三角形的面积 (2)
三角形的面积公式怎么算
三角形的面积公式：S=ah/2。
公式描述：公式中a为三角形的底，h为底所对应的高。
各图形面积公式
1、长方形的周长=（长+宽）×2；C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4；C=4a
3、长方形的面积=长×宽；S=ab
4、正方形的面积=边长×边长；S=a.a=；a
5、三角形的面积=底×高÷2；S=ah÷2
6、平行四边形的面积=底×高；S=ah
7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2；s=（a＋b）h÷2
三角形四线
中线
连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线。
高
从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
角平分线
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
中位线
三角形的三边中任意两边中点的连线叫中位线。
它平行于第三边且等于第三边的一半。
1。
三角形的面积公式
三角形的面积＝底×高÷2。
公式S= a×h÷2正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a长方形的面积＝长×宽公式S= a×b平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh长方体（或正方体）体积＝底面积×高公式：V=abh正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。
公式：S=ch=πdh＝2πrh圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。
公式：V=Sh圆锥的体积＝1/3底面×积高。
公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
读懂理解会应用以下定义定理性质公式一、算术方面1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+4）×5＝2×5+4×56、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
三角形的面积公式
三角形的面積公式：△ABC 面積= 12⨯底⨯高，以底與高的長度表示面積但是當−BC 邊上的『高』不容易求出來的時候(如有障礙物)，我們可以利用三角函數邊角的關係式間接求出高，於是△ABC 的面積= 12⨯ a ⨯b × sin C事實上圖中，∠C 是銳角，當∠C是直角或是鈍角時 △ABC ，−BC 邊上的高仍然是 b ⨯sinC ∴△ABC 面積=12⨯a ⨯b sinC ，同理由對稱性得△ABC 的面積公式=12⨯a ⨯b ⨯sinC= 12⨯b ⨯c ⨯sinA= 12⨯c ⨯a ⨯sinB例子：已知正△ABC 每邊的長是a ，求其面積。
結論：△面積記憶法⇒利用三角函數定義，由△=12⨯底⨯高，導出兩邊夾角求面積，即△=12⨯a ⨯b ⨯sinC=12⨯b ⨯c ⨯sinA= 12⨯c ⨯a ⨯sinB (兩邊夾一角)國中幾何曾經學過「大邊對大角」這個性質，但這個性質只說角大則邊大，邊大則角大，這種說法似乎只是一種對於邊角關係的「定性描述」，那麼邊角之間有沒有「定量的描述」呢?我們用以下的定理來回答這個問題：正弦定理：在∆ABC 中，以a,b,c 表示∠A ，∠B ，∠C 之對邊長度，則a sinA=b sinB = csinC=2R ，其中R 為∆ABC 外接圓的半徑。
證明： 由前面三角形的面積公式：S ∆ABC =12⨯a ⨯b ⨯sinC= 12⨯b ⨯c ⨯sinA= 12⨯c ⨯a ⨯sinB＄C 琌綰à＄C 琌 à＄C 琌秝à等號兩邊同除abc，可得sinCc=sinBb=sinAa⇒asinA=bsinB=csinC。
但是asinA=bsinB=csinC=？我們由以下的證明來說明：我們將∆ABC分成直角、銳角、鈍角三種情形來討論，如下圖所示：(1)當∠A=90︒(2)當∠A<90︒(3)當∠A>90︒(1)∠A=90︒⇒asin90︒= a=−BC=外接圓直徑=2R ⇒asinA=bsinB=csinC=2R(2)∠A為銳角：過B做圓O的直徑−BD，因為∠A與∠D對同弧(⋂BC)，因此∠A=∠D。
第六单元第4课时 三角形的面积(2)(课件)五年级数学上册 最新人教版
1. 已知一个三角形的面积和底（如下图），求高。
176m²
h = S×2÷a
= 176×2÷22
22m
= 16（m）
根据S=ah÷2，可以得到h = S×2÷a。
易错点：不要忘记三角形的面积先乘2，再除以底才能求高。
教材第92页第7题
1. 已知一个三角形的面积和底（如下图），求高。
等，已知三角形的底是 16 cm，平行四边形的
底是（
）cm。
8
(4)一个三角形与一个平行四边形的底相等，面积
也相等，已知三角形的高是18cm，则平行四边
形的高是(
9
)cm。
(5)一个平行四边形的面积是15 cm2，在这个平行
四边形内画一个最大的三角形，则三角形的面
积是( 7.5 cm2)。
(6)一个三角形与一个平行四边形的等底等高，已
