chapter07_1

P( z )
P(− z )
7.3节 再讨论
又：
1 T ( z ) = [ P ( z ) − P ( − z )] 2
G0 ( z ) 和 G1 ( z ) 选取的一般原则
写成更一般的形式：
ˆ ( z ) 1 G0 ( z ) G1 ( z ) H 0 ( z ) H 0 ( − z ) X ( z ) X ˆ = X ( − z ) 2 G0 ( − z ) G1 ( − z ) H 1 ( z ) H 1 ( − z ) X ( − z )
插值的基本关系
，
于是
U 0 ( z ) ˆ X ( z ) = [G0 ( z ) G1 ( z )] U ( z ) 1 V0 ( z 2 ) = [G0 ( z ) G1 ( z )] 2 V1 ( z )
输出和综合滤 波器组的关系
因为
V0 ( z 2 ) 1 H 0 ( z ) H 0 (− z ) X ( z ) = X (− z ) 2 − H ( z ) H ( z ) 2 ( ) V z 1 1 1
T(z)
T ( z ) = cz − l
1 − ( k −l ) G0 ( z ) = z H1 ( − z ) c 1 − ( k −l ) G1 ( z ) = − z H 0 (− z )
1 − ( k −l ) G0 ( z ) = z H1 ( − z ) c 1 − ( k −l ) G1 ( z ) = − z H 0 (− z ) c
分析滤波器组和输入的关系
X 0 ( z)
X (z)
V0 (z)
H0 (z)
X1 ( z)
↓2
V1 ( z )
↑2
U0 ( z)
G0 (z)
U1 ( z )
ˆ ( z) X
H1 ( z)
↓2
↑2
G1 ( z)
U 0 ( z ) = V0 ( z 2 )
U 1 ( z ) = V1 ( z 2 )
Y ( z) = X ( z L )
7.1
两通道滤波器组中各信号的关系
X0(z)
X(z)
V0(z)
H0(z)
X1(z)
↓2
V1(z)
↑2
U0(z)
G 0(z)
U1(z)
ˆ (z) X
H1(z)
↓2
↑2
G 1(z)
希望：
ˆ (n) = cx(n − n0 ) x
PR
X0 (z)
X (z)
V0 (z)
H0 (z)
X1 ( z)
↓2
V1 ( z)X (−ຫໍສະໝຸດ z )H1 ( − z )
G1 ( z )
7.2 G 0 ( z ) 和 G 1 ( z ) 的选择
为保证：
1 F ( z ) = [ H 0 (− z )G0 ( z ) + H1 (− z )G1 ( z )] = 0 2
直观上：
G0 ( z ) = H1 (− z )
G1 ( z ) = − H 0 (− z )
det H m = H 0 ( z ) H1 (− z ) − H 0 (− z ) H1 ( z ) = 2T ( z )
z −k G0 ( z ) = H1 ( − z ) T ( z)
− z −k G1 ( z ) = H 0 (− z ) T ( z)
G0 和 G1 选
取的一般原则。 比前述最直接 的形式多了前 面分式项
1 1 1 2 2 2 V0 ( z ) 1 H 0 ( z ) H 0 (− z ) X ( z ) V ( z ) = 2 1 1 1 1 2 2 2 H ( z ) H ( z ) − ( ) − X z 1 1
所以
z −k G0 ( z ) = H1 ( − z ) T ( z)
− z −k G1 ( z ) = H 0 (− z ) T ( z)
讨论： 1. 若 H 0 ，H1 是FIR的，则 T ( z ) 也是FIR的， 这样，G0 和 G1 都将 变成IIR的，这是不希 望的； 2. 保证 G0 ，G1 为FIR的唯一途径是令 为纯延迟，例如
含意：
分 析
H 0 ( z ) ：LP；
G0 ( z ) ：LP；
H1 ( z ) ：HP；
H1 (− z ) ：LP；
X0 (z)
X (z)
G1 ( z ) ：HP；
综 合
V0 (z)
H0 (z)
X1 ( z)
↓2
V1 ( z)
↑2
U0 (z)
G0 (z)
U1 ( z)
ˆ (z) X
H1(z)
↓2
第7章 两通道滤波器组
