高考数学一轮复习 第十四章 平面解析几何初步 14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系讲义

§14.3直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读分析解读直线与圆的位置关系是江苏高考重点考查的内容,无论是填空题还是解答题都是中等难度,着重考查直线与圆相切或相交的情况.五年高考考点一直线与圆的位置关系1.(2016课标全国Ⅱ改编,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= .答案-2.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.答案4π3.(2016课标全国Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .答案 44.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=25.(2015四川改编,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是.答案(2,4)6.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②-=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)①②③7.(2014江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.答案8.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .答案 29.(2014江西改编,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为.答案π10.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.答案[-1,1]11.(2017课标全国Ⅲ文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现A C⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.(2)BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.联立又+mx2-2=0,可得所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.12.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为+=+===3x0,所以+=.由(*)解得t2<,又t2≥0,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为+y2=.(3)由(2)知,曲线C是在区间上的一段圆弧.如图,D,E,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令判别式Δ=0,解得:k=±,由求根公式解得交点的横坐标为x H,I=∈,由图可知:要使直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[k DG,k EG]∪{k GH,k GI},即k∈∪.教师用书专用(13—14)13.(2013山东理改编,9,5分)过点P(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为.答案2x+y-3=014.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.考点二圆与圆的位置关系1.(2013重庆理改编,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为.答案5-42.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解析(1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意得,=1,解得k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上. 由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则2-1≤|CD|≤2+1,即1≤≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一直线与圆的位置关系1.(2018江苏姜堰中学高三期中)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-6x+5=0,圆心为C,点A,B在圆C上,且AB=2,则△ABC的面积S△ABC= .答案2.(2018江苏如东中学高三学情检测)若圆C:x2+y2+2x+2y-7=0关于直线ax+by+4=0对称,由点P(a,b)向圆C作切线,切点为A,则线段PA的最小值为.答案 33.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知P是圆O:x2+y2=4上的动点,点A(4,0),若直线y=kx+1上总存在点Q,使点Q恰为线段AP的中点,则实数k的取值范围是.答案4.(2017江苏海头高级中学质检,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为.答案 25.(2017江苏南京学情调研,9)在平面直角坐标系xOy中,若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=16相交于A,B两点,且△ABC为直角三角形,则实数a的值是.答案-16.(苏教必2,二,15,变式)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a的值为.答案4±7.(2017常州一中质量检测,10)已知点P为圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上的动点,点P到直线l的最大距离为6.若点A在直线l上,过A作圆C的切线AB,切点为B,则|AB|的最小值是.答案2考点二圆与圆的位置关系8.(2018江苏海安中学阶段测试)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=1,点P(x0,y0)是直线l:3x+2y-4=0上的动点,若圆C上总存在两个不同的点A,B,使得+=,则x0的取值范围是.答案9.(2018江苏淮安、宿迁期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(1,0)均在圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2外,且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP,则半径r的值为.答案 410.(苏教必2,二,2,5,变式)若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)内切,则ab的最大值为.答案 211.(2017江苏淮阴中学第一学期期中,13)如图,已知点A为圆O:x2+y2=9与圆C:(x-5)2+y2=16在第一象限内的交点,过点A的直线l被圆O和圆C所截得的弦分别为NA,MA(M,N不重合),若|NA|=|MA|,则直线l的斜率是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:25分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2018江苏天一中学调研)已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD面积的最大值为.答案 52.