2015-2016学年人教A版高中数学必修4练习手册：1-2-2同角三角函数的基本关系 Word版含答案
人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。
1.2.2同角三角函数关系(2015年人教A版数学必修四导学案)
2 cos2 1 （2） 1 2 sin 2 a
5、求证： （1） 1 tan
2
1 cos 2
（2） sin cos sin cos
4 4 2 2
课题：1.2.2 同角三角函数关系 班级： 【学习目标】 姓名： 备 注
4 ， 且 为第三象限角， 则 sin =_______， tan =________。 5 1 2、已知 sin =－ ，则 cos ________，tan =_________。 2
1、 已知 cos －
3、已知 sin =－ （ A、－ ）
3 3 ， ∈( ，2 )，则 tan 等于 5 2
1 (0 ) ， 则 sin cos ___________ ， 5
tan _____。
3 、 已 知 sin cos
60 ， 且 ， 则 sin __________ ， 169 4 2
cos __________。
2
【课堂研讨】 例 1、已知 sin
4 ，且 是第二象限角，求 cos ， tan 的值。 5
练习：已知 tan
12 ，求 sin ， cos 的值。 5
例 2、已知 tan 2，求下列各式的值： （ 1 ）
4 sin 2 cos 3 cos 3 sin
（ 2 ）
sin 2 2 sin cos 3 cos2
例 3、已知 sin cos
sin cos （1）
4 ，求下列各式的值： 3 sin 3 cos3 sin 4 cos4 （2） （3）
2015-2016学年高一数学人教A版必修四教案：1.2.1 任意角的三角函数 Word版含答案
任意角的三角函数教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
授课类型：新授课 教学模式：讲练结合教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1：已知角α的终边上一点()P m ，且sin α=，求cos ,sin αα的值。
解：由题设知x =y m =，所以2222||(r OP m ==+，得r =从而sin4α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒=当0m =时，r x ==cos 1,tan 0x yαα==-==；当m =r x ==cos tan x y r x αα====；当m =r x ==cos tan x y r x αα==== 2．三角函数的符号：练习2：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan,sincos222ααα的符号。
3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值： （1）9cos4π， （2）11tan()6π-， （3）9sin 2π．二、讲解新课：当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延 长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP AT AT x OM OAα====． 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。
——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案
1.2.2.同角三角函数的基本关系学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x .∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α.梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ).(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.类型一.利用同角三角函数的关系式求值命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为(..)A.125B.－125C.512D.－512 答案.D解析.∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.反思与感悟.同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解.由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2.已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 例2.已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.解.∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.反思与感悟.利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2.已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值. 解.方法一.∵cos α＝－513<0，∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213，tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125，故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0.(2)若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－(－513)2＝－1213，tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0.综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二.∵tan α＝sin αcos α，∴13sin α＋5tan α＝13sin α(1＋513·1cos α)＝13sin α[1＋513×(－135)]＝0.类型二.利用同角三角函数关系化简 例3.已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解.原式＝ (1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－ (1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|.∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号).反思与感悟.解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3.化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).解.(1)原式＝ cos 36°－ sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0， 则原式＝1cos 2α 1＋sin 2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝1cos 2α cos 2αcos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|＝－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 类型三.利用同角三角函数关系证明例4.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立.反思与感悟.证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 跟踪训练4.求证：cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x .证明.方法一.(比较法——作差)∵cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x ＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x ＝0， ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法二.(比较法——作商)∵左右＝cos x 1－sin x 1＋sin x cos x ＝cos x ·cos x (1＋sin x )(1－sin x )＝cos 2x 1－sin 2x ＝cos 2x cos 2x ＝1. ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.方法三.(综合法)∵(1－sin x )(1＋sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝cos x ·cos x ， ∴cos x 1－sin x ＝1＋sin xcos x.类型四.齐次式求值问题例5.已知tan α＝2，求下列代数式的值.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 解.(1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1 ＝14×4＋13×2＋125＝1330. 反思与感悟.(1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值.