集合的思想

合集下载

集合中的数学思想

集合中的数学思想思想1 补集思想对于某些问题,如果从正面求解比较困难,则可考虑先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将研究对象的全体实为全集,求出使问题反面成立的集合A ,则A 的补集即为所求.补集思想的原理或依据是:C U (C U A )A =.例 1. 已知集合{}36>-<=x x x A 或,{}1+≤≤=k x k x B ,若∅≠B A ,求实数k 的取值范围.分析:∅≠B A 说明两个集合有公共元素,它们的解集在数轴上所对应的图形有公共部分.本题若从正面解答情形会比较复杂,考虑到∅≠B A 的反面为∅=B A ,我们可以先求出∅=B A 时实数k 的取值范围,然后再取补集,即可得到结果.解:当∅=B A 时,分为两种情况:①若∅=B ,则1+>k k ,显然不成立;②若∅≠B ,则有⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+≤3161k k k k ,解之得:6-≤k ≤2.综上,当∅=B A 时,实数k 的取值范围是{}26≤≤-k k .∴当∅≠B A 时,实数k 的取值范围是{}26>-<k k k 或.思想2 数形结合思想若给定的集合是用不等式刻画的数集,常用数轴来表示;若给定的集合其具体的数集,常用Venn 图来表示;若给定的集合是点集,常用平面直角坐标系来表示.借助于图形来解决集合问题,比较形象、直观,体现了数形结合思想.例2. 设全集为R ,集合{}43<<-=x x A ,{}92≤≤=x x B .（1）求B A , A (C R B );（2）已知集合{}11+≤≤-=a x a x C ,若C A C = ,求实数a 的取值范围.分析:两个用不等式表示的集合,求其并集时,结果为两个集合在数轴上对应图形所覆盖的全部范围;求其交集时,结果为两个集合在数轴上对应图形所覆盖的公共范围.解:（1）∵{}43<<-=x x A ,{}92≤≤=x x B∴B A {}93≤<-x x∴C R B {}92><=x x x 或∴ A (C R B ){}23<<-=x x ;（2）∵C A C = ,∴A C ⊆,分为两种情况:①当∅=C 时,有11+>-a a ,显然不成立;②当∅≠C 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧<+->-+≤-413111a a a a ,解之得:32<<-a .综上所述,实数a 的取值范围是{}32<<-a a .例3. 向50名学生调查对A , B 两件事的态度,有如下结果:赞成A 的人是全体人数的53,其余的不赞成;赞成B 的比赞成A 的多3人,其余的不赞成;另外,对A , B 都不赞成的学生比对A , B 都赞成的学生数的31多1人,问:对A , B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?分析:借助于Venn 图可以形象、直观地解决集合元素个数的问题.解:由题意可知:赞成A 的学生有305350=⨯（人）,赞成B 的学生有()33330=+（人）.记50名学生组成的集合为全集A ,赞成事件A 的学生组成集合A ,赞成事件B 的学生组成集合B .设对事件A , B 都赞成的学生人数为x ,则对A , B 都不赞成的学生人数为131+x ,画出Venn 图如图所示: 则可列方程为:()()501313330=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-x x x x解之得:21=x .812131=+⨯ 答:对A , B 都赞成的学生有21人,对A , B 都不赞成的学生有8人.思想3 分类讨论思想对于含参集合,在讨论集合之间的关系时,往往需要对集合的种类进行分类讨论,得到关于参数的方程或不等式（组）,从而求得参数的值或取值范围.特别要注意空集的情况. 例4. 已知集合{}032<+=x x x A ,集合{}23<<-=x x B .（1）求B A ;（2）若集合{}12+≤≤=a x a x C ,且)(B A C ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）∵{}(){}{}0303032<<-=<+=<+=x x x x x x x x A∴B A {}03<<-=x x ;（2）∵)(B A C ⊆,∴分为两种情况:①当∅=C 时,有12+>a a ,解之得:1>a ;②当∅≠C 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧<+->+≤013212a a a a ,解之得:123-<<-a . 综上,实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<<-1123a a a 或.。

