高中数学：必修1课件--2.3幂函数
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《集合与函数概念幂函数》高一上册PPT课件(第2.3课时)
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“ THANKS ”
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思 考1： 幂 函 数 与 指 数 函 数 的 自 变 量 有 何 区 别 ？
[提 示 ] 幂 函 数是 形 如y＝xα (α ∈R)， 自 变量 在 底 数上 ， 而 指数 函 数 是 形如y＝ ax(a>0且a≠ 1)， 自 变量
在 指 数 上 ．
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(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
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[解 ] 设f(x)＝ xα ， g(x)＝ xβ . ∵ ( 2)α ＝ 2， (－ 2)β ＝ － 1， ∴ α ＝ 2， β ＝ － 1，
2
∴ f(x)＝ x2， g(x)＝ x－1.分 别 作 出 它 们 的 图 象 ， 如 图 所 示 ． 由 图 象 知 ， (1)当x∈ (－ ∞ ， 0)∪ (1， ＋ ∞ )时 ， f(x)>g(x)； (2)当x＝ 1时 ， f(x)＝ g(x)； (3)当x∈ (0,1)时 ， f(x)<g(x)．
小 关 系 是 ( )
A． d>c>b>a
B． a>b>c>d
C． d>c>a>b
D． a>b>d>c
图 2-3-2
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“ THANKS ”
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思 考1： 幂 函 数 与 指 数 函 数 的 自 变 量 有 何 区 别 ？
[提 示 ] 幂 函 数是 形 如y＝xα (α ∈R)， 自 变量 在 底 数上 ， 而 指数 函 数 是 形如y＝ ax(a>0且a≠ 1)， 自 变量
在 指 数 上 ．
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(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
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[解 ] 设f(x)＝ xα ， g(x)＝ xβ . ∵ ( 2)α ＝ 2， (－ 2)β ＝ － 1， ∴ α ＝ 2， β ＝ － 1，
2
∴ f(x)＝ x2， g(x)＝ x－1.分 别 作 出 它 们 的 图 象 ， 如 图 所 示 ． 由 图 象 知 ， (1)当x∈ (－ ∞ ， 0)∪ (1， ＋ ∞ )时 ， f(x)>g(x)； (2)当x＝ 1时 ， f(x)＝ g(x)； (3)当x∈ (0,1)时 ， f(x)<g(x)．
小 关 系 是 ( )
A． d>c>b>a
B． a>b>c>d
C． d>c>a>b
D． a>b>d>c
图 2-3-2
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高中数学 2.3幂函数课件 新人教版必修1
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
除了作差，还有没 有其它方法呢？
因为x1 x2 0, x1 x2 0, 所以f (x1) f (x2 ),即幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数 .
(4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时， 幂函数为偶函数．
例3：已知y1＝x2，y2＝ x ，试求满足不等式 x2< x 的x的解集。
解: 因为x2< x ，即y1<y2
由图象知x的解集为
{x | 0 x 1}
y
y1
y2
1
o
1
x
例4：若幂函数 y xm22m3(m Z) 的图像如图 所示， 求m的值。
2.3 幂函数
首先，通过数学中常见的函数关系，让学生观察它们所具 有的特征，然后，总结得到幂函数的概念 ，从而引入课题； 引导学生对幂函数和指数函数进行区别，理解幂函数的结构 形式，然后，配以适当的练习题进行训练；讲解过程中，先 从学生熟悉的函数图象入手，然后，根据函数图象，让学生 观察得到幂函数的性质，这样顺水推舟，得到幂函数的基本 性质，然后，配以例题，进行专项训练，并及时总结解题规 律，得到相应的结论.
