初中奥数讲义_二次根式的化简求值附答案
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）【例1】 化简（1(ba b ab b -÷--（2（3（4解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例2】 比6大的最小整数是多少？解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==想一想：设x =求432326218237515x x x x x x x --++-++的值.的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例3】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4】 （1的最小值.（2的最小值.解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例5】 设2)m a =≤≤，求1098747m m mm m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.若满足0＜x＜y=x，y）是_______2.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞03）A．1B C. D. 54、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、化简：（1（2（3（4（56、设x =(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值.77x =，求x 的值.B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.2.已知42______1x x x ==++2x 那么.3.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.4. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 85． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b6.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 7. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 48． 把(1)a - ）A .B C. D .9、化简：（110099+（2（310、设01,x << 1≤<.12、已知a, b, c为有理数，证明：222a b ca b c++++为整数.参考答案例1 (1)⎤(2)+5．(3)3-；（4-++＝-．例2 x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵01，从而0＜6＜1，故10 581＜6＜10 582．例 3 x＝－y…①；同理，y＝x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例4 (1)构造如图所示图形，P A PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B13为所求代数式的最小值．(2)设yA(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝例 5 m＝＋＝．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级1．(17，833)，(68，612)，( 153，420) 2．B 3．C4．A 5．(1)()2x yx y+-(2)22-(4) 6．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．7．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．B级1．642．9553．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．4．B提示：由条件得a＋3＋a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．5．B提示：a－b－11＝0．同理c－a＞0 6．B 7．B 8．D提示：注意隐含条件a－1＜0．9．(1)910提示：考虑一般情形＝－(2)原式＝8153+＝2+(3)210．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CPAP，AC，AM AC≤PC＋P A＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋11．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝12b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2cba++－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．。
中考数学专题 二次根式的化简与求值_答案
6
6
＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵0＜ 6 5 ＜1，从而 0＜ 6 5 ＜1，故 10 581＜ 6 5
＜10 582． 例 4 x＋ x2 1 ＝
1
＝ y2 1 －y…①；同理，y＋ y2 1 ＝
1
＝
y y2 1
x x2 1
x2 1 －x…②．由①＋②得 2x＝－2y，x＋y＝0． 例 5 (1)构造如图所示
≤ a 1 ≤1，∴－1≤ a 1 －1≤0，∴m＝2．设 S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－ 47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①， 得 S＝211－2－94＋47＝1 999． A 级 1．1 2． 5 2 3．0 提示：令 1997 ＝a， 1999 ＝b， 2001 ＝c． 4． (17，833)，
＝
3
1
＝ 6 2；
6 3 3 2
6 3 3 2
5 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 2
（4）原式＝
＝3 3 2 ．
5 2 3 1
例 3 x＋y＝2 6 ，xy＝1，于是 x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝42 6 ，x6
1 1 x2 ＜ 1 ＋ 2 12 ． 设 y ＝ x2 8x 41 － x2 4x 13 ＝
x 42 52 － x 22 32 ，设 A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求 AB
的解析式为 y＝x＋1，易证当 C 在直线 AB 上时，y 有最大值，即当 y＝0，
x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝ 2 2 ． 13． 3a b ＝ 3a b
(68，612)，( 153，420)
初中数学二次根式(讲义及答案)含答案
一、选择题1．下列计算正确的为（ ）． A ．2(5)5-=- B ．257+=C ．64322+=+D ．3622=2．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >B ．3x ≥C ．3x ≤D ．x 是非负数 3．下列计算正确的是（ ）A ．235+=B ．422-=C ．8＝42D ．236⨯=4．已知：x ＝3+1，y ＝3﹣1，求x 2﹣y 2的值（ ） A ．1B ．2C ．3D ．435．下列运算中，正确的是( ) A ．325+=B ．321-=C ．326⨯=D ．3322÷=6．下列各式中正确的是（ ） A ．36＝±6B ．2(2)2--=-C ．8＝4D ．2(7)-＝77．设a 为3535+--的小数部分，b 为633633+--的小数部分，则21b a-的值为（ ） A ．621+- B ．621-+ C ．621-- D ．621++8．当4x =时，22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．39．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定 10．下列各式计算正确的是（ ） A 235+=B ．236=（）C 824=D 236=二、填空题11．已知112a b +=，求535a ab ba ab b++=-+_____． 12．已知实数,x y 满足(22200820082008x x y y --=，则2232332007x y x y -+--的值为______.13．732x y -=-，则2x ﹣18y 2＝_____．14．若a ，b ，c 是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．15．当x x 2﹣4x +2017=________．16．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．17．÷=________________ .18．已知：可用含x =_____．19．已知，n=1的值________．20．mn ＝________．三、解答题21．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：1S =同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：2S =2a b cp ++=（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积．（2）请证明：12S S【答案】（12） 证明见解析 【分析】（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出2212S S =，即可得出12S S ．【详解】解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：4S == （2）222222211[()]24a b a S c b +-=-=222222)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(21)4c a c a b b +⋅---⋅ =()(1()()16)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---∵2a b cp ++=， ∴22()(2)(222)S a a b c a b c a b c a b cb c +++++++-+=-- =2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅=1()()()()16a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =∵10S >，20S >， ∴12S S ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．22．计算：（1﹣（2） （3）244x -﹣12x -．【答案】（1）2（3）-12x + 【解析】分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.详解：（1（2）（3）24142x x --- =41(2)(2)2x x x -+--= 42(2)(2)(2)(2)x x x x x +-+-+-=2(2)(2)xx x -+-=12x -+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.23．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤188x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，∴原式532-==1 222.【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x、y，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．24．【分析】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【详解】．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，在进行此类运算时，先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．25．计算（1+（2+-（3÷（4）(【答案】（1）234）7．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）利用平方差公式计算；【详解】（1+=+22=；（2==；÷（3）2b=2b=；4（4）((22=-=7【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．26．观察下列各式：11111=+-=122111=+-=11236111=+-=113412请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．27．在一个边长为（cm 的正方形的内部挖去一个长为（）cm ，cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】 【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（）=（）﹣（﹣）=（cm 2）． 考点：二次根式的应用28．计算：（1）-（2）【答案】（1）21 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可． 【详解】解：（1）原式==（2）原式3+21==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可． 【详解】A 5=，故A 选项错误；B B 选项错误；C ．++=222，故C 选项错误；D 2=，正确， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．2．B解析：B 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】有意义的x 的取值范围是：x ≥3． 故选：B ． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．3．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：AB 2=，故此选项不合题意；C ，故此选项不合题意；D =故选：D ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．D解析：D 【分析】先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】∵1,1x y ==，∴11112x y x y +==-=-=，则22()()2x y x y y x -=+-== 故选：D ． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．5．C解析：C 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果． 【详解】不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；=D=，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键．6．D解析：D【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：A，故A错误；B12=，故B错误；C=C错误；D、2(=7，故D正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．7．B解析：B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a，∴b，∴21b a -， 故选：B ．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．8．A解析：A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式2223232323x x x x112323x x 将4x =代入得， 原式11423423 22111313113113 13331131=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．9．B解析：B【解析】因=，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据二次根式的运算法则一一判断即可．【详解】A23B、错误，22312=（）；C8222232==D23236=⨯=故选：D．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型．二、填空题11．13【解析】【分析】由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.【详解】解：∵∴a+b=2ab∴故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找解析：13【解析】【分析】由112a b+=得a+b=2ab，然后再变形535a ab ba ab b++-+，最后代入求解即可.【详解】解：∵112 a b+=∴a+b=2ab∴()5353510ab3===132aba b aba ab b aba ab b a b ab ab+++++-++--故答案为13.【点睛】本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 12．1【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 13．【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣解析：22【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】一定有意义，∴x≥11，|7﹣x＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，＝3y，∴x﹣11＝9y2，则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．14．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．15．2016【解析】把所求的式子化成（x ﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x ﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．解析：2016【解析】把所求的式子化成（x ﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x 2﹣4x+2017=（x ﹣2）2+2013 =2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因.16．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m 即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m即可．【详解】，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，，=，整理得，-6b=5ma-5mb，∴（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．17．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷=()()2232===--，故答案为18．【解析】∵=，∴=== -==﹣x3+x ，故答案为：﹣x3+x. 解析：211166x x -+ 【解析】∵x =-==123=146+= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=311166-+=﹣16x 3+116x ， 故答案为：﹣16x 3+116x. 19．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====． 故答案是：．【解析】根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得．20．21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴ ，解得，，∴故答案为21.解析：21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴7321. mn=⨯=故答案为21.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