？
72
三角形面积与平行四边形面积的关系
4.（易错题）一个三角形和一个平行四边形的
面积相等，底也相等。已知三角形的高是12，
那么平行四边形的高是（ A ）。
A.6
B.9
C.12
D.24
三角形与平行四边形面积相等，底（高）相等，
则三角形的高（底）是平行四边形高（底）的2倍。
三角形面积与平行四边形面积的关系
知它们的面积和是30平方厘米，这个三角形是
（ 10 ）平方厘米。
(7)一个三角形与一个平行四边形的等底等高，平
行四边形面积比三角形面积多25平方厘米，这
个三角形是（ 25
）平方厘米
计算下列三角形的面积，你发现了什么？
5 cm
3 cm
5×3÷2=7.5(cm2)
第2课时 三角形的面积
第六单元多边形的面积课题第二课时三角形的面积课型新授课内容分析三角形的面积是在学习了平行四边形的面积基础上进行教学的，主要是引导学生通过平行四边形的面积计算公式的推导过程去理解和掌握三角形的面积计算公式，并能运用三角形的面积计算公式计算相关图形的面积，解决实际问题。
在教学中注重引导学生自己动手操作，在操作中发现问题、解决问题、掌握方法。
课时目标知识与能力探究并掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
过程与方法经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展空间观念和初步的推理能力。
情感态度价值观在探索活动中，获得积极的情感体验，进一步培养学习数学的兴趣。
教学重难点教学重点探究并掌握三角形的面积计算公式，能正确计算三角形的面积。
教学难点理解三角形面积计算公式的推导过程。
教学准备课件、三角形纸片、剪刀等。
教学媒体选择PPT教学活动提问，师生讨论教学过程一、创设情境，引入课题课件出示问题。
裁缝店的王阿姨接到一笔订单，东风小学需要150条红领巾。
王阿姨要买多少布料呢？师：求做一条红领巾需要多少布料，其实是求红领巾的什么？学生可能会说是求一条红领巾的面积。
师：红领巾是什么形状的？红领巾的形状是三角形。
师：怎样才能算出三角形的面积呢？这节课，我们就来共同探究三角形面积的计算方法。
（板书课题：三角形的面积）【设计意图】通过学生熟悉的情境，使学生产生解决问题的兴趣，并能积极主动地投入到探究活动中。
二、动手操作，自主推导三角形的面积计算公式1.提出问题，启发思考。
师：三角形的面积该怎么求呢？结合我们前面所学的知识，大家思考一下。
学生思考。
2.分组活动，动手操作。
师：想好了吗？（想好了）我们现在动手操作，探究三角形的面积计算公式。
探究之前先听清楚操作要求。
（课件出示操作要求）（1）前后两排4人一小组，先商讨怎么操作可以求出三角形的面积。
（2）接照商讨的方案，动手操作。
2021年中考数学九年级复习小专题专项课时练：三角形的面积(二)
2021年中考数学九年级复习小专题专项课时练：三角形的面积（二）1．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线2．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：163．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．64．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n 等于（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD 的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．36．在平面直角坐标系xOy中，若A点坐标为（﹣3，3），B点坐标为（2，0），则△ABO 的面积为（）A．15 B．7.5 C．6 D．37．如图中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC 外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△CGM、△BND的面积分别为S、S2、S3，则下列结论正确的是（）1A．S1＝S2＝S3B．S1＝S2＜S3C．S1＝S3＜S2D．S2＝S3＜S18．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△＝（）BEFA．1 B．2 C．3 D．410．能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（）A．中线B．角平分线C．高线D．边的垂直平分线11．如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（）A．只有①和②相等B．只有③和④相等C．只有①和④相等D．①和②，③和④分别相等12．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．213．如图，要判断△ABC的面积是△DBC的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是（）A．3次以上B．3次C．2次D．1次14．