高中数学专题学习：第1讲--集合思想及应用

第1讲集合思想及应用一、知识梳理1．元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．常用数集的符号：自然数集N ，正整数集+N 或*N ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ．不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．2．集合与元素的关系：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a∉A ． 3．集合表示法列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合．描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合．{})(x p I x ∈表示集合A 是由集合I 中具有性质)(x p 的所有元素构成的．4．集合的关系子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆B ，读作A 含于B ．空集是任何一个集合的子集．真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ．集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．集合A 与集合B 是相等的，记作A ＝B ．集合关系与其特征性质之间的关系：设A ＝{})(x p x ，B ＝{})(x q x ．如果A ⊆B ，则)()(x q x p ⇒．如果 )()(x q x p ⇒，则A ⊆B ．5．集合的运算交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作：A ∩B ，读作：A 交B ．并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B ，读作：A 并B ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：∁U A ，读作：A 在U 中的补集．二、方法归纳1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合{})(x p x ，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质)(x p ；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题．2．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论．3．数集的运算往往用数轴法．4．用Card （A ）表示有限集A 的元素个数，则由A ⊆B ，可得Card （A ）≤Card （B ）；由A ＝B ，可得Card （A ）＝Card （B ）；Card （∅）＝0．5．容斥原理：Card(A ∪B )=Card(A )＋Card(B )－Card(A ∩B )Card(A ∪B ∪C )=Card(A )＋Card(B )＋Card(C )－Card(A ∩B )－Card(B ∩C )－Card(C ∩A )＋Card(A ∩B ∩C )6．n 个元素的集合所有子集个数为n 2，所有真子集个数为n 2－1．三、典型例题精讲【例1】若集合}4,,2,1{x A =，}1,{2x B =，A ∩B ＝{1，4}，则满足条件的实数x 的值为 ( )A ．4B ．2或－2C ．－2D ．2 解析：根据}1,{2x B =，得42=x ，2±=x ，但}4,,2,1{x A =，由元素的互异性2≠x ．∴2x =-．答案：C【技巧提示】牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性．又例:若3∉{1，a ，2a }，求实数a 的范围．答案：a ≠0，±1，3，±3【例2】已知{}1+==x y y M ，{}1),(22=+=y x y x N ，则集合N M 中元素的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．多个【错解分析】根据M 为直线1+=x y 上的点集，N 为单位圆122=+y x 上的点集，∴N M 中元素的个数是2，选C ．解析：根据{}1+==x y y M ，得R M =，为数集，{}1),(22=+=y x y x N 为单位圆122=+y x 上的点集， ∴=N M ∅．答案：A【技巧提示】用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件．交集是由两个集合的公共元素组成的集合．又例:设集合{}1),(2-==x y y x A ，{}1),(22=+=y x y x B ，则B A 的子集的个数是（）A ．0B ．2C ．4D ．8解析：显然B A ,都是坐标平面内的点集，抛物线12-=x y 与圆122=+y x 有三个交点，即集合B A 有３个元素， ∴ B A 有8个子集．答案：D【例3】若C B A ,,为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有 ( )A ．A ⊆CB ．C ⊆A C ．A ≠CD ．A ＝∅解析：∵A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆ C又∵A ∪B ＝B ∩C ，∴A ⊆C ，故选A ．答案：A【技巧提示】理解集合的运算性质是解答本题的关键．A ⊆(A ∪B )，(B ∩C )⊆C 就是交运算和并运算的重要性质．本题也可利用文氏图直接得出结论．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．又例:已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1，0，1}和N ＝{x | x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )解析：∵N ＝{0，－1}， M ＝{－1，0，1}，∴N M ⊆U ．答案：B ．【例4】设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3，4}，A ∩B ＝{－3}，求a 、b 、c 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A 且－3∈B ，将－3代入方程：x 2＋ax －12＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－3，4}．将－3代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得3b －c ＝9．∵A ∪B ＝{－3，4}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－3}．∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的判别式△＝b 2－4c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3b －c ＝9 ①b 2－4c ＝0 ② 由①得c ＝3b －9，代入②整理得：(b －6)2＝0，∴b ＝6，c ＝9．故a ＝－1，b ＝6，c ＝9．