解：由题意得m2 m 1 1
化简为m2 m 2 0
解得m 2或m 1 小结：根据幂函数<结0构
f (x)在（0,)单调递 特征减和幂函数的单调性
m2 2m 3 0
代入检验得m 2
求参数值时,可先列方程 求参数，再检验参数值 。
幂函数概念
高中数学必修1《2.3幂函数及其性质》ppt
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4) 1） 1.30.5＜ 1.50.5
2） 5.12 ＜ 5.092
1
1
3） 0.54 ＞ 0.44
4）
2
0.7 3
2
＞ 0.8 3
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
（1，1）
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α 取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α >0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
阅读课本第85页的具体实例（1）－（5）， 思考下列问题：
1.它们的解析式分别是什么？若用 x 表示自
变量, y 表示 x 的函数,上述五个函数解析式
分别是什么?
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数 。y x
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
1.414
3
1.732
5y
4
2
4
5
2.236
6
2.449
3
7
2.646
2
8
2.828
9
3
1
10
3.162
0
x
11
3.317
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4) 1） 1.30.5＜ 1.50.5
2） 5.12 ＜ 5.092
1
1
3） 0.54 ＞ 0.44
4）
2
0.7 3
2
＞ 0.8 3
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
（1，1）
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α 取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α >0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
阅读课本第85页的具体实例（1）－（5）， 思考下列问题：
1.它们的解析式分别是什么？若用 x 表示自
变量, y 表示 x 的函数,上述五个函数解析式
分别是什么?
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，
那么她需要付的钱数p = w元，这里p是w的函数 。y x
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
1.414
3
1.732
5y
4
2
4
5
2.236
6
2.449
3
7
2.646
2
8
2.828
9
3
1
10
3.162
0
x
11
3.317
高中数学2.3 幂函数 1优秀课件
- - 6 - 4 2 2 4 6
( - x -3 -2 1 -1 1 2 3 -
-2
1 - y x1 13 12
11 3 1 2 3
-4
探究二：幂函数图像和性质
( 4 y x 3 ( y x 2
3
y 1 y x 2
2
(
( 1 ( y x - -
- - 6 - 4 2 2 4 6
-1
(-
-2
么关系?
2
(
( 1 ( y x - y- = x0
- - 6 - 4 2 2 4 6
( - 在第一象限内1 ， 当k>0时，图象随x增大而上升
。 - 2 当k<0时，图象随x增大而下降
-3
。
-4
探究二：幂函数图像和性质
不管指数是多少( 4 y x 3 ( -
,图象都经过哪
y x 2
个定点?
3
y 1 y x 2
探究一：幂函数定义
他们有以下共同特点： (1)都是函数； (2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂； 〔4〕自变量前的系数为1。
探究一：幂函数定义
一般地，函数 y x a 叫做幂函数(power function) ，
a 其中x为自变量， 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘＫ 的形式， 其特征可归纳为“两个1:系数为１，只有１项〞 ． 你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
3
(2,4) y x 2 =
y=x
2
(-1 1 ,1 (1 ) ,1)
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x- 3 3 -27 -8 -1 0 1 8 27
课件幂函数_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
点对称，再由奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性． • (4)由奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称补充图象．
18
探究二 幂函数的图象
19
解析：
20
探究二 幂函数的图象
21
解析：
22
解析：
• 【解析】在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示.由图象可知：
•
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，考虑借 助中间量“1”“ 0” “－1”进行比较．
29
探究三 幂函数的性质
30
解析：
31
探究三 幂函数的性质
32
解析：
33
探究三 幂函数的性质
34
解析：
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
f(x)＝x3符合要求，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项．
③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).
C．b<c<a
D．c<a<b
所以m＝－1,0,1.
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
二、幂函数的图象与性质
【练】若函数y＝(m2－3m＋3)x－5m－3为幂函数，则m＝______.
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
18
探究二 幂函数的图象
19
解析：
20
探究二 幂函数的图象
21
解析：
22
解析：
• 【解析】在同一坐标系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象如图所示.由图象可知：
•
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，考虑借 助中间量“1”“ 0” “－1”进行比较．
29
探究三 幂函数的性质
30
解析：
31
探究三 幂函数的性质
32
解析：
33
探究三 幂函数的性质
34
解析：
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
f(x)＝x3符合要求，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项．
③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).
C．b<c<a
D．c<a<b
所以m＝－1,0,1.