已知：如图△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF 交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是（）A．25 B．30 C．35 D．4015．一定能把三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的（）A．角平分线B．中线C．高线D．中位线16．如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF＝6，BF＝9，AG＝8，则△ADC的面积为何？（）A．16 B．24 C．36 D．5417．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个18．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S四边形ABCD的最小值为（）A．21 B．25 C．26 D．3619．10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、Y是小正方形的顶点，Q是边XY一点．若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则的值为（）A．B．C．D．20．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S＝24，则图中阴影部分的面积为（）△ABCA．4 B．6 C．8 D．12参考答案1．解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选：A．2．解：∵AD：DB＝CE：EB＝2：3，∴S△BDC：S△ADC＝3：2，S△BDE：S△DCE＝3：2，∴设S△BDC＝3x，则S△ADC＝2x，S△BED＝1.8x，S△DCE＝1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x＝9：10．故选：C．3．解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH 上的高为h2，则有h＝h1+h2．S＝BC•h＝16，△ABCS＝S△AGH+S△CGH＝GH•h1+GH•h2＝GH•（h1+h2）＝GH•h．阴影∵四边形BDHG是平行四边形，且BD＝BC，∴GH＝BD＝BC，∴S阴影＝×（BC•h）＝S△ABC＝4．故选：B．4．解：设空白出图形的面积为x，根据题意得：m+x＝9，n+x＝6，则m﹣n＝9﹣6＝3．故选：B．5．解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝＝4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG＝BG＝2∵S△ABC＝•AB•BC＝×2×2＝4，∴S△ADC＝2，∵＝2，∵△DEF∽△DAC，∴GH＝BG＝，∴BH＝，又∵EF＝AC＝2，∴S△BEF＝•EF•BH＝×2×＝，故选C．方法二：S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，易知S△ABE+S△BCF＝S四边形ABCD＝3，S△EDF＝，∴S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED＝6﹣3﹣＝．故选：C．6．解：如图，根据题意得，△ABO的底长OB为2，高为3，∴S△ABO＝×2×3＝3．故选：D．7．解：作ER⊥FA交FA的延长线于R，作DH⊥NB交NB的延长线于H，作NT⊥DB 交DB的延长线于T，设△ABC的三边长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE＝AB，∠ARE＝∠ACB，∠EAR＝∠CAB，∴△AER≌△ABC，∴ER＝BC＝a，FA＝b，∴S1＝ab，S＝ab，2同理可得HD＝AR＝AC，∴S1＝S2＝S3＝．故选：A．8．解：C点所有的情况如图所示：故选：C．9．解：∵S△ABC＝12，EC＝2BE，点D是AC的中点，∴S△ABE＝＝4，S＝＝6，△ABD∴S△ABD﹣S△ABE，＝S△ADF﹣S△BEF，＝6﹣4，＝2．故选：B．10．解：把三角形的面积分成相等的两部分的是三角形的中线．此时两个三角形等底同高．故选：A．11．解：小矩形的长为a，宽为b，则①中的阴影部分为两个底边长为a，高为b的三角形，∴S＝×a•b×2＝ab；②中的阴影部分为一个底边长为a，高为2b的三角形，∴S＝×a•2b＝ab；③中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，∴S＝×a•b＝ab；④中的阴影部分为一个底边长为a，高为b的三角形，∴S＝×a•b＝ab．∴①和②，③和④分别相等．故选：D．12．解：满足条件的C点有5个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A．13．解：连接AD并延长交BC于M，作DF∥BC交AP于点F．测量AM以及AD即可，由＝，即可求出△ABC的面积是△DBC的面积的几倍．所以只量2次．故选：C．14．解：三角形BDG和CDG中，BD＝2DC．