2011年全国初中数学竞赛试题及答案
2011年全国初中数学联赛决赛试卷及其答案
2011年全国初中数学联赛决赛试卷
（4月10日 上午8：45——11：15）
考生注意：1．本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分．
2．用圆珠笔、签字笔或钢笔作答． 3．解题书写不要超出装订线． 4．不能使用计算器．
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条
2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE
＝15°，则∠BOE ＝（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的分根 是（ ）
A ．a ，b
B ．－a ，－b
C ．c ，d
D ．－c ，－d 4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
5．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36 6．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） A ．0组 B ．2组 C ．4组 D ．无穷多组． 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上．
1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x =1对称，则y 的最小值是__________． 2
全国初中数学联赛武汉选拔赛试题及参考答案
2011年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题及参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分)下列各题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填人题后的括号内）
1．如图，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ˊOB ˊ可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A ˊ在AB 上，则旋转角α的大小可以是( C )
A ．30°
B ．45 °
C ．60°
D ．90°
B '
A 'O B
A
解：∵∠AOB ＝90°，∠B ＝30°． ∴∠A ＝60°． 又OA'＝OA ∴∠A'OA ＝∠OA'A ＝∠A ＝60． ∴旋转α可以为60°选C.
2．四7位数13ab45c 能被792整除，则b
a b +的值为( A ) A ．O B ．1 C ．大于0且小于1 D ．大于1
解：792＝8×9×11，则45c 能被8整除 ∴c ＝6，∵ 13ab45c 能被9整除 ∴ a+b ＝17或a+b
＝8 ，∵ 13ab45c 能被11整除 ∴a －b ＝8或a －b ＝－3
，又a ，b 为0到9之间的整数∴a ＝8，b ＝0 选A ．
3．已知△ABC 是⊙O 的内接正三角形，△ABC 的面积等于a ，DEFG 是半圆O 的内接正方形，面积等于b ， 则b
a 的值为( D ) A ．2 B 、26 C 、533 D 、16
315 解：设⊙O 的半径为r ，则4
332
r a =，542r b = 选D ． 4．若质数a ，b 满足2a －9b －4 ＝0，则数据a ，b ，2，3的中位数是( C )
2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
G A B C
D
E F
2011年全国初中数学联合数学竞赛试题
第一试
一．选择题
1．已知a ＋b ＝2，(1－a )2b ＋(1－b )2
a ＝-4,则a
b 的值为( )
(A) 1 (B) -1 (C) -
1 2
(D)
1 2
2. 已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为( )
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
3. 方程│x 2－1│＝(4－23) (x ＋2)的解的个数为( )
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
4. 今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( ) (A) 5组 (B) 7组 (C) 9组 (D) 11组
5. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝3， DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE ＝( )
(A) 1＋2 (B) 6 (C) 23－1 (D) 1＋3
6. 已知1x ＋1y ＋z ＝12, 1y ＋1x ＋z ＝13,1z ＋1x ＋y ＝14，则 2x ＋3y ＋4
z 的值为( )
(A) 1 (B)
3 2
(C) 2 (D)
5
2
二．填空题
1. 在△ABC 中，已知∠B ＝2∠A ，BC ＝2，AB ＝2＋23，则∠A ＝ ．
2. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则 b ＋2c ＝ ．
2011全国初中数学竞赛试题解答
1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为 （ ）
A 、24
B 、25 （63）
C 、1074+ （
） D 、1274+ （
）
解法一：直接思维：直接代入进行计算。立方计算，很费时间。
原式
=33312
3(81)(86
1)(4411)66a +--=⨯=-=-=--==+= 解法二：拆分、组合：提取（a+1）
原式=3a 3+3a 2+9a 2
+9a-15a-15+3
=（a+1）(3a 2+9a-15)+3=（a+1）(3a 2+3a+6a-15)+3
=[3a(a+1)2+（a+1）(6a-15)]+3=[21a+（a+1）(6a-15)]+3
=6a 2+12a+6-18=42-18=24
解法三：构造：（a+1）2
原式=3a(a 2+4a-2)-12=3a(a 2+2a+1+2a-3)-12=3a[(a+1)2+2a-3]-12
=3a(4+2a)-12=6a(a+2)-12=36-12=24
解法四：综合、分析：a 2=6-2a 代换
原式=3a(6-2a)+12(6-2a)-6a-12=-6a 2-12a+60=-6(6-2a)-12a+60=24
解法五：联想、猜想：结果应该是三的倍数。24=3×8原式除以3得：
a 3+4a 2-2a-4=a 3+a 2+3a 2+3a-5a-4=(a+1)(a 2+3a)-5a-4=(a+1)(6+a)-5a-4
=a 2+2a+2=8
a 3+4a 2-2a-4=a 3+2a 2+a+2a 2-3a-4=a(a+1)2+2a 2-3a-4=7a+2a 2-3a-4=2a 2+4a-4=2a 2+4a+2-6=14-6=8
2011年全国初中数学联赛四川初赛初二试题及解答
2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛
解答与评分标准
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、分式
)0(≠++xyz z
y x xyz
中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的
（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．
（A ）
2b a + （B ） 2
n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bn
am ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a
答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。 4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。若
60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）
（A ）
40 （B ）
60 （C ）
80 （D ）
100
答：作C 关于AD 的对称点C ’。因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又
120180=∠-=∠+∠A C B ，故
40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
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中国教育学会中学数学教学专业委员会
全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题，每小题6分，共30分.)