【解析】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，
二、幂函数的图象与性质
【练】若函数y＝(m2－3m＋3)x－5m－3为幂函数，则m＝______.
若底数相同，指数不同时，考虑应用指数函数的单调性；
高中人教A版数学必修一课件2.3幂函数
R
R
值域 R
_[0_，__＋__∞)
R
奇偶性
单调性
__奇____ 在 R 上是___增
在(－∞，0)上 偶 _减__函__数____；在
∞)上是增函数
__奇____ 在 R 上是_增__
y＝x12 y＝x－1
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ (_0_，__＋__∞_)_____
__[0_，__＋__∞_ )
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝1 ，∴m＝
(2)若 f(x)为反比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝－1 ，∴m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝2
，∴m＝－1±2
13 .
(4)若 fபைடு நூலகம்x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表 的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数 势．
1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他 指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现 数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家 了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子。此后 里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指 号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了。那么，什么是幂 么关系呢？
新课标导学
数学
必修① ·人教A版
第二章
基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数
1
自主预习
2
互动探究
3
课时作业
自主预习学案
数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后 方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《 书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等 这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．
R
值域 R
_[0_，__＋__∞)
R
奇偶性
单调性
__奇____ 在 R 上是___增
在(－∞，0)上 偶 _减__函__数____；在
∞)上是增函数
__奇____ 在 R 上是_增__
y＝x12 y＝x－1
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ (_0_，__＋__∞_)_____
__[0_，__＋__∞_ )
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝1 ，∴m＝
(2)若 f(x)为反比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝－1 ，∴m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，则mm22＋ ＋m2m－≠10＝2
，∴m＝－1±2
13 .
(4)若 fபைடு நூலகம்x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表 的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数 势．
1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他 指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现 数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家 了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子。此后 里斯(Wallis,1616～1703)、牛顿等人分别引入负指数幂和分数指 号，从而使幂的概念及符号发展得更完备了。那么，什么是幂 么关系呢？
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第二章
基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数
1
自主预习
2
互动探究
3
课时作业
自主预习学案
数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后 方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《 书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等 这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．
人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件
奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
R上 增函数
(, 0)减 (0, ) 增
R上 增函数
[0, ) 增
(, 0) 减 (0, ) 减
（1,1）
幂函数性质
y y x3 y x2
4
1
yx
(1)函数 y x, y x2 , y x3, y x 2
3
1
y x1在(0,+∞)上都有定义，
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的 能力，培养学生合作交流的意识.
学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
学习难点
概括幂函数的性质.
问题情境
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，
a 那么她需要付的钱数p＝ w 元，这里p是w的函数 y x
S 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
S= a 2 ， 这里S是a的函数
y x2
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
V
aa
S
V= a3 ，这里V是a的函数
y x3
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边 1 1
长a= S 2 ，这里a是S的函数
y x2
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车
的速度 v = t 1 km/s. 这里v是t的函数
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1
高一数学必修1课件-2.3幂函数
{x x 0} {x x 0}
奇函数
在 , 0 上是减函数
在(0, )上是减函数
一、基础知识讲解
y x3
y x2
yx
1
y x2
y x1
一、基础知识讲解
几个幂函数的图象和性质
1
y x y x2 y x3 y x2
定义域 R
R
R
[0,+∞)
值域 R
［0,+∞)
R
［0,+∞)
奇偶性 奇
3、幂函数 f(x)=x 的性质： 五、课堂作业
课本P82 复习参考题A组 10
当 >1时，函数图像在第一象限内： 过点(0，0)、(1，1)，呈抛物线型，下凸递增。
当 <0时，函数图像在第一象限内： 过点(1，1)，呈双曲线型，递减， 与两坐标轴的正半轴无限接近。
三、例题分析
1
例2、证明幂函数f ( x) x 2在 0, 上是增函数。
作差法：若给出的函数解析式中含有根式，往往 采用有理化的方法
三、例题分析
例3、用上面所学的图像和性质，比较下列各组值
的大小：
1
1
1 3.142 与 2； 2 (0.38)3与(0.39)3；
3 1.251与1.221； 4 (1)0.25与(1)0.27 .
