4.3 公式法(第2课时)

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完全平方公式法因式分解

(2014 2013)2
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。

4.3.2公式法

5．把下列多项式因式分解： (1)－3x2－12＋12x； (2)3ax2＋6axy＋3ay2； (3)4(x＋y)2－20(x＋y)＋25. 解： (1)原式＝－3(x2＋4－4x)＝－3(x－2)2； (2)原式＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2； (3)原式＝[2(x＋y)－5]2＝(2x＋2y－5)2.
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
3．把代数式 x3－4x2＋4x 因式分解，结果正确的是( D ) A．x(x2－4x＋4) B．x(x－4)2 C．x(x＋2)(x－2) D．x(x－2)2 【解析】原式＝x(x2－4x＋4)＝x(x－2)2，故选 D.
4．因式分解： (1) x2－6x＋9＝___(_x_－___3_)_2_. (2) 4a2－4a＋1＝___(2__a_－___1_)_2. (3) 2a2－4a＋2＝___2_(_a_－___1_)_2_. (4) 2x2－8xy＋8y2＝___2__(x__－__2__y_)_2. (5) 3ax2－6axy＋3ay2＝___3_a_(_x_－___y_)_2. (6) x2y－2xy2＋y3＝___y_(_x_－___y_)_2_.
A．x－1
B．x＋1
C．x2－1
D．(x－1)2
【解析】因为 mx2－m＝m(x2－1)＝m(x－1)(x＋1), x2－2x＋1＝(x－1)2，所源自以公因式为 x－1.故选 A.
8．已知 x2＋y2＋16x－4y＋68＝0，则 x＋y＝__－___6_.
【解析】由于 x2＋y2＋16x－4y＋68＝0，所以(x＋8)2＋(y－2)2＝0. 由于(x＋8)2≥0，(y－2)2≥0，所以 x＋8＝0，y－2＝0，即 x＝－8，y＝2，所以 x＋y＝－8＋2＝－6.

八年级数学下册第4章因式分解4.3 公式法第2课时用完全平方公式分解因式习

(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；＝(x2＋16y2)2－(8xy)2 ＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy) ＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a3－a＋2b－2a2b；＝a(a2－1)＋2b(1－a2) ＝(a－2b)(a＋1)(a－1)．
(4)【2019·齐齐哈尔】a2＋1－2a＋4(a－1)．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋ 12b－61，c是△ABC中最短边的长(三边长各不相等)，且c为整数，那么c可能是哪几个数？
解：∵a2＋b2＝10a＋12b－61， ∴(a－5)2＋(b－6)2＝0， ∴a＝5，b＝6，∴1＜c＜11. ∵c 是△ABC 中最短边的长，且 c 为整数，∴c 可能是 2，3，4.
8．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab， ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( ) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2
【点拨】从图形的特征入手，利用面积公式求解．【答案】B
9．【2019·哈尔滨】把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式的结果是_a_(_a_－__3_b_)2___．
题．相信你也能很好地解决下面两个问题．请写出你的解题过程．
ห้องสมุดไป่ตู้
解决问题： (1)若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；解：∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0， ∴x2－4xy＋4y2＋y2＋2y＋1＝0， ∴(x－2y)2＋(y＋1)2＝0，∴x－2y＝0，y＋1＝0，解得 x＝－2，y＝－1，故 xy＝(－2)－1＝－12.
10．【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( C ) A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2 【点拨】8a3－8a2＋2a＝2a(4a2－4a＋1)＝2a(2a －1)2.故选C.

