山西省太原市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

山西省太原市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知（1+i）z=2i，则复数z=( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+3）＜0}，N={x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )A．[﹣1，1）B．（﹣3，1]C．（﹣∞，3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣3，﹣1）3．在单调递减等比数列{a n}中，若a3=1，a2+a4=，则a1=( )A．2 B．4 C．D．24．已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是( )A．B．C．D．5．执行如图所示程序框图，则输出a=( )A．20 B．14 C．10 D．76．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象( )A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线（，0）7．已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．B．6C．D．28．已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )A．16 B．32 C．32 D．489．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是( ) A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）10．已知实数x，y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5，其最大值为( )A．10 B．12 C．14 D．1511．已知点O为双曲线C的对称中心，过点O的两条直线l1与l2的夹角为60°，直线l1与双曲线C相交于点A1，B1，直线l2与双曲线C相交于点A2，B2，若使|A1B1|=|A2B2|成立的直线l1与l2有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是( )A．（，2]B．[，2）C．（，+∞）D．[，+∞）12．已知数列{a n}的通项公式为an=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1（n∈N*），其前n项和为S n，则S60=( )A．﹣30 B．﹣60 C．90 D．120二、填空题13．已知向量，满足（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，则与的夹角为__________．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是__________．15．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD 沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为__________．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，S n=2a n+n（m∈N*），则f（a5）+f（a6）=__________．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．18．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC 的所成角为60°，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，点G为△ABC的重心，点E在BC1上，且BE=BC1．（1）求证：GE∥平面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2其离心率为e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（1）求a，b的值（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，•=0，求||+||的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R．（Ⅰ）若当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞（e+1）a，求a的取值范围．四.选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知点C是以AB为直径的半圆O上一点，过C的直线交AB的延长线于E，交过点A的圆O的切线于点D，BC∥OD，AD=AB=2．（Ⅰ）求证：直线DC是圆O的切线；（Ⅱ）求线段EB的长．五.选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．五.选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．山西省太原市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知（1+i）z=2i，则复数z=( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：（1+i）z=2i，可得z===1+i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．2．已知全集U=R，集合M={x|（x﹣1）（x+3）＜0}，N={x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是( )A．[﹣1，1）B．（﹣3，1]C．（﹣∞，3）∪[﹣1，+∞）D．（﹣3，﹣1）考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：先确定阴影部分对应的集合为（∁U N）∩M，然后利用集合关系确定集合元素即可．解答：解：阴影部分对应的集合为（∁U N）∩M，∵M={x|﹣3＜x＜1}，N={ x|﹣1≤x≤1}，∴∁U N={x|x＞1或x＜﹣1}，∴（∁U N）∩M={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图，确定阴影部分的集合关系是解决本题的关键．3．在单调递减等比数列{a n}中，若a3=1，a2+a4=，则a1=( )A．2 B．4 C．D．2考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项，得到+q=，进利用数列{a n}为递减数列，求出公比q的值，即可求出a1的值．解答：解：∵a3=1，a2+a4=，∴+q=，∵数列{a n}为递减数列，∴q=∴a1=4，故选：B．点评：此题考查了等比数列的性质，通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．．4．已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．解答：解：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f（x0）≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是；故选C．点评：本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确结合测度，；本题利用区间长度的比求几何概型的概率．5．执行如图所示程序框图，则输出a=( )A．20 B．14 C．10 D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=2016时，不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=10，i=1满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=2满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=3满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=7，i=4满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=20，i=5满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=6满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=5，i=7满足条件i≤2015，满足条件a是奇数，a=14，i=8…观察规律可知，a的取值以5为周期，由2015=403×5可得满足条件i≤2015，不满足条件a是奇数，a=10，i=2016不满足条件i≤2015，退出循环，输出a的值为10．