3
3
小结
三、例题分析
1
1
1 3.142 与 2
1
解：幂函数y x 2在区间0, 上是 增函数
解得 1
2 1
幂函数的解析式为 f (x) x2
一、基础知识讲解
观察： y x y x2 y x3
1
y x2 y x1
人教A版高中数学必修1精品课件：2.3幂函数
3.在具体应用时，不一定是 y＝xα，α＝－1，12，1,2,3 这五个已研究熟的 幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.
二、五个幂函数的图象与性质
1
1.在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2) y＝x2；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；
(5)y＝x3的图象如图.
2.五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
定义域 _R__
__R_
值域 _R__
_[_0_，__＋__∞__)_
1
y＝x3 y＝x 2
_R__ _[0_，___＋__∞__)
三、一般幂函数的图象与性质
一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象 都过点 (1,1) ； (2)当α>0时，幂函数的图象通过 原点，并且在区间[0，＋∞)上是 增 函 数.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象 上凸； (3)当 α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称； (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从 下到上的顺序，幂指数按从 小到 大的顺序排列.
_R__ _[_0_，__＋__∞__)
y＝x－1 _{_x_|x_≠__0_}_ {_y_|_y≠__0_}_
奇偶性 单调性
_奇__
_偶__
_奇__ _非___奇___非__
_奇__
偶
增 在[0，＋∞) 上 增， _增___ 在(－∞，0] 上_减__
__增__
在(0，＋∞) 上减 ， 在(－∞，0) 上减__
高一数学必修一幂函数课件PPT
_R_ _[_0_,_+_∞_)_ _{_y_|_y_∈__R_且__y_≠__0_}_
奇偶性 _奇__
_偶__
_奇__
_非__奇__非__ _偶__
_奇__
x∈[0,+∞),
单调性
_增__
_增__ x∈(-∞,0],
_增__
_增__
x∈(0,+∞),_减__ x∈(-∞,0),_减__
_减__
公共点
课题导入
思考：这些 函数有什么
我们先看下面几个具体问题：
共同的特征？
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付
p=w元，这里p是w的函数； (2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a
的函数； (3) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V=a3，这里V
是a的函数；
1.五种常见幂函数的图象
2.五类幂函数的性质
幂函数 y=x 定义域 _R_
值域 _R_
y=x2 _R_ _[_0_,_+_∞__)_
y=x3
1
y x2
y=x-1
_R_ _[_0_,_+_∞_)_ (_-_∞_,_0_)_∪__(_0_,_+_∞__)
_R_ _[_0_,_+_∞_)_ _{_y_|_y_∈__R_且__y_≠__0_}_
1.指数为常数. 2.底数是自变量，自变量的系数为1. 3.幂xα的系数为1. 4.只有1项.
二.通过对未知函数的单调性，奇偶性等研究函数的图像 达到对函数性质和图像紧密联系的认知，体会其中数 形结合的思想。
当堂诊学
1.下列函数中不是幂函数的是（ ）
C
高一数学必修1 幂函数-ppt
(1,1)
(1,1)
知识应用：
例2.比较下列各组数的大小： 解后反思
1
1
< (1)1.32 ____1.4 2
(2)0.26 1 _>____ 0.27 1 (3)(5.2)2 _>____(5.3)2
两个数比 较大小时 ，何时用 幂函数模 型，何时 用指数函 数模型？
1
(4)0.7 2 __>___ 0.72
例3、证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
除了作差，还 有没有其它方
另附：
y x
奇函数
偶函数
非奇非偶 函数
α>1
0<α<1
α<0
2
4
-2
-1
y=f(x)
1.5 1
0.5
- 0.5 -1
- 1.5 -2 3
2.5 2
1.5 1
y=x3
1
2
3
y=x2
3
2 y=x-1
1
-4
-2
-1
-2
-3 6
2
4
6
5
4
3 y=x -2
2
0.5 1
-2
-1
-0.5
-1
1
2
3
-4
-2
-1
2.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3, 27 )
高中数学人教A版必修一《幂函数》课件
-2
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》 课件(共26张PPT)
-3
2
4
6
所有的幂函数都 经过定点（1,1）.
