2011年全国初中数学竞赛试题及答案

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全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题考试时间:2011年3月20日9:30——11:30 满分:150分 答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答;2、解答书写时不要超过装订线;3、草稿纸不上交。

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。

每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1、设32x =,则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ) A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、2解析:2523(1)(x x x x x -=+∴+即2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对(a, b )与(c, d)之间的运算“△”为:(a, b )△(c, d )=(ac+bd, ad+bc )。

如果对于任意实数u, v,都有(u, v )△(x, y )=(u, v ),那么(x, y )为( )A 、(0, 1)B 、(1, 0)C 、(﹣1, 0)D 、(0, ﹣1)3、已知A ,B 是两个锐角,且满足225sin cos 4A B t +=,2223cos sin 4A B t +=,则实数t所有可能值的和为( )A 、83- B 、53- C 、1 D 、1134、如图,点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设1EADF S S 四边形=,2BDF S S ∆=,3BCF S S ∆=,4CEF S S ∆=,则13S S 与24S S 的大小关系为( )A 、13S S ﹤24S SB 、13S S =24S SC 、13S S ﹥24S SD 、不能确定5、设33331111++++1232011S =,则4S 的整数部分等于( ) A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6、两条直角边长分别是整数a, b (其中b<2011),斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。

2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析

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2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析一、选择题 1.A 解:因为1a =,1a += 262a a =-, 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=()()()2. B3. D 4.C解:由已知得2310x x ++=, 于是 2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-5.B解:依定义的运算法则,有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩,,即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩,对任何实数u v ,都成立. 由于实数u v ,的任意性,得(x y ,)=(1,0).6.D解:由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩,,可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩,于是 22221125x y z z z ++=-+.因此,当111z =时,222x y z ++的最小值为5411.7.C解:由题设可知1y y x -=,于是341yy x yxx-==,所以 411y -=, 故12y =,从而4x =.于是92x y +=.8.C解:两式相加,得2358t t +=,解得1t =,或83t =-(舍去).当1t =时,4530A B =︒=︒,满足等式,故1t =. 所以,实数t 的所有可能值的和为1. 9.C解:如图,连接D E ,设1D E F S S ∆'=,则1423S S EF S BFS '==,从而有1324S S S S '=.因为11S S '>,所以1324S S S S >.10.A解:当2 3 2011k = ,,,,因为 ()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦,所以 333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ , 于是有445S <<,故4S 的整数部分等于4.二、填空题 11.3<m ≤4解:易知2x =是方程的一个根,设方程的另外两个根为12 x x ,,则124x x +=,12x x m=.显然1242x x +=>,所以122x x -<, 164m∆=-≥0,即2,164m∆=-≥0,所以2, 164m∆=-≥0,解之得 3<m ≤4.12.19解: 在36对可能出现的结果中,有4对:(1,4),(2,3),(2,3),(4,1)的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.13.6解:如图,设点C 的坐标为a b (,),点D 的坐标为c d (,),则点A 的坐标为a a (,),点B 的坐标为.c c (,) 因为点C D ,在双曲线1y x=上,所以11ab cd ==,.由于AC a b =-,BD c d =-, 又因为2B D A C =,于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+,(),所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=()(),即224OC OD -=6.14.32解:由1x -≥0,且12x -≥0,得12≤x ≤1.21122y =+=+由于13124<<,所以当34x =时,2y 取到最大值1,故1a =.当12x =或1时,2y 取到最小值12,故2b =.所以,2232a b +=.15.84解:如图,设BC =a ,AC =b ,则22235a b +==1225. ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ,所以F E A F C BA C=,即1212b a b-=,故12()a b ab +=. ②由①②得2222122524a b a b a b a b+=++=++()(), 解得a +b =49(另一个解-25舍去),所以493584a b c ++=+=.三、解答题16.解:设方程20x a x b ++=的两个根为αβ,,其中αβ,为整数,且α≤β,则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++,,由题意得()()11a a αβαβ+=-++=,,两式相加得 2210αβαβ+++=, 即 (2)(2)3αβ++=, 所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩,;或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩,解得 11αβ=-⎧⎨=⎩,;或53.αβ=-⎧⎨=-⎩,又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++(),,()(),所以 012a b c ==-=-,,;或者8156a b c ===,,,故3a b c ++=-,或29.17.证明:如图,延长A P 交⊙2O 于点Q , 连接 AH BD QB QC QH ,,,,.因为A B 为⊙1O 的直径, 所以∠A D B =∠BDQ =90°, 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥,.又因为点H 为△ABC 的垂心,所以.AH BC BH AC ⊥⊥,所以A H ∥CQ ,A C ∥HQ ,四边形ACQH 为平行四边形.所以点P 为C H 的中点.18.解:(1)如图,分别过点P Q , 作y 轴的垂线,垂足分别为C D , . 设点A 的坐标为(0,t ),则点B 的坐标为(0,-t ). 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ,的坐标分别为 P P x y (,),Q Q x y (,).由 223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩,, 得 2203x kx t --=,于是 32P Qx x t=-,即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-,所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒,所以△B C P ∽△BDQ , 故∠A B P =∠ABQ .(2)解法一 设P C a =,DQ b =,不妨设a ≥b >0,由(1)可知∠A B P =∠30ABQ =︒,B C,B D,所以 A C=2-,A D=2-.因为P C ∥DQ ,所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=,即a b=所以a b +=.由(1)中32P Qx x t=-,即32ab -=-,所以322ab a b =+=,于是可求得2a b ==将2b =代入223y x=,得到点Q 2,12).再将点Q 的坐标代入1y kx =+,求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为13y =-+.根据对称性知,所求直线PQ 的函数解析式为13y =-+,或13y x =+.解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由(1)可知,∠A B P =∠30ABQ =︒,所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Qy x =代入上式,平方并整理得4241590Q Q x x -+=,即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-,32PQ x x k+=.若2Q x =代入上式得 P x = 从而 2()33P Q k x x =+=.同理,若Q x = 可得2P x =-从而 2()33P Q k x x =+=.所以,直线PQ 的函数解析式为13y =-+,或13y x =+.19.解:如图,作△ABQ ,使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠,,则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =,所以相似比为2. 于是224A Q A P B Q C P ====.60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知,90APQ ∠=︒,于是3PQ ==.所以 22225BP BQ PQ ==+,从而90BQP ∠=︒. 于是222()28AB PQ AP BQ =++=+.故 213s i n 60282ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==.不同见解,敬请海涵。

2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案_

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2.已 知 △ABC 的 两 条 高 线 的 长 分 别 为 5 和 20, 若第三条高线的长也是 整 数,则 第 三 条 高 线 长 的 最 大
值 为 ( ). (A)5 (C)7
(B)6 (D)8
3.方程|x2-1|=(4-2槡3)(x+2)的解的 个 数 为
( ).
(A)1 个
(C)9 组
(D)11 组 .
5.如图,菱 形 ABCD 中,AB=3,DF=1,∠DAB =60°∠EFG=15°,FG⊥BC,则 AE=( )
(A)1+槡2.
(B)槡6.
(C)2槡3-1.
(D)1+槡3.
6.已 知
1 x
+y1+z=
1 ,1 2y
+z+1x =
1 ,1 3z

x1+y=
1 4
,则
线交于点 F,如 果 DE= 34CE,
AC=8 槡5,D 为 EF 的 中 点,则
AB=

第 二 试 (A)
一、(本题满分20分)已知 三 个 不 同 的 实 数a,b,c
满足a-b+c=3,方程 x2+ax+1=0和 x2+bx+c=
0 有 一 个 相 同 的 实 根 ,方 程x2 +x+a=0 和x2 +cx+b
AE 的延长线于点 H .
由 D 为AC 的中点,知 CH=2FD.
由 分 析 2,BF=4FD.
故 EBCE=CBHF=2.
由 EBCE=SS△△AACBFF =2SS△△AABDFF .

