平面– 静荷载下的曲梁

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曲梁内力的计算与分析

∑ Ｊ
＋ ∑％
体系在右端有Ｍ作用下所产生的弯矩、矩＝１扭
和剪力。
由于在所取基本结构中每个单位力ｘ＝１｜
只对支点相临两跨的内力起作用，因此在任意支座ｎ的典型方程中，了ｄ。和ｄ，，除、＋外
系列由边界条件确定的线性方程组。即使对于最简单的单跨简支曲梁的情况，当采用富立叶级数求解时，鉴于各种变形和内力计算式的收敛速度不一致性，因而为了得到比较精确的解答，就要
图ｌ连续曲线梁的计算图式
图ｌ具有任意正负曲率的ｍ跨连续曲线为梁，梁上有竖向荷载Ｐ和Ｐ以及扭矩ｔＴ的作和
一
涉及谐数的取项问题，使工作趋于繁复，导致很大的计算困难，在此情况下，借助计算机的有限单元
法、限条元法才能得到满意的解答。有
分析曲线梁变形和内力的另一途径就是沿用研究杆件系统的结构力学方法。用此法直接计算曲线梁的内力和变形，不但简单明了，且能得到并精确的唯一解。特别是对于曲线梁的计算结构内力学方法也具有突出的优点。下面就来分析曲线连续梁的计算原理。我们以全部支点为抗扭简支支座的多跨连续梁来阐明用力法原理的分析方法。
维普资讯
２０．Ｏ．０２Ｎ１
天津市政设计
道路・桥梁
曲梁内力的计算与分析

静--定-平-面-刚--架PPT课件

FyA 60kN FyB 60kN
Fx 0 FxA 120kN
五、静定刚架的M图正误判别
① M图与荷载情况是否相符。 ② M图与结点性质、约束情况是否相符。 ③作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶
是否满足平衡条件。
×P
D
×B
C
×q
A
E
（a）
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
×C
× A （c）
B×
A
B
M
l ql 2 / 2 ql
l ql
ql
3ql 2 / 2
ql 2
A FQAB
B FQBA
FQBA 0, FQAB ql
FQAB ql
FQBA 0
FQ ql
ql
ql
§3-2 静定平面刚架
四、刚架内力图绘制
3.由做出的剪力图作轴力图做法:逐个杆作轴力图,利用结点的平衡条件,由已知的杆端剪力求杆端轴力,再由杆端轴力画轴力图.
注意:轴力图画在杆件哪一侧均可,必须注明符号和控制点竖标.
四、刚架内力图绘制
例：计算图示刚架，绘内力图 (1) 求水平支座反力；（2）用叠加法做弯矩图（3）由弯矩图做剪力图（4）利用结点平衡做轴力图
练习：做出的剪力图作轴力图
Fpa / 2 Fp a / 2
Fp a Fp
Fp / 2
Fp
A
静定平面刚架
§3-2 静定平面刚架
一、刚架分类及特点
1.刚架的分类
悬臂刚架
单体结构
静
简支刚架
定
刚
三铰刚架
架
复合刚架
三铰结构
刚架--具有刚结点的由直杆组成的结构。
主从结构

