2021高考数学(理)一轮复习讲练测《专题3.1 导数的概念及其运算》(讲)(解析版)

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高考数学一轮复习专题3.1导数概念及其几何意义(讲)(2021年整理)

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第01节导数概念及其几何意义【考纲解读】【知识清单】1．导数的概念1．函数y ＝f (x ）在x ＝x 0处的导数定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x ）在x ＝x 0处的导数,记作f ′（x 0）或y ′｜x ＝x 0,即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数称函数0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．2．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0）的几何意义是在曲线y ＝f （x )上点 (x 0，f （x 0）)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s （t ）对时间t 的导数）．相应地,切线方程为y －f （x 0)＝f ′（x 0）（x －x 0)．【重点难点突破】考点1 利用导数的定义求函数的导数【1-1】一质点运动的方程为283s t =-。

（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2)求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）【答案】（1）63x --∆；（2）6-。

2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数与导数的运算练习理北师大版

3.1导数与导数的运算中心考点·精确研析考点一导数的计算1. 以下求导运算正确的选项是()A.(sin a) ′=cos a(a为常数)B.(sin 2x) ′=2cos 2xC.(cos x) ′=sin xD.(x -5 ) ′=-x-62. 函数 f(x)=x2+ln x+sin x+1的导函数f′(x)=()A.2x+ +cos x+1B.2x- +cos xC.2x+ -cos xD.2x+ +cos x3. 函数 f(x)=的导函数 f ′(x)= ()A.tan xB.-C.-D.-4. 函数 f(x)=的导函数 f ′(x)=()A.2B.C. D.5. 设 f ′(x) 是函数f(x)=+x 的导函数 , 则 f ′(0) 的值为 ________________ .【分析】1. 选 B.(sin a) ′=0(a 为常数 ),(sin2x) ′=2cos 2x,(cos x) ′=-sin x,(x -5 ) ′=-5x -6 .2. 选 D. 由 f(x)=x2+ln x+sin x+1得f′(x)=2x++cos x.3. 选 D.f ′(x)==-.4. 选 D.f ′(x)=() ′=′=′=.5. 因为 f(x)=+x,因此 f ′(x)=+1=+1, 因此 f ′(0)=+1=0.答案 :0题 2 中 , 若将“ f(x)=x2+ln x+sin x+1”改为“ f(x)=+” ,则f′(x) =________________ .【分析】因为f(x)=+=,因此 f ′(x)=′==.答案 :【秒杀绝招】清除法解T3,依据sin x=0时f(x)无心义,因此f′(x )也无心义清除A,C,cos x=0时f(x)存心义,因此f′(x)也应存心义清除 B.考点二导数的应用【典例】 1. 若函数 f(x)=e ax+ln(x+1),f′(0)=4,则a=________________ .2. 已知函数f(x)的导函数为 f ′(x), 且 f(x)=2xf′(e)-ln x,则f′(e)=________________ .3.(2020 ·宝鸡模拟 ) 二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点, 若其导函数为 f ′(x)=3x -, 则f(x)= ____________.【解题导思】序号联想解题1由 f ′(0)=4,想到求 f ′(x), 列方程2由 f ′(e) 想到求 f ′(x) 并代入 x=e由二次函数 y=f(x) 的图像经过坐标原点, 想到设函数的分析3式为 f(x)=ax2+bx【分析】 1. 由 f(x)=e ax +ln(x+1),得f′(x)=ae ax+,因为 f ′(0)=4, 因此 f ′(0)=a+1=4, 因此a=3.答案 :32. 因为 f(x)=2xf′(e)-ln x,因此 f ′(x)=2f ′(e) - , 令 x=e 得 :f ′(e)=2f ′(e) - , 即 f ′(e)=.答案 :3. 依据题意 , 二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点, 设其分析式为f(x)=ax2+bx,则有f′(x)=2ax+b,又由 f ′(x)=3x - , 得 2ax+b=3x-,则 a= ,b=- , 故 f(x)=x2- x.2答案 : x - x含参数的函数的导数要注意的两点(1)含有字母参数的函数求导时 , 要分清哪是变量哪是参数 , 参数是常量 , 其导数为零 .(2) 注意利用题目条件建立方程, 求出参数的值. 此时要注意差别函数f(x)及其导数 f ′(x).1.(2020 ·宜昌模拟 ) 已知 f ′(x) 是函数f(x)的导数,f(x)=f′(1)· 2x+x2,则f′(2)=()A. B.C. D.-2【分析】选 C. 因为 f ′(x)=f ′(1) · 2x ln 2+2x, 因此 f ′(1)=f ′(1) · 2ln 2+2, 解得 f ′(1)=, 因此f ′(x)=· 2x ln 2+2x,因此f′(2)=×22 ln 2+2×2=.2. 函数 f(x)=ln x+a的导函数为 f ′(x), 若方程 f ′(x)=f(x)的根x0小于 1, 则实数 a 的取值范围为A.(1,+ ∞)B.(0,1)C.(1,)D.(1,)【分析】选 A. 由函数 f(x)=ln x+a可得f′(x)=, 因为使得 f ′(x 0)=f(x0)建立的0<x0<1, 则=ln x0 +a(0<x 0<1).因为>1,ln x0<0,因此a= -ln x0>1,故有a>1.考点三导数几何意义的运用1. 考什么 : (1) 求切线方程、求切点坐标、与切线相关求参数的值或取值范围.(2)命考察数学运算、直观想象、逻辑推理的中心修养题2.怎么考 : 与直线的方程、不等式等联合考察直线的斜率、直线的点斜式方程、精导数的几何意义等问题解3. 新趋向 : 以三角函数、指数函数、对数函数为载体, 与求导数和导数的几何意义读交汇考察 .1. 注意两类切线问题的差别(1) “过”与“在” : 曲线 y=f(x) “在点 P(x ,y ) 处的切线”与“过点P(x ,y ) 的切线”的差别 : 前者 P(x 0,y 0) 为切点 , 尔后者 P(x 0,y 0) 不必定为切点 .(2) “切点” 与“公共点” : 某曲线的切线与此曲线的公共点有可能有多个( 即除了切点以外可能还有其余公共点).2. 利用导数求曲线的切线方程学若已知曲线 y=f(x) 过点 P(x 0,y 0), 求曲线过点 P 的切线方程 , 则需分点 P(x 0,y 0) 是霸切点和不是切点两种状况求解.好(1) 当点 P(x 0,y 0) 是切点时 , 切线方程为方y-y 0=f ′(x 0)(x-x 0).法(2) 当点 P(x 0,y 0) 不是切点时 , 可分以下几步 :第一步 : 设出切点坐标 P ′(x 1, f(x 1));第二步 : 写出曲线在点 P ′(x , f(x)) 处的切线方程y-f(x )=f ′(x )(x-x);11111第三步 : 将点 P 的坐标 (x 0,y 0) 代入切线方程求出 x 1;第四步 : 将 x的值代入方程 y-f(x 1)=f ′(x )(x-x), 可得过点 P(x ,y ) 的切线方111程 .已知切点求切线的方程问题【典例】 (2019 ·全国卷Ⅰ ) 曲线 y=3(x 2+x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 ________________________.【分析】 y ′=3(2x+1)ex+3(x 2+x)e x =3(x 2+3x+1)e x ,因此 k=y ′|x=0 =3,因此曲线 y=3(x 2+x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 y=3x, 即 3x-y=0.答案 :3x-y=0用导数的几何意义求曲线的切线方程的重点是什么?提示 : 重点是确立切点坐标 .未知切点求切线的方程问题【典例】已知函数f(x)=x3+x-16, 若直线 l 为曲线 y=f(x) 的切线 , 且经过原点 , 则直线 l 的方程为________________ .【分析】设切点坐标为(x ,y ),则直线 l 的斜率为f′=3+1,因此直线l 的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16,因为直线l 过原点,因此 0=(3+1)(0-x0)++x -16,整理得 ,=-8, 因此 x0=-2,因此 y0= (-2)3+(-2)-16=-26,f ′=3×(-2) 2+1=13.因此直线l 的方程为y=13x.答案 :y=13x怎样从题目条件判断能否知道切点?提示 : 从题目条件的表达方式判断 , 一般来说 , “过××点”的切线 , 都是不知道切点 . 知道切点的表达方式为“在××点处的切线” .求参数的值【典例】 (2019 ·全国卷Ⅲ ) 已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b, 则() A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e -1 ,b=1D.a=e -1 ,b=-1【分析】选 D. 令 f(x)=ae x+xln x,x-1则 f ′(x)=ae +ln x+1,f ′(1 )=ae+1=2, 得 a= =e .f(1)=ae=2+b, 可得 b=-1.切线问题中能够用来列出等量关系的依照有哪些?(2)切点在切线上 ;(3)切点在曲线上 .1.(2018 ·全国卷 I) 设函数 f=x3+x2+ax. 若 f为奇函数,则曲线y=f在点处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x【分析】选 D.因为 f(x) 为奇函数 , 因此 f(-x)=-f(x),即a=1,因此f(x)=x3+x,因此f′(0)=1,因此切线方程为 y=x.【一题多解】选 D.因为 f(x)=x 3+(a-1)x2+ax 为奇函数 ,因此 f ′(x)=3x 2为偶函数 , +2(a-1)x+a因此 a=1, 即 f ′(x)=3x 2+1, 因此 f ′(0)=1,因此曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.2.(2019 ·吉安模拟 ) 已知过点P(1,1) 且与曲线y=x3相切的直线的条数有() A.0 B.1 C.2 D.3【分析】选 C. 若直线与曲线相切于点(x 0,y 0)(x 0≠ 0),则 k===+x0+1,因为 y′=3x 2, 因此=3,因此 3=+x0+1, 因此 2-x 0-1=0,因此 x0=1或 x0=-,因此过点P(1,1)与曲线 y=x3相切的直线方程为 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0, 因此共有 2 条 .3.(2020 ·十堰模拟 ) 若直线 y=12x+m与曲线 y=x3-2 相切 , 则 m=________________.设切点为 (s,t),可得3s2=12,12s+m=s3-2,即有s=2,m=-18;s=-2,m=14.答案 :14 或-181. 设点 P 是曲线 y=x 3-x+上的随意一点,则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为()A.∪B.C.∪D.【分析】选 C. 因为 y′=3x 2-≥ -, 故切线的斜率k≥ -, 因此切线的倾斜角α的取值范围为∪.2. 如图 ,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则曲线g(x)在x=3 处的切线方程为________________.【分析】由题图可知曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率等于- , 即 f ′(3)= - . 又 g(x)=xf(x),因此g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,因此g(3)=3f(3)=3,g′(3)=1+3×=0, 则曲线 g(x) 在 x=3 处的切线方程为y-3=0.答案 :y-3=03.阅读资料 : 求函数 y=e x的导函数 .解 : 因为 y=e x, 因此 x=ln y,因此 x′=′,因此1=·y′,因此y′=y=e x.借助上述思路, 曲线 y=,x ∈在点(1,1)处的切线方程为________________ .【分析】因为y=,因此 ln y=ln,因此·y′=ln+,因此 y′=,当 x=1 时,y ′=4,因此曲线y=,x ∈在点(1,1)处的切线方程为y-1=4, 即 y=4x-3.答案 :y=4x-3。

