吉林省高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

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吉林省东北师范大学附属中学2020届高三上学期第二次模拟考试文科数学答案

1
1
2b2 2b3
2b2 (2b − 3)
所以 S= |RE|yQ= (b+b)
2
2
= ，S′=
b −1 b −1
(b −1)2
，b∈(1,+∞)，
3
3
当 b∈(1, )时，函数单调递减；当 b∈( ,+∞)时，函数单调递增；
2
2
3
27
∴当 b= 时，S 最小值为．
2
2
21．解：(1)f(x)的定义域为( 0 , +∞ )．
∴四边形 ACC1A1 是菱形，∴A1C⊥AC1，
又 AC1∩B1C1=C1，AC1、B1C1⊂平面 AB1C1，
∴A1C⊥平面 AB1C1，
又 A1C⊂平面 A1B1C，∴平面 AB1C1⊥平面 A1B1C；
(2)四边形 ACC1A1 是菱形，∠A1AC=60∘，AC=2，
1
∴S△ACC1= ×2×2×sin60∘=
由 x2=4y，得 y= 1 x2 ，y′= 1 x ，切线 n 的斜率 k= 1 (−2b)=−b，
4
2
2
切线 n 的方程为：y−b2=−b(x+2b)，即 y=−bx−b2，
y =−bx − b2
2b2
由
y =−x + b
，得直线 l、n 交点 Q，纵坐标 yQ= b −1 ，
在直线 y=−x+b，y=−bx−b2 中分别令 y=0，得到与 x 轴的交点 R(b,0)，E(−b,0)，
3，
2
又 B1C1//BC，B1C1=BC，BC⊥平面 ACC1A1，BC=1，
∴VB1−ACC1= 1 ×S△ACC1×B1C1= 1 ×

吉林省2020届高三第二次模拟考试数学文科试题 Word版含解析

文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足(12)1i z i +=-，则z =（） 2 1010 32【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法、乘法法则，计算z ，然后根据复数模的运算方法，可得结果.【详解】由(12)1i z i +=- 则()()()()()22112113212121212i i i i i z i i i i ----+===++-- 由21i =-，所以1355z i =-- 则221310555z ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】本题考查复数四则运算以及模的运算，关键在于计算，属基础题.2.已知集合{3}A x Z x =∈<，{|1B x x =<-或2}x >，则()R A B =（）A. {0,1,2}B. {1,0,1}-C. {0,3}D. {1,0,1,2}-【答案】D【解析】【分析】根据绝对值不等式解法，可得集合A ，然后依据补集的知识，可得B R ，最后根据交集的概念，可得结果. 【详解】由333x x <⇒-<<所以{}{3}2,1,0,1,2A x Z x =∈<=--又{|1B x x =<-或2}x >，所以{}12R B x x =-≤≤所以{}()1,0,1,2R A B =-故选：D【点睛】本题考查集合的交集和补集的计算，掌握交集、并集、补集的概念，属基础题.3.已知8log 7a =，3log 2b =，0.1c π=，则（）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】C【解析】【分析】根据89log 7log 7>，将39log 2log 4b ==，利用对数函数的单调性，可得,a b 大小关系，然后借助中间值1，以及指数函数的单调性，可得结果.【详解】由对数函数比较底数大小口诀：在第一象限，图像越靠近y 轴，则底数越小所以可知89log 7log 7a =>，而39log 2log 4b ==又9log y x =在定义域单调递增，所以99log 7log 4>且99991log 9log 7log 4log 10=>>>=所以01b a <<<由xy π=在R 上单调递增，所以0.101ππ>=所以1c >，故c a b >>故选：C【点睛】本题考查指数式、对数式比较大小，关键在于比较,a b 大小，熟练对数函数底数的比较，学会总结，可简便计算，同时也会借助中间值比较大小，比如：0，1，属中档题.4.长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同的使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例512-（510.6182-≈称为黄金分割比例），这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知下图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD 的长为（）（结果保留两位小数）A. 10.09B. 11.85C. 9.85D. 11.09 【答案】D【解析】【分析】根据黄金分割比例的定义，依次计算各小矩形的长，最后可得结果. 【详解】令51a -=如图由1EH =，则1EF a =，则21EFGH a a ==可知31GHGC a a ==，则41GC CD a a ==所以41CDBC a a ==所以矩形ABCD 的长()551111.090.618BC a ==≈故选：D【点睛】本题考查新定义的理解，实质上考查等比数列的项的计算，审清题意，细心计算，属基础题5.函数4()()cos (f x x x x xππ=--≤≤且0)x ≠的图象可能为（） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据计算()f x -，判断函数的奇偶性，然后代入特殊值π，可得结果.【详解】有题可知：函数的定义域为[],ππ-关于原点对称()()44cos cos f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则()()f x f x -=-，可知该函数为奇函数又()44cos 0f ππππππ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭所以A 正确故选：A【点睛】本题考查判断函数的图像，对这种题型，可以从这几个方面进行判断：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）单调性；（4）值域；（5）取特殊值，属基础题.6.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法从中抽取56人做问卷调查，将840人按1，2，3，，840随机编号，若442号职工被抽到，则下列4名职工中未被抽到的是（）A. 487号职工B. 307号职工C. 607号职工D. 520号职工【答案】D【解析】【分析】利用系统抽样的概念，可得抽样距为15，根据每组抽出号码成等差数列，结合442号在第30组，可知第一组抽出的号码，进一步得到等差数列的通项公式，简单判断，可得结果. 【详解】由题可知：抽样距为8401556=，设第一组抽出的号码为1a ，由前29组共有435项，前30组有450项所以可知442号落在第30组又因为每组抽出号码成等差数列{}n a ，公差为15所以()11301154427a a +-⨯=⇒=所以()7151158n a n n =+-=-当520n a =时，则52815852015n n -=⇒= 又n *∈N ，所以520号职工不是被抽到的员工故选：D【点睛】本题考查系统抽样，还考查等差数列通项公式，难点在于求出1a ，属基础题.7.tan 645=（）A. 2-+B. 2-C. 2D. 2【答案】B【解析】【分析】将大角化小角，根据诱导公式可得tan 75-，然后根据754530=+，以及两角和的正切公式，可得结果.【详解】()()tan 645tan 72075tan 75=-=-则tan 645tan 75=- 由()tan 45tan 30tan 75tan 45301tan 45tan 30+=+=-所以tan 752=+则tan 6452=-故选：B【点睛】本题考查诱导公式，以及特殊角的转化，还考查两角和的正切公式，关键在于计算，属基础题.8.若向量a ，b 满足||3a =，||26b =，且满足(2)a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（）A. 3πB. 23πC. 4πD. 34π 【答案】 D 【解析】【分析】利用向量垂直关系，可得a b ⋅，然后根据向量夹角公式，可得结果.【详解】由(2)a b a +⊥，所以(2)0a b a +⋅=则220a a b +⋅=，又||3a =，所以6a b ⋅=-，由||26b =则2cos ,2a ba b a b ⋅==-，又[],0,a b π∈，所以3,4a b π=故选：D 【点睛】本题考查向量的垂直关系以及向量的夹角公式，掌握公式，细心计算，属基础题.9.如图给出的是计算1111352019++++的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入（）A. 123S S i =++ B. 121S S i =++ C. 11S S i =++ D.121S S i =+-【答案】D【解析】【分析】根据该算法的功能以及按步骤依次计算，采用对选项逐一验证，可得结果. 【详解】该程序框图的功能为计算1111352019++++的值由1,0i S ==，A 错，若123S S i =++，则第一次执行：105S =+，不符合B 错，若121S S i =++则第一次执行：103S =+，不符合C 错，若11S S i =++则第一次执行：102S =+，不符合D 正确，若121S S i =+- 则第一次执行：01S =+，然后依次执行，符合题意故选：D【点睛】本题考查程序框图，这种题型，一般依次执行，耐心观察细心计算，属基础题.10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆222(1)sin 130x y -+=相切，则该双曲线的离心率等于（） A. 1sin50 B. 1cos50 C. 2sin50 D. 2cos50【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程，可得渐近线方程，然后根据直线与圆的位置关系，利用几何法表示，根据平方关系以及,,a b c 的关系，结合离心率公式，可得结果.【详解】双曲线22221x y a b-=的渐近线为0bx ay ±= 由渐近线与圆222(1)sin 130x y -+=相切 sin130=两边平方：2222sin 130b a b=+，又222b c a =- 所以2222sin 130c a c -=，则2221sin 130a c-= 所以2222cos 130cos 50a c==，由c e a =，所以1cos50e = 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，还考查了双曲线的渐近线，关键在于利用几何法得到关系式子，细心计算，注意角度变换，属基础题.11.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知2cos 0b a C -=，sin 3sin()A A C =+，则2bc a =（）C. 23 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得c =，最后可得结果.【详解】在ABC ∆中，sin sin a b A B= 由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=所以3a b =①，又2cos 0b a C -=② 由①②可知：2cos 3C = 又2222cos 23a b c C ab +-==③把①代入③化简可得：c =则()2293bc b a b == 故选：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属中档题.12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为1(3,0)F -，2(3,0)F ，过2F 作直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B 两点．若224BF AF =，1||||AF AB =，则C 的方程是（） A. 22136x y -= B. 22154x y -= C. 22163x y -= D.22145x y -= 【答案】B【解析】【分析】采用数形结合，计算11,BF AF ，利用余弦定理，2221212112cos 2AF AF F F F AB AF AF +-∠=以及2221111cos 2AF AB BF F AB AF AB +-∠=，可得2a ，最后根据222b c a =-，可得结果. 【详解】如图由12||||2AF AF a -=，1||||AF AB =所以2||2BF a =，又224BF AF =则22a AF =，15||2a AF =，由121||2||4BF BF a BF a -=⇒=2221212112cos 2AF AF F F F AB AF AF +-∠= 即()22215222cos 5222a a c F AB a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=⨯⨯ 又2221111cos 2AF AB BF F AB AF AB +-∠=即()222155422cos 55222a a a F AB a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=⨯⨯()()222222555242222555222222a a a a c a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯且3c =，计算可得：25a = 所以2224b a c =-=故双曲线方程为：22154x y -=故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的定义，关键在于计算，注意知识的交叉应用，考验分析能力以及计算能力，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.曲线2(3)xy x x e =-在点(0,0)处的切线方程为________．【答案】0x y += 【解析】【分析】根据函数的导函数以及曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果.【详解】由2(3)xy x x e =-，则()()2'23(631)51xxxy x x e x x x e e +-=+-=-01x y ='=-所以切线方程为：y x =-，即0x y += 故答案为：0x y +=【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程，重点在于曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.14.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，113a =，2366a a =，则5S =_______．