初中奥数讲义_二次根式的化简求值附答案

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人教版八年级数学竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)

人教版八年级数学竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）

【例1】化简

（1(b

a b ab b -÷--

（2

（3

（4

解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.

【例2】比6大的最小整数是多少？

解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==

想一想：设x =求43232

621823

7515

x x x x x x x --++-++的值.

的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

【例3】设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.

解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.

【例4】（1的最小值.

（2的最小值.

解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），

设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.

【例5】设2)m a =

≤≤，求1098747m m m

m m +++++-的值.

解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.

八年级初二数学二次根式(讲义及答案)含答案

一、选择题

1．下列计算正确的是（）

A =

B =

C =

D =2．下列计算结果正确的是（）

A B ．3=

C =D

=3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

C ．

4．（）

A ．1

B ．﹣1

C ．

D -

5．下列运算正确的是（）

A =

B =

C ．3=

D 2= 6．下列计算正确的是（）

A =

B 3=

C =

D ．21=

7．化简）

C D

8．若a b > ）

A ．-

B ．-

C ．

D ．

9．下列运算正确的是（）

A =

B ．(2

8-=

C 12

D 1=

10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）

A B C D

11．230x -=成立的x 的值为（）

A ．-2

B ．3

C ．-2或3

D ．以上都不对

12．与根式- ）

A ．

B ．x -

C ．D

二、填空题

13．已知x =(

)21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________

14．若0a >化成最简二次根式为________． 15．能力拓展：

1A =

2A =；3:A =；

4A =________．

…n A ：________．

()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．

()2比较大小1A 和2A

()3

16．2==________． 17．设12211112S =+

+，22211123S =++，322

134S =++，设

...S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为

正整数)．

18．把_____________. 19．已知整数x ，y 满足

第三节二次根式的化简求值(含答案)...八年级数学学而思

第三节二次根式的化简求值

1.二次根式的化简求值

给出一定的条件求二次根式的值，一般要先将二次根式化简，再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰， 2.非负数的和为零

若,0||2

=++c b a 则.0===c b a

1.有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点问题这类问题包含了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条

件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形． 2.二次根式的化简求值常见方法

(1)约分法：对“分式型”代数式，分子分母都是多项式时，有时可以先分别因式分解，通过约分达到化简目的．

(2)裂项法：对于一些连续相加的分式型二次根式，如果拆项后能互相抵消，则可用此法．

(3)取倒法：如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解，常常可先取倒再用第二种方法解决 (4)配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在,0,0>>y x

使得2

,2x b m xy =,2

a y =+则可把被开方数写成完全平方式，达到化

简目的，写成式子为=

+b m a =

+2)(y x .y x +在使用此法

时，一般先拆开m 瓶成2ry 的形式，再检查平方项．

(5)公式法：对于,b a +若,0,0>>b a 且存在,0>k 使得,2

二次根式的化简练习题(带答案)

二次根式的化简题集

一、二次根式的性质

1.若、为实数，且满足，则的值为．

【答案】

【解析】∵，

∴，，

∴．

【标注】【知识点】非负性的应用

2.，那么．

【答案】

【解析】∵原式，

∴，，，∴．

【标注】【知识点】二次根式的性质

3.若，则的值为．

【答案】

【解析】，

，

．

故答案为：．

【标注】【知识点】二次根式的性质

4.已知，则．

【答案】

【解析】，

由二次根式的非负性可知，

，

∴，

，

∴．

【标注】【知识点】利用二次根式非负性化简求值

5.已知，求值．

【答案】．

【解析】∵；．

∴；．

∴．

∴原式

．

【标注】【知识点】二次根式的性质

6.代数式的最大值为，此时与的关系是．

【答案】 ;

【解析】∵，

∴．

当时，

取得最大值．

【标注】【知识点】算术平方根的双重非负性

7.已知，则的值为．

【答案】

【解析】，

．

，

．

故答案为：．

【标注】【知识点】二次根式的性质

8.已知实数，满足：，则．

【答案】

【解析】∵，

∴，

∴．

【标注】【知识点】二次根式的性质

9.已知实数满足，求的值．

【答案】

【解析】由，

可得，

∵，

∴，

可得:，

解得：．

【标注】

【知识点】利用二次根式非负性化简求值

二、二次根式的化简

A. B. C. D.

1.若，则满足的条件是（）．

【答案】D

【解析】∵，

∴，

∴．

【标注】【知识点】二次根式的性质

2.若时，试化简．

【答案】．

【解析】∵；；．

∴原式．

【标注】【知识点】二次根式的性质

A. B. C. D.

3.已知，化简二次根式的正确结果是（）．

【答案】A

【解析】根据题意，

，得和同号，

又∵

中，

∴

，∴，，则原式

．

故选：．【标注】【知识点】把根号外的因式化到根号内

八年级初二数学二次根式(讲义及答案)含答案

一、选择题

1．下列计算正确的是（） A ．42=±

B ．

()2

33-=-

C ．()

