【教育学习文章】二次函数与商品利润第2课时学案

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2.4 二次函数的应用第2课时(教案)-北师大版数九年级下册

第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。

人教版九年级数学上册《二次函数与实际问题——利润问题》导学案

春季学期九年级数学导学稿二次函数与实际问题（2）撰稿人：审稿人：姓名：_________【课时细目】1.能够分析和表示实际问题中的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力；2.经历探索商品销售中的最大利润问题的过程，增强数学应用能力.【导学过程】一、课前预习（1）二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，y有最值是。

（2）二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是；当x= 时，y有最值是。

（3）二次函数y=2x2-8x+9的顶点式为；对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，y有最值是.二、课中研讨探究一：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？思考：(1)题目中有几种调整价格的方法？(2)题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？1、在涨价的情况下，若设每件涨价x元，每星期总利润为y元思考：如何将上述变量用表格的形式体现出来？他们的等量关系呢？如何求解它的最大利润？在涨价的情况下，当x= 时，y最大，即定价元，利润最大，最大利润为2、在降价的情况下，若设每件降价a元，每星期总利润为b元,请求出最大利润变形：为了获得最大利润，我们采取涨价销售攻占市场，为了扩大品牌影响力，保证销量，我们要求每周销量不得低于260件，又该如何定价才能使利润最大？解决这类题目的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定；（2）在自变量的取值范围内，运用或求出二次函数的顶点坐标.（3）判断顶点横坐标是否在自变量的取值范围中；若在范围内；则即实际问题的最值；不在范围内；则需要根据图象及其单调性判断最值点.三、当堂检测1.填空右图为某二次函数y=ax2+bx+c(2≤x≤7)的完整图象，根据图像回答：当x= 时，y有最大值是；当x= 时，y有最小值是。

二次函数与商品利润问题导学案

第2课时二次函数与商品利润导学案一、学习目标1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）二、课前预习求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.(1)0≤x≤6； (2) -2≤x≤2.三、新课讲授例一某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例二某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格x(元)满足函数关系：y＝－2x＋180．为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于75元/件且不得高于90元/件．(1)写出每天的销售利润w(元)与销售价格x(元)的函数关系式；(2)每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大，最大是多少元？四、知识要点--求解最大利润问题的一般步骤1、2、3、五、练习1、某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（30－x）件，使利润最大，则每件售价应定为______元.2、进价为80元的某件衬衣定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为________________________每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为____________________.(以上关系式只列式不化简）3、某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？4、某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？。

实际问题与二次函数(第2课时二次函数与商品利润)九年级数学上册(人教版)

巩固练习
解析总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
课堂练习
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系： y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75 ∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
16
O 57
x
课堂练习
6.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
课堂练习
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则 w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)] =(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840 =－8(x－8)2+1352.
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究
知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？即：y=-20x2+100x+6000，

九年数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决利润问题教案北师大版

第2课时利用二次函数解决利润问题【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.【过程与方法】经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣.【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题一、情景导入，初步认知问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件.若设销售单价为x(20＜x＜35的整数)元，该商店所获利润为y元.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.二、思考探究，获取新知1.教师提问：（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）销售量可以表示为；销售额(销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 .（3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元.2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义.【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法.鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法.【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值.三、运用新知，深化理解1.见教材P48例2.2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与 x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：当每天的房价增加x 元时，就会有10x 个房间空闲.∴一天订住的房间数为（50-10x ），每间房可获利（180 + 2-20)，从而可列出函数关系式.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.3.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0. 1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值解:设每件商品降价x 元（0＜x ＜2)，该商品每天的利润为y 元.商品每天的利润y 与x 的函数关系式是：y=（10-x-8）（100+100x ）即y=-100x 2+100x+200配方得21-100+2252y x =-（）因为x=1/2时，满足0≤x ≤2.所以当x=1/2时，函数取得最大值，最大值y=225.答：将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利润最大4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x(十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式;（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10?30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【教学说明】通过练习，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.四、师生互动，课堂小结求二次函数最大(小)值的方法：（1）配方化为顶点式求最大(小)值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大(小)值；（3）利用图象找顶点求最大(小)值.1.布置作业：教材“习题2.9”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释;课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.。