专题16.1 二次根式的化简求值(压轴题专项讲练)(解析版)-八年级数学下册
专题16.1二次根式的化简求值整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
一、二次根式的定义形如（≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.二、二次根式有意义的条件1.二次根式中的被开方数是非负数；2.二次根式具有非负性：≥0.三、判断二次根式有意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．四、二次根式的性质性质1：2=（≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；性质2：2==（≥0）−（<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.五、同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：∙=∙o≥0,≥0)；②积的算术平方根：∙=∙o≥0,≥0)；≥0,>0)；=≥0,>0).八、最简二次根式我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．九、分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式；2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．【典例1】阅读下列材料，然后回答问题．====3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=-3，求2+2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则2+2=(+p2−2B=2−2=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．（1（2）m是正整数，a b22+1823B+22=2019．求m．（3）已知15+2−26−2=1，求15+2+26−2的值．（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出+=2(2+1),B=1再由22+1823B+22=2019进行变形再求值即可；（3）先得到15+2⋅26−2=20，然后可得(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，最后由15+2≥0,26−2≥0，求出结果．解：（1）原式=2+++⋯+2=3−1+5−3+7−5+⋯+2019−20172=（2）∵a b∴+==2(2+1),B=1，∵22+1823B+22=2019，∴2(2+2)+1823=2019，∴2+2=98，∴4(2+1)2=100，∴2=±5−1，∵m是正整数，∴m=2．（3）由15+2−26−2=1得出(15+2−26−2)2=1，∴15+2⋅26−2=20，∵(15+2+26−2)2=(15+2−26−2)2+415+2⋅26−2=81，又∵15+2≥0,26−2≥0，∴15+2+26−2=9．1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知=2−3,=2+3，则代数式2+2B+2+−−4的值为（）A B．34C．3−1D【思路点拨】根据已知，得到+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，整体思想带入求值即可．【解题过程】解：∵=2−3,=2+3，∴+=2−3+2+3=22,−=2−3−2−3=−23，∴2+2B+2+−−4=+2+−−4=222−23−4=8−23−4=4−23=32−23+1=3−12=3−1．故选C．2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知+1=7(0<<1)，则−）【思路点拨】，故＜，将−由0<<1，得0＜＜1【解题过程】解：∵0<<1，∴0＜＜1，∴＜2=−2+1，+1=7(0<<1)，∵(−∴(−∴=-5或−=5，∵＜0，∴∴故选B．3．（2023·浙江宁波·校考一模）若2+2=1，则2−4+4+B−3+−3的值为（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】先根据2+2=1得出−1≤≤1，−1≤≤1，根据2−4+4+B−3+−3要有意义，得出+ 1−3≥0，根据−3<0得出+1≤0，从而得出J−1，将J−1代入即可求出式子的值．【解题过程】解：∵2+2=1，∴−1≤≤1，−1≤≤1，∵2−4+4+B−3+−3要有意义，∴B−3+−3≥0，整理得：+1−3≥0，∵−3<0，∴+1≤0，∴J−1，∴2−4+4+B−3+−3=−22++1−3=−1−22+−1+1−3=3+0=3，故D正确．故选：D．4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知xx6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020的值为（）A．0B．1C．2019D．2020【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵=2020−=2020+2019，∴6−220195−4+3−220202+2−2020，=5−22019−4+2−22020+2−2020，=52020+2019−22019−4+22020+2019−22020+2−2020，=52020−2019−4+22019−2020+2−2020，=42020−2019−1+22019−2020+2−2020，=2020+20192019−2020+2−2020=−+2−2020，=−2020，=2019，故选：C．5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−33的小数部分，则2b−1的值为（）A．6+2−1B．6−2+1C．6−2−1 D．6+2+1【思路点拨】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【解题过程】解：3+5−3−5-=5+15-1=2∴a的小数部分为2-1，6+336−33−=3+33-3=6∴b的小数部分为6-2，∴2b−1=6+2-2-1=6-2+1，故选：B．6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设1=1+112+122，2=1+122+132，3=1+132+142，……，=1+ 12+1(r1)2．其中n为正整数，则1+2+3+⋅⋅⋅+2021的值是（）A．202020192020B．202020202021C．202120202021D．202120212022【思路点拨】根据题意，先求出=1+1or1)，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．【解题过程】解：∵n为正整数，∴＝2+r1or1)＝1+1or1)；∴1+2+3+⋯+2021＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4）+…+（1+12021×2022）＝2021+1﹣12+12−13+13−14+⋯+12021−12022＝2021+1﹣12022＝202120212022．故选：D．7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果=5−2，则1=．【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得1，从而可得1−>0，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得．【解题过程】解：∵=5−2，∴1=5−2=5−2=5+2，∴1−55−2∴1=1+=1+−=5+2+4=5+6．故答案为：5+6．8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知==42−3B+42=．【思路点拨】先把和的值分母有理化得到==−=−12，B=1，再利用完全平方公式变形原式得到4(−p2+5B，然后利用整体代入的方法计算．【解题过程】解：∵==∴====∴−=−12，B=1，∴原式=4(−p2+5B=4×(−12)2+5×1=6．故答案为6．9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知=2的值等于．【思路点拨】通过完全平方公式求出+1=2，把待求式的被开方数都用+1的代数式表示，然后再进行计算．【解题过程】=2，解：∵+∴=4，∴+1+2=4∴+12===10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，+−7−7+ 7B=7，求+=．【思路点拨】将等式进行因式分解，得到++7B−7=0，求得B=7，即可求解．【解题过程】解：∵+−7−7+7B=7，∴+−7−7+7B−7=0，∴B+−7++7B−7=0，∴+B−7+7B−7=0，∴++7B−7=0，∵++7>0，∴B−7=0，∴B=7，又x，y为正整数，则s=1,7或7,1，从而+=8，故答案为：8．11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设=3−2，则6+35+113+2+1=．【思路点拨】利用+22=2+4+4和=3−2，推得2+4+1=0，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解．【解题过程】解：∵=3−2，∴+22=3−2+22=3，又∵+22=2+4+4，即2+4+4=3，整理得2+4+1=0，6+35+113+2+1=42+4+1+35+113+2+1−45−4=−5−4+113+2+1=−32+4+1−4+113+2+1+44+3=34+123+2+1=322+4+1+2+1−32=−32+2+1=−32+4+1+2+1+12+3=14+4，将=3−2代入原式可得14×3−2+4=143−24．故答案为：143−24．12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知=则代数式23−32−7+2022的值为．【思路点拨】将已知条件=2−3=−1，再将所求代数式变形为23−62+32−7+2022，由此即可求解．【解题过程】解：已知=∴2=3+5，即2−3=5，等式两边同时平方得，2−32=52，整理得，42−12+9=5，即42−12=−4，∴2−3=−1，∵23−32−7+2022=2o2−3p+32−7+20022把2−3=−1代入得，=2×−1+32−7+2022=32−2−7+2022=32−9+2022=3(2−3p+2022把2−3=−1代入得，=3×−1+2022=2019，故答案为：2019．13．（2022上·上海闵行·=3,=13.【思路点拨】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解题过程】解：原式=K=+++=2+2当=3,=13时，原式=23+=23+=14．（2023·北京·九年级专题练习）已知==，求2+2的值．【思路点拨】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【解题过程】解：∵==5−26，===5+26，∴原式=(5+2(5−26)=2620626206=26)(49206)6)(49206)6)(492026)(49206)=245−1006−986+240+245+1006+986+240=970．15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知+=−8，B=12，求+【思路点拨】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．【解题过程】解：∵+=−8，B=12，∴a和b均为负数，2+2−2B=40=B+B=2B2B=2+2B=−−==2=−4012=−401212=−40×2312=−203316．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知−2B−15=0【思路点拨】讨论：当>0，>0，利用因式分解的方法得到−5+3=0，解得=25，当I0，<0，则−−+5−−−3−=0，解得=9，然后把=25，=9化简求解．【解题过程】解：∵−2B−15=0要有意义，即B≥0，∴>0且>0或I0且<0，当>0且>0时，∵−2B−15=−5+3=0，∴−5=0或+3=0（舍去），解得：=25，把=25=25r5r225K10r=2；当I0且<0时，∵−2B−15=−−+5−−−3−=0，∴−r5−=0（舍去）或−−3−=0，解得：=9，把=9==9K3r29r6r=12．17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知==（2【思路点拨】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．【解题过程】（1）∵=10−3=10+3，=10−3，=∴+=210，−=6，∴2+2B+2=(+p2=(210)2=40．（2）∵=10+3，=10−3，∴1∴o−2)=−2o−2)−+1o+1)=1−1=1010=10−3−10−3=−6．18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知=2−3，=2+3．（1）求+和B的值；（2）求2+2−3B的值；（3）若的小数部分是，的整数部分是，求B−B的值．【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）代入=2−3，=2+3即可求出+和B的值；（2）将原式变形为+2−5B，代入数值进行计算即可；（3）先估算出1<3<2，从而得出=2−3，=3，再代入进行计算即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵=2−3，=2+3，∴+=2−3+2+3=4，B=2−32+3=4−3=1；（2）解：由（1）得：+=4，B=1，∴2+2−3B=+2−5B=42−5×1=11（3）解：∵1<3<4，∴1<3<4，即1<3<2，∴−2<−3<−1，∴0<2−3<1，∵的小数部分是，∴=2−3，∵3<2+3<4，的整数部分是，∴=3，∴B−B=2−32−3−32+3=4−43+3−6−33=1−73．19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将±2化简，如果你能找到两个数m、n，使2+2=且B =，±2将变成2+2±2B ，即变成(±p 2，从而使±2得以化简．（1）例如，∵5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2，∴5+26=(3+2)2=______，请完成填空．（2）仿照上面的例子，请化简4−23；（3）利用上面的方法，设=6+42，=3−5，求A ＋B 的值．【思路点拨】（1）根据二次根式的性质：2==o >0)0(=0)−o <0)，即可得出相应结果．（2）根据（1）中“5+26=3+2+26=(3)2+(2)2+22×3=(3+2)2”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．（3）根据题意，首先把A 式和B 式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A 式和B 式的结果分别算出，最后把A 式和B 式再代入A ＋B 中，求出A ＋B 的值．【解题过程】（1）∵5+26=2+3+26=22+32+2×2×3=2+32∴5+26=(3+2)2=3+2故答案为：3+2（2）∵4−23=3+1−23=32+1−23=3−12∴4−23=(3−1)2=3−1．（3）∵=6+42=4+2+42=42+22+2×4×2=(2+2)2∴=6+42=2+2∵=3−5=∴=3−5====∴把A 式和B 式的值代入A ＋B 中，得：+=2+2=2+2220．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将+、−称为一对“对偶式”，因为+−=(p2−(p2=−，所以构造“和−====3+22.像这中的“”样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：“>”、“<”或“=”填空)；（1（2）已知==，求K2rB2的值；+…+（3【思路点拨】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解；（2）先求得−s B的值，然后代入即可求解；（3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解．【解题过程】（17−2=7−2===∵7>6,2>3−137−6+2−3>0,>故答案为：>．（2）∵==5+45+4=9+45，==5+2=5−45+4=9−45，∴+=9+45+9−45=18，−=9+45+−9+45=85，B=9+45945−80=1，∴K 2rB2+⋯+（3=3)2(53−35)35)(5−3979799⋯+2(99979799)(99979799)(9997−97=1−33+33−55+55−77+⋯+9797−9999=1−9999=1−。
初中数学竞赛奥数培优资料第三辑专题01 二次根式的化简与求值