5-= D ．()

-=-

2．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（）

A ．1

B ．﹣1

C ．1﹣2a

D ．2a ﹣1

3．(

)

555=（）

A ．55+

B ．55+

C ．525+

D ．10542的倒数是（） A 2B ．22

C ．2-

D ．22

5．下列式子中，属于最简二次根式的是（） A 4B 3 C 12

D 206．下列各式中，正确的是（）

A ．23

B ．a 3 • a 2=a 6

C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2

D ．5m + 2m = 7m 2

7．下列运算正确的是（）

A ．52223-=y y

B ．428x x x ⋅=

C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2

D 27123=

8．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（） A ．为任意实数 B ．1≤x≤4

C ．x≥1

D ．x≤4

9．下列运算正确的是（）

A x 2x 3x

B ．2﹣2=1

C ．55

D ．x ﹣x （a ﹣b x

10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.013323

)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那

么n ＝1，其中假命题的有（） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

11．实数a 、b 22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2++=+，则22a b +的最大值为

数学二次根式(讲义及答案)含答案

一、选择题

1．5﹣x ，则x 的取值范围是（） A ．为任意实数

B ．0≤x≤5

C ．x≥5

D ．x≤5

2．下列式子为最简二次根式的是（）

A B C D 3．下列各式成立的是（）

A 3=

B 3=

C ．22(3

=- D ．2-=

4．下列各式计算正确的是（）

A =

B =

C ．23=

D 2=-

5．下列各式计算正确的是（）

A =

B 6=

C ．3+=

D 2=-

6．下列各式中正确的是（）

A 6

B 2=-

C 4

D ．2(＝7

7．若a

，b ＝，则a b 的值为（）

A ．

2 B ．

C ．

8．下列各式计算正确的是（）

A +=

B ．2

6=（

C 4=

D =

9．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（） A ．3

B ．4

C ．6

D ．9

10．设0a >，0b >=的值是

（） A ．2

B ．

C ．

12 D ．

3158

11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）

A B C D

12．2

30x -=成立的x 的值为（）

A ．-2

B ．3

C ．-2或3

D ．以上都不对

二、填空题

13．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51

-_______12 14．已知实数,x y 满足()(

)

22008

20082008x x y y ----=，则

2232332007x y x y -+--的值为______.

15．计算（π-3）02-2

11(223)-4

--22

--（）

的结果为_____． 16．把31

a a

根号外的因式移入根号内，得________ 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“

初中数学二次根式化简求值专项训练含答案

初中数学二次根式化简求值专项训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________

一、解答题（共20题）

1、先化简，再求值：，其中.

2、先化简，再求值：其中.

3、三边分别为a、b、c，化简

4、先化简，再求值：

2(a－)(a＋)－a(a－6)＋6，其中a＝－1.

5、2、先化简再求值：，其中。

6、已知，求的值

7、先化简：，其中。

8、先化简，再求值：

，其中

9、先化简，再求值：，其中，．

10、先化简，再求值：，其中.

11、已知：，，求的值．

12、先化简，再求值：，其中．

13、已知,求的值．

14、先化简，再求值

()·（），其中

15、当，求代数式的值.

16、先化简，再求值：，其中

17、先化简再求值：，其中

18、化简：，并求当时的值．

19、先化简，再求值：＋6－2x将你喜欢的x值代入求值。

20、先化简，再求值：，其中x＝＋2．

============参考答案============

一、解答题

1、

2、

3、

4、原式＝2(a2－3)－(a2－6a)＋6＝2a2－6－a2＋6a＋6＝a2＋6a

当a＝－1时，原式＝(－1)2＋6(－1)

＝3－2＋6－6＝4－3.

5、解：原式

当时，上式

6、解：由已知得：且＜

7、先化简：，其中

原式=2分

代入，得?1分

8、解：原式=

当时，

原式

9、解：原式

当，时，原式

10、解：原式=?=?=. 当时，原式=?=?=.