4.3公式法(2)9张)精美课件

解：（3）原式＝(y2－4y＋4)2＝(y－2)4 解：（4）原式＝(xy＋1)2(xy－1)2
20．(10分)计算： (1)3×192＋6×19×21＋3×212；解：4 800 (2)2022＋202×196＋982.
解：90 000
北师 · 数学
【综合运用】
21．(10 分) 若△ ABC的三边是 a， b，c ，且满足 a2 ＋ b2＋ c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
北师 · 数学
一、选择题(每小题4分，共12分) 12．(2014· 安徽)下列四个多项式中，能因式分解的是( B ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 13．若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是( B ) A．8 B．16 C．2 D．4 14．因式分解(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是(D ) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2
北师 · 数学
利用完全平方公式计算 10．(8分)(1)8002－1 600×798＋7982；
解：4
(2)2×1012＋2×101×98＋2×492. 解：45 000 11．(5分)试证明：无论x，y取何值， x2－4x＋y2－6y＋14不小于1. 证明：原式＝(x2－4x＋4)＋(y2－6y＋9)＋1 ＝(x－2)2＋(y－3)2＋1， ∵(x－2)2≥0，(y－3)2≥0， ∴无论x，y为何值，它总大于或等于
北师 · 数学
4.3 公式法(第2课时) 得分________ 卷后分________
评价________
1．形如的式子
a2±2ab＋b2 a2＋2ab＋b2
称为完全平方式．
2．逆用乘法公式(a＋b)2＝ (a－b)2＝ a2－2ab＋b2

八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第二课时：用完全平方公式分解因式》课件

6 【中考·珠海】填空：x2＋10x＋___2_5__＝(x＋ ___5___)2.
7 【2017·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝___±__1_0__.
知识点 2 用完全平方公式分解因式
知2－导
用公式法正确分解因式关键是什么？
从项数看：都是有3项
熟知公式特征！
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方, 另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
容易忽视②⑤，注意②提出 1 ，⑤提出3以后 2
就能利用完全平方公式分解因式．
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块对应习题！
A．b<c<a
B．a<c<b
C．b<a<c
D．c<b<a
知3－练
4 若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为__x_2_＋__x__．
1 知识小结
完全平方公式法：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
（来自《完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
知2－练
3 (2016·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正
确的是( A )
A．(x－3)2
B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
知1－导
a2 2ab b2 a2 2ab b2
我们把以上两个式子叫做完全平方式 . 两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项” 的积的两倍
知1－讲

4.3 公式法第二课时

4.3 公式法第二课时一、学习准备：1、分解因式：492172+-x x2、填空：（1）=+2)(b a ；（2）2)(b a -= ；二、学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；三、自学提示：活动一阅读课本57页例3上面部分，并回答问题或填空：(1) 如果一个多项式的各项不具备相同的因式，我们可以运用平方差公式进行分解因式，我们还学过其它的公式吗？哪个公式还可以进行分解因式？ 2、结合预习导学2，完成下列填空（1）222b ab a +- = ；（2）222b ab a ++= ； 3、乘法公式2)(b a ±= 。

4、形如222b ab a ++与222b ab a +-的式子称为完全平方式．把乘法公式反过来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做。

活动二观察222bab a +-；2244b ab a +-；25102++x x ,找出它们的共同特征。

然后讨论：1、什么样的多项式才可以用完全平方公式分解因式呢？2、下列各式是不是完全平方式？（1）a 2－4a ＋4；（2）x 2＋4x ＋4y 2；（3）4a 2＋2ab ＋41b 2；（4）22b ab a +-；（5）962--x x ；（6）25.02++a a ． 3、将下列各式分解因式。

（1）49142++x x （2）9)(6)(2++-+n m n m讨论：用完全平方公式分解因式我们首先要把题目中的多项式化为什么形式？由（2）知，公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是4、将下列各式因式分解：（1）22363ay axy ax ++ （2）xy y x 4422+-- 四、学习小结：1、本节课你有哪些收获？2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方五、夯实基础：1、判断正误：（1）222)(y x y x +=+( ) （2）222)(y x y x -=- ( )（3）222)(2y x y xy x -=-- ( ) （4）222)(2y x y xy x +-=--- ( ) 2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的分解因式：（1）412+-x x （2）13922+-ab b a （3）251056+-x x3、把下列各式因式分解：（1）223612n mn m +- （2）422492416b b a a ++（3）222y x xy --- （4）2)(9)(124y x y x -+--六、能力提升： 1、,2,212=-=-ab b a 已知求42332444b a b a b a -+-的值。

浙教版七(下)数学第4章《因式分解》 4.3 用乘法公式分解因式第2课时校本作业(含答案)