(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.解.由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.(1)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89.(2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于(..)A.－43B.34C.±34D.±43答案.A解析.∵α为第二象限角，sin α＝45，∴cos α＝－35，tan α＝－43.2.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于(..)A.74 B.－916 C.－932 D.932答案.C解析.由题得(sin α－cos α)2＝2516，即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516，∴sin αcos α＝－932.故选C.3.化简1－sin23π5的结果是(..) A.cos 3π5B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π5答案.C 解析.1－sin23π5＝ cos23π5＝|cos 3π5|， ∵π2<3π5<π，∴cos 3π5<0， ∴|cos 3π5|＝－cos 3π5，即1－sin23π5＝－cos 3π5，故选C. 4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝ . 答案.－25解析.sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝－25. 5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.解.∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝1－125＝265， tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.课时作业一、选择题1.已知cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－1213，β为第三象限角，则sin α·tan β等于(..) A.－4825B.4825 C.13 D.－13答案.B解析.∵cos α＝－35，α∈(π2，π)，sin β＝－1213，β是第三象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝45，cos β＝－1－sin 2β＝－513，即tan β＝125，则sin α·tan β＝4825.故选B.2.已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α等于(..)A.－55B.－15C.－255D.－45答案.C解析.∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.3.已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是(..)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案.B解析.∵sin A ＋cos A ＝23，∴1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518＜0，又∵A ∈(0，π)，sin A ＞0， ∴cos A ＜0，即A 为钝角.故选B.4.函数y ＝1－sin 2x cos x ＋1－cos 2xsin x 的值域是(..)A.{0,2}B.{－2,0}C.{－2,0,2}D.{－2,2}答案.C解析.y ＝|cos x |cos x ＋|sin x |sin x .当x 为第一象限角时，y ＝2；当x 为第三象限角时，y ＝－2； 当x 为第二、四象限角时，y ＝0. 5.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为(..) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案.C解析.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8. 6.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于(..) A.－43B.54C.－34D.45答案.D解析.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.7.已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin xcos x 等于(..)A.12B.－12C.2D.－2答案.B解析.利用1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin x cos x ＝－cos x sin x －1＝－12.二、填空题8.已知sin α＋2cos αcos α＝1，则α在第 象限.答案.二或四解析.sin α＋2cos αcos α＝tan α＋2＝1，tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限.9.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝ . 答案. 3或－13解析.因为sin α＋2cos α＝102，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－1010，cos α＝31010或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝31010，cos α＝1010，故tan α＝sin αcos α＝－13或3. 10.在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝ .答案.π3解析.由题意知cos A >0，即A 为锐角. 将2sin A ＝3cos A 两边平方，得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)， ∴A ＝π3. 11.若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝ . 答案.－22 12.已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝ . 答案.－32解析.因为π<α<5π4， 所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线知，cos α<sin α，cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－ 1－2×18＝－32. 三、解答题13.已知tan α＝－12，求1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值. 解.原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 四、探究与拓展14.若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z )的值为 .答案.1解析.∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.15.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ)； (3)方程的两根及此时θ的值.解.(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m .② 将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32， 所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)由(1)得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)， 所以θ＝π3或π6.。
人教A版高中数学必修四课后训练{1.2.2同角三角函数的基本关系}.docx