1 (甲).如果实数纠b, C在数轴上的位置如图所示，那么代数式>∕7-
∖a + b I +√(c-6∕p + ∖b + c∖可以化简为( ).
h a QC
(A) 2c-a(B) 2a-2b(C) -" (D) n
1(乙).如果t∕=-2 + √2 ,那么1 + —的值为( )•
2+——
3+ “
(A) -√2(B) √2(C) 2 (D) 2√2 2(甲).如果正比例函数V- axα ≠ 0)与反比例函数y-~ (b ≠())
X 的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(一3, -2),那么另
一个交点的坐标为( )•
(A) (2, 3) (B) (3, -2) (C) (-2, 3) (D) (3,
2)
2(乙).在平面直角坐标系XOy中，满足不等式Λ-+y≤2x+27的整数点坐标(％y)的个数为( ).
(A) 1() (B) 9 (C) 7 (D) 5 3(甲).如果α, b为给定的实数,且l<a<b ,那么1, 4 + 1, 2a+b t a+b
+ ∖这
四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )•
（A ） 1 （D ）；
4
3 （乙）.如图，四边形ABCD 中，AC 9
角线,
二 5,
则仞的长为（
）.
4 （甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币. 玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的“倍”；小玲对小倩说: “你若给我G 元，我的钱数将是你的2倍”，其中“为正整数，则 G 的可能值的个数是（
2011年全国初中数学竞赛解答题汇编(含答案)
O A B
C
D
E
M
第17题图
H y
九年级实验班数学竞赛试卷
15．已知关于x 的方程x 3－ax 2－2ax +a 2－1=0有且只有一个实数根. 求实数a 的取值范围.
16．如图所示，在平面直角坐标系中有点A （-1，0）、点B （4，0），以AB 为直径的半圆交y 轴正半轴于点C 。 （1）求点C 的坐标；
（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D ，使四边形BOCD 为直角梯形，求直线BD
的解析式。
17．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，
在BD 上取点M ，使BM=CH 。 （1）求证：∠BOC=∠BHC ； （2）求证：△BOM ≌△COH ； （3）求
MH
OH
的值.