静荷载作用下变形仿真

结构静荷载作用下变形分析仿真
引言
结构静力学分析主要是根据力学原理研究结构在外力和其他外界因素作用下结构的内力和变形情况，及结构的强度、刚度、稳定性等，使其能够满足结构的正常使用状态和承载力极限状态。本章主要结合虚拟现实技术分别对多层框架结构和单层工业厂房（钢结构）进行了静态荷载作用下的受力分析和变形模拟。 “四简化”：建模、构件及连接方式、荷载和材料性质，为复杂结构模型变形的模拟提供了简化的计算方法。使用在工程设计计算中，简便易行且满足工程需要。
3.1.1 多层框架模型的建立与简化首先悬臂梁框架模型需建立梁框架，梁在变形模拟过程只发生水平位移，所以用box实体命令建模，输入键入点和梁的实际比例尺寸，按相应的连接方式放入正确位置。然后建水平钢度无限大的框架模型，以刚性楼板的形式来体现。
楼板平面内刚度无限大，平面外刚度为0 每块刚性楼板有三个自由度极大地减少了整体结构自由度数
轻型门式钢架模型与H型钢架模型
轻型门式钢架水平方向变形数据
变形模拟
H型钢架模型沉降和钢架柱端刚接侧移部分变形效果渲染图
3.2.2 桁架梁将VRML技术综合运用到一个简单桁架梁受静力后的分析当中，形象真实的模拟了其受竖向荷载下的变形过程。导入VR编辑器后，充分应用了 VRML中对场景的渲染技术，通过背景、纹理、声音、视点、光、雾等节点展现了结构所在的虚拟环境，同时应用造型、材质等节点建立了具有真实质感和观感的模型，并利用编辑各种传感器、插值器和script 等节点对结构受力后的变形过程进行了模拟。
D
k 1
m
jk
U u j
j 1
n
各层的位移计算结果
框架剪切变形模拟仿真图

大跨度钢筋混凝土平面曲梁分析与设计

Ｆｉｒｓｔａｎａｌｙｚｅｔｈｅｅｆｅｃｔｏｎｔｈｅｏｔｈｅｒｐｅｉｐｒｈｅｒａｌｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｉｆｈｅｃｔｕｒｖｅｄｂｅａｍｈａｓａｈｅｄｔｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｆｏｌｌｏｗｅｄｂｙｐａｒａｍｅｔｒｉｃｎａａｌｙｓｉｓｄｅｔｅｒｍｉｎｅａｎｏｐｔｉｍａｌＣｒｏｓｓ — ｓｅｃｉｏｔｎｏｆｃｕｒｖｅｄｂｅｍｉａｎｔｈｅｆｏｒｍｏｆａｂｏｘ — ｓｈａｐｅｄｃｒｏｓｓｓｅｃｔｉｏｎａｎｄｇｅｔａｎｏｐｉｔｍａｌｃｒｏｓｓ — ｓｅｃｔｉｏｎａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ．ｈｅｏｔｖｅｒａｌｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｈｅｓｔｔａｉｃｔｎｄｄａｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｏｖｅｒａｌｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃｎａａｃｈｉｅｖｅａｍｏｒｅｉｄｅａｌｓｔｒｅｓｓｓａｔｔｅｔｈｒｏｕｇｈｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｈｅｔｂｅａｍ
一
大跨度钢筋混凝土平面曲梁分析与设计
ＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＤｅｓｉｇｎｏｆｔｈｅＢｉｇＳｐａｎＲｅｉｎｆｏｒｃｅｄＣｏｎｃｒｅｔｅＰｌａｎｅＣｕｒｖｅｄ