根据这两个三角形在BC边上的高相等，那么S△BDG＝2S△GDC，因此S△GDC＝4，同理S△AGE＝S△GEC＝3，S△BEC＝S△BGC+S△GEC＝8+4+3＝15，∴三角形ABC的面积＝2S△BEC＝30．故选：B．15．解：三角形的中线把三角形分成两个等底等高的三角形，面积相等．故选：B．16．解：S△ADC＝S△AGC﹣S△ADG＝×AG×BC﹣×AG×BF＝×8×（6+9）﹣×8×9＝60﹣36＝24．故选：B．17．解：C点所有的情况如图所示：故选：D．18．解：设点A到边BD的距离为h．如图，任意四边形ABCD中，S△AOB＝4，S△COD＝9；∵S△AOD＝OD•h，S△AOB＝OB•h＝4，∴S△AOD＝OD•＝4×，S△BOC＝OB•＝9×；设＝x，则S△AOD＝4x，S△BOC＝；∴S 四边形ABCD＝4x++13≥2•+13＝12+13＝25；故四边形ABCD的最小面积为25．故选：B．19．解：设QY＝x，根据题意得到PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形＝×5×（1+x）+1＝5，解得x＝，∴XQ＝1﹣＝，∴＝＝，故选：B．20．解：连接DE，作AF⊥BC于F，设DE和AF相交于点I，DG和EH相交于点O，如图所示，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，AI＝FI，∴△ADE∽△ABC，AI⊥DE，∴△ADE的面积＝24×＝6，∴四边形DBCE的面积＝24﹣6＝18，∵HG＝BC，∴DE＝HG，∴△DOE的面积+△HOG的面积＝2×DE×FI＝△ADE的面积＝6，∴图中阴影部分的面积＝18﹣6＝12，故选：D．。
2022年人教版小学《三角形的面积2》精品教案(推荐)
第二课时教学内容三角形的面积的练习(二)。
(教材第93~94页)教学目标1.稳固学生对三角形面积计算公式的理解和掌握,使其熟练应用三角形面积计算公式解决问题。
2.进一步培养学生灵活应用公式解题的能力。
3.培养学生仔细观察,积极思考的学习习惯。
重点难点重点:理解和掌握三角形面积计算公式。
难点:灵活运用三角形的面积计算公式解题。
教具学具实物投影。
教学过程一复习提问:三角形的面积怎样计算三角形的面积计算公式是怎样推导出来的二教学实施1.指导学生完成教材第94页第7题。
提问:三角形的面积和高,怎样求底(学生口答方法)教师提醒学生注意,不要忘记三角形的面积要先乘2,再除以高,才能得到三角形的底。
2.指导学生完成教材第93页第4题。
(学生先独立完成,再指名板演)请学生表达解题思路:求种这片草坪需要多少钱,首先要求出这片草坪的面积,再用每平方米草坪的价格乘面积。
3.指导学生完成教材第93页第5题。
(思路与第4题相同,学生独立完成,集体订正)4.指导学生完成教材第94页第8题。
学生先讨论:在图中你能找出几个三角形哪两个三角形的面积相等为什么再根据等底等高的三角形面积相等的道理,画出其他三角形。
小结:三角形面积相等的根本条件是等底等高,应用这个知识我们可以解答这个问题。
5.指导学生完成教材第94页第9*题。
学生先独立思考,然后同桌同学互相交流思路,再解答。
请学生板演计算过程,并说出解题思路。
(三角形的面积和高,可以分别求出它们的底,也就是平行四边形的两条边长。
再根据平行四边形的对边相等,即可求出平行四边形的周长)6.指导学生完成教材第94页第10*题。
学生先独立完成,再分小组讨论后解答,汇报自己的思考过程。
(平行四边形的对角线把平行四边形分成两个相等的三角形,每个三角形的面积是平行四边形面积的一半;A点是其中一个三角形底边的中点。
根据等底等高的三角形面积相等,涂色的三角形的面积就是这个三角形面积的一半,也就是平行四边形面积的1/4)三课堂作业新设计1.填表。
《探索活动：三角形的面积(2)》教案北师大版五年级数学上册
另外，我发现学生们在解决实际问题时，对于等腰三角形和等边三角形面积的计算方法掌握得不够熟练。这可能是因为他们在之前的学习中对这部分内容掌握得不够扎实。因此，我需要在课后加强个别辅导，帮助学生巩固这方面的知识。
4.探索三角形的面积与底和高的关系；
5.通过实际操作，感受三角形面积在实际生活中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识；
2.发展学生空间观念和几何直观，提高对图形面积的理解和计算技能；
3.培养学生动手操作和合作交流的能力，激发探究精神；
4.培养学生运用三角形面积公式进行推理和论证的能力，提高逻辑思维能力；
注意：由于字数限制，此处无法达到2000字，但已尽可能详细地列举了教学难点与重点，并在举例中解释了每个细节。在实际教案撰写中，可以根据需要进一步扩展和深化每个点的内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索活动：三角形的面积（2）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形面积的情况？”比如，计算三角形的桌面大小。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形面积的奥秘。
5.引导学生发现数学规律，培养创新意识和数学审美。
三、教学难点与重点
1.教学重点
三角形面积公式全归纳(初中学生必须掌握的面积公式)
根据公式 6，R = abc = 13 × 14 × 15 = 65 .