专题01二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子.2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=（其中x ,y ,n 都是正整数），则都是同类二次根式，为什么？例题与求解【例1】当12x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（）A 、0B 、－1C 、1D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】化简（1a b÷-（黄冈市中考试题）（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】设实数x ，y 满足(1x y +=，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】（1+的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++- 的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A 级1.化简：7(3（“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y +=-=，则xy ＝_____(北京市竞赛试题)3.计算：（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x ＜y=的不同整数对（x ，y ）是_______（上海市竞赛试题）2x －3，则x 的取值范围是（）A.x ≤1B .x ≥2C .1≤x ≤2D .x ＞06的值为（）A．1B.C.D.5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B.2000 C.2001D.不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设3352x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的值为1985？B级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.(四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足(2008x y -=，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知424,______31x x x -==++2x 那么.（重庆市竞赛试题）4.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.（全国初中数学联赛试题）5.a ，b 为有理数，且满足等式a +=则a ＋b ＝（）A .2B .4C .6D .8(全国初中数学联赛试题)6．已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（）.A a b c<<B .b ＜a ＜cC .c ＜b ＜cD .c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=）A .1a a-B .1a a-C .1a a+D .不能确定8.若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（）A .1B .2C .3D .4（陕西省竞赛试题）9．把(1)a -）A .B C.D .（武汉市调考题）10、化简：（1（“希望杯”邀请赛试题）（2++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4（太原市竞赛试题）11、设01,x <<求证1≤+（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a,b,c222a b ca b c++++为整数.专题01二次根式的化简与求值例1A提示：由条件得4x2－4x－2001＝0．例2(1)⎡⎤(2)-2－5．(3)3+-；（4++-．例3x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582．∵0-1，从而0＜6-＜1，故10581＜6＜10582．例4x＋－y…①；同理，y＝－x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例5(1)构造如图所示图形，PA＝，PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B＝＝13为所求代数式的最小值．(2)设y＝＋，设A(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝＝2．例6m＝＋＝＋．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1999．A级1．123．0提示：令＝a＝b＝c．4．(17，833)，(68，612)，(153，420)5．B6．C7．B8．A9．(1)()2x yx y+-(2)原式＝＝22-+(4)10．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．11．由题设知x＞0，(＋－)＝14x．∴－＝2，∴＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．12．n＝2提示：xy＝1，x ＋y＝4n＋2．B级1．642．1提示：仿例4，由条件得x＝y，∴(x)2＝2008，∴x2－2008－＝0，－x)＝0，解得x2＝2008．∴原式＝x2－2007＝1．3．955 4．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．5．B提示：由条件得a＋3＋，∴a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．6．B提示：a－b－1＞－10．同理c－a ＞07．B8．B9．D提示：注意隐含条件a－1＜0．10．(1)1998999.5提示：设k ＝2000，原式＝212k k--．(2)910提示：(3)8+-＝2+-＝．(4)2－11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CP，AP＝，AC＝，AM＝，∴AC≤PC＋PA＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋12．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝13b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2－ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2c+－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．ba+。
第三节 二次根式的化简求值(含答案)...八年级数学 学而思
第三节 二次根式的化简求值1.二次根式的化简求值给出一定的条件求二次根式的值，一般要先将二次根式化简，再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰， 2.非负数的和为零若,0||2=++c b a 则.0===c b a1.有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点问题 这类问题包含了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化 等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等 重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形． 2.二次根式的化简求值常见方法(1)约分法：对“分式型”代数式，分子分母都是多项式时，有时可以先分 别因式分解，通过约分达到化简目的．(2)裂项法：对于一些连续相加的分式型二次根式，如果拆项后能互相抵消， 则可用此法．(3)取倒法：如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解，常常 可先取倒再用第二种方法解决 (4)配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在,0,0>>y x使得2,2x b m xy =,2a y =+则可把被开方数写成完全平方式，达到化简目的，写成式子为=+b m a =+2)(y x .y x +在使用此法时，一般先拆开m 瓶成2ry 的形式，再检查平方项．(5)公式法：对于,b a +若,0,0>>b a 且存在,0>k 使得,22k b a =-则=+b a ,22ka k a -±+ 这可以利用算术平方根的定义进行证明．(6)平方法：对于被开方数为和差型的复合二次之和（差），常以退为进，先求出它的平方．(7)方程法：对于一些带……号的无限循环式的化简，通常可设原式值为,x 设法建立一个关于x 的方程求解． (8)换元法：当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律，例1．设,17-=a 则代数式1022-+a a 的值为( )3.-A4.-B x C -. 174.+-D检测1.(1)若,13,13-=+=y x 则=-22y x ( )34.A 32.B 0.C 2.D(2)已知,13,13-=+=y x 则2232y xy x +-的值为( )632.-A 632.+B 0.C 232.+D例2．当,3)32)(23(2+-+=a 求代数式22)1111(2-÷+--a aa a 的值．检测2．先化简下列代数式，再求值：,3)323(2-÷---x xx x x x 其中.17+=x 例3．已知：,12-=a 求1211214422+--+-÷-+-a a a a a a a 的值，检测3． 已知,32-=x 则xx x x x x x -+---+-2212121的值为 例4．已知c b a ,,为△ABC 的三边长，满足=++2)(c b a ),(3bc ac ab ++试说明△ABC 是等边三角形．检测4.若三角形的三边分别是,,,c b a 且+--+-1)52(2b a a ,0|4|=-c 则这个三角形的周长是( )552.+A 3.-x B 554.+C 3.+x D例5．若b a ,都是实数，且,211441+-+-=a a b 试求22-+-++baa b b a a b 的值，检测5.已知,2021120192020=+-+x x 那么20192020+++x x 的值是 例6．化简⋅--+-1015142157检测6．化简N+--+26302352的结果是第三节 二次根式的化简求值(建议用时:30分钟)实战演练1.已知,52-=x 则代数式2)4(+x 的值为( )223.-A 222.+B 21.-C 223.+D2．（湖南祁阳模拟）已知,6232=-m m 那么532332+-m m 的值为( ) 11.A 12.B 13.C 14.D3．若,21,21-=+=b a 则代数式ab b a 3-+的值为( )3.A 3.±B 5.C 9.D4．已知,71=+a a 则=-aa 13.A 3.-B 3.±C 11.±D5．（湖北鄂城模拟）如果一个三角形的三边长分别为.4,,1k 则化简3612|52|+---k k k h 的结果是( )113.-k A 1.+k B 1.C k D 311.-6．（四川蓬溪模拟）已知,32,32-=-+=-c b b a 则ac bc ab c b a ---++222的值为( )310.A 312.B 10.C 15.D7．已知,1,2=-=+ab b a 则化简求abb a +的值是( ) 2.-A 2.B 1.-C 1.D8.（河南濮阳自主招生）若,02522<+-x x 则|2|21442-++-x x x 等于( )54.-x A 3.-B 3.C x D 45.-9．已知22416a 22=---a 则2416a 22-+-a 的值是( )10.A 16.B 4.C 6.D10．当13-=m 时，代数式222-+m m 的值是11．已知,31,13-=+=b a 则)2(222a b ab a a b a --÷-的值为12.已知,3232,3232+-=-+=y x 则22232y xy x +-的值为 13.（广东模拟）先化简，再求值：),1()111(--÷-+a aa a 其中.22+=a 14.已知,)23(1)23(20202019+=⋅-x 求x 的值．15.先化简，再求值：已知,32+=m 求2221211m m m m m m -+--+-的值． 16.阅读下面的文字后，回答问题：甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：,9612a a a +-+其中,5=a 甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：;92131)31(96122-=-=-+=-+=+-+a a a a a a a a 乙的解答是：.191413)31(9612=-=-+=-+=+-+a a a a a a a a (1)的解答是错误的；(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：(3)模仿上题解答：化简并求值：,1681|1|2a a a +-+-其中.2=a17.著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列）． 这个数列的第n 个数为n nn （])251()251[(51--+⨯为正整数）， 例如这个数列的第8个数可以表示为⋅--+⨯])251()251[(5188根据以上材料，写出并计算：(1)这个数列的第1个数； (2)这个数列的第2个数．18．小明在解方程2824=---x x 时采用了下面的方法：由=-+----)824)(824(x x x x ,16)8()24()8()24(22=---=---x x x x又有,2824=---x x 可得+-x 24,88=-x将这两式相加减可得,385-24⎪⎩⎪⎨⎧=-=x x 将524=-x 两边平方可解得,1-=x 经检验1-=x 是原方程的解， 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)方程161042=+++x x 的解是(2)解方程x x x x x 452456422=--+-+拓展创新19.设a 为5小数部分，b 为3小数部分，求ab 12-的值为 拓展1．已知m 是2的小数部分，求2122-+m m 的值． 拓展2．已知m 是√2 的小数部分，求2122++mm 的值， 拓展3．（河北邯郸校级自主招生）设a 为5353--+的小数部分，b 为-+336336-的小数部分．则ab 12-的值为( ) 126.-+A 126.+-B 126.--C 126.++D极限挑战20.（第十届初二“希望杯”）已知c b a ,,都为正数，且,111,c b a x c b a ++==/=/bc ab y 11+=ac1+ 则x 与y 的大小关系为( )y x A >. y x B <. y x C =. D ．随c b a ,,的取值变化而定答案。
奥数2讲二次根式的化简与求值
第2讲 二次根式的化简与求值【考点研读备考指导】1.会灵活运用二次根式的运算性质化简求值；2.会进行二次根式的有理化计算，会整体带入求值及变形求值；3.会化简复合二次根式,会在根式范围类分解因式。
【真题透视 归类剖析】例1.(河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)已知21=+xx ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 ．【解法指导】平方或利用分式性质，把已知条件变形为x 2+1=2x 。
再利用整体代入法降次。
解∶两边平方得，xx 1++2=4，xx 1+=2，两边同乘以x 得，x 2+1=2x,∴x 2+3x+1=5x, x 2+9x+1=11x.∴原式=11151-= 55－1111 。
【变式题组】1．若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ． 2.．设a ax -=1，则24x x +的值为( )A ．a a 1-B ．a a-1 C ．a a 1+ D ．不能确定例2 (全国初中数学联赛题)满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( )A ．1B ．2C ． 3D ． 4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解． 解:可化为xy （x +y ） －2003（x +y ）+2003（xy －2003）=0,∴（xy －2003）（x +y +2003）=0，∵x +y +2003＞0.∴xy －2003=0，则xy =2003,且2003是质数，∴正整数对(x ，y)的个数有2对。
应选B. 【变式题组】3.若a >0，b>0， 且)2(3)4(b a b b a a +=+，求abb a ab b a +-++32的值．例3 (四川省中考题) 已知：aa x 1+= (0<a <1)，求代数式xx x xx x xx x x x x 42422362222----+---+÷-+的值．【解法指导】 视x x x 4,22--为整体，把aa x 1+=平方，移项用含a 代数式表示x x x 4,22--，注意0<a<1的制约． 解∶平方得，x=a a 1++2,∴x-2=aa 1+.x 2－4x ＋4=a 2＋1a 2 ＋2, x 2－4x =a 2＋1a 2 －2,∴化简原式=【变式题组】4.(武汉市中考题)已知123123++=++x x ，则)225(423---÷--x x x x 的值．5.(五羊杯竞赛)已知1m =1n =且()()227143678m m a n n -+--=.则a 的值等于( ).A.－5;B.5;C.－9;D.9.例4（2007全国竞赛）如图, 点A ，C都在函数0)y x =>的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．【解法指导】解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE，CF，所以，点A ，C 的坐标为（a），（2a ＋b），所以2(2)a a b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为（，0）．【变式题组】6.（09邵阳）阅读下列材料，然后回答问题。
第6讲 二次根式的混合运算与化简求值(解析版)