22.3第2课时二次函数与商品利润

量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是 x ≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
当x=4时，即销售元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.
侵权必究
练一练某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单
价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
侵权必究
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
侵权必究
当堂练习
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则 w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1352. 当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.
1、超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60 元），每天可售出50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加2 元，每天销售量会减少1 件，设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250 元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w最大，最大值是多少？

人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案

人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数的第2课时，主要内容是销售利润问题。

教材通过引入实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣和积极性。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题的解决上，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解销售利润问题的背景和意义，掌握销售利润问题的解决方法。

2.能够将二次函数知识应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3.培养学生的团队协作能力和问题解决能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：掌握销售利润问题的解决方法，能够将二次函数应用于实际问题的解决。

2.难点：如何引导学生将二次函数与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。

五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。

同时，采用小组合作学习的方式，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和讨论。

2.准备教学课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的销售利润问题，如商品打折、促销活动等，引导学生关注销售利润问题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现一个具体的销售利润问题，如某商品原价为100元，售价为80元，求商品的利润。

引导学生运用二次函数知识进行解决。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个销售利润问题进行解决。

教师巡回指导，解答学生的问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。

《二次函数与利润问题及几何问题》教案 (公开课)2022年湘教版数学

第2课时二次函数与利润问题及几何问题1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点)2．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题及图形中最大面积问题.一、情境导入如下列图，要用长20m的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y＝x(20－2x)．试问：x为何值时，才能使y的值最大？二、合作探究探究点一：最大利润问题某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克本钱y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过(3，6)，(7，7)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m－24m＋n＝6，49m－56m＋n＝7，解得⎩⎨⎧m＝18，n＝638.∴y2的解析式为y2＝18x2－x＋638(1≤x≤12，x取整数)；(2)设y1＝kx＋b，∵函数y1的图象过(4，11)，(8，10)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k＋b＝11，8k＋b＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－14，b＝12.∴y1的解析式为y1＝－14x＋12(1≤x≤12，x取整数)．设这种水果每千克所获得的利润为w元．那么w＝y1－y2＝(－14x＋12)－(18x2－x＋638)＝－18x2＋34x＋338，∴w＝－18(x－3)2＋214(1≤x≤12，x取整数)，∴当x＝3时，w取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第7题探究点二：几何面积问题用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再根据矩形的面积公式列出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场；方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程，再利用函数和方程的思想进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题三、板书设计本节课主要是用二次函数理论知识解决拱形(抛物线)类问题、最大面积和最大利润问题，通过对问题的探究解决，使学生认识到数学知识和生活实际的紧密联系，提高学习数学的积极性.第2课伟大的历史转折1教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与方法学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。

湘教版九年级数学下册优秀学案：15第2课时二次函数与利润问题及几何问题.docx

第2课时二次函数与利润问题及几何问题自学目的【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增加对数学的理解和学好数学的信心.【自学重点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值. 【自学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.自学过程一、情境导入，初步认识问题1同学们完成下列问题：已知y=x2-2x-3①x二___ 时，y有最______ 值，其值为______ ;②当TWxW4时，y最小值为_____ , y最大值为_____ ・答案:①1,小，-4； (2)-4, 5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知自学点1最大面积问题阅读教材P3。