4S
4 × 84
8
例 2: 三角形三边中线长分别为 3, 4, 5，其面积是多少？
解:
根据公式
9，s
=
1 (3
2
+
4
+
5)
=
6, S
=
4√ 6(6
3
−
3)(6
−
4)(6
−5)ຫໍສະໝຸດ =8.1例题中面积的求解方法可能有多种，本文仅说明利用上述公式来求解。
4R 4R
2 三角形面积公式全归纳
第三页
公式 7
已知三角形的三个顶点 A, B, C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z，如右图 所示，则三角形的面积：
√ S = xyz(x + y + z)
公式 8
已知三角形两角及其夹边，则三角形面积公式为： a2 sin B sin C b2 sin A sin C c2 sin A sin B
公式 4
在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), 则三角形的面积：
1 S = 2 |x1y2 + x2y3 + x3y1 − x1y3 − x2y1 − x3y2| 对于初中学生可以这样处理：先算出任意两组点的坐标差值，再代入下面 公式计算即可，例如计算 A, B 和 A, C 的坐标差值：
AB = (x2 − x1, y2 − y1), AC = (x3 − x1, y3 − y1)
然后计算三角形面积为： 1
S = 2 |(x2 − x1)(y3 − y1) − (x3 − x1)(y2 − y1)| 即 AB 和 AC 的坐标差值交叉相乘相减。 在初中数学里平面直角坐标系内容章节中经常出现已知三角形三顶点坐标 求面积的问题（有时可能是四边形等，但可以转化为三角形），该公式对这 类问题秒杀。
三角形的面积(2)北师大数学五年级上册PPT课件
最后求出AE的长:20-60×2÷10=8(米)
三角形的面积（2）
E
A
②
①
C
方法二：
B
F 20米
10米
D
过点E作CD边的垂线段EF,如图所示。
则长方形ACFE的面积就是80平方米
AE的长:80÷10=8(米)
三角形的面积（2）
课堂小结
你学会了哪
S=a×h÷2
h=S×2÷a
35.1×2÷9=7.8(dm)
答：这个底对应的高是7.8分米。
三角形的面积（2）
那就一起来看
看你们说的方
法吧！
方法二：用方程解决问题
解：设这个底对应的高为分米。
÷ = 5.1
= . ×
= 0.2÷
= .8
答：这个底对应的高是7.8分米。
51×2÷8.5=12(米)
三角形的面积（2）
2. 一个三角形的面积是12.6平方米,底是3米, 这
个三角形的高是多少米?
12.6×2÷3=8.4(米)
答：这个三角形的高是8.4米。
三角形的面积（2）
3.三角形彩旗的面积是570cm2，高是38cm，
彩旗高对应的底是多少厘米？
570×2÷38=30(cm)
三角形的面积（2）
计算下列三角形的面积，你发现了什么？
5×3÷2=7.5(cm2)
同底等高的三角形面积相等
三角形的面积（2）
课堂练习
1.计算下面三角形中的高h或底a。 (单位:米)
12
8
4.8
4.8×8÷2=19.2(平方米)
19.2×2÷12=3.2(米)
三角形的面积 (2)
1.5cm
2cm
S=ɑh=2×1.5=3（c㎡）
1、两个完全一样的三角形都可 以拼成一个什么图形？
2、每个三角形的面积和拼成 的图形的面积有什么关系？
3、三角形的面积计算公式是 什么？
例题
通过以上试验，同学们想一想，你 发现了什么？
1、两个完全一样的三角形都可以拼成： 一个平行四边形 2、每个三角形的面积等于： 拼成的平行四边形面积的一半 3、这个平行四边形的底等于： 三角形的底
×
2、等底等高的两个三角形 的面积一定相等。（ ）
√
3、两个三角形一定可以拼 成一个平行四边形。（ ）
×
4、三角形的底是3分米， 高是20厘米，它的面积是 30平方厘米。（ ）
×
计算下面三角形的面积：
1、底是4.2米，高2米。
2、底是3分米，高1.3分米。 3、底是1.8厘米， 高1.2厘米。
想一想：
总结：
• 这节课我们是通过拼摆把三角形转化 成了与它等底等高的平行四边形，推 导出三角形面积公式；还能运用三角形
面积计算公式进行计算。
谢谢家长！
结论：
两个完全一样的直角三角形可以拼成一个平行四边形。 面积 ＝ 面积的一半 两个完全一样的锐角三角形可以拼成一个平行四边形。 面积＝ 面积的一半。
两个完全一样的钝角三角形可以拼成一个平行四边形。
面积 ＝
实验：
两个完全一样的三角形可以拼成什么样的图形？
结论：
两个完全一样的直角三角形可以拼成一个平行四边形。
4、这个平行四边形的高等于： 三角形的高
下面平行四边形的面积是 12平方厘米，求红色三角 形的面积。
红领巾的底是100cm，高33cm，它的 面积是多少平方厘米？
三角形面积的几种求法
三角形面积计算公式如下：
1.已知三角形底a，高h，则S＝ah/2
2.已知三角形三边a，b，c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