11、解：原式= =．

当，时，原式=．

12、解：原式=?…………………4分

.…………………8分

专题训练。二次根式化简求值有技巧(含答案)

专题训练。二次根式化简求值有技巧(含

答案)

专题训练(一)：二次根式化简求值有技巧（含答案）

类型之一：利用二次根式的性质a^2=|a|化简

对于a^2的化简，不要盲目地写成a，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a^2的符号进行化简。即

a=|a|=(a>0)时，a；(a<0)时，-a。

1.已知a=2-3，则a^2-2a+1=()

A。1-3 B。3-1 C。3-3 D。3+3

解析：a^2-2a+1=(2-3)^2-2(2-3)+1=3-4+1=0，故选D。

2.当a<0且a≠0时，化简：(22a^2-a)÷(a^2-

4a+3)=________。

解析：22a^2-a=a(22a-1)，a^2-4a+3=(a-1)(a-3)，所以原式=-(22a-1)÷(a-1)=-2a+3，答案为3-2a。

3.当a<-8时，化简：|(a+4)^2-4|。

解析：(a+4)^2-4=(a+2)(a+6)，所以原式=|a+6|-2，当a<-8时，a+6<0，所以原式=-a-4.

4.已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：c^2-4c+4.

解析：根据勾股定理，c^2=3^2+5^2=34，所以c^2-

4c+4=(c-2)^2=32.

类型之二：逆用二次根式乘除法法则化简

5.当ab<0时，化简a^2b的结果是()

A。-ab B。a-b C。-a-b D。ab

解析：当ab<0时，a和b的符号不同，所以a^2b的符号为负数，即-a^2b。

6.化简：(1) (-5)^2×(-3)^2；(2) (-16)×(-49)；(3) (-25)÷9a^3.

二次根式(讲义及答案)及答案

一、选择题

1．下列计算正确的是（） A ．()2

22a b a b -=- B ．()3

22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a

÷⋅

= D ．

()

44-=-

2．下列各式计算正确的是（） A ．235+=

B ．2222+=

C ．236⨯=

D ．

222

= 3．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2

B ．0

C ．12

D ．-1

4．下列各式中，正确的是（） A ．42=±

B ．822-=

C ．

()

33-=- D ．342=

5．二次根式23的值是（） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．3 6．若31m -有意义，则m 能取的最小整数值是（） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 7．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）

A ．0x <

B ．0x

C ．2x

D ．2x

8．已知2225152x x ---=，则222515x x -+-的值为（） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

9．化简（﹣3）2的结果是（） A ．±3

B ．﹣3

C ．3

D ．9

10．已知实数x 、y 满足222y x x =-+--，则yx 值是（）

A ．﹣2

B ．4

C ．﹣4

D ．无法确定

二、填空题

11．将2

(3)(0)3a a a a

-<-化简的结果是___________________.

12．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简

()

22144a a ab b +--+=_____________；

中考数学二次根式(讲义及答案)及解析

一、选择题

1．下列二次根式中是最简二次根式的为（） A ．12

B ．30

C ．8

D ．

2．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是（） A ．3x >

B ．3x ≥

C ．3x ≤

D ．x 是非负数

3．已知m 、n 是正整数，若2m +5n

是整数，则满足条件的有序数对（m ，n ）为（） A ．（2，5） B ．（8，20）

C ．（2，5），（8，20）

D ．以上都不是

4．设S=222222

111111

111112233499100

++++++++++

+，则不大于S 的最大整数[S]等于( ) A ．98

B ．99

C ．100

D ．101

5．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）33a =a ；（3）64的平方根是2；（4）22(8)±=±8；（5）65

- =65+，其中正确的有（） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．如果2a a 2a 1+-+=1，那么a 的取值范围是（） A ．a 0= B ．a 1=

C ．a 1≤

D ．a=0a=1或

7．若a 、b 、c 为有理数，且等式

成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值

是（）

A ．1999

B ．2000

C ．2001

D ．不能确定 8．下列运算中错误的是（） A 235=B 236=C 822÷=

D ．2 (3)3-=

9．已知0xy <，化简二次根式2

x - ） A y B y -

C ．y -

D ．y --

10．下列计算正确的是（） A 235=B ．332-

= C ．

二次根式化简求值练习题及答案

二次根式化简求值练习题及答案
练习题
二次根式的化简
年级__________班级_________学号_________姓名__________分数____
一、选择题
1.若-1 x
2
?
2
等于
A.2x+1 B.1C.-1-2xD.1-2x
2.下列等式成立的是
A.
2
??2
2
4263
B.x=x2C.b-b?2b?1=-1 D.x?x
3.若
?
2
?1
,则a的取值范围是
A.2≤a≤B.a≥3或a≤2C.a≤2D.a≥3
4.化简a+
2
等于
A.2a-1 B.1C.1或-1 D.2a-1或1
5.计算
2
?
2
的值是
A.2-4a或4a-2B.0 C.2-4
aD.4a-2
6.当x3?3x2
??xx?3时，x的取值范围是
A.x≤0B.x≤- C.x≥- D.-3≤x≤0
?=________.
x与它的பைடு நூலகம்对值之和为零，则x
2
11.若?_________
.
12.当a_________时，|
a
2
-3a|=-4a.
2
13.化简3
=________.