4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）课堂笔记两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的倍，等于这两数和（或者差）的平方. 即a 2+2ab +b 2=（a +b ）2； a 2-2ab +b 2=（a -b ）2.注意：一般地，利用公式a 2-b 2=（a -b ）（a +b ），或a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式中的a ，b 可以是数，也可以是整式.分层训练A 组基础训练1. 下列各式是完全平方式的是（）A. x 2-x +1B. 4x 2+4xy +1C. x 2+xy +41y 2 D. x 2-4xz +z 2 2. （长春中考）把多项式x 2-6x +9分解因式，结果正确的是（）A ．（x -3）2B ．（x -9）2C ．（x +3）（x -3） D. （x +9）（x -9）3. 若等式x 2-x +k =（x -21）2成立，则k 的值是（） A. 21 B. -41 C. 41 D. ±41 4. 把代数式ax 2-4ax +4a 分解因式，下列结果中正确的是（）A. a （x -2）2B. a （x +2）2C. a （x -4）2D. a （x +2）（x -2）5. 如果A （5a +2b ）=25a 2+20ab +4b 2，则A 等于（）A. 5a +2bB. 5a -2bC. 5a +2ab +2bD. a 2-2b 26. 已知正方形的面积是（16-8x +x 2）cm 2（x >4），则正方形的周长是（）A ．（4-x ）cmB ．（x -4）cmC ．（16-4x ）cmD ．（4x -16）cm7. 下列多项式中，①x 2+2xy +4y 2；②a 2-2a +3；③41x 2-xy +y 2；④m 2-（-n ）2可以进行因式分解的个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8. 分解因式，若5a 2+ma +51=5（a -51）2，则m 的值是（） A. -2B. 2C. 52D. -529. 在括号内填入适当的数或单项式.（1）9a 2-（）+b 2=（ -b ）2；（2）x 4+4x 2+（）=（）2；（3）p 2-3p +（）=（p - ）2；（4）（a -b ）2-2（a -b ）+1=（ -1）2.10. 多项式a 3c -4a 2bc +4ab 2c 因式分解的结果是 .11. 若x =156，y =144，则多项式21x 2+xy +21y 2= . 12．填空：（1）分解因式：x 2－4x ＋4＝．（2）4x 2 ＋9y 2＝（）2.（3）若4x 2＋mx ＋25是一个完全平方式，则实数m ＝．（4）分解因式：x 3＋2x 2＋x ＝．（5）分解因式：a 2－2ab ＋b 2－1= ．13. 多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个你认为正确的即可）.14. 把下列各式分解因式：（1）x 2+8x +16；（2）-4x 2+12xy -9y 2；（3）94m 2+34mn +n 2；（4）a 3+2a 2+a ；（5）（a +b ）2-18（a +b ）+81；（6）（x 2+2x ）2+2（x 2+2x ）+1.15. 利用因式分解计算下列各式：（1）872+87×26+132；（2）20182-4034×2018+20172.B 组自主提高16．把下列各式分解因式：（1）3x 2－12xy ＋12y 2；（2）a 2－ab ＋41b 2；（3）－2x 3＋24x 2－72x ；（4）9（p －q ）2－6p ＋6q ＋1；（5）（x 2－7）2－4（x 2－7）＋4.17. （1）已知b -a =-3，ab =-2，求-21a 3b +a 2b 2-21ab 3的值.（2）已知x 2+y 2-2x +6y +10=0，求x +y 的值.C组综合运用18.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．参考答案【课堂笔记】2【分层训练】1—5. CACAA 6—8. DBA9. （1）6ab 3a （2）4 x 2+2 （3）49 23 （4）a -b 10. ac （a -2b ）211. 4500012. （1）（x －2）2 （2）±12xy 2x ±3y （3）±20（4）x （x ＋1）2 （5）（a －b ＋1）（a －b －1）13. 6x 或-6x 或481x 4 14. （1）（x +4）2 （2）-（2x -3y ）2 （3）（32m +n ）2 （4）a （a +1）2 （5）（a +b -9）2 （6）（x +1）415. （1）10000 （2）116. （1）原式＝3（x 2－4xy ＋4y 2）＝3（x －2y ）2（2）原式＝a 2－2·a ·21b ＋（21b ）2＝（a －21b ）2 （3）原式＝－2x （x 2－12x ＋36）＝－2x （x －6）2（4）原式＝9（p －q ）2－6（p －q ）＋1＝[3（p －q ）－1]2＝（3p －3q －1）2（5）原式＝（x 2－7－2）2＝（x 2－9）2＝[（x ＋3）（x －3）]2 ＝（x ＋3）2（x －3）217. （1）-21a 3b +a 2b 2-21ab 3=-21ab （a 2-2ab +b 2）=-21ab （a -b ）2=9 （2）由题意，得（x 2-2x +1）+（y 2+6y +9）=0，（x -1）2+（y +3）2=0. ∵（x -1）2与（y +3）2的值都是非负数，∴（x -1）2=0且（y +3）2=0，∴x =1，y =-3，∴x +y =-2.18. （1）x 2-140x +4756=x 2-2×70x +702-702+4756=（x -70）2-144=（x -70）2-122=（x -70+12）（x -70-12）=（x -58）（x -82）（2）∵a 2+8ab +12b 2=a 2+2×a ×4b +（4b ）2-（4b ）2+12b 2=（a +4b ）2-4b 2=（a +4b +2b ）（a +4b -2b ）=（a +2b ）（a +6b ），∴长为a +2b 时这个长方形的宽为a +6b.。

