复变函数第一讲

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复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件

复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。

如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。

解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。

比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。

定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。

复变函数第一章1

2 − 2i = 22 + (−2)2 = 2 2
Arg(2 − 2i) = arctan
；，（ k ∈ Z ）；
π
− i 4
2 − 2i = 2 2(cos( − ) +i sin( − )) = 2 2e 4 4
π
−2 π + 2kπ = − + 2kπ 2 4
π
.
引进了复数的三角形式或指数形式，我们可得如下结果：
z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) ，
复数 z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2 相加（减）的法则是：结果仍是复数 . 这表明复数与复数相加（减）所得的复数可按实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得到．复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是加法的逆运算．
y 显然复数 z 的辐角满足 tan θ = ，且任一非零 x
复数 z 有无穷多个辐角，以 arg z 表示其中的一个特定值，并称满足条件：
− π < arg z ≤ π （1.3）的一个为 Argz 的主值(或复数 z 的主辐角)，习惯上仍记为 argz ．于是 θ = arg z + 2kπ（k ∈ Z ）（1.4）
n
(cosθ + i sinθ ) = cos nθ + i sin nθ （棣莫弗公式）
设 z ≠0，通常，我们把满足方程 w n = z ( n ≥ 2为整数) 的复数 w 称为复数 z 的 n 次方根，记为 w = n z
n iθ iϕ w w = Re z = re 记，，将它们代入方程 = z 得

复变函数第1讲

记为 Arg z=θ
显然有注:
y ta n (A rg z ) = x
1. 任意非零复数有无穷多个辐角任意非零复数有无穷多个辐角,
Arg z = θ1 + 2kπ
2. 当z＝0时, |z|=0, 辐角规定为任意值辐角规定为任意值. ＝时辐角的主值：辐角的主值：的幅角称为幅角主值. 把满足 −π < arg z ≤ π 的幅角称为幅角主值记为arg z，这样，我们有：，这样，我们有：
解 : z1 5 − 5i 7 + i = = = ⋯ z2 − 3 + 4 i − 5
§2
1.复平面 1.复平面复数
复数的几种表示方法
通过下列方式：通过下列方式：
z = x + iy
坐标（坐标（x,y) 直角坐标平面中的点
将平面直角坐标系引入到复数中来, 此时x轴称为实轴轴称为实轴，将平面直角坐标系引入到复数中来此时轴称为实轴， y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也为复变函数的实际应用奠定了基础。为复变函数的实际应用奠定了基础。 1）复数的点表示 (见图）见图1) 见图复数
上式称为复数的三角表示。上式称为复数的三角表示。 4) 复数的指数表示利用欧拉公式：利用欧拉公式：
e
iθ
= cosθ + i sin θ
可以得到复数的指数表示式
z = re
iθ
注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具复数的各种表达式可以互相转换，体问题时应灵活选用
2. 复球面Ｐ．

复变函数课件-复变函数1绪论

02
复变函数
复变函数
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03
微分与积分
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的小范围内变化的情况。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等，这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面有广泛应用。
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程是由法国数学家柯西和挪威数学家黎曼分别独立发现的，是复变函数中解析函数的必要条件。
柯西-黎曼方程是由两个偏微分方程构成的方程组，描述了复平面上的可微函数在任意一点处的导数关系。
柯西-黎曼方程是复变函数中解析函数的充要条件，即如果一个复函数在某区域内的全纯导数存在且满足柯西-黎曼方程，则该函数在该区域内是解析的。
单连通区域
一个区域如果不能被分成两个分离的子区域，则称该区域为单连通区域。
单连通区域的共形映射
对于单连通区域，存在唯一的共形映射将该区域映射到单位圆。这个映射可以通过一些特定的函数（如幂函数和指数函数）来构造。
多连通区域的共形映射
多连通区域
一个区域如果有多个连通的子区域，则称该区域为多连通区域。
复数的几何意义
总结词
复数可以用平面坐标系中的点或向量表示，实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示。在平面坐标系中，每一个复数 z=a+bi可以对应一个点(a,b)或向量从原点O(0,0)指向点(a,b) 。实部a是横轴上的坐标，虚部b是纵轴上的坐标。这种表示方法有助于理解复数的几何意义和性质。
06
共形映射共形映射的定义 Nhomakorabea共形映射