部编数学八年级下册专题2二次根式化简求值技巧(解析版)含答案

专题2 二次根式化简求值技巧（解析版）

第一部分典例精析+变式训练

类型一a|化简

典例1（2022春•郯城县期末）化简二次根式―

B C．D．

思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．

解：由题意可知，x＜0，

原式＝﹣x

因此选项A是正确的，

应选：A．

总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及化简方法是得出正确答案的前提．

变式训练

1．已知a=1

，求

思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．

解：∵a=

===2―

∴a﹣1＝2――1＝1―0，

∴原式=

＝|a﹣1|

＝﹣（a﹣1）

=―1．

总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

2．（1）当a＜0

（2）实数a，b

思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．

解：（1）当a＜0

a(a1)

=―

；

（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，

＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）

＝0．

总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

类型二含有隐含条件的化简求值

典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么+

A．B．﹣C．±D．

思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（2，代入xy＝3，最后再开方即可．

解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，

培优竞赛二次根式的化简与求值含答案汇总

专题01 二次根式的化简与求值

阅读与思考

二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.

有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：

1、直接代入

直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入

适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.

数学思想：

数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. 想一想：若x y n +

=（其中x , y , n 都是正整数）

，则,,x y n 都是同类二次根式，为什么？

例题与求解

【例1】当120022

x +=

时，代数式32003

(420052001)x x --的值是（） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003

（绍兴市竞赛试题）

【例2】化简（1）

1()a b b a b b

a b a b ab b a b

+-÷-+-+ （黄冈市中考试题）

（2）

10141521

+--+++

（五城市联赛试题）

（3）

64332

(63)(32)

++++

（北京市竞赛试题）

（4）

315102633218

5231

--+-+++

（陕西省竞赛试题）

初中数学二次根式(讲义及答案)及解析

一、选择题

1．下列等式正确的是（）

A 7=-

B 3=

C ．5

D ．=2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A B C D

3．已知5x =-，则2101x x -+的值为（）

A ．-

B ．

C ．2-

D ．0

4．x 的取值范围是（）

A ．x≥2020

B ．x≤2020

C ．x> 2020

D ．x< 2020 5．下列各式中，正确的是（）

A ．

B ．a 3 • a 2=a 6

C ．(b+2a) (2a -b) =b 2 -4a 2

D ．5m + 2m = 7m 2

6．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1

B ．x≠2

C ．x≥1且x ＝2

D ．.x≥-1且x ≠2 7．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：

==+

x =

>，故0x >，由

332x ==-=，解得x

结果为（）

A ．5+

B ．5+

C ．5

D ．5-

8．给出下列化简①（）2=2=2=

=，其中正确的是（） A ．①②③④

B ．①②③

C ．①②

D ．③④ 9．下列运算一定正确的是( )

A a =

B =

C ．222()a b a b ⋅=⋅

D ()0n a m

=≥

10．如果实数x ，y =-(),x y 在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第一象限或坐标轴上

D ．第二象限或坐标

轴上二、填空题

11．化简322+=___________． 12．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．

数学二次根式(讲义及答案)含答案

一、选择题

1．下列计算正确的是（） A ．93=±

B ．382-=

C ．2(7)5=

D ．222=

2．下列根式是最简二次根式的是（） A ．4

B ．21x +

C ．

D ．40.5

3．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（）

A ．1

B ．﹣1

C ．1﹣2a

D ．2a ﹣1

4．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（） A ． B ．

C ．

D ．

5．下列计算正确的是（） A ．325+=

B ．2222+=

C ．2651-=

D ．822-=

6．下列运算正确的是（） A ．3223÷= B ．235+= C ．233363⨯=

D ．18126-=

7．下列各式一定成立的是（） A ．2()a b a b +=+ B ．222(1)1a a +=+ C ．22(1)1a a -=- D ．2()ab ab =

8．下列运算正确的是（） A ．x + 2x =3x B ．32﹣22=1

C ．2+5=25

D ．a x ﹣b x =（a ﹣b ）x

9．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简﹣

+b 的结果是

（）

A ．1

B ．b+1

C ．2a

D ．1﹣2a

10．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A 3x +B 1

x - C 1

x +D 3x -

二、填空题

11．能力拓展：

1A =

2A =；3:A =；

4A =________．

…n A ：________．

()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．