2021高考浙江版数学一轮讲义：第三章 § 3.1 导数的运算及导数的几何意义 Word版含解析

第三章导数及其应用考试要点考试内容1.导数的概念、几何意义及运算①了解导数概念的实际背景.②理解导数的几何意义.③会用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数,并能求简单的复合(仅限于形如f(ax+b)的复合函数的导数)函数的导数.2.函数的单调性了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.函数的极值与最值理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件;会用导数求函数的极大(小)值;会求闭区间上函数的最大(小)值.4.导数综合应用导数的综合应用包括利用导数证明不等式,解决方程根的分布问题,结合单调性与最值求参数的范围及解决恒成立问题、生活中的优化问题.§ 3.1导数的运算及导数的几何意义1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x处导数的定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率①limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0ΔyΔx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f '(x)或y'|x=x,即 f '(x)=limΔx→0ΔyΔx=②limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的③ 切线的斜率 .相应地,切线方程为④ y-y 0=f '(x 0)(x-x 0) .(3)函数f(x)的导函数称函数f '(x)=⑤ limΔx →0f (x+Δx )-f (x )Δx为f(x)的导函数.2.基本初等函数的导数公式原函数导数f(x)=C(C 为常数) f '(x)=⑥ 0 f(x)=x α(α∈Q *) f '(x)=⑦ αx α-1 f(x)=sin x f '(x)=⑧ cos x f(x)=cos xf '(x)=⑨ -sin x f(x)=a x (a>0,且a≠1) f '(x)=⑩ a x ln a f(x)=e xf '(x)= e x f(x)=log a x(a>0,且a≠1) f '(x)=1xlnaf(x)=ln x f '(x)= 1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3)[f (x )g (x )]'=f '(x )g (x )-f (x )g '(x )[g (x )]2(g(x)≠0) .4.复合函数的导数复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x = y'u ·u'x ,即y 对x 的导数等于 y 对u 的导数与 u 对x 的导数的乘积.1.下列求导运算正确的是( )A.(x+1x )'=1+1x2B.(log2x)'=1xln2C.(3x)'=3x log3e D.(x2cos x)'=-2sin x1.答案 B2.(2018杭州模拟)函数f(x)=x2+1x的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( ) A.x-y+1=0 B.3x-y-1=0C.x-y-1=0D.3x-y+1=02.答案 A3.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(-1,3)D.(1,-3)3.答案 C4.函数y=lnxe x的导函数为.4.答案y'=1-xlnxxe x5.(2018杭州模拟)已知函数f(x)=x 33-b2x2+ax+1(a>0,b>0),则函数g(x)=aln x+f '(x)a的图象在点(b,g(b))处切线斜率的最小值是.5.答案 2解析因为a>0,b>0, f '(x)=x2-bx+a,所以g(x)=aln x+x 2-bx+aa,g'(x)=ax+2x-ba,则g'(b)=ab +2b-ba=ab+ba≥2,当且仅当a=b=1时取等号,所以斜率的最小值为2.考点一导数的运算典例1 求下列函数的导数: (1)y=x 2sin x; (2)y=ln x+1x ; (3)y=cosx e x;(4)y=xsin (2x +π2)cos (2x +π2); (5)y=ln(2x-5).解析 (1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x. (2)y'=(lnx +1x )'=(ln x)'+(1x )'=1x -1x 2. (3)y'=(cosx e x)'=(cosx )'e x -cosx (e x )'(e x )2=-sinx+cosxe x.(4)∵y=xsin (2x +π2)cos (2x +π2) =12xsin(4x+π)=-12xsin 4x,∴y'=-12sin 4x-12x·4cos 4x=-12sin 4x-2xcos 4x. (5)令u=2x-5,y=ln u, 则y'=(ln u)'u'=12x -5·2=22x -5. 方法指导导数运算的原则与方法 (1)原则:先化简解析式,再求导. (2)方法:1-1 求下列各函数的导数: (1)y=(3x3-4x)(2x+1);(2)y=-sin x2(1-2cos2x4);(3)y=ln(x+1)x2+1.解析(1)∵y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x, ∴y'=24x3+9x2-16x-4.(2)∵y=-sin x2(1-2cos2x4)=-sin x2·(-cos x2)=12sin x,∴y'=(12sinx)'=12(sin x)'=12cos x.(3)y'=[ln(x+1)]'(x 2+1)-(x2+1)'·ln(x+1) (x2+1)2=(x+1)'x+1·(x2+1)-2x·ln(x+1)(x2+1)2=x 2+1-2x(x+1)ln(x+1)(x+1)(x2+1)2.考点二导数的几何意义命题方向一求切线方程典例2 函数f(x)=14x2的图象在点(2, f(2))处的切线方程为. 答案y=x-1解析由f(x)=14x 2,得f(2)=1, f '(x)=12x,故f '(2)=1,所以函数f(x)=14x 2的图象在点(2, f(2))处的切线的斜率为1,故所求切线方程为y=x-1.◆探究求函数f(x)=14x 2的图象过点(4,74)的切线的方程.解析设函数f(x)的图象过点(4,74)的切线与函数图象的切点坐标为(x 0,14x 02),由f(x)=14x 2得f '(x)=12x,故f '(x 0)=12x 0,所以函数f(x)的图象过点(4,74)的切线方程为y-14x 02=12x 0(x-x 0), 将(4,74)代入上述方程并整理得x 02-8x 0+7=0,解得x 0=1或x 0=7.所以函数f(x)的图象过点(4,74)的切线方程为y=12x-14或y=72x-494. 方法指导若已知曲线过点P(x 0,y 0),求曲线过点P(x 0,y 0)的切线方程,则需分点P(x 0,y 0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x 0,y 0)是切点时,切线方程为y-y 0=f '(x 0)(x-x 0). (2)当点P(x 0,y 0)不是切点时可按以下步骤解题: 第一步:设切点为P'(x 1, f(x 1));第二步:写出过P'(x 1, f(x 1))的切线方程y-f(x 1)=f '(x 1)(x-x 1); 第三步:将点P 的坐标(x 0,y 0)代入切线方程,求出x 1;第四步:将x 1的值代入方程y-f(x 1)=f '(x 1)(x-x 1),可得过点P(x 0,y 0)的切线方程. 易错警示导数的运算及切线应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.2-1 曲线f(x)=x 3+92x 2-3在点(1, f(1))处的切线斜率为 .答案12命题方向二求切点坐标典例3 在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.答案(e,1)解析设A(x0,y),由y'=1x,得k=1x0,所以在点A处的切线方程为y-ln x0=1x0(x-x).因为切线经过点(-e,-1),所以-1-ln x0=1x0(-e-x).所以ln x=ex0,令g(x)=ln x-ex(x>0),则g'(x)=1x +ex2,则g'(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.又g(e)=0,∴ln x=ex有唯一解x=e.∴x=e.∴点A的坐标为(e,1).规律方法已知斜率k,求切点(x1, f(x1)),即解方程f '(x1)=k.2-2 设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为.答案(1,1)解析函数y=e x的导函数为y'=e x,设曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率为k1,则k1=e0=1.设P(x0,y)(x>0),函数y=1x 的导函数为y'=-1x2,设曲线y=1x (x>0)在点P处的切线的斜率为k2,则k2=-1x02,由题意知k1k2=-1,即1·(-1x02)=-1,解得x02=1,又x0>0,∴x=1.∵点P在曲线y=1x(x>0)上,∴y=1,故点P的坐标为(1,1).命题方向三求参数的值(取值范围) 典例4 曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .答案-3规律方法根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点P(x0,y)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.2-3 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x,设两曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则m等于( )A.-3B.1C.3D.5答案 D 设曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点(x0,y)处的切线相同.∵f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x, ∴f '(x)=2x,h'(x)=6x-4,∴{f(x0)=h(x0),f '(x0)=h'(x0),即{x02-m=6ln x0-4x0, 2x0=6x0-4,∵x0>0,∴x=1,m=5,故选D.考点三两条曲线的公切线典例5 若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .答案 1-ln 2解析直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由y=ln x+2得y'=1x ,由y=ln(x+1)得y'=1x+1,∴k=1x 1=1x2+1,∴x 1=1k ,x 2=1k -1,∴y 1=-ln k+2,y 2=-ln k, 即A (1k ,-lnk +2),B (1k -1,-lnk), ∵A、B 在直线y=kx+b 上,∴{2-lnk =k ·1k +b ,-lnk =k ·(1k -1)+b ⇒{b =1-ln2,k =2. 规律方法求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解. (2)利用公切线得出关系式.设公切线l 在y=f(x)上的切点为P 1(x 1,y 1),在y=g(x)上的切点为P 2(x 2,y 2),则f'(x 1)=g'(x 2)=f (x 1)-g (x 2)x 1-x 2.3-1 曲线f(x)=e x 在x=0处的切线与曲线g(x)=ax 2-a(a≠0)相切,则过曲线g(x)的切点且与该切线垂直的直线方程为 .答案 x+y+1=0解析曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1.设其与曲线g(x)=ax 2-a(a≠0)相切于点(x 0,a x 02-a), 则g'(x 0)=2ax 0=1,且a x 02-a=x 0+1.解得x 0=-1,a=-12,故切点坐标为(-1,0).所以过切点且与该切线垂直的直线方程为 y=-1×(x+1),即x+y+1=0.A 组基础题组1.曲线y=xe x-1在点(1,1)处的切线的斜率等于( ) A.2e B.eC.2D.11.答案 C2.函数f(x)=(2πx)2的导数为( ) A.f '(x)=4πx B.f '(x)=4π2x C.f '(x)=8π2x D.f '(x)=16πx2.答案 C3.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P 0的坐标为( ) A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(1,0)D.(-1,-4)3.答案 A4.已知函数f(x)=ax n (a,n∈R)的图象在点(1,2)处的切线方程是y=4x-2,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)是偶函数且有最大值B.函数f(x)是奇函数且有最大值C.函数f(x)是偶函数且有最小值D.函数f(x)是奇函数且有最小值4.答案 C 对函数f(x)求导得f '(x)=anx n-1,则由题意得{f (1)=a ·1n =2,f '(1)=an ·1n -1=4,解得{n =2,a =2,则函数为二次函数f(x)=2x 2,其图象开口向上,有最小值,且为偶函数.故选C.5.曲线f(x)=xln x在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为( )A.π6B.π4C.π3D.π25.答案 B 因为f(x)=xln x,所以f '(x)=ln x+x·1x=ln x+1,所以f '(1)=1,所以曲线f(x)=xln x在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为π4.6.若曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.36.答案 D7.曲线y=e x在点A处的切线与直线x+y+3=0垂直,则点A的坐标为( )A.(-1,e-1)B.(0,1)C.(1,e)D.(0,2)7.答案 B 与直线x+y+3=0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,对y=e x求导得y'=e x,令y'=e x=1,解得x=0,此时y=e0=1,即点A的坐标为(0,1),选B.8.(2018宁波调研)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( )A.2B.-1C.1D.-28.答案 C 对y=x3+ax+b求导得y'=3x2+a,则{13+a+b=3,3×12+a=k,k+1=3,解得{a=-1,b=3,k=2,所以2a+b=1,故选C.9.已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.9.答案 310.已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f '(x)为f(x)的导函数.若f '(1)=3,则a的值为.10.答案 311.已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e -x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 11.答案 y=2x解析当x>0时,-x<0, f(-x)=e x-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=e x-1+x(x>0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f '(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f '(1)·(x -1),即y=2x.12.若曲线y=e -x 在点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是 . 12.答案 (-ln 2,2)解析令f(x)=y=e -x ,则f '(x)=-e -x .设P(x 0,y 0),则 f '(x 0)=-e -x 0=-2,解得x 0=-ln 2,所以y 0=e -x 0=e ln 2=2,所以点P 的坐标为(-ln 2,2).13.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线y=ax 2+bx (a,b 为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b 的值是 . 13.答案 -3 解析 ∵y=ax 2+bx , ∴y'=2ax -bx 2,由题意可得{4a +b2=-5,4a -b 4=-72,解得{a =-1,b =-2.∴a+b=-3. B 组提升题组1.已知f(x)=14x 2+sin (π2+x), f '(x)为f(x)的导函数,则f '(x)的大致图象是( )1.答案 A ∵f(x)=14x 2+sin (π2+x)=14x 2+cos x,∴f '(x)=12x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又f ″(x)=12-cos x,当-π3<x<π3时,cos x>12,∴f ″(x)<0,故函数y=f '(x)在区间(-π3,π3)上单调递减,故排除C.故选A.2.已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 . 2.答案 y=-2x-1解析令x>0,则-x<0, f(-x)=ln x-3x,又f(-x)=f(x),∴f(x)=ln x -3x(x>0),则f '(x)=1x -3(x>0),∴f '(1)=-2,∴曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.3.已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a= . 3.答案 8解析令f(x)=y=x+ln x,则f '(x)=1+1x , f '(1)=2,又f(1)=1,∴曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax 2+(a+2)x+1的切点为P(x 0,y 0),则y'|x=x 0=2ax 0+a+2=2,得a(2x 0+1)=0,∴a=0或x 0=-12,又a x 02+(a+2)x 0+1=2x 0-1,即a x 02+ax 0+2=0,当a=0时,此方程显然不成立,∴x 0=-12,此时a=8.4.已知函数f(x)=ae x +x 2,g(x)=cos πx+bx,直线l 与曲线y=f(x)相切于点(0, f(0)),且与曲线y=g(x)相切于点(1,g(1)),则a+b= ,直线l 的方程为 . 4.答案 -2;x+y+1=0解析 f '(x)=ae x +2x,g'(x)=-πsin πx+b, f(0)=a,g(1)=cos π+b=b -1, f '(0)=a,g'(1)=b,由题意可得f '(0)=g'(1),则a=b, 又b -1-a 1-0=a,则a=b=-1,a+b=-2,直线l 的方程为x+y+1=0.5.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:(i)直线l 在点P(x 0,y 0)处与曲线C 相切;(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.下列命题正确的是 (写出所有正确命题的序号). ①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x 3; ②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2; ③直线l:y=x 在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x; ④直线l:y=x 在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x; ⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x. 5.答案 ①③④解析 ①直线l:y=0在P(0,0)处与曲线C:y=x 3相切,且曲线C 在点P(0,0)附近位于直线l 的两侧,①正确;②直线l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在P(-1,0)处的切线,②错;③中y'=cos x,cos 0=1,因此曲线C:y=sin x 在P(0,0)处的切线为l:y=x,设f(x)=x-sin x,则f '(x)=1-cos x≥0,即f(x)是增函数,又f(0)=0,从而当x<0时, f(x)<0⇒x<sin x,当x>0时, f(x)>0⇒x>sin x,即曲线C:y=sin x 在P(0,0)附近位于直线l 的两侧,③正确;④中y'=(sinxcosx )'=1cos 2x ,1cos 20=1,因此曲线C:y=tan x 在P(0,0)处的切线为l:y=x,设g(x)=x-tan x,则g'(x)=1-1cos 2x ≤0(-π2<x <π2),即g(x)在(-π2,π2)上是减函数,且g(0)=0,同③得④正确;⑤中y'=1x ,11=1,因此曲线C:y=ln x 在P(1,0)处的切线为l:y=x-1,设h(x)=x-1-ln x(x>0),则h'(x)=1-1x =x -1x,当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0,因此当x=1时,h(x)min =h(1)=0,因此曲线C 在P(1,0)附近位于直线l 的一侧,故⑤错误.因此答案为①③④.1.(2019课标全国Ⅲ理,6,5分)已知曲线y=ae x +xln x 在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e -1,b=1D.a=e -1,b=-1答案 D ∵y'=ae x +ln x+1,∴y'|x=1=ae+1,∴2=ae+1,∴a=e -1.∴切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b, ∴b=-1,故选D.2.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-xC.y=2xD.y=x答案 D ∵f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax 为奇函数,∴a -1=0,解得a=1,∴f(x)=x 3+x, ∴f '(x)=3x 2+1,∴f '(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D. 3.(2019课标全国Ⅰ理,13,5分)曲线y=3(x 2+x)e x 在点(0,0)处的切线方程为 . 答案 y=3x解析 ∵y'=3(x 2+3x+1)e x ,∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y'|x=0=3,∴曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.4.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x解析因为y'=2x+1,所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.。