【技巧提示】由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考．【例5】设集合A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x 2}，则A ×B 等于 ( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1]∪[2，＋∞)C ．[0,1)∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)解析：A ＝{x |y ＝2x －x 2}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝2x 2}＝{y |y ≥0}，∴A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,2] ，因此A ×B ＝(2，＋∞)，故选A ．答案：A【例6】已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合B ＝{x |5x ＋2≥1}．(1)求A 、B ；(2)求(∁U A )∩B ．解析：(1)由已知得：log 2(3－x )≤log 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤43－x >0，解得－1≤x ＜3，∴A ＝{x |－1≤x ＜3}．由5x ＋2≥1，得(x ＋2)(x －3)≤0，且x ＋2≠0，解得－2＜x ≤3．∴B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)由(1)可得∁U A ＝{x |x ＜－1或x ≥3}，故(∁U A )∩B ＝{x |－2＜x ＜－1或x ＝3}．【技巧提示】本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解．又例: 已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |－2≤y ≤2}，集合B ＝{y |y ＝2x }，那么集合A ∩(∁U B )等于 () A ．{y |－2≤y ≤0} B ．{y |0≤y ≤2}C ．{y |y ≥－2}D ．{y |y ≤0}解析：由题意易得：B ＝(0，＋∞)，∁R B ＝(－∞，0]，所以A ∩∁R B ＝{y |－2≤y ≤0}．答案：A【例7】已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}．(1)若A ⊆B ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的值或取值范围．解析：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎨⎧ a ≤23a ≥4即43≤a ≤2，当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a ≥4即a ∈∅．∴当A ⊆B 时，43≤a ≤2．(2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴a ≥4或3a ≤2，∴0＜a ≤23或a ≥4；当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43，∴a ＜0时成立，当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅．(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立，∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，故所求a 的值为3．【技巧提示】(1)本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质．(2)本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a 与3a 的大小，进而将集合B 表示出来．又例:已知集合A ＝{x |mx 2－2x ＋3＝0，m ∈R }．(1)若A 是空集，求m 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求m 的值；(3)若A 中含有两个元素，求m 的取值范围．解析：集合A 是方程mx 2－2x ＋3＝0在实数范围内的解集．(1)∵A 是空集，∴方程mx 2－2x ＋3＝0无解．∴△＝4－12m ＜0，即m ＞13．(2)∵A 中只有一个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0只有一解．若m ＝0，方程为－2x ＋3＝0，只有一个解x ＝32；若m ≠0，则△＝0，即4－12m ＝0，m ＝13．∴m ＝0或m ＝13．(3)∵A 中含有两个元素，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两解，满足⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0△>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠04－12m >0，∴m ＜13且m ≠0．四、课后训练1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |mx ＝1}，若Q ⊆P ，则实数m 的数值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0，1或－12．已知U ＝{2，3，4，5，6，7}，M ＝{3，4，5，7}，N ＝{2，4，5，6}，则 ( )A ．M ∩N ＝{4，6}B ．M ∪N ＝UC ．(∁U N )∪M ＝UD ．(∁U M )∩N ＝N3．设I 为全集，S 1，S 2，S 3是I 的三个非空子集，且S 1∪S 2∪S 3＝I ，则下面论断正确的是A ．∁I S 1∩（S 2∪S 3）＝∅B ．S 1⊆（ ∁I S 2∩∁I S 3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3＝∅D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）4．设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝_____5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为() A．mn B．m＋n C．n－m D．m－n6．设集合A＝{x|－12＜x＜2}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝()A．{x|－1≤x＜2} B．{x|－12＜x≤1}C．{x|x＜2} D．{x|1≤x＜2}7．设全集为U，且2011∈U，与2011∉（A∪B）意义相同的是()A．2011∈A∪B B．2011∉A或2011∉BC．2011∈(∁U A)∩(∁U B)D．2011∈(∁U A)∪(∁U B)8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于()A．{x|0＜x＜1{ B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x≤2} D．{x|2≤x＜3}。