(2017江苏泰州中学模拟,11)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)及圆上的点A(0,-r),过点A的直线l交圆于另一点B,交x轴于点C,若OC=BC,则直线的斜率为.答案±3.(2017江苏南通、扬州、泰州三模,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-2),点B(1,-1),P为圆x2+y2=2上一动点,则的最大值是.答案 2二、解答题(共30分)4.(2018江苏海安高级中学阶段测试)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l:x+y-a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.(1)若a=8,切点T(,-1),求直线AP的方程;(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.解析(1)易知A(-2,0).由题意,得直线PT切圆O于点T,则OT⊥PT,又切点T的坐标为(,-1),所以k OT=-,k PT=-=,故直线PT的方程为y+1=(x-),即x-y-4=0.由解得即P(2,2),易知A(-2,0),所以直线AP的斜率k==,故直线AP的方程为y=(x+2),即x-(+1)y+2=0.(2)设P(x,y),由PA=2PT,可得(x+2)2+y2=4(x2+y2-4),即3x2+3y2-4x-20=0,∴满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆,且方程为+y2=,因为点P在直线l:x+y-a=0上,所以圆心到直线l的距离d=≤,即≤,解得≤a≤.5.(2017江苏扬州期中,17)已知圆M:x2+y2-2x+a=0.(1)若a=-8,过点P(4,5)作圆M的切线,求该切线方程;(2)若AB为圆M的任意一条直径,且·=-6(其中O为坐标原点),求圆M的半径.解析(1)若a=-8,则圆M:(x-1)2+y2=9,圆心M(1,0),半径为3.若切线斜率不存在,圆心M到直线x=4的距离为3,所以直线x=4为圆M的一条切线;若切线斜率存在,设切线方程为y-5=k(x-4),化简为kx-y-4k+5=0,则圆心到直线的距离d==3,解得:k=. 所以切线方程为x=4或8x-15y+43=0.(2)圆M的方程可化为(x-1)2+y2=1-a,∴圆心M(1,0),圆的半径r=(a<1),∴OM=1,因为AB为圆M的任意一条直径,所以=-,且||=||=r,所以·=(+)·(+)=(-)·(+)=-=1-r2,又因为·=-6,所以1-r2=-6,解得r=,所以圆M的半径为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法1.(2016江苏连云港期中)已知方程x2+-=0有两个不等实根a和b,那么过点A(a,a2),B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是.答案相切方法2 直线与圆、圆与圆位置关系的应用2.(2017苏锡常镇四市教学情况调研(一),10)在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B两点,其中A点在第一象限内,且=2,则直线l的方程为.答案y=x-1方法3 解决与圆有关的切线和弦长问题的方法3.已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.(1)试证明:无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点;(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.解析(1)证明:由消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,因为Δ=(4k-2)2+28(k2+1)>0,所以无论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.(2)设直线与圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则直线l被圆C截得的弦长AB=|x1-x2|=2=2,令t=,则tk2-4k+(t-3)=0,当t=0时,k=-,当t≠0时,因为k∈R,所以Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,故t=的最大值为4,此时AB最小,最小值为2.即直线l被圆C截得的最短弦长为2.4.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点M的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.解析(1)由题知圆心为(1,2),半径r=2,当过点M的直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,直线x=3与圆相切.当过点M的直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知=2,解得k=.∴方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)由题意有=2,解得a=0或a=.(3)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为,∴+=4,解得a=-.D组2016—2018年模拟·突破题组1.(2017南通第三次调研考试)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,若圆C2上存在一点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点分别为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是.答案[1,3+2]2.(2018江苏如东高级中学检测)已知圆O:x2+y2=4.(1)直线l1:x+y-2=0与圆O相交于A,B两点,求弦AB的长度;(2)如图,设M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x轴的对称点为M2,如果直线PM1,PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n),问m·n是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.解析(1)由于圆心(0,0)到直线l1:x+y-2=0的距离d==,圆的半径r=2,所以|AB|=2=2.(2)由于M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,M,M1关于原点对称,M,M2关于x轴对称,则M1(-x1,-y1),M2(x1,-y1),且+=4,+=4.直线PM1的方程为=,令x=0,得y=m=.直线PM2的方程为=,令x=0,得y=n=.m·n===4.显然mn为定值,且定值为4.3.(2017江苏丹阳高级中学创新班练习)定义直线关于圆的圆心距单位λ:圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有:当直线与圆相交时,圆心距单位λ小于1;当直线与圆相切时,圆心距单位λ等于1;当直线与圆相离时,圆心距单位λ大于1.(1)设圆C0:x2+y2=1,求过点P(2,0),且关于圆C0的圆心距单位λ=的直线方程;(2)若圆C与x轴相切于点A(3,0),且直线y=x关于圆C的圆心距单位λ=,求圆C的方程.解析(1)由题意可得出圆C0的圆心到过点P(2,0)的直线的距离为,易得所求直线的方程为y=±(x-2). (2)由题意可设所求圆的方程为(x-3)2+(y-b)2=b2,因为直线y=x关于圆C的圆心距单位λ=,所以圆心到直线的距离为|b|,即|b|=⇒b=1或-3,所以所求圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=1或(x-3)2+(y+3)2=9.。