【答案】313【解析】【分析】根据等比数列的通项公式计算可得公比q ，然后根据等比数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 由()2251123666a q a a a q ⇒==所以16q a =，又113a =，所以2q所以()()551511213131123a q S q --===--故答案为：313【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及前n 项和公式，重在于对公式的识记，属基础题. 15.函数()sin()8cos 22xf x x π=--的最小值为_______．【答案】7- 【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，可得关于cos 2x的二次函数形式，然后使用换元法以及二次函数的性质，可得结果.【详解】由()sin()8cos 22xf x x π=-- 所以2()cos 8cos 2cos 18cos 222x x x f x x =-=-- 即2()2cos8cos 122x x f x =--，由1cos 12x -≤≤ 令cos 2xt =，[]1,1t ∈-则2281y t t =--，对称轴为2t = 所以2281y t t =--在[]1,1-递减当1t =，即cos 12x=时，有min ()7f x =- 故答案为：7-【点睛】本题主要考查二次函数型的最值问题，掌握二次函数的性质，熟练二倍角公式，诱导公式的应用，属基础题.16.如图，在五面体ABCDEF 中，AB //DC ，2BAD π∠=，3CD AD ==，四边形ABFE为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，5FC =，则直线AB 到平面EFCD 距离为_________．【答案】374【解析】【分析】利用等价转化的思想转化为点到面的距离，作AG FD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明AG ⊥平面EFCD ，然后计算,AF DF 使用等面积法，可得结果.【详解】作AG FD ⊥ 如图由AB //DC ，DC ⊂平面EFCD ，AB ⊄平面EFCD所以AB //平面EFCD所以直线AB 到平面EFCD 距离等价于点A 到平面EFCD 距离又FA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 所以FA ⊥CD ，又2BAD π∠=，则CD AD ⊥,AD FA ⊂平面FAD ，AD FA A ⋂=，所以CD ⊥平面FADAG ⊂平面FAD ，所以CD AG ⊥又,CD FD ⊂平面EFCD ，CD FD D ⋂= 所以AG ⊥平面EFCD所以点A 到平面EFCD 距离为AG由3CD AD ==，所以2232AC CD AD =+= 又5FC =，所以227AF FC AC =-=在AFD ∆中，224FD AD AF =+=又1137224FD AG AD AF AG ⋅⋅=⋅⋅⇒=故答案为：37【点睛】本题考查线面垂直的综合应用以及等面积法求高，重点在于使用等价转换的思想，考验理解能力，分析问题的能力，属中档题.三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.为了研究每周累计户外暴露时间是否足够（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级100名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；（2）能否认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）12；（2）能认为，见解析. 【解析】【分析】（1）计算 “该中学一年级学生的近视”的人数，利用所求人数与总数的比值，可得结果. （2）计算2K ，然后与表格数据进行对比可得结果. 【详解】（1）由题可知：“该中学一年级学生的近视”的人数为50，总数为100，则利用样本估计总体思想可知：该中学一年级学生的近视率：5011002= （2）由题可知：100,20,35,30,15n a b c d =====由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++则22100(20153530)9.09 6.635(2035)(3015)(2030)(3515)K ⨯-⨯=≈>++++ 可以认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系【点睛】本题主要考查统计量2K 的计算，重在于计算，属基础题 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =-，60S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）27n a n =-；（2）8 【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及前n 项和，可得1,a d ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论，计算n S ，然后可得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d 由23a =-，60S =所以11135652602a d a dd a +=-⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩，所以27n a n =-（2）由（1）可知：27n a n =- 所以()1262n n a a n S n n +==-又n n S a >，所以2627n n n ->- 即28701n n n -+>⇒<或7n >所以使不等式n n S a >成立的n 的最小值为8【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，主要是计算，属基础题. 19.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1333DC DD AD AB ====，AD DC ⊥，AB //DC ，E 为DC 上一点，且1DE =．（1）求证：1D E //平面1A BD ；（2）求点D 到平面1BED 的距离．【答案】（1）见解析；（2）310【解析】【分析】（1）通过证明四边形ABED 为平行四边形，可得1D E //1A B ，然后根据线面平行的判定可得结果.（2）作1DM D E ⊥交1D E 于M ，根据DM BE ⊥，可得DM ⊥平面1BED ，然后计算DM ，可得结果.【详解】（1）∵AB //DC ，且33AB DC ==， ∴AB //DE ，AB DE =，故四边形ABED 为平行四边形，∴BE //AD //11A D ，11BE AD A D ==， ∴四边形11A D EB 为平行四边形， ∴1D E //1A B ，∵1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ， ∴1D E //平面1A BD ．（2）过D 作1DM D E ⊥交1D E 于M ，如图∵1111ABCD A B C D -为直四棱柱， ∴1DD ⊥底面ABCD ，∴1DD BE ⊥，由（1）得BE //AD ，∵AD DC ⊥， ∴BE DC ⊥，而1DC DD D ⋂=，∴BE ⊥平面11DCC D ，DM ⊂平面11DCC D ， ∴BE DM ⊥，又∵1DM D E ⊥，1BE D E E =，∴DM ⊥平面1BED ，∴点D 到平面1BED 的距离即为DM 长，∵1DE =，13DD =，∴1D E =∴DM ==，∴点D 到平面1BED 【点睛】本题考查线面平行的判定以及点面距离，第（2）问中在于找到点D 到平面1BED 的距离即为DM 长，熟练线线、线面、面面之间的关系，考验观察能力以及分析能力，属中档题.20.已知函数31()sin cos 6f x x x x x =--，'()f x 为()f x 的导数．（1）证明：'()f x 在区间(0,)2π上不存在零点；（2）若31()cos 16f x kx x x x >---对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）4(,]π-∞．【解析】【分析】（1）计算'()f x ，然后从中提出函数1()sin 2g x x x =-，根据通过导数研究()g x 单调性，根据()g x 的值域，可知'()0f x >，最后可得结果.（2）化简式子，然后使用分离参数的方法，构建新的函数，利用导数研究新函数的单调性，计算新函数的最值并与k 进行比较，可得结果. 【详解】（1）'211()sin (sin )22f x x x x x x x =-=-，令1()sin 2g x x x =-，则'1()cos 2g x x =-，当(0,)3x π∈时，'()0g x >，()g x 单增；当(,)32x ππ∈时，'()0g x <，()g x 单减，∵(0)0g =，()036g ππ=->，()1024g ππ=->，所以()g x 在(0,)2π上恒大于0，则'()0f x >在(0,)2π上恒成立，所以'()f x 在区间(0,)2π上不存在零点．（2）由31()cos 16f x kx x x x >---，得sin 1x kx >-， ∵(0,)2x π∈，故sin 1x k x+<，令sin 1()x t x x +=，则'2cos sin 1()x x x t x x--=，令()cos sin 1m x x x x =--，则'()sin 0m x x x =-<恒成立， ()m x 在(0,)2π上单调递减，∴()(0)10m x m <=-<，∴'()0t x <在(0,)2π上恒成立，即()t x 在(0,)2π上单减，∴4()()2t x t ππ>=，∴4k π≤，∴k 的取值范围是4(,]π-∞．【点睛】本题考查导数的综合应用，第（1）问中，难点在于从中分离出函数1()sin 2g x x x =-来研究，第（2）问中，难点在于分离参数，且两次使用导数，考验分析能力，属难题.21.已知O 为坐标原点，椭圆2212y x +=的下焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆相交于A ，B 两点.（1）以AB为直径的圆与x =相切，求该圆的半径；（2）在y 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅为定值，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1；（2）存在定点，50,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为()()11221,,,,y kx A x y B x y =-，联立直线与椭圆的方程消元可得12222+=+k x x k ，12212-=+x x k ，算出AB ，由以AB 为直径的圆与x =相切可得22k k =+，解出k 即可（2）设()00,P y ，可算出()222000222412y k y y PA PB k -+++⋅=+，要为常数则有22000224112y y y -++=，解出0y 即可【详解】由题意可设直线l 的方程为()()11221,,,,y kx A x y B x y =-，由22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得()222210k x kx +--=，则224480k k ∆=++>恒成立，12222+=+k x x k ，12212-=+x x k ， ()12122422y y k x x k -+=+-=+，()()21212222112k y y kx kxk -=--=+.（1）2212k AB k +==+，线段AB 的中点的横坐标为22kk +，∵以AB为直径的圆与x22kk=+，解得k=此时1222AB+==+.（2）设()00,P y，()()()212102012120120PA PB x x y y y y x x y y y y y y⋅=+--=+-++()222200022222224141222222y k y yykyk k k k-+++--=+++=++++，由22000224112y y y-++=，得54y=-，716PA PB⋅=-，∴y轴上存在定点50,4P⎛⎫-⎪⎝⎭，使得PA PB⋅为定值.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为241mxmy⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2sin()46πρθ+=．（1）写出曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）C：221(43x yy+=≠，l40x+-=；（2【解析】【分析】（1）计算平方和22()2x+，消参，并注意y的范围，可得曲线C的普通方程，然后利用两角和的正弦公式化简，结合sin ,cos y x ρθρθ==，可得l 的直角坐标方程.（2）根据（1）的条件假设曲线C上任意一点(2cos )θθ，使用点到直线的距离公式，然后使用辅助角公式，可得结果.【详解】（1）∵<≤22()12x +=， ∴C 的普通方程为221(43x y y +=≠，1:2cos )42l ρθθ+=， sin cos 4θρθ+=，∴l 40x +-=．（2）由（1）可知：设C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则可设C 上任意一点坐标为(2cos )θθ，则C 上点到l 距离为d ，d ==其中2tan 3ϕ=当sin()1θϕ+=时，min42d==， ∴曲线C 上的点到l 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程的相互转化，以及辅助角公式的应用，重在于掌握公式，以及熟练参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化，属中档题. 23.已知a ，b ，c 为正数，且满足8abc =，证明：（1）(4)(4)(4)216a b c +++≥；（2）222()()()48a b b c c a +++++≥. 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）分解式子并使用三次基本不等式，可得422a a +=++≥=，(4),(4)b c ++以此类推，注意取等号的条件，可得结果.（2）利用三次基本不等式，可得22223()()()3[()()()]a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，然后对里面每个因式使用基本不等式，可得结果. 【详解】（1）∵0a >，0b >，0c >，∴422a a +=++≥=422b b +=++≥=422c c +=++≥=故(4)(4)(4)216a b c +++≥=，当且仅当2a b c ===时取等号， ∴(4)(4)(4)216a b c +++≥．（2）222()()()a b b c c a +++++≥ 即22223()()()3[()()()]a b b c c a a b b c c a +++++≥+++233[()()()]a b b c c a +++233)≥⨯， 2223333[()()()]3(8)36431648a b b c c a abc +++≥⨯=⨯=⨯=当且仅当a b c ==时取等号， ∴222()()()48a b b c c a +++++≥．【点睛】本题考查n 次基本不等式的使用，第（1）问中难点在于分解，本题考验极强的分析能力以及观察能力，属难题.。

