随机数在随机事件概率教学论文
计算机产生随机数在概率中的应用
计算机产生随机数在概率中的应用
毛学强
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2007(000)008
【摘要】@@ 长期以来,由于我国在数学教育中对概率统计内容的忽视,使学生误认为数学只能研究确定的对象,得出确定的结论,因此,对于新课程中数学出现的随机现象很陌生,学习起来很困难,特别是对概率的学习,学生感到抽象,难于理解,如果让学生实际做实验,必然会浪费时间、人力、物力,而且不易付诸实行;如果借助计算机做实验,模拟随机事件结果,不但可以加深和巩固学生对概率的理解和认识,而且可以促进学生创新思维能力的培养,使学生创造性地提出问题、解决问题.
【总页数】2页(P35-36)
【作者】毛学强
【作者单位】福建泉州培元中学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.随机数的产生及其在高炮射击命中仿真中的应用 [J], 蒋里强;王学奎;韩文超
2.随机数在随机事件与概率教学中的应用探索 [J], 窦晓峰
3.C#中随机数的产生及其应用 [J], 孙义欣
4.非均匀分布随机数的产生及其在计算机模拟研究中的应用 [J], 胡性本;刘向明;方
积乾
5.Gibbs方法在产生多维随机数中的应用 [J], 赵琪
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随机事件的概率计算与应用
随机事件的概率计算与应用在我们的日常生活中，充满了各种各样的不确定性。
比如明天是否会下雨，购买的彩票是否能中奖，考试时能否取得理想的成绩等等。
这些不确定性的事件被称为随机事件。
而通过对随机事件发生可能性的研究，我们可以运用概率来进行计算和分析，从而更好地理解和应对生活中的不确定性。
那么，什么是概率呢？简单来说，概率就是用来衡量随机事件发生可能性大小的一个数值。
它的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个随机事件发生的概率为 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率为 1，则表示这个事件肯定会发生；而介于 0 和 1 之间的概率值，则反映了事件发生的可能性的大小。
概率的计算方法有多种，其中最基本的是古典概型和几何概型。
古典概型适用于试验结果有限且等可能的情况。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
总共有 8 个球，取出每个球的可能性是相等的，而红球有 5 个，所以取出红球的概率就是 5/8 。
几何概型则适用于试验结果无限且等可能的情况。
比如，在一个半径为 1 的圆内随机取一点，求该点落在半径为 1/2 的同心圆内的概率。
这里的样本空间是整个圆的面积，而事件发生的区域是半径为 1/2 的同心圆的面积。
通过计算两个面积的比值，就能得到概率。
除了这两种基本的概型，还有一些其他的概率计算方法，比如条件概率和全概率公式等。
条件概率是指在某个条件下，某一事件发生的概率。
例如，已知某地区下雨的概率为 03，在下雨的条件下，交通拥堵的概率为 07，那么下雨且交通拥堵的概率就可以通过条件概率来计算。
全概率公式则用于解决较为复杂的概率问题，当一个事件的发生受到多个不同因素的影响时，可以通过全概率公式将其分解为多个简单事件的概率之和。
了解了概率的计算方法，那么概率在实际生活中有哪些应用呢？首先，在保险行业中，概率起着至关重要的作用。
保险公司通过对各种风险事件发生的概率进行评估和计算，来确定保险费率和赔偿金额。
探索概率从随机事件中学习
探索概率从随机事件中学习概率是数学中的一个重要概念，它用于描述事件发生的可能性。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机事件，通过探索这些事件，我们可以更好地学习和理解概率的概念。
本文将探讨通过随机事件学习概率的方法和意义。
一、随机事件的概念及其特点随机事件指的是在一定条件下，其结果无法事先确定的事件。
在随机事件中，每个可能的结果都有一定的概率发生。
例如，抛掷一枚硬币，在空中旋转的过程中，我们无法确定它最终是正面还是反面朝上，这就是一个随机事件。
随机事件具有以下特点:1. 结果不确定性：在随机事件中，结果是无法事先确定的，只能通过实验或观察来得出。
2. 可重复性：随机事件可以进行重复实验，通过多次观察可以得出更加准确的概率。
3. 概率分布：在随机事件中，每个可能的结果都有相应的概率发生，这些概率可以通过大量实验进行统计得出。
二、从随机事件中学习概率的方法1. 频率方法频率方法是通过多次实验或观察，统计某个事件发生的频率来估计概率。
例如，进行100次抛掷硬币的实验，记录正面朝上的次数，最终计算出正面朝上的频率，从而估计硬币正面朝上的概率。
频率方法的优点是简单易行，可以通过实验来验证概率的正确性。
但是也存在一些局限性，例如某些事件的概率无法通过实验得到准确的估计，或者实验次数过少导致估计结果不准确等。
2. 思维模型方法思维模型方法是通过建立合理的思维模型，理性推断事件发生的概率。
这种方法不依赖具体的实验或观察，而是通过对事件的分析和推理来估计概率。
例如，在一个扑克牌游戏中，如果知道牌堆中各个牌面的数量和发牌规则，可以通过思维模型计算某个特定牌面被抽到的概率。
思维模型方法的优点是可以通过分析和推理来得出概率，不受实验次数的限制。
但是需要较高的数学能力和逻辑思维能力，以及对事件的充分理解。
三、从随机事件中学习概率的意义通过从随机事件中学习概率，我们可以获得以下几方面的意义。
1. 预测能力：概率的概念可以帮助我们对未来的事件进行预测。
“随机事件的概率”一课的赏析与思考
问题 １ 与其他小组实验结果 比较， 和他们 你
的结 果一致 吗 ？为什 么会 出现这 样 的情况 ？ 问题 ２ 大家 做 出来 的 ， 面朝 上 的频率 并 不 正
面是笔者对该节课的几点体会及对今后教学 的启 示， 望与广大同仁交流学习．
１ 课例 赏 析
都是 ０５ 跟我们的猜想有出入， ．， 那是什么原因？
问题 ：会 当凌绝 顶 ， “ 一览 纵 山小 ” 种 景象 在 这
登泰 山时 一定 能看 到 吗？
分析
Ｅｃｌ ｘｅ采集 数据 并做 出折 线 图。
问题 ５ Ｅ ｃｌ 侧 是 大 家 的实 验 所 得 的频 ｘｅ 左
此 问题情 境 的创 设 新 颖 、 致 ， 精 不仅 能快 速 集
・２ ７・
例如 将 皮 尔 逊 抛 掷 ２４ ０次 实 验 获 得 的 频 率 ０
０５０５ 为正 面朝上 的概 率 ？为什 么 ？ ．０ 作
问题 １ 根 据 实 验数 据 的 图 表 分 析 ， 哪 个 Ｏ 用
吗？ 自然地 突 出 了“ ” 事件 发 生 的条 件 Ｓ 这 一教 学 ” 关 键 点． 问题 “ 丽 射 击 一 次 ， 中 靶 心 是 属 于 哪 杜 击 类 事件 ？那 为什 么选 派 她 参 加 奥运 会 呢？ 无 痕 迹 ”
实验 １ 学 生 抛 硬 币 实 验 ， 回顾 频 数 、 率 等 频
概 念．
者作为名师工作室学员 ， 有幸观摩 了本次活动 ， 感
受 了不 同风格 的课 堂 ， 领 略了不 同地 区优秀 教师 也 的风 采． 特别是 获 得本 次评 比活动第 １ 的温 州 中 名 学孙 军波 老 师 的“ 随机 事 件 的概 率 ” 课 ， 和谐 一 其
奇思妙想来助力,数学课堂亦有趣 ——以《随机事件的概率》一课为例
奇思妙想来助力，数学课堂亦有趣——以《随机事件的概率》一课为例摘要：数学教学要充分考虑学生的特点，高中学生的年龄特点使得他们对过于枯燥的数学教学缺少足够的兴趣，教师在教学过程中一定要充分发挥自己的智慧，调动学生的积极性，使得学生有效融入数学课堂，从中收获知识。
本文以《随机事件的概率》一课为素材，论述教师如何结合学生的认知发展水平，让枯燥的数学课堂变得有趣，激发学生的学习热情，产生思维碰撞，引导学生经历、探索、实验、证明的过程，培养学生善于解决问题的能力，渗透数学思想方法。