《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)

B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考

（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4

的值为

解析：由 +
得
+

= − − ，
− + + = ，

即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解

八年级下册4.3公式法第2课时

=3a(x²+2xy+y²) =3a(x+y) ² （2）－x²－4y²+4xy =-(x²+4y²-4xy) =-(x²-4xy+4y²) =-[(x²-2•x•2y+(2y) ²] =-(x-2y) ²
合作探究
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解，直至不能再分解为止.
身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。高中数学课标修订组定义数学核心素养：是具有数学基本特征的
、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与思维品质。
后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。
高中阶段的数学核心素养数学抽象、逻辑推理、数学建模直观想象、数学运算、数据分析
D．x²+2a-1
a²±2ab＋b²
a
16x²＋24x+9
4x
1 －xa
4a²＋25b²－20ab
2a
b
（a±b）²
3
（4x+3）²
x
（½－x）²
2
（a－2）²
5b
（2a－5b）²
合作探究
探究点一：问题1：事实上，把乘法公式的(完全平方公式)： (a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念）（数感、符号意识）、推理能力、模型思想（几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习
设定数学核心素养的理由（三会）会用数学的眼光观察现实世界数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象）引发的数学特征：数学的一般性；会用数学的思维思考现实世界数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算）引发的数学特征：数学的严谨性；会用数学的语言表达现实世界数学的语言是什么：数学模型（数据分析）引发的数学特征：数学应用的广泛性。

八下第四章因式分解4.3公式法

4.3因式分解——公式法（2）一、备课标1. 内容标准：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。

2.核心概念：本节课通过整式乘法的完全平方公式的逆向运用得出因式分解的完全平方公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，在此过程中，通过观察、类比等方法，发展学生的观察能力与逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解，渗透数学的“互逆”、降幂、整体的思想，感受数学知识的完整性．十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的符号意识、运算能力、应用意识、推理能力。

二、备重点难点：1、教材分析：本节课是八下第四章《因式分解》的第三节课《公式法》的第2课时，属于“数与代数”领域中的“数与式”。

通过前面的学习，学生加深了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，本节课通过整式乘法的完全平方公式的逆向运用得出因式分解的完全平方公式的过程，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，并会用完全平方公式进行因式分解,同时让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

所以本课时的重点是用完全平方公式分解因式，难点是综合应用提取公因式法与公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。

2、重点、难点分析本节课是对完全平方公式的再认识，通过整式乘法的逆向变形得到进行因式分解的方法，让学生进一步感受整式乘法与因式分解是互为逆变形的关系。

确定多项式是否具备完全平方式的特征是用完全平方公式因式分解的关键。

由此确定本节课的重难点是：重点：掌握完全平方公式的特点，会用此公式分解因式。

难点：综合应用提取公因式法与公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。

三、备学情（一）学习条件和起点能力分析：1、学习条件分析（1）必要条件：学生在上几节课的基础上，已经了解了整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了完全平方公式.（2）支持性条件：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础。