方法论

方法论设计了一系列测试问题或算例来验证程序的不同单元和分析功能。

将SAP2000的结果与手算结果，例如手算结果、理论的或已出版的结果以及其他的结构/有限元程序，进行了比较。

在各个例子中给出了SAP2000与手算结果的对比。

为使SAP2000的结果真实有效，将这些测试算例在一个PC 平台运行。

使用Dell 电脑，Pentium III 处理器，512内存，Windows XP 操作系统。

接受准则按下面三种状态描述SAP2000验证算例与手算结果的比较关系。

¾ 精确的：对所有典型SAP2000输出结果的有效数字与手算结果的有效数字，SAP2000和手算结果没有差别。

¾ 可接受的：对力、弯矩和位移值，SAP2000结果与手算结果的差别在5%以内。

对内力和应力值，差别在10%以内。

对实验结果，SAP2000结果与手算结果的差别在25%以内。

¾ 不可接受的：对力、弯矩和位移值，SAP2000结果与手算结果的差别超过5%。

对内力和应力值，差别超过10%。

对实验结果，SAP2000结果与手算结果的差别超过25%。

一般按如下公式计算结果差别：差别百分比 =- 1SAP2000 结果手算结果100算例安排按算例中用到的结构单元类型，将所有算例分为六组。

表1定义了这六个组，显示了各组的编号系统，列出了各组的汇总表名称。

表 1: 算例问题分组组测试的结构单元算例编号汇总表1 框架1-001, 1-002, … , 1-xxx 表 2-12 壳2-001, 2-002, … , 2-xxx 表2-23 面3-001, 3-002, … , 3-xxx 表2-34 轴对称实体4-001, 4-002, … , 4-xxx 表2-45 实体5-001, 5-002, … , 5-xxx 表2-56 连接6-001, 6-002, … , 6-xxx 表2-6如表1所示，表2-1至2-6按六类总结了验证算例。

曲梁正应力公式推导-材料力学论文

曲梁正应力公式推导摘要:对直的杆件来说，正应力随离中性轴的距离呈线性变化，所以弯曲公式适应于等截面的直杆。

对于弯曲的杆件该假定不在正确，因此必须推导新的描述应力分布的公式。

该论文讨论曲梁，即具有弯曲的纵轴线杆件承受弯曲变形的情况。

一：变形几何关系前提假设：1.横截面不变并且有一个与外加力偶M 垂直的对称轴。

2.材料是均匀且各向同性，并且当受载时其行为是线弹性的。

3.受力偶作用时，横截面仍保持为截面。

4. 横截面自身平面内的任何扭曲都忽略不计。

例如：取出梁的微段为一个隔离体，应力作用时的材料变形，而两横截面将转过一个δθ，那么纤维条的总长度变为2δθy ，求得纤维b-b 的应变：2/[()]y d y εδθθρ=+定义2δθy/d θ=B对于任意的微元均是常数，于是/()B y y ερ=⋅+二：物理关系由胡克定律：yE EB y σερ=⋅=⋅+ 故：()y EB yσρ+=三：静力关系横截面上的内力应与截面左侧的外力平衡，在纯弯曲的情况下，截面左侧的外力对Z 轴的力偶Me因此FN=0N A F dA σ==⎰即：0N A y F EB dA y ρ==+⎰0A A d A y ρρ-=+⎰1AA dA y ρρ=+⎰ 2A Ay M ydA EB dA y σρ==+⎰⎰ 222A y EB dA y ρρρ-+=+⎰2[()]A EB y dA y ρρρ=-++⎰2[()]A A EB y dA dA y ρρρ=-++⎰⎰ ()z A A EB S ρρ=-+ 即：()z M y S y σρ+=()yz M S y σρ=+dA bdy =Sz bha =2()Mybha y σρ=+中性轴位置：0A A dA y ρρ-=+⎰dA bdy =A bh =22h a h a b bh dA y b ρ+-+=+⎰(1)(1)21h h hh e e a e ρρρρ--+=- 21h hh e ρρ=+--参考文献：R.C.HIbbeler《Machanics of Materials》。

第七章平面弯曲杆件

二、梁的切应力和强度
1、矩形截面梁
假设：（1）横截面上各点处的切应力均平行于y轴；（2）距中性轴等远处的切应力大小相等。将
FS S z* I zb
h bh3 y1 ，dA b d，I 2 12

2 h 2 y 2
四、弯矩、剪力与荷载集度间的关系
1、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系
（1）假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。
y
A
（2）微分关系推导：
M
dx
F1
B
x
M(x) FS(x)
O
M(x)+dM(x) FS(x)+dFS(x)
dx Fy 0 ：FS ( x) FS ( x) dFS ( x) q( x) dx 0
第七章平面弯曲杆件
§7-1 截面的几何性质
§7-2 平面弯曲杆件的内力 §7-3 弯曲应力和强度 §7-4 拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度
§7-2
平面弯曲杆件的内力
一、弯曲的概念和梁的计算简图
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。 2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。
②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁 3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。