2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《3.1导数的概念及运算》

f′(x0) 或
y′|
x＝x0
，即
f′(x0)
＝
lim
Δx→0
Δy ＝ lim Δx Δx→0
fx0＋Δx－fx0. Δx
(2)如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新
函数，这个函数称为函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作 f′(x)或 y′.
2x－1 2x＋1
′＝2x＋1· 2x－1
2x－1′2x＋1－2x－12x＋1′ 2x＋12
＝
2x＋1
4. 4x2－1
3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝
.
答案 1
解析 f′(x)＝2 019＋ln x＋x·1＝2 020＋ln x， x
由 f′(x0)＝2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.
(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (3)(2x)′＝x·2x－1.( × )
(4)若 f(x)＝e2x，则 f′(x)＝e2x.( × )
题组二教材改编
2．[P18A 组 T5]若 f(x)＝x·ex，则 f′(1)＝
.
答案 2e 解析 ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
4．若 f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则 f′(0)＝
.
答案－4
解析 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即 f′(1)＝－2， ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4. 思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错． 2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§4.1 导数的概念及运算(讲解部分)

例2
设函数f(x)=xm+ax的导函数f
'(x)=2x+1,则数列
f
1 (n)
(n∈N*)的前n项
和是 ( )
A. n
n 1
B. n 2
n 1
C. n
n-1
D. n 1
n
解题导引
要求
f
1 (n)
的前n项和,应先求出f(n),由f
'(x)=mxm-1+a,
f
'(x)=2x+
1,可得
m 2, a 1,
方法总结若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解. (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f '(x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P'(x1, f(x1)); 第二步:写出曲线在点P'(x1, f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f '(x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f '(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.
答案 A
程v=v(t)在t0时刻的瞬时加速度a,即a=v'(t0).
考点二导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=C(C为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1)

2021新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1节导数的概念及运算学案

第1节导数的概念及运算考试要求1。

通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2。

体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝错误!,y＝错误!的导数；5。

能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f(ax＋b））的导数;6。

会使用导数公式表.知识梳理1。

导数的概念设函数y＝f(x）在区间(a，b）上有定义,且x0∈（a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导,并称该常数A为函数f(x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）。

若函数y＝f（x）在区间（a，b)内任意一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着x的变化而变化,因而是自变量x的函数，该函数称作f（x）的导函数，记作f′（x）.2。

导数的几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f（x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率，在点P的切线方程为y－y0＝f′（x0)(x－x0）。

3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x）＝xα(α∈Q＊)f′(x）＝αxα－1f（x)＝sin x f′(x）＝cos__x f（x)＝cos x f′（x）＝－4若f′（x)，g′(x)存在,则有：(1)[Cf（x)］′＝Cf′（x）（C为常数)；（2）［f（x）±g(x）]′＝f′（x）±g′（x);(3)[f(x)·g（x）]′＝f′（x)g(x）＋f(x）g′(x)；(4)错误!′＝错误!(g(x)≠0）.5.复合函数求导的运算法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y x′＝y u′·u x′，即y x′＝y u′·a.[常用结论与微点提醒］1。

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-1函数的概念及其表示-学生版

专题3.1函数的概念及其表示练基础1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．132．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．123．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．244．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（）A ．1B ．3C ．3-D ．1或35．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为().A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]6．（广东高考真题）函数()f x x=的定义域是______．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.练提升1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A ．t 没有最小值B ．t 51-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为17122．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.9.（2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）10.（2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.练真题1.（山东高考真题）设=s 0<<12−1,≥1,若=+1,则=（）A．2B．4C．6D．82.（2018上海卷）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，1的可能取值只能是（）A．3D．03.（2018年新课标I 卷文）设函数=2−，≤01，>0，则满足+1<2的x 的取值范围是（）A.−∞，−1B.0，+∞C.−1，0D.−∞，04.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．5.（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．。

2021高考数学(理)一轮复习题库《第3章第1讲导数的概念及运算》

∴斜率最小的切线过点
2，5 3
，斜率
k＝－1，
∴切线方程为 3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得 k≥－1，∴tan α≥－1，
又∵α∈[0，π)，∴α∈
π 0，
2
∪
3π，π 4
.
0，π 3π，π
故α的取值范围为 2 ∪ 4
.
10.已知曲线 y＝1x3＋4. 33
(1)求曲线在点 P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点 P(2，4)的切线方程.
解 (1)∵P(2，4)在曲线 y＝1x3＋4上，且 y′＝x2， 33
∴在点 P(2，4)处的切线的斜率为 y′|x＝2＝4.
∴曲线在点 P(2，4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，
即 4x－y－4＝0.
(2)设曲线 y＝1x3＋4与过点 P(2，4)的切线相切于点 A x0，13x30＋43 ，则切线的 33
故所求的切线方程为 x－y＋2＝0 或 4x－y－4＝0.
11.已知 f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是 fn(x)的导函数，即 f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝ f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则 f2 017(x)等于( )
A.－sin x－cos x
答案 C 5.(2016·郑州质检)已知 y＝f(x)是可导函数，如图，直线 y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)
在 x＝3 处的切线，令 g(x)＝xf(x)，g′(x)是 g(x)的导函数，则 g′(3)＝( )
A.－1
B.0
C.2
D.4
解析由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处切线的斜率等于－1，∴f′(3)＝－1，