18．一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为
1, 2, ⋅⋅⋅, 17；第二行依次为18, 19, ⋅⋅⋅, 34; ⋅⋅⋅，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ⋅⋅⋅ , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ⋅⋅⋅, 26；⋅⋅⋅，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？
15、将原方程视为a 的一元二次方程，即a 2－( x 2+2x )a +x 3－1=0. 分解因式得[a －(x －1)][a
－(x 2+x +1)]=0. 则x =a +1或x 2+x +1－a =0①.（6分）
2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
、
（ 题满分 ２ 本 Ｏ分 ） 目和 解 答 与 （ 卷 第 一 题 题 Ａ）
相 同．
二 、本 题 满 分 ２ （ ５分 ） 图 ， 如 已知 Ｐ 为 锐 角 △ＡＢ Ｃ
内一 点 ， Ｐ 分 别 ＢＣ， 过 ＡＣ， ＡＢ 的 垂 线 ， 足 分 别 为 垂
３ 能使 ２ ＋２ ６是 完全 平 方 数 的 正 整 数 ｎ的值 为 ． ５
ＡＥ 的 延 长 线 于 点 Ｈ ． 由 Ｄ 为 ＡＣ 的 中 点 ， ＣＨ ＝２ 知 ＦＤ． 由分 析 ２， ＢＦ＝ ４ ＦＤ．
由 ：Ｂ ＿ ③ 圈２ Ａ
、
ＳｎＡ Ｆ ￣
④ 得 ＢＥ一２ ＥＣ．
＠ 芝
注 该证法灵活运用三角形面积比 及三 罐
角 形 相 似 的 性 质 ， 开 生 面 ， 截 了 当． 别 直 继 续 探 究 ， 有 其 它 的 证 法 ， 用 梅 涅 劳 还 如
分析 ５ 如 图 ３ 连结 Ｃ ． ， Ｆ 由 ＥＥ一 Ｂ Ⅲ 一 Ｓ ＡｒＦ 一 Ｓ ＾ＪＦ Ｃ ２ Ｄ △ △
．
‘
③
故 丽Ｅ一 Ｂ
Ｈ
由 析２ ＡＦ Ａ Ａ． 分 ， Ｂｃ Ｄ Ｆ Ａ ｏ
讳
一
即 ＢＥ＝ ２ ＥＣ．
图３
分析 ４ 如 图 ３ 过 点 Ｃ作 Ｃ ／ Ｂ 交 ， Ｈ ／ Ｄ，
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2011年全国 初中数学联赛(含答案)
1
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知2a b +=，
()
()
2
2
114a b b
a
--+
=-，则ab 的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．1
2
-
D ．
12
【解析】 B
由22
(1)(1)4a b b a
--+=-可得22(1)(1)4a a b b ab -+-=-，
即()
2233()240a b a b a b ab +-++++=，
即()()
222222240a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1ab =-．
2．已知ABC △的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【解析】 B
设ABC △的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为
222520S S S
h
，，．显然
2
22520S S >
，于是由三边关系，得222205
222205
S S S
h S S S h ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得2043h <<． 所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．
3．方程()
21423(2)x x -=-+的解的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】 C
如图，利用函数图像，发现主要是讨论在11x -≤≤时的交
点情况，可用判别式判断
(21423(2)x x -=--有两个相同的实数根，所以函数图象上中间部分应该是相切的，所以
共有三个交点．
4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（
2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案
2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题（每题10分，共80分）
1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①，02=++m x x ②，其中
0≠m 。若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，?=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，
则梯形ABCD 的面积为_______________。
3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号
都大于等于2的概率为______________。
4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，
d ，
e ，
f ，
g ，
h ，使得()()2
2
h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。
5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，
2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。
6. 在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，P 是ABC ?内一点，使得11=PA ，
7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。
7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1
分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的
2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷(株洲卷)及试卷解析
2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷（株洲卷）
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
1．（7分）设，则3a3+12a2﹣6a﹣12=（）
A．24B．25C．D．
2．（7分）在同一直角坐标系中，函数y=（k≠0）与y=kx+k（k≠0）的图象可以是（）
A．B．
C．D．
3．（7分）在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）
A．1个B．4个C．7个D．10个
4．（7分）若x＞1，y＞0，且满足，则x+y的值为（）A．1B．2C．D．
5．（7分）设，则4S的整数部分等于（）A．4B．5C．6D．7
二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）
6．（7分）设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是．7．（7分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是．
8．（7分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8．同
时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是．9．（7分）如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于C，D两点．若BD=2AC，则4OC2﹣OD2的值为．
10．（7分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为．
2011全国初中数学联赛七年级试题与答案
2011年全国初中数学联赛七年级试卷答案及评分细则
一、选择题（每小题5分，共40分）
本大题共8小题，每小题均给出四个正确选项，其中只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在下表的指定位置. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 正确选项
D
C
C
A
B
C
B
D
1.若有理数a 、b 满足条件：
a+b >a -b ，那么：
A.a 、b 同号
B.a 、b 异号
C.0a >
D.0b >
2.大于-π并且不是正整数的整数有：
A.2个
B.3个
C.4个
D.无数个
3.杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天较第二天增加了10%，那么第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是： A.一样多 B.多了 C.少了 D.多了或少了的可能性都有
4.轮船往返于两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将： A.增多 B.减少 C.不变 D.增多或减少都有可能
5.如图.A 、B 、C 、D 、E 是数轴上的5个点，且AB =BC =CD =DE ，则与点D 所表示的数最接近的整数是： A.1510 B.1511 C.1512 D.1513
6.当
1x =-时，代数式32-38ax bx +的值为18，这时，代数式9-62b a +的值为：
A.28
B.-28
C.32
D.-32 7.如图，1ABC
S =△且BDE DEC E S S S ==△△△AC ，则DE S △A 等于：
A.
