4-2 相似矩阵和矩阵对角化
相似矩阵和矩阵对角化的条件
3 0 0 1 ,2 ,3线性无关， 三 个 ， A ~ 0 1 0 ， 共 0 0 1 0 2 -1 相应的可逆阵 (1,2,3 ) 1 1 0 P 1 0 1
例2
1 1 0 A 4 3 0 是否和对角矩阵相似． 判断矩阵 1 0 2 若相似，求出可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP .
三. 矩阵可对角化的条件
条件1(充要条件）：A有n个线性无关的特征向量．
证明：必要性
若 A
1 , n
~
2
则存在 阶可逆矩阵 ， n P
使得P1AP . 设P (1 , 2 ,, n )
显然， i (i 1, 2,, n) , 且1 ,2 ,,n 线性无关．
设P (1 , 2 ,, n )
由于 1 ,2 ,,n 线性无关，故Ｐ可逆．于是，
AP A(1 ,2 ,,n )
( A1 , A2 ,, An ) (11 , 22 ,, n n )
AP (11 , 22 ,, nn )
i
i 是A的特征值，i 是A的属于 i 的特征向量．
又 1 , 2 ,, n 线性无关
A有n个线性无关的特征向量
充分性
设Ａ有n个线性无关的特征向量：1 , 2 ,, n , 它们所对应的特征值依次为： 1 , 2 ,, n , 则有
Ai ii (i 1, 2,, n)
第二节
相似矩阵和矩阵对角化的条件
一．相似的定义 设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可 逆矩阵P，使得
P AP B
记作 A B 则称A相似于B．
1
第二节-------相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)
1 1 0
例３ 判断矩阵 矩阵相同．
A
4 1
3 0
0
2
是否和对角
1 1 0
解
|
I
A
|
4
3
0
(
2)(
1）2
1 0 2
得Ａ旳全部特征值为 1 2，2 3 1
r(i I A) n i旳重数
1 2 : r(2I A) 3 1 2 2 3 1: r(I A) 3 2 1
2．和数量矩阵相同旳矩阵只有它本身．
a
设 A
a
，则对于任意旳可逆矩阵Ｐ
a
a
a
P
-1
a
P
ap-1 p
aI
a
a
a
二．相同旳性质
1．反身性：A ~ A (I -1AI A) 2．对称性： A ~ B B ~ A
( A ~ B P 1AP B A ( P 1)-1 BP 1)
,
Xn)
1
2
P
n
即 AP P P 1AP 所以A相同于对角阵 ．
若 A 有 n 个线性无关旳特征向量,则 A与 对角阵 P 1AP 相同，且
1
2
,
n
P ( X1 X2 Xn )
其中，1, 2 , , n 是Ａ旳n个特征值，Xi 是
Ａ旳属于 i 旳特征向量．
1 0 0
例１
r(
I
A)
r
4
2
1 0
0
1
r
0
0
1 0
2
2
0
A 不与对角阵相同
四．约当原则形 1
1
１．n阶约当块： J
1
矩阵的对角化方法
矩阵的对角化方法矩阵的对角化是一种重要的矩阵变换方法，在线性代数中具有广泛的应用。
对于一个可对角化的矩阵，可以将其通过相似变换转化为对角矩阵，这样可以简化矩阵的计算和分析过程。
在本文中，我将介绍矩阵的对角化方法，并详细解释其原理和应用。
首先，我们需要明确一下矩阵的对角化定义。
一个n×n的矩阵A称为可对角化的，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
其中，对角矩阵是指非对角线上的元素全部为0的方阵。
对角化的主要目的是将原矩阵化简为对角形式，以方便计算和理解。
对于一个可对角化的矩阵A，其对应的对角矩阵D的对角线元素是A的特征值，而P的列向量组成的矩阵则是对应于特征值的特征向量。
因此，对角化的关键在于求解矩阵A的特征值和特征向量。
求解矩阵A的特征值和特征向量的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法：特征值分解和相似对角化。
一、特征值分解方法特征值分解方法是求解矩阵特征值和特征向量的最常用方法之一。
对于一个n×n的矩阵A，其特征值和特征向量的计算步骤如下：1. 求解特征多项式。
将A的特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I为n阶单位矩阵，λ为特征值。
解特征多项式可以得到n个特征值λ1，λ2，...，λn。
2. 求解特征向量。
对于每一个特征值λi，将其代入方程组(A-λiI)X=0，并求解出特征向量X。
3. 归一化特征向量。
将每个特征向量进行归一化处理，使其模长等于1。
4. 构造P和D矩阵。
将特征向量按列组成P矩阵，特征值按对角线组成D矩阵，得到P和D满足P-1AP=D。