2021高考数学(新高考版)一轮复习考点：第三章第一讲导数的概念及运算

第三章一元函数导数及其应用第一讲导数的概念及运算1.[2020成都市高三摸底测试]设函数f (x )的导函数为f ' (x ),若f (x )=e x ln x +1x - 1,则f ' (1)= ( ) A.e-3 B.e-2 C.e-1 D.e2.[易错题]已知函数f (x )=f ' (1)x 2+2x +2f (1),则f ' (2)的值为 ( ) A. - 2 B.0 C. - 4 D. - 63.[2020陕西省百校第一次联考]若f (x )=x 3+a 是定义在R 上的奇函数,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是 ( ) A.y =3x - 3 B .y =3x - 2C.y = - 3x - 3D.y = - 3x - 24.[2020广东七校联考]已知函数f (x )=x ln x +a 的图象在点(1,f (1))处的切线经过原点,则实数a = ( ) A .1 B .0 C .1e D. - 15.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x )为偶函数,当x >0时,f (x )=ln x - 3x ,则曲线y =f (x )在点( - 1, - 3)处的切线与两坐标轴围成的图形的面积等于 ( ) A.1 B.34C.14D.126.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +72(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f (x )图象的切点为(1, f (1)),则m 的值为 ( ) A.-1 B.-3 C.-4 D.-27.[2020江西五校联考]已知曲线C :y =x e x 过点A (a ,0)的切线有且仅有两条,则实数a 的取值范围是 ( ) A .( - ∞, - 4)∪(0,+∞) B .(0,+∞) C .( - ∞, - 1)∪(1,+∞) D .( - ∞, - 1)8.[2019安徽示范高中高三测试]设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,f ' (x ),g' (x )为其导函数,当x <0时,f ' (x )g (x )+f (x )g' (x )>0且g ( - 3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是 ( ) A.( - 3,0)∪(3,+∞) B.( - 3,0)∪(0,3) C.( - ∞, - 3)∪(3,+∞) D.( - ∞, - 3)∪(0,3)9.[2019福建五校第二次联考]已知函数f (x )={ln(-x +1),x <0,x 2+3x,x ≥0,若f (x ) - (m +2)x ≥0,则实数m的取值范围是 ( )A.(-∞,1]B.[-2,1]C.[0,3]D.[3,+∞) 10.[2020四川五校联考]已知函数f (x )=e x +ax.(1)若曲线y =f (x )在x =1处的切线与直线x +(e - 1)y - 1=0垂直,求实数a 的值; (2)若对于任意实数x ≥0,f (x )>0恒成立,求实数a 的取值范围.11.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,设函数f (x )的导函数为f ' (x ),若对任意x >0都有2f (x )+ xf ' (x )>0成立,则 ( ) A.4f ( - 2)<9f (3) B.4f ( - 2)>9f (3) C.2f (3)>3f ( - 2) D.3f ( - 3)<2f ( - 2)12.[2019开封市高三模拟]已知函数f (x )=(k +4k )ln x +4-x 2x,k ∈[4,+∞),曲线y =f (x )上总存在两点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),使曲线y =f (x )在M ,N 两点处的切线互相平行,则x 1+x 2的取值范围为 ( ) A.(85,+∞)B.(165,+∞) C.[85,+∞) D.[165,+∞)13.[2019辽宁五校联考]设函数f (x )=e 2x - t 的图象与g (x )=a e x +a 2x (a >0)的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数t 的最大值是 ( ) A.e -12 B .e 12C.12eD.2e14.[2020武汉市部分学校质量监测]若直线y =kx +b 是曲线y =ln x 的切线,也是曲线y =e x - 2的切线,则k = .15.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x )=ax sin x +b cos x ,且曲线y =f (x )与直线y =π2相切于点(π2,π2).(1)求f (x );(2)若f (x )≤mx 2+1,求实数m 的取值范围.16.[2019江西红色七校第一次联考]已知函数f (x )=e x (x 2 - 2x +a )(其中a ∈R ,a 为常数,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f (x )的单调性;(2)设曲线y =f (x )在(a ,f (a ))处的切线为l ,当a ∈[1,3]时,求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.17.[2020陕西省百校第一次联考][新角度题]已知函数f (x )=ln x ,g (x )=2 - 3x (x >0).(1)试判断f (x)与g(x)的大小关系.(2)试判断曲线y=f (x)和y=g(x)是否存在公切线,若存在,求出公切线的方程;若不存在,说明理由.第一讲导数的概念及运算1.C由题意,得f ' (x)=(e x ln x)' - 1x2=e x ln x+e xx− 1x2,所以f ' (1)=0+e - 1=e - 1,故选C.2.D由题意得f (1)=f ' (1)+2+2f (1),化简得f (1)= - f ' (1) - 2,而f ' (x)=2f ' (1)x+2,所以f ' (1)=2f ' (1)+2,解得f ' (1)= - 2,故f (1)=0,所以f (x)= - 2x2+2x,所以f ' (x)= - 4x+2,所以f ' (2)= - 6,故选D.3.B依题意得f (0)=0,即0+a=0,a=0,所以f (x)=x3,则f ' (x)=3x2,所以f ' (1)=3,又f (1)=1,因此曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程是y=3x - 2,故选B.4.A∵f ' (x)=ln x+1,∴f ' (1)=1,又f (1)=a,∴f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y=x - 1+a,又该切线过原点,故0=0 - 1+a,解得a=1,故选A.5.C当x>0时,f ' (x)=1x- 3,因为f (x)是偶函数,所以f ' (x)是奇函数,故曲线y=f (x)在点( - 1, - 3)处的切线的斜率k=f ' ( - 1)= - f ' (1)=2,所以切线方程为y+3=2(x+1),该切线与x轴,y轴的交点分别为(12,0),(0,- 1),所以该切线与两坐标轴围成的图形的面积等于12×1 2×1=14,故选C.6.D解法一∵f ' (x)=1x,∴直线l的斜率k=f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l的方程为y=x -1.g' (x )=x +m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0),则有{x 0+m =1,y 0=x 0-1,y 0=12x 02+mx 0+72,m <0,解得m = - 2.故选D.解法二 ∵f ' (x )=1x ,∴直线l 的斜率k =f ' (1)=1,又f (1)=0,∴切线l 的方程为y =x - 1.又直线l 与g (x )的图象相切,则方程组{y =x -1,y =12x 2+mx +72只有一组解,即关于x 的方程12x 2+(m -1)x +92=0只有一个解,则Δ=(m - 1)2 - 4×12×92=0,结合m <0,解得m = - 2.故选D.7.A 对函数y =x e x 求导得y' =e x +x ·e x =(1+x )e x .设切点坐标为(x 0,x 0e x 0),则曲线y =x e x 过点A (a ,0)的切线的斜率k =(1+x 0)ex 0=x 0e x 0x 0-a,化简得x 02- ax 0 - a =0.依题意知,上述关于x 0的二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ=( - a )2 - 4×1×( - a )>0,解得a < - 4或a >0.故选A .8.D 令h (x )=f (x )g (x ),当x <0时,h' (x )=f ' (x )g (x )+f (x )g' (x )>0,则h (x )在( - ∞,0)上单调递增,又f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以h (x )为奇函数,所以h (x )在(0,+∞)上单调递增.由g ( - 3)=0,可得h ( - 3)= - h (3)=0, 所以当x < - 3或0<x <3时,h (x )<0,故选D .9.B 令g (x )=x +3x (x ≥0),则g' (x )=2x +3,所以g' (0)=3,所以函数g (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x ,故函数f (x )的图象在原点处的切线方程为y =3x.如图D 3 - 1 - 1,画出函数f (x )的图象,切线y =3x ,以及直线y =(m +2)x ,分析可知,为满足f (x ) - (m +2)x ≥0,即f (x )≥(m +2)x ,则0≤m +2≤3,解得 - 2≤m ≤1.故选B .图D 3 - 1 - 110.(1)因为f ' (x )=e +a ,所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f ' (1)=e+a , 因为直线x +(e - 1)y - 1=0的斜率为11-e , 所以(e+a )×11-e = - 1,解得a = - 1.(2)若x =0,则a 为任意实数时,f (x )=e x +ax >0恒成立. 若x >0,f (x )=e x +ax >0恒成立,即当x >0时,a > - e xx 恒成立,设H (x )= - e xx (x >0),则H' (x )= -e x x -e x x 2=(1-x)e x x 2,当x ∈(0,1)时,H' (x )>0,则H (x )在(0,1)上单调递增, 当x ∈(1,+∞)时,H' (x )<0,则H (x )在(1,+∞)上单调递减, 所以当x =1时,H (x )取得最大值. H (x )max =H (1)= - e ,所以a > - e .所以要使当x ≥0时,f (x )>0恒成立,a 的取值范围为( - e ,+∞).11.A 令g (x )=x 2f (x ),则g' (x )=2xf (x )+x 2f' (x ).因为对任意x >0都有2f (x )+xf ' (x )>0成立,则当x >0时,g ' (x )=x [2f (x )+xf ' (x )]>0成立,即函数g (x )=x 2f (x )在x >0时单调递增,由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,得f ( - x )=f (x ),所以g ( - x )=( - x )2f ( - x )=x 2f (x )=g (x ),即g (x )=x 2f (x )为偶函数,则有g ( - 2)=g (2),且g (2)<g (3),所以g ( - 2)<g (3),即4f ( - 2)<9f (3),故选A.12.B f ' (x )=k+4kx− 4x 2 - 1(x >0,k ≥4),由题意知,f ' (x 1)=f ' (x 2)(x 1,x 2>0且x 1≠x 2),即k+4kx 1−4x 12 - 1=k+4kx 2− 4x 22 - 1,化简得4(x 1+x 2)=(k +4k)x 1x 2,而x 1x 2<(x 1+x 22)2,所以4(x 1+x 2)<(k +4k)(x 1+x 22)2,即x 1+x 2>16k+4k对k ∈[4,+∞)恒成立,令g (k )=k +4k ,则g' (k )=1 - 4k 2=(k+2)(k -2)k 2>0对k ∈[4,+∞)恒成立,故g (k )在[4,+∞)上单调递增,所以g (k )≥g (4)=5,所以16k+4k≤165,所以x 1+x 2>165.故x 1+x 2的取值范围为(165,+∞).故选B.13.C 设函数f (x )=e 2x - t 的图象与g (x )=a e x +a 2x (a >0)的图象的公共点为(x 0,y 0),因为f ' (x )=2e 2x ,g' (x )=a e x +a 2,所以2e 2x 0=a e x 0+a 2,所以(e x 0 - a )(2e x 0+a )=0,因为2e x 0+a >0,所以e x 0=a ,所以x 0=ln a.又a e x 0+a 2x 0=e 2x 0 - t ,所以a e ln a +a 2ln a =e 2ln a - t ,化简得t = - a 2ln a ,则t' = - 2a ln a - a 2×1a = - a (1+2ln a ).令t' >0得0<a <e -12,令t' <0得a >e -12,所以t = - a 2ln a 在(0,e -12)上单调递增,在(e -12,+∞)上单调递减,所以当a =e -12时,t = - a 2ln a 取得最大值,最大值为-(e -12)2ln e -12=12e .故选C .14.1或1e 解法一设直线y =kx +b 与曲线y =ln x 相切于点(x 1,ln x 1),则曲线y =ln x 在点(x 1,ln x 1)处的切线方程为y - ln x 1=1x 1(x - x 1),即y =1x 1x - 1+ln x 1 ①.设直线y =kx +b 与曲线y =e x - 2相切于点(x 2,e x 2-2),则曲线y =e x - 2在点(x 2,e x 2-2)处的切线方程为y - e x 2-2=e x 2-2(x - x 2),即y =e x 2-2x +(1 - x 2)e x 2-2 ②.由题意知①②表示同一直线,所以1x 1=e x 2-2,且 - 1+ln x 1=(1 - x 2)e x 2-2.所以 - 1+ln x 1=1-x2x 1=1-(2-ln x 1)x 1=-1+ln x 1x 1,解得x 1=1或x 1=e .所以k =1或1e .解法二直线y=kx+b与曲线y=ln x相切,则存在x1,使得k=1x1,且ln x1=kx1+b,消去x1,得- ln k=1+b①.直线y=kx+b与曲线y=e x - 2相切,则存在x2,使得k=e x2-2,且e x2-2=kx2+b,消去x2,得k=k(ln k+2)+b②.由①②得k=k ln k+2k - ln k - 1,即(k - 1)(ln k+1)=0,解得k=1或1e.15.(1)由f (π2)=aπ2=π2得a=1.则f ' (x)=x cos x+(1 - b)sin x,由f ' (π2)=1 - b=0得b=1.所以f (x)=x sin x+cos x.(2)令g(x)=mx2+1 - f (x)=mx2 - x sin x - cos x+1,由g(x)≥0得g(2π)=4π2m≥0,所以m≥0.易知g(x)为偶函数,所以只需满足当x≥0时,g(x)≥0即可. g' (x)=2mx - x cos x=x(2m - cos x),下面只讨论x≥0时的情形.当m≥12时,g' (x)≥0,即g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,从而当m≥12时,f (x)≤mx2+1恒成立.当0≤m<12时,因为y=2m - cos x在[0,π2]上单调递增,且当x=0时,y=2m - 1<0,当x=π2时,y=2m≥0,所以存在x0∈(0,π2],使得2m - cos x0=0,因此当x∈(0,x0)时,2m - cos x<0,g' (x)<0,即g(x)在(0,x0)上单调递减,所以当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,与g(x)≥0矛盾.因此当0≤m<12时,f (x)≤mx2+1不恒成立.综上,满足题意的m的取值范围是[12,+∞).16.(1)f ' (x)=e x(x2 - 2x+a)+e x(2x - 2)=e x(x2+a - 2),当a≥2时,f ' (x)≥0恒成立,函数f (x)在区间( - ∞,+∞)上单调递增;当a<2时,令f ' (x)≥0,解得x≤ - √2-a或x≥√2-a,令f ' (x)<0,解得- √2-a<x<√2-a,所以函数f (x)在区间( - ∞, - √2-a],[√2-a,+∞)上单调递增,在区间( - √2-a,√2-a)上单调递减.(2)因为f (a)=e a(a2 - a),f ' (a)=e a(a2+a - 2),所以直线l的方程为y - e a(a2 - a)=e a(a2+a - 2)(x - a).令x=0,得直线l在y轴上的截距为e a( - a3+a),记g(a)=e a( - a3+a)(1≤a≤3),则g' (a)=e a( - a3 - 3a2+a+1),记h(a)= - a3 - 3a2+a+1(1≤a≤3),则h' (a)= - 3a2 - 6a+1<0(1≤a≤3),所以h(a)在[1,3]上单调递减,所以h(a)≤h(1)= - 2<0,所以g' (a)<0,即g(a)在区间[1,3]上单调递减,所以g(3)≤g(a)≤g(1),即直线l在y轴上的截距的取值范围是[ - 24e3,0].17.(1)设F(x)=f (x) - g(x),则F' (x)=1x − 3x2(x>0).由F' (x)=0,得x=3,当0<x<3时,F' (x)<0,当x>3时,F' (x)>0,故F(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以F(x)的最小值为F(3)=ln 3 - 1,且F(3)>0,所以F(x)>0,即f (x)>g(x).(2)曲线y=f (x)和y=g(x)不存在公切线,理由如下.假设曲线y=f (x)与y=g(x)有公切线,切点分别为P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1).因为f ' (x)=1x ,g' (x)=3x2,所以分别以P(x0,ln x0)和Q(x1,2 - 3x1)为切点的切线方程为y=xx0+ln x0- 1,y=3x12x+2 - 6x1.由{1x0=3x12,ln x0-1=2-6x1,得2ln x1+6x1- (3+ln 3)=0.令h(x)=2ln x+6x - (3+ln 3),则h' (x)=2x− 6x2(x>0),令h' (x)=0,得x=3.显然,当0<x<3时,h'(x)<0,当x>3时,h' (x)>0,所以h(x)在区间(0,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,所以h(x)的最小值为h(3)=2ln 3+2 - 3 - ln 3=ln 3 - 1,且h(3)>0,所以h(x)>0,所以方程2ln x1+6x1- (3+ln 3)=0无解,所以曲线y=f (x)与曲线y=g(x)不存在公切线.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021年高考数学(理)一轮课件：专题3-导数及其应用