吉林省东北师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学(文科)试题Word版含答案

吉林省东北师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学（文科）试题考试时间：120分钟试卷满分:150分一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合A ＝{}22320x x x -->，B ＝{}2ln(1)x y x =-，则A B ＝（）A ．(2,1)--B ． (,2)(1,)-∞-+∞ C ．1(1,)2- D ． (2,1)(1,)--+∞2.不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是( )3.已知数列{}n a 满足11a =，12(2,)n n a a n n N *-=≥∈，则数列{}n a 的前6项和为（）A ．63B ．127C ．6332 D ．127644.若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则sin()4πα+=( )A ． C ．5.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列命题不正确的是（） A ．若m //n ，m α⊥，则n α⊥B ．若m α⊥，m β⊥，则αβC ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥D ．若//m α，n αβ=，则m //n6.已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（）A ．．4 C ．8 D ．167.已知两定点(0,2)A -，(0,2)B ，点P 在椭圆2211216x y +=上，且满足||||AP BP -＝2，则AP BP 为（）A ．－12 B.12 C ．一9 D ．98.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A ．2 B．C.2D.9.点F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF ∆为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．2B．2 C．12 D110.已知抛物线28y x =的焦点F 到双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>点P 是抛物线28y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线2x =-的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A ．22123y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．22132y x -= 11.已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30,AB AC BAC =∠=若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y+的最小值是（）A ．20 B ．18 C ．16 D ．912.已知圆C ：1)()(22=-+-b y a x ，平面区域Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00307y y x y x .若圆心Ω∈C ，且圆C 与x 轴相切，则22b a +的最大值为（）A.49 B.37 C.29 D.5 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE =__________．14.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++=________．15.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．俯视图侧视图正视图16.已知函数⎩⎨⎧<<-≤<=63),6(30,lg )(x x f x x x f ，设方程()2()xf x b b R -=+∈的四个实根从小到大依次1234,,,x x x x ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的为 . （请填所有正确命题的序号）（1）1201x x <<或()()340661x x <--<；（2）1201x x <<且()()34661x x -->；（3）1219x x <<或34925x x <<；（4）1219x x <<且342536x x <<. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤） 17.（本小题12分）在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 2sin c A = （Ⅰ）确定角C 的大小；（Ⅱ）若c =ABC ∆a b +的值．18.（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()14211n n S n a +=-+(*n ∈N ),且11=a . （Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列；（Ⅱ）设n b =数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:32n T <(*n ∈N ).19．(本小题12分)如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD BC //，AB AD ⊥，13AB BC AD ==，PA ⊥底面ABCD ，过BC 的平面交PD 于M ，交PA 于N （N 与A 不重合）．（Ⅰ）求证：BC MN //；（Ⅱ）如果BM AC ⊥，求此时PMPD的值．20．(本小题12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.CNMPDBA21.（本小题12分）已知函数． x ee xf m xln )(-=（Ⅰ）设1x =是函数)(x f 的极值点，求m 的值并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）当2≤m 时，证明：0)(>x f ．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l的参数方程是x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin ρθρθ+-2sin 30ρθ-=．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB ．23．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲设函数()214f x x x =+--．（Ⅰ）解不等式0)(>x f ；（Ⅱ）若()34f x x m +->对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．吉林省东北师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学（文科）试题答案ACCDB DDDCB BA﹣ ；50；；（1），（2），（3）17.（本小题10分）在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角A ，B ，C2sin c A =(1)确定角C 的大小；（2）若c =ABCa 十b 的值． 17.（本题10分）解（12sin c A =及正弦定理得，sin sin a Ac C ==sin 0,sin A C ≠∴=Q ABC ∆Q 是锐角三角形，3C π∴=…………5分（2）解法1：.3c C π==Q 由面积公式得1sin 623ab ab π==即 ① 由余弦定理得22222cos7,73a b ab a b ab π+-=+-=即 ②由②变形得25,5a b =+=2（a+b)故解法2：前同解法1，联立①、②得2222766a b ab a b ab ab ⎧⎧+-=+⇔⎨⎨==⎩⎩＝１３消去b 并整理得4213360a a -+=解得2249a a ==或所以2332a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或故5a b +=…………10分18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()14211n n S n a +=-+(*n ∈N ),且11=a . (1) 求证：数列{}n a 为等差数列；（2)设n b =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:32n T <(*n ∈N ). 18.解(Ⅰ) 由题设()14211n n S n a +=-+,则21413a S =-=，3234115,a S =-=35a =. 当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+,两式相减得()()12121n n n a n a ++=-, …………………2分方法一：由()()12121n n n a n a ++=-，得12121n n a a n n +=+-，且2131a a=. 则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列，即1121211n a a n ==-⨯-，也即21n a n =- ……………………6分所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列 ………………………7分方法二：由()()12121n n n a n a ++=-，得()()122321n n n a n a +++=+，两式相减得212n n n a a a +++=,且1322a a a += …………………6分所以数列{}n a 等差数列. …………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得12-=n a n ,()21212n n n S n +-==,()121nbn n =-, …………………9分当1=n 时,1312T =<成立；………………………………………………………10分当2n ≥时,()()111111121212122n b n n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪---⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ …………………12分所以1111111122231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113111222n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭综上所述,命题得证. ………………（理）19.如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ,222=====BG AD CE CD BC （Ⅰ）证明：AG //平面BDE ;（Ⅱ）求平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值.（文019． (本小题满分12分)如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD BC //，AB AD ⊥，13AB BC AD ==，PA ⊥底面ABCD ，过BC 的平面交PD 于M ，交PA 于N （N 与A 不重合）．（Ⅰ）求证：BC MN //；（Ⅱ）如果BM AC ⊥，求此时PMPD的值． 19.证明：（1）因为梯形ABCD ，且AD BC //，又因为⊄BC 平面PAD ，⊂AD 平面PAD ，所以//BC 平面PAD ．因为平面 BCNM 平面PAD =MN ，所以BC MN //． …………4分（2）过M 作//MK PA 交AD 于K ，连结BK ．因为PA ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD ．所以MK AC ⊥．又因为BM AC ⊥，BM MK M =，所以⊥AC 平面BMK ，所以AC BK ⊥．知13AK AD =，所以13PM PD =． …………12分20．(本小题满分12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B. CNMPDBAKABDPMC经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值. 20．(本小题满分12分)解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += …………………………4分（Ⅱ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= …………5分当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++ ………………8分此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+ ………………………………10分因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+（k =所以12||S S -………………………………12分另解：（Ⅲ）设直线l 的方程为：1-=my x ()R m ∈，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x my x 得，()0964322=--+my y m ．设()11y ,x C ，()22y ,x D ，则436221+=+m m y y ，0439221<+-=⋅m y y ． ………………8分所以，2121y AB S ⋅=，1221y AB S ⋅=，()21122142121y y y y AB S S +⨯⨯=-=-43122+=m m ……………………10分当0=m 时，=-21S S 343212431222=⨯≤+=mmm m ()R m ∈．由432=m ，得 332±=m ．当0=m 时，3021<=-S S 从而，当332±=m 时，21S S -取得最大值3．…………………………12分21.（本小题12分）已知函数． x ee xf m xln )(-=（Ⅰ）设1x =是函数)(x f 的极值点，求m 的值并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）当2≤m 时，证明：0)(>x f ．（21）（本小题满分12分）解证：（Ⅰ）1()x m f x e x-'=-，由1x =是)(x f 的极值点得(1)0f '=，即110m e --=，所以1m =． ………………………………２分于是1()ln 0x f x ex x -=->，（），11()x f x e x-'=-，由121()0x f x e x-''=+>知 ()f x '在(0,)x ∈+∞上单调递增，且(1)0f '=，所以1x =是()0f x '=的唯一零点． ……………………………４分因此，当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以，函数)(x f 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ……………………………5分（Ⅱ）当2≤m ，(0,)x ∈+∞时，2x m x e e --≥，又1+≥x e x ,所以12-≥≥--x e e x m x ． ………………………………………８分取函数()1ln (0)h x x x x =-->)0(>x ，xx h 11)('-=，当10<<x 时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当1>x 时，0)('>x h ，)(x h 单调递增，得函数()h x 在1=x 时取唯一的极小值即最小值为(1)ln 2h =-． ……10分所以2()ln ln 1ln 0x m x f x e x e x x x --=-≥-≥--≥，而上式三个不等号不能同时成立，故)(x f ＞0．…………………………………12分请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥AB ；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD ·CD ．【证明】：（Ⅰ）连接OE ，因为D 为的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线．………………………… …2分因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以OE ∥AB ，故DE ∥AB.………………………… …5分（Ⅱ）因为D 为的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，又∠BAD ＝∠DCB ∠DAC ＝∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE △DAC ∽△ECD ．………… …8分AC CD ＝AD CEAD ·CD ＝AC ·CE 2AD ·CD ＝AC ·2CE2AD ·CD ＝AC ·BC ．……………………………10分23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x 3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-+θρθρ2222sin cos 03sin 2=-θρ．A（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB ．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）消去参数得直线l 的直角坐标方程：x y 3=---------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入得 θρθρcos 3sin =)(3R ∈=⇒ρπθ. （也可以是：3πθ=或)0(34≥=ρπθ）---------------------5分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧==--+303sin 2sin cos 2222πθθρθρθρ 得 0332=--ρρ-----------------------------7分设)3,(1πρA ，)3,(2πρB ，则154)(||||2122121=--=-=ρρρρρρAB .---------10分（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分）24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数()214f x x x =+--．（I ）解不等式f (x )>0；（II ）若f (x )+4x ->m 对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．24.解：（I ）当x 4≥ 时， f (x )=2x +1-(x -4)=x +5>0，得x >-5，所以x 4≥成立. 当421<≤-x 时，f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0，得x >1，所以1<x <4成立. 当21-<x 时， f (x )=-x -5>0，得x <-5，所以x <-5成立. 综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <-5} . …………5分 (II)f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x . 当时等号成立或214-≤≥x x ，所以m <9. …………10分。