由 分 析 2,△ABF∽ △DAF.

S△ABF S△ADF

(AB AD
)2=4.

由③、④得 BE=2EC.

2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

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4 如 图 , 知 AB 是 o ( . 已 )的
D, F, M 为 AB 的平 分 线 , P 的延 长 线 交 A £, B C M B

于 点 N. 果 PD—PE+ PF, 证 : 如 求 CN 是 ACB 的 平分线.
直 径 , C 与 A 交 于 点 E, 弦 D B 过 点 A 作 圆 的切 线 与 C 的 延 长 D
AE 的 延 长 线 于 点 H . 由 D 为 AC 的 中 点 , CH =2 知 FD. 由分 析 2, BF= 4 FD.
由 :B _ ③ 圈2 A

SnA F  ̄
④ 得 BE一2 EC.
@ 芝
注 该证法灵活运用三角形面积比 及三 罐
角 形 相 似 的 性 质 , 开 生 面 , 截 了 当. 别 直 继 续 探 究 , 有 其 它 的 证 法 , 用 梅 涅 劳 还 如

2 二 次 函数 一2 +6 . 1 7 z+C的 图像 的 顶 点 为 D, 与
2轴 正 方 向 从 左 至 右依 次 交 于 A , 2 B两 点 , Y轴 正 方 与
向 交 于 c点 , △ ABD 和 △ OBC 均 为 等腰 直 角 三 角 若 形 ()为坐 标 原 点 ) 则 6 c ( , +2 = .
二 、 空 题 :本 题 满 分 2 填 ( 8分 , 每小 题 7分 )
1 在 △ ABC 中 , 知 B 一 2 A , . 已 BC一 2, AB一 2 +2 , 则 A 一 .
三 、 本 题 满 分 2 分 ) 知 m, 为 正 整 数 , ( 5 已 , m<
一6 。 EFG=I 。FG上BC, AE= ( 0 5, 则 )
2 已 知 △ ABC 的两 条 高 线 的 长 分 别 为 5和 2 , . O

全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc

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2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知2=+b a ,4)1()1(22-=-+-ab b a ,则ab 的值为 ( B ) A .1. B .1-. C .21-. D .21. 2.已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为 ( B )A .5.B .6.C .7.D .8.3.方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 ( C )A .1个B .2个C .3个D .4个.4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有 ( C ) A .5组. B .7组. C .9组. D .11组. 5.如图,菱形ABCD 中,3=AB ,1=DF ,︒=∠60DAB ,︒=∠15EFG ,BC FG ⊥,则=AE ( D )A .21+.B .6.C .132-.D .31+. 6.已知2111=++z y x ,3111=++x z y ,4111=++y x z ,则zy x 432++的值为 ( C ) A .1. B .23. C .2. D .25. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.在△ABC 中,已知A B ∠=∠2,322,2+==AB BC ,则=∠A 15︒.2.二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ,与x 轴正方向从左至右依次交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于C 点,若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形(O 为坐标原点),则=+c b 2 2 .3.能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 . 4.如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD 与AB 交于点E ,过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ,如果CE DE 43=,58=AC ,D 为EF 的中点,则AB = 24 .CEFBA第二试 (A )一、(本题满分20分)已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根,方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根.求c b a ,,的值.解 依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根,则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减,可解得b a c x --=11.设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根,则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减,可解得12--=c ba x 。

2011年全国 初中数学联赛(含答案)

