型题同步练习(含答案)

矩形的性质与判定典型题第1课时矩形的性质1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点)2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点)一、情景导入1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图)3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义．矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形．有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】矩形的四个角都是直角如图，矩形ABCD中，点E在BC 上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为()A．15B．30C．45D．60解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F.∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，∴EF＝BE＝4，∴S△AEC＝12AC·EF＝12×15×4＝30.故选B.方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件．【类型二】矩形的对角线相等如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是()A．2B．4C．23D．43解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝12AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC 的长．∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝12AC，OD＝OB＝12BD，∴OA＝OD.∵∠AOD＝60°，∴△AOD为等边三角形，∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4.故选B.方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题．探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．解：连接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵点G是BC的中点，∴EG＝12BC，DG＝12BC.∴EG＝DG.又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE.方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．探究点三：矩形的性质的应用【类型一】利用矩形的性质求有关线段的长度如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD ＝AE，再根据矩形的周长为32列方程求出AE的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED＋∠ECD＝90°.又∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠CED＝90°，∴∠AEF＝∠ECD.而EF＝EC，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.设AE＝x cm，∴CD＝x cm，AD＝(x＋4)cm，则有x＋4＋x＝16，解得x＝6.即AE的长为6cm.方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题．【类型二】利用矩形的性质求有关角度的大小如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD 于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数．解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB ＝90°，AO＝12AC，BO＝12BD，AC＝BD，∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，∴∠OAB＝∠ABE＝67.5°∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°.方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据．【类型三】利用矩形的性质求图形的面积如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A.15B.14C.13D.310解析：由四边形ABCD为矩形，易证得△BEO≌△DFO，则阴影部分的面积等于△AOB的面积，而△AOB的面积为矩形ABCD面积的14，故阴影部分的面积为矩形面积的14.故选B.方法总结：求阴影部分的面积时，当阴影部分不规则或比较分散时，通常运用割补法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其面积．【类型四】矩形中的折叠问题如图，将矩形ABCD沿着直线BD 折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．解析：这是一道折叠问题，折后的图形与原图形全等，从而得知△BCD≌△BC′D，则易得BE＝DE.在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求出BE的长，即可求得△BED 的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.又由折叠知△BC′D≌△BCD，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴BE＝DE.设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5，即DE＝5.∴S△BED＝12DE·AB＝12×5×4＝10.方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析．三、板书设计矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形\a\vs4\al\co1(四个角都是直角两组对边分别平行且相等对角线互相平分且相等))经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形的概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．培养学生的推理能力以及自主合作精神，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值.第2课时矩形的判定1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)一、情景导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！二、合作探究探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形如图所示，外面的四边形ABCD 是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA ＝OB＝OC＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OM＝OP＝ON＝OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵OM＋ON＝OQ＋OP，∴MN＝PQ.∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形如图，GE∥HF，直线AB与GE 交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB 的平分线，求证：四边形ADBC是矩形．解析：利用已知条件，证明四边形ADBC 有三个角是直角．证明：∵GE∥HF，∴∠GAB＋∠ABH＝180°.∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，∴∠1＝12∠GAB，∠4＝12∠ABH，∴∠1＋∠4＝12(∠GAB＋∠ABH)＝12×180°＝90°，∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.同理可得∠ACB＝90°.又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，∠4＝12∠ABH，∠2＝12∠FBA，∴∠2＋∠4＝12(∠ABH＋∠FBA)＝12×180°＝90°，即∠DBC＝90°.∴四边形ADBC是矩形．方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图所示，在△ABC中，D为BC 边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC 的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB ＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC.解：(1)BD＝CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∠AFE＝∠DCE，∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD＝DC；(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∴AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．三、板书设计矩形的判定对角线相等的平行四边形是矩形三个角是直角的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.。

【北师大版】数学九(上).2矩形的判定同步练习本(课件版)

课程标准
第一章特殊平行四边形
第4课矩形的判定
目录
温故知新新课学习重难易错三级检测
温故知新
1. 想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较.
平行四边形
矩形
边角对角线
_对__边__平__行__且__相__等__ 对__边__平__行__且__相_ = 1∠CBF.
2
∴∠DBC + ∠CBE = 1（∠ABC + ∠CBF）.
2
∵∠DBC + ∠CBE = ∠DBE，∠ABC + ∠CBF = 180°， ∴∠DBE = 1 × 180° = 90°.
2
∵CE ⊥ BE，∴∠E = 90°. ∴∠BDC = ∠DBE = ∠E = 90°. ∴四边形 BDCE 是矩形.
（1）解:当 E，F 不与 O 点重合时，四边形 DEBF 是平行四边形. 理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. ∵AE = CF，∴OE = OF. ∴四边形 DEBF 是平行四边形.
（2）解:∵四边形 DEBF 是平行四边形， ∴当 BD = EF 时，四边形 DEBF 是矩形. ∵BD = 12 cm，∴EF = 12 cm. ∴OE = OF = 6 cm. ∵AC = 16 cm，∴OA = OC= 8 cm. ∴ AE = 2 cm 或 AE = 14 cm. ∵动点的速度都是 1 cm/s， ∴t = 2 s 或 t = 14 s. 故当运动时间 t = 2 s 或 14 s 时，以 D，E，B，F 四点为顶点的四边形是矩形.
14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O.

矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判定一．填空题1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt △DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=，故答案为：．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin ∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。

四边形学案06-矩形的判定同步练习04

矩形的判定-【重难点突破练】-八年级数学下学期同步训练(人教版)(解析版)

矩形的性质与判定习题及答案

数学八年级下华东师大版20.2 矩形的判定 同步练习

九年级数学 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定同步练习 苏科版

湘教版八年级下册数学2.5.2矩形的判定同步练习

北师大版九年级数学上同步练习：矩形的判定 (含答案)

矩形的性质和判定同步练习及答案

2.5.2矩形的判定同步练习(答案版)

矩形的判定(分层作业)-八年级数学下册(人教版)(解析版)

人教八年级下册数学_矩形的判定同步练习

人教八年级下册数学_.矩形的判定同步练习

华东师大版八年级下册1912矩形的判定同步练习含答案

2021年湘教版数学八年级下册2.5.2《矩形的判定》同步练习(含答案)

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》第2课时 矩形的判定 同步练习(含答案)

《矩形的判定》练习及答案

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》典型题同步练习(含答案)

【北师大版】数学九(上).2矩形的判定同步练习本(课件版)

矩形的性质和判定同步练习及答案

数学八年级下华东师大版20.2 矩形的判定同步练习

九年级数学平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定同步练习苏科版

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》第2课时矩形的判定同步练习(含答案)