2022届吉林省吉林市高三上学期第二次调研测试数学(文)试题解析

2022届吉林省吉林市高三上学期第二次调研测试数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){},B x y y x ==，则AB =（）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．{}1,1答案：C解方程组21y x y x =-⎧⎨=⎩可得集合A B .解：解方程组21y x y x =-⎧⎨=⎩可得1x y ==，因此，(){}1,1A B =.故选：C.2．若复数()cos s i in z r θθ=+（0r >，R θ∈），则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数1i 2z =的三角形式正确的是（） A ．cos 66isin ππ+ B ．sin cos66i ππ+ C ．cos33isinππ+D ．sin33icosππ+答案：A根据复数的三角形式的定义直接判断.解：复数1i 2z =的模为1，辐角为6π，所以复数1i 2z =的三角形式为cos 66isin ππ+.故选：A3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（）A ．2B ．1，2C ．12，2 D ．12，1，2答案：A把1,1,22α=分别代入验证即可.解：当12α=时，y x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠；当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=. 故选：A4．已知向量()1,3a =-，()1,3b =-，则下列结论错误的是（） A ．a b ∥ B ．a 与b 可以作为一组基底 C ．0a b += D ．b a -与a 方向相反答案：B由条件可得a b =-，然后逐一判断即可. 解：因为()1,3a =-，()1,3b =-，所以a b =-；所以a b ∥，0a b +=，A 、C 正确； a 与b 不可以作为一组基底，B 错误；2b a a -=-，所以b a -与a 方向相反，D 正确；故选：B5．若实数x ，y 满足202201x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则x y +的最小值为（）A ．1B ．32C ．2D ．3答案：A画出可行域，再分析直线y x z =-+取最小值时的最优解即可. 解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.令z x y =+，则y x z =-+.作出直线:l y x =-，将直线l 平移经过点M 时在y 轴上的截距最小，由1220x x y =⎧⎨+-=⎩，得()1,0M ，所以x y +的最小值为1. 故选：A.6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A ．B ．C ．D ．答案：D解：答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案．7．已知tan 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan α=（）A 3B 73C ．3D ．73答案：A由于tan tan 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以利用两角差的正切公式展开求解即可解：因为tan 233πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以tan tan 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦tan tan23333312331tan tan33ππαππα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===⎛⎫+⨯++ ⎪⎝⎭故选：A8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，93453a a a =，则3a =（）A ．6B ．9C ．27D ．81答案：B由等比中项的性质得出4a ，再由324a a a =得出答案.解：()3239335444,,3327a a a a a =∴==∴=，3243279a a a ∴==⨯=. 故选：B9．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos21m α=+，22sin n α=，则41m n +的最小值等于（）A ．2B ．52C ．3D ．92答案：D由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得2m n +=，化简4114(5)2n m m n m n+=++，结合基本不等式，即可求解.解：由2cos 212cos m αα=+=，且22sin n α=，所以222cos 2sin 2m n αα+=+=，又由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得0,0m n >>，则4114114149()()(5)(52)2222n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⋅=，当且仅当4n mm n =，即42,33m n ==时，等号成立，所以41m n +最小值等于92. 故选：D.10．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议审议通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行，某校组织全校2000名学生参加了“学民法·树意识”普及民法知识竞赛，随机抽取200名学生成绩，统计整理后画出频率分布直方图如图所示，若成绩居于前400名的同学可以获得奖励，估计获奖同学的成绩最低分为（）A ．70分B ．80分C ．86.5分D ．87.5分答案：D根据频率分布直方图求出第i 组的频率为i f ，设获奖的最低分为a ，由题意列方程求出即可. 解：设频率分布直方图第i 组的频率为i f ，则120.005100.05,0.015100.15,f f =⨯==⨯= 3250.030100.3,0.040100.4,0.010100.1f f f =⨯==⨯==⨯=.全校2000名学生中前400名的同学可以获得奖励，所以获奖同学的概率为4000.22000=，故获奖的最低分落在区间[)80,90.设获奖的最低分为a ，则：()0.050.150.3800.0400.8a +++-⨯=，解得：87.5a =. 故选：D11．已知直线:20+-=l x y 与圆22:10O x y +=相交于A ，B 两点，则AB OA ⋅的值为（） A ．8- B ．16C ．16-D ．8答案：C分别求出A ，B 坐标，利用向量的坐标运算直接求出AB OA ⋅. 解：因为直线:20+-=l x y 与圆22:11O x y +=相交于A ，B 两点，所以221120x y x y ⎧+=⎨+-=⎩，解得：()()1,3,3,1A B --.所以()()4,4412161,3AB OA ⋅=-⋅--==--. 故选：C.12．已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上一动点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，当123F PF π∠=时，1243F PF S =△1PF 的中点落到y 轴上时，124tan 3F PF ∠=，则点P 运动过程中，1211PF PF +的取值范围是（）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．82,153⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,215⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：A设12,PF m PF n ==.先由题意求出椭圆标准方程为.2211612x y +=.把1211PF PF +转化为12118PF PF mn+=，由8m n +=求出1216mn ≤≤，即可求得. 解：设12,PF m PF n ==. 在12F PF △中，当123F PF π∠=时，由椭圆的定义，余弦定理得：()22222cos 23m n a m n mn c π+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩整理得：243b mn =由三角形的面积公式得：121sin 23F PF S mn π===△212b =. 因为线段1PF 的中点落到y 轴上，又O 为12F F 的中点，所以2//PF y 轴，即2PF x ⊥. 由124tan 3F PF ∠=，得12243F F PF =，解得：232c PF =，所以3,2c P c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆标准方程得：2222914c c a b+=.又有22212b a c =-=，解得：2216,4a c ==，所以椭圆标准方程为：2211612x y +=. 所以8m n +=.因为a c m a c -≤≤+，所以26m ≤≤. 所以1211118m n PF PF m n mn mn++=+==. 因为()()2288416mn m m m m m =-=-+=--+，当26m ≤≤时，1216mn ≤≤，所以1211812.23PF PF mn ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值. 二、填空题13．取一根5米长的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不小于2米的概率为______．答案：150.2 由题意得只能在中间1米的绳上剪断，剪得的两段的长都不小于2米，从而找出中间1米处的两个界点，即可得出答案解：记“剪得的两段的长都不小于2米”为事件A ，则只能在中间1米的绳上剪断，剪得的两段的长都不小于2米，所以事件A 发生的概率为1()5P A =，故答案为：15，14．“1a =”是“直线210ax y ++=和直线()120x a y ++-=平行”的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）．答案：充分不必要利用充分条件和必要条件的定义，结合两直线位置关系分析判断解：当1a =时，两直线分别为210,220x y x y ++=+-=，此时两直线的斜率相同，且在y 轴上的截距不同，所以两直线平行，当直线210ax y ++=和直线()120x a y ++-=平行时，(1)212a a a +=⎧⎪⎨≠-⎪⎩，解得1a =或2a =-，所以“1a =”是“直线210ax y ++=和直线()120x a y ++-=平行”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要15．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为P 为111A B C △的中心，直线PA 和底面ABC 所成角为60°，则正三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为______．答案：28π设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面的中心为P ，Q ，其外接球的球心为O 为PQ的中点，由R AO ==.解：如图所示：设正三棱柱111ABC A B C -的上下底面的中心为P ，Q ，则其外接球的球心为O 为PQ 的中点，因为正三棱柱111ABC A B C -的底面积为33 所以1sin 60332ABCSAB AC =⋅⋅=解得23AB AC ==322323AQ ==，因为直线PA 和底面ABC 所成角为60°，所以tan 6023PQ AQ =⋅=3OQ = 所以其外接球的半径为227R AO AQ OQ =+所以外接球的表面积为2428==ππS R . 故答案为：28π 三、双空题16．已知函数()()e 1ln xf x x x =--，则它的导函数()y f x '=的零点个数为______．若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()f x a ≤有解，则实数a 的取值范围为______．答案： 1 [)1,+∞求导，令()()g x f x '=，利用导数结合零点存在性定理判断函数()y f x '=的零点个数，再由()f x 的最小值得出实数a 的取值范围.解：11()e 1e e (1)1x xx f x x x x x '=-+-=+--，令1()e (1)1x g x x x=+-- 21()e e e 0x x x g x x x'=+++>，则函数()g x 在()0,∞+上单调递增，由131(1)2e 20e 30,(1)0222,g g g g ⎛⎫⎛⎫=->=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，它的导函数()y f x '=的零点个数为1个，若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()f x a ≤有解，则()min f x a ≤，设()g x 零点为0x ，则()0001110e x x x +--=，即01e x x =，由()00,()0x x f x '∈⇒<，()0,()0x x f x '∈+∞⇒>可得，函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，即()()00min 000001()e 1ln 11ln e x xf x f x x x x x ⎛⎫==--=-+ ⎪⎭=⎝，即1a ≥.故答案为：1；[)1,+∞ 四、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，1BC =，2AD CD ==，120DCB ∠=︒．(1)求BD 的长； (2)求ABD ∠的正弦值．答案：7； 21. （1）利用余弦定理即求；（2）利用正弦定理即得. (1)在BCD △中，由余弦定理可知：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠22112212()2=+-⨯⨯⨯-7=,7BD ∴(2)在ABD △中，由正弦定理可知：sin sin BD ADBAD ABD=∠∠，72sin 3ABD =∠21sin ABD ∴∠=.18．“天宫”空间站、“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”探月从远古神话梦想到新中国成立后的航天事业飞速发展，中国人正一步一个脚印地触摸更高更远的太空奥妙，其中，飞行器及其动力装置、附件、仪表所用到的各类材料是航天工程技术发展的决定性因素之一．某公司负责生产的A 型航天材料是飞行器的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A 型航天材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x （亿元）与产品的直接收益y （亿元）的数据统计如下：经研究表明，改造投入x （亿元）与产品的直接收益y （亿元）具有线性相关关系．(1)根据统计表中数据，求出直接收益y （亿元）关于改造投入x （亿元）的回归直线方程y bx a =+； (2)为了鼓励科技创新，当应用改造投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴5亿元，若公司收益（直接收益＋国家补贴）达到90亿元，估计改造投入至少达到多少亿元（精确到0.01亿元）？参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，ˆa y bx=-. 参考数据：611685i i i x y ==∑，621286i i x ==∑.答案：(1) 5.3 4.7y x ∧=+； (2)15.15亿元.（1）计算出x 、y 的值，利用参考数据可参考公式计算出b 、a 的值，可得出回归直线方程；（2）解不等式 5.3 4.7905y x =+≥-可得结论. (1)解：因为2346101166x +++++==，12222641536536.56y +++++==， 6162221616856636.53715.328666706i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯====-⨯-∑∑，36.5 5.36 4.7a y bx =-=-⨯=，故所求回归直线方程为 5.3 4.7y x ∧=+. (2)解：由题得5.3 4.7905x +≥-，解得15.15x ≥，由15.1515≥，符合国家给予公司补贴政策，所以公司收益达到90亿元，估计改造投入至少达到15.15亿元.19．如图为一块直四棱柱木料，其底面ABCD 满足：AB AD ⊥，AD BC ∥．(1)要经过平面11CC D D 内的一点P 和棱1BB 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若2AD AB ==，11BC AA ==，当点P 是矩形11CDD C 的中心时，求点1D 到平面1APB 的距离．答案：(1)答案见解析； (2)255. （1）利用线面平行判定定理及性质可知，过点P 做直线1//EF CC ，分别交11CD C D 、于E F 、，连接1、BE B F ，即可得答案，（2）由题可得点1D 到平面11AB C D 的距离即为所求，进而可转化为点1A 到平面11AB C D 的距离，过点1A 作11A M AB ⊥于M ，可证1A M 长即为点1A 到平面11AB C D 的距离，结合条件即求.(1)过点P 作直线1//EF CC ，分别交11CD C D 、于E F 、，连接1.BE B F 、(2)连接11,AB DC ，由P 是矩形11CC D D 的中心可知1P DC ∈，所以点1D 到平面1APB 的距离即为点1D 到平面11AB C D 的距离，1111,A D AD A D ⊄∥平面11AB C D ，AD ⊂平面11AB C D ，11//A D ∴平面11AB C D ，所以点1D 到平面11AB C D 的距离即为点1A 到平面11AB C D 的距离，过点1A 作11A M AB ⊥于M ，AB AD ⊥，在直四棱柱中1⊥A A AD 且1AB A A A ⋂=AD ∴⊥平面11AA B B ，又1A M ⊂平面11AA B B ，所以1AD A M ⊥，又11A M AB ⊥且1AD AB A =，所以1A M ⊥平面11AB C D所以1A M 长即为点1A 到平面11AB C D 的距离，在直角11AA B 中，11AA = ，112A B AB ==，所以1255A M =，所以点1D 到平面11ABCD 25. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，点(),n n S 都在函数()2f x x x =+图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若数列{}n b 满足()*2log 2n n b a n n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：(1)2()n a n n N *=∈(2)1(1)22n n T n +=-⋅+(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式；(2)利用错位相减法求和. (1)点(,)n n S 都在函数2()f x x x =+图象上2n S n n ∴=+当1n =时，112a S ==当2n ≥时，221[(1)(1)]2n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=经检验，12a =也符合上式∴数列{}n a 的通项公式是2()n a n n N *=∈ (2)数列{}n b 满足2log ()2n n b a n n N n *==∈ ∴2n n b n =⋅∴1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅① 2n T = 231222⨯+⨯+1(1)22n n n n ++-⋅+⋅ ②①-②得 123n 1121212122n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ 12(12)212n n n +-=-⋅- 111222(1)22n n n n n +++=--⋅=-⋅-∴ 1(1)22n n T n +=-⋅+21．已知抛物线()2:20C y px p =>上一点01,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭到焦点的距离为54．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若点A ，B 为抛物线位于x 轴上方不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1212444k k k k -=+，求证：直线AB 过定点．答案：(1)24y x =；(2)证明见解析.(1)根据抛物线的定义和焦半径公式即可求出p ；(2)方法一：设211(,)4y A y 222,)4y B y 、（，表示出1k ，2k ，设AB 为x my b =+(0)m ≠，联立AB 与抛物线方程，结合韦达定理和1212444k k k k -=+求出b 与m 的关系即可求得定点；方法二：设11(,)A x y 、22(,)B x y ，AB 的方程为：y kx b =+，联立AB 与抛物线方程，结合韦达定理和1212444k k k k -=+求出b 与m 的关系即可求得定点.(1)∵点01()4y ，到焦点的距离为54，∴15424p +=，解得：2p =， ∴抛物线的标准方程为24y x =；(2)方法一：设211(,)4y A y 222,)4y B y 、（，120,0y y >>，则114k y =，224k y =，设直线AB 的方程为：x my b =+(0)m ≠，直线AB 的斜率1k m=，联立方程24x my b y x=+⎧⎨=⎩得2440y my b --=，则120,0y y >>，216160m b ∆=+>，1240y y m +=>，1240y y b =->，1212444k k k k -=+，则12124441y y y y -=+，即1221444y y y y -=+， ∴4416b m +=，即41b m =-则直线AB 的方程为41(4)1x my m m y =+-=+-，过定点(1,4)--∴直线AB 过定点(1,4)--.方法二：设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由题意12,12,,0x x y y >，∴0,0k b >>，设直线AB 的方程为：y kx b =+，联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x kb x b +-+=，222(24)40kb k b ∆=-->，由122212224kb x x k b x x k -+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得124b y y k =，121222442k y y kx b kx b k b k k -++=+++=⋅+=， 1212444k k k k -=+，即12121212444y y y y x x x x -=+， 12121221444y y x x y x y x ∴-=+，即2222122112124444444y y y y y y y y -⋅⋅=⋅+⋅，即121214y y y y -=+，即41b k k-=，整理得4b k =-， ∴直线AB 的方程为4(1)4y kx k k x =+-=+-，过定点(1,4)--，∴直线AB 过定点(1,4)--.22．已知函数()()2ln f x x a x =+，()2g x ax x =+．(1)当0a =时，求函数()f x 的最小值；(2)当0a ≤时，若对任意1≥x 都有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．答案：(1)最小值1e-(2)1a ≤-（1）当0a =时，()ln f x x x =，求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）令()()()F x f x g x =-，依题意只须()0F x ≥在[)1+∞，上恒成立，求出函数的导函数22(1)()ln a x F x x x-'=+，根据a 、x 的取值范围，可得()0F x '≥，即()F x 在[)1+∞，上单调递增，即可得到()()10F x F ≥≥，即可求出参数的取值范围；(1)解：由函数()(2)ln f x x a x =+，得()f x 的定义域为(0)+∞，，当0a =时，()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10ex <<，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以当1e x =时，()f x 取得最小值，即()min 11e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． (2)解：令()()()F x f x g x =-=2(2)ln (1)x a x ax x x +--≥，因为对于任意1≥x 都有()()f x g x ≥，只须()0F x ≥在[)1+∞，上恒成立，又由222(1)()ln 2ln a a x F x x ax x x x-'=+-=+，因为1≥x ，0a ≤所以ln 0x ≥，22(1)0a x -≥，即()0F x '≥所以()F x 在[)1+∞，上单调递增，所以()(1)10F x F a ≥=--≥，解得1a ≤-，所以当1a ≤-时，对任意1≥x 都有()()f x g x ≥成立．。