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，观察规律可知a的取值以5为周期从而解得退出循环时a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象( )A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线（，0）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=﹣1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B点评：本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．7．已知在圆x2+y2﹣4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．B．6C．D．2考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径．BD为最短弦，AC与BD相垂直，求出BD，由此能求出四边形ABCD 的面积．解答：解：圆x2+y2﹣4x+2y=0即（x﹣2）2+（y+1）2=5，圆心M（2，﹣1），半径r=，最长弦AC为圆的直径为2，∵BD为最短弦∴AC与BD相垂直，ME=d=，∴BD=2BE=2=2，∵S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD×EA+×BD×EC=×BD×（EA+EC）=×BD×AC==2．故选：D点评：本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．8．已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )A．16 B．32 C．32 D．48考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，结合题目中的数据，求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，如图所示；∴该几何体的体积是V四棱锥=××（2+6）×6×6=48．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．9．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是( ) A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）考点：函数的零点；指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数，指数的转化得出f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）=1﹣log32＞0，f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，判定即可．解答：解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23＞1，0＜b=log32＜1，∵函数f（x）=a x+x﹣b，∴f（x）=（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）=1﹣log32＞0f（﹣1）=log32﹣1﹣log32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．点评：本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题．10．已知实数x，y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5，其最大值为( )A．10 B．12 C．14 D．15考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=3x+y的最小值为5，建立条件关系即可求出k的值．解答：解：目标函数z=3x+y的最小值为5，∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为5，作出不等式组对应的平面区域如图：则目标函数经过点B截距最小，由，解得，即B（2，﹣1），同时B也在直线﹣2x+y+c=0，即﹣4﹣1+c=0，解得c=5，此时直线方程为﹣2x+y+5=0，当直线z=3x+y经过点C时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=3×3+1=10，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=3x+y的最小值为5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知点O为双曲线C的对称中心，过点O的两条直线l1与l2的夹角为60°，直线l1与双曲线C相交于点A1，B1，直线l2与双曲线C相交于点A2，B2，若使|A1B1|=|A2B2|成立的直线l1与l2有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是( )A．（，2]B．[，2）C．（，+∞）D．[，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设出双曲线的方程，并根据题意画出图象，根据对称性和条件判断出双曲线的渐近线斜率的范围，列出不等式并转化为关于离心率的不等式，再求解即可．解答：解：不妨设双曲线的方程是=1（a＞0，b＞0），由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又∵满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，且不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60°，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，∴tan30°＜≤tan60°，则，即，∵b2=c2﹣a2，∴，则，解得，即，∴双曲线离心率的范围是（]，故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质以及应用，考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．12．已知数列{a n}的通项公式为an=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1（n∈N*），其前n项和为S n，则S60=( )A．﹣30 B．﹣60 C．90 D．120考点：数列的求和．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列的通项公式求出数列前几项，得到数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此可以求得S60的值．解答：解：由a n=（﹣1）n（2n﹣1）cos+1，得，a2=3cosπ+1=﹣2，，a4=7cos2π+1=8，，a6=11cos3π+1=﹣10，，a8=15cos4π+1=16，…由上可知，数列{a n}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a58+a60）=30+15×6=120．故选：D．点评：本题考查了数列递推式，考查了三角函数的求值，关键是对数列规律的发现，是中档题．二、填空题13．已知向量，满足（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，则与的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：将已知等式展开，利用向量的平方与模的平方相等以及向量的数量积公式，得到关于向量夹角的等式解之．解答：解：由（2﹣）（+）=6，且||=2，||=1，得，即8﹣1+2cos＜＞=6，所以cos＜＞=，所以与的夹角为120°；故答案为：120°．