特征值分解方法的优点是求解过程直观简单，容易理解，适用于一般情况。
但是，对于大规模矩阵，求解特征多项式和连续的特征值比较困难，计算量较大。
二、相似对角化方法相似对角化方法是通过相似变换将矩阵A转化为对角矩阵的方法。
它的基本思路是寻找一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D。
P矩阵的列向量正好是A的特征向量。
相似对角化的步骤如下：1. 求解矩阵A的特征值和特征向量。
矩阵对角化问题总结
矩阵对角化问题总结矩阵对角化是线性代数中的一个重要概念，它在很多数学和工程领域中都有广泛应用。
对角化可以把一个矩阵转化为对角矩阵的形式，简化了计算和分析的过程。
本文将对矩阵对角化的定义、条件以及计算方法进行总结。
首先，矩阵对角化的定义如下：对于一个n × n的矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得我们可以得到对角矩阵D，则称矩阵A是可对角化的。
其中，对角矩阵D的非零元素是A的特征值，且按照相应的特征值的重数排列。
为了判断一个矩阵是否可对角化，我们需要满足以下条件：1. 矩阵A必须是一个方阵（即行数等于列数）。
2. 矩阵A必须具有n个线性无关的特征向量，对应于n个不同的特征值。
当满足上述条件时，我们可以通过以下步骤进行矩阵对角化：1. 求出矩阵A的特征值，即解A的特征方程det(A-λI) = 0，其中I是单位矩阵。
2. 对每个特征值λ，解方程组(A-λI)X = 0，求得对应的特征向量X。
3. 将特征向量按列组成矩阵P。
4. 求出特征值构成的对角矩阵D。
需要注意的是，在实际求解矩阵对角化问题时，可能会遇到以下情况：1. 矩阵A的特征值重数大于1。
在这种情况下，我们需要确保对应于相同特征值的特征向量线性无关。
2. 矩阵A不可对角化。
这意味着矩阵A无法被相似变换为对角矩阵。
这可能发生在矩阵A的特征向量不足以构成一组基的情况下。
矩阵对角化在很多应用中具有重要意义，它简化了矩阵的计算和分析过程。
对角矩阵具有很好的性质，例如幂运算和指数函数的计算变得更加简单。
此外，在线性系统的稳定性和动态响应的分析中，矩阵对角化也起到了关键的作用。
总之，矩阵对角化是一个重要而又广泛应用的概念。
本文对矩阵对角化的定义、条件以及计算方法进行了总结，并提到了在实际问题中可能会遇到的情况。
了解矩阵对角化的概念和方法，对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。
将矩阵对角化的过程
将矩阵对角化的过程矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，其可以将一个矩阵变换为对角矩阵，使得矩阵的运算更加简便。
本文将介绍矩阵对角化的过程及其应用。
一、矩阵对角化的定义矩阵对角化是指将一个$n\times n$矩阵$A$与一个可逆矩阵$P$相似，即$P^{-1}AP=D$，其中$D$是一个对角矩阵。
对角矩阵是指只有对角线上有非零元素的矩阵，即$D=\begin{bmatrix}d_1&0&\cdots&0\\0&d_2&\cdots&0\\\v dots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&d_n\end{bmatrix }$，其中$d_1,d_2,\cdots,d_n$是对角线上的元素。
二、矩阵对角化的步骤对于一个给定的矩阵$A$，我们可以按照以下步骤对其进行对角化：1. 求出矩阵$A$的特征值和特征向量：设$\lambda$是矩阵$A$的一个特征值，$v$是对应的特征向量，满足$Av=\lambda v$，则特征值和特征向量可以通过解方程$(A-\lambda I)v=0$得到。
2. 构造矩阵$P$：将所有的特征向量按列组成一个矩阵$P$，即$P=[v_1,v_2,\cdots,v_n]$。
3. 求出矩阵$P^{-1}$：由于$P$是由特征向量组成的矩阵，因此其列向量线性无关，即$P$可逆，因此可以求出$P$的逆矩阵$P^{-1}$。
4. 求出对角矩阵$D$：由于$AP=PD$，因此$D=P^{-1}AP$，即$D$是$A$相似的对角矩阵。
至此，我们就完成了矩阵对角化的过程。
三、矩阵对角化的应用矩阵对角化在线性代数和其它学科中都有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 求矩阵的幂：对于一个已经对角化的矩阵$A$，其幂可以通过对角矩阵的幂来计算，即$A^k=PD^kP^{-1}$。
相似矩阵与矩阵对角化
1 2 2 1 2 2
2E
A
2 2
4 4
4 4
0 0
0 0
0 0
得
x1 2 x2 2 x3
2
2
得基础解系
X1
1 0
,
X2
0 1
.