吉林省数学高三上学期文数第二次联考试卷

吉林省数学高三上学期文数第二次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·大连月考) 若集合，，则（）A .B .C .D .2. （1分） (2019高二下·南宁月考) 复数的虚部为A .B .C . 1D . 23. （1分）某人向正东方向走xkm后，然后沿着西偏南30°方向走了3km，结果他离出发点为km，那么x 的值为（）A .B . 2C . 2或D . 34. （1分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 若函数y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A .B . 1C .D . 25. （1分） (2016高三上·韶关期中) 已知向量 =（﹣1，0）， =（，），则向量与的夹角为（）A .B .C .D .6. （1分） (2019高一上·如东月考) 函数 y=lncosx（）的图象是（）A .B .C .D .7. （1分） (2016高一上·赣州期中) 函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A .B .C .D .8. （1分） (2019高三上·上高月考) 平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为A .B .C .D .9. （1分） (2019高一上·台州期中) 若函数，，则函数的值域（）A . ［4，5］B . ［4，］C . ［，5］D . ［1，3］10. （1分） (2020高三上·泸县期末) 在数列中，，则的值为（）A .B .C .D .11. （1分）(2018·枣庄模拟) 函数的部分图象可能是（）A .B .C .D .12. （1分） (2020高二下·七台河期末) 已知是定义在R上的函数的导函数，且，则的大小关系为（）A . a<b<cB . b<a<cC . c<a<bD . c<b<a二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数，点O为坐标原点，点，向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得恒成立的实数t的取值范围为________．14. （1分） (2018高三上·龙泉驿月考) 已知等差数列的前项和为，、、三点共线，且，则 ________．15. （1分）若，，且α，β为钝角，则α+β的值为________．16. （1分） (2019高一上·湖北期中) 函数的单调递增区间是________．三、解答题 (共6题；共13分)17. （2分）(2016·上海模拟) 已知函数f（x）的定义域为实数集R，及整数k、T；（1）若函数f（x）=2xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；（2）若f（x+T）=k•f（x），且f（x）=axφ（x）（其中a为正的常数），试证明：函数φ（x）为周期函数；（3）若f（x+6）= f（x），且当x∈[﹣3，3]时，f（x）= （x2﹣9），记Sn=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n﹣2），n∈N+ ，求使得S1、S2、S3、…、Sn小于1000都成立的最大整数n．18. （3分） (2019高一上·常德月考) 已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1， )，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.（1）求角A；（2）若＝－3，求tanC．19. （2分）(2016·德州模拟) 已知函数f（x）=2 sin cos ﹣2sin2 （ω＞0）的最小正周期为3π．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a＜b＜c， a=2csinA，并且f（ A+ ）= ，求cosB的值．20. （2分） (2016高二上·南宁期中) 在锐角三角形ABC中，2sin（A+B）﹣ =0，c= ．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．21. （2分） (2017高三上·盐城期中) 设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．（1）若函数在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；（2）设函数φ（x）=f（x）+g（x），若对任意的，都有φ（x）≥0，求m的取值范围；（3）设m＞0，点P（x0 ， y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，且函数f（x）与g（x）在点P处的切线互相垂直，求证：存在唯一的x0满足题意，且．22. （2分）(2017·沈阳模拟) 已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0 ，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共13分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

吉林省数学高三文数二模考试试卷

吉林省数学高三文数二模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·长春月考) 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，则满足，的集合B为（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·绵阳模拟) 已知为虚数单位，复数满足，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高二上·来宾期末) 命题p：在数列中，“ ，”是“ 是公比为的等比数列”的充分不必要条件；命题q：若，，则为奇函数，则在四个命题，，，中，真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）已知向量,，且，则等于（）A . -1B . 0C .D .5. （2分）(2017·绍兴模拟) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（p，0）的直线交抛物线于A，B两点，若 =2 ，则 =（）A . 2B .C .D . 与p有关6. （2分） (2017高一下·怀仁期末) 在三角形ABC中，如果，那么A等于（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·洛阳模拟) 为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车生产情况新能源汽车销售情况产品(万辆)比上年同期增长(%)销量(万辆)比上年同期增长(%)2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.4 5月9.685.610.2125.6 6月8.631.78.442.9 7月953.68.447.7 8月9.93910.149.5 9月12.764.412.154.8 10月14.658.113.85111月17.336.916.937.6 1-12月12759.9125.661.7 2019年1月9.11139.61382月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A . 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过万辆B . 2017年我国新能源汽车总销量超过万辆C . 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D . 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于万辆8. （2分） (2020高二下·杭州期中) 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知，，，，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .10. （2分）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是（）．A . x＋y－5＝0B . 2x－y－1＝0C . 2y－x－4＝0D . 2x＋y－7＝011. （2分）已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是边长为2的正三角形，则其全面积是（）A .B .C . 8D . 1212. （2分）(2018·黄山模拟) 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高三上·北京月考) 已知，，且，则向量与向量的夹角是________.14. （1分）设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量=(1,1),=(2,1)，若=λ+μ，则2λ+μ的最大值为________15. （1分）(2019高二下·黑龙江期末) 函数，对任意，恒有，则的最小值为________.16. （1分） (2019高二下·昭通月考) 若函数在上单调递增，则实数的最小值是________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）(2018·湖北模拟) 已知数列，其中，且满足 ,.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和 .18. （10分） (2019高二上·佛山月考) 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点E、F分别为和的中点.（1）求证：直线平面；（2）求点A到平面的距离.19. （10分）(2017·惠东模拟) 设椭圆C： + =1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．①证明：PA⊥PB；②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1 ， k2 ，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．20. （15分） (2017高一上·深圳期末) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：日期11月1日11月2日11月3日11月4日11月5日温差x（℃） 8 11 12 13 10发芽数y（颗） 16 25 26 30 23设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（注：，）（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？21. （10分） (2019高三上·临沂期中) 已知．（1）当时，证明：；（2）已知点，若O为坐标原点，设函数，当时，试判断的零点个数．22. （10分） (2018高二下·西宁期末) 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为，的极坐标方程为．（1）求直线l和的普通方程；（2）直线l与有两个公共点A、B，定点P ，求的值．23. （10分）(2017·广东模拟) 设函数f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）若不等式f（x）≤﹣5的解集非空，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，求实数a的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

吉林省数学高三文数第二次模拟试卷

吉林省数学高三文数第二次模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）如果复数，则（）A .B . z的实部为1C . z的虚部为－1D . z的共轭复数为2. （2分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x1×x2 ，其中x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3，5}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为为（）A . 30B . 31C . 32D . 343. （2分）函数y= 是（）A . 区间（﹣∞，0）上的增函数B . 区间（﹣∞，0）上的减函数C . 区间（0，+∞）上的增函数D . 区间（0，+∞）上的减函数4. （2分）(2017·襄阳模拟) 已知﹣1，a1 ， a2 ，﹣9成等差数列，﹣9，b1 ， b2 ， b3 ，﹣1成等比数列，则b2（a2﹣a1）的值为（）A . 8C . ±8D .5. （2分）下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·金山期中) 在公差不为零的等差数列{an}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且a7=b7 ，则log2（b5b9）的值为（）A . 2B . 4C . 8D . 17. （2分）函数是（）A . 最小正周期为的奇函数B . 最小正周期为的奇函数C . 最小正周期为的偶函数D . 最小正周期为的偶函数8. （2分）单位向量与的夹角为，则|-|=（）A .C .D . 29. （2分）(2019·四川模拟) 某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作 2，3，，，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是A . 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B . 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C . 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D . 求该班学生数学科学业水平考试的合格率10. （2分）设双曲线的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=±xB . y=±2xC . y=±xD . y=±x11. （2分）(2019·鞍山模拟) 设的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是（）⑴若，则；⑵若，则；⑶若，则；⑷若，则；⑸若，则 .A . ⑴⑵⑶B . ⑴⑵⑸C . ⑴⑶⑷D . ⑴⑶⑸12. （2分）设双曲线的离心率为2,是右焦点.若A,B为双曲线上关于原点对称的两点，且,则直线AB的斜率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·扬州期中) 过点（1，0）且与直线平行的直线方程是________.14. （1分）(2018·杨浦模拟) 若为等比数列，，且，则的最小值为________15. （1分） (2016高一上·东海期中) 若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）= 在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2016高二上·杭州期中) 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2019·昌平模拟) 某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试．现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如图：《国家学生体质健康标准》的等级标准如表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格．等级优秀良好及格不及格测试数据（Ⅰ）从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；（Ⅱ）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率；（Ⅲ）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，试估计、的大小．（只需写出结论）18. （10分） (2015高一下·宜宾期中) 设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求Sn的最大值及其相应的n的值．19. （10分） (2017高一上·舒兰期末) 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（1）已知AB=BC，AF=CF，求证：AC⊥平面BEF；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．20. （10分） (2020高二下·吉林开学考) 已知函数 .（Ⅰ）若函数在区间上是单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．21. （10分）(2020·吉林模拟) 已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，与抛物线C相交于A、B两点，且 .（1）求抛物线C的方程；（2）设P为抛物线C上任意一点（异于顶点），过P做倾斜角互补的两条直线、，交抛物线C于另两点C、D，记抛物线C在点P的切线l的倾斜角为，直线CD的倾斜角为，求证：与互补.22. （10分）(2019·凌源模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)曲线与直线交于两点，若，求的值．23. （10分） (2019高二上·汇川期中) 已知直线）.（1）求直线经过的定点坐标；（2）若直线交负半轴于，交轴正半轴于，为坐标系原点，的面积为，求的最小值参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

吉林省吉林市数学高三上学期文数第二次联考试卷

吉林省吉林市数学高三上学期文数第二次联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·海林期中) 已知全集，集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·江南模拟) 复数（为虚数单位），则（）A .B .C .D . 23. （2分）ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120,则a=（）A .B . 2C .D .4. （2分）已知A＝(1，－2)，若向量与＝(2，－3)反向，||，则点B的坐标为（）A . (10,7)B . (－10,7)C . (7，－10)D . (－7,10)5. （2分）设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（）A . x＞1B . x＜1C . x＞3D . x＜36. （2分）如果，那么下列选项中，不一定成立的是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一上·河北月考) 设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则（）A .B .C . 或2D .8. （2分）已知等比数列的首项，公比，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·南城期中) 如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A . 2B .C . 2D .10. （2分） (2019高一上·台州期中) 已知函数是定义在上的奇函数，当时，为单调递增函数，且，则满足的的取值范围是（）A .B . （0，1）C . （1，＋∞）D . （－1，0）∪（0，1）11. （2分）(2018·河北模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）(2020·汨罗模拟) 关于函数，下列说法正确的是（）（1）是的极小值点；（2）函数有且只有1个零点；（3）恒成立；（4）设函数，若存在区间，使在上的值域是，则 .A . (1) (2)B . (2)(4)C . (1) (2) (4)D . (1)(2)(3)(4)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·四川月考) 如图所示，为正三角形，，则________．14. （1分） (2018高三上·吉林月考) 设为第二象限角,若 ,则 ________15. （1分） (2019高三上·柳州月考) 曲线在处的切线的倾斜角为 ________．16. （1分） (2019高三上·吉林月考) 在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2018高一下·遂宁期末) 已知函数 .（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求的值.18. （10分）(2017高二下·溧水期末) 设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2 ，其中Sn为数列{an}的前n和．（1）求证：an2=2Sn﹣an；（2）求数列{an}的通项公式（3）设bn=3n+（﹣1）n﹣1λ•2 （λ为非零整数，n∈N*）试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．19. （10分） (2016高二上·郸城开学考) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=1，E，F分别是CC1 ， BC的中点．（Ⅰ）求证：B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求三棱锥E﹣AB1F的体积．20. （10分）(2018高二上·南阳月考) 在平面内点、、满足.（1）求点的轨迹方程；（2）点，在椭圆上，且与轴平行，过点作两条直线分别交椭圆于，两点.若直线平分，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值.21. （5分） (2020高二上·榆树期末) 已知函数．（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．22. （10分） (2016高三上·金山期中) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+ ）=3 ，射线OM：θ= 与圆C的交点为O、P，与直线l 的交点为Q，求线段PQ的长．23. （10分）(2018·长宁模拟) 已知函数．（1）求证：函数是偶函数；（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。