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12011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知2a b +=,()()22114a b ba--+=-,则ab 的值为( )A .1B .-1C .12-D .12【解析】 B由22(1)(1)4a b b a--+=-可得22(1)(1)4a a b b ab -+-=-,即()2233()240a b a b a b ab +-++++=,即()()222222240a b a ab b ab -++-++=,即2240ab ab -+=,所以1ab =-.2.已知ABC △的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为A .5B .6C .7D .8【解析】 B设ABC △的面积为S ,所求的第三条高线的长为h ,则三边长分别为222520S S Sh,,.显然222520S S >,于是由三边关系,得222205222205S S Sh S S S h ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,,解得2043h <<. 所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3.方程()21423(2)x x -=-+的解的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个【解析】 C如图,利用函数图像,发现主要是讨论在11x -≤≤时的交点情况,可用判别式判断(21423(2)x x -=--有两个相同的实数根,所以函数图象上中间部分应该是相切的,所以共有三个交点.4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有()A .5组B .7组C .9组D .11组【解析】 C显然用这些线段去拼接成正方形,至少要7条,当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相等.yxOy=4-23((x +2)y=x 2-13又因为12945+++=L ,所以正方形的边长不大于45114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.由于7=1+了=2+5=3+4; 8=1+7=2+6=3+5; 9=1+8=2+7=3+6=4+5;1+9=2+8=3+7=4+6 2+9=3+8=4+7=5+6.所以,组成边长为7、8、10、11的正方形,各有一种方法;组成边长为9的正方形,有5种方法.故满足条件的“线段组”的组数为1459⨯+=.5.如图,菱形ABCD 中,3AB =,1DF =,60DAB ∠=︒,15EFG ∠=︒,FG BC ⊥,则AE =( )A .12+B 6C .231D .13【解析】 D过F 作AB 的垂线,垂足为H .60DAB ∠=︒Q ,2AF AD FD =-=,30EFG ∴∠=︒,1AH =,3FH =,又15EFG ∠=︒Q90301545EFH AFG AFH EFG ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒,从而FHE △是等腰直角三角形,所以3HE FH ==DCABE HFG413AE AH HE ∴=+=.6.已知111111111234x y z y z x z x y +=+=+=+++,,,则234x y z++的值为( )A .1B .32C .2D .52【解析】 C111122x x x y z y z +=∴+=++,,即22x y z x y zy z x x y z+++=∴=+++, 同理可得:34x z x yy x y z z x y z++==++++, 则()22342x y z x y z x y z++++==++ 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.在ABC △中,已知2B A ∠=∠,223BC AB ==+,,则A ∠=______________.【解析】 15︒方法一:延长AB 到D ,使BD BC =,连线段CD ,则12D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠,所以CA Cd =.作CD AB ⊥于点E ,则E 为AD 的中点,故()()111223223222AE DE AD AB BD ===+=+=+,((223233BE AB AE =-=+-.在Rt BCE △中,3cos EB EBC BC ∠==,所以30EBC ∠=︒,故1152A ABC ∠=∠=︒. CD5方法二:过点C 点AB 的平行线交B ∠的角平分线与D 点,分别过C 点和D 点作AB 的垂线,垂足分别为E 、F ,易知梯形ABCD 为等腰梯形易知22CD CB EF ==∴=,3Rt AF BE BCE ∴==∴中,3cos EBC ∠=,30CBE ∴∠=︒ 15A ∴∠=︒2.二次函2y x bx c =++的图象的顶点为D ,与x 轴正方向从左至右依次交于A B ,两点,与y 轴正方向交于C 点,若ABD △和OBC △均为等腰直角三角形(O 为坐标原点),则2b c +=____________.【解析】 2.方法一:由已知,得24(0)0b b c C c A ⎫---⎪⎪⎝⎭,,,240b b c B ⎫-+-⎪⎪⎝⎭,2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,.过D 作DE AB ⊥于点E ,则2DE AB =,即224244b c b c -⨯-22424b c b c -=-240b c -242b c -.又240b c ->242b c -=.又OC OB =,即24b b cc -+-=,得2242b c b c +-=.方法二:OBC △为等腰直角三角形,OB OC ∴=,B ∴点坐标为()0c ,20c bc c ∴++=,又0c ≠,10c b ∴++=,24AB b c -D 点纵坐标为24b c -,BE F A CD6ABD △为等腰直角三角形,221442b c b c ∴-=-22424b c b c ∴-=-240b c -≠,所以244b c -=2444b c b ∴=+=-,0b ≠,4b ∴=-,3c ∴=3.能使2''256+是完全平方数的正整数n 的值为______________.【解析】 11.当8n <时,()82''2562''12n -+=+,若它是完全平方数,则n 必为偶数.若2n =,则2''2562652+=⨯;若4n =,则42''256217+=⨯;若6n =,则62''25625+=⨯;若8n =,则82''25622+=⨯,所以,当8n ≤时,2''256+都不是完全平方数.当8n >时,()882''256221n -+=+,若它是完全平方数,则821n -+为一奇数的平方.设()282121n k -+=+(k 为自然数),则10(1)n n k k -=+.由于k 和1k +一奇一偶,所以1k =,于是1022n -=,故11n =.4.如图,已知AB 是O e 的直径,弦CD 与AB 交于点E ,过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ,如果34DE CE =,85AC =,D 为EF 的中点,则AB =______________.【解析】 24.设4CE x AE y ==,,则36DF DE x EF x ===,连AD BC ,.因为AB 为O e 的直径,AF 为O e 的切线,所以90EAF ∠=︒,ACD DAF ∠=∠.7又因为D 为Rt AEF △的斜边EF 的中点,DA DE DF DAF AFD ∴==∴∠=∠,,85ACD AFD AF AC ∴∠=∠∴==,在Rt AEF △中,由勾股定理得222EF AE AF =+,即2236320x y =+.设BE z =,由相交弦定理得CE DE AE BE =g g ,即24312yz x x x ==g, 23203y yz ∴+= ①又AD DE =Q ,DAE AED ∴∠=∠.又DAE BCE ∠=∠,AED BEC ∠=∠,BCE BEC ∴∠=∠,从而BC BE z ==.在Rt ACB △中,由勾股定理得222AB AC BC =+,即22()320y z z +=+,22320y yz ∴+=. ②联立①②,解得816y z ==,.所以24AB AE BE =+=.第二试(A )一、(本题满分20分)已知三个不同的实数a b c ,,满足3a b c -+=,方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实根,方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实根.求a b c,,的值.解 依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.CAE OFDB8设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根,则221211100x ax x bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩,,两式相减,可解得11c x a b -=-.设1x 是方程③和方程④的一个相同的实根,则22211200x x a x cx b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩,,两式相减,可解得21a b x c -=-.所以121x x =.2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准又方程①的两根之积等于1,于是2x 也是方程①的根,则22210x ax ++=. 又2220x x a ++=,两式相减,得2(1)1a x a -=-. 若1a =,则方程①无实根,所以1a ≠,故21x =.于是21a b c =-+=-,.又3a b c -+=,解得32b c =-=,.二、(本题满分25分)如图,在四边形ABCD 中,已知60BAD ∠=︒,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=︒,对角线AC BD ,交于点S ,且2DS SB =,P 为AC 的中点.求证:(1)30PBD ∠=︒;(2)AD DC =.直径,P 为该圆的圆心.作PM BD ⊥于点M ,知M 为BD 的中点,所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒,从而30PBM ∠=︒.(2)作SN BP ⊥于点N ,则12SN SB =.又122DS SB DM MB BD ===,,DAPM SNB C931222MS DS DM SB SB SB SN ∴=-=-==,Rt PMS Rt PNS ∴≅△△,30MPS NPS ∴∠=∠=︒,又PA PB =,所以1152PAB NPS ∠=∠=︒,故45DAC DCA ∠=︒=∠,所以AD DC =.三、(本题满分25分)已知m n p ,,为正整数,m n <.设(0)A m -,,(0)B n ,,(0)C p ,,O 为坐标原点.若90ACB ∠=︒,且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++.⑴证明:3m n p +=+;⑵求图象经过A B C ,,三点的二次函数的解析式.解 ⑴因为90ACB ∠=︒,OC ab ⊥,所以2OA OB OC ⋅=,即2mn p =.由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++,得2223()m n p m n p ++=++.又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=2()2()()()m n p p m n p m n p m n p ++-++=+++-,从而有3m n p +-=,即3m n p +=+.(2)由2mn p =,3m n p +=+知m n ,是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根,从而[]22(3)40p p =-+->△,解得13p -<<.又p 为正整数,故1p =或2p =.10当1p =时,方程①为2410x x -+=,没有整数解.当2p =时,方程①为2540x x -+=,两根为14m n ==,.综合知:142m n p ===,,.设图象经过A B C ,,三点的二次函数的解析式为(1)(4)y k x x =+-,将点(02)C ,的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-,解得12k =-.所以,图象经过.A B C ,,三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++.第二试(B )一、(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二、(本题满分25分)如图,在四边形ABCD 中,已知60BAD ∠=︒,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=︒,对角线AC BD ,交于点S ,且2DS SB =.求证:AD DC =.证明 由已知得90ADC ∠=︒,从而A B C D ,,,四点共圆,AC 为直径.设P 为AC 的中点,则P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心.作PM BD ⊥于点M ,则M 为BD 的中点,所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒,从而30PBM ∠=︒作SN BP ⊥于点N ,则12SN SB =.又122DS SB DM MB BD ===,,CBNSM PAD11∴31222MS DS DM SB SB SB SN =-=-==,∴Rt PMS Rt PNS ≅△△,∴30MPS NPS ∠=∠=︒,又PA PB =,所以1152PAB NPS ∠=∠=︒,所以45DAC DCA ∠=︒=∠,所以AD DC =.三、(本题满分25分)已知m n p ,,为正整数,m n <.设(0)A m -,,(0)B n ,,(0)C p ,,O 为坐标原点.若90ACB ∠=︒,且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++.求图象经过A B C ,,三点的二次函数的解析式.解 因为90ACB ∠=︒,OC AB ⊥,所以2OA OB OC ⋅=,即2mn p =.由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++,得2223()m n p m n p ++=++.又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=222()2()()2()m n p p m n p m n p p np mp ++-++=++-++,从而有3m n p +-=,即3m n p +=+.又2mn p =,故m n ,是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根,从而()22340p p =-+->⎡⎤⎣⎦△,解得13p -<<.又p 为正整数,故1p =或2p =.12当1p =时,方程①为2410x x -+=,没有整数解.当2p =时,方程①为2540x x -+=,两根为14m n ==,.综合知:142m n p ===,,.试图象经过A B C ,,三点的二次涵数的解析式为(1)(4)y k x x =+-,将点(02)C ,的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-,解得12k =. 所以,图象经过A B C ,,三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++.第二试(C )一、(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二、(本题满分25分)如图,已知P 为锐角ABC △内一点,过P 分别作BC AC AB ,,的垂线,垂足分别为D E F ,,,BM 为ABC ∠的平分线,MP 的延长线交AB 于点N ,如果PD PE PF =+,求证:CN 是ACB ∠的平分线.证明 如图1,作1MM BC ⊥于点1M ,2MM AB ⊥于点2M ,1MN BC ⊥于点1N ,2MN AC ⊥于点2N .MAB CD EPF M 1N 1M 2N 2NP NDHMN 1M 1H 1设NP NM λ=⊥,∵11NN PD MM ∥∥,∴111N D N M λ=.13若11NN MM <,如图2,作1NH MM ⊥,分别交1MM ,于点1H H ,,则1NPH NMH :△△,∴1PH NPMH NMλ==,∴1PH MH λ=, ∴()()111111111PD PH H H MH NN MM NN NN MM NN λλλλ=+=+=-+=+-.若11NN MM =,则()11111PD NN MM MM NN λλ===+-.若11NN MM >,同理可证11(1)PD MM NN λλ=+-.∵2PE NN ∥,∴21PE PMNN NMλ==-,∴2(1)PE NN λ=-. ∵2PF MM ∥,∴2PF NPMM NMλ==,∴2PE MM λ=. 又PD PE PF =+,∴1122(1)(1)MM NN MM NN λλλλ+-=+-.又因为BM 是ABC ∠的平分线,所以12MM MM =,∴()()1211NN NN λλ-=-.显然1λ≠,即10λ-≠,∴12NN NN =,∴CN 是ACB ∠的平分线.三、(本题满分25分)题目和解答与(B )卷第三题相同.。