猜测关键词：数学教学；学习兴趣；自主探索；激励性评价。
题记：教育意味着一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂，一种智慧点燃另一种智慧。
———［德］斯贝尔斯普通高中数学新课程标准强调:“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
”作为教学一线的教师,在教学中，要不断地尝试着用新的课程理念指导教学,笔者有幸观摩青年教师优质课大赛，现将这节课的部分过程描述及感想奉献给广大读者。
一、动画游戏引入，激发学习热情“好的开始是成功的一半”，导入新课是课堂教学的重要一环，在课堂的起始阶段，迅速集中学生的注意力，把他们的思维带进特定学习情境中，这对一堂课教学的成败与否起着至关重要的作用。
一上课，学生和教师就一起看了一段 3 分钟的有趣动画片，动画片里主要讲述两人比赛扔硬币定输赢，学生看得津津有味，笑点十足；部分有困意的学生此时也是精神百倍。
接着又请了两位同学玩“剪刀石头布”的游戏，刚开始我觉得这个游戏也太低级了吧，没想到高一的学生玩起来一点没有违和感，搓手，跺脚，喊口号；赢了的同学高兴得比胜利手势。
大家鼓掌庆祝，氛围高涨，原来他们也是孩子，高中数学课堂居然也可以这样开始，真是奇思妙想啊！片段一：教师：在玩游戏之前，同学们是否确定同学 A 会赢得游戏？学生：不确定。
教师：也就是说“游戏之前，同学 A 赢得游戏”是一个什么事件？学生：不确定事件。
随机数 论文
1、生成正态分布的随机数为模拟产生正态分布的随机数．先看看著名的高尔顿钉板。
图1中呈三角形分布的每一黑点表示钉在板上的一颗长钉子，同钉子间的水平距离相等．上一层钉子恰好在下一层的两颗钉子的正从人口处放进一个小球，在小球降落过程中，碰到钉子后向左或向右滚下，两边概率相等。
然后再碰到下一层钉子。
降落过程或左或右向下跌落，直到滚到底板的一个格子内为止。
把大量相同的小球不断地从人口处放下，它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形(即：中间高，两头低，呈左右对称的古钟型)。
这是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．称为高尔顿钉板。
下面的程序是依照高尔顿原理，进行仿真：用随机函数确定小球每次碰到钉子是往左还是往右跳跃。
int fall(int mid，int leve1) ／／高尔顿板仿真，把均匀分布，／的随机数加工为正态分布f int i,temp；temp=mid；if f(rand 0 ／10)％2==11{if (rand 0 ％2：=1) mid++；else mid--；}f0r(i=0；i<1evel；i++)if (rand ()，4％2==1) mid++；else mid--：return mid；}；其中mid为期望的平均值，也是数量最多的中间值；level为钉子的层数，层数越多，正态分布的曲线越扁．即随机数越分散，方差越大.2、随机数的产生可以采用抽签、掷骰子、抽牌、摇号或者从搅乱的罐子中取带数字的球等方法，许多彩票的发行至今仍然采用这种方法) 但是这些方法的随机性不是很好。
已有的随机性比较好的方法是：先由电脑生成一个随机数U~ U（0，1），若（i-1）/n<U<=i/n，则取X= i （i=1,2,3-----n），则可得｛1，2，⋯，n｝中的一个随机数. 3、一维随机数的产生设ζ"η独立"ζ在（a,b）上服从均匀分布"η在(0,1)中服从均匀分布"又设f(x)为ζ的概率密度函数,满足∫f(x)dx=1. 取常数a>0使af(x)<=1对一切的x成立"则有即在事件下"3的条件概率为f(x).二维随机数的产生设为某二维概率密度函数,G 为一平面区域,满足取（X,Y）为G 上的均匀分布随机向量,G 的面积为为上的均匀分布随机变量, 与Y 相互独立取常数条件下的条件分布密度函数为即条件下的条件分布函数为4、伪随机数生成算法．1 取中法产生伪随机数列最早的方法是平方取中法，即将一个2s位十进制随机数平方后得到的一个4 位数，去头截尾取中间2 位数作为一个新的随机数，重复上述过程便得到一伪随机数列．平方取中法的递推公式产生伪随机数列平方取中法的优点为在计算机上易于实现，内存占用少，但仍存在对小数目偏倚的现象，均匀性不好，数列的长度和周期难以确定，对始数据的依赖很大．．2 移位法电子计算机善于进行移位等逻辑运算，应用机器的这个特点有一类产生伪随机数列的方法，该方法称为移位法．如果字长为32位的计算机，取一初始值z。
概率论文：新课改下“随机事件及其概率”的探究式教学实践及反思
概率论文：新课改下“随机事件及其概率”的探究式教学实践及反思【摘要】随机现象无处不在，概率问题到处可见。
苏教版“随机事件及其概率”一节的教学难点是频率和概率的关系。
本文通过学生亲自动手抛掷硬币、历史上抛硬币数据分析、计算机模拟抛掷硬币,以此来引导学生突破频率和概率的关系这个教学难点；通过几何画板动画演示让学生体会概率的理论性和频率的可变性，澄清了生活中的一些错误认识，联系了“实验”、“问题”与“生活”，培养了学生实验法探究数学知识的能力。
【关键词】概率实验探究生活数学数学教育家乔治波利亚曾说过：“学习任何知识的最佳途径都是由学生自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”。
由此可见，要想学好数学，学生必须要养成数学探究的观念，掌握数学探究的技能。
本节课，教师以“活动”驱动探究，以“问题”推动教学，是新课改下探究式教学的一次有益的尝试。
1.问题情境随机事件在我们的生活中广泛存在，时刻影响着我们的生活。
因为在体育比赛中充满了随机事件，所以体育比赛更加刺激、精彩，观众在观看体育比赛时才会如此的紧张投入（屏幕显示nba火箭队和马刺队的一场比赛中观众观看体育比赛热烈场面的图片）；因为我们的校园中每天都能遇到随机事件，所以我们走在校园里内心总是涌动着好奇与兴奋（屏幕显示两位学生在用“石头剪刀布”决定胜负）；因为在我们的人生道路上也充满了随机事件，所以每个人的人生各有各的不同，各有各的精彩；可见，我们是生活在一个充满了随机事件的世界里（屏幕显示车祸图片）。
请同学们举出生活中的随机事件。
研究随机事件的概率人们最早是从抛掷硬币开始的。
【设计意图】：将概念和生活、人生联系起来，容易激发学生的学习热情，培养学生用数学知识认识世界的能力。
2.新知探究2.1活动1：4名同学为一组，统计抛掷硬币的总次数和正面向上的次数。
要求使用一元硬币，抛掷高度为左右，抛掷方式为竖直上抛， 3分钟后教师用软件统计每组结果和全班的实验结果，计算“硬币正面向上”这个事件发生的频率。
随机试验在中学概率教学中的作用
关 于 投 掷般 子的
0 个 盒子 中 入1
试求 个盒子 中
, ,
情况
,
我们 完 全可 以 用类似 的 方法解 题
: ,
在指 定 的 任意
6
二 ) 抽 样试验 有 多种类 别 若干
,
一 个容 器 内的物 件可 以
、
概 率?
红)
如可 以 有黄
,
白
、
红
,
、
黑等 不
。
个 盒 子 中 各有一 球 的概 率 ?
,
同颇 色的球 各若干 例
) i
3
也 可 能是 正 品 和次品 各
,
解
种放 法
i)
:
。
0 种 放法 每个球 有 1
故 5 个 球有 1 0
’
下 面 我们 以二种 类别 为例 其 它类 似 设 一 袋 中有 m 只 自球
,
同 一 个 试验 重 复二 次 的 联 合 试 验 个不 同试 验 的联合试 验 我们 以
正 面向 上 此 类推
。 。
,
例
“
,
是二
现 具体 分 析 如 下 :
件 ) 对 于 这样 的试 验
1 1 )
,
我们 称为放 回 抽 样
, ,
。
(正
,
反 ) 表 示例 1 中
”
第一 次 其它 以
一 次 任取 若干 件不 放 回
.
下面 即上
些 试验
我 们按试 验 的类型 分别 举例 进行 讨 论
一 ) 投 掷试 验 :
,
.