15
当3 7时，齐次线性方程组为 7E A X
8
7E
A
2 2
2 5 42Biblioteka 4 510
0
0
1 0
1
2
1
0
x1
1 2
x3
x2 x3
5
即Ak ∽ B k (5) 设A ∽ B ，则存在可逆矩阵P，有
B P1 AP
即 E B E P1AP
= P1( E)P P1AP P1( E A)P
= P1 E A P = E A
相似矩阵有相同的特征多项式故而有相同的特征值．
注1 虽然相似矩阵有相同的特征值，但它们属于同一 特征值的特征向量不一定相同.
将 P 按列分快为 P X1 , X2 ,L , Xn .
7
由P 1 AP , 得 AP P
1
即
A X1, X2 ,L
,
Xn
X1 ,
X2 ,L
,
Xn
2
O
n
1 X1 ,2 X2 ,L ,n Xn
所以 A X1 , X2 ,L , Xn AX1 , AX2 ,L , AXn
13
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
(1)
A
2 2
2 4
4 2
2 1 2
(2)
A
5 1
相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件
A 有n 个线性无关的特征向量.
【注】 ①若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.
②证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法： 即用 A 的n个线性无关的特征向量 1,2 ,,n
构成可逆矩阵U，U (1 2 n ) ，则
1
U 1 AU
2
n
其中i 是属于特征 值i 的特征向量.
【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要
～A
【注】单位矩阵 E 只与自己相似
因为对任意可逆矩阵 U，U 1 EU E
数量矩阵 aE 只与自己相似 U 1aEU aE
2. 相似矩阵的性质 （1）基本性质
反身性，即A～A， 对称性，即A～B，则B～A 传递性， 如果A～B，B～C，则A～C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值(包括重数),迹,行列式.
【注】 逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
相互对应.
例1
判断
1 A 2
2 1
2 2
是否可以相似对角化.
2
2
1
A的属于特征值5的特征向量为
1
1 1
1
A的属于特征值
-1（二重）2
1
的特征向量为
0
1
3
1,2 ,3 线性无关 ，A可以相似对角化
1
0
1
令U
矩阵相似对角化
例如，对于矩阵$A = begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}$，其特征值为 $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3$，对 应的特征向量分别为$x_1 = begin{bmatrix} -2 -4 -6 end{bmatrix}, x_2 = begin{bmatrix} -1 -2 -3 end{bmatrix}, x_3 = begin{bmatrix} 1 2 3 end{bmatrix}$。选取可逆矩阵$P = begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 -6 & -3 & 3 end{bmatrix}$， 则有$P^{-1}AP = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{bmatrix}$。
性质
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征多项式和特征值。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 特征子空间和特征向 量。
相似对角化后的矩阵 具有与原矩阵相同的 行列式值。
相似矩阵的判定
如果一个矩阵具有n个线性无关 的特征向量，则该矩阵可相似 对角化。
如果一个矩阵的所有特征值都 是单重的，则该矩阵可相似对
矩阵分解
矩阵相似对角化是矩阵分解的一 种形式，可以将一个复杂的矩阵 分解为易于处理的几个部分，如 三角矩阵、对角矩阵等。
线性变换
矩阵相似对角化可以用于研究线 性变换的性质。通过对矩阵进行 相似对角化，可以了解线性变换 在各个方向上的拉伸、压缩、旋 转等效应。
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵与矩阵的对角化
用A左乘式（6-11），得 x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0 x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12） 式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得 x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0 按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－ λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得 xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得 xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关. 因此有以下定理：
相似矩阵与矩阵的对角化
解 若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人 员总数（单位：万人），则已知
相似矩阵与矩阵的对 角化
相似矩阵与矩阵的对角化
一、 相似矩阵的概念
定义6-5
对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P－1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B. 矩阵的相似是一种等价关系c，满足以下三个性质： （1）反身性：A与自身相似. （2）对称性：若A与B相似，则B与A相似. （3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.