动脑筋，回答下列问题.1•若设窗框的宽为xm,则窗框的高为_____ m,x的取值范围是____ ・2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？皆七8 —3x8答案：1. ---------- 0〈x〈一2 3382.S=- —X2+4X,0<X<—2 3_8 23.Smax=—IB •3? f例1如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E,过E点剪 2 HZ 下两个正方CI-X形，它们的边长分别是AE, DE,要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a,设DE=x,则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+ （a-x）2=2x2-2ax+a2 当x=_ 2° =丄幺时,y 最小值=2X （丄a）2-2aX — a+a2= — a22x2 2 2 22即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.自学点2最大利润问题例2预习教材P31例题【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.例3某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调査，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件•将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大？【分析】找出进价，售价，销售，总利润之间的关系，建立二次函数，再求最大值•列表分析如下：关系式：每件利润二售价-进价，总利润二每件利润X销量.解:设降价x元，总利润为y元，由题意得y=（10-x-8）（100+100X）=-100X2+100X+200=-100（X-0. 5）2+225.当x=0.5时，总利润最大为225元.・・・当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1•如图，点C是线段AB上的一个支点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A.当C是AB的中点时,S最小B.当C是AB的中点时,S最大C.当C为AB的三点分点时,S最小D.当C是AB的三等分点时,S最大A E D\ \ 7第1题图第2题图2•如图，某水渠的横断面是等腰梯形,底角为120。

九年级数学： 22.3第2课时二次函数与商品利润教案

第2课时二次函数与商品利润能根据商品利润问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．阅读教材第50页，自学“探究2”，清楚求商品利润问题中的最值与二次函数最值之间的关系．自学反馈学生独立完成后集体订正：某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系．(1)试求y 与x 之间的函数解析式；(2)当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？(1)根据数量关系列出函数解析式；(2)先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值．注意自变量需符合实际意义．活动1 小组讨论例1 某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y 与x 的函数解析式(不要求写出x 的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．解：(1)45＋260－24010×7.5＝60(吨)． (2)y ＝(x －100)(45＋260－x 10×7.5)．化简，得y ＝－34x 2＋315x －24 000. (3)y ＝－34x 2＋315x －24 000＝－34(x －210)2＋9 075. 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．(4)我认为，小静说得不对．理由：当月利润最大时，x 为210元，而月销售额W ＝x(45＋260－x 10×7.5)＝－34(x －160)2＋19 200. 当x 为160元时，月销售额W 最大．∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大的．∴小静说得不对．要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x 元(x 为10的正整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？【预习导学】自学反馈(1)y＝－10 000 x＋80 000.(2)利润w＝(－10 000x＋80 000)(x－4)＝－10 000(x－6)2＋40 000.当销售定价为6元时，每月利润最大，最大利润为40 000元．【合作探究】活动2跟踪训练(1)y＝50－x10(0≤x≤160，且x为10的正整数倍)．(2)w＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x2＋34x＋8 000.(3)w＝－110(x－170)2＋10 890.∵x≤340－180＝160，∴当x＝160时，w max＝10 880.即一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润为10 880元．。

北师大版九年级数学下 2.4 第2课时商品利润最大问题学案

2.4 二次函数与一元二次方程第2课时商品利润最大问题学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．学习过程:一、有关利润问题：某商店经营T 恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b2）2＋a b ac 442 的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课后练习1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y （箱）与每箱售价x （元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W （元）与每箱牛奶的售价x （元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？。

九年级数学初三下册：2.4 第2课时商品利润最大问题2教案教学设计

2.4二次函数与一元二次方程
第2课时商品利润最大问题
课题
利用二次函数解决商品销售利润问题
授课人
重点难点
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
教学
方法
引导发现、讨论归纳、讲练结合
课型
复习课
教
学
目
标
1、知识目标：体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学应用价值
若该公司计划年初投入进货成本m不超过200万元，请你分析一下，售价定为多少元，公司获利最大？售价定为多少元，公司获利最少？
三、小练兵：
某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y= –20x +1800.
（1）写出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
销售单价x（元）
60
80
100
年销售量（万件）
5
4
3
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）设该种产品的年销售额为P（万元），写出P的函数表达式。
（3）试写出该公司销售该种产品的年获利W（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=每件获利×年销售量-其他开支）。
（4）当销售单价定为多少元时，年获利最大？最大年获利是多少万元？
2、能力目标：能分析和表示问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。
3、德育目标：培养学生积极的学习态度，养成积极主动的学习习惯。
教学过程
一、引入:
二、走进生活：
某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计20万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如下表格所示的一次函数关系。