吉林省吉林市高三数学第二次模拟考试试题文新人教A版

数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。

考试结束后将答题卡交回。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。

2.使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知全集=U R ，若函数,23)(2+-=x x x f 集合M ={x |f(x)≤0}，N ={x |0)(<'x f }，则 M C N U =A ．]2,23[ B ．)2,23[ C ．]2,23( D ．)2,23( (2) 若点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，则=+αα2cos 22sin A.514-B.57- C.2- D.54(3) =+50cos 40cos 120sin A.21B.22C.2D.2(4) 将直线02=+-λy x 沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆04222=-++y x y x 相切，则实数λ的值为A.-3或7B.-2或8C.0或10D.1或11(5) 将函数)3sin(π-=x y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为 A. )321sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x y C ．x y 21sin = D ．)621sin(π-=x y(6) 当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东30+θ角的方向沿直线前往b 处营救，则θsin 的值为A.721 B. 22 C. 23 D.1475 (7) 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B的值为A.6π B. 3π C. 6π或65π D. 3π或32π(8) 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()(x f x f -=，且当21≠x 时，有0)(')21(<⋅-x f x ，设)43(tan πf a =，)10(lg f b =，)8(32f c =，则A.c b a <<B.b a c <<C.a b c <<D.a c b << (9) 如图所示为函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω≤≤>的部分图像，其中B A ,两点之间的距离为5，那么=-)1(fA ．2B ．3C ．3-D ．-2（第10题图）(10) 已知函数)(x f 的导函数的图像如图所示，c b a ,,分别是ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边，且ab c b a 433222=-+，则一定成立的是A ．)(sin A f ≤ )(cosB f B ．)(sin A f ≥)(cos B fC ．)(sin A f ≥)(sin B fD ．)(cos A f ≤)(cos B f(11) 函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意∈x R ，1)(')(>+x f x f ，则不等式1)(+>⋅x x e x f e 的解集为A ．}0|{>x xB ．}0|{<x xC. ,1|{-<x x 或}1>xD. ,1|{-<x x 或}10<<x(12) 定义域为R 的偶函数)(x f 满足对∈∀x R ，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是A ．)33,0( B ．)22,0( C ．)55,0( D ．)66,0( 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

吉林省吉林市高考数学二模试卷(文科))

吉林省吉林市高考数学二模试卷（文科））一、选择题详细信息1.难度：中等复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．（1，1）B．（-1，1）C．（-1，-1）D．（1，-1）详细信息2.难度：中等已知全集U=R，A={A|x|x2-2x＜0}，B={x|2x-2≥0}则A∩（CuB）=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0＜x≤2}详细信息3.难度：中等下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（-∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”的是（）A．f（x）=（x+1）2B．f（x）=ln（x-1）C．D．f（x）=e x详细信息4.难度：中等设a∈R，则“a-1＜0”是“|a|＜1”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件详细信息5.难度：中等一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续投掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次成等比数列的概率为（）A．B．C．D．详细信息6.难度：中等已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．若α⊥β，α∩β=b，a⊥b，则α⊥βD．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β详细信息7.难度：中等某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．详细信息8.难度：中等在等差数列{an }中，a9=，则数列{an}的前11项和S11等于（）A．24B．48C．66D．132详细信息9.难度：中等执行程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3B．6C．5D．4详细信息10.难度：中等已知抛物线，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为（）A．B．C．5D．4详细信息11.难度：中等若函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，则函数的解析式为（）A．y=3sin（2x+）+1B．y=2sin（2x+）+1C．y=3sin（2x-）+1D．y=2sin（2x-）+1详细信息12.难度：中等设集合A=[0，1），B=[1，2]，函数f（x）={x∈A，且f[f （x）]∈A，则x的取值范围是（）A．（）B．（log32，1）C．（）D．[0，]二、填空题详细信息13.难度：中等已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于．详细信息14.难度：中等若的最大值是3，则a的值是．详细信息15.难度：中等△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A= ．详细信息16.难度：中等已知双曲线的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e为．三、解答题详细信息17.难度：中等已知：、是坐标平面上的点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（a）的值域．详细信息18.难度：中等如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积．详细信息19.难度：中等户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行了问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性 5女性10合计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）求该公司男、女员各多少名；（Ⅲ）是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由；下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （）详细信息20.难度：中等已知两定点F1（-1，0），F2（1，0），满足||+||=4的动点P的轨迹是曲线C．（Ⅰ）求曲线C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=-x+b与曲线C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．详细信息21.难度：中等设函数f（x）=x2+ax-lnx （a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．详细信息22.难度：中等如图△ABC内接于圆O，AB=AC，直线MN切圆O于点C，BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：AE=AD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．详细信息23.难度：中等选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数），在以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．详细信息24.难度：中等选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|-m（I）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（II）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．。

吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学(文)试题(1)

一、单选题1. 对于正数，，抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，线段与两个抛物线的交点分别为，．若，，则的值为（）A ．6B．C ．7D．2. 已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（）A ．2B ．1C ．-2D ．-13. 若，则（）A．B ．1C．D ．24. 复数在复平面内对应点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知数列满足：.若正整数使得成立，则A ．16B ．17C ．18D ．196. 在直四棱柱中，所有棱长均为2，，为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中错误的是（）A．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值B．若平面，则的最小值为C ．若的外心为，则为定值2D ．若，则点的轨迹长度为7. 已知直线经过点，那么直线的斜率是（）A．B．C ．1D ．28. 为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数（满分100分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为（）A ．70B．C．D ．60吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学（文）试题(1)吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学（文）试题(1)二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（）A．B．C．点坐标可以是D ．有最大值10. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（）A．B ．切线：C．D．11.如图，在长方体中，，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则以下结论正确的为（）A ．平面B ．不存在点，使得平面C．点和点到平面的距离相等D ．直线与平面所成角的最大值为12. 已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（）A ．圆锥的母线与底面所成角的余弦值为B．圆锥的高与母线长之比为C．圆锥的侧面积与底面积之比为3D ．球的体积与圆锥的体积之比为13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______.14.已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则______，的最小值为______.15.已知函数的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为____.16. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知.(1)求B ；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.17. 某地区对高一年级学生进行体质健康测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果等级（“良好及以下”或“优秀”）进行分析．得到如下列联表：良好及以优秀合计下男450200650女150100250合计600300900(1)计算并判断是否有99％的把握认为本次体测结果等级与性别有关系？(2)将频率视为概率，用样本估计总体．若从该地区高一所有学生中，采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取3次，且各次抽取的结果相互独立，记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为，求的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828其中，．18.已知函数，.(1)当时，求的单调区间；(2)若的两个极值点分别为，，求的取值范围.19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点M为双曲线上一动点，且的最小值为18，O为坐标原点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)如图，已知直线与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值．20. 已知函数.(1)当时，求函数的单调区间与极值；(2)若，关于的不等式恒成立，求的最小值.21. 足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”.在省时省心的同时，线上买菜也面临着质量不佳、物流滞后等问题.“指尖”上的菜篮子该如何守护“舌尖”上的幸福感？某手机APP（应用程序）公司为了解这款APP使用者的满意度，对一小区居民开展“线上购买食品满意度调查”活动，邀请每位使用者填写一份满意度测评表（满分100分）.该公司最后共收回1100份测评表，随机抽取了100份作为样本，得到如下数据：（1）从表中数据估计，收回的测评表中，评分不小于80分的女性人数；（2）该公司根据经验，对此APP使用者划分“用户类型”：评分不小于80分的为“A类用户”，评分小于80分的为“B类用户（i）请根据100个样本数据，完成下面列联表：（ⅱ）根据列联表判断能否有95%的把握认为“用户类型”与性别有关？附：K2。

吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（）A．B ．3C．D．2. 已知，，，则（）A．B．C．D．3. 设函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则的解集为（）A．B．C．D．4. 设，，，则（）A．B．C．D．5.已知直线平面，则“平面平面”是“直线平面”的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.函数在上的大致图象为（）A．B．C．D．7. 下列说法正确的是（）A ．截距相等的直线都可以用方程表示B．方程能表示平行y 轴的直线C．经过点，倾斜角为的直线方程为D ．经过两点的直线方程为8. 设某车间的类零件的质量(单位：)服从正态分布，且.（）A．若从类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10的概率为0.25B．若从类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9的概率为0.4C．若从类零件随机选取100个，则零件质量在9.9∼10.1的个数的期望为60D．若从类零件随机选取100个，则零件质量在9.9∼10.1的个数的方差为249. 函数(，且)的图象一定经过的点是___________吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(高频考点版)吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(高频考点版)四、解答题10. 函数的定义域是________．11.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为__________．12. 若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为____________.13.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，讨论的单调性.14. 已知函数.(1)用五点法作图作出在的图象；(2)求在上的最大值和最小值.15. 在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为AC 边的中点，E 在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D 运动到点F 的位置，如图2，连接FO ，FB ，FE ，OE，使得.(1)证明：平面ABC ；(2)求点到平面的距离.16. 已知数列的首项为，其前项和为，且对任意正整数有：、、成等差数列．（1）求证：数列成等比数列；（2）求数列的通项公式．。

2021届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研测试数学(文)试题(解析版)