第06讲二次根式的混合运算与化简求值一．解答题1．（2023秋•新蔡县期中）计算：；【分析】（1）先计算二次根式的除法，再算减法，即可解答；【解答】解：（1）＝3﹣2+＝3﹣2+2＝3；2．（2023秋•和平区校级期中）计算：（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|；（2）÷﹣×+．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）（）﹣1+（1﹣）0+|﹣2|＝2+1+2﹣＝5﹣；（2）÷﹣×+＝﹣+4＝﹣+4＝4﹣2+4＝2+4．3．（2023秋•金塔县期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；（2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后利用乘法分配律进行计算即可；（3）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；（4）先根据二次根式的除法法则进行计算，再把二次根式化成最简二次根式，进行合并即可；【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝9+1＝10；（3）原式＝＝＝；（4）原式＝＝＝4．（2023秋•太原期中）计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先化简，然后合并同二次根式即可；（2）先算乘法，再化简即可；（3）根据完全平方公式将式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可；（4）先化简，然后合并同二次根式即可．【解答】解：（1）＝3﹣5+4＝2；（2）＝＝＝；（3）＝20﹣4+1+4＝21；（4）＝﹣3+5＝．5．（2023秋•郓城县期中）计算：（1）﹣+；（2）|﹣1|+﹣；（3）+×﹣|2﹣|；（4）﹣（+1）2﹣（+3）×（﹣3）．【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（4）利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．【解答】解：（1）﹣+＝3﹣2+＝2；（2）|﹣1|+﹣＝﹣1+3﹣2＝；（3）+×﹣|2﹣|＝2+5×﹣（﹣2）＝2+2﹣+2＝3+2；（4）﹣（﹣（+3）×（﹣3）＝﹣（4+2）﹣（5﹣9）＝﹣4﹣2+4＝﹣2．6．（2023秋•太和区期中）计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；（3）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；（4）先计算二次根式的乘除法，零指数幂，再算加减，即可解答；（5）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（6）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．【解答】解：（1）＝﹣5＝6﹣5＝1；（2）＝+3﹣3＝；（3）＝（﹣）÷＝÷﹣÷＝﹣＝2﹣；（4）＝+1﹣＝+1﹣4＝﹣3；（5）＝﹣3+4﹣+﹣1＝0；（6）＝3﹣2+2﹣（6﹣1）＝3﹣2+2﹣5＝﹣2．7．（2022秋•青羊区校级期末）计算：（1）；（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2．【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）＝2+﹣3+＝3﹣2；（2）|﹣2|+（2023+π）0+﹣（﹣）﹣2＝2﹣+1+﹣4＝2﹣+1+3﹣4＝2﹣．8．（2023秋•锦江区校级期中）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．【解答】解：（1）＝1+|5﹣5|﹣＝1+5﹣5﹣3＝5﹣7；（2）＝3﹣4+4﹣（3﹣2）＝3﹣4+4﹣1＝6﹣4．9．（2023秋•汝阳县期中）计算：（1）5；（2）（）2﹣（2+3）2024（2﹣3）2023．【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．【解答】解：（1）5＝+﹣×﹣×2＝+﹣5﹣2＝﹣5；（2）（）2﹣（2+3）2024（2﹣3）2023．＝2﹣2+1﹣[（2+3）2023（2﹣3）2023]×（2+3）＝2﹣2+1﹣[（2+3）（2﹣3）]2023×（2+3）＝2﹣2+1﹣（8﹣9）2023×（2+3）＝2﹣2+1﹣（﹣1）2023×（2+3）＝2﹣2+1﹣（﹣1）×（2+3）＝2﹣2+1+2+3＝6．10．（2023秋•皇姑区校级期中）计算：（1）﹣（+1）2+（+1）（﹣1）．（2）﹣（﹣1）2023+（π﹣2021）0﹣|5﹣|﹣（）﹣2；【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）﹣（+1）2+（+1）（﹣1）＝3﹣（2+2+1）+3﹣1＝3﹣2﹣2﹣1+3﹣1＝﹣1；（2）﹣（﹣1）2023+（π﹣2021）0﹣|5﹣|﹣（）﹣2＝﹣（﹣1）+1﹣（﹣5）﹣4＝1+1﹣3+5﹣4＝3﹣3．11．（2023秋•潞城区校级期中）阅读与思考．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．双层二次根式的化简二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．例如：要化简，可以先思考（根据1）．．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样，我就找到了一种把部分化简的方法．任务：（1）文中的“根据1”是完全平方式，b＝2mn．（2）根据上面的思路，化简：．（3）已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可；（3）根据，得出a＝x2+3y2，4＝2xy，根据x，y为正整数，求出x＝2，y＝1或x＝1，y＝2，最后求出a的值即可．【解答】解：（1）的根据是完全平方公式；∵，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．故答案为：完全平方公式；2mn．（2）＝＝＝．（3）由题意得，∴a＝x2+3y2，4＝2xy，∵x，y为正整数，∴x＝2，y＝1或x＝1，y＝2，∴a＝22+3×12＝7或a＝12+3×22＝13．12．（2023秋•龙泉驿区期中）已知x＝，y＝．（1）求x2+y2+xy的值；（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2021﹣的值．【分析】（1）先利用分母有理化化简x和y，从而求出x+y和xy的值，然后再利用完全平方公式进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论可得：m＝2﹣，n＝﹣1，然后代入式子中进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+，∴x+y＝2﹣+2+＝4，xy＝（2﹣）（2+）＝4﹣3＝1，∴x2+y2+xy＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝16﹣1＝15；（2）∵1＜＜2，∴﹣2＜﹣＜﹣1，∴0＜2﹣＜1，∴2﹣的小数部分是2﹣，∴m＝2﹣，∵1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴2+的小数部分＝2+﹣3＝﹣1，∴n＝﹣1，∴（m+n）2021﹣＝（2﹣+﹣1）2021﹣（n﹣m）＝12021﹣[﹣1﹣（2﹣）]＝1﹣（﹣1﹣2+）＝1﹣+1+2﹣＝4﹣2．13．（2023秋•双流区校级期中）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：﹣1，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．（1）化简：；（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．（3）计算：+++…++．【分析】（1）利用分母有理化进行计算，即可解答；（2）先利用分母有理化进行化简，然后再估算出的值的范围，从而估算出2+的值的范围，进而可求出a，b的值，最后代入式子中进行计算，即可解答；（3）先利用分母有理化化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）＝＝＝﹣，故答案为：﹣；（2）＝＝＝2+，∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴3＜2+＜4，∴2+的整数部分是3，小数部分＝2+﹣3＝﹣1，∴a＝3，b＝﹣1，∴a2+b2＝32+（﹣1）2＝9+3﹣2+1＝13﹣2；（3）+++…++＝+++…++＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．14．（2023秋•大东区期中）观察下列各式：第一个式子：＝1＝1+（1﹣）；第二个式子：＝1＝1+（）；第三个式子：＝1＝1+（）；…（1）求第四个式子为：；（2）求第n个式子为：（n为正整数）（用n表示）；（3）求+…+的值．【分析】（1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题．（2）利用（1）中的发现即可解决问题．（3）根据（2）中的结论即可解决问题．【解答】解：（1）观察题中所给式子可知，第四个式子为：．故答案为：．（2）由（1）中的发现可知，第n个式子为：．故答案为：（n为正整数）．（3）原式＝＝1×2022+＝2022+1﹣＝．15．（2023秋•晋中期中）阅读与思考：观察下列等式：第1个等式＝；第2个等式；第3个等式：；…按照以上规律，解决下列问题：（1）＝4﹣；（填计算的结果）（2）计算：．【分析】（1）利用分母有理化进行化简计算，即可解答；（2）利用材料的规律进行计算，即可解答．【解答】解：（1）＝＝＝4﹣，故答案为：4﹣；（2）＝（﹣1+﹣+2﹣+…+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝2023﹣1＝2022．16．（2023秋•郁南县期中）综合探究：像，…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，2与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；．根据以上信息解答下列问题（1）与+互为有理化因式；（2）请你猜想＝﹣；（n为正整数）（3）＜（填“＞”“＜”或“＝”）；（4）计算：（+++…+）×（+1）．【分析】（1）利用互为有理化因式的定义，即可解答；（2）利用分母有理化进行化简计算，即可解答；（3）先求出它们的倒数，然后再进行比较，即可解答；（4）利用分母有理化先化简各数，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）与+互为有理化因式，（2）＝＝﹣，故答案为：﹣；（3）∵＝＝+，＝＝+，+＞+，∴＞，∴＜，故答案为：＜；（4）（+++…+）×（+1）＝[+++…+]×（+1）＝（+++…+）×（+1）＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝×（2023﹣1）＝×2022＝1011．17．（2023秋•平阴县期中）阅读下列材料，然后解决问题．在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们可以将其进一步化简：，＝，如上这种化简的步骤叫做“分母有理化”．（1）化简＝，＝，＝﹣．（2）化简：．【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）＝＝，＝＝，＝＝＝﹣，故答案为：；；﹣；（2）＝+++＝+++＝（﹣1+﹣+﹣+﹣）＝．18．（2023春•莱芜区月考）观察下列一组等式，然后解答问题：，，，，……．（1）利用上面的规律，计算：；（2）请利用上面的规律，比较与的大小．【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，计算即可求出式子的值；（2）利用得出的规律将与进行转化，再进行比较即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）由题意得，，，∵，∴．19．（2023春•宁海县期中）已知：a＝+2，b＝﹣2，求：（1）ab的值；（2）a2+b2﹣3ab的值；（3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．【分析】（1）代入求值即可；（2）代入求值，可将（1）的结果代入；（3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算．【解答】解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，∴ab＝（+2）（﹣2）＝7﹣4＝3；（2）∵a＝+2，b＝﹣2，ab＝3，∴a2+b2﹣3ab＝a2+b2﹣2ab﹣ab＝（a﹣b）2﹣ab＝[（+2）﹣（﹣2）]2﹣3＝（+2﹣+2）2﹣3＝42﹣3＝16﹣3＝13；（3）∵m为a整数部分，n为b小数部分，a＝+2，b＝﹣2，∴m＝4，n＝b＝﹣2∴＝＝＝，∴的值．20．（2023•沈丘县校级开学）已知a，b，c是△ABC的三边长．（1）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；（2）化简：﹣．【分析】（1）根据若ab＝0，则a＝0或b＝0，求出a与b，b与c的关系，进行解答即可；（2）先根据三角形三边关系，判断a+b﹣c和a﹣b﹣c的正负，再利用二次根式的性质进行计算化简即可．【解答】解：（1）∵a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，∴a＝b或b＝c，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，a﹣b＜c，∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴＝a+b﹣c﹣（﹣a+b+c）＝a+b﹣c+a﹣b﹣c＝2a﹣2c21．（2023•江北区开学）求值：（1）若，，求的值；（2）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．【分析】（1）先求出ab和a+b的值，然后利用完全平方公式进行计算即可解答；（2）先利用分母有理化进行化简可得＝，然后估算出的值的范围，从而求出a，b 的值，然后代入式子中进行计算，即可解答．【解答】解：（1）∵，，∴ab＝（﹣1）（+1）＝3﹣1＝2，a+b＝﹣1++1＝2，∴＝＝＝＝＝4，∴的值为4；（2）＝＝，∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴5＜3+＜6，∴＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2＝，∴a＝2，b＝，∴＝22+（1+）×2×+＝4+7﹣1+＝10+＝，∴的值为．22．（2023春•清江浦区期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如，和、与、与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1）计算：①＝，②＝；（2）计算：．【分析】（1）①分子、分母都乘即可；②分子、分母都乘即可；（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可．【解答】解：（1）①，故答案为：；②，故答案为：；（2）＝＝＝2+﹣﹣1＝1．23．（2023春•珠海校级期中）观察式子：，反过来：，∴，仿照上面的例子：（1）化简①；②；（2）如果x+y＝m，xy＝n且x＞y＞0，化简．【分析】（1）模仿示例将更号里面算式变形为完全平方式的形式进行化简；（2）将算式变形为，再运用二次根式的性质进行化简．【解答】解：（1）①＝＝＝＝+1；②＝＝＝＝；（2）∵x+y＝m，xy＝n且x＞y＞0，∴＝＝＝＝+．24．（2023春•濮阳期中）已知，，求下列代数式的值．（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．【分析】（1）先计算a+b和a﹣b的值，将原式分解因式，再将a﹣b的值代入计算即可；（2）将原式分解因式，再将a+b和a﹣b的值代入计算即可．【解答】解：（1）∵，，∴，，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝＝．25．（2023春•张店区期末）阅读材料，解答下列问题．材料：已知，求的值．小明同学是这样解答的：∵＝＝5﹣x﹣2+x＝3，∵，∴，这种方法称为“构造对偶式”．问题：已知．（1）求的值；（2）求x的值．【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论可得2＝5，从而可得＝2.5，进而可得9+x＝6.25，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝9+x﹣3﹣x＝6，∵，∴＝2，∴的值为2；（2）由（1）得：﹣＝2，+＝3，∴2＝5，∴＝2.5，∴9+x＝6.25，∴x＝﹣2.75，∴x的值为﹣2.75．。
专题01 二次根式的化简与求值_答案
专题01 二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0．例2 (1)原式＝()ab a b a b ++()1b a b b a b ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5． (3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-； （4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582 ．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10 582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，P A ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-∙+＋()2212111a a ---∙+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝ 1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B8．A 9．(1)()2x y x y +- (2)原式＝32625325++-+-＝()()22325325+-+-＝325++．(3)116- (4) 532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x －48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．955 4．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a ＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999.5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53-11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋P A ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a b b c ++＝()()()()3333a b b cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。
八年级数学_二次根式的化简求值_练习题及答案
(4)已知a= ,b= ,求 的值.