在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个 矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来 计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我 们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：
相似矩阵与矩阵的对角化
自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩 阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若 A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有
矩阵对角化公式
矩阵对角化公式矩阵对角化是线性代数中的重要概念，它提供了一种将一个矩阵表示为对角矩阵的方法，使得矩阵的运算更加简化。
在本文中，我们将介绍矩阵对角化的基本概念、判定条件以及计算方法。
1. 矩阵对角化的基本概念一个n×n矩阵A可对角化，意味着存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵D，使得A=PDP^{-1}。
其中，D是由A的特征值组成的对角矩阵。
2. 判定矩阵可对角化的条件一个n×n矩阵A可对角化的条件是：- 矩阵A有n个线性无关的特征向量；- 矩阵A的每个特征值都有对应的正交归一化特征向量。
3. 计算矩阵的特征值和特征向量要计算一个矩阵A的特征值和特征向量，可以遵循以下步骤：- 计算矩阵A的特征多项式det(A-λI)，其中λ是一个未知数，I是单位矩阵；- 解特征多项式的根，即特征值λ；- 将特征值代入方程A-λI的解空间中，求解特征向量。
4. 矩阵对角化的计算过程对于可对角化的矩阵A，可以按以下步骤进行对角化：- 对矩阵A进行特征值分解，得到特征矩阵V和对角矩阵D；- 计算可逆矩阵P，使得A=V^{-1}DVP；- 可以通过相似变换将矩阵A对角化，P表示变换矩阵。
5. 对角化与矩阵的性质对角矩阵的特点是非常简单的，可以很容易地计算幂、指数和逆矩阵等运算。
因此，对角化使得矩阵的运算更加简化。
6. 矩阵对角化的应用矩阵对角化在许多领域都有广泛应用，包括物理、工程和数据分析等。
例如，在量子力学中，矩阵对角化可以把含有多个粒子态的哈密顿矩阵表示成一组分立的单粒子能级。
总结：矩阵对角化是线性代数中一个重要的概念，它提供了将一个矩阵表示为对角矩阵的方法。
这篇文章介绍了矩阵对角化的基本概念、判定条件及计算方法，还讨论了对角化的计算过程、矩阵的性质以及应用领域。
对角化简化了矩阵的运算，并且在许多领域有广泛的应用。
线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化
特征向量是判断两个矩阵是否相似的关键因素之一。
04
矩阵对角化的方法
Chapter
特征值法
首先求出矩阵的特征值和特征向 量，然后判断特征值是否都互异 ，如果互异，则矩阵可对角化。
如果矩阵有重特征值，需要进一 步判断其对应的线性无关特征向 量个数是否等于该重特征值的重 数。
总结词 详细描述 适用范围 注意事项
在数值计算中，矩阵对角化可以用于求解线性方 程组和特征值问题。
2
在量子力学中，矩阵对角化可以用于求解哈密顿 算子的本征值和本征向量。
3
在信号处理中，矩阵对角化可以用于进行信号的 频谱分析和滤波。
03
相似矩阵和矩阵对角化的关系
Chapter
相似矩阵与对角矩阵的关系
相似矩阵的定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称矩阵A和B相 似。
线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵 对角化
目录
• 相似矩阵的定义和性质 • 矩阵对角化的条件和性质 • 相似矩阵和矩阵对角化的关系 • 矩阵对角化的方法 • 矩阵对角化的应用