《实际问题与二次函数——商品利润问题》教学设计4

22.3 实际问题与二次函数 (第2课时)1 总利润=（ - ）2 某文具每件进价6元，每件售价10元时每周可卖出30件；此时每周的总利润为_________________________元；3 某商品每件进价30元，每天销售数量70件，设每件售价x元，每天销售利润y元，Y与x的关系式怎么表示？4 某商品每件进价30元，每天销售数量m件与每件售价x元满足m=180-3x(x是正整数)，每天销售利润y元，y与x的函数关系怎么表示？二典型例题已知该T恤的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：每涨价一元，每星期要少卖出10件。

该T恤应定价为多少元时，能获得最大利润，最大利润是多少？三归纳解题方法运用二次函数求商品利润问题的一般步骤1 审：审请题意，找到变量之间的关系2 设：设变量3 列：列出函数解析式和自变量取值范围4 解：求出最值四例题变式变式1. 已知T恤的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件，若厂家规定促销期间每件售价不能超过64元，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？变式2. 已知T恤的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。

市场调查反映：每降价一元，每星期可多卖出20件。

该T恤应定价为多少元时，能获得最大利润，请你求出这个定价？五巩固提升1、某童装进价为每件40元，若按每件50元的价格出售，则每星期能卖出50件。

试销一段时间后发现：如果调整价格，每件涨价1元，每周销量就减少1件。

若设该童装销售单价涨价x元，获得的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为 . (提示：别忘了写x的范围)2 某文具进价每件6元，每件售价10元时每周可卖出30件；经调查，每降价1元，每周多卖10件，如果设降价x元时的总利润为y元；y与x之间的函数关系式为_____________ _______________________ （提示：别忘了写x的范围）3 某文具每件进价6元，每件售价10元时每周可卖出30件；经调查，每涨价1元，每周少卖5件，若设涨价x元时每周的总利润为y元，当涨价多少元时获得利润最大？4 某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(100-x)件，应如何定价才能使利润最大？5 某淘宝店主投资一款儿童帽．已知这款帽的成本价为每件10元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y =﹣10x+500．设该淘宝店主获得的利润为w（元），当销售单价x定为多少元时，每月可获得最大利润？六课堂小结如何求总利润（本节课学的总利润计算公式你还记得么）。

人教版初三数学上册二次函数与商品利润问题教学设计

《二次函数与商品利润问题》教学设计一、教材版本及内容分析本节课选自2011年人教版九年级上册第二十二章《二次函数》第三节《实际问题与二次函数》第二课时商品利润问题。

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。

而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，商品最大利润问题学生不易理解和接受，故而在这儿做专题讲解。

目的在于让学生通过解决商品利润问题，学会用建模的思想去解决其它和二次函数有关的应用问题。

此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二、学情分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在比较复杂的实际问题中，还不能熟练的应用知识解决问题。

本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

三、教学目标1、知识与技能：①学会将实际问转化为数学问题；②学会用二次函数的知识解决商品利润问题。

2、过程与方法：体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

3、情感态度与价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在小组交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素养的提升。

四、教学重点与难点1、教学重点：利用二次函数的知识对商品利润问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