课后训练1．已知cos x ＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝( ) A ．43 B ．43- C ．43或43- D ．34或34- 2．已知cos 1sin 12αα=-，则1sin cos αα+等于( ) A ．12 B ．12- C ．2 D ．－2 3．已知sin cos sin cos θθθθ+-＝2，则sin θcos θ的值是( ) A ．34 B ．310± C ．310 D ．310- 4．若sin θcos θ＝12，则cos tan sin θθθ+的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D ．125．当π2k α≠(k ∈Z )时，1cos tan αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(sin α＋tan α)的值( ) A ．恒为正 B ．恒为负C ．恒非负D ．可正可负6．若sin α＋cos α＝15，α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin α－cos α＝__________．7．已知f (tan x )＝21cos x ，则(f ＝__________． 8．求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅． 9．已知tan α＝12，求下列各式的值： (1)2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+；(2)sin 2α－3sin αcos α＋4cos 2α．10．已知关于x 的方程2x 2－＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．(1)求22sin cos sin cos cos sin θθθθθθ+--的值； (2)求m 的值．参考答案1答案：B 解析：∵x ∈(π，2π)，cos x ＝35， ∴x ∈3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin x ＜0，sin x ＝45=-， ∴tan x ＝43-． 2答案：B 解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α＝(1－sin α)(1＋sin α)． ∴cos 1sin 11sin cos 2αααα+==--． 3答案：C 解析：由已知得tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝222sin cos tan sin cos tan 1θθθθθθ=++ ＝2333110=+． 4答案：B 解析：tan θ＋cos sin cos 1sin cos sin sin cos θθθθθθθθ=+=＝2． 5答案：A 解析：1cos tan αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(sin α＋tan α) ＝sin αcos α＋cos α·sin cos αα＋sin α·cos sin αα＋1 ＝sin α＋cos α＋1＋sin αcos α＝(1＋sin α)(1＋cos α)．∵α≠π2k ，k ∈Z ， ∴1＋sin α＞0,1＋cos α＞0，故选A ．6答案：75 解析：由sin α＋cos α＝15，得2sin αcos α＝2425-． 从而(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝24491+2525=． 又α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＝75． 7答案：4 解析：f (tan x )＝22221sin cos cos cos x x x x+=＝tan 2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋1．∴(f ＝4． 8答案：证明：左边＝2sin sin sin sin cos 1cos αααααα=--，右边＝2sin sin cos 1cos sin sin αααααα++=， 又sin 2α＝1－cos 2α，∴(1＋cos α)(1－cos α)＝sin 2α． ∴sin 1cos 1cos sin αααα+=-，即左边＝右边． ∴原式成立．9答案：解：(1)原式＝3223tan 12134tan 10342αα--==++⨯． (2)原式＝2222sin 3sin cos 4cos sin cos αααααα-++ ＝22134tan 3tan 44211tan 14ααα-+-+=++ ＝115． 10答案：解：(1)由根与系数的关系可知sin θ＋cos θ，① sin θcos θ＝2m ， 则2222sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-+=--- ＝sin θ＋cos θ． (2)由①式平方，得1＋2sin θcos θ， ∴sin θcos θmm满足题意．。
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-2-2同角三角函数的基本关系
【例】 已知 tanα＝2，则 (1)24ssiinnαα－ －39ccoossαα＝________； (2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.
【思维导图】
【解】 (1)24ssiinnαα－ －39ccoossαα＝24ttaannαα－－39＝24× ×22－ －39＝－1. (2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α ＝4sin2α－si3ns2iαn＋αccoossα2－α 5cos2α， 因为 cos2α≠0，所以分子和分母同除以 cos2α， 则 4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4tan2tαa－n2α3＋tan1α－5 ＝4×4－4＋3×1 2－5＝1.
(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.
(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意 义，如式子tan90°＝csoins9900°°不成立．
(4)注意公式变形的灵活应用． (5)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角 α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类 讨论．
cos2α sin2α
(2)原式＝1－sincoαsα·
csoinsαα－sinα csoinsαα＋sinα
＝1－sincoαsα·
1－cosα 1＋cosα
＝1－sincoαsα·
1－cosα2 1－cos2α
＝1－sincoαsα·1－|sincoαs| α
＝±1.
通法提炼 同角三角函数关系化简常用方法有： ①化切为弦，减少函数名称；②对含根号的，应先把 被开方式化为完全平方，去掉根号；③对含有高次的三角 函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化 简．
【评析】 形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换， 将整式变为分式，即可利用分式的性质将式子变为关于 tanα 的代数式，从而代入求值．
人教版数学必修四：1.2.2同角三角函数关系(作业纸)
课题：§1.2.2同角三角函数关系的作业 总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1. 已知1312cos =θ且θ为第四象限的角，则θsin = ；θtan = 。
2. 已知31sin -=α，则αtan 的值为 。
3. 已知3tan =α，π＜α ＜23π，则ααsin cos -的值为 。
4. 已知θθsin ,cos b y a x ==，则=+2222by a x 。
5. 已知αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为 。
6. 已知sin θ·cos θ＝12 ,则tan θ+1tan θ＝________。
7. 已知x x cos sin 1+=－21， 则1sin cos -x x 的值是 。
8. 已知1tan 2x =-，则1cos sin 3sin 2-+x x x = 。
9. 已知1sin cos 8αα⋅=，且42ππα<<．则=-ααsin cos ．10.已知524cos ,53sin +-=+-=m m m m θθ，则m= ，αtan = 。
二、解答题：11．设2tan =α，求下列各式的值： （1）ααααcos sin cos sin -+； （2）αααα22cos 3cos sin 2sin -+12．化简：（1）θθ2sin 1tan -，其中θ为第二象限角； （2）ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-，其中α为第四象限角。
13．证明下列恒等式：（1）αααα2244cos sin cos sin -=-； （2）αααα2222sin tan sin tan -=； （3）αααα2244cos sin 21cos sin -=+； （4）xxx x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=--三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识错误；只有“知识性错误”需要写出相应的知识点.]2．填空题具体订正：_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
高中数学人教A版必修四教案：1.2.2 同角的三角函数的基本关系 Word版含答案
1.2.2同角三角函数的基本关系 一、教学目标：1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=. A这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.已知3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证: cos 1sin 1sin cos x xxx +=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.5.巩固练习23P 页第4,5题6.学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.——————————————————————注意事项————————————————————以上高中数学必修教学课程教案均为word文字可编辑版，如果刚好符合你要求，欢迎下载使用。
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.2.2同角三角函数的基本关系式(二)
分析三 因为左边分母为 1－sin α，故可将右式分子、分母同 乘 1－sin α.