1 ) 投掷试 验 : ) i 在 相 同条件 下
i )
概率教学之我见优秀获奖科研论文
概率教学之我见优秀获奖科研论文在现代社会中, 人们面临着多种机遇与挑战, 常常需要在不确定情境中做出合理的决策, 概率刻画了随机现象和事件发生的可能性的大小, 为人们理性地制定决策提供了依据.对概率教学的研究已经引起了大家的普遍关心.下面我结合多年来的课堂教学实践谈谈体会.一、什么是概率对于概率的定义，教材中是这样阐述的：随机事件发生的可能性有大小.一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率（probability）.概率是度量事件发生可能性大小的属性.如果用A表示一个事件，那么我们就用P（A）表示事件A发生的概率.由于必然事件在每次试验中必定发生，或者说它发生的可能性是百分之百，它的概率是1.不可能事件发生的可能性是0，所以它的概率是0.而任一事件A发生的可能性不会小于0，也不会大于百分之百，即有0≤P（A）≤1.对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性.它反映这个随机事件发生的可能性大小.事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.二、概率教学的重要途径——实验1.概率实验的内涵概率教学应该通过真实数据、活动和直观模拟创造情景，使学生感悟蕴涵的概率背景，重视模拟和实验，淡化术语，避免单纯从计算的角度引导学生去从事概率的学习.在教学中多结合实例，让学生亲自经历随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，集体合作，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较，获得一定的活动经验，促进对概率意义的理解和掌握，教师要注重创设情境，让学生在解决实际问题的过程中逐步理解概率.在教学过程中，并非一味简单地讲述书本知识，而适时、恰当地设计、引导学生主动参与课堂、课后的概率实验，以实验结果来论述问题，体现以学生为主，以应用为本的教学理念，使抽象的数学教学进行得生动活泼，从而取得让学生终身难忘的教学效果.2.概率实验的价值第一，通过概率实验，有助于学生体会随机现象的特点.在进行实验及对实验数据的分析中，学生将逐渐体会到随机现象的不确定性，以及大量重复实验所呈现的规律性.第二，通过概率实验，可以估计一些随机事件的概率.在实际生活中，大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得到的，此时人们可以通过做实验，将大量重复实验时的频率作为事件发生的概率的估计值.第三，通过概率实验，有助于学生澄清一些错误认识.学生学习概率时，虽然有一些生活经验基础，但也有局限性和困惑，对后者不是靠训练就可改变的，必须结合学生的生活经验，让学生亲自动手操作，将学生的感性经验向理性思考发展.三、需要注意的问题1.要重视教材的基础作用教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，教学中必须按课程标准对概率内容的要求，以课本的例、习题为素材，举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下工夫，力求对教材内容融会贯通.2.要注意联系实际概率来源于生活中的具体情景，教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，从而把抽象的知识生活化，生活的知识数学化.3.要给学生足够的动手操作时间数据处理是一个比较烦琐的学习和操作的过程，概率教学要注意提供给学生充分的时间，引导学生多动手操作，注重学生的自主探索和合作交流，让学生在实际操作中发现问题，分析问题，进而解决问题.4.要注意概率计算拓展的深度在概率计算教学中，许多教师对这部分知识进行了拓展，但拓展时一定要把握好深度，所使用的方法必须在计算概率的基本方法（如完全枚举法、画树状图或列表等）范围内.5.要注意概率计算拓展的宽度在强调控制概率计算拓展深度的同时，必须注意概率计算拓展的宽度.概率计算与许多知识相结合，可以形成难度适中的综合题.我们在教学中要重视引导学生对这类问题的研究，关注和概率内容相关的综合问题，灵活运用学到的概率计算方法去解决问题，不断提高学生用数学的意识，增强综合运用知识解决实际问题的能力.6.要重视教学方式和学习方式的改变转变学习方式是学习概率知识的内在要求.由于概率中存在着大量的活动，学生需要通过亲自参与活动来学习其内容，掌握数据处理的方法.这些活动有效地导致教师与学生地位的根本改变，促进教师教学方法的改进和学生学习方式的改变.教师由知识的传授者成为活动的组织者、引导者、合作者，学生由被动接受知识的容器转变为学习活动的设计者、主持者、参与者，传统的传授式教学已不能满足教学的需要，学生的学习方式由被动接受变为主动探究.。
概率选择 随机数法
概率选择随机数法
概率选择是指根据一定的概率分布规律进行选择的过程。
在实
际应用中，可以利用随机数法来实现概率选择。
随机数法是通过生
成随机数来进行决策或选择的方法，可以根据需要的概率分布特性
来生成相应的随机数，然后根据生成的随机数来进行选择。
从数学角度来看，概率选择可以用概率分布函数来描述，而随
机数法则是利用随机数生成器来模拟这种概率分布。
常见的随机数
生成方法包括线性同余发生器、递推式随机数生成器、梅森旋转算
法等。
通过这些方法生成的随机数可以服从均匀分布、正态分布、
指数分布等不同的概率分布特性，从而实现概率选择的目的。
在实际应用中，概率选择和随机数法经常用于模拟实验、随机
抽样、随机算法等领域。
例如，在统计学中，可以利用随机数法来
进行蒙特卡洛模拟，从而估计某个随机变量的期望值或方差；在计
算机科学中，随机数法常常用于生成随机图、随机网络等，以及在
随机算法中进行随机选择。
需要注意的是，随机数的质量对于概率选择的准确性至关重要，不合适的随机数生成方法或者随机数生成器的种子选择可能导致结
果的偏差。
因此，在实际应用中，需要选择合适的随机数生成方法，并根据具体情况进行参数设置，以保证概率选择的准确性和可靠性。
《随机数的事件概率》教学设计(优质公开课一等奖)
《随机数的事件概率》教学设计(优质公开课一等奖)随机数的事件概率教学设计（优质公开课一等奖）简介本教学设计旨在教授学生如何计算随机事件的概率。
通过理论讲解和实际案例分析，学生将了解随机数的基本概念和事件概率的计算方法。
教学目标- 理解随机数和事件概率的定义- 掌握计算事件概率的基本方法- 能够应用概率知识解决实际问题教学内容1. 随机数的定义和性质2. 事件概率的定义和计算方法3. 事件独立性与相关性4. 实际案例分析教学步骤步骤一：引入随机数通过示意图和生活中的例子引入随机数的概念，让学生了解随机数的定义和常见性质。
步骤二：讲解事件概率- 定义事件概率并解释其含义- 介绍计算事件概率的方法，包括频率法和几何法- 展示具体计算步骤和例子步骤三：讨论事件独立性与相关性通过案例和实际问题引导学生思考事件之间的独立性和相关性，并讨论它们对事件概率的影响。
步骤四：实际案例分析选择一些与学生生活相关的实际案例，让学生运用所学知识计算事件概率并解决问题。
可以使用小组讨论或个人练的形式。
步骤五：总结和评估对本节课的内容进行总结，并用简单的测试题评估学生对随机数和事件概率的掌握程度。
教学资源- 示意图和实际例子- 计算概率的公式和例题- 实际案例材料教学评估- 教师观察学生的参与情况- 学生的小组讨论和个人练表现- 测试题的成绩评估拓展阅读推荐学生阅读相关的数学书籍和网络资源，深入了解随机事件和概率的更多知识。
结束语本节课旨在培养学生对随机数和事件概率的理解和应用能力。
通过理论与实际案例的结合，学生将获得实际运用概率知识的经验，并培养他们的数学思维和问题解决能力。
梅晓靖 概率论小论文
梅晓靖概率论小论文对概率论的认识对于概率论的学习已经过了大半个学期了，虽然现在对概率论的学习也仅仅是皮毛而已。
但是，通过这半个学期的学习以及自己通过上网学习，让我了解到了许关于概率论的知识，认识到概率在我们生活中随处可见。
概率论严格意义上来说就是研究随即现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100?时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
随机现象的实现和对它的观察称为随即试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。
虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。
例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1,2。
又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。
大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。