2011七年级数学决赛答案

2011七年级数学决赛答案

《2011年全国中学生数学能力竞赛(决赛)试题初一年级组》参考答案一、画龙点睛(本大题共8道小题,每小题3分,总计24分)1.252.63.24.35.66.99017.188.2二、一锤定音(本大题共4道小题,每小题3分,总计12分)9.D10.C11.B12.B三、妙笔生花(本大题共4小题,13题6分,14题7分,15题8分,16题9分,总计30分)13.(1)第1组63,64;1分第2组120,121;2分第3组6560,6561.3分(2)n(n+2)+1=(n+1)2,n为正整数.6分14.设S=12011+22011+32011+…+40212011,2分把等式右边倒序排列,得S=40212011+…+32011+22011+12011,4分将两式相加,得2S=(40212011+12011)+(40202011+22011)+(40192011+32011)+…+(12011+40132011)=2×4021,6分所以S=4021.7分15.由每个表格中第1列的数是(0,2)、(2,4)、(4,6),我们发现,每个表格中第1列满足第2个数比第1个数多2,所以第4个图形中第1列的第2个数为6+2=8,即①处为8.2分由每个表格中第1行的数是(0,4)、(2,6)、(4,8),我们发现,每个表格中第1行满足第2个数比第1个数多4,所以第4个图形中第1行的第2个数为6+4=10,即②处为10.4分从前面的三个表中我们不难发现第1个图形的数满足2×4-0=8,5分第2个图形的数满足4×6-2=22,6分第3个图形的数满足6×8-4=44,7分1--第4个图形的数满足m =8×10-6=74,所以m 的值为74.8分16.仔细观察表一,竖看:第1列数是0,1,2,3,4,5,…(相当于前一个数加1);1分第2列是数1,3,5,7,9,11,…(相当于前一个数加2);2分第3列数是2,5,8,11,14,17,…(相当于前一个数加3);3分第4列数是3,7,11,15,19,23,…(相当于前一个数加4);4分因此,表二中的a 是第3列第6个数“17”,即a =17.6分横看:每“行”与每“列”有着同样的规律.因此,表三中的b 是第3行第7个数“20”,即b =20.8分因此,a +b =17+20=37.9分四、一鼓作气(本大题共2道小题,17题12分,18题12分,总计24分)17.设K 0点所表示的数为x ,2分则K 1,K 2,K 3,…,K 100所表示的数分别为x -1,x -1+2,x -1+2-3,…,x -1+2-3+4-…-99+100.6分由题意知:x -1+2-3+4-…-99+100=20.04,9分所以x =-29.96.11分所以电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数为-29.96.12分18.推理可知,婷婷第四名,亮亮第二名,佳佳第三名,小美得第一名.所以只有婷婷估计错了.12分五、再接再厉(本大题总计15分)19.(1)[(n +1)n 2]2.5分(2)由题意可知13+23+33+…+103=(1+2+3+…+9+10)27分=[(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)]29分=[(1+10)×5]211分=55213分=3025.15分六、马到成功(本大题总计15分)20.设一对夫妻,丈夫买了x 件商品,妻子买了y 件商品.2分于是有x 2-y 2=48,即(x +y )(x -y )=48.4分因x ,y 都是正整数,且x +y 与x -y 有相同的奇偶性,5分又x +y >x -y ,48=24×2=12×4=8×6,7分所以x +y =24x -y =2{或x +y =12x -y =4{或x +y =8x -y =6{.9分可得x =13,y =11或x =8,y =4或x =7,y =1.12分符合x -y =9的只有一种,可知A 买了13件商品,b 买了4件.同时符合x -y =7的也只有一种,可知B 买了8件,a 买了1件.所以C 买了7件,c 买了11件.14分由此可知三对夫妻的组合是:A ,c ;B ,b ;C ,a .15分2--。