SAP2000 软件校核及算例

自重计算截面面积线性变量惯性弯矩线性、二次和三次变量截面扭转常数线性变量 ¾ 自动框架细分 ¾ 框架单元的端部释放，包含：轴向释放剪力释放弯矩释放 ¾ 相关框架静力分析
¾ 框架的半刚性端部释放，包含：剪力半刚性弯矩半刚性
¾ 框架对象重力荷载的应用
采用 Roark and Young 1975 一书表 3 中 96 页的 1a 项和 98 页的 2a 项的梁挠度公式分别计算。
一般按如下公式计算结果差别：
SAP2000 结果
差别百分比 = 100
手算结果
-1
方法论 - 1
COMPUTERS & STRUCTURES INC.
R
Software Verification
PROGRAM NAME: REVISION NO.:
SAP2000 2
算例安排按算例中用到的结构单元类型，将所有算例分为六组。表 1 定义了这六个组，显示了各组的编号系统，列出了各组的汇总表名称。
结论框架面单元 – 壳、面和轴对称实体实体连接
索引
内容 - 5
COMPUTERS & STRUCTURES INC.
R
Software Verification
PROGRAM NAME: REVISION NO.:
SAP2000 2
介绍
本文档提供用于校验 SAP2000 程序不同功能的例题。这些例题可以证明程序在各个方面应用，符合 10CFR50 以及其他国际质量认证标准，如 ISO9000 标准的要求。
使用者必须明确了解程序的假定并必须独立地核查结果。
COMPUTERS & STRUCTURES INC.

材料力学第四章平面弯曲讲解

FN=∫
AσdA =
E ρ
∫
A
ydA
=0
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴
M
z
M y
zdA
A
的面积矩为零，
中性轴过形心。
dA y z σdA

E

A
yzdA
0
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
Mz=∫ AσdA·y
=
E∫ ρ
A
y2dA
=
E ρ
Iz
1 ρ
=
Mz E Iz
中性层曲率公式

50103 186.56 106
972103 109 1012 60103
Pa
4.34MPa
2.腹板上切应力分布

FQ
S
* z
Izd
抛物线分布
腹板和翼缘交界处：
S
* z1

70
60

220

924
103
mm
3
1

FQ
S
* z1
Izd
4.13MPa
例一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并写出应力的表达式。
q
2 h/4 4 3
l
l/4
ql
FQ 2 +
ql 4
ql 4
- ql
2
ql2
ql2
32
32
-
-
3ql2
+
32
z
b
例将直径d=1mm的钢丝绕在直径D=2m的卷筒上，试求钢丝中产生的最大正应力。已知钢丝的弹性模量E=200GPa。

材料力学第四章平面弯曲1

RAx
横截面上的内力如图。
RA
QD
x
N
MD
X0
N RAx 0
Y 0
QDRAqx8020 x
MD(F)0
M DR A xqx/2 80x10x2
13
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
3
§4. 2梁的简化
1 支座的几种基本形式固定铰支座桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。
6
1 支座的几种基本形式固定铰支座可动铰支座
1个约束，2 个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等
7
固定端约束
FAx FAy
游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。
2 载荷的简化
集中力
集中力偶
(y)dd y
d
即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截
面高度呈线性分布。
62
2 物理关系
因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极
限时，由胡克定律有:
E
E y
即：纯弯曲时横截面上任一点的正
应力与它到中性轴的距离y成正比。
也即，正应力沿截面高度呈线性分布。
3 静力关系
63
3 静力关系
对横截面上的内力系，有:
方程，并作剪力图和
弯矩图。
解：(1) 求支反力
RA
Pb l
,
RB
Pa l
(2) 求剪力方程和弯矩方程