在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。
例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动(即布朗运动)，这就是随机过程。
随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。
关于概率论的起源据说是赌博问题有关。
16世纪，意大利的学者吉罗拉莫开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。
17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家(相当于现在的赌场)赢。
数的概率与随机
数的概率与随机概率与随机是数学中重要的概念，它们可以帮助我们理解和解决现实生活中的各种问题。
概率是指某个事件发生的可能性大小，而随机则指的是在一系列事件中，每个事件发生的可能性都是相等的。
本文将探讨数的概率与随机的相关概念、应用领域以及它们在解决问题中的重要性。
一、数的概率概率是数学中的一个分支，它研究事件发生的可能性大小。
在概率论中，我们常使用概率来描述一个事件发生的可能性大小，它的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率可以用公式来计算，公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的可能性数量，n(S)表示所有可能性的数量。
数的概率广泛应用于各个领域，包括统计学、金融学、生物学等。
在统计学中，概率可以用来描述样本的特性，从而进行统计推断和预测。
在金融学中，概率可以用来分析股市的波动和风险，帮助投资者做出决策。
在生物学中，概率可以用来计算基因的遗传概率，从而帮助研究者了解生物多样性和进化规律。
二、随机数生成与应用随机数是一种在一系列事件中，每个事件发生的可能性都是相等的数值。
随机数通常是通过随机数生成器来产生的，随机数生成器可以是硬件设备，也可以是基于算法的软件。
随机数在计算机科学、密码学、模拟实验等领域中具有重要应用。
在计算机科学中，随机数常用于生成随机的测试数据、密码生成、随机排序等操作。
在密码学中，随机数被广泛应用于生成密钥和加密算法的设计中，以增加密码的安全性。
在模拟实验中，随机数可以用来模拟实际情况下的随机事件，从而进行科学研究和数据分析。
随机数的生成和应用在现代科技中扮演着重要的角色，它们不仅帮助我们解决问题，还为我们提供了更多的可能性。
三、概率与随机在问题解决中的重要性概率与随机在问题解决中起到了重要的作用。
对于很多现实生活中的问题，我们往往需要根据已有的信息和条件来评估不确定性事件的可能性。
“随机事件的概率”教学设计与感悟
“随机事件的概率”教学设计与感悟作者：江冰来源：《中学生数理化·教与学》2017年第01期新课程中三维目标的实现就是要设计出良好的课堂教学过程，而且在教学中做到以学生为主体，教师为主导，促使人与知识完美结合.下面对“随机事件的概率”的教学设计谈点看法.一、结合实际，激发兴趣“兴趣是最好的老师”.在教学引入设计上，我坚持快乐学习的原则，通过生活实例让学生发现问题.学生可以举出许多类似的实例.比如，（1）“地球不停地转动”;（2）“木柴燃烧，产生能量”;（3）“在常温下，石头风化”;（4）“某人射击一次，中靶”;（5）“掷一枚硬币，出现正面”;等等.设计意图：通过创设来源于生活的教学情境，激起学生对学习的兴趣，从而调动学生学习数学的积极性和主动性，让学生有强烈的求知欲望.二、实践操作，体会现实数学的学习，要通过大量的探索和思考，在大量的数据面前发现问题本质，解决问题.为了让学生直观感受，回归生活，激发学生的求知欲望，我设计了如下动手实验.实验1：第一步，请班级同学拿出事先准备好的硬币（统一用一元的硬币），每人做10次掷硬币的实验，并记录实验结果，填入表1.提出问题1：请同学们讨论实验结果.你们的实验结果一致吗？是什么原因导致了这样的结果？姓名实验次数正面朝上的次数正面朝上的比例第二步，对每组的实验结果进行整理统计，并填入表2.提出问题2：与其他各组的实验结果比较，各组的结果怎么样？为什么？组次实验次数正面朝上的次数正面朝上的比例教师总结：通过以上实验，我们把正面朝上的次数叫作频数，事件A出现的次数nA与总实验次数n的比例nAn叫作频率.第三步，进行电脑模拟实验，每组派一位同学上讲台（共4人），其中一个同学来动手实验，另一个同学来记录实验结果，进行两组实验，以作对比.将结果填入表3.实验次数（n）正面朝上的次数（频数m）正面朝上的频率（m/n）教师总结：通过同学们的动手实验可以看到，经过大量实验后，出现正面的频率值在0.5附近摆动，我们就可以用这个常数0.5来估计正面朝上的概率.即P（正面朝上）=0.5.实验2：我们投掷一个骰子，进行多次实验，观测实验结果，并记下结果出现的频数，最后计算各频率.发现每个点数出现的可能性都在16附近摆动.提问：什么是随机事件概率？注意点又是什么？设计意图：通过以上两个实验，充分体现学生的主体性，学生的自主性得到尊重，个性得到张扬，培养了学生“做”数学的精神.三、基础训练，注重过程在讲“随机事件的概率”后，我提出如下习题.1.以下事件：①在标准大气压下，水加热到70℃时会沸腾;②掷一枚硬币，出现正面;③实数的绝对值不小于零.其中是不可能事件的有（）.A.②B.①C.①②D.③2.以下事件：①连续投掷一枚硬币，两次结果都出现正面朝上;②异性电荷，相互吸引;③标准大气压下，水在1℃结冰.其中是随机事件的有（）.A.②B.③C.①D.②③3.判断下列说法是否正确.（1）随机事件的频率具有偶然性，其概率则是客观存在的一个常数. （）（2）如果不进行大量重复实验，随机事件的概率就不存在. （）（3）当实验次数增大到一定的时候，随机事件的频率就等于概率. （）4.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次不中.试计算此人中靶的频率.假设此人射击1次，试问中靶的概率约多大？设计意图：通过这些练习，巩固概念，促使学生深入理解随机事件概率.总之，教师应该让数学文化润泽数学课堂，让学生从传承学习到创新学习，从而提高教学效果.。
概率论论文10篇完美版
《概率论论文》概率论论文（一）：《概率论与数理统计》论文摘要概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。
纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。
正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。
本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。
概率论的发展与起源1.1概率论的定义概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。
每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。
事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。
虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。
例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。
大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。
在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。
例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。
随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。
在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。
随机数的产生 概率论论文
概率论课程设计随机数的产生摘要：随机数是概率论与数理统计中一个重要的概念。