2011年全国初中数学竞赛试卷

2011年全国初中数学竞赛试卷

2011年全国初中数学竞赛试题考试时间2011年3月20日9︰30-11︰30满分150答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。

一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分) 1、设532x -=,则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为( C ) A .0 B .1 C .-1 D .22、对于任意实数,,,a b c d ,定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为:(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。

如果对于任意实数,u v ,都有(,)(,)(,)u v x y u v ∆=,那么(,)x y 为( B )。

A .(0,1)B .(1,0)C .(1,0)-D .(0,1)- 3、已知,A B 是两个锐角,且满足225sin cos 4A B t +=,2223cos sin 4A B t +=,则实数t 所有可能值的和为( C )A .83-B .53-C .1D .1134、如图,点,D E 分别在△ABC 的边AB ,AC 上,BE ,CD 相交于点F ,设1E A DF S S 四边形=,BDF 2S S ∆=,BCF 3S S ∆=,CEF 4S S ∆=,则13S S 与24S S 的大小关系为( C )A .13S S <24S SB .13S S =24S SC .13S S >24S SD .不能确定 5、设33331111S 1232011 =++++,则4S 的整数部分等于( A ) A .4 B .5 C .6 D .7 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6、两条直角边长分别是整数,a b (其中2011b <),斜边长是1b +的直角三角形的个数为 317、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。

2011年全国中学生数学竞赛初赛试题答案1-3

2011年全国中学生数学竞赛初赛试题答案1-3

伊( 12
+
1 3
-
1 4
+
1 6
-
1 8

4分
=
1 1001
伊[( 12
+
1 3
+
1 6
)-(
1 4
+
1 8
)]
5分
=
5 8008
.
7分
15. 两种填法均可:
-1-
5
1
3
4 或4
3
1
5
2
2
(填正确一个数给 1.6 分) 16. 令 5x + 4y + 11z = 4020,淤 7x + 12y + 17z = 4024, 于 淤 + 于得,12x + 16y + 28z = 8044, 即 4 伊(3x + 4y + 7z)= 8044, 所以 3x + 4y + 7z = 2011. 四、一鼓作气(本大题共 2 道小题,17 题 12 分,18 题 12 分,总计 24 分) 17. 设尖头有 x 盏灯,根据题意列方程,有 x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64)x = 381 127x = 381 x=3 答:尖头有 3 盏灯. 18. 由题中的三个图形可知: 第 1 个图形中有:1 + 3 = 4(个)三角形, 第 2 个图形中有:1 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 2 = 7(个)三角形, 第 3 个图形中有:1 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 3 = 10(个)三角形, 第 4 个图形中有:1 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 4 = 13(个)三角形, …… 第 10 个图形中有:1 + 3 + 3 + … + 3 = 1 + 3 伊 10 = 31(个)三角形;

2011年全国初中数学竞赛试题+参考答案

2011年全国初中数学竞赛试题+参考答案

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.设71a =-,则代数式32312612a a a +--的值为(A ).(A )24 (B )25 (C )4710+(D )4712+解:因为71a =-, 17a +=, 262a a =-, 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=()()()2.对于任意实数a b c d ,,,,定义有序实数对a b (,)与c d (,)之间的运算“△”为:(a b ,)△(c d ,)=(ac bd ad bc ++,).如果对于任意实数u v ,, 都有(u v ,)△(x y ,)=(u v ,),那么(x y ,)为(B ).(A )(0,1) (B )(1,0) (C )(﹣1,0) (D )(0,-1)解:依定义的运算法则,有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩,,即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩,对任何实数u v ,都成立. 由于实数u v ,的任意性,得(x y,)=(1,0). 3.若1x >,0y >,且满足3y yx xy x xy==,,则x y +的值为(C ).(A )1 (B )2 (C )92(D )112解:由题设可知1y y x -=,于是341y y x yx x -==,所以 411y -=,故12y =,从而4x =.于是92x y +=.4.点D E ,分别在△ABC 的边A B A C ,上,B E C D ,相交于点F ,设1234BD F BC F C EF EAD F S S S S S S S S ∆∆∆====四边形,,,,则13S S 与24S S 的大小关系为(C ).解:如图,连接D E ,设1D E F S S ∆'=,则1423S S EF S BFS '==,从而有1324S S S S '=.因为11S S '>,所以1324S S S S >.(A )1324S S S S < (B )1324S S S S = (C )1324S S S S > (D )不能确定 5.设3333111112399S =++++,则4S 的整数部分等于(A ).(A )4 (B )5 (C )6 (D )7解:当2 3 99k = ,,,时,因为()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦,所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ . 于是有445S <<,故4S 的整数部分等于4. 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根,且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长,则m 的取值范围是3<m ≤4.解:易知2x =是方程的一个根,设方程的另外两个根为12 x x ,,则124x x +=,12x x m=.显然1242x x +=>,所以122x x -<, 164m∆=-≥0,即 ()2121242x x x x +-<,164m∆=-≥0,所以1642m -<, 164m∆=-≥0,解之得 3<m ≤4.7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是19.解: 在36对可能出现的结果中,有4对:(1,4),(2,3),(2,3),(第4题)(4,1)的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.8.如图,点A B ,为直线y x =上的两点,过A B ,两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=(x >0)于C D ,两点. 若2B D A C =,则224OC OD - 的值为6.解:如图,设点C 的坐标为a b (,),点D 的坐标为c d (,),则点A 的坐标为a a (,),点B 的坐标为.c c (,) 因为点C D,在双曲线1y x=上,所以11ab cd ==,.由于AC a b =-,BD c d =-, 又因为2B D A C =,于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+,(),所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=()(),即224OC OD -=6. 9.若112y x x =-+-的最大值为a ,最小值为b ,则22a b +的值为32.解:由1x -≥0,且12x -≥0,得12≤x ≤1.22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+.由于13124<<,所以当34x =时,2y 取到最大值1,故1a =.当12x =或1时,2y 取到最小值12,故22b =.所以,2232a b +=.10.如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为35,正方形CDEF 内接于 △ABC ,且其边长为12,则△ABC 的周长为84.解:如图,设BC =a ,AC =b ,则22235a b +==1225. ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ,所以F E A F C BA C=,即1212b a b-=,故 12()a b ab +=. ②(第8题)(第10题)由①②得 2222122524a b a b a b a b+=++=++()(), 解得a +b =49(另一个解-25舍去),所以 493584a b c ++=+=.三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1,求a b c ++的值.解:设方程20x ax b ++=的两个根为αβ,,其中αβ,为整数,且α≤β,则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++,,由题意得()()11a a αβαβ+=-++=,, 两式相加得 2210αβαβ+++=,即(2)(2)3αβ++=, 所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩,;或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩, 解得 11αβ=-⎧⎨=⎩,;或53.αβ=-⎧⎨=-⎩,又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++(),,()(),所以 012a b c ==-=-,,;或者8156a b c ===,,,故3a b c ++=-,或29.12.如图,点H 为△ABC 的垂心,以A B 为直径的⊙1O 和△B C H 的外接圆⊙2O 相交于点D,延长A D 交C H 于点P ,求证:点P 为C H 的中点.证明:如图,延长A P 交⊙2O 于点Q , 连接 AH BD QB QC QH ,,,,.因为A B 为⊙1O 的直径,所以∠A D B =∠BDQ =90°, 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥,.又因为点H 为△ABC 的垂心,所以.AH BC BH AC ⊥⊥,所以A H ∥CQ ,A C ∥HQ ,四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为C H 的中点.13.如图,点A 为y 轴正半轴上一点,A B ,两点关于x 轴对称,过点A 任作直线交抛物线223y x=于P ,Q 两点.(1)求证:∠A B P =∠ABQ ;(2)若点A 的坐标为(0,1),且∠PBQ =60º,试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.解:(1)如图,分别过点P Q , 作y 轴的垂线,垂足分别为C D , . 设点A 的坐标为(0,t ),则点B 的坐标为(0,-t ).设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ,的坐标分别为P P x y (,),Q Q x y (,).由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩,, 得 2203x kx t --=,于是 32P Qx x t=-,即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-,所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒,所以△B C P ∽△BDQ , 故∠A B P =∠ABQ .(2)解法一 设P C a =,DQ b =,不妨设a ≥b >0,由(1)可知∠A B P =∠30ABQ =︒,B C =3a,B D =3b,所以 A C =32a -,A D =23b-.因为P C ∥DQ ,所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=,即3223a a bb-=-,所以3a b ab+=.由(1)中32P Qx x t=-,即32ab -=-,所以33322ab a b =+=,,于是可求得2 3.a b ==将32b =代入223y x=,得到点Q 的坐标(32,12).再将点Q 的坐标代入1y kx =+,求得3.3k =-所以直线PQ 的函数解析式为313y x =-+.根据对称性知,所求直线PQ 的函数解析式为313y x =-+,或313y x =+.解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由(1)可知,∠A B P =∠30ABQ =︒,所以2BQ DQ =. 故 222(1)Q Q Q x x y =++.将223Q Qy x =代入上式,平方并整理得4241590Q Q x x -+=,即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 32Q x =或 3.又由 (1)得3322P Q x x t =-=-,32PQ x x k+=.若32Q x =,代入上式得 3P x =-, 从而 23()33P Q k x x =+=-.同理,若3Q x =, 可得32P x =-,从而 23()33P Q k x x =+=.所以,直线PQ 的函数解析式为313y x =-+,或313y x =+.14.如图,△ABC 中,60B A C ∠=︒,2A B A C =.点P 在△ABC 内,且352PA PB PC ===,,,求△ABC的面积.解:如图,作△ABQ ,使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠,,则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =,所以相似比为2. 于是22324A Q A P B Q C P ====,.60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知,90APQ ∠=︒,于是33PQ AP ==.所以 22225BP BQ PQ ==+,从而90BQP ∠=︒. 于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ . 故 213673s i n 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==.。