解析：a= ，同理b= ；
a + b= + =10，a b=（ ）（ ）=1，然后将所要求值的式子用a + b和a b表示，再整体代入求值即可.
答案：解：因为a= ，b= ，
所以a + b= + =10，a b=（ ）（ ）=1.1.若 ，Βιβλιοθήκη ，则xy的值是( )A. B.
C.m + nD.m-n
解析：xy= = = .
例2阅读材料:“黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.”这是武侠小说的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如:(2+ )(2- )=1,( + )( - )=3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解:如 = = , = = ,像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.
6（a2+2a）-12=6×6-12=24.
举一反三：
4.设a= -1，则3a3+12a2-6a-12=（ ）
A. 24 B. 25 C. D.
解析：由a= -1得a+1= ，两边平方得a2+2a+1=7，所以a2+2a=6，所以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=3a×6+6a2-6a-12=6a2+12a-12=
∴ - > - .
小结：比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因子移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内；(2)根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内.
二次根式(讲义及答案)及答案
一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．()222a b a b -=- B ．()322x x 8x ÷=+ C ．1a a a a÷⋅= D ．()244-=-2．下列各式计算正确的是（ ） A ．235+=B ．2222+=C ．236⨯=D ．1222= 3．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2B ．0C ．12-D ．-14．下列各式中，正确的是（ ） A ．42=±B ．822-=C ．()233-=- D ．342=5．二次根式23的值是（ ） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．3 6．若31m -有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 7．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．0x <B ．0xC ．2xD ．2x8．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．化简（﹣3）2的结果是（ ） A ．±3B ．﹣3C ．3D ．910．已知实数x 、y 满足222y x x =-+--，则yx 值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．﹣4D ．无法确定二、填空题11．将2(3)(0)3a a a a-<-化简的结果是___________________.12．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________；（2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ，的个数是_______________；（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 13．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 14．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设12...n S S S S =+++，则S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)． 15．把1m m-根号外的因式移到根号内，得_____________. 16．若x +y =5+3，xy =15-3，则x+y=_______． 17．已知20n 是整数，则正整数n 的最小值为___18．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab =__________． 19．若实数123a =-，则代数式244a a -+的值为___. 20．如果0xy >，化简2xy -__________．三、解答题21．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如53，231+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一)5353333⨯==⨯； (二)231)=3131(31)(31)-=-++-（； (三) 22(3)1(31)(31)=3131313131-+-===-++++.以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)请用不同的方法化简5+3： ①参照(二)式化简5+3＝__________. ②参照(三)式化简5+3＝_____________ (2)+315+37+599+97+【答案】见解析.【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 解:(1)①;②; (2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.22．像552)＝1a a ＝a (a ≥0)、b b ﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因552 +12﹣1，353﹣5因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)33；(2)2332+--； (3)2018201720172016的大小，并说明理由． 【答案】（123（2）32（3）＜ 【解析】分析：（13×3=1，确定互为有理化因式，由此计算即可； （2）确定分母的有理化因式为23与23+3232然后分母有理化后计算即可；（3201820172017201620182017与20172016，20182017+20172016+，然后比较即可.详解：(1) 原式；（2）原式=2+=2+ （3）根据题意，-==，><，>点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.23．阅读下面的解答过程，然后作答：m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==24．）÷）（a ≠b ）．【答案】【解析】试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．试题解析：解：原式＝()()a b a b --+-222225．计算 （1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：请计算两组数据的方差． 【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差． 试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3； （2）原式=﹣3﹣2+﹣3 =-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65； 乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点： 二次根式的混合运算；方差．26．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．27．已知a ，b （1）求a 2﹣b 2的值； （2）求b a +ab的值．【答案】（1）；（2）10 【分析】(1)先计算出a+b 、a-b 的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；(2)先计算ab 的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可. 【详解】(1)∵a b ，∴a +ba ﹣b ＝，∴a 2﹣b 2＝(a +b )(a ﹣b )＝＝；(2)∵ab， ∴ab ＝)×)＝3﹣2＝1，则原式＝22b a ab +＝()22a b ab ab +-＝(2211-⨯＝10． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.28．计算：（1（2|a ﹣1|，其中1＜a【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简． 【详解】解：（1－1＝2－1＝1 （2）∵1＜a，a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1． 【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断． 【详解】解： A ．()222a b a 2ab b -=-+，选项错误； B ．()3322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确；C．111a a1a a a÷⋅=⋅=，选项错误；D44=-=，选项错误．故选：B．2．C解析：C【分析】计算出各个选项中的正确结果，即可得到哪个选项是正确【详解】A错误；∵2+B错误；=，故选项C正确；=2，故选项D错误.故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．3．A解析：A【分析】根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项．【详解】解：由题意得：x-1≥0解之：x≥1.1>．故选：A．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．4．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B==C3=，故该选项错误；D 11223334=(2)2==，故该选项错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．5．D解析：D 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】|3|3=． 故选：D ．【点睛】(0)0(0)(0)a a a a a a ＞＜⎧⎪===⎨⎪-⎩．6．B解析：B 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】310m-≥， 解得13m ≥， 所以，m 能取的最小整数值是1． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．D解析：D 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；【详解】x-≥，即：20x，解得：2故选：D；【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键. 8．C解析：C【解析】=，22222=-=--+=251510x x，=.5故选C.9．C解析：C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．10．C解析：C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．【详解】y=，∵实数x、y满足2∴x＝2，y＝﹣2，-⨯＝-4．∴yx＝22故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二、填空题11．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．12．（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵，∴，p=20解析：（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)==∴p=14x 3(其中x 为正整数)，同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,则x+3y=12(x 、y 为正整数) ∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。
初中奥数讲义_二次根式的运算附答案
二次根式的运算式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )；(3)baba =(0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)．同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题)思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．【例2】 化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ）A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n nD ．1111+--n n(武汉市选拔赛试题)思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式． 注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．【例3】计算： （1）)23)(36(23346++++；（2）2115141021151410+--+；（3）4947474917557153351331++++++++ ；1325182336210153+++-+--．思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口． 【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算1212--+-+a a a a ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，此外，由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题． 【例5】 已知521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值．(山东省竞赛题)思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．学历训练1．如果22332+-+-=x x y ，那么y x 2+= ． (四川省竞赛题) 2．已知3=xy ，那么yx y x y x+的值为 ． (成都市中考题)3．计算2001)13(2)13(2)13(199920002001++-+-+= ．(天津市选拔赛试题)4．若 ab ≠0，则等式ab bba -=--351飞成立的条件是 ．(淄博市中考题)5．如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子aa ---11)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --17．已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则yxy x y xy x 4353-++-的值为( )A ．31 B ．21 C ．32D ．438．已知321+=a ，那么aa a a a a -+--+-2221211的值等于（ ） A ．)321(+- B ．1- C ．32- D ．3 9．计算：(1)12002200120001999+⨯⨯⨯；（2）7221756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-； (北京市数学竞赛题) （3）4266777647511+++++；（4）)19992001()19972001(2001)20011999)(19971999(1999)20011997)(19991997(1997--+--+--(“希望杯”邀请赛试题)10．(1)已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值；(2)设nn n n x ++-+=11，nn n n y -+++=11，n 为自然数，如果199********=++y xy x 成立，求n ．11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．（1）问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由； (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：4.12≈，7.13≈) (贵阳市中考题)12．已知2323+-=x ，2323-+=y ，那么22y x x y += ．(T1杯全国初中数学联赛题)13．若有理数x 、y 、z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，则2)(yz x -= ． (北京市竞赛题)14．设b a +=-21027，其中a 为正整数，b 在0，1之间，则ba ba -+= ． 15．正数m 、n 满足34424=+--+n n m mn m ，则2002282++-+n m n m = ．(北京市竞赛题)16．化简212172232-+-等于( )A ．5—42B ．42一1C ． 5D ．－1 (全国初中数学联赛题) 17．若x x +=-11，则2)1(-x 等于( ) A 1-x B ．x -1 C ．1 D ．－1 (2004年武汉市选拔赛试题)18．若b a b a b a -≠、、,都是有理数，那么a 和b 面( ) A ．都是有理数 B ．一个是有理数，另一个是无理数 C ．都是无理数 D ．有理数还是无理数不能确定 (第13届“希望杯”邀请赛试题) 19．下列三个命题：①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数； ②若α，β是互不相等的无理数，则βαβα+-是无理数； ③若α，β是互不相等的无理数，则3βα+是无理数． 其中正确命题的个数是( )A ． 0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学联赛试题) 20．计算： （1）3426302352+--+； （ “希望杯”竞赛题）（2）2356101528-+--+； （山东省竞赛题）（3）100999910013223121121++++++ ；（四川省选拔赛题）(4))1552326(2+--； (5)223152525--+-++． (新加坡中学生数学竞赛题)21．(1)求证11)1(12222+-+=+++ab ab a ab a b a ； (2)计算200012000199919991222-++．（“祖冲之杯”邀请赛试题） 22．(1)定义323232121121)(+-+-+++=x x x x x x f ，求)999()12()3()1(f k f f f +-+++ 的值；(2)设x 、y 都是正整数，且使y x x =++-100116，求y 的最大值． (上海市竞赛题 )23．试将实数)71)(51(211+++改写成三个正整数的算术根之和． (2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)24．求比6)56(+大的最小整数． (西安交通大学少年班入学试题)。
二次根式的化简求值(含答案)
第八讲 二次根式的化简求值用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．例题求解 【例l 】已知21=+xx ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 ．(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用xx 1+的代数式表示．【例2】 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( )A ．1B ．2C ． 3D ． 4 (2003年全国初中数学联赛题)思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导．(第20后俄罗斯数学臭林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．【例4】 已知：aa x 1+= (0<a<1)，求代数式42422362222----+---+÷-+x x xx x x x x x x x 的值． (2002半四川省中考题)思路点拨 视x x x 4,22--为整体，把aa x 1+=平方，移项用含a 代数式表示x x x 4,22--，注意0<a1的制约．【例5】 (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积；(第12届“五羊杯”竞赛题)（2）已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．(2003年北京市竞赛题)思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．学历训练1．已知2323-+=x ，2323+-=y ，那么代数式22)()(y x xy y x xy +-++值为 ．2．若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ． 3．已知123123++=++x x ，则)225(423---÷--x x x x 的值．(2001年武汉市中考题)4．已知a 是34-的小数部分，那么代数式)4()2442(222a a a a aa a a a -⋅++++-+的值为 ． (2003年黄石市中考题)5．若13+=x ，则53)321()32(23+-+++-x x x 的值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 (2003年河南省竞赛题) 6．已知实数a 满足a a a =-+-20012000，那么22000-a 的值是( ) A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．20027．设9971003+=a ，9991001+=a ,10002=c ，则a 、b 、c 之间的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ． c<a<b D ．a<c<b8．设a a x -=1，则24x x +的值为( )A ．a a 1-B ．a a -1C ．aa 1+ D ．不能确定 9．若a>0，b>0， 且)5(3)(b a b b a a +=+，求abb a ab b a +-++32的值．10．已知x x =--2)1(1，化简x x x x +++-+414122．11．已知31+=x ，那么2141212---++x x x = ． (2003年“信利杯”全国初中数学竞赛题) 12．已知514=-++a a ，则a 26-= ．13．已知9)12(42+-++x a 的最小值为= ．（“希望杯”邀请赛试题）14．已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x ，则58664322+----y x y xy x = ．(第17届江苏省竞赛题) 15．1+a2如果22002+=+b a ，22002-=-b a ，3333c b c b -=+，那么a 3b 3－c 3的值为( ) (2003年武汉市选拔赛试题)A ．20022002B ．2001C ．1D ．016．已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，那么a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a c<a<b (2002年全国初中数学联赛题)17．当220021+=x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) A ． 0 B ．一1 C ． 1 D ．－ 22003 (2002年绍兴市竞赛题)18．设a 、b 、c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是( ) A ．1999 B ． 2000 C ． 2001 D ．不能确定 (2001年全国初中数学联赛试题)19．某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近?20．已知实数 a 、b 满足条件1<=-a b b a ，化简代数式2)1()11(--⋅-b a ba ，将结果表示成不含b 的形式．21．已知a a x 21+=(a>0)，化简：2222-++--+x x x x ．22．已知自然数x 、y 、z 满足等式062=+--z y x ，求x+y+z 的值． (加拿大“奥林匹克”竞赛题)答案：。