本文研究了随机数的产生，先给出了均匀分布的随机数的产生算法，再通过均匀分布的随机数变换得到其他连续型随机数的产生算法.利用编程给出了产生均匀分布随机数的算法，探讨了同余法的理论原理.通过均匀随机数产生其他分布的随机数，我们列举了几种通用算法，并讨论各个算法的优缺点，最后以正态分布为例验证高效舍选法的优势.关键词：随机数；概率论；均匀分布；算法；目录：一 随机数与伪随机数二 均匀分布随机数的产生三 非均匀分布随机数的产生正文一、 随机数与伪随机数随机变量η的抽样序列12,,n ηηηL ，…称为随机数列．如果随机变量η是均匀分布的，则η的抽样序列12,,n ηηηL ，…称为均匀随机数列；如果随机变量η是正态分布的随机变量则称其抽样序列为正态随机数列．比如在掷一枚骰子的随机试验中出现的点数x 是一个随机变量，该随机变量就服从离散型均匀分布，x 取值为1，2，3，4，5，6，取每个数的概率相等均为1／6．如何得到x 的随机数?通过重复进行掷骰子的试验得到的一组观测结果12,,,n x x x L L 就是x 的随机数．要产生取值为0，1，2，…，9的离散型均匀分布的随机数，通常的操作方法是把10个完全相同的乒乓球分别标上0，1，2，…，9，然后放在一个不透明的袋中，搅拦均匀后从中摸出一球记号码1x 后放回袋中，接着仍将袋中的球搅拌均匀后从袋中再摸出一球记下号码2x 后再放回袋中，依次下去，就得到随机序列12,,,n x x x L L ．通常称类似这种摸球的方法产生的随机数为真正的随机数．但是，当我们需要大量的随机数时，这种实际操作方法需要花费大量的时间，通常不能满足模拟试验的需要，比如教师不可能在课堂上做10000次掷硬币的试验，来观察出现正面的频率．计算机可以帮助人们在很短时间产生大量的随机数以满足模拟的需要，那么计算机产生的随机数是用类似摸球方法产生的吗?不是．计算机是用某种数学方法产生的随机数，实际上是按照一定的计算方法得到的一串数，它们具有类似随机数的性质，但是它们是依照确定算法产生的，便不可能是真正的随机数，所以称计算机产生的随机数为伪随机数．在模拟计算中通常使用伪随机数．对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性等，就可以作为真正的随机数来使用，我们将称这样产生的伪随机数为随机数．在计算机上用数学方法产生随机数的一般要求如下：1)产生的随机数列要有均匀性、抽样的随机性、试验的独立性和前后的一致性．2)产生的随机数列要有足够长的周期，以满足模拟实际问题的要求．3)产生随机数的速度要快，占用的内存少．计算机产生随机数的方法内容是丰富的，在这里我们介绍几种方法，计算机通常是先产生[0，1]区间上均匀分布的随机数，然后再产生其他分布的随机数．二、均匀分布随机数的产生2.1 算法1在vc的环境下，为我们提供了库函数rand()来产生一个随机的整数.该随机数是平均在0~RAND_MAX之间平均分布的，RAND_MAX是一个常量，在VC6.0环境下是这样定义的：#define RAND_MAX 0x7fff它是一个short 型数据的最大值，如果要产生一个浮点型的随机数，可以将rand()/1000.0这样就得到一个0~32.767之间平均分布的随机浮点数.如果要使得范围大一点，那么可以通过产生几个随机数的线性组合来实现任意范围内的平均分布的随机数.例如要产生-1000~1000之间的精度为四位小数的平均分布的随机数可以这样来实现.先产生一个0到10000之间的随机整数.方法如下：int a = rand()%10000;然后保留四位小数产生0~1之间的随机小数：double b = (double)a/10000.0;然后通过线性组合就可以实现任意范围内的随机数的产生，要实现-1000~1000内的平均分布的随机数可以这样做：double dValue =(rand()%10000)/10000.0*1000-(rand()%10000)/10000.0*1000;则dValue就是所要的值.但是，上面的式子化简后就变为：double dValue = (rand()%10000)/10.0-(rand()%10000)/10.0;这样一来，产生的随机数范围是正确的，但是精度不正确了，变成了只有一位正确的小数的随机数了，后面三位的小数都是零，显然不是我们要求的，什么原因呢，又怎么办呢.先找原因，rand()产生的随机数分辨率为32767，两个就是65534，而经过求余后分辨度还要减小为10000，两个就是20000而要求的分辨率为1000*10000*2=20000000，显然远远不够.下面提供的方法可以实现正确的结果：double a = (rand()%10000) * (rand()%1000)/10000.0;double b = (rand()%10000) * (rand()%1000)/10000.0;double dValue = a-b;则dValue就是所要求的结果.在下面的函数中可以实现产生一个在一个区间之内的平均分布的随机数，精度是4位小数.double AverageRandom(double min,double max){int minInteger = (int)(min*10000);int maxInteger = (int)(max*10000);int randInteger = rand()*rand();int diffInteger = maxInteger - minInteger;int resultInteger = randInteger % diffInteger + minInteger;return resultInteger/10000.0;}但是有一个值得注意的问题，随机数的产生需要有一个随机的种子，因为用计算机产生的随机数是通过递推的方法得来的，必须有一个初始值，也就是通常所说的随机种子，如果不对随机种子进行初始化，那么计算机有一个缺省的随机种子，这样每次递推的结果就完全相同了，因此需要在每次程序运行时对随机种子进行初始化，在vc 中的方法是调用srand （int ）这个函数，其参数就是随机种子，但是如果给一个常量，则得到的随机序列就完全相同了，因此可以使用系统的时间来作为随机种子，因为系统时间可以保证它的随机性.2.2 算法2：用同余法产生随机数同余法简称为LCG(Linear Congruence Gener-ator)，它是Lehmer 于1951年提出来的．同余法利用数论中的同余运算原理产生随机数．同余法是目前发展迅速且使用普遍的方法之一．同余法(LCG)递推公式为1()(mod )n n x ax c m -=+ （n=1，2，…)， (1) 其中n x ，a ，c 均为正整数．只需给定初值x.，就可以由式(1)得到整数序列{n x }，对每一n x ，作变换n u =n x ／m ，则{n u }(n=1，2，…)就是[0，1)上的一个序列．如果{n u }通过了统计检验，那么就可以将n u 作为[0，1)上的均匀分布随机数．在式(1)中，若c=0，则称相应的算法为乘同余法，并称口为乘子；若c ≠0，则称相应的算法为混合同余法．同余法也称为同余发生器，其中0x 称为种子．由式(1)可以看出，对于十进制数，当取模m=10k(k 为正整数)时，求其同余式运算较简便．例如36=31236(mod102)，只要对21236从右截取k=2位数，即得余数36．同理，对于二进制数，取模m=2k 时，求其同余式运算更简便了．电子计算机通常是以二进制形式表示数的．在整数尾部字长为L 位的二进制计算机上，按式(1)求以m 为模的同余式时，可以利用计算机具有的整数溢出功能．设L 为计算机的整数尾部字长，取模m=2L ，若按式(1)求同余式时，显然有 11111;[()/].n n n n n n n ax c m x ax c ax c m x ax c m ax c m -----+<=++≥=+-+当时，则当时，则这里[x]是取x 的整数部分．在电子计算机上由1n x -求n x 时，可利用整数溢出原理．不进行上面的除法运算．实际上，由于计算机的整数尾部字长为L ，机器中可存放的最大整数为2L -1，而此时a 1n x -+c ≥m ≥2L -1，因此a 1n x -+c 在机器里存放时占的位数多于L 位，于是发生溢出，只能存放n x 的右后L 位．这个数值恰是模m=2L 的剩余，即n x ．这就减少了除法运算，而实现了求同余式．经常取模m=2L (L 为计算机尾部字长)，正是利用了溢出原理来减少除法运算.由式(1)产生的n x (n=1,2,……)，到一定长度后，会出现周而复始的周期现象，即{n x }可以由其某一子列的重复出现而构成，这种重复出现的子列的最短长度称为序列n x 的周期．由式(1)不难看出，{n x }中两个重复数之间的最短距离长度就是它的周期，用T 代表周期．周期性表示一种规律性，它与随机性是矛盾的．因此，通常只能取{n x }的一个周期作为可用的随机序列．这样一来，为了产生足够多的随机数，就必须{n x }的周期尽可能地大．由前所述，一般取m=2L，这就是说模m 已取到计算机能表示的数的最大数值，意即使产生的随机数列{n x }的周期达到可能的最大数值，如适当地选取参数0x ，a ，c 等，还可能使随机数列{n x }达到满周期. 三、非均匀分布随机数的产生3.1 一般通用方法3.1.1组合法组合法的基本思想是把预定概率密度函数f ( x ) 表为其它一些概率密度的线性组合.而这些概率密度的随机抽样容易产生.通过这种避难就易的手段我们也许可以达到较高的输出速度和较好的性能.若分布密度函数f ( x ) 能表为如下式(2)所示的函数项级数的和，1()()i i i f x p f x ∞==∑ (2)其 中1ii p ∞=∑，诸f( x )皆为概率密度函数.