15 B.16 C.1
7 D.
1
8
8.有一份选择题试卷共6道小题，一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分，某同学共得了20分，那么他答卷情况是：
四川初中数学联赛初二组决赛试题及答案
2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克
按100克计）0.4元。某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ）。
（A ）2.3元 （B ） 2.6元 （C ） 3元 （D ） 3.5元 答：书的质量701003100470+⋅+=（克），故邮资为：3.24.04.037.0=+⋅+（元），选A 。
2、设关于x 的分式方程
2
2
22--=
--x a x a 有无穷多个解，则a 的值有（ ）． （A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 无穷多个
答：因为分式方程有解，故a a -=-22，解得2=a ，故a 只有1个，所以选B 。 ３、实数a 、b 、c ，满足0=++c b a ，且0>abc ，则
c
b a 1
11++的值（ ）
。 （A ） 是正数 （B ） 是负数 （C ） 是零 （D ） 正负不能确定
答：由0=++c b a ，0>abc 知，c b a ,,中，必有两负一正，不妨设0<a ，0<b ，0>c ，
且||||c a <，所以
||1||1c a >，故c a 11>-，而01<b ，所以01
11<++c
b a ，选B 。 ４、若
c b a ,,分别是三角形三边长，且满足
c
b a
c b a -+=
-+1
111，则一定有（ ）． （A ） c b a == （B ） b a = （C ）c a =或c b = （D ）2
2011年全国初中数学竞赛试题及答案
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1
）设x =
(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1
（C ）﹣1
（D ）2
【答】C ． 解：由已知得2
310x x ++=， 于是
222
2
(1)(2)(3)(3)(32)
(31)1 1.
x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-
（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则
222x y z ++的最小值为( ).
（A ）111
（B ）0 （C ）5 （D ）
5411
【答】D ．
解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩
，
， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，
于是 2
2221125x
y z z z ++=-+．
因此，当111z =
时，222
x y z ++的最小值为5411
． （3）若1x >，0y >，且满足3y
y x
xy x x y
==，
，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2
（C ）
9
2
（D ）
112
【答】C ．
2
解：由题设可知1y y x -=，于是 341
y y x yx x -
==，所以411y -=．
故1
2
y
=
，从而4=x ．于是92x y +=．
（4）设3
333
111
1
123
2011
S =
++++
，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5
（C ）6
（D ）7
【答】A ．
2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷
2011年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试卷
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1．设a= ，则323a +12a -6a-12=（ ）
A ． 24
B ．25
C ． +10
D ．+12
2．规定”△”为有序实数对的运算，如果（a ，b ）△（c ，d ）=（ac+bd ，ad+bc ）．如
果对任意实数a ，b 都有（a ，b ）△（x ，y ）=（a ，b ），则（x ，y ）为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，0）
C ．（-1，0）
D ．（0，-1）
3．若x ＞1，y ＞0，且满足xy=y x ，
3y x =x y ，则x+y 的值为（ ） A ． 1 B ．2 C ．9
2 D ．112
4．点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设S 四边形EADF=S1，
S △BDF=S2，S △BCF=S3，S △CEF=S4，则S1S3与S2S4的大小关系为（ ）
A ．S1S3＜S2S4
B ．S1S3=S2S4
C ．S1S3＞S2S4
D ．不能确定
5．设S=33331
111+++......+12399，则4S 的整数部分等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6．若关于x 的方程（x-2）（2x -4x+m ）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三
角形的三条边的长，则m 的取值范围是_____________．
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质
1988~2011年全国初中数学联赛武汉选拔赛试题及答案选编
1988---20011年武汉市初中数学竞赛
试题汇编
重要资料注意保存注意研究
1988年武汉市初中数学竞赛题
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．已知实数a 、
b 、
c 在数轴上的位置如图：
则代数式2a －|a ＋
c|
＋2b)
(c -－|
－b|的值是________ 2．分解因式(xy －1)2－(x ＋y －2xy)(2－x －y) ＝__________ 3．若a 、b 、c 为实数，且b a ＝c b ＝a c ，则c
b a c
b a +--+的值为__________
4．当x ＝3－1时，代数式
15
35x 6x x 4
x 2
3
--+++的值是__________
5．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝5，CD ⊥AB ，
已知BC 、AC 是一元二次方程x 2－(2m －1)x ＋4(m －1)＝0 的两个根，则m 的值是__________