点评：本题考查了向量的数量积的运算以及向量夹角的求法；关键是熟练利用数量积公式．14．已知（2x﹣）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是60．考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意，（2x﹣）n的展开式的二项式系数之和为64，由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；进而可得二项展开式，令6﹣r=0，可得r=4，代入二项展开式，可得答案．解答：解：由二项式系数的性质，可得2n=64，解可得，n=6；（2x﹣）6的展开式为为T r+1=C66﹣r•（2x）6﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•26﹣r•C66﹣r•，令6﹣r=0，可得r=4，则展开式中常数项为60．故答案为：60．点评：本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别．15．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD 沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．解答：解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：=．故答案为：．点评：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，S n=2a n+n（m∈N*），则f（a5）+f（a6）=3．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：先由函数f（x）是奇函数，f（﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且S n=2a n+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．解答：解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1，∴a n=2a n﹣2a n﹣1+1，即a n=2a n﹣1﹣1，a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），{a n﹣1}以﹣2为首项，2为公比的等比数列．a n=1﹣2n．∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故答案为：3．点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．三、解答题17．已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab，利用三角形面积计算公式=，即ab=4．联立解出即可．（2）由sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得2sinBcosA=4sinAcosA．当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立解得即可．解答：解：（1）∵c=2，C=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣ab，∵=，化为ab=4．联立，解得a=2，b=2．（2）∵sinC=sin（B+A），sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，2sinBcosA=4sinAcosA，当cosA=0时，解得A=；当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，联立，解得，b=，∴b2=a2+c2，∴，又，∴．综上可得：A=或．点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）（I）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克的产品数量，求随机变量X的分布列；（Ⅱ）若将该样本分布近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）根据频率分布直方图求出重量超过505克的产品数量，推出随机变量X的所有可能取值为0，1，2求出概率，得到随机变量X的分布列．（Ⅱ）求出该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3，推出Y～B（5，0.3）．然后求解所求概率．解答：解：（I）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[（0.001+0.005）×5]×40=12．由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2=，，．∴随机变量X的分布列为X 0 1 2P（Ⅱ）由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0.3设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y～B（5，0.3）．故所求概率为P（Y=2）=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列，以及概率的求法，考查计算能力．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC 的所成角为60°，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，点G为△ABC的重心，点E在BC1上，且BE=BC1．（1）求证：GE∥平面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接B1E，并延长交BC于点F，连接AB1，AF，证明GE∥AB1，然后证明GE∥平面AA1B1B；（2）过点A1作A1O⊥AB，垂足为O，连接OC，以O为原点，分别以OC，OB，OA为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，求出相关点的坐标，平面B1GE的一个法向量，平面ABC的一个法向量，即可求解二面角的余弦函数值．解答：解：（1）证明：连接B1E，并延长交BC于点F，连接AB1，AF，∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱，∴BC∥B1C1，∴△EFB～△EB1C1，，∴，∴，∴F是BC的中点．∵点G是△ABC的重心，∴，∴GE∥AB1，∴GE∥平面AA1B1B；（2）证明：过点A1作A1O⊥AB，垂足为O，连接OC，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴A1O⊥底面ABC，∴∠A1AB=60°，∵AA1=2，∴AO=1，∵AB=2，∴点O是AB 的中点，又∵点G是正三角形ABC的重心∴点G在OC上，∴OC⊥AB，∵A1O⊥底面ABC，∴A1O⊥OB，A1O⊥OC，以O为原点，分别以OC，OB，OA为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，由题意可得：A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（，0，0），A1（0，0，），B1（0，2，），C1（），，∴，∴，∴，设=（x，y，z）是平面B1GE的一个法向量，则令，则，∴，由（1）知是平面ABC的一个法向量，设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角为θ，则有：．点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2其离心率为e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（1）求a，b的值（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，•=0，求||+||的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）当P为椭圆上下顶点时，△PF1F2内切圆面积取得最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，利用==bc=r，化为，又，a2=b2+c2，联立解得a，c，b即可得出．（2）由满足∥，∥，•=0，可得直线AC，BD垂直相交于点F1，由（1）椭圆方程，F1（﹣2，0）．