01
相似矩阵的定义和性质
Chapter
定义
01
相似矩阵
特征值
02
03
特征向量
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B 相似。
。
幂法
总结词
通过计算矩阵的幂，判断矩阵是 否可对角化。
01
02
适用范围
03
适用于较小的矩阵或者具有特殊 性质的矩阵。
04
详细描述
计算矩阵的幂，观察矩阵是否能 够通过有限次幂运算化为对角矩 阵，如果可以，则原矩阵可对角 化。
矩阵的对角化计算方法和例子
矩阵的对角化计算方法和例子矩阵对角化是矩阵理论中的基础概念，它是将一个矩阵A转换成一个对角矩阵D的过程，即找到一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D，其中D 为对角矩阵，其非零元素为原矩阵A的特征值，P的列向量为A的对应特征值的特征向量。
接下来我们将介绍两种常见的矩阵对角化计算方法，以及一个简单的例子。
一、矩阵对角化的计算方法1. 直接计算法通过计算特征值和特征向量，可以直接得到对角矩阵。
具体步骤如下：（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、... 、λn；（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D，其中D是由特征值组成的对角矩阵。
2. 相似矩阵法将矩阵A转化为一个相似矩阵B，使得B是对角矩阵，即B=[diag(λ1,λ2, ... ,λn)]。
具体步骤如下：（1）求出矩阵A的特征值λ1、λ2、... 、λn；（2）对于每一个特征值λi，求出相应的特征向量xi；（3）将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2, ... ,xn]，则A可以被对角化为B=P⁻¹AP。
二、矩阵对角化的例子考虑矩阵A=[1 22 1]首先求出A的特征值：|A-λI|=(1-λ)²-4=λ²-2λ-3=(λ-3)(λ+1)所以A的特征值为λ1=3和λ2=-1。
接下来求出A的特征向量：当λ1=3时，解方程组(A-λ1I)x=0得到x1=[1-1]，当λ2=-1时，解方程组(A-λ2I)x=0得到x2=[11]。
将特征向量按列排成矩阵P=[x1,x2]，则A可以被对角化为P⁻¹AP=D=[3 00 -1]。
因此，矩阵A可以被对角化，对角矩阵为D，可逆矩阵为P。
4_2方阵的相似对角化与4-3正交矩阵
1 −3 (1) A= 3 −5 = 6 −6 −1 1 (2) B= −4 3 = 1 0
3 3 4 0 0 2
=
对角阵为 Λ=
1 −1 1 1 0 1 , 0 1 2 −2 0 0 0 −2 0 , 0 0 4
满足 P−1 A P= Λ . =
《线性代数》 返回 下页 结束
例3.判断下列矩阵是否相 似于对角阵, 若相似, 似于对角阵 若相似 求可逆矩 阵P，使P−1 A P= Λ . ， =
对于特征值λ3=6，解线性方 ， 程组(6 − 程组(6E−A)X=o， 6 = ，
解得
x = 5 . y = 6
1 得其基础解系ξ3= -2 ， 3
由于A和 相似 由于 和B相似，且B是一个 对角阵，可得 的特征值为 对角阵，可得A的特征值为
《线性代数》 返回
−1 1 1 所以 P = 1 0 −2 . 0 1 3
=(λ−2)(λ−1)2=0， ，
矩阵B的特征值为 矩阵 的特征值为 λ1=λ2=1 λ3=2 . =1, =1, 对于特征值λ1=λ2=1 解线性 方程组(E− 方程组 −B)X=o， = ，
1 −3 (1) A= 3 −5 = 6 −6 −1 1 (2) B= −4 3 = 1 0
3 3 4 0 0 2
解得 例2.
1 − 1 0 阶方阵A相似于 设3阶方阵 相似于D = 2 2 0 阶方阵 0 0 3
x = −17 . y = −12
,求|A|. 求
由于矩阵A和 相似 所以|A|=|D|, 即 相似，所以 解：由于矩阵 和D相似 所以 由于矩阵 |A|=|D|＝12.