考点1 考法2 用导数几何意义，解决曲线的切线问题
类型2 曲线y＝f（x）的切线方程
题型1 求曲线在某点处的切线方程
题型2 求曲线过某点的切线方程
考点1 考法2 用导数几何意义，解决曲线的切线问题
考点1 考法2 用导数几何意义，解决曲线的切线问题
考点1 考法2 用导数几何意义，解决曲线的切线问题
注意点是什么？
考点2 考法4 已知单调性求解参数范围
考点2 考法4 已知单调性求解参数范围
类型 1 确定函数的单调性方法一：说明在对应区间上导数的取值范围满足有关定理即可. 方法二：（1）确定函数f(x)的定义域；
（2）求导函数f′(x)，并求f′(x)=0的实数根. （3）结合(2)中的根讨论f′(x)的正负，其中f′(x)＞ 0对应的x所在的区间内，函数f(x)单调递增；f′(x)＜0对应的x 所在的区间内，函数f(x)单调递减.
考法2 用导数几何意义，解决曲线的切线问题
类型1 已知切点求斜率或倾斜角，已知切线的斜率求切点类型2 曲线y=f(x)的切线问题
考点1 考法2 用导数几何意义，解决曲线的切线问题
类型1 已知切点求斜率或倾斜角，已知切线的斜率求切点率k=解f′(决x0这)，类直问接题求的解方或法结都合是已根知据所曲给线的在平点行(x或0,垂y0直)处等的条切件线得的出斜关于斜率的等式来求解.解决这类问题的关键是抓住切点.
类型 3 函数的单调性与导函数图象间的关系理解导函数y=f′(x)的图象与函数f(x)图象的升降关系，导函数大于0对应原函数图象由左至右上升，导函数小于0对应原函数图象由左至右下降，在解题时要注意原函数的定义域，如判断定义域是否具有对称性等.
考点2 考法3 利用导数讨论函数的单调性或求单调区间