实体单元–承受静荷载的曲梁

SAP2000PROGRAM NAME:2REVISION NO.:算例 5-003实体单元–承受静荷载的曲梁问题描述此例中，一个用实体单元模拟的悬臂梁，承受在端部的面内和面外方向的单位力，分别在Y和Z方向。

面内和面外的荷载在不同的工况中施加。

端部在荷载方向的位移和手算结果进行了比较。

使用MacNeal and Harder 1985中的几何，属性和荷载。

悬臂梁被弯曲成90° 的拱。

其内半径为4.12-in，外半径为4.32-in。

这样其为0.2-in 宽且在在中线约6.63-in 长。

梁在Y方向为0.1-in 厚。

本例考虑了不同剖分细度的三个模型。

模型A使用6X1X1的剖分方法将曲梁剖分为六个实体对象，每个实体对象是15° 的拱。

模型A使用90X1X1的剖分方法将曲梁剖分为90个实体对象，每个实体对象是1° 的拱。

模型A使用90X4X8的剖分方法将曲梁剖分为2880个实体对象，每个实体对象是1° 的拱。

SAP2000PROGRAM NAME:2REVISION NO.:几何特性和属性荷载下表定义了施加于模型的面内和面外的荷载。

荷载工况荷载面内F y = +0.25 lb 在每个顶部的四个角点面外F z = +0.25 lb 在每个顶部的四个角点所测试的SAP2000技术特性¾使用独立弯曲模型选项的实体对象的弯曲。

¾节点力荷载PROGRAM NAME: SAP2000REVISION NO.: 2结果比较独立手算解使用Cook 和Young 1985 第244页描述的单位荷载方法。

手算解还在MacNeal 和 Harder 1985中发表。

独立的弯曲模型荷载工况和类型模型和剖分输出参数SAP2000手算解误差 A - 6x1x10.0768 -13% B - 90x1x1 0.0885 0% 面内荷载工况C - 90x4x8 U y , in 顶部四个角点的平均值0.0884 0.0886 0% A - 6x1x10.4062 -19% B - 90x1x1 0.4773 -5% 面外荷载工况C - 90x4x8U z , in 顶部四个角点的平均值0.49450.5004 -1%计算模型文件: Example 5-003a, Example 5-003b, Example 5-003c结论只要剖分充分，SAP2000面内加载的结果和手算解的比较是可以接受的。

【CN109829242A】平面柔顺曲梁机构及其设计方法【专利】

(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201910130817.3(22)申请日 2019.02.22(71)申请人大连交通大学地址 116000 辽宁省大连市沙河口区黄河路794号(72)发明人林盛　刘丛扬　(74)专利代理机构大连优路智权专利代理事务所(普通合伙) 21249代理人宋春昕　刘国萃(51)Int.Cl.G06F 17/50(2006.01)G06T 17/20(2006.01)(54)发明名称平面柔顺曲梁机构及其设计方法(57)摘要本发明涉及结构设计技术领域，具体公开了一种平面柔顺曲梁机构及其设计方法，所述设计方法包括对整体结构进行拟设计，布置平面柔顺曲梁单元的位置，利用等几何法建立控制点坐标与静力学性能指标的关系，按自由度进行分类，得到具有静力学性能的平面柔顺曲梁构型库，从所述平面柔顺曲梁构型库中选出符合自由度要求且静力学性能最优的平面柔顺曲梁单元，将选出的所述平面柔顺曲梁单元组装成平面柔顺曲梁机构。

本发明解决了现有技术中柔顺曲梁的设计方法划分单元工作量大以及效率和精度都具有局限性的问题。

权利要求书1页说明书4页附图3页CN 109829242 A 2019.05.31C N 109829242A1.一种平面柔顺曲梁机构的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：S1.对整体结构进行拟设计，布置平面柔顺曲梁单元的位置；S2.利用等几何法建立控制点坐标与静力学性能指标的关系，按自由度进行分类，得到具有静力学性能的平面柔顺曲梁构型库；S3.从所述平面柔顺曲梁构型库中选出符合自由度要求且静力学性能最优的平面柔顺曲梁单元；S4.将选出的所述平面柔顺曲梁单元组装成平面柔顺曲梁机构。