2011年全国初中数学联赛决赛试卷

2011年全国初中数学联赛决赛试卷

2011年全国初中数学联赛决赛试卷(4月10日 上午8:45——11:15)考生注意:1.本试卷共三大题(13个小题),全卷满分140分.2.用圆珠笔、签字笔或钢笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.一个凸多边形的每一个内角都等于150°,则这个凸多边形所有对角线的条数总共有( )A .42条B .54条C .66条D .78条2.如图,矩形ABCD 的对角线相交于O ,AE 平分∠BAD 交BC 于E .若∠CAE=15°,则∠BOE =( ) A .30° B .45° C .60° D .75°3.设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ,d ,则方程()()0x c x d x --+=的分根 是( )A .a ,bB .-a ,-bC .c ,dD .-c ,-d4.若不等式2133x x a -+-≤有解,则实数a 的最小值是( )A .1B .2C .4D .6 5.若一个三角形的任意两条边都不相等,则称它为“不规则三角形”.用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中,“不规则三角形”的个数是( )A .18B .24C .30D .366.不定方程2225x y -=的正整数解(x ,y )的组数是( )A .0组B .2组C .4组D .无穷多组.二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)本题共有4小题,要求直接将答案写在横线上.1.二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x =1对称,则y 的最小值是__________.2.已知1a =,则20122011201022a a a +-的值为_____________.3.已知△ABC 中,AB,BC =6,CA,点M 是BC 的中点,过点B 作AM 延长线的垂线,垂足为D ,则线段BD 的长度是_______________.4.一次棋赛,有n 个女选手和9n 个男选手参赛,每位选手都与其余10n -1个选手各对局一次.计分方式为:胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.比赛结束后统计发现,所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍.则n 的所有可能值是__________.三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)1.(本题满分20分)已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根,使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立.求实数a 的所有可能值.O E DCBA2.(本题满分25分)抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M (x 1,0),N (x 2,0),且经过点A (0,1),其中0<x 1<x 2.过点A 的直线l 与x 轴交于点C ,与抛物线交于点B (异于点A ),满足△CAN 是等腰直角三角形, 且S △BMN =52S △AMN .求该抛物线的解析式.3.(本题满分25分)如图,AD 、AH 分别是△ABC (其中AB >AC )的角平分线、高线,M 是AD 的中点.△MDH 的外接圆交CM 于E .求证:∠AEB =90°. EH MD C B A。

2011年全国初中数学联赛一试二试试题、答案及评分标准

2011年全国初中数学联赛一试二试试题、答案及评分标准

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知2=+b a ,4)1()1(22-=-+-ab b a ,则ab 的值为 ( ) A .1. B .1-. C .21-. D .21.【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-, 即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ,即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=,即2240ab ab -+=,所以1-=ab .2.已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为 ( )A .5.B .6.C .7.D .8. 【答】B.设△ABC 的面积为S ,所求的第三条高线的长为h ,则三边长分别为h S S S 2,202,52.显然20252SS >,于是由三边关系,得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,252202,522202h S S S Sh S S 解得3204<<h . 所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3.方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答】C.当1||≥x 时,方程为)2)(324(12+-=-x x ,即0349)324(2=+---x x ,解得1x24x =-1||≥x .当1||<x 时,方程为)2)(324(12+-=-x x ,即0347)324(2=-+-+x x ,解得32x ,满足1||<x .综上,原方程有3个解..4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有 ( ) A .5组. B .7组. C .9组. D .11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形,至少要7条.当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相等.又因为45921=+++ ,所以正方形的边长不大于45[]114=.由于 4352617+=+=+=; 5362718+=+=+=; 546372819+=+=+=+=; 64738291+=+=+=+; 65748392+=+=+=+.所以,组成边长为7、8、10、11的正方形,各有一种方法;组成边长为9的正方形,有5种方法。