相似可知， 解：由A和B相似可知，它 和 相似可知 们的迹、行列式都相等， 们的迹、行列式都相等，即
第四章 相似矩阵与矩阵的对角化
定理4.1 n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充 分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量。
证明 必要性 设有可逆矩阵U，使得
U-1AU=, 其中 = diag(1, 2,, n),
即AU = U .
将U按列分块，U = (1, 2, , n)，则有
1
A(1,2, ,n ) (1,2, ,n )
证明 若A～B，则由性质1知 |A|=|B|，因此矩阵A、B 的行列式或者均不为零，或者均为零，故它们或者都 可逆，或者都不可逆。
在A、B为可逆阵时，在等式U-1AU=B两边同时取逆有： U-1A-1U=B-1，故A-1～B-1.
性质3 若A～B，则An～Bn，n为自然数。
证明 因为A～B，所以存在可逆阵U，使得U-1AU=B,
A的 特 征 值 为1 1，2 3 2
当1 1时 ， 解 方 程( I A)X 0. 由
1 1 1 1 0 1 I A 0 3 0 0 1 0
4 1 4 0 0 0
1
得 基 础 解 系 ：1 0
1
所 以k1 (k 0)是 对 应 于 特 征 值1 1
定理4.2 方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。
2
n
因 而 A i i i , i 1,2, , n,
因为U = (1, 2, , n)可逆，故1, 2, , n线性无关，
且它们分别是A对应于特征值1, 2,, n的特征向量。
充分性 设矩阵A有n个线性无关的特征向量1, 2, , n，
它们对应的特征值分别为1, 2,, n，则
Ai = ii，(i = 1, 2, ,n )
具有关系式
A =
(1)
成立，则数 称为方阵A的特征值， n维非零列向量
相似矩阵与矩阵可对角化的条件
所以，A的特征值为1 2 1, 3 1.根据定理4.10，对于 二重特征值1 2 1，矩阵A应有两个线性无关的特征向量.
故对应齐次线性方程组(E-A)X=0的系数矩阵(E-A)的秩r(E-A)=1.
又
1 0 -1 1 0
E-A=
-x
0
-y
0
0
-1 0 1 0 0
由此可得：A可对角化时，必有x y 0.
对于相同矩阵还有下列性质： 1. 相同矩阵旳行列式相等. 2. 相同矩阵旳秩相等. 3. 相同矩阵或都可逆或都不可逆.
二.矩阵可对角化旳条件
如果n阶矩阵A可以与相似于一个n阶对角矩阵, 则称 A可对角化. 称为A的相似标准形（矩阵）.
由例1阐明，假如合适选用可逆矩阵P，就可能使P1AP 成为对角矩阵然而，并非全部旳n阶矩阵都能够对角化. 下面将讨论矩阵可对角化旳充要条件.
-1
x+y
0
相同使同阶矩阵之间旳一种主要关系，具有下述性质：
设A,B,C为n阶矩阵，则
1.反身性 A A
证明 由E1AE A,可以直接得到结论.
2.对称性 如果A B，则B A
证明 由A B可知，存在可逆矩阵P，有P-1AP B. 于是，A PBP1 (P1)1 BP1，所以B A.
3.传递性 如果A B, B C，则A C.