复变函数_第1讲49页PPT

z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ). 2. 两复数的积:
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ). 3. 两复数的商:
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
3
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。
8
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0. 说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.
9
二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 1. 两复数的和:
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan , y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
18
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加。当z落于第三象限时，减。
平面 —复平z面平或面
点的表示：zxiy复平面上 P(x，的 y)点
数z与点z同义.
16

复变函数入门 1

,
2
z z Re( z ) Im( z )
5 3 1 . 2 2 2
2
2
14
例7 设两复数 z 1 x 1 iy 1 ,
证明
z 2 x 2 iy 2 ,
z 1 z 2 z 1 z 2 2 Re( z 1 z 2 ).
2 2
17
2、复平面
复数 z x iy 与有序实数对对应 . 因此 , 一个建立了直角坐标系用来表示复数叫虚轴或面. , 通常把横轴叫实轴或 ( x , y ) 成一一的平面可以 x 轴 , 纵轴面叫复平
y 轴 . 这种用来表示复数的平
复数的向量表示法
y y
z x iy
(a , b ) (c , d ) (a c , b d )
( a , b ) ( c , d ) ( ac bd , bc ad )
ac bd bc ad (a , b ) (c , d ) ( 2 , 2 ) 2 2 c d c d
,c d 0
例2 计算共轭复数
解
z x yi 与 z x yi 的积 .
2 2 2 2
( x yi )( x yi ) x ( yi ) x y .
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即：z x y . z
2 2
9
5. 共轭复数的性质:
(1 ) z1 z 2 z1 z 2 ;
……
n 是正整数 , 则
i, i
4n 2
一般地，如果
i
4n
1,
i
4n1
1,

复变函数第1讲1.1-1.3

1
y
28
1 i
2
0
2
o

x
27
P31作业： 1. (1)、(3) 4. (2) 7. 8. (2)、(4)、(6) 9.(1) 14 (2) (4) 16
28
n个
z n r n (cosnq i sinnq ).
—--- 棣莫弗公式.
(cosq i sinq )n cosnq i sinnq .
定义
z
n
1 n . z
2.2 定义z的n次根：若有 ω n=z,则称ω为z的n次根，记为
n
z.
如何求z的n次根呢？
25
已知 z = n , 求n z，即 =？
zz ( x iy)( x iy) x 2 y 2 .
z1 x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 除法： z 2 2 2 2 z2 x2 y2 x 2 y2
( z2 0).
6
容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.
另外，还经常用到以下性质：
同理第三象限直接计算反正切值得到的辐角主值为正，与第一象限
混淆，- π后回到第三象限
14
复数向量表示的重要意义 ---将代数问题化为几何问题 y
y z2 z1 O z1+z2
O
z2 z1 z1-z2 x
x
-z2
z1 +z2 表示z1与z2首尾相连
之后的终点
z1 z2 表示z1与z2之间的距离
15
y y arctan 的主值来确定： x x
注意箭头方向：
逆时针表示辐角主值为正，顺时针表示辐角主值为负