2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

G A B CDE F2011年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一.选择题1.已知a +b =2,(1-a )2b +(1-b )2a =-4,则ab 的值为( )(A) 1 (B) -1 (C) -1 2(D)1 22. 已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 83. 方程│x 2-1│=(4-23) (x +2)的解的个数为( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个4. 今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有( ) (A) 5组 (B) 7组 (C) 9组 (D) 11组5. 如图,菱形ABCD 中,AB =3, DF =1,∠DAB =60°,∠EFG =15°,FG ⊥BC ,则AE =( )(A) 1+2 (B) 6 (C) 23-1 (D) 1+36. 已知1x +1y +z =12, 1y +1x +z =13,1z +1x +y =14,则 2x +3y +4z 的值为( )(A) 1 (B)3 2(C) 2 (D)52二.填空题1. 在△ABC 中,已知∠B =2∠A ,BC =2,AB =2+23,则∠A = .2. 二次函数y =x 2+bx +c 的图象的顶点为D ,与x 轴正方向从左至右依次交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于C 点,若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形(O 为坐标原点),则 b +2c = .3. 能使2n +256是完全平方数的正整数n 的值为 .OA BCDEF4. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD 与AB 交于点E ,过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ,如果DE =34CE ,AC =85,D 为EF 的中点,则AB = .第二试1. 已知三个不同的实数a ,b ,c 满足a -b +c =3,方程x 2+ax +1=0和x 2+bx +c =0有一个相同的实根,方程x 2+x +a =0和x 2+cx +b =0也有一个相同的实根.求a ,b ,c 的值.PABCDS2. 如图,在四边形ABCD 中,已知∠BAD =60°,∠ABC =90°,∠BCD =120°,对角线AC ,BD 交于点S ,且DS =2SB ,P 为AC 的中点. 求证:(1)∠PBD =30°;(2)AD =DC .3. 已知m ,n ,p 为正整数,m <n .设A (-m ,0),B (n ,0),C (0,p ),O 为坐标原点.若∠ACB =90°,且OA 2+OB 2+OC 2=3(OA +OB +OC ) (1)证明: m +n =p +3;(2)求图象经过A ,B ,C 三点的二次函数的解析式.参考答案一.选择题1.B2.B3.C4.C5.D6.C二.填空题1. 15°2. 23.114. 24第二试1.解 依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根,则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减,可解得ba c x --=11. 设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根,则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减,可解得12--=c ba x 。

2011年全国初中数学联赛3(整理好)

2011年全国初中数学联赛3(整理好)

第二试(A)
一、已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c=3,方程x2+ax+1=0和x2+bx+c=0有一
个相同的实根,方程x2+x+a=0和x2+cx+b=0也有一个相同的实根,求a,b,c的值.
二、如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,
BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点.
求证:(1)∠PBD=30°;
(2)AD=DC.
三、已知m,n,p为正整数,m<n.设A(-m,0),B(n,0),C(0,p),O为坐标原点.若
∠ACB=90°,且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).
(1)证明:m+n=p+3.
(2)求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式.
第二试(B)
一、同A卷第一题.
二、如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,
BD交于点S,且DS=2SB.求证:AD=DC.
三、已知m,n,p为正整数,m<n.设A(-m,0),B(n.0),C(0,p),O为坐标原点,若
∠ACB=90°,且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).求图象经过A,B,C三点的二
次函数的解析式.
第二试(C)
一、同A卷第一题.
二、如图,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,
E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N,如果PD=PE+PF.
求证:CN是∠ACB的平分线.
三、同B卷第三题.。

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2011年全国初中数学联合竞赛试题说明:评阅试卷时,请依据本评分标准•第一试,选择题和填空题只设 7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分•如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数•第一试2.已知△ ABC 的两条高线的长分别为 5和20,若第三条高线的长也是整数, 则第三条高 线 长 的 最 大 值为()A .5.B . 6.C . 7.D . 8.【答】B.2S 2S 2S设厶ABC 的面积为S,所求的第三条高线的长为 h ,则三边长分别为 竺仝仝.显5 '20' h2S 2S然,于是由三边关系,得5 202S 2S 2S20h J520 解得4 h 202S 2S 2S 3205h ,所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为程 |x 21| (4 2 3)(x 2)) A . 1个 【答】C.解得为 3, X 2 4 3亦,均满足| x | 1 .选择题: (本题满分 每小题7分)(1 a)2 b2(1 b) a则 ab1. 1.C .【答】B. 由(1 a)2 b(1 b)2 a4可得 a(1 a)2 b(1 b)24ab ,即(a b) 2(a 2 b 2) a 3 b 3 4ab 即 2 2(a 2b 2) 2(a 22ab b ) 4ab0,即 2 2ab 4ab0,所以 ab 1.6.C . 3个当|x| 1时,方程为x 21 (4 23)(x 2),即 x 2(4 2、3)x 9 4、3当 |X| 1 时,方程为 1 x 2 (42、,3)(X 2),即 x 2 (42, 3)x 74、.. 3 0 ,解得x 3 .3 2,满足| x| 1 .综上,原方程有3个解.2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准•4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成 “线段组”, 由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有A . 5 组. 【答】C.条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它 3条边中每两 等.又因为 1 294545,所以正方形的边长不大于[竺]11.由于7 1 6 2 5 3 4 ; 81 72 63 59 1 8 2 7 3 6 4 5 ;1 92 83 74 6 ;2 93 84 75 6 .所以, 组成边长为 7、 & 10、11的正方形,各有 种方法;组成边长为 9的止方形,有5种方法。