例1
设
A
3 5
4 2
，P=
1 1
1
2
,Q
4 5
11，则矩阵P, Q都可逆，
由P
1
AP
1 1
11 3
2
5
4 1
2
1
1
2
1 2
9
线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化
A ~ B, B ~ C A ~ C （3）传递性：
证明 假设存在可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP D
为对角阵 D diag (1, 2 , , n ) ， 设 P ( p1 , p2 , , pn ) ，则由 P 1 AP D
AP PD
即
A ( p1 , p2 ,
, pn ) ( p1 , p2 ,
例3 设
4 3 A 2 1
（1）问 A 可否对角化？若能，求出相应的 1 P ，使得 P AP 为对角阵。 n （2）求 A 。 解 由
f ( ) E A
4
2
3
1
2 3 2 ( 1)( 2)
显然 A 由两个不同的特征值1，2，所以 A 可以对角化。 当 1 1 时，解方程组 (1E A) X 0
定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条 件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。
定理5 如果矩阵 A 的特征值 i j ，则与它们 对应的特征向量 pi 和 p j 线性无关。 推论 若 n 阶方阵 A 有 n个互异的特征值 , ,..., 1 2 n 则 可对角化，且 A diag (1, 2 ,..., n ) A
1 解得其基础解系为 p1 1
例题
例1 设
2 0 0 A 1 2 1 1 0 1
试问 A 可否对角
矩阵的对角化与相似矩阵
矩阵的对角化与相似矩阵矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在各种数学和应用领域都有广泛的应用。
在矩阵的理论中，对角化是一个重要的概念，它与相似矩阵密切相关。
本文将介绍矩阵的对角化以及相似矩阵的概念与性质。
一、矩阵的对角化矩阵的对角化是指将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵D，即P^{-1}AP = D其中D是一个对角矩阵，那么我们说矩阵A是可对角化的，且P是对A的对角化矩阵。
对角化的一个重要性质是对角矩阵的特殊性，对角矩阵的非零元素位于主对角线上，其余元素均为0。
对于一个可对角化的矩阵A，我们可以通过矩阵的特征值与特征向量来进行对角化。
特征值与特征向量是矩阵理论中的另外两个重要概念，特征值表示线性变换后特征向量方向上的缩放比例。
设矩阵A的特征值为λ_1, λ_2, ..., λ_n，对应的特征向量为v_1,v_2, ..., v_n，那么我们可以将这些特征向量按列排成一个矩阵P，即P = [v_1, v_2, ..., v_n]根据特征值与特征向量的定义，我们有AP = PD其中D是一个对角矩阵，其主对角线上的元素为矩阵A的特征值，其余元素为0。
由此可得到可逆矩阵P和对角矩阵D的关系P^{-1}AP = D因此，如果我们找到了矩阵A的特征向量和特征值，就可以通过特征向量构成的矩阵P来实现矩阵的对角化。
二、相似矩阵在矩阵的理论中，还有一个与对角化相关的概念是相似矩阵。
如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和B之间存在如下关系B = P^{-1}AP那么我们称矩阵A和B是相似的，且P是从矩阵A到矩阵B的相似变换矩阵。
相似矩阵具有许多重要的性质。
首先，相似矩阵具有相同的特征值，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的特征值是相同的。
其次，相似矩阵具有相似的行列式、迹等性质。
此外，相似变换不改变矩阵的秩和行列式的性质。
相似矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
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所以
1 3 1 2 3 A PD P 1 2 2n 1 1 2 3 2n 3 3 2n n n 3 2 2 2 2 2
n n 1
2013-1-7
线性代数教学课件
2013-1-7 线性代数教学课件 15
显然 A 由两个不同的特征值1，2，所以 A 可以对角化。 当 1 1 时，解方程组 (1E A) X 0
1 解得其基础解系为 p1 1
当 2 2 时，解方程组 (2 E A) X 0
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AP PD
1 2 A ( p1 , p2 , , pn ) ( p1 , p2 , , pn ) n
2013-1-7 线性代数教学课件 5
即
于是 A p j j p j , j 1, 2 , , n 可见 j，是 A 的特征值，向量 p j 就是矩阵 A
关于特征值 的特征向量
j
j
反之，设 恰有 个特征值，并可对应 n 个 A n ，并且它们线性无关。 特征向量 p1 , p2 ,, pn 令 即是要找的相似变换。 P ( p1 , p2 , , pn )
定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条 件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。
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线性代数教学课件
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例题
例1 设
2 0 0 A 1 2 1 1 0 1
试问 A 可否对角
化？若能，求出相应的矩阵 P 。 解：由 E A 0 可得 A 的特征值为 1 1, 2 2 （二重） 求解特征向量，分别求解
则由 P 1 AP D ，可得 A PDP 1 于是
A ( PDP ) ( PDP )( PDP ) ( PDP )
n
1 n
1
1
1
PD n P 1
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而因为
1 1 2 3 1 D , P n 2 2 1 1
3 解得其基础解系为 p2 2
令 P p1
1 3 p2 1 2
则有
1 P AP 2
1
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线性代数教学课件
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n 较大时，直接计算 An 时不容 （2）当
易的，如果记
1 D 2
( E A) X 0与(2E A) X 0
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可得 1 , 2 对应的特征向量分别为
0 0 1 P 1 , P2 1 , P3 0 1 1 0 1
P 1 A E P
P 1 A E P
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A 线性代数教学课件 E .