2、教学难点：从商品利润问题中建立二次函数模型。

五、教学方法与手段新课程标准强调自主探究与合作交流应该是学生学习数学的重要方式。

人教版九年级数学上册精品教案第22章二次函数实际问题与二次函数第2课时二次函数与商品利润问题

第2课时二次函数与商品利润问题教师备课素材示例●置疑导入一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知该商品的进价为每件40元，请问：①题中调整价格的方式有几种？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？【教学与建议】教学：从学生感兴趣的经济问题入手，通过学生观察、思考，小组内相互交流后建立数学模型．建议：关注学生是否能够考虑到两种调整价格的方式，同时注意到两种价格调整方式中自变量的取值范围．●复习导入(1)请求出下列二次函数的最大值或最小值：①y＝2x2－8x＋1；②y＝－x2－6的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少.【教学与建议】教学：复习旧知识，强调模型化思想．建议：对于第(1)题可指导学生运用两种不同的方法进行解答；对于第(2)题应先确定矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式列函数解析式，最后求最值.此类问题的常见题型：(1)利用二次函数解决最大利润问题；(2)一次函数与二次函数的图象结合解决最大利润问题．【例】(1)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图．①销售单价为__10__元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为__25__元；②销售单价在__7≤x≤13__元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．(2)某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图．①求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；②若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该经销商日获利最大？最大获利是多少元？解：①设y＝kx＋b，把(30，140)，(50，100)代入，由待定系数，得k＝－2，b＝200.∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)；②设日获利为W，则W＝(－2x＋200)(x－30)－500＝－2x2＋260x－6500＝－2(x－65)2＋1950(30≤x≤60).∵－2＜0，∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大，∴当x＝60时，W最大＝－2×(60－65)2＋1950＝1900，∴销售单价为每千克60元时，该经销商日获利最大，最大获利是1900元．高效课堂教学设计1．让学生能够用二次函数知识解决商品最大利润问题．2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．▲重点用二次函数知识解决商品最大利润问题．▲难点建立二次函数模型．◆活动1 新课导入某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价 1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份．(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)；y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)；(2)由题意，得1.2x ＋900＝1.5x ＋540，解得x ＝1200.∴当印刷1200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数量大于1200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于500小于1200份时，乙印刷厂费用少．引入：正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧．◆活动2 探究新知1．教材P 50 探究2.提出问题：(1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？(2)若设每件涨价x 元，获得的利润为y 元，则每星期少卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？(3)若设每件商品降价x 元，获得的利润为y 元，则每星期多卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？(4)由此可知应如何定价才能使利润最大？学生完成并交流展示．2．某商场卖一种服装，由经验可知，销售利润与销售定价之间存在二次函数关系，且二次函数的系数a 小于0，据调查，当定价为150元或300元时，能获得相同的利润，则要使利润最大，其售价应为多少元？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．商品单件利润＝售价－进价．2．总利润＝单件利润×销售总数量．◆活动4 例题与练习例1 春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1元/L ，最高价格为4.5元/L ，小王按4.1元/L 购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200L ，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20L 油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？解：设油价定为x 元/L 时获利y 元，则y ＝(x －4.1)(200－x －4.10.1×20)＝－200(x －4.6)2＋50.∵4.1≤x ≤4.5，∴当x ＝4.5时，y 最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48，即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元．例2 为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y＝－10x＋1200.(1)求利润W(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润＝销售额－成本)；(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)W＝y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)＝－10x2＋1600x－48000；(2)W＝－10x2＋1600x－48000＝－10(x－80)2＋16000，∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大，最大利润是16000元．练习1．教材P51习题22.3第2题．2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润，则应该降价( A )A．5元B．10元C．15元D．20元3．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关系为y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是__5__元．◆活动5 课堂小结1．用二次函数解决商品利润问题的方法．2．解决利润相关问题中需要注意的问题．1．作业布置(1)教材P52习题22.3第8题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