中考数学二次根式(讲义及答案)及解析
一、选择题1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12B ．30C ．8D ．122．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >B ．3x ≥C ．3x ≤D ．x 是非负数3．已知m 、n 是正整数，若2m +5n是整数，则满足条件的有序数对（m ，n ）为（ ） A ．（2，5） B ．（8，20）C ．（2，5），（8，20）D ．以上都不是4．设S=2222222211111111111112233499100++++++++++++，则不大于S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．1015．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）33a =a ；（3）64的平方根是2；（4）22(8)±=±8；（5）65- =65+，其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如果2a a 2a 1+-+=1，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0= B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或7．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定 8．下列运算中错误的是（ ） A 235=B 236=C 822÷=D ．2 (3)3-=9．已知0xy <，化简二次根式2yx - ） A y B y -C ．y -D ．y --10．下列计算正确的是（ ） A 235=B ．332-= C ．222= D 393=二、填空题11．化简并计算：()()()()()()()...112231920xx x x x x x x +=+++++++________．（结果中分母不含根式）12．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果1122n x n -<+≤，则()f x n =z ．如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ，试解决下列问题：①f =z __________；②f =z __________；+=__________．13．已知，-1，则x 2+xy +y 2=_____．14．÷=________________ .15．已知：可用含x =_____．16．．17．计算：2015·2016＝________．18．===据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．19．化简：＝_____． 20．x 的取值范围是_____． 三、解答题21．阅读下面的解答过程，然后作答：m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==22．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a ﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3 ∴a 2﹣4a=﹣1∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a 2﹣8a+1的值． 【答案】（1）9；（2）5． 【解析】 试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a 1 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a - 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a ===，解法一：∵22(1)11)2a -=-= ， ∴2212a a -+= ，即221a a -=∴原式=24(2)14115a a -+=⨯+= 解法二∴ 原式=24(211)1a a -+-+24(1)3a =--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b ，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.23．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．24．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中，b=1．【答案】原式=a ba b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可. 【详解】原式=()()222a ab b aa ab a b -+⨯+-=()()()2·a b a aa b a b -+- =a ba b-+， 当，b=1时， 原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.25．一样的式子，其实我3==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n +++【答案】（1-2. 【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）===== （2）原式2n +++=12. 考点：分母有理化．26．计算：（1；（2+2）2+2）．【答案】（1-2）【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接利用乘法公式计算得出答案． 【详解】解：（1）原式＝-（2）原式＝3434++-＝6+． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．27．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443．【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．28．计算：（1）()22131)()2---+（2【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2） 【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A =不是最简二次根式，本选项错误；BC =不是最简二次根式，本选项错误；D 2=故选：B ． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键．2．B解析：B 【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】有意义的x 的取值范围是：x ≥3． 故选：B ． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．3．C解析：C 【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案． 【详解】解：∵m 、n 是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20， 当m=2，n=5时，原式=2是整数； 当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m ，n ）为（2，5）或（8，20）， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．4．B解析：B 【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99． 【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n -+，∴=1111111+11122399100-++-+++- =199+1100- =100-1100，∴不大于S 的最大整数为99． 故选B. 【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础．5．B解析：B 【解析】根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1a =正确，故（2）正=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知8=，故（4=，故（5）正确. 故选B.6．C解析：C 【解析】试题解析：∵a1， a ∴1-a ≥0， a ≤1，故选C ．7．B解析：B 【解析】因=，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B.点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．8．A解析：A 【分析】根据合并同类二次根式的法则对A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断． 【详解】23 23236=⨯=828242÷÷===，故此项正确，不符合要求；D. 2 (3)3-=，故此项正确，不符合要求； 故选A ． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．B解析：B 【分析】先根据xy ＜0，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定x 、y 的取值，最后再化简即可． 【详解】 解：0xy <，0x ∴>，0y <或0x <，0y >，又2yx x -有意义， 0y ∴<，0x ∴>，0y <，当0x >，0y <时，2yx y x -- 故选B ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是能根据已知条件以及所跟二次根式来确定x、y的取值．10．C解析：C【分析】根据立方根、二次根式的加减乘除运算法则计算．【详解】A、非同类二次根式，不能合并，故错误；B、=C、22=，正确；D故选C．【点睛】本题考查二次根式、立方根的运算法则，熟练掌握基本法则是关键．二、填空题11．【分析】根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式==．故答案为．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观【分析】-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案．【详解】解：原式====220400xx x-．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．12．3 【解析】 1、；2、根据题意，先推导出等于什么， （1）∵， ∴，（2）再比较与的大小关系， ①当n=0时，； ②当为正整数时，∵， ∴， ∴，综合（1）、（2）可得：，解析：3 20172018【解析】1、(1.732)2z z f f ==；2、根据题意，先推导出f 等于什么， （1）∵2221142n n n n n ⎛⎫+<++=+ ⎪⎝⎭，12n <+， （2）12n -的大小关系，①当n=012n >-； ②当n 为正整数时，∵2212n n n ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭1204n =->，∴2212n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，12n>-，综合（1）、（2）可得：1122n n-<+，∴f n=z，∴3f=z．3、∵f n=z，∴(2017zf+111112233420172018=++++⨯⨯-⨯111111112233420172018=-+-+-++-112018=-20172018=．故答案为（1）2；（2）3；（3）20172018.点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，1122n n-<+，从而得到f n=z；（2）解题③的要点是：当n为正整数时，111(1)1n n n n=-++.13．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）= 12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．14．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷====-，故答案为15．【解析】 ∵=， ∴== = -==﹣x3+x ， 故答案为：﹣x3+x.解析：211166x x -+【解析】∵x =-3==123=146+= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=311166-+=﹣16x 3+116x ，故答案为：﹣16x3+116x. 16．【解析】 【详解】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可. 解析：2【解析】 【详解】22.故答案为2. 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.17．【解析】 原式=. 故答案为.【解析】原式=20152015=18．【解析】上述各式反映的规律是 (n ⩾1的整数),得到第5个等式为： (n ⩾1的整数). 故答案是： (n ⩾1的整数).点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;=【解析】上述各式反映的规律是=n ⩾1的整数),得到第5==n ⩾1的整数).=n ⩾1的整数). 点睛:这是一道等式规律探寻题,此类题的一般推倒方法为:第一步.标序号;第二步,找规律,分别比较等式中各部分与序号之间的关系,把其蕴含的规律用含序数的代数式表示出来;第三步,根据找出的规律得出第n 个等式.19．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．20．x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根解析：x＞4【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式的化简与计算 (讲义及答案)
二次根式的化简与计算（讲义）➢ 课前预习1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题．（1）正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是________；负数________平方根．（2）正数的算术平方根是______；0的算术平方根是______；负数________算术平方根．（3）正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______．（4）实数混合运算顺序：先算____________，再算_______，最后算_______．如果有括号，先算括号里面的．2. 有理数混合运算处理方法：①观察_______划_______；②有序操作依_______；③每步推进一点点． 例：2112(2)(3)2102543.⎛⎫-÷⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭① ②③ 思路分析观察结构，划为①②③三个部分，对①②部分，每步推进一点点．过程示范1840.25(3)1432 3132 3134 3⎛⎫=⨯⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭=-++=-原式 请你类比有理数混合运算处理方法，处理下面实数混合运算：➢ 知识点睛1. 理解二次根式的双重非负性（10且0x ≥．（220y z +=，则x ____y ____z ____===，，．2. 实数混合运算处理方法：①_____________________；②_____________________；③_____________________．做运算时往往需要估计工作量．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．（1）22()()a b a b a b +-=-；（2a b ==±．3. 二次根式与数形结合被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理．．．．．．．．．．．．．解决问题．➢ 精讲精练1. 若x ，y 为实数，且20x +=，则2016x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-22. 2210y y ++=，则y x =___________．3.若a，b(0b-=，则20162015a b-=________．4.已知b<0，则二次根式）A．-B．-C．D．5.若xy≠0=-）A．x > 0，y > 0 B．x > 0，y < 0 C．x < 0，y > 0 D．x < 0，y < 0 6.下列式子化简正确的是（）A==B．a==Cab===Db===-7.化简：（1；（2；（3；（4（5（68.计算：（123-⎛⎫⎪⎪⎝⎭；（2）338(0.125)⨯-；（3）30201520161)1)-+-；（4）-；（5）21)(3(2-+．9.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，CE．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）求AC+CE的最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，最小值．DEC AB10.的最小值．【参考答案】➢课前预习1.（1）两，互为相反数；一，0；没有（2）正数；0；没有（3）正数；0；负数（4）乘方或开方，乘除，加减2.①结构部分；②法则；2-+➢知识点睛1.（2）0，0，02.①观察结构划部分②有序操作依法则③每步推进一点点➢精讲精练1. A2.-23.04. C5. B6. D7.（11（21（3（41（5（6）28.（1）5-+2（2）2（3）（4）（5）7-9.（1（2（3）13 10.10。
数学二次根式(讲义及答案)含答案