4.3公式法2-利用完全平方公式因式分解

2 2
2
这个公式可以用文字表述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
牛刀小试(对下列各式因式分解)： (a+3)2 ① a2+6a+9 = _________________ (n–5)2 ② n2–10n+25 = _______________ 4(t–1)2 ③ 4t2–8t+4 = _________________ (2x–3y)2 ④ 4x2–12xy+9y2 = _____________
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
① 16x2 + 24x + 9 = (4x+3)2 ② – 4x2 + 4xy – y2 = – (4x2–4xy+y2) = – (2x–y)2
做一做
①a 2 18a 81 2 1 ②x x 3 9 2 2 ③ s t 2st
2
用完全平方公式进行因式分解。
运用公式法分解因式要有整体思想正确套用公式！
④m 4 n 2 2 m 2 n 1 ⑤a 2b 2 c 2 4abc 4 ⑥ 25x 2 20x 4
2 2
添项减项公式来
2 、已知 x y a，z y 10 ， 4 、则代数式 x 2 y 2 z 2 xy xz yz的最小值为 ___。
新课引入
此处运用了什么公式? 逆用完全平方公式
999×1 + 1 试计算：9992 +

北师版八年级数学下册作业课件(BS) 第四章因式分解第2课时运用完全平方公式因式分解

5．因式分解：x2－8x＋16＝_(_x_－__4_)_2__.
6．(宜宾中考)把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是( D ) A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
7．(临沂中考)多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是( A ) A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．(x－1)2 8．下列因式分解正确的是( D ) A．a3－2a2－a＝a(a2－2a) B．4a2－8ab＋4b2＝(2a－2b)2 C．9－12a＋4a2＝－(3－2a)2 D．5x3－10x2＋5x＝5x(x－1)2
9．分解因式： (1) (攀枝花中考)x3y－2x2y＋xy＝__x_y_(_x_－__1_)2___； (2) (东营中考)－2x2y＋16xy－32y＝__－__2_y_(x_－__4_)_2___.
10．分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( D) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 11．加上下列单项式后，仍不能使4x2＋1成为一个整式的完全平方式的是( )D A．4x4 B．4x C．－4x D．2x
20．因式分解：x2＋4xy－5y2. 解：x2＋4xy－5y2 ＝x2＋4xy＋4y2－4y2－5y2 ＝(x＋2y)2－9y2 ＝(x＋2y＋3y)(x＋2y－3y) ＝(x＋5y)(x－y) 我们把上述因式分解的方法称为“配方法”．
(1)请用“配方法”分解因式2 的值； (3)在实数范围内，请比较多项式 2x2＋2x－3 与 x2＋3x－4 的大小，并说明理由．解：(1)x2－5xy＋6y2＝x2－5xy＋(52y)2－(52y)2＋6y2＝(x－52y)2－14y2＝ (x－52y＋12y)(x－52y－12y)＝(x－2y)(x－3y)

北师大版八年级数学下册4.3 第2课时完全平方公式

• 2:利用完全平方公式分解因式的公式形式是：
a2 2ab b2 a b2
• 3:完全平方公式特点：含有三项；两平方项的符号同号；首尾2倍中间项
课外作业
1.练闯考P57(预习导学、课内精炼1-10题)
2.课本P102-103（随堂练习第1、2 题，习题 4.5第1、2题，做到作业本上）
（2）a2+2ab-b2 (a b)2
错。此多项式不是完全平方式
典例精析
例3 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( B )
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3), 故可知N=(-3)2=9.
变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为___±__8___.
练习
把下列各式分解因式
① ax4 ax2
解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1)
② x4-16
解:原式=(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2)
（有公因式，先提公因式）（因式分解要彻底。）
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
课堂小结
• 1:整式乘法的完全平方公式是：
a b2 a2 2ab b2

4.3公式法第2课时逆用完全平方公式课件北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册课件
第四章因式分解 4.3 公式法
第2课时逆用完全平方公式
完全平方
完全平方式 2.由因式分解与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作__运__用__公__式_பைடு நூலகம்法___. 3.分解因式时，一般都遵循“一提、二套、三变、四查”这四步. （1）如果多项式的各项含有公因式，那么首先提取这个公因式. （2）如果多项式各项没有公因式，那么考虑套用公式.
（3）如果用上述方法还不能分解，那么可以尝试先变形整理，再运用提公因式法、公式法等来分解. （4）必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
【点拨】若一个多项式各项含有公因式，首先提公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止,注意整体思想在因式分解中的运用.
D
B
D
B
6.把下列各式因式分解：