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1＋sin α1－sin α 方法三 右边＝ cos α1－sin α 1－sin2α cos2α cos α ＝ ＝ ＝ ＝左边， cos α1－sin α cos α1－sin α 1－sin α
若设 sin α－cos α＝t，则 sin α－cos α＝
2
.
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1.2.2（二）
探究点一
三角函数式的化简
三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其
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基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
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1.2.2（二）
请按照上述标准化简下列三角函数式： 已知 α 是第三象限角，化简：
本 答 课 时 栏 目 ＝ 开 关
1＋sin α － 1－sin α
1－sin α . 1＋sin α
原式＝
1＋sin α2 － 1－sin α1＋sin α 1－sin α2 cos2α
人教A版高一数学必修4 练习--第一章 三角函数1.2.2--含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43B.34 C ．±34D ．±43解析： 因为α是第二象限角，sin α＝45，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α ＝－43.答案： A2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316解析： 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，分子分母同除以cos α得：tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.答案： D3．化简：1－2sin 10°·cos 10°＝( ) A ．cos 10°－sin 10° B ．sin 10°－cos 10° C ．sin 10°＋cos 10°D ．不确定解析： 原式＝sin 210°－2sin 10°·cos 10°＋cos 210° ＝（sin 10°－cos 10°）2＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10° 答案： A4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D.35解析： sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.答案： B二、填空题(每小题5分，共15分) 5．化简(1＋tan 2α)·cos 2α＝________．解析： 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 答案： 16．已知sin α·tan α＝1，则cos α＝________．解析： sin 2α＋cos 2α＝1，由sin αtan α＝1，得sin 2α＝cos α，令cos α＝x ，x ＞0，则1－x 2＝x ，解得x ＝－1＋52. 答案：－1＋527．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________．解析： 1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案： －13三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值：(1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α；(2)sin 2α－2sin αcos α＋1. 解析： 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.。
新版高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数 1.2.2
1.2.2同角三角函数的基本关系课时过关·能力提升基础巩固1已知cos α则等于A解析:sin2α=1-cos2α答案:A2已知α为锐角,sin α则等于A解析:∵α为锐角,∴cosα-∴tanα答案:D3化简- 的结果为A.cos 190B.sin 190C.-sin 190D.-cos 190解析:原式190|=-sin190.答案:C4已知在△ABC中,tan A=则的值是A解析:∵tan A=且A是△ABC的内角,∴A是钝角.A= A.又sin2A+cos2A=1,A=答案:B-则的值为5若A.-2B.2 C解析:---解得tanα=答案:D6若sin θ=则解析:∵sinθ=θ>0,∴θ是第三象限角,∴cosθ<0,则cosθ=---答案:7已知sin x=2cos x,则sin2x=.解析:∵sin x=2cos x,∴sin2x=4cos2x.∴sin2x=4(1-sin2x).解得sin2x答案:8已知A为锐角,且lg(1+cos A)=m,l-则的值为答案:-9求证-证明左边----右边左边=右边.故原式成立.10已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1.求下列各式的值: (1)tan α;(2--解(1)2cos2α+3cosαsinα-3sin2α则即4tan2α-3tanα-1=0.解得tanα=或tanα=1.(2)原式----当tanα=时,原式当tanα=1时,原式能力提升1已知tan α>0,且sin α+cos α<0,则()A.cos α>0B.cos α<0C.cos α=0D.cos α符号不确定解析:∵tanα即sinα与cosα符号相同.又sinα+cosα<0,则cosα<0.答案:B2若α∈[0,2π),且--则角的取值范围是AC解析:由已知--=|sinα|+|cosα|=sinα-cosα,∴sinα≥0,cosα≤0.又α∈[0,2π),∴α∈答案:B3若非零实数m,n满足tan α-sin α=m,tan α+sin α=n,则cos α等于()A--C-解析:已知条件中的两等式联立,得-解得tanα-则cosα-答案:A★4已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ则的值为A解析:由sin4θ+cos4θ得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ∴sin2θcos2θ∵θ是第三象限角,sinθ<0,cosθ<0,∴sinθcosθ答案:A5化简sin2α+sin2β-sin2αcos2β-sin2αsin2β的结果为.