小学数学中常见的数学思想方法有哪些？

小学数学中常见的数学思想方法有哪些？答;1、集合思想。

集合思想对数学的影响巨大，很多的数学分支都需要用集合语言表达。

①教学中要注重集合概念的渗透。

例如，认识“2”的教学中，例举多个两个物体，这多个两个物体的所在类的代表就是“2”。

又如六头猪和六只狗等所在类的代表就是“6”。

这里的2、6就是集合的基数。

”②教学中要注重集合关系的渗透。

如：一一对应关系，包含关系等。

③教学中要注重集合运算的渗透。

如：加法运算其实就是并集，减法运算的结果就是差集。

2、数形结合思想。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数与形之间的联系即称为数形结合，或形数结合。

数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

即“以形助数”或“以数解形”。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用一般可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决很多数学问题。

①利用数与形的对应来理解数学概念。

例如：认识分数的教学。

②利用数与形的对应解应用题。

例如：画线段图解应用题。

③坐标思想。

用方程表示图形，沟通数形之间的关系。

在教学中要培养学生积极主动地利用数形结合的思想解决问题。

3、函数思想。

函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。

函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。

在小学阶段学习的对应关系，正、反比例关系中就蕴藏中基本的函数思想。

4、变换与转化思想。

变换与转化思想是中小学数学中最重要的数学思想，充分重视这种数学思想方法在解题中的应用，不但可使问题化繁为简、化难为易，而且还可以提高学生的思维品质，培养学生的创新能力。

数学的思想方法有哪些

数学的思想方法有哪些数学的思想方法有哪些・小学篇一、集合的思想方法把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。

集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。

在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。

让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。

利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

二、对应的思想方法对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。

小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

三、数形结合的思想方法数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。

“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。

我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。

四、函数的思想方法恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。

有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。

集合中的数学思想整体思想

C = {x | x2 + 2ax − 2a = 0}，若 A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数 a 的取值范围. 【分析】此题的切入点在于三个集合中“至少有一个不是空集” ．若从正面分析，粗略可分为三种情况，即三个都不是空集、两个不是空集以及一个不是空集，但这里需明确哪个为空哪个不为空，还要继续细分，讨论起来将异常之繁琐.因此，从反面入手解决此题实乃必要之举．【注意】（1）寻找切入点.当题目中出现“至少”、“至多”、“存在”或“对于任
这个故事很好地体现了“正难则反”的思想．人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件入手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．但有些数学问题，若直接从正面分析，可能思路受阻，或者即使有思路，实施起来却也困难重重，这时不妨突破思维定势而从反面入手，则可能出其不意，收获奇效．
例 1 已知集合 A = {x | ax2 + 3x + 2 = 0} 中至多有一个元素，则实数 a 的取值范围是.
PM
分类讨论思想
分类讨论是解决含参问题的最一般方法，学生务必熟练掌握。下面是利用分类讨论解决含参问题的一般步骤：
（1）明确讨论对象．对于含参问题，我们通常是把范围未知（待求）的那个字母当成参数，即将其当作讨论对象．
（2）确立分类标准．分类标准是我们进行分类讨论的依据。若欲对一实际问题确立最佳的分类标准，需要我们根据对象的特征发现其中潜在的界线，而所谓界线其实是一个特殊位置，通常表现出来就是临界条件，我们的分类标准往往在此之上确立．这里需要注意的是，对某个具体问题我们可能确立不同的分类标准，据此展开的讨论就可能产生不同的效果，这个非常简便，而那个却异常繁琐，甚至难以求解。所以确立最佳的分类标准就显得尤为重要，而这往往也是分类讨论的难点．

集合中的常用数学思想

集合中的常用思想教学目标：1集合的基本概念，2集合关系中的重视空集（直观性）3集合运算中直观性教学过程：一、集合的概念1、一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是有这些对性的全体构成的集合。

注：1、集合是一个整体2、元素具有包容性1）元素可以是看到的，听到的，闻到的，触摸到的2）元素可以是集合{}{},,a b c ，{}3R ∈套着塑料袋塑料袋3、常见集合的表示方法N,N +,*N ,Z,Q,R二、集合元素的性质1、确定性:含义：作为一个集合的元素，必须是确定的这就是说，不能确定的对象就不能构成的集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就定了。

解释：1）有一个标准是确定的，一个元素在不在集合中是确定的2）标准客观的在考这个知识点的考察试的层面上很少考的2、★互异性含义：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作一个元素。