3
推论 如果 n 阶方阵 A 与对角矩阵 D diag(1 , 2 ,, n ) 相似，则 1 , 2 ,, n ；也是的特征值。
若方阵 A 能与一个对角阵相似，则称 A 可对 角化 方阵 A 可对角化的判定条件
注意上述命题的逆命题不成立，例如单 位阵
E
线性代数教学课件
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定理6 设 1 , 2 ,..., s 是 A 的 s 个互异的特征 p 值， i1, pi 2 , , pim 是 A 的属于 i 的 mi 个线性无 关的特征向量， i 1, 2...., s ，则 p11, p12 , , p1m1 , p21,..., p2m2 ,..., ps1,..., psms 也线性无关。
定理4 n 阶方阵 A 可以与一个对角型矩 阵 D 相似的充分必要条件是， A 有 n 个 线性无关的特征向量。
线性代数教学课件 4
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证明 假设存在可逆矩阵 P ，使得 P1 AP D
为对角阵 D diag (1, 2 , , n ) ， 设 P ( p1 , p2 , , pn ) ，则由 P 1 AP D
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线性代数教学课件
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定理5 如果矩阵 A 的特征值 i j ，则与它们 对应的特征向量 pi 和 p j 线性无关。 推论 若 n 阶方阵 有 n个互异的特征值 , ,..., A 1 2 n 则 可对角化，且 A diag (1, 2 ,..., n ) A
i
定理6是说当 A 有多重特征值时，若每个特征 值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其 也可以对角化。
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线性代数教学课件
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定理7 设 是 A 的一个 k 重特征值，对应的 特征向量线性无关的最大个数为 l ，则 k l 也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其 对应的特征值的重数。 定理8 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 的每个 k i 重特征值 i 对应有 k i 个相形无关的 特征向量。即 R(i E A) n ki
A （3）传递性： ~ B, B ~ C A ~ C
线性代数教学课件 2
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一些有用的定理
定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有
相同的特征值。 证明 ：因为 A, B 相似，所以存在可逆阵 P 使 得 P 1 AP B
B E P 1 AP P 1 E P
0 1 0 P ( P , P3 , P2 ) 1 0 1 1 1 1 0 1 P 1 AP 2 2
线性代数教学课件 12
若令
则也有
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但是若令
1 0 0 P ( P3 , P , P2 ) 0 1 1 1 1 1 0
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例3 设
4 3 A 2 1
（1）问 A 可否对角化？若能，求出相应的 1 P ，使得 P AP 为对角阵。 n （2）求 A 。 解 由 4 3
f ( ) E A 2
1
2 3 2 ( 1)( 2)
第二节 相似矩阵和矩阵对角化
本节目的：利用相似变换把一个矩阵化 成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的 条件和相似变换阵的求解方法 。
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线性代数教学课件
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相似矩阵的定义
定义3 已知矩阵 A， 是两个 n 阶方阵如果存 B 1 在一个满秩矩阵 P 使得 P AP B 则称 A ， 相似，记作 A B B 相似关系满足以下性质： （1）自反性：A ~ A ； （2）对称性：A ~ B B ~ A ；
则应有
2 P 1 AP 1 2
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线性代数教学课件
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例2 设
0 A
*
0
* * 0
，而 0 E A 0
问 A 可否对角化？ 解 因为 E A ( 0 )n 即0 是 A 的 n 重特征值。而由 0 E A 0 知 R(0 E A) 1 ，即 A 的线性无关的特 征向量的个数不超过 n 1 个，因此，由 定理8知， A 不可以对角化。
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当 A 可对角化时，总是可以利用此方法 来求 A 得高阶次幂。
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线性代数教学课件
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即 A 由三个线性无关的特征向量，从而由定 理4，A 可以对角化。 令 0 0 1 P ( P , P2 , P3 ) 1 1 0 1 1 0 1
线性代数教学课件 11
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则有
1 P 1 AP 2 2