华师版九年级数学下册(HS)教案第26章二次函数第2课时二次函数与利润问题

第2课时二次函数与利润问题1．应用二次函数解决实际问题中的最值问题.(重点)2．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．(难点)一、情境导入某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是135元时，销售量是500件，而单价每降低10元，就可以多售出200件．请你帮忙分析，销售单价是多少时，可以获利最多？二、合作探究探究点一：商品利润最大问题【类型一】利用二次函数求实际问题中的最大利润某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元时，销售量为y套．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，月销售额为14 000元？(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？解析：(1)由销售单价为x 元，得到销售减少量，用240减去销售减少量得到y 与x 的函数关系式；(2)直接用销售单价乘以销售量等于14 000，列方程求得销售单价；(3)由单件利润和月销售量得到月销售利润关于销售单价x 的二次函数，利用二次函数求出最值.解：(1)销售单价为x 元，则销售量减少x －605×20，故销售量为y ＝240－x －605×20＝－4x ＋480(x≥60)； (2)根据题意可得x(－4x ＋480)＝14000，解得x 1＝70，x 2＝50(不合题意，舍去)，故当销售单价为70元时，月销售额为14000元；(3)设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得w ＝(x －40)(－4x ＋480)＝－4x 2＋640x －19200＝－4(x －80)2＋6400.当x ＝80时，w 有最大值，最大值为6400.所以，当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．方法总结：先得到二次函数的顶点式y ＝a(x －h)2＋k ，当a ＜0，x ＝h 时，y 有最大值k ；当a>0，x ＝h 时，y 有最小值k.【类型二】综合运用一次函数和二次函数求最大利润某超市以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图(20≤x≤60)．(1)求每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)若该商品每天的利润为w(元)，试确定w(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式，并求售价x 为多少时，每天的利润w 最大，最大利润是多少？解析：(1)当20≤x≤40时，设y ＝ax ＋b ，当40＜x ＋n ，利用待定系数法求一次函数表达式即可；(2)利用(1)中所求进而得出w(元)与售价x(元/件)的函数表达式，进而求出函数最值．解：(1)分两种情况：当20≤x≤40时，设y ＝ax ＋b ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝40，40a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝20，故y ＝x ＋20；当40＜x ＋n ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40m ＋n ＝60，60m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝140，故y ＝－2x ＋140. 故每天销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋20（20≤x≤40），－2x ＋140（40＜x≤60）；(2)w ＝22(20)(20)400(2040)(2140)(20)21802800(4060).x x x x x x x x x ⎧+-=-≤≤⎪⎨-+-=-+-<≤⎪⎩， ①当20≤x≤40时，w ＝x 2－400，由于1＞0，因而抛物线开口向上，且x ＞0时，w 随x 的增大而增大，又20≤x≤40，因此当x ＝40时，w 有最大值，w 最大值＝402－400＝1200；②当40＜x≤60时，w ＝－2x 2＋180x －2800＝－2(x －45)2＋1250，由于－2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，所以当x ＝45时，w 有最大值，w 最大值＝1250.综上所述，当x ＝45时，w 最大值＝1250.所以，售价为45元/件时，每天的利润最大，最大利润是1250元．方法总结：一次函数与二次函数的综合应用问题主要解决的是图象与性质的问题或生活中的实际应用问题．【类型三】利用表格信息求最大利润某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x (1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y 元．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？解析：(1)分1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的表达式；(2)利用(1)得到的两个表达式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．解：(1)当1≤x＜50时，y ＝(200－2x)(x ＋40－30)＝－2x 2＋180x ＋；当50≤x≤90时，y ＝(200－2x)(90－30)＝－120x ＋1.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋180x ＋2000（1≤x＜50），－120x ＋12000（50≤x≤90）； (2)当1≤x＜50时，y ＝－2x 2＋180x ＋，二次函数开口向下，对称轴为x ＝45，当x ＝45时，y 最大＝－2×452＋180×45＋＝6050；当50≤x≤90时，y ＝－120x ＋1，y 随x 的增大而减小，当x ＝50时，y 最大＝6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．方法总结：本题考查了二次函数的应用，读懂表格信息、理解利润的计算方法，即利润＝每件的利润×销售的件数，是解决问题的关键．三、板书设计商品利润最大问题1．利用二次函数求实际问题中的最大利润2．综合运用一次函数和二次函数求最大利润3.利用表格信息求最大利润本节课是在学习了二次函数的概念、图象及性质后，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．本节课的设计力求通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，整个教学过程突出知识的形成与发展的过程，让学生既获得了知识又发展了智力，同时提升了能力.。