复变函数第三版课件第一章

3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1

复变函数第一章第1讲

复变函数与积分变换西安文理学院物电学院
第一章复数与复变函数
z1 z1 例4 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求与 . z2 z2
解
z1 5 5i (5 5i )( 3 4i ) z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
记为 z r x 2 y 2 .
显然下列各式成立
y y
r
o
2
Pz x iy
x z, z x y,
y z,
z z z z2 .
x
x
复变函数与积分变换
西安文理学院物电学院
第一章复数与复变函数
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边 , 以表示 z 的向量OP 为终边的角的弧度数称为 z 的辐角, 记作 Argz .
计算共轭复数yi的积是一个实数两个共轭复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的形式将下列复数表示为iy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换20152015西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换西安文理学院物电学院复变函数与积分变换叫虚轴或纵轴通常把横轴叫实轴或用来表示复数的平面可以一个建立了直角坐标系因此对应成一一与有序实数对复数表示面上的点可以用复平复数西安文理学院物电学院复变函数与积分变换的模或绝对值向量的长度称为z表示可以用复平面上的向量复数opiy西安文理学院物电学院复变函数与积分变换称为为终边的角的弧度数的向量以表示说明0有有无穷有无穷多是其中一个辐角如果特殊地的全部辐角为那么西安文理学院物电学院复变函数与积分变换辐角主值的定义

复变函数

第一讲复数与复变函数复变函数论的出发点是复数．复数的基本定义及结论每个复数z 具有iy x +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，x ,y 分别记作z x Re =，z y Im =．复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等．复数的四则运算定义为：)()()()(21212211b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)()())((122121212211b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++22222112222221212211)()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a +-+++=++复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C ．C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面．复数的模定义为：22||y x z +=；复数的辐角定义为：i x yz π2arctanArg +=；复数的共轭定义为：iy x z -=；复数的三角表示定义为：)sin (cos ||Argz i Argz z z +=；在复平面中，我们可以定义一些基本集合．设),0(, +∞∈∈r C a ，a 的r -邻域),(r a U 定义为},,|| |{C z r a z z ∈<-设E a C E ∈⊂,为E 的极限点，若E r a U r ⋂>∀),(,0中有无穷个点；E a ∈为E 的内点，若0>∃r ，使得E r a U ⊂),(．开集：所有点为内点的集合；闭集: 开集的余集我们称为闭集．区域：1、D 是开集；2、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D ．复变函数的定义：设C G⊂，如果对于G 中任意以点z ，有确定的复数w 同它对应，则称在G 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =．注1 此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应；注2 同样可以定义函数的定义域与值域；注3 复变函数等价于两个实变量的实值函数．复变函数的极限：设函数)(z f w =在集合E 上确定，0z 是E 的一个聚点，a 是一个复常数．如果任给0>ε，可以找到一个与ε有关的正数0)(>=εδδ，使得当E z ∈，并且δ<-<||00z z 时，ε<-|)(|a z f ，则称a 为函数)(z f 当z 趋于0z 时的极限，记作：)()()(lim 0,0z z A z f A z f Ez z z →→=∈→当或复变函数连续性的定义：如果)()(lim 00z f z f z z =→成立，则称)(z f 在0z 处连续；如果)(z f 在E 中每一点连续，则称)(z f 在E 上连续.如果),(),()(y x iv y x u z f +=，000iy x z +=，)(z f 在0z 处连续的充要条件为：，，),(),(lim),(),(lim00,,00,,0000y x v y x v y x u y x u y y x x y y x x ==→→→→复变函数的导数: 设函数)(z f w =在点z 的某邻域内有定义，zz ∆+0是邻域内任意一点，对于)()(00z f z z f w -∆+=∆，如果极限z z f z z f z wz z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，为复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作:)('0z z dz dw z f =或.解析函数：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数．导数的四则运算：)(')()()(')]'()([)(')('))'()((z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f +=±=±[]2)]([)(')()()(')()('z g z g z f z g z f z g z f -=.关于解析函数的定义，有下面的注解：注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析．注解3 闭区间上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注解4 解析性区域；注解5 四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等可以推广到复变函数求导的情形. 关于函数的解析性，有著名的Cauchy-Riemann 条件：函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是：1、实部),(y x u 和虚部),(y x v 在D 处可微；2、),(y x u 和),(y x v 满足：柯西-黎曼条件（简称C-R 方程）x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ ,关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解；注解2 解析函数的导数形式更简洁. 基本初等函数：指数函数：对于复数iy x z+=，定义)sin (cos exp y i y e z e w x z +===为指数函数由此有Euler 公式： y i y e iysin cos +=；指数函数的基本性质：1、函数ze w =在整个复平面内有定义并且解析，z z e e =)'(；2、指数函数ze w =是实指数函数在复平面上的解析推广；3、定义得 ,2,1,02||±±=+==k k y Arge e e z x z ，π4、0≠ze；5、指数函数的代数性质（加法定理）：2121z z z z e e e +=；6、指数函数是周期i π2为的周期函数；7、指数函数的几何性质：对数函数：对数函数的基本性质：定义复对数函数是指数函数的反函数：满足方程)0(≠=z z e w 函数)(z f w =称为对数函数，记为z w Ln =.注解 1、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为i π2 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数；注解 2、0 iArg |z |ln Lnz ≠+==z z,w .多值函数的单值化：、由于iArgz z z +=||ln Ln ，而是Argz 通常正数的自然对数，Argz 是多值函数，所以对数函数的多值性是由于幅角函数的多值性引起的，每两个函数值相差的整数倍；、象Argz 一样，取主值arg z ，则得到Ln z 的一个单值分支，记为ln z ，也称为Ln z 的主值，即z i z z arg ln ln +=，所以，,...)2,1,0(2ln ln ±±=+=k k z z π注解：当0>=x z 时，主值x z ln ln =就是实变量的对数函数. 对数函数的基本性质：1、对数函数的定义域为整个复平面去掉原点，是一个多值解析函数；2、对数函数的代数性质：Ln Ln )/Ln(2121z z z z -= Ln Ln )Ln(2121z z z z +=3、对数函数的解析性质：对数函数的主值分支在除去原点和负实数轴的复平面上解析，并且有：z zz 1d d ln =4、对数函数的几何性质：幂函数的定义：利用对数函数，可以定义幂函数：设a 是任何复数，则定义z 的a 次幂函数为：z a ae z Ln =当a 为正实数，且0=z 时，还规定0=az .幂函数的基本性质： 1、对应于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数； 2、当a 是正整数时，幂函数是一个单值函数；3、当n 1=α（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； 4、当n 1=α（当n 是正整数）时，幂函数是一个n 值函数； 5、当q p a =是有理数时，幂函数是一个q 值函数； 6、当a 是无理数时，幂函数是一个无穷值多值函数三角函数三角函数的定义：利用Euler 公式，我们有：y i y eiysin cos +=，y i y e iysin cos -=-，所以定义2iziz e e -+和ie e iziz 2--分别为复变量的余弦函数z cos 和正弦函数z sin .三角函数的基本性质：1、z cos 和z sin 是单值函数；2、z cos 和z sin 是以π2为周期的周期函数；3、z cos 是偶函数，z sin 是奇函数；4、212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±；5、;1cos sin22=+z z6、z cos 和z sin 在整个复平面解析，并且有：.cos )'(sin ,sin )'(cos z z z z =-=第二讲利用积分研究解析函数----复变函数的积分设C 是复平面一条光滑简单曲线，其起点为A ，终点为B 。