一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A ．93=±B ．382-=C ．2(7)5=D ．222=2．下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．4B ．21x +C ．12D ．40.53．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣14．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．5．下列计算正确的是（ ） A ．325+=B ．2222+=C ．2651-=D ．822-=6．下列运算正确的是 （ ） A ．3223÷= B ．235+= C ．233363⨯=D ．18126-=7．下列各式一定成立的是（ ） A ．2()a b a b +=+ B ．222(1)1a a +=+ C ．22(1)1a a -=- D ．2()ab ab =8．下列运算正确的是（ ） A ．x + 2x =3x B ．32﹣22=1C ．2+5=25D ．a x ﹣b x =（a ﹣b ）x9．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b 的结果是（ ）A ．1B ．b+1C ．2aD ．1﹣2a10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A 3x +B 13x - C 13x +D 3x -二、填空题11．能力拓展：1A =2A =；3:A =；4A =________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A()3-12．设a ﹣b=2b ﹣c=2a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____．13．已知aa 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．14．+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.15．10=，则222516x y +=______.16．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．17．若6x ，小数部分为y ，则(2x y 的值是___.18．下列各式：③4是最简二次根式的是:_____（填序号）19．n 为________． 20．(a ≥0)的结果是_________.三、解答题21．若x ，y 为实数，且y12．求x y y x ++2－xy y x +-2的值．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =14，此时y =12．即可代入求解． 【详解】解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1414x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12． 又∵x y y x ++2－x yy x +-2＝－| ∵x ＝14，y ＝12，∴ x y ＜y x．∴+当x ＝14，y ＝12时，原式＝．【点睛】（a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．22．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式2222]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．解：设x222x =++2334x =+，x 2=10 ∴x =10．0．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x两边平方得：x 2=2+2+即x 2=4+4+6， x 2=14∴x =．0，∴x ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．24．先化简，再求值：a+212a a-+，其中a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（3）先化简，再求值：269a a-+a＝﹣2018．【答案】（1）小亮（22a（a＜0）（3）2013.【解析】试题分析：（12a，判断出小亮的计算是错误的；（22a的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可.试题解析：（1）小亮（22a（a＜0）（3）原式＝()23a-a+2（3-a）＝6-a=6-（-2007）＝2013.25．在一个边长为（35cm的正方形的内部挖去一个长为（310）cm，65cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【答案】152【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（352﹣（31065）=（15）﹣（2﹣15152）=（152cm2）．考点：二次根式的应用26．先化简，再求值：2443(1)11m mmm m-+÷----，其中22m=.【答案】22mm-+ 1． 【解析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =221m m --（）÷241m m --=221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+ =22m m-+当m ﹣2时，原式===﹣1+=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．27．计算下列各题：（1（2）2-．【答案】（1）2）2-- 【分析】（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可； （2）利用平方差、完全平方公式进行计算． 【详解】解：（1）原式==；（2）原式22(5=--+525=---2=--【点睛】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．28．02020((1)π-．【答案】 【分析】本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可． 【详解】原式11=-= 【点睛】本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的乘法逐项判断即可得． 【详解】A 3=，此项错误；B 2=-，此项错误；C 、27=≠D 2==，此项正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、二次根式的乘法，熟练掌握算术平方根与立方根是解题关键．2．B解析：B 【分析】可以根据最简二次根式的定义进行判断． 【详解】A ，原根式不是最简二次根式；BC 2=，原根式不是最简二次根式；D 、=4== 故选B ． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的化简方法是解题关键．3．A解析：A 【分析】先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】由数轴可知0＜a ＜1，所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小4．D解析：D 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可． 【详解】∴被开方数x+2为非负数， ∴x+2≥0， 解得：x ≥-2. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.5．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：AC、D，正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．A解析：A【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】A、3=，故选项A正确；B B错误；C、18=，故选项C错误；D=D错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．7．B解析：B【分析】分别利用二次根式的性质化简求出即可．【详解】解；A2=|a+b|，故此选项错误；B2+1，正确；C，无法化简，故此选项错误；D，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．8．D解析：D【解析】利用二次根式的加减法计算，可知：A、C 、2+5不能合并，此选项错误；D 、a x ﹣b x =（a ﹣b ）x ，此选项正确． 故选：D ．9．A解析：A 【解析】﹣+b=111a a b b a a b b ---+=-+-+= ，故选A.10．D解析：D 【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案. 【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．二、填空题11．(1)、；(2);(3) 【解析】 【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1) 54+11n n n n+=++；(2),,><<;(3),,<<< 【解析】 【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.12．15【解析】根据题意，由a ﹣b=2+，b ﹣c=2﹣，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a2+b2+c2﹣ab ﹣bc ﹣ac=====15.故答案为：15. 解析：15【解析】根据题意，由a ﹣b ﹣c=2，两式相加得，得到a ﹣c=4，然后根据配方法，把式子各项变为：a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=2222222222a b c ab ac bc ++﹣﹣﹣=2222222222a ab b b bc c a ac c +++++﹣﹣﹣=222()()()2a b b c a c -+-+-=222(2(242++=15.故答案为：15.13．-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】解：当a＝－＝－＝－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(解析：-4【分析】先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.【详解】解：当a－3时，原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3＝7a－7－7a+3＝－4．故答案为：－4．【点睛】本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.14．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a，b，c的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.15．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】 观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．3先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解.【详解】因为,所以,因为6－的整数部分为x,小数部分为y,所以x=2,解析：3【分析】先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解.【详解】因为34<,所以263<-<,因为6x ,小数部分为y ,所以x =2, y=4-,所以(2x y =(4416133=-=, 故答案为:3.【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 18．②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】② ③ 是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解析：②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．19．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．20．4a【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.【详解】===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.解析：4a【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.)0a≥===4a，故答案为4a.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
初中数学二次根式(讲义及答案)及解析
一、选择题1．下列等式正确的是（ ）A 7=-B 3=C ．5D ．=2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D3．已知5x =-，则2101x x -+的值为（ ）A ．-B ．C ．2-D ．04．x 的取值范围是（ ）A ．x≥2020B ．x≤2020C ．x> 2020D ．x< 2020 5．下列各式中，正确的是（ ）A ．B ．a 3 • a 2=a 6C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2D ．5m + 2m = 7m 26．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠2 7．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x=结果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-8．给出下列化简①（）2=2=2=12=，其中正确的是（ ） A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．③④ 9．下列运算一定正确的是( )A a =B =C ．222()a b a b ⋅=⋅D ()0n a m=≥10．如果实数x ，y =-(),x y 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或坐标轴上D ．第二象限或坐标轴上 二、填空题11．化简322+=___________． 12．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．13．已知120654010144152118+++可写成235a b c ++的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.14．计算()623÷+=________________ .15．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得112()a b +的值也是整数，则称（a ，b ）是112()a b +的一个“理想数对”，如（1，4）使得112()a b+=3，所以（1，4）是112()a b +的一个“理想数对”．请写出112()a b +其他所有的“理想数对”： __________．16．已知实数m 、n 、p 满足等式33352m n m n m n p m n p -+⋅--=+--+--，则p =__________．17．计算：11882--=_____________． 18．已知x ，y 为实数，y =22991x x -+-+求5x +6y 的值________. 19．已知x ＝51-，y ＝51+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 20．观察分析下列数据：0，3-，6，-3，23，15-，32，…，根据数据排列的规律得到第10个数据应是__________．三、解答题21．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，31+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一3533333==⨯；(二)2231)=31 31(31)(31)-=-++-（；(三)22231(3)1(31)(31)=31 31313131--+-===-++++.以上这种化简的方法叫分母有理化．(1)请用不同的方法化简25+3：①参照(二)式化简25+3＝__________.②参照(三)式化简5+3＝_____________(2)化简：++++315+37+599+97+.【答案】见解析.【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；（2）原式各项分母有理化，计算即可.【详解】解:(1)①;②;(2)原式故答案为:(1)①;②【点睛】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.22．2722322312-310【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．23．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．24．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)．【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可.【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.25．计算：0(3)|1|π-+．【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答．【详解】解：原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．26．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．27．先化简，再求值：221()a b a b a b b a -÷-+-，其中a =2b =- 【答案】1a b -+，12-． 【分析】 先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案．【详解】 解：原式1()()a b a b a a b a b b a b b --=⨯-⨯+-+ ()()a b a b a b b a b -=--++ ()b b b a =-+ 1a b=-+，当a =2b = 原式12==-． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．28．计算下列各题：（1（2）2-．【答案】（1）2）2--【分析】（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可；（2）利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：（1）原式==；（2）原式22(5=--+525=---2=--【点睛】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可．【详解】解：AB3=，故本选项符合题意；C、5=-，故本选项不符合题意；D、=-，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．2．D解析：D【分析】最简二次根式的被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，其中小数要转化为分数，分数中分母不可以是二次根式，注意这几点即可得出答案．【详解】ABC，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；2D故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，本题属于基础题型．3．D解析：D【分析】把x 的值代入原式计算即可求出值．【详解】解：当时，原式=（）2-10×（）+1+1=0．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．A解析：A【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】∴x-2020≥0，解得：x ≥2020；故选：A ．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．5．A解析：A【分析】比较两个二次根式的大小可判别A ，根据同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算法则分别计算可判断B 、C 、D 的正误．【详解】A 、=，=∵1812>，∴>，故该选项正确；B 、3a •25a a =，故该选项错误；C 、()()22224b a a b a b +-=-，故该选项错误； D 、527m m m +=，故该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式大小的比较，同底数幂的乘法、平方差公式、合并同类项的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．D解析：D【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0，解得：x≥-1且x≠2．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．7．D解析：D【分析】进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设x=<x<，∴0∴266x=-+，∴212236x=-⨯=，∴x=∵5=-，∴原式5=-5=-故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.8．C解析：C【分析】根据二次根式的性质逐一进行计算即可求出答案．【详解】①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式==④原式==，故④错误，故选C．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.9．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A|a|，故此选项错误；B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；C．a2•b2=（a•b）2，正确；D m n a（a≥0），故此选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．10．D解析：D【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．【详解】=-∴x、y异号，且y>0，∴x<0，或者x、y中有一个为0或均为0．∴那么点(),x y在第二象限或坐标轴上．故选：D．【点睛】根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a、b的取值范围，从而确定点的坐标位置．二、填空题11．+1【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 12．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．13．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.14．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷====-， 故答案为15．（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）【解析】试题解析：当a=1，=1，要使为整数，=1或时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”，解析：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）【解析】试题解析：当a =1，要使或12时，分别为4和3，得出（1，4）和（1，1）是的“理想数对”， 当a =412，要使+或12时，分别为3和2， 得出（4，1）和（4，4）是的“理想数对”， 当a =913，要使16时，=1， 得出（9，36）是的“理想数对”， 当a =1614，要使14时，=1， 得出（16，16）是的“理想数对”， 当a =3616，要使13时，=1， 得出（36，9）是的“理想数对”， 即其他所有的“理想数对”：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）．故答案为：（1，1）、（4，1）、（4，4）、（9，36）、（16，16）、（36，9）． 16．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=， ∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.17．【解析】【详解】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.故答案为.【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.解析：2【解析】【详解】22.故答案为2. 【点睛】 此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.18．-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16 解析：-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x 2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-16，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-16）=-15-1=-16. 故答案为：-16.点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解. 19．4【详解】根据完全平方公式可得：原式=－xy==5－1=4．解析：4【详解】根据完全平方公式可得：原式=2()x y +－xy=251515151)222=5－1=4． 20．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6．解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6．故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式(讲义及答案)附解析