3.已知三角形两边a，b，这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC
4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2
5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积=abc/4R
6.S△=1/2 * | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | | a b 1 | | c d 1 | 为三阶行列式，此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a，b)，B(c，d)，C(e，f)，这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小。
7.海伦——秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-M
b)*(Ma+Mb-Mc)]/3，其中Ma，Mb，Mc为三角形的中线长。
8.根据三角函数求面积：S= ½ab sinC=2R² sinAsinBsinC= a²sinBsinC/2sinA，其中R 为外切圆半径。
9.根据向量求面积：SΔ)= ½√(|AB|*|AC|)²-（AB*AC）²。
第2课时 三角形的面积
第6单元多边形的面积第2课时三角形的面积【教学内容】教材P89～90例2。
【教学目标】1.利用拼摆的方法，探索并掌握三角形面积的计算公式，并能用三角形的面积计算公式解决简单的实际问题。
2.使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生空间观念和初步的推理能力。
3.让学生在探索过程中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
【重点难点】重点：理解并掌握三角形的面积公式。
难点：理解三角形面积计算公式的推导过程。
【教学过程】一、情境导入猜谜语一块布料三角样，颜色鲜红真漂亮。
少先队员才能有，每天佩戴不要忘。
师：你们知道谜底吗？【学情预设】红领巾。
师：你会计算红领巾的面积吗？今天我们就一起来研究三角形的面积。
（板书课题：三角形的面积）二、探究新知1.三角形面积公式的推导。
师：怎样算出红领巾的面积呢？能不能把三角形转化成我们已经学过的图形？（1）自主探究。
小组讨论交流，用学具摆一摆，拼一拼。
想一想：①你选择两个怎样的三角形拼图，能拼出什么图形？②拼出的图形的面积你会算吗？③你能根据已有经验，借助手中的学具推导出三角形的面积计算公式吗？（2）交流汇报。
【学情预设】预设1：用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形。
（课件同时展示图片）师：观察原三角形的底、高以及面积与拼成的平行四边形底、高以及面积，它们之间有什么关系？引导总结：拼成的平行四边形的面积＝底×高，每一个锐角三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以得出一个三角形的面积＝底×高÷2。
预设2：用两个完全一样的钝角三角形拼成一个平行四边形。
（课件同时展示图片）让学生观察原三角形与拼成图形的关系，小组交流汇报。
引导总结：每一个钝角三角形的面积是这个平行四边形面积的一半。
所以，得出一个三角形的面积＝底×高÷2。
预设3：用两个完全一样的直角三角形拼成了一个长方形。
三角形的面积公式
三角形的面积＝底×高÷2。
公式S= a×h÷2正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a长方形的面积＝长×宽公式S= a×b平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh长方体（或正方体）体积＝底面积×高公式：V=abh正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。
公式：S=ch=πdh＝2πrh圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。
公式：V=Sh圆锥的体积＝1/3底面×积高。
公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
读懂理解会应用以下定义定理性质公式一、算术方面1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+4）×5＝2×5+4×56、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
三角形的面积计算方法
三角形的面积计算方法三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