公式法

1.2
51.2
51.22 2 51.2 1.2 1.22
=（51.2-1.2）²
探究新知
整式乘法的完全平方公式
2 (a b ) a 2 2ab b 2
因式分解的完全平方公式
2 (a b ) a 2 2ab b 2
a 2 2ab b 2 (a b )2 a 2 2ab b 2 (a b )2
当k取何值时， 100x²+kxy+49y² 是一个完全平方式？
活学活用变式训练
2.已知多项式x²+1与一个单项式的和是一个多项式的平方，请你添加一个满足条件的单项式。 (1)x² +2x +1 (3) 1+ x²
1 4 x + _____ 4
2
(2)x² -2x +1
1 2 1 x 2
因式分解的平方差公式
2
因式分解的完全平方公式
a b (a b )(a b )
2 2
a 2ab b (a b )
2 2 2
2 2
a 2ab b (a b )
根据因式分解和整式乘法的关系，如果把乘法公式反过来，就可以利用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
合作交流：
（1）用自己的语言叙述因式分解的完全平方公式. （2）观察蓝色区域里的多项式，具备什么特征的多项式才能运用完全平方公式进行因式分解？
探究新知
（1）用自己的语言叙述因式分解的完全平方公式.
a 2ab b (a b )
2 2
2 2
2