复变函数第1讲

因此

z cos
3 10
i sin
3 10
e 10
i
3

韩艺兵(信息工程大学理学院)
复变函数
第一章复数与复变函数
2009年9月19日
二、直线和圆的复方程很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它
所表示的平面图形.
工程数学
复变函数
韩艺兵(信息工程大学理学院) 复变函数第一章复数与复变函数 2009年9月19日
复变函数第1讲
韩艺兵
Email：hanyibing1982@
解放军信息工程大学理学院
韩艺兵(信息工程大学理学院)
复变函数
第一章复数与复变函数
2009年9月19日
第一章复数与复变函数
z1 O x z1z2
z2
|z1-z2|||z1|-|z2||
韩艺兵(信息工程大学理学院) 复变函数
(1.2.6)
第一章复数与复变函数 2009年9月19日
一对共轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的, 因而|z|=|z |.
y
z x iy
O
x
z x iy
韩艺兵(信息工程大学理学院) 复变函数第一章复数与复变函数 2009年9月19日
(1.1.1)
z1.z2 (x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) (1.1.2)
称上面二式右端为z1, z2的和, 差与积.
当z1, z2为实数时, 上二式与实数的运算一致.
韩艺兵(信息工程大学理学院) 复变函数第一章复数与复变函数 2009年9月19日