解析:原式=(sin2α-sin2αcos2β)+(sin2β-sin2αsin2β)=sin2α(1-cos2β)+sin2β(1-sin2α)=sin2αsin2β+sin2βcos2α=sin2β(sin2α+cos2α)=sin2β.答案:sin2β6已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦,则实数m的值为.答案:7已知sin θ=a sin φ,tan θ=b tan φ,其中θ为锐角,求证:cos θ--证明由题意知a右边----整理,得右边--θ|.因为θ为锐角,所以右边=cosθ=左边.★8已知sin α+cos α其中求的值解∵sinα+cosα∴(sinα+cosα)2即1+2sinαcosα∴sinαcosα=∵0<α<π,且sinαcosα<0,∴sinα>0,cosα<0.∴sinα-cosα>0.又(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα∴sinα-cosα。
2015-2016学年度第二学期高一数学必修四第一章三角函数测试题及答案(一),推荐文档
2015-2016学年度第二学期高一数学必修四测试题 测试范围：第一章三角函数（一）本试卷共4页，20小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。
2•选择题和非选择题答案必须统一填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不按要求 作答的答案无效.3•考生必须保持答题卡的整洁•考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 、单项选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）21.若点P 在—的终边上，且 OP=2,贝U 点P 的坐标3A (1, . 3)B. ( 3, 1)C. ( 1, , 3)是A. (cos 0 , sin 0 )B. ( — cos 0 , sin 0 )C. (sin 0 , cos 0 )D. ( — sin 0 , cos 0 )A.最小正周期为 的奇函数B. 最小正周期为 —的奇函数2C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为 —的偶函数25.已知cosn一 sin4力,则sin的值是65 6A2暑2.3厂44A. BC.D. —D ( 1, .. 3)A.sin240o的值等于3.如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆 O 于点P,若/ AOP=0，则点P 的坐标4.已知函数(x) (1 cos2x)sin 2 x, x R ，则 f (x)是5555如果一扇形的弧长为 2 cm ，半径等于2cm ，则扇形所对圆心角为 3 210.要得到函数y sin 2x 的图象，可由函数 ysin (2x)46. A. 下列不等式中，正确的是 + 1313tan tan — 4 5C.sin( n — 1)<s ini.sin — 57cos 一 5cos( )72、 cos( )5A. k—, k55 (k Z) B . 12k 5 ,k 11 (k12 12 Z)12C. k, k 3-(k Z) D .62 k, k (k 6 3Z)&下列函数中，最小正周期为n,n且图象关于直线 x=- -对称的是函数7. 6)的单调递减区间A.向左平移一个长度单位 8B. 向右平移 个长度单位8C.向左平移—个长度单位 4 11.以下命题正确的是D.向右平移 -个长度单位4A. B. C. D. 12. 函数 f(x)= A sin( x +A. cos cos ,则 sin sin sin sin ,则 tantancos cos ，则 sin sin sin sin ,则 tantan)(A0, 0,0.1D.3都是第一象限角，若 都是第二象限角，若 都是第三象限角，若 都是第四象限角，若 )的图象如图所示，贝U f(—)的值4B . 0 Cy 3sin(2 x A. ny = si n(2x + —) x nB. y = sin( + y)C. ny = si n(2x ——)nD. y = sin(2x ——)39. A.、填空题（本大题共4个小题，每小题 5分，共20分） 15. 已知函数f （x ）sin （2x5），若对任意xR都有f （x1）f （x ）f （x2）成立，则| X i x 2 |的最小值是 ______________ .n一16. ___________________________________________________________________ 关于函数f （x ） = 4sin （2 x + —）（ x € R ），有下列命题其中，正确的是 _________________ .n① 函数y = f （x ）的表达式可改写为 y = 4cos （2 x —石）; ② 函数y = f （x ）是以2n 为最小正周期的周期函数；n③ 函数y = f （x ）的图象关于点（一—,0）对称；n④ 函数y = f （x ） 的图象关于直线x — $对称.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）cosyP (— 4, 3),求 2cos(——24 n18. (10 分)已知 sin 0 = , — < 0 < n,5213. msin7n tan( 4 )5 p cos = 214.已知tansin(2，则)sin(-cos(32)cos(）的值为）17. （10分）已知角)sin( )的值9)sin (卡)sin ⑵求0 + 2sin 0 cos 02 23sin 0 + cos 0的值.(1)求tan 0 ;的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为 一•6(1 )求 的值；(2)如果f (x)在区间一，乞 上的最小值为.3，求a 的值.3 621. (13 分)已知函数 f (x ) = 2cos(2 x —寸),x € R (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间.n %⑵ 求函数f (x )在区间［—，丁］上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.8 222. (13分)已知函数f (x) Asin( x )(A 0,0, | | )在一个周期内的图象2下图所示。