则依如下步骤可产生分布为f ( x )一次抽样. ( 1 ) 产生一个随机自然数I ， 使I 服从如下分布律:P ( I = i ) = p i i = 1 , 2 , 3……( 2 ) 产生服从f I ( x )的随机数0X证明利用全概率公式，有:11()()()()()i i i i P x X x dx P I i P x X x dx I i p f x dxf x dx∞=∞=<≤+==<≤+|===∑∑故X 服从f ( x ) 分布.我们以产生双指数(或拉普拉斯)分布的随机数为例来简单说明这种方法.双指数分布具有 概率密度函数f ( x ) = 0 . 5x e- f ( x ) 可表为:()0.5()0.5()l r f x f x f x =+ (3)其中()r f x 是指数分布，()l f x 是指数分布的对称分布.故产生双指数分布的抽样可按如下方法: 产生U 1 , U 2~U ( 0 , 1 ) ;若U 1 > 0 . 5 ， 则令X = I n U 2，否则X = - I n U 2. 在式(2) 中， 若i →∞， 有p i → 0 ，则可用函数列{()}i i p f x 的前有限项和逼近f ( x ).这是一种近似的方法，与通常的函数逼近原理相同.只要近似的精度 ( 在某种“精度”的意义之下) 达到要求，我们就可以采用近似的方法 .使用组合法时，各f i ( x ) 的抽样应该容易产生，故选用合适的概率密度函数族{ f i ( x )}把任意连续分布表为式(2) ，乃是使用组合法的关键.3.3.2 概率密度变换法这是一种比较新的通用随机数产生方法.其主要的目的是对一般的f(x)找出较好的覆盖函数以达到较高的效率.我们知道，对某一特定的概率密度f(x)，我们可以使用最优化技术找到好的覆盖函数.但对于一般情况，我们只能期望产生效率尚可的覆盖函数. H O R M A N N用概率密度变换的方法生成一曲边梯形作为覆盖函数.其原理如下:使用一个变换函数T (x)把预定密度函数f ( x ) 变换为h ( x ) = T ( f ( x ) ) ，用一个分段线性函数l ( x )覆盖h ( x )，如图2 - 4 左图; h ( x ) 若是上凸的，则T1 ( l ( x ) )将是f ( x ) 的一个较好的覆盖函数这个方法在选择合适的T ( x ) ( l o g ( x ) 或1 / x a等) 后，能产生随机数包括了较多的分布类型.这个方法有较短的预处理时间，但需要较多的函数计算，不太适合硬件实现.此外，A h r e n s l用每段为常数的分段函数作为覆盖函数.L e y d o l d基于r a t i o - o f - u n i f o r m s 的方法也是一个通用算法.还有一种近似的方法，其产生的随机数与指定分布的随机数具有相同的前四阶矩，但概率分布不一定相同.这里就不详细介绍了.3.2 我们的方法当前的通用算法的问题是效率不能任意提高，不够灵活. 通常产生每个所需随机数X需以较大的概率计算f ( x )等函数.我们认为在速度要求非常高的场合，计算f ( x )是不利的，尤其以硬件进行函数计算是十分不利的.针对己有通用算法的不足，我们提出了基于组合法的通用算法.主要目的是尽可能地减少三角、指数、对数等超越函数的计算，以便硬件实现.产生任意连续分布随机数的高效舍选算法本文提出一种通用算法，可视需要使效率接近1 , 而且f ( x ) 的计算概率可任意小. 这些优点的取得是以长的预处理时间为代价的.在需要产生大量随机样本的场合( 例如通信系统的误码率测试，可能需要数小时乃至数天的仿真时间) ，本算法将有很大的优势，尽管有看法认为只有能用简单代码实现的算法才会被经常使用.3.2.1 算法原理假定预定的连续概率密度函数f ( x ) 为单峰的( 这是实际的大多数情况) ，已知其峰值点为m .一般f ( x ) 不关于x =m 对称，如图2 -5 .我们假定f ( x ) 定义在有界的区间[ a , b ] 上( 上文说过，对正态分布这类定义区间无限的情况，我们把这个区间取得足够大就可以了) . 直线X=m把f ( x ) 曲线与X轴所围面积分为左右两部分，我们把左右两部分各等分为K份，一共得到2 K个曲边梯形.并用2 K个矩形各自覆盖相应的曲边梯形.我们的想法是利用舍选法的几何意义，分别在上述2 K个曲边梯形内均匀投点，从而使随机点在f ( x ) 曲线与x 轴所围的整个区域中均匀分布，这样即可产生f ( x ) 的抽样X . 而在曲边梯形内均匀投点可使用简单舍选法:先在各个矩形内均匀投点，再选出落于相应曲边梯形内的点. 这种投点法浪费的点只位于各个矩形的一角，显然效率大大高于简单舍选法.最为重要的是:随着K的增大，效率会不断提高.另外，只有当投点位于曲边梯形的曲边之下时，才需计算f ( x ) ，而且计算f ( x ) 概率是随着K的增加而减小的.我们每次“按概率”随机选中一个曲边梯形进行投点. 这需要两步完成:先选择左边还是右边，再于此边的K个曲边梯形中选择一个.这里的概率显然就是面积，这可以从以下的推导中看出来.为清晰起见，我们先阐述随机数的产生法，而把面积的均分这个预处理过程置于随后.3.2.2 算法推导令()mP f x dx -∞=⎰为左边面积.则左边各曲边梯形面积皆为 P / K ，右边各曲边梯形面积皆为( ( I -P ) / K . f ( x ) 可表为: 12111()()()K Ki i i i P P f x f x f x K K ==-=+∑∑ (4) 诸ji f ( x ) ( j = 1 , 2 ; i = 1 , 2 . . . k ) 皆为一腰为曲边的梯形形状的概率密度函数.依如下步骤可产生分布为f ( x ) 的一次抽样:S t e p l :产生一个随机自然数J ，使J 服从如下两点分布: P ( J = 1 ) = P , P ( J = 2 ) = 1 - P : S t e p 2 :产生一个随机自然数I ， 使I 服从如下均匀分布律:P ( I = i ) = 1 / K , i = 1 , 2 . . . . K ;S t e p 3 : 用基本舍选法产生概率密度为f ( x ) 的随机数X .证明利用全概率公式，有: 2111211()()()(,)1(()())()Kj i K Ki i i i P x X x dx P J j P I i P x X x dx J j I i P P f x f x dx K K f x dx ====<≤+===<≤+∣==-=+=∑∑∑∑故x 服从 f ( x ) 分布.下面完整地描述这个方法:S t e p l( 产生J ) :S t e p l . l 产生[ 0 , 1 ] 上的均匀随机数U 1 ;S t e p 1 . 2若U 1 < P ，则返回J = 1 ， 否则返回J = 2 ;S t e p 2( 产生I ) :S t e p 2 . l 产生 [ 0 , I ] 上的均匀随机数U 2 ;S t e p 2 . 2 21;I kU x =+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦表示不大于x 的最大整数.产生 ji f ( x ) 的样本需区别j = 1 与j = 2 两种情况. 图2 - 6 示出j = 2 时一 典型的ji f ( x ) ， 用简单舍选法产生其抽样，覆盖函数为矩形. 首先产生一个[ 0 , R i ] 的均匀数， 如它属于[ 0 , R 1i -] 小无需再产生y 轴方向的均匀随机数，接受此均匀数即可;否则还需产生一个Y 轴方向的均匀随机数进行投点，那些落在曲边下方的点被接受，投在矩形右上角的点被舍弃.同理易得j = 1 时的产生法.整个S t e p 3 如下:S t e p 3( 产生X ) :i f J = =1{ l o o p :产生[ 0 , 1 ] 上的均匀随机数U 3 , W = ( L 0 - L 1 ) U 3 + L 1 : i f W> L 1i -，返回 X = W;e l s e { 产生[ O ， l ] 上的均匀随机数V ;i f f ( W) - f ( L 1) < ( f ( L 1j - ) - f ( L 1 ) ) V 返回X = W; e l s e 舍弃W ，重复l o o p ;} }e l s e{ l o o p : 产生[ 0 , 1 ] 上的 均匀随机数U 3 , W = ( R 1 - R o ) U 3 + R o ; i f W< R 1i -，返回 X = W;e l s e {产生[ 0 , 1 ] 上的均匀随机数V ;i f f ( W) - f ( R 1) C ( f ( R 1I - ) - f ( R 1) ) V , 返回X = W; e l s e 舍弃W ，重复l o o p ;} }均匀随机数U 2 实际上可由U 1 变换得到， U 3 可由均匀数U2变换得到. 例如从U1 产生U 2 的方法是:当J = l 时， U 1 在[ 0 , P ] 上均匀分布， 故可令U 2 = U l / P ;当J = 2 时， U 1在[ P , 1] 上均匀分布， 故可令U 2 = ( U 1 - P ) / ( 1 - P ) . 从U 2 产生U 3 的方法是:当I = i 时， U 2 在 [ i / K , ( i + l ) / K ]上均匀分布， 故可令U 3 = K ( U 2 - i / K ) . 