2021新高考2版数学一轮讲义：第三章第一节导数的概念及运算 Word版含解析

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算命题导航考试要点命题预测1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=√x的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.1.考向预测:主要考查利用求导公式求导、根据导数的几何意义求切线方程.2.学科素养:主要考查逻辑推理、数学运算的核心素养.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①f(x2)-f(x1)x2-x1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②ΔyΔx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点③(x0,f(x0))处的④切线的斜率.相应地,切线方程为⑤y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).▶提醒 (1)曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,斜率为k=f '(x 0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x 0,y 0)的切线,是指切线经过P,点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转化的.3.函数f(x)的导函数称函数f '(x)=limΔx →0f(x+Δx)-f(x)Δx为f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数 f(x)=C(C 为常数) f '(x)=⑥ 0 f(x)=x α(α∈N *) f '(x)=⑦ αx α-1 f(x)=sin x f '(x)=⑧ cos x f(x)=cos x f '(x)=⑨ -sin x f(x)=a x (a>0,且a ≠1)f '(x)=⑩ a x ln a f(x)=e x f '(x)= e x f(x)=log a x (a>0,且a ≠1) f '(x)= 1xlna f(x)=ln xf '(x)= 1x5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3)[f(x)g(x)]'= f '(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).知识拓展1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x).3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化方向,其大小|f'(x)|反映了变化快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.、1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同.(✕)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(✕)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√)(4)若f(x)=f'(a)x2+ln x(a>0),则f'(x)=2xf'(a)+1x.(√)(5)f'(x0)表示曲线y=f(x)在点A(x0,f(x0))处切线的斜率,也可表示函数y=f(x)在点A(x0,f(x0))处的瞬时变化率.(√)2.下列求导运算正确的是()A.(x+1x )'=1+1x2B.(log2x)'=1xln2C.(3x)'=3x log3eD.(x2cos x)'=-2sin x答案B3.有一机器人的运动方程为s(t)=t2+3t(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.134答案D4.曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为.答案 x+2y-2=05.求过点(0,0)与曲线y=e x 相切的直线方程. 解析设切点坐标为(a,e a ), 又切线过(0,0),则切线的斜率k=e aa , f '(x)=e x ,把x=a 代入得斜率k=f '(a)=e a , 则e a =ea a ,由于e a >0,故a=1, 即切点坐标为(1,e), 所以切线方程为y=ex.导数的计算典例1 求下列函数的导数. (1)y=x 2sin x; (2)y=ln x+1x +log 2x; (3)y=cosx e x;(4)y=3x e x -2x +e; (5)y=tan x; (6)y=√x .解析 (1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x. (2)y'=(lnx +1x )'+(log 2x)'=(ln x)'+(1x )'+1xln2=1x -1x 2+1xln2. (3)y'=(cosx e )'=(cosx)'e x -cosx(e x )'(e )=-sinx+cosxe .(4)y'=(3x e x )'-(2x )'+e' =(3x )'e x +3x (e x )'-(2x )' =3x ln 3·e x +3x e x -2x ln 2 =(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2. (5)y'=(sinxcosx )'=(sinx)'cosx -sinx(cosx)'cos 2x=cosxcosx -sinx(-sinx)cos x =1cos x .(6)y'=(x 12)'=12x-12=2√x.方法技巧1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.2.具体方法:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导;(4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到复合函数,先确定复合关系,再由外向内逐层求导,必要时可换元.▶提醒对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似于f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f'(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f'(x),再令x=x0,即可得到f'(x0)的值,进而得到函数的解析式,求得所求导数值.1-1f(x)=x(2018+ln x),若f'(x0)=2019,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e答案B1-2已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a=.答案31-3已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=.答案-1解析∵f(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+1x,∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.导数的几何意义命题方向一求曲线的切线方程典例2 曲线y=3(x 2+x)e x 在点(0,0)处的切线方程为 . 答案 3x-y=0解析 y'=3(2x+1)e x +3(x 2+x)e x =3(x 2+3x+1)e x ,所以切线的斜率k=y'|x=0=3,则曲线y=3(x 2+x)e x 在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.命题方向二求参数的值(取值范围)典例3 已知曲线y=ae x +xln x 在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e -1,b=1 D.a=e -1,b=-1 答案 D解析 ∵y'=ae x +ln x+1, ∴切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴a=e -1,将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D.典例4 直线 y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求b 的值.解析设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点的横坐标为x 1,与曲线y=ln(x+1)的切点的横坐标为x 2,所以曲线y=ln x+2在相应切点处的切线为y=1x 1·x+ln x 1+1,曲线y=ln(x+1)在相应切点处的切线为y=1x2+1·x+ln(x 2+1)-x 2x 2+1,所以{k =1x 1=1x 2+1,b =ln x 1+1=ln(x 2+1)-x 2x 2+1,解得{x 1=12,x 2=-12,于是b=ln x 1+1=1-ln 2.规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线方程是y-f(x 0)=f '(x 0)(x-x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程. (4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢.(5)求两条曲线的公切线的方法:①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解. ②利用公切线得出关系式.设公切线l 在曲线y=f(x)上的切点P 1(x 1,y 1),在曲线y=g(x)上的切点P 2(x 2,y 2),则f '(x 1)=g'(x 2)=f(x 1)-g(x 2)x 1-x 2.2-1 已知直线y=-x+1是函数f(x)=-1a ·e x 图象的切线,则实数a= .答案 e 2解析设切点为(x 0,y 0),则f '(x 0)=-1a ·e x 0=-1,∴e x 0=a,又-1a ·e x 0=-x 0+1,∴x 0=2,∴a=e 2. 2-2 已知曲线f(x)=x 3+ax+14在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x 相切,求a 的值. 解析由f(x)=x 3+ax+14得, f(0)=14, f '(x)=3x 2+a,则f '(0)=a,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-14=ax.设直线y-14=ax 与曲线g(x)=-ln x 相切于点(x 0,-ln x 0),又g'(x)=-1x , ∴{-ln x 0-14=ax 0,①a =-1x 0,②将②代入①得ln x 0=34, ∴x 0=e 34,∴a=-1e 34=-e -34.1.已知f 1(x)=sin x+cos x, f n+1(x)是 f n (x)的导函数,即f 2(x)=f '1(x), f 3(x)=f '2(x),……, f n+1(x)= f 'n (x),n ∈N *,则f 2 019(x)= ( ) A.-sin x-cos xB.sin x-cos xC.-sin x+cos xD.sin x+cos x答案 A f 2(x)=f'1(x)=cos x-sin x;f3(x)=f'2(x)=-sin x-cos x;f4(x)=f'3(x)=-cos x+sin x;f5(x)=f'4(x)=sin x+cos x;……,则f n(x)的周期为4,即f n(x)=f n+4(x).因为2019=504×4+3,所以f2019(x)=f3(x)=-sin x-cos x.2.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f'(x1)·f'(x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f'(x)=cos x,又f'(0)·f'(π)=-1,故函数y=sin x具有T性质;y=f(x)=ln x(x>0)的导函数为f'(x)=1x ,又f ′(x1)·f ′(x2)=1x1x2>0,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=e x的导函数为f'(x)=e x,则f'(x1)·f'(x2)=e x1+x2>0,故函数y=e x不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f'(x)=3x2,则f'(x1)·f'(x2)=9x12x22≥0,故函数y=x3不具有T性质.故选A.A组基础题组1.已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1),若f'(1)=-1,则a=()A.eB.1eC.1e2D.12答案 B2.已知曲线y=x 24-3ln x的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.12 答案 A3.已知曲线y=ln x 的某条切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1e D.-1e答案 C y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y 0),则k=y'|x=x 0=1x 0,所以切线方程为y-y 0=1x 0(x-x 0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y 0=1,则x 0=e,所以k=y'|x=x 0=1x 0=1e .4.已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 . 答案 e解析由函数的解析式可得f '(x)=e x ×ln x+e x ×1x =e x (lnx +1x),则f '(1)=e 1×(ln1+11)=e,即f '(1)的值为e.5.(2019湖北宜昌联考)已知f '(x)是函数f(x)的导数, f(x)=f '(1)·2x +x 2,则f '(2)= . 答案41-2ln2解析易知f '(x)=f '(1)·2x ln 2+2x,所以f '(1)=f '(1)·2ln 2+2,解得f '(1)=21-2ln2,所以f '(x)=21-2ln2·2x ln 2+2x,所以f '(2)=21-2ln2×22×ln 2+2×2=41-2ln2. 6.曲线y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x-27.已知a ∈R ,设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l 在y 轴上的截距为 . 答案 1解析由题意可得f(1)=a,则切点为(1,a),因为f '(x)=a-1x ,所以切线l 的斜率k=f '(1)=a-1,则切线l 的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,可得y=1,故l 在y 轴上的截距为1.8.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 答案 -3解析设f(x)=(ax+1)e x ,则f '(x)=(ax+a+1)e x ,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2,解得a=-3.9.若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0垂直,则实数a=. 答案2解析因为f'(x)=sin x+xcos x,所以f'(π2)=sinπ2+π2·cosπ2=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-a2,所以1×(-a2)=-1,解得a=2.10.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,于是有f'(x)=1+1x,由于f'(1)=2,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线的斜率k=2,则曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,故将y=ax2+(a+2)x+1与y=2x-1联立,得ax2+ax+2=0,因为a≠0,两线相切于一点,所以Δ=a2-8a=0,解得a=8.11.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4解析由y=x+4x (x>0),得y'=1-4x2(x>0),设斜率为-1的直线与曲线y=x+4x(x>0)相切于点(x0,x0+4x0),由1-4x02=-1得x0=√2(x0=-√2舍去),∴曲线y=x+4x(x>0)上的点P(√2,3√2)到直线x+y=0的距离最小,最小值为√2+3√2|√12+12=4.12.(2019湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解析(1)易知点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以点(2,-6)为切点.因为f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2),f'(2)=13,所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0),f'(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-14x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3x02+1=4,所以x0=±1.所以{x0=1,y0=-14或{x0=-1,y0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.B组提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.2答案 C 依题意得,f'(x)=-asin x,g'(x)=2x+b,f'(0)=g'(0),∴-asin0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.若曲线f(x)=ax 2(a>0)与g(x)=ln x 有两条公切线,则a 的取值范围是( )A.(0,1e )B.(0,12e )C.(1e ,+∞)D.(12e ,+∞)答案 D 假设两曲线相切,设其切点为P(m,n),∴f '(m)=2am=g'(m)=1m ,∴2am 2=1,∵点P 在曲线上,∴n=am 2=ln m,∴12=ln m,∴m=e 12,∴a=12e ,当a>12e 时,两曲线相离,∴必然存在两条公切线,∴a ∈(12e ,+∞).3.已知函数f(x)={-x 2+2x,x ≤0,ln(x +1),x >0,若|f(x)|≥ax,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-2,0]解析作出函数y=|f(x)|的图象与直线y=ax,如图所示,当直线在第四象限的部分介于直线l 与x 轴之间时符合题意,直线l 为曲线f(x)的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的解析式为y=x 2-2x,则y'=2x-2,因为x ≤0,故y'≤-2,故直线l 的斜率为-2,故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可,即a ∈[-2,0].4.已知点M 是曲线y=13x 3-2x 2+3x+1上任意一点,曲线在M 处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.解析 (1)∵y'=x 2-4x+3=(x-2)2-1,∴当x=2时,y'min =-1,此时y=53,∴斜率最小时的切点为(2,53),斜率k=-1,∴切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得切线的斜率k ≥-1,∴tan α≥-1,∵α∈[0,π),∴α∈[0,π2)∪[3π4,π).故α的取值范围是[0,π2)∪[3π4,π).素养拓展5.当直线kx-y-k+1=0(k ∈R )和曲线E:y=ax 3+bx 2+53(ab ≠0)交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)(x 1<x 2<x 3)三点时,曲线E 在点A,点C 处的切线总是平行的,则过点(b,a)可作曲线E 的切线的条数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C 易知曲线E:y=ax 3+bx 2+53(ab ≠0)是中心对称图形,令f(x)=ax 3+bx 2+53(ab ≠0),则f '(x)=3ax 2+2bx(ab ≠0).令g(x)=3ax 2+2bx(ab ≠0),则g'(x)=6ax+2b(ab ≠0),令g'(x)=0,得x=-b 3a ,∴f(x)的图象的对称中心为点(-b 3a , f (-b 3a )),设M (-b 3a ,f (-b 3a )).∵曲线E 在点A,C 处的切线总是平行的,且直线AC:y=k(x-1)+1恒过点(1,1),∴M(1,1),∴{-b 3a =1,a +b +53=1,解得{a =13,b =-1, ∴曲线E 为y=13x 3-x 2+53,y'=x 2-2x,过点(-1,13)作曲线E 的切线,设切点为(x 0,y 0),则切线方程为y-13=(x 02-2x 0)·(x+1),13x 03-x 02+53-13=(x 02-2x 0)·(x 0+1),x 03-3x 0-2=0, 即(x 0+1)2(x 0-2)=0,解得x 0=-1或x 0=2,∴切线方程为y=3x+103或y=13,∴过点(b,a)可作曲线E 的2条切线.故选C.6.对于函数y=f(x),若存在x 0,使f(x 0)+f(-x 0)=0,则称点(x 0,f(x 0))是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)={x 2+2x,x <0,kx +2,x ≥0,若曲线f(x)存在“优美点”,则实数k 的取值范围是 . 答案 (-∞,2-2√2]解析由“优美点”的定义,可知若点(x 0, f(x 0))是曲线y=f(x)的“优美点”,则点(-x 0,-f(x 0))也在曲线y=f(x)上.如图,作出函数y=x 2+2x(x<0)的图象,然后作出其关于原点对称的图象,此图象对应的函数解析式为y=-x 2+2x(x>0).设过定点(0,2)的直线y=k 1x+2与曲线y=-x 2+2x(x>0)相切于点A(x 1, f(x 1)),则k 1=y'|x=x 1=-2x 1+2=-x 12+2x 1-2x 1-0,解得x 1=√2或x 1=-√2(舍去),所以k 1=-2√2+2.由图可知,若曲线y=f(x)存在“优美点”,则k ≤2-2√2.。