解释：互异性在一般的考察形式一般分为两个方面1)直接利用互异性寻找线索eg ：①{物理老师的人，大坏蛋}说明他不是大坏蛋，有的人认为在说他，说明数学素养不够 ②,1,b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭={}2,0,a a b + 例1（2）（1）2）利用互异性去掉增根Eg 、已知数集{}23,7,A a a =+，且16A ∈，求实数a 的值（-4）错误答案：4和13 例23、无序性（简单说）三、集合的表示方法1、列举法2、描述法：1）（注意性质的描述）用集合中元素的特征性质来描述的，一般是与集合的确定性有关。

性质：一般地，如果在集合中，属于集合的任意一个元素x 都具有性质P （x ），而不属于集合A 的元素都不具有性质p （x ），则性质p （x ）叫做集合A 的一个特征性质。

Eg 、集合{}22,,P xx m n m Q n Q ==+∈∈1）证明：若,,s P t P ∈∈则，st P ∈2）证明：,,s P t P ∈∈s P t∈ 例3（1） 2）描述法中我们要注意直观性的理解P5拓1，例4（3）Eg 、集合{}{}2,;72,A xx t t Z B xx t t Z ==∈==+∈求c A B =⋂中最小的元素（9） 3）在读描述法时要注意：字母都是浮云例4（4）在描述法中在题目中时我们要注意列举法和描述法的转换，有些题目我们可以 4）描述法中常见的表示方法根{}2230xx x --=；解集{}2230xx x -->；函数值{}223yy x x =--：点集{}2(,)23x y y x x =--四、集合的关系（爹集）集合的关系，两个集合的关系1子集:画韦恩图，只要A 推出B ，A 是B 的子集2真子集：3相等Eg 、P{1,2}，Q={xx 包含于P}，选项P 属于 Q,还是P 包含于Q注意事项：1元素的关系：（一部分）2空集，3本身，4子集的个数{1，2，3}：真子集的个数：非空真子集的个数空集：二元：一元：三元：例4注：集合的关系做题时的方法1、用定义2、当是数集是在数轴上的来表示例4（3），P6拓2，（注意在简单的强调一下空集的问题）五、集合的运算关系1、交集：2、并集：3、补集：简单的例子，简单的说一下什么叫交并补，做例5，空集的问题：（要着重的强调）例6还是要注意由于画不上所以只能不画了（德模跟定律）例5（5）。

小学数学集合思想总结

小学数学集合思想总结数学是一门非常重要的学科，它不仅是解决实际问题的工具，也是一种思维方式。

而数学中的集合思想则是数学思维的基础之一。

通过对集合思想的学习和运用，可以培养学生的逻辑思维、分析问题的能力，并提高解决问题的效率。

下面我将对小学数学中的集合思想进行总结，希望对于读者有所帮助。

首先，我们要明确什么是集合。

集合是指由一定对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

在数学中，我们通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。

集合常用的表示方法有列举法、描述法和叙述法。

例如，集合A={1,2,3}表示A 是由元素1、2、3组成的集合。

集合B={x|x是整数，0<x<5}表示B是由大于0且小于5的整数组成的集合。

集合之间的关系有包含关系和相等关系。

如果一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，我们就说集合A是集合B的子集，用符号"A⊆B"表示。

如果A是B的子集，且B也是A 的子集，我们就说集合A和B相等，用符号"A=B"表示。

例如，集合A={1,2}是集合B={1,2,3}的子集，用符号"A⊆B"表示。

而集合C={1,2,3}既是集合A的子集也是集合B的子集，所以集合A和B相等，用符号"A=B"表示。

集合之间还可以进行交集、并集和差集运算。

如果集合A和B的交集不为空，那么称A和B是交集非空的集合。

如果集合A和B的交集为空，那么称A和B是不相交的集合。

集合A和B的交集表示为"A∩B"，它是由A和B的共同元素组成的集合。

集合A和B的并集表示为"A∪B"，它是由A和B中的所有元素组成的集合。

集合A和B的差集表示为"A-B"，它是由属于A但不属于B的元素组成的集合。

在解决实际问题时，集合思想可以帮助我们更好地分析问题。

例如，我们考虑这样一个问题：某班级有50个学生，其中30个学生喜欢篮球，20个学生喜欢足球，同时喜欢篮球和足球的学生有10个。

生活中的集合思想

生活中的集合思想把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法,继而把一定程度抽象了的思维对象放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。