《复变函数》第1章

3
3
23
23
arg z
23 6
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
解: 1) 1) z 12 2i
2) z sin i cos
5
5
r
12 4 4,
z 4(
12 2 i ) 44
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第3页
(3) 除法: z z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )

x1x2 y1 y2 x22 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
4(
3 1 i ). 22
cos 3 ,
2
sin 1
2

5.
6
(或

arctan 2
12
arctan
3
3
5
6
∴
∵ z 在第三象限 ) 三角式: z 4[cos(
5
)

i
sin(

01章复数与复变函数

R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，
i为虚数单位，其意义为i2=-1
复数的集合 C = {x + iy x, y ? R}
复数相等 z1=z2，当且仅当Rez1= Rez2且Imz1=
Imz2
复数的无序性复数不能比较大小。
复变函数与积分变换
第1章复数与复变函数
（二）复数的四则运算
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
Arg(- 2- 2i)=- 3 p + 2kp ,(k ? z) 4
Arg(- 1)=p + 2kp ,(k ? z) Arg(- 3+ 4i)=-arctan 4 + (2k + 1)p ,(k ? z)
3
例1.5 已知流体在某点M的速度 v = 1- 3i 求其大小和方向
v = 2 arg v = - p 3
复变函数与积分变换
第1章复数与复变函数
（二）单连通区域与多（复）连通区域
平面曲线
设x(t)和y(t)是两个实变函数，在闭区间[a,b]上连续，则由方程
ìïïíïïî
x= y=
x( t ) y( t )
或复数方程
z(t) = x(t) + iy(t),(a ＃t
b)
所决定的点集C称为z平面上的一条连续曲线
加减运算
z1 ± z2 =(x1 ± x2) +i(y1 ± y2 )
乘法运算 z1z2 = ( x1x2 - y1 y2 ) + i( x1 y2 + x2 y1 )
除法运算
z1 = z2
x1x2 + x22 +
y1 y2 y22

复变函数第一课

复变函数的应用
复变函数的应用，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
z0 2(cos

3
i sin

3
) 1 i 3
z1 2cos i sin 2 5 5 z 2 2 cos i sin 1 i 3 3 3
第一节复数及其代数运算
四、曲线的复数方程
已知曲线 F x, y 0, ：
z1 Arg z2 Argz1 Argz2 （指集合相等）
4. 共轭复数的运算
第一节复数及其代数运算
z1 z1 1 z1 z2 z1 z2 ； z1z2 z1 z2 ； z2 z2 2 z z
例3 求
4
1 i.
即
w0 2 cos i sin , 16 16 9 9 8 w1 2 cos i sin , 16 16
8
w1
y 1+i
2
8
2
w0 x
17 17 8 w2 2 cos i sin 16 16 25 25 w3 2 cos i sin 16 16
不包含z为负实轴及原点
1 3i 例1 设 z , 求 Re( z ), Im( z )与z z. i 1 i

复变函数第一章讲义全

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。

复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。

1545年意大利数学物理学家H Cardan ⋅在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)40x x -=的根。

他求出形式的根为5525(15)40--=。

但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。

因而复数在历史上长期不能为人们所承受。

“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。

直到十八世纪，J R D Alembert '⋅⋅，L Euler ⋅等人逐步说明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们缍承受并理解了复数。

复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy 、Weierstrass 和Riemann 三人的工作进行的。

到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科与数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。