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，||+||=14．②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x1，y1），C（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．利用根与系数的关系可得：==，把﹣代入上述可得：可得=，可得||+||=，设t=k2+1（k≠0），t＞1．即可得出．解答：解：（1）当P为椭圆上下顶点时，△PF1F2内切圆面积取得最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，∵，∴．==bc=r=，化为，又，a2=b2+c2，联立解得a=4，c=2，b=2．（2）∵满足∥，∥，•=0，∴直线AC，BD垂直相交于点F1，由（1）椭圆方程，F1（﹣2，0）．①直线AC，BD有一条斜率不存在时，||+||=6+8=14．②当AC斜率存在且不为0时，设方程y=k（x+2），A（x1，y1），C（x2，y2），联立，化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴==，把﹣代入上述可得：可得=，∴||+||=，设t=k2+1（k≠0），t＞1．∴||+||=，∵t＞1，∴，∴||+||∈．指数可得：||+||的取值范围是．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数关系、向量垂直与数量积的关系、三角形内切圆的性质、二次函数的性质，考查了“换元法”、推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R．（Ⅰ）若当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞（e+1）a，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=﹣1时，求出f（x）=x2﹣x﹣lnx，通过求导，根据导数符号即可判断出f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论a的取值：a=0时，容易得出满足题意；a＞0时，会发现函数x2+ax在（0，+∞）上单调递增，让＜1，便得到f（x）＜1+a+alnx，从而这种情况不存在；当a＜0时，通过求导，容易判断出，存在x0∈（0，+∞），使f′（x0）=0，从而判断出f（x）的最小值f（x0），再由条件f（x）便可得到x0∈（0，e），并根据f′（x0）=0，可求出，从而求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由题意得x∈（0，+∞）；当a=﹣1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，=；∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；∴f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是[1，+∞）；（II）①当a=0时，f（x）=x2＞0，显然符合题意；②当a＞0时，当时；f（x）＜1+a+alnx，不符合题意；③当a＜0时，则；对于2x2+ax+a=0，△=a2﹣8a＞0；∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在x0∈（0，+∞），使得；即f′（x0）=0；∴0＜x＜x0时，f′（x）＜0，x＞x0时，f′（x）＞0；∴f（x）min=f（x0）===；∵，∴x0+2lnx0﹣（e+2）＜0；∴0＜x0＜e；由得，；设y=，y′=；∴函数在（0，e）上单调递减；∴；综上所述，实数a的取值范围．点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性，求函数单调区间的方法，判别式的取值和一元二次方程根的关系，由韦达定理判断一元二次方程根的符号，以及根据导数求函数最小值的方法与过程，函数单调性定义的运用．四.选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知点C是以AB为直径的半圆O上一点，过C的直线交AB的延长线于E，交过点A的圆O的切线于点D，BC∥OD，AD=AB=2．（Ⅰ）求证：直线DC是圆O的切线；（Ⅱ）求线段EB的长．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）要证DE是圆O的切线，连接AC，只需证出∠DAO=90°，由BC∥OD⇒OD⊥AC，则OD是AC的中垂线．通过△AOC，△BOC均为等腰三角形，即可证得∠DAO=90°．（Ⅱ）由BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，结合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例线段求出EB．解答：（Ⅰ）证明：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC，由BC∥OD⇒OD⊥AC，则OD是AC的中垂线⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．⇒OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．（Ⅱ）解：BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD⇒⇒BC==⇒=⇒=⇒=⇒BE=．点评：本题考查圆的切线的证明，与圆有关的比例线段．准确掌握与圆有关的线、角的性质是解决此类问题的基础和关键．五.选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ=，与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）设P（x，y），M（x′，y′），因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，将M坐标代入，消去θ，得到M满足的方程，再由向量共线，得到P满足的方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，分别利用极坐标方程表示两个曲线，求出A，B的极坐标，得到AB长度．解答：解：（Ⅰ）因为点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足=2．设P（x，y），M（x′，y′），则x=2x′，y=2y′，并且，消去θ得，（x′﹣1）2+y′2=3，所以曲线C2的普通方程为：（x﹣2）2+y2=12；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0，将θ=代入得ρ=2，∴A的极坐标为（2，），曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣8=0，将代入得ρ=4，所以B的极坐标为（4，），所以|AB|=4﹣2=2．点评：本题考查了将参数方程化为普通方程以及利用极坐标方程表示曲线．五.选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）=|x﹣1+a|，求x的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=3时，化简函数f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，画出直线y=4，数形结合求得不等式f（x）≤4的解集．（Ⅱ）由条件求得（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=3时，函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|=，如图所示：由于直线y=4和函数f（x）的图象交于点（0，4）、（2，4），故不等式不等式f（x）≤4的解集为[0，2]．（Ⅱ）由f（x）=|x﹣1+a|，可得|2x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1+a|．由于|2x﹣1|+|x﹣a|≥|（2x﹣1）﹣（x﹣a）|=|x﹣1+a|，当且仅当（2x﹣1）•（x﹣a）≤0时，取等号．故有（2x﹣1）﹣（x﹣a）≤0．当a=时，可得x=，故x的范围为{}；当a＞时，可得≤x≤a，故x的范围为[，a]；当a＜时，可得a≤x≤，故x的范围为[a，]．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．。