2011年全国初中数学竞赛试题及参考答案

2011年全国初中数学竞赛试题及参考答案
2011 年全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B, C, D 的四个选项, 其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得 0 分) 一、选择题(每小题 7 分,共 35 分,每小题只有一个正确选项) 1、设 a 7 1 ,则代数式 3a 3 12a 2 6a 12 的值为( (A)24 (B)25 (C) 4 7 10 )
1 的最大值为 a,最小值为 b,则 a2+b2 的值为___________。 2
10、如图,在 Rt△ABC 中,斜边 AB 的长为 35,正方形 CDEF 内接 于△ABC,且其边长为 12,则△ABC 的周长为__________。
三、解答题(每题 20 分,共 80 分) 11、 已知关于 x 的一元二次方程 x2+cx+a=0 的两个整数根恰好比方程 x2+ax+b=0 的两个根都大 1,求 a+b+c 的值。
12、如图,点 H 为△ABC 的垂心,以 AB 为直径的⊙O1 和△BCH 的外接圆⊙O2 相交于点 D,延长 AD 交 CH 于点 P,求证:点 P 为 CH 的中点。
13、 如图, 点 A 为 y 轴正半轴上一点, A, B 两点关于 x 轴对称, 过点 A 任作直线交抛物线 y
2 2 x 3
于 P,Q 两点。 (1)求证:∠ABP=∠ABQ (2)若点 A 的坐标为(0,1) ,且∠PBQ=60o,试求所有满足条件的直线 PQ 的函数解析式。
14、如图,△ABC 中,∠BAC=60o,AB=2AC,点 P 在△ABC 内,且 PA= 3 ,PB=5,PC=2,求△ ABC 的面积。
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“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 (天津赛区)试题参考答案及评分标准一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分) (1)设x =(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). (A )0 (B )1(C )﹣1(D )2【答】C . 解:由已知得2310x x ++=, 于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-(2)已知x y z ,,为实数,且满足253x y z +-=,25x y z --=-,则222x y z ++的最小值为( ).(A )111(B )0 (C )5 (D )5411【答】D .解:由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩,, 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩,于是 22221125xy z z z ++=-+.因此,当111z =时,222x y z ++的最小值为5411. (3)若1x >,0y >,且满足3yy xxy x x y==,,则x y +的值为( ). (A )1 (B )2(C )92(D )112【答】C .解:由题设可知1y y x -=,于是 341y y x yx x -==,所以411y -=.故12y=,从而4=x .于是92x y +=.(4)设333311111232011S =++++,则4S 的整数部分等于( ). (A )4 (B )5(C )6(D )7【答】A .解:当2 3 2011k =,,,,因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦, 所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<,故4S 的整数部分等于4.(5)点D E ,分别在△ABC 的边A BA C ,上,BE CD ,相交于点F ,设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形,,,,则13S S 与24S S 的大小关系为( ).(A )1324S S S S < (B )1324S S S S = (C )1324S S S S > (D )不能确定 【答】C .解:如图,连接DE ,设1DEF S S ∆'=, 则1423S S EF S BF S '==,从而有1324S S S S '=.因为11S S '>,所以1324S SS S>. 二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)(6)两条直角边长分别是整数a b ,(其中2011b <),斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .【答】31.解:由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a .因为b 是整数,2011<b ,所以2a是1到4023之间的奇数,而且是完全平方数,这样的数共有31个,即2223 5 63,,,.因此a 一定是3,5,…,63,故满足条件的直角三角形的个数为31.(7)一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8. 同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16. 解: 在36对可能出现的结果中,有6对:(1,6), (2,5), (2,5), (3,4),(3,4),(4,3)的和为7,所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=.(8)若y =a ,最小值为b ,则22a b +的值为 . 【答】32. 解:由1x -≥0,且12x -≥0,得12≤x ≤1.21122y =+=+ 由于13124<<,所以当34x =时,2y 取到最大值1,故1a =.当12x =或1时,2y 取到最小值12,故2b =.所以,2232a b +=. (9)如图,双曲线xy 2=(x >0)与矩形OABC 的边CB , BA 分别交于点E ,F ,且AF=BF ,连接EF ,则△OEF 的面积为 .【答】32. 解:如图,设点B 的坐标为a b (,),则点F 的坐标为2b a (,).因为点F 在双曲线2y x=上,所以 4.ab = 又点E 在双曲线上,且纵坐标 为b ,所以点E 的坐标为2(,)b b .于是11212222221312.22OEF OEC FBEOFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形()()() (10)如图,在Rt △ABC 中,斜边AB 的长为35,正方形CDEF 内接于△ABC ,且其边长为12,则△ABC 的周长为 .【答】84.解:如图,设BC =a ,AC =b , 则22235a b +==1225. ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB , 所以FE AF CB AC =,即1212b a b-=, 故12()a b ab +=. ②由①②得 2222122524a b a b ab a b +=++=++()(),解得a +b =49(另一个解-25舍去),所以 493584a b c ++=+=. 三、解答题(共4题,每题20分,共80分)(11)已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1,求a b c ++的值.解:设方程20x ax b ++=的两个根为αβ,,其中αβ,为整数,且α≤β,则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++,,由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=,, ………………………………5分两式相加,得2210αβαβ+++=,即 (2)(2)3αβ++=,所以,2123αβ+=⎧⎨+=⎩,; 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩,………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩,; 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩,又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++(),,()(),所以012a b c ==-=-,,;或者8156a b c ===,,, 故3a b c ++=-,或29. ………………………………………………20分 (12)如图,点H 为△ABC 的垂心,以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点.证明:如图,延长AP 交⊙2O 于点Q ,连接 AH BD QB QC QH ,,,,. 因为AB 为⊙1O 的直径,所以∠ADB =∠90=︒BDQ .…………5分 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥,.又因为点H 为△ABC 的垂心,所以AH BC BH AC ⊥⊥,所以AH ∥CQ ,AC ∥HQ ,四边形ACQH 为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分(13) 如图,点A 为y 轴正半轴上一点,A B ,两点关于x 轴对称,过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ,Q 两点. (Ⅰ)求证:∠ABP =∠ABQ ; (Ⅱ)若点A 的坐标为(0,1), 且∠PBQ =60º,试求所有满足条件的 直线PQ 的函数解析式.解:(Ⅰ)如图,分别过点P Q , 作y设点A 的坐标为(0,t ),则点B 的坐标为(0,-t ). 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ,的坐标分别为 P P x y (,),Q Q x y (,). 由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩,, 得2203x kx t --=,于是 32P Q x x t =-,即 23P Q t x x =-.于是,222323P P Q Q x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分又因为P Qx PC QD x =-,所以BC PCBD QD =. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒,所以△BCP ∽△BDQ .故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分(Ⅱ)解法一 设PC a =,DQ b =,不妨设a ≥b >0, 由(Ⅰ)可知∠ABP =∠30ABQ =︒,BC ,BD ,所以 AC 2-,AD =2. 因为PC ∥DQ ,所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD =,即a b .所以a b +=.由(Ⅰ)中32P Q x x t =-,即32ab -=-,所以32ab a b =+=,于是,可求得2==a b将b =代入223y x =,得到点Q 12). …………………15分再将点Q 的坐标代入1y kx =+,求得3=-k所以直线PQ 的函数解析式为1y =+. 根据对称性知,所求直线PQ 的函数解析式为1y =+,或1y +. ………………20分 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由(Ⅰ)可知,∠ABP =∠30ABQ =︒,所以2BQ DQ =.故 2Q x =.将223Q Q y x =代入上式,平方并整理得 4241590Q Q x x -+=,即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以2Q x =又由(Ⅰ),得3322P Q x x t =-=-,32P Q x x k +=.若2Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理,若Q x =可得2P x =-从而2()3P Q k x x =+=. 所以,直线PQ 的函数解析式为1y =+,或1y x =+. ………………………………………20分 (14)已知0122011i a i >=,, , , ,且12201a a a <<<,证明:122011a a a ,,,中一定存在两个数i j a a i j<,(),使得(1)(1)2010i j j i a a a a ++-<.证明:令20101 2 20111i ix i a ==+,,,,, ……………………………………5分 则20112010102010x x x <<<<<. …………………………………10分故一定存在1≤k ≤2010, 使得11k k x x +-<,从而120102010111k k a a +-<++. …………………………………15分即 11(1)(1)2010k k k k a a a a ++++-<. …………………………………………20分。

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