这样的做法节省了均匀随机数，增加了一些乘法和除法运算.对F P G A 等并行处理的硬件来说，产生均匀随机数是便宜的，除法运算是耗费的，所以我们不提倡减少均匀数的做法. 而对有C P U 的硬件来说， 减少均匀随机数意味着减少了过程调用，也许是值得的. 再介绍预处理过程.各分点需解下列递推方程求得:从i=1开始求解，直至i = K - 1 .这些方程可事先利用软件求解.3.2.3 算法性能分析影响随机数产生速度的主要因素之一是f ( x ) 的计算，故把产生每个抽样平均计算f ( x )的次数 ( 计算概率)做为一个性能指标.另外舍选法的平均效率也作为一个性能指标，这个指标反映了每产生一个随机数所需的均匀数个数.产生每个样点X 需计算f ( x ) 的平均概率P f 可利用全概率公式计算:其中10i i iL L L L ---的分母是左边第i 个曲边梯形的下底长，分子是下底与上底的差，这个比值就是在此曲边梯形内投点时计算f ( x ) 的概率.10i i i R R R R ---的意义相仿. 舍选法的平均效率” 可利用全概率公式计算:11()()11(1)()()L R KK i i L R A i A i P P K B i K B i η===+-∑∑ 诸(),(),(),()L L R R A i B i A i B i 分别表示左边各曲边梯形面积、左边各矩形面积、右边各曲边梯形面积和右边各矩形面积.在不同的K 值下，计算了算法用于产生正态分布、 指数分布、 瑞利分布三种标准分布时的上述两个性能参数.各个概率密度函数如下:正态分布:2())2x f x =- 指数分布：()x f x e -= 瑞利分布: 2()exp()48x x f x =- 结果如下图6 :左图反映出概率密度函 数的计算概率P f 随K 的增大而减小， 最终趋于零，例如当K = 1 0 2 4 时， P f 已 非常小;右图反映出 舍选法的平均效率随K 的 增加而提高， 最终趋于 1 ， 也就是三个均匀随机数产生一个预期的随机数.我们可根据实际情况选择合适的K 值.3.3 正态分布的随机数的产生下面提出了一种已知概率密度函数的分布的随机数的产生方法，以典型的正态分布为例来说名任意分布的随机数的产生方法.如果一个随机数序列服从一维正态分布，那么它有有如下的概率密度函数：22()2()x f x μσ--=参考文献：[1] 肖云茹．概率统计计算方法[M]．天津：南开大学出版社，1994．[2]程兴新.曹敏．统计计算方法EM3．北京：北京大学出版社，1989．[3]王永德等.随机信号分析基础.北京:电子工业出版社，2 0 0 3.[4]皇甫堪等. 现代数字信号处理. 国防科技大学电子科学与工程学院内部印刷，2 0 0 2.。
数学教学论文：均匀随机数产生的若干办法及其应用
均匀随机数产生的若干办法及其应用A版数学3给出了传统教材没有的全新内容──算法和概率统计。
其中，在概率这一章引进了几何概型、均匀随机数的产生等具有实际意义而又颇为抽象的内容教授这些内容对教师和学生来说都是全新的。
如何在课堂教学中加以把握是有待研究的。
下面是我们在讲授均匀随机数的产生的一些具体做法，不妥之处还请大家指正。
均匀随机数在现实生活的作用越来越大，比如在网站上输入的验证码，彩票中奖号码的产生等等都是用产生均匀随机数来实现的。
然而随机试验花费大量的人力、物力，需要一种新的便捷方法，这样就产生了用计算器产生指定两个数之间的均匀随机数的问题。
一、用TI图形计算器直接产生的均匀随机数1.产生随机小数（1）产生（0，1）之间的均匀随机数：输入格式为：rand （），然后按Enter得到图1：图1（2）产生（a，b）之间的均匀随机数：如果试验的结果是区间（a，b）上的任何一点，而且是等可能的，如何产生（a，b）之间的均匀随机数呢？图2（3）产生（0，n）之间的均匀随机数：输入格式：n*rand （）；2.产生随机整数产生［1，n］（n＞0）之间的随机整数：输入格式：rand （n）；产生［n，-1］（n＜0）之间的随机整数：输入格式：rand （n）；3.产生［a，b］之间的随机整数：输入格式：rand（b-a+1）+a-1；二、用TI图形计算器，利用编程产生随机数利用编程产生随机数的方法很多，比如：平方取中法、乘积取中法、位移法、线性同余法、组合同余法、反馈唯一寄存器法等等。
这里我们主要介绍线性同余法。
线性同余法：一般递推公式为：c为增量（加数），且M，a，c，x0均为非负整数。
给定一组参数M，a，c，x0，就可以得到一列数r1，r2，…，它是否具有类似于均匀随机变量的独立抽样序列的性质，与这些参数的选择有关。
例如，用下面的递推公式产生的随机数就是比较好的随机数：利用TI图形计算器进行编程设计，算法程序语句如图3：图3运行程序：输入：n=3，输出结果：如图4：图4我们称用计算机或者计算器模拟试验的方法为“随机模拟方法”或者“蒙特卡罗（MonteCarlo）方法”。
随机数在随机事件与概率教学中的应用探索
类似的方法可以用于更多的古典概型问题的说明和
明，具体算法思路如下：生成一个随机数，四舍五入后可能 计算中，在此不再详述。
取得的所有值为 0，1，将 0 设为硬币的反面，1 设为硬币的
2 几何概型
正面，做实验若干次，相当于重复了若干次这个程序，程序
以下面问题为例：
如下：
罗密欧和朱丽叶约定在某时刻见面，每个人到达约会
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随机数在随机事件与概率教学中的应用探索
Exploration on the Application of Random Number in the Teaching of Random Event and Probability
窦晓峰 DOU Xiao-feng
（陕西教育学院数学系，西安 710069） （Department of Mathematics，Shaanxi Xueqian Normal University，Xi'an 710069，China）
这节不同内容中的应用方法：
推，……，在 5/6 和 1 之间，相当于出现了 6 点，运行该程
1 古典概型
序后从结果可以看到，出现每个点的比例是近似相等的。
抛硬币是古典概型中经常说明的一个典型问题，为了 这个例子同样说明 6 个点出现的可能性是相等的。
说明等概率的情况，我们可以用数学软件 MatLab 编程说
n=1000;%n 为试验次数
地点的时间都会延迟，延迟时间在 0~1 小时。第一个到达
o=0;%m 为出现反面次数
约会地点的人会在那儿等待 15 分钟，之后若对方还没有
l=0; %l 为出现正面次数
到达，先到者会离开。问他们能够相会的概率有多大？
《随机事件的概率(1)》教学设计与反思doc高中数学
《随机事件的概率（1）》教学设计与反思doc高中数学«随机事件的概率〔1〕»教学设计与反思商丘市回民中学韩志勇2018年9月«随机事件的概率〔1〕»教学设计与反思本节课是人教版全日制一般高级中学〔必修〕数学第二册〔下B〕，第十一章第一节«随机事件的概率»第一课时，它包含两部分内容：事件的分类和随机事件的概率。
在讲事件分类时，通过课本实例，结合生活实际，以便让学生较容易的得出三类事件的概念，然后通过课本例题和习题进行巩固。
三类事件的概念中，重点是让学生了解随机事件。
在教学过程中要紧通过学生自已所举的例子，来加深对三类事件概念的正确明白得。
渗透数学源于生活、寓于生活、用于生活的意识，激发学生的好奇心；由课堂上学生的反应，能够明白，学生对三类事件的概念专门容易把握，学生回答也比较积极。
本节课重点是通过学生试验和课本实例的结果，使学生从数值关系中发觉规律，总结得出结论，明确是在相同条件下，通过大量重复试验或观看得出的结果，进而获得概率的定义；在定义的明白得中，让学生清晰概率与频率的区不和联系,这是本节课的难点。
在教材的处理上，课本上没有安排学生试验，而是直截了当给出前人的一些试验结果，进行分析。
而概率是一门研究现实世界广泛存在的随机现象的规律的科学，因此，应充分发挥学生的主动性，让学生亲自试验，亲自感受规律的发觉过程，激发学生学习爱好，培养学生的动手、动脑能力。
依照学生的年龄特点和认知水平，本节课就从学生熟悉并感爱好的抛掷硬币入手，让学生亲自动手操作，在相同条件下重复进行试验. 在实践过程中形成对随机事件发生的随机性以及随机性中表现出的规律性的直截了当感知，从而形成对概念的正确明白得。
在课堂上学生们做试验十分积极，差不多上完成了我的预先设想。
在做试验中，有条不紊，喧闹而不纷乱；学生回答试验结果时，大胆认真，数据到位；在总结规律时，也能积极发言，各抒己见，思维专门灵敏，讲明学生确实在认真摸索咨询题。
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随机数在随机事件与概率教学中的应用探索摘要：本文对在随机事件与概率中的常见问题提出了一种新的借助于计算机实现的解决思路，即通过机器自动产生随机数后构建相应的数学模型，再通过编程计算得到最后结果。
该方法既为概率论的教学带来了创新性思维，也为当前的教师提出了新的挑战。