集合思想在小学中就有体现，在生活中是否有一定的用途呢？我们来寻找寻找吧。

一个关于数学的脑筋急转弯：2对父子4却只给了他们三副餐具，为什么？可能有些人就想不明白了。

其实，只有我、爸爸和爷爷三个人，重复了爸爸这个人，当然只需要三副餐具。

这个脑筋急转弯已经体现出集合思想在生活中的应用。

集合思想方便了人们的统计。

一个班有48人。

班主任在班会上问：“谁做完了数学作业？”这时有42人举手。

又问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手。

最后又问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

请问：这个班语文、数学作业都做完的有几人？因为完成语文作业的学生内的两部分表示人数和就是完成语文作业的人数（37人），所以语文作业的学生外、完成数学作业的学生内的那部分表示的人数为48-37=11（人），者是完成了数学作业但没有完成语文作业的人数。

因此，语文、数学两种作业都完成了的人数是42-11=31人。

在商场中，集合思想在处处影响着商场的运作。

例如：昨天进货5种，几天进货5种，问一共进几种货。

这个答案是多种多样的，同时这也分析了商场的运作情况。

这种商品要么是热销，速速购进；要么就是此商品价格低，销量不错。

如果设定有三种重复进货，那么我们就可以清晰地知道一共进7种货。

在各种劳动生产中，各种产品都不可避免，或多或少的出现损坏的情况。

例如在农产中，如此之多的合格农产品，数上三天三夜都可能数不过来。

但我们照样能够利用集合思想来完成合格农产品的统计。

例如：有10亩地，每亩可种上4000颗稻谷种子，每颗种子可收获10个谷子。

不合格共有2000颗。

请问合格的有多少颗？总共的稻谷=10400010=400000（颗）爸爷合格？共40万颗合格的稻谷=总共的稻谷—不合格的稻谷=400000—2000=39800（颗）这对于产业的科学分析、改进、生产水平起着一定至关重要的作用。