2.根据权利要求1所述的平面柔顺曲梁机构的设计方法，其特征在于，所述步骤S1中，拟设计的整体结构为在平面上X与Y方向上的平面三自由度柔顺曲梁机构。

荷载结构分析之平面弹性地基梁法

荷载结构分析之平面弹性地基梁法平面弹性地基梁法是一种常用于荷载结构分析的方法，特别适用于考虑地基效应的建筑和土木工程。

本文将介绍平面弹性地基梁法的基本原理、计算步骤以及一些应用上的注意事项。

平面弹性地基梁法基本原理：平面弹性地基梁法是一种近似的弯曲理论，假设结构与地基之间是完全粘结的，结构和地基以及荷载之间的相互作用通过弹性梁模型来描述。

该方法适用于对结构进行静态荷载分析和设计，可以考虑复杂的荷载情况，如集中荷载、均布荷载、变载荷等。

计算步骤：1.建立结构的几何形状和荷载情况，在结构上标出边界条件、支座和荷载位置等。

2.将结构分解为多段小梁，根据跨中荷载情况，将梁截面划分为多个小段。

3.假设地基的表面是刚性的，即结构和地基以及荷载之间的相互作用通过地基弹簧系统来模拟。

4.采用弯矩影响线法或力影响线法求解每个小段梁的弯矩、切线力和挠度。

5.根据弯矩、切线力和挠度计算出每个小段梁的内力和变形。

6.根据梁的几何形状和材料性质，计算每个小段梁的应力、应变和位移。

7.将所有小段梁的内力、变形、应力、应变和位移进行合并，得到整个结构的内力、变形、应力、应变和位移。

8.根据所需的设计验算准则，对结构的强度和刚度进行验算，确定结构是否满足设计要求。

应用注意事项：1.在进行分析计算时，应根据具体问题选择合适的假设和简化模型，以减少计算的复杂性。

2.在对结构进行划分时，应合理选择小段梁的长度和数量，以保证计算的精度。

3.在选择地基的弹性特性时，应结合地基的实际情况和试验数据，进行合理的估计或测定。

4.在进行弯矩影响线法或力影响线法求解时，应注意准确地绘制影响线，以得到准确的结果。

5.在计算结构的内力、变形、应力、应变和位移时，应采用合适的计算方法和数值技巧，以保证计算的准确性。

6.在进行设计验算时，应根据结构的实际情况和设计要求，选择合适的设计验算准则和安全系数，以保证结构的安全性和可靠性。

总结：平面弹性地基梁法是一种常用于荷载结构分析的方法，适用于考虑地基效应的建筑和土木工程。

平面曲梁面内自由振动分析的自适应有限元法

第 26 卷增刊 II 2009 年 12 月
Vol.26 Sup.II Dec. 2009
工
程
力
学 126
ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2009)Sup.II-0126-07
平面曲梁面内自由振动分析的自适应有限元法
*
袁
驷，叶康生，王
珂
(清华大学土木工程系，结构工程与振动教育部重点实验室，北京 100084)
———————————————
收稿日期：2009-05-12 基金项目：长江学者和创新团队发展计划项目(IRT00736)；国家自然科学基金项目(50278046，50678093) 作者简介：*袁驷(1953―)，男，北京人，教授，博士，副校长，中国土木工程学会副理事长，从事结构工程研究(E-mail: yuans@)；叶康生(1972―)，男，江苏人，副教授，博士，从事结构工程研究(E-mail: yeks@)；王珂(1981―)，男，山东人，博士生，从事结构工程研究(E-mail: ke-wang03@).
* *
(7)
= ψ (η )sin(ω t + α ) 。 ψ (3) 式中 u 、 w 、 ψ 为位移振幅函数。将式(1)、式(3)
其中：J 0 是所有低于 ω = λ 的单元固端频率 ωF 的数目总和； s{ ⋅ } 代表负号的计数； s{K * (λ * )} 代
128
工
程
力
学
表用普通 Gauss 消元法将 K * (λ * ) 消成上三角阵
K (λ ) (或 LDL 分解中的对角阵 D )后，主对角
* T
*∆
线上负元素的个数。基于该计数算法，可设计出若干求解结构特征值问题的方法，其中最简单的方法是二分法，其步骤大致如下。设欲求结构的第 k 阶特征值 λk ，只需不断调整 λl 和 λu ，使得：