(浙江版)高考数学一轮复习专题3.1导数概念及其几何意义(讲)(2021学年)

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专题3。

1 导数概念及其几何意义【考纲解读】【知识清单】1．导数的概念1.函数ｙ=ｆ（ｘ)在x ＝x 0处的导数定义:称函数y ＝f （x ）在x ＝ｘ0处的瞬时变化率0000()()limlim x x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数ｙ=f (x )在x ＝x ０处的导数，记作f ′（ｘ0)或y ′｜ｘ＝ｘ0,即00000()()()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．2.函数f （x )的导函数称函数0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆为f （x )的导函数.对点练习：求函数1y x =的在1x =处的导数。

【答案】12-2.函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数ｆ（ｘ）在点x ０处的导数f ′(x ０)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0,f （x 0）)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地,切线方程为y －f (x 0）=f ′(x 0）(x －x 0）. 对点练习:【2016四川理数】设直线ｌ1,l 2分别是函数f （x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1,P 2处的切线，l１与l 2垂直相交于点Ｐ,且ｌ１，l ２分别与y 轴相交于点A ，Ｂ，则△PAB 的面积的取值范围是( )(A)(0,１）（B)（0，２) （C ）（0,＋∞） (D ）(1，＋∞) 【答案】A【解析】【考点深度剖析】本节中导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为全国卷高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题中前几问,难度较低.归纳起来常见的命题探究角度有：（1)求切线方程问题. (２)确定切点坐标问题．（3）已知切线问题求参数．（4）切线的综合应用.【重点难点突破】考点1 利用导数的定义求函数的导数【1—1】一质点运动的方程为283s t =-.(1）求质点在［１,1+Δt］这段时间内的平均速度;(２)求质点在ｔ=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法) 【答案】(1)63x --∆；（2）6-。

2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第3章第1节导数的概念及运算 Word版含答案

全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”.2.考查内容（1）导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中.（2）解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题.第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.3.备考策略（1）熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极（最）值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题.（2）加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用.第一节导数的概念及运算［最新考纲］ 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C（C为常数），y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数.1.导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x））处的切线斜率.相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝x n（n∈Q*）f′（x）＝nx n－1f（x）＝sin x f′（x）＝cos xf（x）＝cos x f′（x）＝－sin xf（x）＝a x f′（x）＝a x ln a（a＞0）f（x）＝e x f′（x）＝e xf（x）＝loga x f′（x）＝1x ln af（x）＝ln x f′（x）＝1 x（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；4.复合函数的导数复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.［常用结论］1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.［af（x）±bg（x）］′＝af′（x）±bg′（x）.3.函数y＝f（x）的导数f′（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′（x）|反映了变化的快慢，|f′（x）|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率.（）（2）f′（x0）与［f（x0）］′表示的意义相同. （）（3）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.（）（4）函数f（x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cos x.（）［答案］（1）×（2）×（3）×（4）×二、教材改编1.函数y＝x cos x－sin x的导数为（）A.x sin xB.－x sin xC.x cos xD.－x cos xB［y′＝x′cos x＋x（cos x）′－（sin x）′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x.］2.曲线y＝x3＋11在点P（1,12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A.－9B.－3C.9D.15C［因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P（1,12）处的切线方程为y－12＝3（x－1）.令x＝0，得y＝9.故选C.］3.函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f′（x）的大致图象为（）A B C DB ［由导数的几何意义可知，f ′（x ）为常数，且f ′（x ）＜0.］ 4.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度（单位：m ）是h （t ）＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝ m/s ，加速度a ＝ m/s 2.－9.8t ＋6.5 －9.8 ［v ＝h ′（t ）＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′（t ）＝－9.8.］考点1 导数的计算（1）求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.（2）在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误.已知函数解析式求函数的导数求下列各函数的导数：（1）y ＝x 2x ；（2）y ＝tan x ；（3）y ＝2sin 2x2－1.［解］（1）先变形：y ＝2x 32，再求导：y ′＝（2x 32）′＝322x 12.（2）先变形：y ＝sin xcos x，再求导： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝（sin x ）′·cos x －sin x ·（cos x ）′cos 2x ＝1cos 2x .（3）先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－（cos x ）′＝－（－sin x ）＝sin x .［逆向问题］已知f （x ）＝x （2 017＋ln x ），若f ′（x 0）＝2 018，则x 0＝ .1 ［因为f （x ）＝x （2 017＋ln x ），所以f ′（x ）＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ，又f ′（x 0）＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.］求导之前先对函数进行化简减少运算量.如本例（1）（3）. 抽象函数求导已知f （x ）＝x 2＋2xf ′（1），则f ′（0）＝ . －4 ［∵f ′（x ）＝2x ＋2f ′（1）， ∴f ′（1）＝2＋2f ′（1）， ∴f ′（1）＝－2，∴f ′（0）＝2f ′（1）＝2×（－2）＝－4.］赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′（1）为常数，然后借助导数运算法则计算f ′（x ），最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′（x ）求解即可.1.已知函数f （x ）＝e x ln x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为 .e ［由题意得f ′（x ）＝e x ln x ＋e x ·1x，则f ′（1）＝e.］2.已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足关系式f （x ）＝x 2＋3xf ′（2）＋ln x ，则f ′（2）＝ .－94 ［因为f （x ）＝x 2＋3xf ′（2）＋ln x ，所以f ′（x ）＝2x ＋3f ′（2）＋1x ，所以f ′（2）＝4＋3f ′（2）＋12＝3f ′（2）＋92，所以f ′（2）＝－94.］ 3.求下列函数的导数（1）y ＝3x e x －2x ＋e ；（2）y ＝ln xx 2＋1；（3）y ＝ln2x －12x ＋1. ［解］（1）y ′＝（3x e x ）′－（2x ）′＋e ′＝（3x ）′e x ＋3x （e x ）′－（2x ）′＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝（ln 3＋1）·（3e ）x －2x ln 2.（2）y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x（x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2.（3）y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝［ln （2x －1）－ln （2x ＋1）］′ ＝［ln （2x －1）］′－［ln （2x ＋1）］′ ＝12x －1·（2x －1）′－12x ＋1·（2x ＋1）′ ＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1. 考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路（1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′（x 0）. （2）若求过点P （x 0，y 0）的切线方程，可设切点为（x 1，y 1），由⎩⎨⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可.（3）处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.求切线方程（1）（2019·全国卷Ⅰ）曲线y ＝3（x 2＋x ）e x 在点（0,0）处的切线方程为 .（2）已知函数f （x ）＝x ln x ，若直线l 过点（0，－1），并且与曲线y ＝f （x ）相切，则直线l 的方程为 .（1）3x －y ＝0 （2）x －y －1＝0 ［（1）∵y ′＝3（x 2＋3x ＋1）e x ，∴曲线在点（0,0）处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点（0,0）处的切线方程为y ＝3x .（2）∵点（0，－1）不在曲线f （x ）＝x ln x 上， ∴设切点为（x 0，y 0）.又∵f ′（x ）＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝（1＋ln x 0）x . ∴由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.］（1）求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.如本例（1）是“在点（0,0）”，本例（2）是“过点（0，－1）”，要注意二者的区别.求切点坐标（2019·江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x上，且该曲线在点A 处的切线经过点（－e ，－1）（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是（e,1）［设A （x 0，y 0），由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0（x －x 0）.因为切线经过点（－e ，－1），所以－1－ln x 0＝1x 0（－e －x 0）.所以ln x 0＝ex 0，令g （x ）＝ln x －ex（x ＞0），则g ′（x ）＝1x ＋ex2，则g ′（x ）＞0，∴g （x ）在（0，＋∞）上为增函数. 又g （e ）＝0，∴ln x ＝ex有唯一解x ＝e.∴x 0＝e.∴点A 的坐标为（e,1）.］f ′（x ）＝k （k 为切线斜率）的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键.求参数的值（1）（2019·全国卷Ⅲ）已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点（1，a e ）处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则（）A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1（2）已知f （x ）＝ln x ，g （x ）＝12x 2＋mx ＋72（m ＜0），直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切，与f （x ）图象的切点为（1，f （1）），则m ＝ .（1）D （2）－2 ［（1）∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴2＝a e ＋1，∴a ＝e －1.∴切点为（1,1），将（1,1）代入y ＝2x ＋b ，得1＝2＋b ， ∴b ＝－1，故选D.（2）∵f ′（x ）＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′（1）＝1.又f （1）＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′（x ）＝x ＋m ，设直线l 与g （x ）的图象的切点为（x 0，y 0），则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， ∴m ＝－2.］已知切线方程（或斜率）求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围.导数与函数图象（1）已知函数y ＝f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A BC D（2）已知y ＝f （x ）是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f （x ）在x ＝3处的切线，令g （x ）＝xf （x ），g ′（x ）是g （x ）的导函数，则g ′（3）＝ .（1）B （2）0 ［（1）由y ＝f ′（x ）的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f （x ）图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.（2）由题图可知曲线y ＝f （x ）在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′（3）＝－13.∵g （x ）＝xf （x ），∴g ′（x ）＝f （x ）＋xf ′（x ）， ∴g ′（3）＝f （3）＋3f ′（3），又由题图可知f （3）＝1， ∴g ′（3）＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.］函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图象升降的快慢.1.曲线f （x ）＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为 . 2x ＋y ＋1＝0 ［根据题意可知切点坐标为（0，－1）， f ′（x ）＝（x －1）（e x ）′－e x （x －1）′（x －1）2＝（x －2）e x （x －1）2，故切线的斜率k ＝f ′（0）＝（0－2）e 0（0－1）2＝－2，则直线的方程为y －（－1）＝－2（x －0），即2x ＋y ＋1＝0.］2.（2019·大同模拟）已知f （x ）＝x 2，则曲线y ＝f （x ）过点P （－1,0）的切线方程是 .y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 ［设切点坐标为（x 0，x 20）， ∵f ′（x ）＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0（x ＋1）， ∴x 20＝2x 0（x 0＋1），解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4（x ＋1），即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.］3.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A （1,3），则2a ＋b ＝ .1 ［由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎨⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.］。