高中数学.集合中的常用数学思想

当前形势集合在近五年北京卷（理）考查5～18分高考要求内容要求层次具体要求A B C 集合的含义与表示√了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．集合间基本关系 √理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．在具体情境中，了解全集与空集的含义．集合基本运算 √理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．能使用Venn 图表达集合的关系及运算北京高考解读2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标）第20题13分第1题5分第20题13分第1题5分第1题5分第1题5分<教师备案> 可以调查一下班上学生上过暑期课的比例，以及学校当前的进度．对于集合，学生应从内心深处把集合当作一个锻炼的工具，集合从高中开始一直渗透到高中结束，甚至在有些过程中，我们都没有意识到．集合是数学的语言，是一个对话的平台，语言的作用是为了沟通，集合的问题不在于基本的运算什么的你不会，而是给你一道集合相关的问题你根本读不明白题意，或者当你试图表达一个条件时，你没有办法用一套很严格的数学语言把它表达出来．集合的中还渗透着很多数学思想，比如要想确定一个由描述法表示的集合，可能需要对参数进行分类讨论；理解一些集合的关系与运算需要借助韦恩图与数轴，这便是集合中的数形结合；还有些集合问题直接解决比较困难，我们选择看它的反面，正难则反．这些数学思想在以后的高中数学学习中，还会常常遇到，也会贯穿我们这一讲．“给你一道集合相关的问题，你根本读不明白题意”这句话可以结合下面的例子说明，可以用这个例子作为课堂的引入，调动学生的思维兴趣：已知集合{}12n M a a a =，，，，121n a a a <<<≤，若对于任意1i j n ≤≤≤，i j a a ，jia a 中至少有1个在M 中，则称集合M 具有性质P ．判断{}1234，，，（不具有）、{}1248，，，（具有）、{}24612，，，（不具有）是否具有性质P ．(更进一步的问题见华山论剑)新课标剖析集合中的常用数学思想1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作∅． 2．元素与集合的关系：∈、∉； 3．常见的数集的写法：自然数集正整数集整数集有理数集实数集N *N 或N + Z Q R 4．元素的性质：确定性、互异性、无序性．5．集合的表示法 ⑴ 列举法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图． ⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集． <教师备案> ⑴ 元素的性质：元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中．正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集． ⑵ 集合的表示法：① 列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素．比如要想了解集合{|24}A x x k k ==+∈Z ，，{|42}B x x k k ==+∈Z ，的关系，可以用列举法把一个个元素写出来：{42024}A =--，，，，，，，{22610}B =-，，，，，，就知道B 是A 的真子集；② 描述法是集合的一个重点与难点：{|()}x A p x ∈，x A ∈表达x 的外延，即x 的最大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，x 并不一定能取到A 中的所有，只是x 一定是A 中的元素，()p x 表示x 的内涵，是对x 的精确描述．如：集合3123{()|{012}123}i S x x x x i =∈=，，，，，，，，则3(212)S ∈，，，3(234)S ∉，，． ③ Venn 图是表达集合中的各种关系与运算的；④ 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间(213)a a -，，就表示213a a -<，即1a >-．这与{|213}x a x a -<<是有区别的，这个集合可以出现213a a -≥的情况，此时这个集合是空集．知识点睛1.1 元素与集合1．由实数a ，a -，a 所组成的集合里，所含元素个数最多．．有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】C2．下列集合中恰有2个元素的集合是（）A. 2{0}x x -=B. 2{|0}y y y -=C. 2{|}x y x x =-D. 2{|}y y x x =-【解析】 B ．3．若{}2123A =-，，，，{}2|B x x t t A ==∈，，则集合B 中的元素共有（） A ．3个 B ．4个 C ．7个 D ．8个【解析】 A考点1：元素与集合的关系【例1】 ⑴已知{}1021A x =-，，，且2x A ∈，求实数x 及集合A ．⑵已知a ∈Z ，集合{}(,)3A x y ax y =-≤，且(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，求满足条件的a 的值．⑶已知A 是数集，且满足：若x A ∈，则23A x-∈，则当x = 时，A 中仅有1个元素．若集合A 中有且仅有两个元素，集合A =_______．【解析】 ⑴ 当0x =时，{}101A =-，，；当1x =-时，{}103A =-，，． ⑵ 012，，；⑶ 1或2；{12}，．备注：所有的【备选】在学生版都不出现．．．．．．．．，只在教师版与课件上出现，供老师选讲．【备选】设A 是非空数集，0A ∉，1A ∉，且满足条件：若a A ∈，则11A a∈-．证明：⑴ 若2A ∈，则A 中必还有另外两个元素；⑵ 集合A 不可能是单元素集；⑶ 集合A 中至少有三个不同的元素．【解析】 ⑴ 若2A ∈，则1112A =-∈-，于是()11112A =∈--，故集合A 中还含有1-，12两个元素． ⑵ 若A 为单元素集，则11a a =-，即210a a -+=，此方程无实数解，∴11a a≠-，∴a 与11a-都为集合A 的元素，则A 不可能是单元素集．暑假知识回顾经典精讲⑶ 由A 是非空集合知存在1111111a a A A A a a a-∈⇒∈⇒=∈----．现只需证明a 、11a -、1a a--三个数互不相等． ①若21101a a a a =⇒-+=-，方程无解，∴11a a ≠-； ②若2110a a a a a -=⇒-+=-，方程无解；∴1aa a -≠-； ③若211101a a a a a -=⇒-+=--，方程无解，∴111a a a -≠--，故集合A 中至少有三个不同的元素．【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点．解此题关键在于由已知a A ∈，1a ≠，得到11A a ∈-，1111A a∈--，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．⑵中用到反证法的解题思想．下面的例3中会进一步提到正难则反的思想．考点2：两个集合相等<教师备案> 两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些．下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系．