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 两通道滤波器组中各信号的关系 G0 ( z )和 G1 ( z )的选择 标准正交镜像滤波器组 共轭正交镜像滤波器组 共轭正交镜像虑波器的设计 仿酉滤波器组 两通道仿酉滤波器组的Lattice结构 线性相位准确重建两通道滤波器组 树状滤波器组
H 0 ( z ), H1 ( z ); G0 ( z ), G1 ( z )
来保证：
F ( z ) = 0;
T ( z ) = cz
−k
另外，四个滤波器有何关系
两通道滤波器组输入、输出关系的图解形式：
X ( z)
H 0 ( z)
H 0 (− z )
G0 ( z )
ˆ ( z) X
H1 ( z )
则 如果令 则
ˆ ( z ) = T ( z ) X ( z ) + F ( z ) X (− z ) X
F ( z) = 0
保证去除 混叠失真
ˆ ( z) = T ( z) X ( z) X 1 = [ H 0 ( z )G0 ( z ) + H1 ( z )G1 ( z )] X ( z ) 2
必要条件
例1
这是第5章给出的一个多抽样率系统，它可以 看作是一个两通道的滤波器组
x(n)
z −1
↓2 ↓2
v1 (n)
v2 (n)
↑2 ↑2
u 1(n)
u 2(n)
z −1
ˆ (n) x
意 义 ？
显然：
H 0 ( z) = 1
G0 ( z ) = z −1
H1 ( z ) = z −1
G1 ( z ) = 1
−k z 1 Gm H m T = 2 0
0 (− z )− k
−k z 1 Gm H m T = 2 0
0 −k (− z )
0 1 T −1 Gm = 2 z H ( m ) −k 0 (−1)
−k
因为
2 z − k H1 ( − z ) − H 0 ( − z ) = − H ( z ) H ( z ) det H m 0 1
2 ( ) V z 0 ˆ ( z ) = [G ( z ) G ( z )] X 0 1 2 V1 ( z )
( ) X z ( ) ( − ) H z H z 1 0 0 ˆ X ( z ) = [G0 ( z ) G1 ( z )] ( − ) X z 2 ( ) ( − ) H z H z 1 1
非常简单！
G 0 ( z )，G 1 ( z ) 的选择不取决于 H 0 ( z ) ，H 1 ( z ) 注意到： H1(z) 即：不论 H 0 ( z ) ， 是何种类型的滤波器， 按 G0 ( z ) = H1 (− z ) ， G1 ( z ) = − H 0 (− z ) 来选择 G 0 ( z ) 和 G 1 ( z ) ，都可以去除混迭失真。
if k =l =0 c =1
G0 ( z ) = H1 (− z
G1 ( z ) = − H 0 (− z
一般原则 总结：
特殊原则
1. G0 和 G1 选取的原则是为了去除混叠失真； 2. G0 和 G1 选取可以和 H 0 , H1 无关；
3. H 0 和 H1 选取的原则是为了保证准确重建；
det H m = 2T ( z ) = cz − k
1 T ( z ) = [ H 0 ( z )G0 ( z ) + H1 ( z )G1 ( z )] = z −1 2
1 F ( z ) = [ H 0 ( − z )G0 ( z ) + H1 (− z )G1 ( z )] = 0 2
PR!
讨论几个常用的关系：
1. F ( z ) = H (− z )
强制 F ( z ) = 0 去除了混迭失真 ，但还会存在幅度和 相位失真，由
H 0 ( z ), G0 ( z ), H1 ( z ), G1 ( z )
共同产生，表现在 T ( z ) 上，所以， T ( z ) 又称为 失真传递函数。 如果 T ( z ) 是全通的，则去除了整个滤波器组的幅 度失真； 如果 T ( z ) 具有线性相位，则去除了整个滤波器组 相位失真； 如果
T ( z ) = cz − k
ˆ (n) = cx(n − k ) x
由于
1 T ( z ) = [ H 0 ( z )G0 ( z ) + H1 ( z )G1 ( z )] 2 1 F ( z ) = [ H 0 (− z )G0 ( z ) + H1 (− z )G1 ( z )] 2
问题：如何选择
X ( − z ), H ( − z )
X (− z )
z = e jω