6．某人在360米长的环形跑道上跑了一圈。已知他前一半时间
每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，则他后一半路程跑 ______秒钟。 7．如图，已知CD ＝3
1BC ，BE ＝3
1AB ，则
FA
DF
＝________ 8．已知在1²2²3……(n －1)n 的积的尾部恰有25个连续的零， 则n 的最大值是________ 二、选择题(每小题6分，共36分)
9．在同一坐标系里，表示函数y ＝kx ＋b 与y ＝x kb
(k ≠0，b ≠0)的图象只能是( )
10．lgM 的首数是a ，则lg
M
1000
的首数是( ) (A)2－a (B)3－a (C)2－a 或3－a (D)以上都不对 11．如图，若ABCD 为正方形，DE ＝EC ，∠CDE ＝60°，
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“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1
）设x =
(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1
（C ）﹣1
（D ）2
【答】C ． 解：由已知得2
310x x ++=， 于是
222
2
(1)(2)(3)(3)(32)
(31)1 1.
x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-
（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则
222x y z ++的最小值为( ).
（A ）111
（B ）0 （C ）5 （D ）
5411
【答】D ．
解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩
，
， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，
于是 2
2221125x
y z z z ++=-+．
因此，当111z =
时，222
x y z ++的最小值为5411
． （3）若1x >，0y >，且满足3y
y x
xy x x y
==，
，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2
（C ）
92
（D ）
112
【答】C ．
解：由题设可知1y y x -=，于是 341
y y x yx x -
==，所以411y -=．
故1
2
y
=
，从而4=x ．于是92x y +=．
（4）设3
333
111
1
123
2011
S =
++++
，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5
（C ）6
（D ）7
【答】A ．
解：当2 3 2011k =，，，，因为()(
)()32
111112111k k k k k k k ⎡⎤
<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以33
311
11115
11123201122201120124
S ⎛⎫<=+
+++
<+-< ⎪⨯⎝⎭． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．
（5）点D E ，分别在△ABC 的边A B
A C ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，
则13S S 与24S S 的大小关系为( ).
（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．
解：如图，连接DE ，设1
DEF S S ∆'=， 则
14
23
S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S
S S
>． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .
【答】31．
解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011
a
是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．
（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .
【答】
1
6
． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是
61
366
=.
（8）若y =a ，
最小值为b ，则22
a b +的值为 . 【答】
32
． 解：由1x -≥0，且12
x -
≥0，得1
2≤x ≤1．
21122y =
+=+ 由于
13124<<，所以当3
4x =时，2y 取到最大值1，故1a =．
当12x =
或1时，2
y 取到最小值12，故2
b =．所以，2232a b +=． （9）如图，双曲线x
y 2
=
（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .
【答】
32
． 解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2
b a （，）.因为点F 在双曲线
2
y x
=
上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标 为b ，所以点E 的坐标为2
(,)b b .于是
11212222221312.22
OEF OEC FBE
OFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（） （10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .
【答】84．
解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ， 则2
2
2
35a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ， 所以
FE AF CB AC =，即1212b a b
-=， 故12()a b ab +=． ②
由①②得 222
2122524a b a b ab a b +=++=++（）（），
解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程
20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.
解：设方程2
0x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，
则方程2
0x cx a ++=的两根为1
1αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分