计算三角形的面积是数学中的一个重要问题，本文将介绍三角形的面积计算方法。
方法一：海伦公式海伦公式是计算任意三角形面积的一种常用方法。
根据海伦公式，对于已知三角形的三条边长a、b、c，可以通过以下公式计算出三角形的面积S：S = √(p × (p-a) × (p-b) × (p-c))其中p为半周长，即 p = 0.5 × (a + b + c)。
这个公式基于海伦公式的推导，适用于任意三角形。
方法二：正弦定理正弦定理是根据三角形的边和角之间的关系来计算三角形面积的一种方法。
对于已知三角形的两条边a和b以及夹角C的情况，可以使用以下公式计算三角形的面积S：S = 0.5 × a × b × sin(C)在使用这个公式时，需要确保给定的两条边和夹角之间的关系满足条件。
方法三：高度公式对于已知三角形的底边长度以及底边上的高度的情况，可以使用高度公式计算三角形的面积。
假设已知底边长度为b，高度为h，则三角形的面积S可以按照以下公式计算：S = 0.5 × b × h这个公式基于三角形的底边和高之间的关系，适用于特定情况下的三角形。
方法四：边长和角度公式有时候我们可能已知三角形的两条边和夹角的度数，可以使用边长和角度公式计算三角形的面积。
对于已知两条边a和b，以及夹角A的情况，可以使用以下公式计算三角形的面积S：S = 0.5 × a × b × sin(A)这个公式基于三角形的两条边和夹角之间的关系，适用于特定情况下的三角形。
综上所述，通过海伦公式、正弦定理、高度公式以及边长和角度公式等方法，我们可以计算出不同情况下的三角形的面积。
在实际问题中，可以根据已知条件选择合适的计算方法，并应用相应的公式进行求解。
掌握并熟练运用这些面积计算方法对于几何学的学习和应用具有重要的意义。
六种求三角形面积方法你都会吗(两篇)
引言概述：三角形面积是几何学中的常见问题，有多种方法可以计算三角形的面积。
在本文中，我们将介绍六种常见的求三角形面积的方法。
这些方法包括：海伦公式、直角三角形面积公式、矢量法、正弦定理、余弦定理和高度法。
通过学习这些方法，您将拥有多种途径来解决求解三角形面积的问题。
正文内容：一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的边长来计算面积的方法。
具体公式如下：面积 = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s是三角形的半周长，a、b和c分别是三角形的三边长。
通过这个公式，您可以快速方便地计算任何三角形的面积。
小点1：计算三角形的半周长s。
小点2：计算三角形的边长a、b和c。
小点3：代入海伦公式计算三角形的面积。
小点4：思考海伦公式的原理和推导过程。
小点5：应用实例分析。
二、直角三角形面积公式直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
对于直角三角形，可以使用简单的公式来计算面积：面积 = 1/2 * 底边长 * 高小点1：确定直角三角形中的底边长和高。
小点2：代入公式计算三角形的面积。
小点3：解释为什么在直角三角形中可以使用这个公式。
小点4：与海伦公式比较，讨论两种方法的适用范围。
小点5：举例说明直角三角形的面积计算。
三、矢量法小点1：将三角形的两边表示为矢量。
小点2：计算这两个矢量的叉积。
小点3：取叉积的模长的一半即为三角形的面积。
小点4：解释矢量法求解三角形面积的原理。
小点5：举例演示矢量法的应用。
四、正弦定理正弦定理是一种通过三角形的边长和夹角来计算面积的方法。
具体公式如下：面积 = 1/2 * a * b * sinC其中，a和b为三角形的两边长，C为这两条边之间的夹角。
小点1：计算三角形的两边长和夹角。
小点2：代入正弦定理计算三角形的面积。
小点3：解释正弦定理的原理和推导过程。
小点4：与其他方法进行比较，讨论正弦定理的适用情况。
小点5：通过实例分析理解正弦定理的应用。
五、余弦定理和高度法余弦定理是一种通过三角形的边长和夹角来计算面积的方法，而高度法是一种通过三角形的底边和高来计算面积的方法。
三角形的周长和面积计算
三角形的周长和面积计算一、三角形的周长计算1.1 概念：三角形周长是指三角形三条边的总长度。
1.2 计算方法：已知三角形的三边长a、b、c，周长P=a+b+c。
1.3 单位：周长的单位通常为米、厘米、千米等长度单位。
二、三角形的面积计算2.1 概念：三角形面积是指三角形所占平面区域的面积大小。
2.2 计算方法：（1）已知三角形的三边长a、b、c，高h，面积S=（a×h）/2 或 S=（b×h）/2。
（2）已知三角形的两边长a、b和它们夹角C，面积S=（a×b×sinC）/2。
2.3 单位：面积的单位通常为平方米、平方厘米、平方千米等面积单位。
三、三角形分类3.1 按边长分类：（1）不等边三角形：三边长都不相等。
（2）等腰三角形：有两条边相等，底边不等于腰。
（3）等边三角形：三条边都相等。
3.2 按角度分类：（1）锐角三角形：三个内角都小于90°。