均布载荷的平面曲杆怎么求得弯曲内力

均布载荷的平面曲杆怎么求得弯曲内力弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。

梁Beam——以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。

弯曲bending平面弯曲plane bending7.1.2梁的计算简图载荷：（1）集中力concentrated loads（2）集中力偶force-couple（3）分布载荷distributed loads7.1.3梁的类型(1)简支梁simple supported beam 上图(2)外伸梁overhanging beam(3)悬臂梁cantilever beam7.2 梁弯曲时的内力7.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力shearing force和弯矩bending moment问题：任截面处有何内力？该内力正负如何规定？例7－1 图示的悬臂梁AB ，长为l ，受均布载荷q 的作用，求梁各横截面上的内力。

求内力的方法——截面法截面法的核心——截开、代替、平衡内力与外力平衡解：为了显示任一横截面上的内力，假想在距梁的左端为x处沿m-m 截面将梁切开。

梁发生弯曲变形时，横截面上同时存在着两种内力。

剪力——作用线切于截面、通过截面形心并在纵向对称面内。

弯矩——位于纵向对称面内。

剪切弯曲——横截面上既有剪力又有弯矩的弯曲。

纯弯曲——梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。

工程上一般梁（跨度L 与横截面高度h 之比L/h ＞5），其剪力对强度和刚度的影响很小，可忽略不计，故只需考虑弯矩的影响而近似地作为纯弯曲处理。

规定：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯曲成下凹上凸形状时，弯矩为负。

7.2.2弯矩图bending moment diagrams弯矩图：以与梁轴线平行的坐标x表示横截面位置，纵坐标y按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小。