2021高考数学课标版理数一轮复习讲义：第一节导数的概念及运算

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=√x的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①f(x2)-f(x1)x2-x1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②ΔyΔx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点③(x0,f(x0))处的④切线的斜率.相应地,切线方程为⑤y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).▶提醒 (1)曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,斜率为k=f '(x 0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x 0,y 0)的切线,是指切线经过P,点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转化的.3.函数f(x)的导函数称函数f '(x)=limΔx →0f(x+Δx)-f(x)Δx为f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数 f(x)=C(C 为常数) f '(x)=⑥ 0 f(x)=x α(α∈N *) f '(x)=⑦ αx α-1 f(x)=sin x f '(x)=⑧ cos x f(x)=cos x f '(x)=⑨ -sin x f(x)=a x (a>0,且a ≠1)f '(x)=⑩ a x ln a f(x)=e x f '(x)= e x f(x)=log a x (a>0,且a ≠1) f '(x)= 1xlna f(x)=ln xf '(x)= 1x5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3)[f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.[af(x)+bg(x)]'=af '(x)+bg'(x).3.函数y=f(x)的导数f '(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化方向,其大小|f '(x)|反映了变化快慢,|f '(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)f '(x 0)与[f(x 0)]'表示的意义相同.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)若f(x)=f '(a)x 2+ln x(a>0),则f '(x)=2xf '(a)+1x .( )(5)f '(x 0)表示曲线y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处切线的斜率,也可表示函数y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处的瞬时变化率.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)√ 2.下列求导运算正确的是( ) A.(x +1x )'=1+1x 2 B.(log 2x)'=1xln2 C.(3x )'=3x log 3e D.(x 2cos x)'=-2sin x 答案 B3.有一机器人的运动方程为s(t)=t 2+3t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为( ) A.194B.174 C .154 D .134答案 D4.曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为 . 答案 x+2y-2=05.求过点(0,0)与曲线y=e x 相切的直线方程. 解析设切点坐标为(a,e a ), 又切线过(0,0),则切线的斜率k=e aa , f '(x)=e x ,把x=a 代入得斜率k=f '(a)=e a , 则e a =eaa ,由于e a >0,故a=1,即切点坐标为(1,e), 所以切线方程为y=ex.导数的计算典例1 求下列函数的导数. (1)y=x 2sin x; (2)y=ln x+1x +log 2x; (3)y=cosx e x;(4)y=3x e x -2x +e; (5)y=tan x; (6)y=√x .解析 (1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x. (2)y'=(lnx +1x )'+(log 2x)'=(ln x)'+(1x )'+1xln2=1x -1x 2+1xln2. (3)y'=(cosx e )'=(cosx)'e x -cosx(e x )'(e )=-sinx+cosxe .(4)y'=(3x e x )'-(2x )'+e'=(3x )'e x +3x (e x )'-(2x )'=3x ln 3·e x +3x e x -2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2. (5)y'=(sinx cosx )'=(sinx)'cosx -sinx(cosx)'cos 2x=cosxcosx -sinx(-sinx)cos x=1cos x .(6)y'=(x 12)'=12x -12=2√x .方法技巧1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.2.具体方法:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导;(4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到复合函数,先确定复合关系,再由外向内逐层求导,必要时可换元.▶提醒对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似于f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f'(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f'(x),再令x=x0,即可得到f'(x0)的值,进而得到函数的解析式,求得所求导数值.1-1f(x)=x(2018+ln x),若f'(x0)=2019,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e答案B1-2已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a=.答案31-3已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=.答案-1解析∵f(x)=2xf'(1)+ln x,,∴f'(x)=2f'(1)+1x∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.导数的几何意义命题方向一求曲线的切线方程典例2曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.答案3x-y=0解析y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以切线的斜率k=y'|x=0=3,则曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.命题方向二求参数的值(取值范围)典例3已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案D解析 ∵y'=ae x +ln x+1,∴切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴a=e -1,将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D.典例4 直线 y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求b 的值.解析设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点的横坐标为x 1,与曲线y=ln(x+1)的切点的横坐标为x 2,所以曲线y=ln x+2在相应切点处的切线为y=1x 1·x+ln x 1+1,曲线y=ln(x+1)在相应切点处的切线为y=1x2+1·x+ln(x 2+1)-x 2x 2+1,所以{k =1x 1=1x 2+1,b =ln x 1+1=ln(x 2+1)-x 2x 2+1,解得{x 1=12,x 2=-12,于是b=ln x 1+1=1-ln 2.规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线方程是y-f(x 0)=f '(x 0)(x-x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程. (4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢.(5)求两条曲线的公切线的方法:①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解. ②利用公切线得出关系式.设公切线l 在曲线y=f(x)上的切点P 1(x 1,y 1),在曲线y=g(x)上的切点P 2(x 2,y 2),则f '(x 1)=g'(x 2)=f(x 1)-g(x 2)x 1-x 2.2-1 已知直线y=-x+1是函数f(x)=-1a ·e x 图象的切线,则实数a= .答案 e 2解析设切点为(x 0,y 0), 则f '(x 0)=-1a ·e x 0=-1, ∴e x 0=a,又-1a ·e x 0=-x 0+1, ∴x 0=2,∴a=e 2.2-2 已知曲线f(x)=x 3+ax+14在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x 相切,求a 的值. 解析由f(x)=x 3+ax+14得, f(0)=14, f '(x)=3x 2+a,则f '(0)=a,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-14=ax.设直线y-14=ax 与曲线g(x)=-ln x 相切于点(x 0,-ln x 0),又g'(x)=-1x , ∴{-ln x 0-14=ax 0,①a =-1x 0,②将②代入①得ln x 0=34, ∴x 0=e 34, ∴a=-1e 34=-e -34.A 组基础题组1.已知函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),若f '(1)=-1,则a=( ) A.e B.1e C.1e 2 D .12答案 B2.已知曲线y=x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D.12 答案 A3.已知曲线y=ln x 的某条切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1e D.-1e答案 C y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y 0),则k=y'|x=x 0=1x 0,所以切线方程为y-y 0=1x 0(x-x 0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y 0=1,则x 0=e,所以k=y'|x=x 0=1x 0=1e .4.已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 . 答案 e解析由函数的解析式可得f '(x)=e x ×ln x+e x ×1x =e x (lnx +1x),则f '(1)=e 1×(ln1+11)=e,即f '(1)的值为e.5.(2019湖北宜昌联考)已知f '(x)是函数f(x)的导数, f(x)=f '(1)·2x +x 2,则f '(2)= . 答案41-2ln2解析易知f '(x)=f '(1)·2x ln 2+2x,所以f '(1)=f '(1)·2ln 2+2,解得f '(1)=21-2ln2,所以f '(x)=21-2ln2·2x ln 2+2x,所以f '(2)=21-2ln2×22×ln 2+2×2=41-2ln2. 6.曲线y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x-27.已知a ∈R,设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l 在y 轴上的截距为 . 答案 1解析由题意可得f(1)=a,则切点为(1,a),因为f '(x)=a-1x ,所以切线l 的斜率k=f '(1)=a-1,则切线l 的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,可得y=1,故l 在y 轴上的截距为1.8.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 答案-3解析设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.9.若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0垂直,则实数a=.答案2解析因为f'(x)=sin x+xcos x,所以f'(π2)=sinπ2+π2·cosπ2=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-a2,所以1×(-a2)=-1,解得a=2.10.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,于是有f'(x)=1+1x,由于f'(1)=2,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线的斜率k=2,则曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,故将y=ax2+(a+2)x+1与y=2x-1联立,得ax2+ax+2=0,因为a≠0,两线相切于一点,所以Δ=a2-8a=0,解得a=8.11.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4解析由y=x+4x (x>0),得y'=1-4x2(x>0),设斜率为-1的直线与曲线y=x+4x(x>0)相切于点(x0,x0+4x0),由1-4x02=-1得x0=√2(x0=-√2舍去),∴曲线y=x+4x(x>0)上的点P(√2,3√2)到直线x+y=0的距离最小,最小值为√2+3√2|√12+12=4.12.函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是y=4x+4,求a,b.解析f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4,由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8,∴a=4.综上,a=4,b=4.13.(2019湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解析(1)易知点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以点(2,-6)为切点.因为f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2),f'(2)=13,所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0),f'(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-14x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3x02+1=4,所以x0=±1.所以{x0=1,y0=-14或{x0=-1,y0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.B组提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x 2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1B.0C.1D.2答案 C 依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.若曲线f(x)=ax 2(a>0)与g(x)=ln x 有两条公切线,则a 的取值范围是( )A.(0,1e )B.(0,12e )C.(1e ,+∞)D.(12e ,+∞) 答案 D 假设两曲线相切,设其切点为P(m,n),∴f '(m)=2am=g'(m)=1m ,∴2am 2=1,∵点P 在曲线上, ∴n=am 2=ln m,∴12=ln m, ∴m=e 12,∴a=12e ,当a>12e 时,两曲线相离,∴必然存在两条公切线,∴a ∈(12e ,+∞).3.已知函数f(x)={-x 2+2x,x ≤0,ln(x +1),x >0,若|f(x)|≥ax,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-2,0]解析作出函数y=|f(x)|的图象与直线y=ax,如图所示,当直线在第四象限的部分介于直线l 与x 轴之间时符合题意,直线l 为曲线f(x)的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的解析式为y=x 2-2x,则y'=2x-2,因为x ≤0,故y'≤-2,故直线l 的斜率为-2,故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可,即a ∈[-2,0].4.已知点M 是曲线y=13x 3-2x 2+3x+1上任意一点,曲线在M 处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l 的倾斜角α的取值范围. 解析 (1)∵y'=x 2-4x+3=(x-2)2-1, ∴当x=2时,y'min =-1,此时y=53,∴斜率最小时的切点为(2,53),斜率k=-1,∴切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得切线的斜率k ≥-1, ∴tan α≥-1,∵α∈[0,π),∴α∈[0,π2)∪[3π4,π). 故α的取值范围是[0,π2)∪[3π4,π).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：3.1 导数的概念及应用同步练习

3.1导数的概念及运算同步练习1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 D解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．(2020·长沙模拟)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(－1,2)B ．(1，－3)C ．(1,0)D ．(1,5) 答案 C解析设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝4x 3－1，所以f ′(x 0)＝4x 30－1＝3，即x 0＝1. 把x 0＝1代入函数f (x )＝x 4－x ，得y 0＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．3．若直线y ＝x 是曲线y ＝x 3－3x 2＋px 的切线，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.134 D ．1或134答案 D解析 ∵y ′＝3x 2－6x ＋p ，设切点为P (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 20－6x 0＋p ＝1，x 30－3x 20＋px 0＝x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，p ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，p ＝134.4.(2020·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.5．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e答案 C解析 y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x，设切点为(x 0，ln x 0)，则01|x x y x '＝＝，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.6．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．4 答案 A解析由题意可知121(),2f x x -'=g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121()4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．7．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.那么f (x )的解析式为．答案 f (x )＝e x－x ＋12x 2解析由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x－x ＋12x 2.8．(2020·邯郸模拟)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于．答案 12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)．∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2.*10.(2020·哈122中学期末)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是．答案 [34π，π)解析 ∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e xe x＋12＝－4e x e x 2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2≥－1(当且仅当e x＝1ex ，即x ＝0时取等号)，∴－1≤tan α<0.又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0，13x 30＋43)，则切线的斜率为0|x x y ＝＝x 20.∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 2·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.12．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a . 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3. 曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，又f (1)＝－1，得y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)，又g (1)＝－6，得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以两条切线不是同一条直线．*13.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.。