3 公式法(第2课时)一等奖创新教案

3 公式法（第2课时）一等奖创新教案4.3公式法（第2课时运用完全平方公式因式分解）教学目标1.理解完全平方公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法；3.能综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解.教学重点难点重点：理解并掌握用完全平方公式分解因式；难点：灵活应用各种方法分解因式.教学过程复习巩固1.完全平方公式：(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2＝a2-2ab+b2.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？（1）提公因式法（2）平方差公式a2-b2＝(a+b)(a-b)导入新课活动1（学生交流，教师点评）【思考】根据学方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2+2ab+b2、a2-2ab+b2”的式子分解因式吗？【问题1】填空：（1）(a+2b)2＝；（2）(3a-b)2＝.它们的结果有什么共同特征？答案：（1）a2+4ab+4b2；（2）9a2-6ab+b2.学生：以上都是用完全平方公式：(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2＝a2-2ab+b2计算得出来的.【问题2】根据问题1中等式填空：（1）a2+4ab+4b2＝；（2）9a2-6ab+b2＝.答案：（1）(a+2b)2（2）(3a-b)2.教师总结：公共特点：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方，这就是我们今天学习的内容，引出课题.探究新知探究点一用完全平方公式因式分解(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2＝a2-2ab+b2.反过来a2+2ab+b2＝(a+b)2，a2-2ab+b2＝(a-b)2..【总结】1.完全平方公式：a2±2ab+b2＝(a±b)2.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.2.根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.【注意】公式中的既可以是单项式，也可以是多项式.活动2（学生交流，教师点评）【问题3】（师生互动）下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )(1)a2+ab+b2；(2)a2-a+；(3)9a2-24ab+4b2；(4)-a2+8a-16.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：(1)a2+ab+b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2-a+＝(a-)2；(3)9a2-24ab+4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)-a2+8a-16＝-(a2-8a+16)＝-(a-4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解.答案：B【方法总结】能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.【即学即练】(小组交流)下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是.(填序号)①x2-2x-2；②x2+1；③x2-4x+4；④x2+4x+1.答案：③活动3 小组讨论(师生互学)【例1】因式分解：(1)9x2+6x+1；(2)3m2n-12mn+12n；(3)(a+b)2-12(a+b)+36.【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.解：(1) 9x2+6x+1＝(3x+1)2.(2) 3m2n-12mn+12n＝3n（m2-4m+４）＝3n(m-2)2.(3) (a+b)2-12(a+b)+36＝(a+b-6)2.【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.活动4（合作探究，解决问题）【例2】把下列各式分解因式：(1)-3a2x2+24a2x-48a2；(2)(a2+4)2-16a2.【探索思路】(引发学生思考)观察式子中的各项，提取公因式，用公式进行因式分解.解：(1)-3a2x2+24a2x-48a2＝-3a2(x2-8x+16)＝-3a2(x-4)2.(2) (a2+4)2-16a2＝(a2+4)2-(4a)2＝(a2+4+4a)·(a2+4-4a)＝(a+2)2(a-2)2.【题后总结】(学生总结，老师点评)因式分解的基本步骤可概括为一提、二用、三查，即有公因式的先提公因式，没有公因式的用公式法，最后检查每一个多项式的因式.【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止【即学即练】(学生独学)因式分解：(1)(a+b)2-4a2；(2) x4-y4.解：(1) (a+b)2-4a2＝(a+b-2a)(a+b+2a)＝(b-a)(3a+b)；(2)x4-y4＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y).活动5探究点二用因式分解进行简便计算或化简（师生互动）【例3】计算或化简下列各式：(1)2022+202×196+982；(2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4.【探索思路】(引发学生思考)利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可.解：(1) 2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝(202+98)2＝3002＝90 000.(2) (a2-2)2-2a2(a2-2)+a4＝(a2-2)2-2a2(a2-2)+(a2)2＝(a2-2-a2)2＝(-2)2＝4.【即学即练】(学生独学)利用因式分解计算：(1)342+34×32+162；(2)38.92-2×38.9×48.9+48.92.解：(1)342+34×32+162＝(34+16)2＝2500；(2)38.92-2×38.9×48.9+48.92＝(38.9-48.9)2＝100.活动6 拓展延伸(学生对学)【例4】已知a+b＝5，ab＝10，求a3b+a2b2+ab3的值.【探索思路】(引发学生思考)将a3b+a2b2+ab3分解为ab与(a+b)2的乘积，由运用整体代入的数学思想来解答.解：a3b+a2b2+ab3＝ab(a2+2ab+b2)＝ab(a+b)2.当a+b＝5，ab＝10时，原式＝×10×52＝125.【题后总结】(学生总结，老师点评)解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入求值.【即学即练】(学生独学)课堂练习1.下列多项式中不能用公式法因式分解的是()A. _B.2abC. _D.2.计算：()A.100_____B.150C.10 000 _D.22 5003.下列因式分解正确的是()A.1(a)aB.(x1y)(x1y)C.(xy)(xy)D.4.分解因式：4y()A. _B.C. _D.y(y2)(y2)5.把下列多项式因式分解：（1）x212x+36; （2）4(2a+b)24(2a+b)+1;（3）y2+2y+1x2.6.已知,求的值.7.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+2b2+c2-2b(a+c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由.参考答案：1.B 解析：A.，符合用完全平方公式因式分解的式子特点，故此选项正确；B.不符合用完全平方公式因式分解的式子特点，故此选项错误；C.(5ba)(5ba)，符合用平方差公式因式分解的式子特点，故此选项正确；D.4(b2)(b2)，符合用平方差公式因式分解的式子特点，故此选项正确.故选B.2.C 解析：10 000.故选C.3.A 解析：A. 1a1，故A项正确；B .(x1y)(x1y)，故B项错误；C.(yx)(yx)，故C项错误；D.，故D项错误.故选A.4.B 解析：原式，故选B.5.解：(1)x212x+36＝x22·x·6+62＝(x6)2.(2) 4(2a+b)24(2a+b)+1＝[2(2a+b)] 2·2(2a+b)·1+1＝(4a+2b- 1)2.(3)y2+2y+1x2＝(y+1) x＝(y+1+x)(y+1-x).6.解：由得∴.∴.7.解：由a2+2b2+c2-2b(a+c)＝0，得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2＝0，即(a-b)2+(b-c)2＝0，∴a-b＝0，b-c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC 是等边三角形.课堂小结(学生总结，老师点评)一、运用完全平方公式因式分解：a2+2ab+b2＝(a+b)2，a2-2ab+b2＝(a-b)2.二、完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍).两项都能写成平方的形式，且符号相反.布置作业教材第103页习题4.5板书设计运用完全平方公式因式分解运用完全平方公式因式分解：a2+2ab+b2＝(a+b)2，_____ a2-2ab+b2＝(a-b)2. 例1因式分解：(1)9x2+6x+1；(2)3m2n-12mn+12n；(3)(a+b)2-12(a+b)+36.例2把下列各式分解因式：(1)-3a2x2+24a2x-48a2；(2)(a2+4)2-16a2.例3计算或化简下列各式：(1)2022+202×196+982；(2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4.。