2021届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研测试数学（文）试题一、单选题1．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，那么A B =（）A ．{}23x x -<< B ．{}12x x -≤<C ．{}21x x -<≤D ．{}23x x <<【答案】A【分析】根据并集的定义，直接求解. 【详解】{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，{}23A B x x ∴⋃=-<<.故选：A2．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-【答案】C【分析】根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解. 【详解】解：因为复数i （2+i ）=2i ﹣1，故复数对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.3．若()1,2,3,4,5i x i =对应数据的茎叶图如图甲所示，现将这五个数据依次从小到大输入程序框（如图乙）进行计算（其中20x =），则下列说法正确的是（）A ．输出的S 值是10B ．输出的S 值是2C ．该程序框图的统计意义为求这5个数据的标准差D ．该程序框图的统计意义为求这5个数据的方差【答案】A【分析】根据程序框图计算运算结果即可得出选项. 【详解】由程序框图可得()()()()()222221820192020202120222010S =-+-+-+-+-=.故选：A4．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的正视图、侧视图、俯视图依次是（）A ．①②③B ．②①③C ．②①④D ．③①④【分析】根据三视图的定义直接选出结果即可. 【详解】由三视图的定义可知：正视图为②；侧视图为①；俯视图为④. 故选：C5．设,x y ∈R ，则“x y >”是“ln ln x y >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由对数函数的单调性，可得0x y >>，进而可得充分性和必要性. 【详解】解：ln ln 0x y x y >⇔>>，则“x y >”是“ln ln x y >” 的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数单调性的应用，是基础题. 6．安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为 A ．13B ．16C ．19D ．112【答案】B【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于5分钟的概率为101P 606==.故选B 【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型. 7．函数2tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为 A ．|12x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B ．|12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭C ．|,12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．|,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】根据正切函数的定义域可知2,32x k k Z πππ+≠+∈，化简即可求出.【详解】因为2,32x k k Z πππ+≠+∈，所以,212k x k Z ππ≠+∈ 故函数的定义域为 |,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，选D. 【点睛】本题主要考查了正切型函数的定义域，属于中档题.8．等比数列{}n a 中，147108a a a a +++=，3691232a a a a +++=，则{}n a 的前12项和为（） A ．24 B ．48C ．56D ．24或56【答案】D【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据147108a a a a +++=，3691232a a a a +++=，利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质得：()25811147108a a a a q a a a a q +++=+++=，()369122581132a a a a q a a a a +=+++=++，所以2832q =，解得2q =±，所以2581116a a a a +++=±，所以{}n a 的前12项和为8321656S =+±=或24，故选：D9．人们眼中的天才之所以优秀卓越，并非是他们的天赋异禀，而是付出了持续不断的努力．一万小时的锤炼是任何人从平庸变成非凡，从困境走向成功的必要条件．某个学生为提高自己的数学做题准确率和速度，决定坚持每天刷题，刷题时间x 与做题正确率y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报刷题时间为6个单位的准确率为（） A ．72.0% B ．67.7%C ．65.5%D ．63.6%【答案】C【分析】首先根据题意得到 3.5x =，42y =，代入回归直线方程得到9.1a =，即9.49.1y x =+，再将6x =代入回归直线方程计算即可.【详解】23453.54x +++==，26394954424y +++==，因为9.4y x a =+过点()3.5,42，所以9.1a =，即回归直线方程为9.49.1y x =+. 当6x =时，9.469.165.5y =⨯+=. 故选：C10．圆22420x y x +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为 A ．250x y --= B ．210x y --= C ．20x y --= D ．40x y +-=【答案】D【详解】根据圆x 2+y 2-4x+2=0与直线l 相切于点A （3，1），得到直线l 过（3，1）且与过这一点的半径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．解：∵圆x 2+y 2-4x+2=0与直线l 相切于点A （3，1）， ∴直线l 过（3，1）且与过这一点的半径垂直， ∵过（3，1）的半径的斜率是1032--=1， ∴直线l 的斜率是-1， ∴直线l 的方程是y-1=-（x-3）即x+y-4=0 故选D ．11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()cos f x x x =+，则不等式(21)()f x f x -<的解集是（）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(,1)-∞C ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】A【分析】根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性，再由其奇偶性，得到()f x 在区间(),0-∞的单调性，由奇偶性与单调性，将所求不等式化为21x x -<，求解即可得出结果.【详解】因为当0x ≥时，()cos f x x x =+，所以()1sin 0f x x '=-≥显然恒成立，所以()cos f x x x =+在[)0,+∞上单调递增；又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以其在(),0-∞上单调递减；由(21)()f x f x -<可得21x x -<，则()2221x x -<，整理得23410x x -+<，解得113x <<，即原不等式的解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A.12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 为直线1x =-上的一动点，过点M 向抛物线24y x =作切线，切点为,B C ，以点O 为圆心的圆与直线BC 相切，则该圆的面积的最大值为（） A ．4πB ．πC ．4πD ．16π【答案】B【分析】可适当将图形旋转成24x y =，目的在于24x y =可以化为函数24x y =，方便利用导数的几何意义求取切线方程.再利用两切线都过点(),1M m -，找到1112x m y =+，2212x my =+，从而利用方程与函数思想，写出直线BC 的方程，从而求出O 到BC 距离最大值.【详解】不妨将抛物线逆时针旋转90，变成抛物线24x y =，此时焦点坐标为()0,1F ，准线方程由原来的1x =-变成1y =-.设(),1M m -，过M 向抛物线24x y =作切线，切点为,B C .不妨设()()1121,,,B x y C x y24x y =即24x y =，求导有'2x y = 则过B 点抛物线的切线方程为：()1112x y y x x -=-即211122x x x y y -=-，又有2114x y =故112x xy y =- 又切线方程过(),1M m -，有1112x m y -=-，即1112x my =+ 同理有过C 点抛物线的切线方程为：112x xy y =-，切线过点(),1M m -同样满足：2212x my =+故直线BC 的方程为：12my x =+，故BC 恒过定点0,1O 到BC距离为d =0m =，即()0,1M -时，O 到BC 距离最大为1故面积的最大值为π.回到旋转之前的图形中作答即有：当点M 为1,0，此时圆的面积最大为π.故选：B【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到.方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件23601330x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩，则3z x y =-的最大值为______．【答案】5 【详解】略14．已知sin cos αα+=，则sin 2α=______．【答案】35【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得结果．【详解】因为sin cos 5αα+=，平方得21+2sin cos 5αα=，即21sin 23α+=，得3sin 25α=-. 故答案为：35. 15．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，向量1232m e e =-，则|m =_____．【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2m 的值，进而可求得m 的值.【详解】根据题意，两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，则121211cos601122e e e e ⋅=⋅=⨯⨯=，1232m e e =-，则()222221211221329124131272m m e e e e e e ==-=-⋅+=-⨯=，因此，7m =..【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．三、双空题16．在三棱锥S ABC -中，3,4,5AB BC AC ===，其余三条侧棱长均为5，则三棱锥S ABC -的顶点S 到底面ABC 的距离为___________，三棱锥S ABC -的外接球的半径为___________.3【分析】依题意点S 的投影在ABC 的外心上，利用勾股定理求出SO ，再在BOS 利用勾股定理求出外接球的半径；【详解】解：因为顶点S 到A 、B 、C 的距离相等，所以点S 的投影在ABC 的外心上，外心为三条中垂线的交点，又3,4,5AB BC AC ===，所以222AB BC AC +=，所以90ABC ∠=︒，所以ABC 的外心为斜边AC 的中点O ，过点O 作OE AB ⊥，交AB 于点E ，所以122OE BC ==，1322BE AB ==，在Rt SOB 中1522OB AC ==，5SB =，所以2222553522SO SB OB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以顶点S 到底面ABC 的距离为532， O '为外接球的球心，设外接球的半径为R ，在BOO '中，由勾股定理可得22255322R R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得533R =5353 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中，1523,27.a S S =-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；（2）69n nT n =+. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，利用裂项相消的方法，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设可得：523454327S S a a a a -=++==，即49a =，所以4123-==a a d ， ∴()()1132121n a a n d n n =+-=+⨯-=+，所以21n a n =+；（2）由（1）得111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +===-++++， ∴1111111()235572123n T n n =-+-++-++， ∴111()232369n n T n n =-=++．【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a是公差为()0dd ≠的等差数列；（2k=（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知6C π=，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→.（1）求A 的值；（2）若点D 为边BC 上靠近B 的四等分点，且AD =ABC 的面积.【答案】（1）6π；（2）【分析】（1）根据题意，由//m n →→，利用平面向量共线的坐标运算，得出sin cos A B =-，且6C π=，进而得出1sin cos cos cos sin sin sin 2A B A C A C A A =-=-=-，即可求出sin A A =，结合三角形的内角，即可求出A 的值；（2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由三角形内角和可算出23B A B ππ=--=，在ABD △中，利用余弦定理求出x ，从而得出AB 和BC ，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC 的面积.【详解】解：（1）由题可知，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→， ∴()sin cos 10A B -⨯-=，即sin cos A B =-，∴()sin cos cos cos cos sin sin A B A C A C A C =-=+=-，又6C π=，∴1sin cos cos sin sin sin 22A A C A C A A =-=-，即3sin 2A A =，∴sin A A =，若cos 0A =，则sin 0A =，与22sin cos 1A A +=矛盾，∴cos 0A ≠，∴tan A =，又A 为ABC 的内角，∴6A π=，∴A 的值为6π. （2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由（1）得6A π=，且已知6C π=，则23B A B ππ=--=，在ABD △中，根据余弦定理：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，得2222(21)(4)24cos 3x x x x π=+-⋅⋅⋅，解得：1x =， ∴4AB BC ==， ∴112sin 44sin 43223ABC S BA BC B π=⋅⋅=⨯⨯⨯=△， ∴ABC 的面积为43.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算和三角形的面积，通过余弦定理解三角形以及两角和与差的正弦公式的应用，考查化简运算能力.19．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，PAB △是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD（1）若O 为AB 中点，证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求三棱锥B PAD -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（223【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证结论成立；（2）根据B PAD P ABD V V --=以及棱锥的体积公式可求得结果. 【详解】（1）PAB △为正三角形，且O 为AB 中点，PO AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =PO ∴⊥平面ABCD .（2）正方形ABCD 边长为2，2AB ∴=，PAB △为正三角形，3PO ∴=，由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，B PAD P ABD V V --∴=11123(22)33323ABD S PO =⋅=⨯⨯⨯⨯=△. 所以三棱锥B PAD -的体积为233. 【点睛】关键点点睛：利用面面垂直的性质定理求解是解题关键.20．2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：[)15,25，[)25,35，[)35,45，[)45,55，[]55,65，得到频率分布直方图如图所示，其中0.028a b -=．（1）求a ，b 的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）学校要在参加公益劳动总时间在[)35,45、[)45,55这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率．【答案】（1）0.042a =，0.014b =；平均数为40.2；（2）35．【分析】（1）根据矩形面积和为1，求,a b 的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在[)35,45中抽取3人，在[)45,55中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.【详解】（1）依题意，()0.0050.0110.028101b a ++++⨯=，故0.056a b +=．又因为0.028a b -=，所以0.042a =，0.014b =．所求平均数为200.11300.14400.42500.28600.0540.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）．所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2．（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生比例为0.42:0.283:2=．又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生中随机抽取5人，则在[)35,45中抽取3人，分别记为a ，b ，c ，在[)45,55中抽取2人，分别记为M ，N ，则从5人中随机抽取2人的基本事件有(),a b ，(),a c ，(),a M ，(),a N ，(),b c ，(),b M ，(),b N ，(),c M ，(),c N ，(),M N ．这2人来自不同组的基本事件有：(),a M ，(),a N ，(),b M ，(),b N ，(),c M ，(),c N ，共6个，所以所求的概率63105P ==．解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生比例为0.42:0.283:2=．又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生中随机抽取5人，则在[)35,45中抽取3人，在[)45,55中抽取2人，则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为2510C =．这2人来自不同组的基本事件数为11326C C =．所以所求的概率63105P ==． 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，12,F F 分别是椭圆的左､右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F ∆的周长是6，(4,0)Q -. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的左焦点1F 且与椭圆C 交于不同的两点,M N ，求证：直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由椭圆的定义可得12PF F △的周长为22a c +，再由离心率12c e a ==，即可求出a 、c ，最后根据222a c b -=求出b ，即可得解；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线l 的斜率k 存在时，设直线方程为(1)y k x =+，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，1212+4+4QM QN y yk k x x +=+计算可得；【详解】解：（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c += 又因为椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =，联立解得2,1a c ==，所以b ==因此所求的椭圆方程为22143x y +=（2）设1122(,),(,)M x y N x y当直线l 的斜率k 存在时，设直线方程为(1)y k x =+，联立22143x y +=消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=则221212228412,3434k k x x x x k k--+==++ 因为1212211212(1)(+4)(1)(+4)+4+4(+4)(+4)QM QN y y k x x k x x k k x x x x ++++=+= 1212121225()84()16kx x k x x kx x x x +++=+++222222228244083434=0412********k k k k k k kk k--+++=⋅--+++ 所以QM QN k k +为定值，这个定值为0 当直线l 与x 轴垂直时，也有0QM QN k k += 所以，直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．已知函数21()(1)2xf x x e ax =--. （1）若()y f x =在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若()y f x =有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）a e =；（2）0a <.【分析】（1）求出导函数，把1x =代入可得a ，再检验即可；（2）求出导函数，讨论a 的取值范围，判断函数的单调性求出极值，结合函数的图象可得答案.【详解】（1）()(1)()xxxf x e x e ax x e a =+--=-'，1x =处()y f x =取得极值，(1)0f e a ∴=-='，即a e =，经检验，当a e =时，()y f x =在(,0)-∞上为增函数，在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，即()y f x =在1x =处取得极小值，符合题意.（2）由（1）知，()()xf x x e a '=-，①当0a <时，0x e a ->，()y f x =在(,0)-∞上为减函数，在(0,)+∞上为增函数，且(0)10f =-<，令4x =-，1a =-则4444538(4)(41)880e f e e e---+-=--+=+=>，令1x =，1a =-则111(1)(11)022f e =-+=>，所以函数()y f x =存在两个零点；②当0a =时，()(1)x f x x e =-，函数()y f x =只有一个零点，不符合题意； ③当01a <<时，()y f x =在(,ln )a -∞上为增函数，在(ln ,0)a 上为减函数，在(0,)+∞上为增函数，因为21(ln )(ln 1)(ln )02f a a a a a =--<，即极大值小于零，所以()y f x =不可能存在两个零点，不符合题意；④当1a =时，()y f x =在R 上单调递增，不符合题意；⑤当1a >时，()y f x =在(,0)-∞上为增函数，在(0,ln )a 上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数，因为(0)10f =-<，即极大值小于零，所以()y f x =不可能存在两个零点，不符合题意. 综上所述：0a <.【点睛】本题考查利用导数解决函数零点个数的求参数的问题，解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用导数研究函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可，考查了分析问题、解决问题的能力．。