abstract： in this paper， a new solutions with the aid of computer was proposed， aiming at the common problems in random event and probability， which is to construct corresponding mathematical model after generating random numbers through the machine automatically， and get the final result via programming computing. this method not only brings innovative thinking for the teaching of the theory of probability， but also presents new challenges for current teachers.关键词：随机数；蒙特卡洛模拟；古典概型；几何概型key words： random number；monte carlo simulation；classical probability；geometric probability model 中图分类号：g642 文献标识码：a 文章编号：1006-4311（2012）32-0262-020 引言概率论是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科，既然与随机现象有关，那么借助于计算机，用计算机内自动产生的各类随机数来研究随机事件与概率不失为一种好的引入方法，并在此基础上构思更多的算法，用编写程序的手段去解决概率论中的问题，成为一种新的研究概率问题的思路；也为讲授概率论的教师提出了新的挑战。
下面分别讨论随机数在《概率论》中随机事件与概率这节不同内容中的应用方法：1 古典概型抛硬币是古典概型中经常说明的一个典型问题，为了说明等概率的情况，我们可以用数学软件matlab编程说明，具体算法思路如下：生成一个随机数，四舍五入后可能取得的所有值为0，1，将0设为硬币的反面，1设为硬币的正面，做实验若干次，相当于重复了若干次这个程序，程序如下：n=1000；%n为试验次数o=0；%m为出现反面次数l=0； %l为出现正面次数for i=1：na=rand（1）；if round（a）==0o=o+1；endendl=n-oo表1为当试验次数分别为10、100、1000、10000、100000时硬币出现正反面的比例，从表中可以看出，出现正面和反面的次数是接近的，比例近似于1：1，而且随着试验次数的增加，这个比例离1：1越近，也就是说出现正面的反面的可能性是相同的。
对于掷骰子问题，我们可以按照同样的方法来处理，重复产生（0，1）内的随机数，若该数小于1/6，则相当于出现一点，大于1/6而小于1/3，则相当于出现两点，以此类推，……，在5/6和1之间，相当于出现了6点，运行该程序后从结果可以看到，出现每个点的比例是近似相等的。
这个例子同样说明6个点出现的可能性是相等的。
类似的方法可以用于更多的古典概型问题的说明和计算中，在此不再详述。
2 几何概型以下面问题为例：罗密欧和朱丽叶约定在某时刻见面，每个人到达约会地点的时间都会延迟，延迟时间在0～1小时。
第一个到达约会地点的人会在那儿等待15分钟，之后若对方还没有到达，先到者会离开。
问他们能够相会的概率有多大？这个问题是个典型的几何概型问题，因而可以考虑用直角坐标系的单位正方形表示样本空间，即？赘=[0，1]×[0，1]。
正方形内每个点的两个坐标恰好可以分别表示两个人到达时可能的延迟时间，并且显然每个点都是等可能的。
这样，罗密欧与朱丽叶两人可能相会的事件可用图1中阴影部分表示，知道了阴影部分的面积，就知道了两人相会的概率有多大了。
另外，还可以使用蒙特卡洛模拟法来解决这个问题，算法思路如下：先设置一个预先确定的随机点总数，用来表示正方形的面积；再用随机数的方法产生随机点，最后计算落在阴影内的随机点个数，这些阴影内随机点个数与总个数的比值就是两人相会的概率。
算法如下：①设置产生随机点的总数n；②初始化：m=0，p=0（m为阴影内的随机点个数的累计值，p为相会的概率）；③对i=1，2，…，n，进行第4～6步；④产生随机坐标xi和yi，满足0？燮xi？燮1，0？燮yi？燮1；⑤若-0.25？燮yi-xi？燮0.25，m=m+1，否则进行第6步；⑥若i=n，p=m/n，停止；否则，转第4步。
实际相会的概率答案应该是0.4375，表2列出了将随机点数的总数定为10、100、1000、10000时，利用上述算法编制的程序得到的相会概率，由于篇幅有限，本文只列出每种情况下求得的四个概率值（以下各表同）。
从表1中可以看出，当随机点的总数取的越大时，计算结果与实际理论值的误差呈现越来越小的趋势。
另外，这个问题还可以演变为更复杂的形式，比如每个人等待时间也是在0～15分钟随机变化的，或者一个人在0～15分钟变化，而另一个人在0～10分钟变化，这样，程序上只不过增加了一两个随机数，但能解决的问题的范围则大大扩展了，使得解决问题的灵活性显著提高，这点笔者认为正是使用随机数法的积极作用表现。
3 条件概率问题：如前所述，在抛掷骰子的试验中一共有6种等概率的试验结果，现已知试验的结果是偶数，即2，4，6这三种情况必有一种发生，在此情况下，求出现点数为6的概率。
算法简述如下：①设置产生随机点数的次数m；②初始化：n1=0，n2=0，p=0（n1为出现6点的累积次数，n2为出现偶数点的累积次数，p为条件概率）；③对i=1，2，…，m，进行第4～7步；④产生一个随机数（随机数对应随机出现的骰子的点数）；⑤若对应的点数为偶数，n2=n2+1；⑥若对应的点数为6，n1=n1+1；⑦若i=m，则p=n1/n2，停止；否则转第4步；在这部分内容中，对于要应用到乘法定理的内容或问题，有了随机数法，我们完全可以撇开乘法定理，直接编程计算。
表3给出当抛掷骰子数分别为10、100、1000、10000、100000时，得到的点数为6的条件概率，很明显，随着试验次数m的增加，概率p越来越稳定在1/3附近。
4 全概率公式问题：张三参加一个棋类比赛，赛手中50%是一类棋手，对这些棋手取胜的概率为0.3；25%是二类棋手，赢的概率为0.4；剩下的为三类棋手，赢得比赛的概率为0.5。
从这些棋手中任选一位，求张三取胜的概率。
假设张三比赛了很多次，用其中赢的次数除以比赛的次数就是，赢得比赛的频率概率。
算法设计的思路重点在于我们只要设一个一行二列的随机数组，其中第一个数表示张三遇到的对手情况，第二个数表示他取胜的可能性范围即可。
具体算法如下：①设置产生随机数组的次数m；②初始化：n=0，p=0（n为赢得比赛的累积次数，p为最终取胜的概率）；③对i=1，2，…，m，进行第4～8步；④产生一个随机数组；⑤若数组的第一个数在0～0.5之间，第二个数在0～0.3之间，则n=n+1；⑥若数组的第一个数在0.5～0.75之间，第二个数在0～0.4之间，则n=n+1；⑦若数组的第一个数在0.75～1之间，第二个数在0～0.5之间，则n=n+1；⑧若i=m，则p=n/m，停止；否则转第4步；表4给出当比赛次数分别为10、100、1000、10000、100000时，棋手赢得比赛的概率，从表中可以看出，随着次数m的增加，概率p越来越稳定在准确值3/8附近。
对于涉及到贝叶斯公式的问题，我们可以采取近似的方法，在此不再详述。
5 事件的独立性问题：一产品的生产分4道工序完成，第一、二、三、四道工序生产的次品率为别为2%，3%，5%，4%，各道工序独立完成，求该产品的次品率。
思路：产生一个一行4列随机数组，每个数表示一道工序中产品所在范围，观察该范围是否在合格范围内。
算法：①设置产生随机数组的个数m（表示生产的零件件数）；②初始化：n=0，p=0（n为出现次品个数，p为最终出现次品的概率）；③对i=1，2，…，m，进行第4～7步；④产生一个一行四列随机数组；⑤若数组的第一个数在0～0.02之间，或第二个数在0～0.03之间，或数组的第三个数在0～0.05之间，或第四个数在0～0.04之间，则n=n+1；⑥若i=m，则p=n/m，停止；否则转第4步。
表5给出当随机数组中次数分别为10、100、1000、10000、100000时，产品为次品的概率，从表中可以看出，随着试验次数m的增加，概率p越来越稳定在准确值0.1331附近。
通过浦丰问题，我们得知可以用概率方法求圆周率。
类似地，通过以上这些粗浅的思考，我们可以发现对于有些复杂的、难以用常规方法求解的概率问题，我们完全可以撇开传统的思路，用随机数法来构造问题模型，直接获取概率问题的答案，这对于我们解决问题无疑带来一种新的思路；而在传统的板书授课的基础上，使用计算机编程即多媒体技术结合具体内容进行讲授，也为教师带来了一种新的授课方式。
参考文献：[1]《概率导论》dimitri p.bertsekas，john n.tsitsiklis人民邮电出版社2009.12.[2]丁正生.概率论与数理统计简明教程.高等教育出版社，2005.6.[3]《数学建模》frank r.giordano，maurice d. weir，william p.fox机械工业出版社，2005.1.。