第一章复数与复变函数教学重点：复变函数的极限和连续性教学难点：复平面上点集的n 个概念教学基本要求：1、了解复数定义与其几何意义，熟练掌握复数运算 2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续§1复数 1、复数域形如z x iy =+或z x yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，分别称为z 的实部和虚部，记作Re x z =，Im y z =；i =称为虚单位。

两个复数111z x iy =+，222z x iy =+，12z z =1212,x x y y⇔==. 虚部为零的复数可看作实数。

因此，全体实数是全体复数的一部分。

x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为x iy x iy +=-或x iy x iy -=+.复数四则运算规定为：121212()()z z x x i y y ±=+±+1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++ 1121212122222222222(0)z x x y y y x x y i z z x y x y +-=+≠++易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。

[理学]复变函数第一讲

复数及其代数运算
1)复数：形如 z=x+ i y的数称为复数，其中x,y是任意的实数，分别称为复数z的实部和虚部，记为
x Re(z), y Im(z)
两个复数相等，当且仅当其实部和虚部分别相等。 2)定义两个复数的加法、乘法运算如下：
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) z1z2 (x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 y1x2 )
第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第五章留数第六章保角（共形）映射及其应用第七章 Fourier, Laplace变换
第一章复数与复变函数
复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续
复数
y
z3 z2
| z3 z1 || z3 z2 || z2 z1 | 2. O z1
x
解得
3 3 1 3
z3
2

i 2
z3
3 2
3
1 2
3i
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 z n
z n zzz r n (cos n i sin n )
单复变函数的理论基础是在19世纪由柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼所奠定的。柯西的积分理论，魏尔斯特拉斯的无穷级数理论和黎曼的共形（保角）映射理论构成优美的单复变函数论。
复变函数论在数学领域的许多分支都有深刻的应用，已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论在实际应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国数学家茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题。

工程数学复变函数(第四版)第1讲

29
设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根, 如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如
3
记作 z = z , n为整数
n 1/ n
i 2π 3 −i 2π 3
1有个 ,1, e 三值
3 2π i 3 3
,e
这因 1 =1 是为 i 2π −i 2π e = e =1 及 e = e =1 在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n 为半径的圆的内接正n边形的n个顶点
θ +2kπ
n
= r (cos
1 n
θ + 2kπ
n
+ i sin
θ + 2kπ
n
)
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
2 2
9
§2 复数的几何表示 1. 复平面由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复数与复平面上的点成一一对应, 并且把"点z" 作为"数z"的同义词, 从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.
4
第一章复数与复变函数 §1 复数及代数运算
5
1. 复数的概念在实数范围, 方程 x2=−1 是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =−1 从而i是方程x2=−1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)

复变函数第一章

3、复数的模与辐角
模: 复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=x+yi所引向量oz). 向量的长度称为复数的模,定义为：
| z | x2 y2 0 即 | z |2 z z | z | 0 z 0
性质:
| z | Re z z ; | z | Im z z ;
F(1 (z z), 1 (z z)) 0
2
2i
三点z1, z2 , z3共线的充要条件是
z3 z1 t (t为非零实数) z2 z1
例11 试用复数表示圆的方程:
a(x2 y2 ) bx cy d 0
其中，a,b,c,d是实常数。
解：利用 zz x2 y2, z z 2x, z z 2yi
De Moivre公式
(cos i sin )n cos n i sin n
方根非零复数z的n次方根,是指满足n z的
复数的全体,记为n z
设z rei , ei 则 nein rei
从而 n r, n 2k
从而 n r , 2k

1
bz a bz a
例6 设 z1 , z2是两个复数，求证：
| z1 z2 |2 | z1 |2 | z2 |2 2 Re(z1z2 ),
证明：| z1 z2 |2 （z1 z2）(z1 z2 ) （z1 z2）(z1 z2）
z1z1 z2z2 z1z2 z1z2
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:

1 1
z z

复变函数第一讲

复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件

复变函数第一章1

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复变函数课件-复变函数1绪论

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复变函数第1讲1.1-1.3

复变函数第三版课件第一章

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