吉林省吉林市高三数学第二次模拟考试文(吉林二模)

数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}220,R M x x x x =+-<∈，{}02N x x =<≤,则MN =A ．(1,2)-B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(2,1]-2．已知i 为虚数单位，则复数i 2i-＝ A ．12i +B ．12i -C ．12i --D ．2i 1-3．已知()f x 是R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()lg(3)f x x x =--，那么(1)f 的值为A ．0B ．lg 3C ．lg 3-D ．lg 4-4．下列命题错误的是A. 2"2""320"x x x >-+>是的充分不必要条件;B. 命题“2320,1x x x -+==若则”的逆否命题为“21,320若则x x x =-+≠”; C. 对命题：“对∀0,k >方程20x x k +-=有实根”的否定是:“ ∃k >0，方程20x x k +-=无实根”;D. 若命题:,p x A B p ∈⋃⌝则是x A x B ∉∉且;5．设双曲线2221(0)9y x a a -=>的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为 A ．54B ．53C 7D 76．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-7．如果执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为A ．3-B ．12- C ．2D ．138．函数()cos f x x x =的最小正周期为A ．2πB ．32πC ．πD ．2π 9．设平面向量a (2,6)=-，b (3,)y =，若a ∥b ，则a －2b ＝A ．(4,24)B ．(8,24)-C ．(8,12)-D ．(4,12)-10．已知(){}({},11,02,,A x y x y B x y y =-≤≤≤≤=≤．若在区域A 中随机的扔一颗豆子，求该豆子落在区域B 中的概率为A ．18π-B ．4π C ．14π- D ．8π11．若直线220.(0,0)ax by a b -+=>>被圆22(1)(2)4x y ++-=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．412．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x ；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。

吉林省东北师大附中高三第二次摸底考试(数学文)

吉林省东北师大附中高三第二次摸底考试（数学文）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间1. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数1y x -=和3log y x =的定义域分别是P 、Q ，则（）A.P Q ≠⊂B.P Q P =⋂C.⋃P R C Q P =D.⋂Q R C P =∅2．下列各式中，值为22的是（） A. ︒︒75cos 75sinB. 18cos22-πC.2tan151tan 15︒-︒D .2)240cos(1︒--3．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =252a ，21a =，则1a = （）A.B. C.D. 24．已知角α的终边上一点的坐标为1),22-则角α的最小正值为（） A.56π B.23π C.53π D. 116π5．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a 等于（）A. －4B. －6C. －8D. －106．下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（） A. sin()6y x π=+B. sin(2)6y x π=-C. cos(4)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-7．由11a =， 131nn n a a a +=+给出的数列{}n a 的第34项为（） A.34103 B. 100 C. 1100 D. 11048．如果函数)(x f 对于区间D 内任意的n x x x ,,,21 ，有12()()()n f x f x f x n ++≤12()nx x x f n++成立，称()f x 是区间D 上的“凸函数”. 已知函数sin y x =在区间[]0,π上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A s in s in s in ++的最大值是（）A.21B. 23C.23D.233 9．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是（） A.7SB.8SC .13SD.15S10．已知tan α,tan β是方程240x ++=的两根，若,αβ∈(,)22ππ-，则αβ+=（） A.3π B. 23π- C.3π-或23π D. 3π或23π-11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则（）A.(sin)(cos )66f f ππ< B.(sin1)(cos1)f f > C. (cos 2)(sin 2)f f > D.22(cos )(sin )33f f ππ<12．已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则（） A. 12()()f x f x < B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,3,(1,2,3,)n n a a S n +===，则410log S = ；14．已知,αβ都是锐角，且12sin ,cos()33ααβ=+=，则cos β= ； 15．函数()log (1)(01)xa f x a x a a =++>≠且在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ，则函数2()1g x ax x =++在[]2,2-上的值域为；16．下列三种说法：(1) 命题“x x R x 31,2>+∈∃使得”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀都有”；(2) 若,a b 正实数，则“33log log a b >”是 “1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的必要不充分条件； (3) 把函数))(2sin(R x x y ∈-=的图像上所有的点向右平移8π个单位，即可得到函数))(42sin(R x x y ∈+-=π的图像.其中正确的说法是（把正确说法的序号填在横线处）三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知5sin 13x =，(,)2x ππ∈，求cos2x 和tan()4x π+值．18．（本题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==. （1）求通项n a ；（2）若242n S =，求n .19．（本题满分12分）等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T .本题满分12分）已知函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f ，（1）求()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）若()f x 的最大值为32+，试求常数a 的值.21．（本题满分12分）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()a b c bc --=，（1）求角A ；（2）若BC =B 等于x ，周长为y ，求函数)(x f y =的取值范围.22．（本题满分12分）已知()log ,()2log (22)a a f x x g x x t ==+-,(0,1,)a a t R >≠∈. （1）当[]4,1,2t x =∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值；（2）当[]01,1,2a x <<∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）1．D 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．D 9．C 10．B 11．C 12．A二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共 13．9 1415．1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．① ③ 三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：225119cos 212sin 12()13169x x =-=-⨯=． ………….2分因为5sin 13x =，(,)2x ππ∈，所以12cos 13x ==-． …………. 4分则sin 5tan cos 12x x x ==-．所以tan 17tan()41tan 17x x x π++==-． ………….10分18．解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .102020101011(1)30,50202.201010,12.101a a a a d a ad a ==-∴===--=∴=-∴通项公式为*210()n a n n N =+∈. ………….6分（2）由1(1)2n n n S na d -=+得(1)242122,2n n n -=+⨯即2112420.n n +-=解得11,22n n ==-（舍）11n ∴= ………….12分19．解：由n a n n b a p =，得n n b np =.所以23123(1)n nn T p p p n p np -=++++-+，…2分当1p =时，(1)1232n n n T n +=++++=； ……4分当1p ≠时，23123(1)n nn T p p p n p np -=++++-+234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+， …………6分23111(1)(1)1n n n n n n p p p T p p p pp npnp p-++--=+++++-=-- …9分12(1)(1)1n n n p p np T p p+-∴=--- …………10分综上，12(1),12(1),1(1)1n n n n n p T p p np p p p ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩. …………12分：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f2222cos sin sin()2cos 4sin cos sin()4x x a x x x x a x ππ=+++=+++22)sin()44)sin()(,)42x a x a x x k k Z πππππ=+++=+≠+∈(1)最小正周期是2T π=；令322,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 522,44k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈，又,2x k k Z ππ≠+∈，∴函数()f x 的单调减区间是52,2,2,2,4224k k k k k Z ππππππππ⎡⎫⎛⎤++++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. （2）因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以a =21．解：（1）由bc c b a bc c b a -=--=--22222:)(得 ...………1分212cos 222=-+=∴bc a c b A ………3分又π<<A 0 3π=∴A ………5分（2）,sin sin A BC x AC =x x x BC AC sin 4sin 2332sin 3sin =⋅=⋅=∴π………6分2()3C A B x ππ=-+=-，同理：)32sin(4sin sin x C A BC AB -=⋅=π………7分24sin 4sin())36y x x x ππ∴=+-+=++ ………9分3π=A 320π<=<∴x B………10分故)65,6(6πππ∈+x ，1sin ,162x π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，(y ∴∈. ………12分 22．解：（1）4t =，24(1)1()()()2log (22)log log log 4(2)a a a a x F x g x f x x x x x x+=-=+-==++ ….2分又1y x x=+在[]1,2x ∈单调递增， ……….3分∴当时1>a []216log )(2,1)(min ==∴∈a x F x x F 也单调递增在，解得4=a ……….4分当时10<<a []218log )(2,1)(min ==∴∈a x F x x F 也单调递减在， ……….5分解得2318==a （舍去）所以4=a ………….6分（2）)()(x g x f ≥，即)22(log 2log -+≥t x x a a 2)22(log log -+≥∴t x x a a ….7分[]2,1,10∈<<x a ，2)22(-+≤∴t x x ，22-+≤∴t x x ，t x x ≤+-∴22，.8分t x x ≤+-∴22，依题意有t x x ≤+-max )22( …….9分而函数817)41(2222+--=+-=x x x y ………….10分因为[][]2,1,2,1∈∈x x ，1max =y ，所以1≥t . ………….12分。

吉林省东北师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第二次摸底考试文科数学试卷及答案

绝密★启用前吉林省东北师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第二次摸底考试文科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1,2,3,4}A =，{|23,}B y y x x A ==-∈，则集合A B =（） A ．{1} B ．{1,2} C ．{1,3} D ．{1,2,4}2．若复数34i34iz +=-，z 为复数z 的共轭复数，则z 的虚部为（） A ．45-B ．45C ．45-i D ．4i 53．命题“0x ∀>，220x x +≥”的否定是（） A ．0x ∀≤，220x x +< B ．0x ∀>，220x x +< C ．0x ∃>，220x x +≥D ．0x ∃>，220x x +<4．已知向量12AB ⎛= ⎝⎭，3122BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．150︒5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5752a a +=，则17S 的值为（） A ．49B ．54C ．85D ．1356．声强是指声音在传播途径上每平方米面积上声能流密度，用I 表示，人类能听到的声能流范围很广，其中能听见的1000Hz 声音的声强（约为12210/W m -）为标准声强，记作0I ，声强I 与标准声强0I 之比的常用对数作声强的声强级，记L ，即010lgIL I =，声强级L 的单位名称为贝尔，符号为B ，取贝尔的十倍作为响度的单位，称为分贝尔，简称分贝（dB ）．《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB ，一个士兵大喝一声的响度为100dB ，如果一群士兵同时大喝一声相当于张飞大喝一声的响度，那么这群士兵的人数约为（） A ．100B ．1000C ．10000D ．1000007．设2:2310p x x -+<，2:(21)(1)0q x a x a a -+++<，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1(,0],2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1(,0),2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭8．若等比数列{}n a 中的5a ，2017a 是方程2420x x -+=的两根，则21222322021log log log log a a a a ++++=（）A ．20223B ．1010C ．20212D ．10119．若α，β均为锐角，sin α=3sin()5αβ+=，则cos β=（）A B C D ．10．已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分函数图像如图所示，点(,,06A B π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 图像的一条对称轴方程为A ．12x π=-B ．3x π=-C ．18x π=D ．24x π=11．已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()2222g x x x λ=-+-，若关于x 的方程()()()R f g x λλ=∈恰有6个不同实数根，则实数λ的取值范围为（） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()0f x >．当0x >时，()2()f x f x '<．当2x >时，()()f x f x '>，且22(3)(1)x f x f x e --=+，其中e 是自然对数的底数．则(1)(4)f f 的取值范围为（） A ．6311,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．6311,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．331,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()36,e e二、填空题13．已知点22sin ,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭落在角θ的终边上，则tan θ=________． 14．设25a b m ==，且112a b+=，则m ＝________.15．如图，O 是ABC 的重心，AB a =，AC b =，D 是边BC 上一点，且3BD DC =，OD a b λμ=+，则λμ+=________．16．已知函数()ln f x ax e x =+与2l ()n x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点，其中e 是自然对数的底数，则实数a 的取值范围是________．三、解答题17．函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）先将函数()f x 图象上所有点向右平移524π个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的单调递增区间．18．已知数列{}n a 中，10a ≠，()()*121n n a a S n N =+∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2cos 2a C b c =+．（1）求A ；（2）若AM 是角A 的平分线，且2AM =，求ABC 的面积的最小值．20．经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于y 轴成轴对称图形”的充要条件是“()y f x =为偶函数”.（1）若()f x 为偶函数，且当0x ≤时，()21f x x =-，求()f x 的解析式，并求不等式()(21)f x f x >-的解集；。