一、选择题1．若01x <<，则221144x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ). A ．2xB ．2x-C ．2x -D ．2x2．已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8B ．9C ．10D ．113．下列运算正确的是（ ）A ．52223-=y yB ．428x x x ⋅=C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2D ．27123-=4．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5 B ．43-33=1 C ．2333=63⨯ D ．123=2÷5．将1、、、按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ）A ．1B ．2C ．D ．66．下列计算正确的是（ ）A 235=B 623=C 23(3)86-=-D 321=7．12的下列说法中错误的是（ ） A 1212的算术平方根 B ．3124<< C 12不能化简D 12是无理数8．若|x 2﹣4x+4|23x y --x+y 的值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．99．已知实数x 、y 满足222y x x =--，则yx 值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．﹣4D ．无法确定 10．3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ＞3C ．x ≥3D ．x ≤3二、填空题11．将2(3)(0)3a a a a-<-化简的结果是___________________.12．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 13．已知3x x+=，且01x <<，则2691x x x =+-______．14．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，设12...n S S S S =+++，则S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为正整数)．15．甲容器中装有浓度为a 的果汁40kg ，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．16．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13，那么3◇2＝_____. 17．若实数23a =-，则代数式244a a -+的值为___. 18．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．19．函数y ＝42xx --中，自变量x 的取值范围是____________． 20．观察分析下列数据：0，36，-3，231532的规律得到第10个数据应是__________．三、解答题21．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中21x =. 2. 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x == 【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.22．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有mn 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；（2）填空：13-( - 2；（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】 试题分析：（1）把等式)2a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；（2）由（1）中结论可得：2231324a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩，结合a b m n 、、、都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；（3）将()2a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.试题解析：（1）∵2a n =+)，∴223a m n +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；（2）由（1）中结论可得：2231324a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩，∵a b m n 、、、都为正整数，∴12m n =⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=⎩ ，∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1， ∴()21343=123--；（3）∵22265(5)525a m n m n mn +=+=++， ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数， ∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.23．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如3、3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：535==33333⨯⨯；22(31)2(31)=313+1(3+1)(31)(3)1⨯-⨯-==--- . 以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.24．先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.25．计算（11)1)⨯； （2）【答案】（12+；（2）. 【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.详解：（1)11+；＝()31-2 ；（2）原式＝(22⨯,＝＝3⨯＝＝点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．26．计算：0(3)|1|π-+．【答案】【分析】根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答． 【详解】解：原式11=+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．27．计算：（1 （2）（)()2221-【答案】2）1443 【分析】(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】解：(1)原式＝23223323，(2)原式(34)(12431)1124311443，故答案为：1443． 【点睛】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．28．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【答案】3【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++()211,11x x x x -+=⋅-+1.1x =+当1x =时，11x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解. 【详解】 解：∵0＜x ＜1， ∴0＜x ＜1＜1x， ∴10x x +>，10x x-<．原式=11x x x x+-- =11x x x x ++- =2x ． 故选D ．点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.2．C解析：C 【详解】12x x +==12321x x ==-=，所以()2221212122x x x x x x +=+-=(22112210-⨯=-=，故选：C ． 【点睛】对于形如2212x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211+x x ，1221x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．3．D解析：D 【分析】由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A 、222523y y y -=，故A 错误；B 、426x x x ⋅=，故B 错误；C 、222()2a b a ab b --=++，故C 错误； D==D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．4．D解析：D 【解析】试题分析：根据同类二次根式，可知2与3不是同类二次根式，因此不能计算，故不正确.-=3，故不正确；根据同类二次根式，可知4333⨯=18，故不正确；根据二次根式的性质，可知2333÷=÷=，故正确.根据二次根式除法的性质，可知2733333故选D.5．D解析：D【解析】（4，2）表示第4排从左向右第2个数是：，（21，2）表示第21排从左向右第2个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第21排是奇数排，最中间的也就是这排的第1个数是1，那么第2个就是：，•=6,故选D6．B解析：B【分析】根据二次根式加减运算和二次根式的性质逐项排除即可．【详解】2与3A选项错误；6===B选项正确；62632223-=-=，所以C选项错误；(3)83212与3D选项错误;故选答案为B．【点睛】本题考查了二次根式加减运算和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义和二次根式的性质是解答本题的关键．7．C解析：C【分析】根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.【详解】A1212的算术平方根，故该项正确；B、3124<<，故该项正确；C1223=D=是无理数，故该项正确；故选：C.【点睛】此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.8．A解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．9．C解析：C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．【详解】y=，∵实数x、y满足2∴x＝2，y＝﹣2，-⨯＝-4．∴yx＝22故选：C．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．10．C解析：C【详解】解：根据题意得：x-3≥0解得：x≥3故选C.二、填空题11．．【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．解析：【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．12．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．13．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．14．【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∵，∴；……∵，∴；∴．故答案为：【点睛】本题 解析：221n n n ++ 【分析】n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可．【详解】 解：∵1221191=124S =++311122===+-； ∵222114912336S =++=7111116623===+=+-； ∵32211169134144S =++=1311111121234===+=+-； …… ∵()()()222222111111n n n S n n n n ++=++=++，()()2111111111n n n n n n n n ++===+=+-+++；∴...S =1111111112231n n =+-++-++-+…+ 111n n =+-+． 221n n n +=+ 故答案为：221n n n ++ 【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n =-++的理解． 15．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m 即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg ，乙容器【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m 即可．【详解】， 甲容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁makg ，乙容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁mbkg ，，=，整理得，-6b =5ma -5mb ，∴（a -b ）=5m （a -b ），∴m故答案为：5【点睛】 本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键． 16．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5. 故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.17．3【解析】∵ =，∴=（a-2）2==3，故答案为3.解析：3【解析】∵a =∴244a a -+=（a-2）2=()222+=3， 故答案为3.18．﹣2a【分析】首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，．故答案为-2a．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题．19．x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．【详解】解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0．解得x≤4且x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方解析：x≤4且x≠2【分析】根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．【详解】解：由，得4-x≥0且x-2≠0．解得x≤4且x≠2．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键．20．6【分析】通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．【详解】解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，∴第13个答案为：．故答案为6．解析：6【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，∴第13个答案为：131(1)3(131)6．故答案为6．【点睛】此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
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二次根式的化简求值
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．
有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．
例题求解 【例l 】已知21=+
x
x ，那么
1
91
322++-
++x x x x x x 的值等于 ．
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)
思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x
x 1
+
的代数式表示． 【例2】 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 (全国初中数学联赛题)
思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解． 【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编)
思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．
【例4】 已知：a a x 1
+= (0<a<1)，求代数式4
2422362222----+---+÷-+x x x
x x x x x x x x 的值．
(四川省中考题)
思路点拨 视x x x 4,22--为整体，把a
a x 1+=平方，移项用含a 代数式表示x x x 4,22--，注意
0<a1的制约．
【例5】 (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，
22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积；
( “五羊杯”竞赛题)
（2）已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值． (北京市竞赛题)
思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．
学力训练
1．已知2
323-+=
x ，2
323+-=
y ，那么代数式
2
2)
()(y x xy y x xy +-++值为 ．
2．若41
=+a a (0<a<1)，则a
a 1-
= ． 3．已知
1
23123++=++x x ，则)225
(423---÷--x x x x 的值．
(2武汉市中考题)
4．已知a 是34-的小数部分，那么代数式)4
()24
42(222a a a a a
a a a a -⋅++
++-+的值为 ． (黄石市中考题)
5．若13+=x ，则53)321()32(23+-+++-x x x 的值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 (河南省竞赛题)
6．已知实数a 满足a a a =-+-20012000，那么22000-a 的值是( ) A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．2002
7．设9971003+=a ，9991001+=a ,10002=c ，则a 、b 、c 之间的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ． c<a<b D ．a<c<b 8．设a a
x -=
1，则24x x +的值为( )
A ．a a 1-
B ．a a
-1 C ．a a 1
+ D ．不能确定
9．若a>0，b>0， 且)5(3)(b a b b a a +=+，求
ab
b a ab b a +-++32的值．
10．已知x x =--2)1(1，化简x x x x +++-+4
14
1
22． 11．已知31+=x ，那么
2
1
41212--
-++x x x = ． ( “信利杯”全国初中数学竞赛题)
12．已知514=-++a a ，则a 26-= ．
13．已知9)12(42+-++x a 的最小值为= ．（“希望杯”邀请赛试题）
14．已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x ，则58664322+----y x y xy x = ． (江苏省竞赛题) 15．1+a2如果22002+=
+b a ，22002-=
-b a ，3333c b c b -=+，那么a 3b 3
－c 3
的值为( )
A ．20022002
B ．2001
C ．1
D ．0 (武汉市选拔赛试题)
16．已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，那么a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a c<a<b (全国初中数学联赛题) 17．当2
2002
1+=
x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) A ． 0 B ．一1 C ． 1 D ．－ 22003
(2002年绍兴市竞赛题)
18．设a 、b 、c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是( )
A ．1999
B ． 2000
C ． 2001
D ．不能确定 (全国初中数学联赛试题)
19．某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近? 20．已知实数 a 、b 满足条件1<=
-a b b a ，化简代数式2)1()1
1(--⋅-b a b
a ，将结果表示成不含
b 的形式．
21．已知a a x 2
1+=(a>0)，化简：2
222-++--+x x x x ．
22．已知自然数x 、y 、z 满足等式062=+--z y x ，求x+y+z 的值． (加拿大“奥林匹克”竞赛题)。