性质初探 高中数学人教A版必修一第二章2.3《幂函数》 课件(共26张PPT)
思考1：注意
到所有的幂函 数图像都不经 过第四象限， 并且都经过第 一象限，你觉 得这是偶然还 是必然？
探究3：结合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何 研究幂函数呢？
作具体幂函数的图象→观察图象特征→总结函数性质
探究4：在同一坐标系中作出幂函数
1
y x, y x2 , y x3 , y x 2 , y x1
的图象。
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》 课件(共26张PPT)
其中x是自变量， 是常数。
注：（1）y = xα 中，x前面的系数是1，
并且后面没有其它常数项。
（2）（一点定α）只要知道幂函数上任意 一个点的坐标，代入即可求出常数α
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》 课件(共26张PPT)
探究1：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
名称
式子
a
x a范围
2、已知幂函数y = f (x)的图象
经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解
析式。
1
待定系数法
y x2
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》 课件(共26张PPT)
高中数学人教A版必修一第二章2.3《 幂函数 》 课件(共26张PPT)
3、如果函数
f (x) = (2m2－3m+2) x m
指数函数: y=a x
底数
指数
a>0,a≠1
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应用举例. 例3.比较下列各组数的大小
5 2 5 2 7 8
1)3 和3.1
7 8
1 2) 8 和 ( ) 9 2 2 2 3 3 3 3)( ) 和( ) 31 4 1
0.9 和0.8 呢？
3 2
应用举例.
例4.如图，幂函数 y x (i 1,2,3,4,5) 在第一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 , C4 , C5 ，则 i 大小如何排列?
i
应用举例. 选讲.1)当
取不同的有理数时，讨论
的定义域.
m2 2 m3
幂函数
yx
(m N ) , 2)已知幂函数 y x 在区间(0,+∞)上是减函数,求函数的解析式 并讨论其单调性和奇偶性
课堂小结. 1.幂函数的定义
2.5类典型幂函数的图像及性质 3.幂函数的4点性质
4.利用幂函数图像比较数与数的大小 5.掌握幂函数中指数的变化对图像影响
今日作业
1.书本P79 习题2.3 第1-3题 P82复习题 A组第10题
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
幂函数性质：
1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过 点（1，1）； 2)当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且 在[0，+∞)上是增函数 (从左往右看，函数图象逐渐上升) 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数. (从左往右看，函数图象逐渐上升)
3
yx
2
yx
1
定义域 值域 奇偶性 单调性
R R 奇 增
R
R R 奇 增
[0, ) x | x 0 [0, ) y | y 0
非奇非偶 增 奇
[0, )
偶
[0, )
上增
(0, )
上减
(,0]
(,0)
定点
上减 上减 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （0，0） （0，0） （0，0） （0，0）
3)在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方 无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方 并无限逼近x轴的正半轴. 4)当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数
应用举例. 例1.证明幂函数 y 增函数.
x 在定义域上是
例2.证明幂函数y=x3 在定义域上是增函数.
2.3幂函数
引例.
1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么 她需要支付p=w元，这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2, 这里s是a的函数; 3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3, 这里V是a函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 形的边长 a=S1/2 这里S是a的函数; 5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均 速度v=t-1 km/s 这里v是t的函数. 以上问题中的函数具有什么共同特征？
新课讲解.
二.幂函数的图象及性质
在同一平面直角坐标系内作出 1 1 2 yx， 的图像
yx
y x， x3 ，y x ， y yx 2 yx yx
2
3
yx
1 2
yx
1
观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格内
新课讲解.
yx yx yx
2
二.幂函数的图象及性质 1
新课讲解.
一般地，函数 y x 叫做幂函数 （power function），函数的定义
y x 中 x 前面系数是1,并且后面也没有常数项； 1)
2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数 确定下来; 3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.