（2）直角三角形：有一个内角为90°。
（3）钝角三角形：有一个内角大于90°。
四、三角形性质4.1 内角和：三角形的三个内角和等于180°。
4.2 外角和：三角形的三个外角和等于360°。
4.3 对边相等：三角形中，相对的两边相等。
4.4 对角相等：三角形中，相对的两个角相等。
4.5 中线定理：三角形的中线等于对应边的一半。
五、实际应用5.1 计算三角形周长和面积，解决生活中的实际问题，如测量土地、计算物体表面积等。
5.2 利用三角形的性质和计算方法，解决几何问题，如证明三角形全等、相似等。
5.3 了解三角形分类，便于对三角形进行更深入的研究和应用。
六、学习建议6.1 掌握三角形周长和面积的计算方法，熟练运用公式。
6.2 理解三角形分类，掌握各类三角形的特点。
6.3 熟练运用三角形性质，解决几何问题。
6.4 结合实际应用，提高解决实际问题的能力。
6.5 注重练习，提高计算速度和准确性。
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《三角形的面积》教学设计
教学目标：
1、理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形面积公式和计算方法，能正确计算三角形的面积。
2、能运用公式计算相关图形的面积，解决实际问题。
3、培养学生观察比较和分析推理的思维能力，发展学生的空间观念。
教学重点：
1、运用三角形面积计算公式解决生活中的实际问题。
教学难点：
1、三角形面积计算公式的推导过程。
教学过程：
一、导入：
我们学过了哪些平面图形的面积？计算这些图形的面积的公式是什么？
今天我们一起研究“三角形的面积”（板书课题）
二、教学铺垫：
1、比较长方形和平行四边形学具的大小。
（1）长方形长30厘米，宽20厘米。
（2）平行四边形底40厘米，高15厘米
2、复习平行四边形面积计算公式的推导过程。
三、探索交流、归纳新知：
1．寻找思路：
师：你想用什么办法探索三角形面积的计算方法？（学生回答各种方法）师：拿出一张平行四边形卡片，沿对角线剪开成两个三角形。
两个三角形的形状，大小有什么关系？（完全一样）
师：三角形面积与原平行四边形的面积有什么关系？
小组汇报：
一种，两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形，这一个三角形的面积是拼成的长方形面积的一半，拼成
的长方形的面积是一个三角形面积的2倍。
长方形的长是三角形的底，长方形的宽是三角形的高。
二种，两个完全一样的锐角三角形，两个完全一样的钝角三角形，都可以拼成一个平行四边形。
平行四边形的面积
是一个三角形面积的2倍，一个三角形面积是平行四边形面积的一半（二分之一）。
平行四边形的底就是三角形的底，
三角形的高就是平行四边形的高。
三种，把三角形的顶点和对边重合一折，剪开，再一拼也拼成一个平行四边形。
三角形和平行四边形的面积一样，
三角形的高是平行四边形高的2 倍。
（讲高时画一条高，演示，一半）
四种，把一个三角形的三个边向三角形的中间对折，可得到2个一样的长方形，长方形的长是三角形的一半，长方形的面积是三角形的一半。
同学们通过动手实践，动脑思考，发现了两个完全一样的三角形，可以拼成：长方形，平行
四边形，更可喜的是发现了它们各部分之间的关系。
找到了这么多的三角形和平行四边形之间的关系，那能不能再动你们聪明的小脑袋，找出三角形面积的计算公式？
这次比一比，看那位同学公式找得好，找得准，还能说的好，把你的想法讲给大家听。
同桌互相说，如果对方说得不完整，不正确，请补充，修改。
（选一种说）2. 推导公式
汇报公式推导过程
提问：底×高算的是什么？为什么要÷2
判断：把平行四边形沿对角线剪开，得到的一个三角形面积一定是平行四边形面积的一半，平行四边形的面积一定是一
个三角形面积的2倍？
聪明的同学们探索出了三角形的面积计算公式，请一位同学计算这张三角形学具的面积吧！怎么不动呀？
让学生指出所对应的底和高，给出底的长度，计算面积。
四、练习：
在日常生活中我们随处可见三角形的实物：
1、老师手中的三角板是什么形状的？
它的外围也是个三角形，外围围成的三角形的面积是多少？如果你是工人师傅，做这个三角形要用多少平方米的料？
2、
2个形状一样的路标求S
S=ah S=ah÷2 ×2
3、房屋设计师牛兆晨设计了个三角形屋架，忘记高是多少，你们能帮帮忙吗？
面积是30平方米底是10米高是多少米？
4、我们每天都要戴我们引以为荣的红领巾，你想知道它的面积是多少吗？（要测量）
（先把三角形相等的两个锐角重合，然后一折，就是高。
）
5、帮助淘气选笑笑做的三角形的面积。
底（1）是8厘米，高(1)是12厘米
底(2)是16厘米，高(2)是6厘米
6 、判断：
(1)等底等高的三角形面积一定相等。
(2)等底等高的三角形一定形状相同。
(3)等底等高的2三角形一定能拼成一个平行四边形.
(4)面积相等的三角形，形状一定相同。
(5)面积相等的三角形，一定等底等高。
五、总结：这节课你快乐吗？你有什么收获？。