例7－2 试作出例7－1中悬臂梁的弯矩图。

解（1）建立弯矩方程由例7－1知弯矩方程为（2）画弯矩图弯矩方程为一元二次方程，其图象为抛物线。

曲梁弹·粘塑性分析的开题报告

曲梁弹·粘塑性分析的开题报告开题报告：标题：曲梁弹·粘塑性分析的研究研究背景：曲梁结构作为一种常见的工程结构，经常应用于桥梁、大型露天工程等领域。

在实际工程中，曲梁结构可能遭受外部荷载，如风荷载、温度荷载、交通荷载等，这些荷载会对曲梁结构产生变形和应力，甚至会导致结构破坏。

因此，对曲梁结构进行力学分析，探究其在荷载作用下的变形和应力变化规律，具有重要的工程意义。

研究内容：本研究将主要探讨曲梁结构在荷载作用下的弹性、粘性和塑性变形特性。

首先，将建立曲梁结构的力学模型，并基于有限元分析方法，分析曲梁结构的初始受力状态和动态应变。

然后，将考虑材料的粘塑性特性，并探究这种特性对曲梁结构的变形和破坏的影响。

最后，将通过对一些工程实例进行模拟计算，并分析曲梁结构在不同荷载作用下的力学响应，为工程实践提供理论指导和参考。

研究意义：本研究旨在深入探究曲梁结构在外部荷载作用下的力学特性，为工程实践提供具有理论指导意义的参考。

同时，通过建立曲梁结构的力学模型并基于有限元分析方法计算，将充分体现现代计算机应用技术的实际价值。

因此，本研究具有一定的工程和理论价值。

研究方法：本研究将通过如下步骤进行：1.建立曲梁结构的力学模型，并采用有限元分析方法计算结构的初始受力状态和动态应变。

2.介绍材料的粘塑性特性，并将其考虑到曲梁结构的力学模型中，以探究这种特性对曲梁结构的变形和破坏的影响。

3.基于模拟计算方法，对一些典型工程实例进行模拟计算，并分析曲梁结构在不同荷载作用下的力学响应。

4.总结研究结果，深入探讨曲梁结构在实际工程中的应用及其发展方向。

研究进展：目前，本研究已完成曲梁结构的力学模型建立，并采用有限元分析方法计算了结构的初始受力状态和动态应变。

进一步，正在研究材料的粘塑性特性，并将其应用到曲梁结构的力学模型中进行分析。

此外，对于一些典型工程实例，正在进行模拟计算，并分析曲梁结构在不同荷载作用下的力学响应。

平面曲梁有限元分析g

平面曲梁有限元分析高原，贺国京，周文伟（中南大学土木建筑学院，湖南长沙 410075）摘要基于文的理论，采用卡尔丹角的方法,建立了平面曲梁单元的应变—位移关系，导出相应的单元刚度矩阵。

数值算例表明，本文建立的平面曲梁单元计算精度明显高于以直梁模拟曲梁的结果。

关键词平面曲梁单元，应变—位移关系，刚度矩阵，有限元法THE PLANAR CURVED BEAM IN FINITE ELEMENT ANALYSISGaoYuan HeGuojing ZhouWenweiAbstract The paper has derived a curvature-displacement relationship for planar curved beam elements and the stiffness matrixes using the method of Cardan angle that have been derived in the article. The numerical example shows that the precision of result calculating by the method of this paper is higher than by the method in which curved beam simulated by straight beam.Keyword planar curved beam elements curvature-displacement relationshipstiffness matrixes finite element analysis随着现代施工技术的进步和人们对结构美观要求的提高，使曲梁结构在工程中得到广泛运用，已成为城市建设中一道独特的风景。

曲线梁桥已是桥梁工程中的一种主要桥型，高等级公路的设计要求中小桥梁的平面布置服从公路线形，因此曲线梁桥是实现各方向交通连接的必要手段；在公路及城市道路的立交桥工程中，曲线梁桥更是实现各方面交通连接的必要手段；高大桥梁的引桥，往往采用曲线梁桥。

梁弯曲时的正应力知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力

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工程力学第八章平面弯曲的应力与强度计算
提高梁抗弯能力的措施 1、采用变截面梁在工程实际中不少构件都采用了变截面梁的形式 1）在厂房建筑中经常采用的鱼腹梁。 2）桥式起重机的大梁 3）汽车以及其他车辆上经常使用的叠板弹簧等等 2、选用合理截面可以用比值Wz /A来衡量截面的经济程度。这个比值愈大，所采用的截面愈经济合理。
h 2
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工程力学第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力强度条件
max
M max WZ
对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性轴不是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立强度条件
max
max
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图（8.1)
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工程力学第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力的计算公式： σ=My/Iz。其中：Iz为截面对z轴的惯性矩最大正应力公式
max
M ymax Iz
max
M Wz
惯性矩计算
bh3 I z y 2 dA h y 2 (bdy) A 2 12 Iz I z bh2 Wz h ymax 2 6
工程力学第八章平面弯曲的应力与强度计算
梁弯曲时的正应力
知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力平衡关系
4、强度条件 5、提高梁抗弯能力的措施
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工程力学第八章平面弯曲的应力与强度计算
平截面规律：纯弯曲梁变形后名横截面仍保持为一平面。这个变
形规律称为。
中性层：由于变形的连续性，在伸长纤维与缩短纤维之间，必然存