4.17 4.3公式法(2)

1 4.3公式法（2）课型: 新授设计人：设计时间：4.3 使用时间：4.17一、学习目标：（1）了解运用公式法分解因式的意义；（2）会用完全平方公式进行因式分解；二、学习重点：掌握用完全平方公式进行分解因式，掌握多步骤、多方法分解因式的方法。

学习难点学会观察多项式的特点，恰当安排步骤，选用不同方法分解因式。

三、学习过程：课前学习：1.分解因式：7x 2-21x+492.填空：（1）（a +b ）2= ；（2）（a –b ）2= ；课上学习：1.阅读课本101页例3上面部分，并回答问题或填空：(1) 如果一个多项式的各项不具备相同的因式，我们可以运用平方差公式进行分解因式，我们还学过其它的公式吗？那个公式还可以进行分解因式？2.结合预习，完成下列填空（1）a 2–2ab +b 2= ；（2）a 2+2ab +b 2= ；3.乘法公式（a ±b ）2=观察a 2–2ab +b 2 ；4a 2－4ab ＋b 2；x 2+10x+25 ,找出它们的共同特征。

然后讨论：（1）什么样的多项式才可以用完全平方公式分解因式呢？（2）下列各式是不是完全平方式？①a 2－4a ＋4；②x 2＋4x ＋4y 2；③4a 2＋2ab ＋41b 2；④a 2－ab ＋b 2； ⑤x 2－6x －9； ⑥a 2＋a ＋0.25．4.自学例3，例4完成随堂练习25.巩固练习：习题2.5的第1题。

6.展示提升：习题2.5的第2题。

四、自我检测：1.判断正误：（1）x 2+y 2=（x+y ）2 ( )（2）x 2–y 2= (x –y )2 ( )（3）x 2–2xy –y 2= (x –y )2 ( )（4）–x 2–2xy –y 2=–（x+y ）2 ( )2.下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x 2–x +41（2）9a 2b 2–3ab +1（3）229341n mn m ++ （4）251056+-x x3.把下列各式因式分解：（1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4五、资源连接：,2,212=-=-ab b a 已知求42332444b a b a b a -+-的值。

北师版八年级数学下册优秀作业课件(BS) 第四章因式分解公式法第2课时利用完全平方公式因式分解

数学八年级下册北师版
第四章因式分解
4.3 公式法
第2课时利用完全平方公式因式分解
1．(3分)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2．(4分)将x2－2xy＋y2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋y)(x－y) B．x(x－2y)＋y2
5．(4分)把代数式3x3－12x2＋12x因式分解结果正确的是( D ) A．3x(x2－4x＋4) B．3x－(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
6．(4分)(攀枝花中考)因式分解：x3y－2x2y＋xy＝___x_y_(x_－__1_)_2____．
7．(12分)把下列各式因式分解： (1)x3－2x2y＋xy2；解：原式＝x(x－y)2
【素养提升】 14．(14分)(平顶山郏县期末)阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2－4y2＋2x－4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2＋2x－4y＝(x2－4y2)＋(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)＋2(x－2y)＝(x－ 2y)(x＋2y＋2). 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：x2－6xy＋9y2－3x＋9y； (2)若△ABC的三边a，b，c满足a2－b2－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
二、解答题(共36分) 12．(12分)将下列各式因式分解： (1)x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)；解：原式＝(y2－1)(x2＋2x＋1)＝(y＋1)(y－1)(x＋1)2 (2)a2－2ab＋b2－9；解：原式＝(a－b)2－32＝(a－b＋3)(a－b－3) (3)(x2y2＋1)2－4x2y2. 解：原式＝(xy＋1)2(xy－1)2