【例2】 ⑴设a b ∈R ，，集合{1}{0}a b =，，，则b a -=_____． ⑵若a ，b ∈R ，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=_____． ⑶由三个实数构成的集合，既可以表示为1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，也可表示为{}20a a b +，，，则20132013a b +=____．【解析】 ⑴ 1；⑵ 2； ⑶ 1-；点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和ba中的a 不为0的隐含信息，就能得到简便解法．考点3：集合中涉及到的数学思想<教师备案> 本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想，例5与例6会涉及到数形结合的思想．例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明．例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面．遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式．【例3】已知集合{}2|320A x ax x =++=中至多有一个元素，则实数a的取值范围是．【解析】 0a =或98a ≥．解法一（按照A 的元素个数分类讨论）：解法二（按照方程的次数分类讨论）：解法三（先考虑问题的反面）：备注：所有的【拓展】在学生版都不出现．．．．．．．．，只在教师版与课件上出现，供老师选讲．【拓展】已知{}2|0A x x x a =++≤，{}2|210B x x x a =-+-<，{}|49C x a x a =-≤≤，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】 5|38a a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≥或．=∅ ≠∅ A 14a >14a ≤B58a ≥58a < C3a <3a ≥至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：A ≠∅或B ≠∅或C ≠∅也就是14a ≤，58a <和3a ≥取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”． “全都是空集”⇒取A =∅，B =∅，C =∅的公共部分也就是交集，再取个补集就行．当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房．1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇；规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ． 4．交集：{}|A B x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|AB x x A x B =∈∈或；6．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且．知识点睛1.2集合之间的关系与运算7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=．<教师备案> 集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解，如果班上学生进度太慢，且没有预习，老师可以对后面的顺序进行调整，知识回顾1与例4是集合的关系，知识回顾2是集合的运算．1．⑴ 下列各个关系式中，正确的是（）A ．{}0∅=B ．2∈QC ．{}{}3553≠，，D ．{}{}21|x x x ⊆= ⑵ 若集合{}1M x x =>-，则下列关系成立的是（）A ．0M ⊆B ．{}0M ⊆C ．M ∅∈D ．{}0M ∈⑶ 已知两个集合1M x y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，1N y y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，这两个集合的关系是（）A ．M N =B ．M N ∈C ．M ND ．M N ⑷ 设{}2S x x n n ==∈Z ，，{}42P x x n n ==+∈Z ，，则下列关系正确的是（） A ．S P ⊆ B ．S P = C ．S P D ．S P【解析】 ⑴ D⑵ B ⑶ A ⑷ C2．⑴ 设集合{}|32M m m =∈-<<Z ，{}|13N n n =∈-Z ≤≤，则MN =___________．⑵ 设集合{}|||2M x x x =<∈Z ，，{210}N =--，，，则MN =_________．⑶ 已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ⑴ {}101-，， ⑵ {}2101--，，， ⑶ B考点4：集合的关系【例4】 ⑴设集合{}|61M x x k k ==+∈Z ，，{}|64N x x k k ==+∈Z ，，{|32}P x x k k ==-∈Z ，，则下列说法正确的有________．①M N P = ②()M N P ③M N =∅ ④P M N =⑵设集合1|24k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|42k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则（）A ．M N =B ．M NC ．M ND ．M N =∅暑假知识回顾经典精讲⑶已知集合1|6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M 、N 、P 满足的关系是（）A ．M N P =B ．M N P =C ．M N PD ．NP M =【解析】 ⑴ ③④；⑵ B ； ⑶ B ；考点5：集合的关系与运算<教师备案> 例5是具体的集合的关系与运算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从⑵－⑷是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决．对于一般的集合问题，这里有个易错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空集！为了避免有部分学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法．【例5】 ⑴已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a ∈R ，如果A B B =，则实数a 的取值范围是_______．⑵已知集合{}|25A x x =-<<，{}|121B x a x a =+-≤≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是．⑶已知集合{}|40A x x x =><或，{}|10B x ax =->，若A B A =，则实数a 的取值范围是．⑷设集合{}1A x x a x =-<∈R ，，{}15B x x x =<<∈R ，，若A B =∅，则实数a 的取值范围是___________．【解析】 ⑴ {|1a a -≤或1}a =；⑵ {|3}a a <；⑶ 1|4a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤；⑷ {|0a a ≤或6}a ≥；【拓展】设集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|2151B x a x a =-+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是__________；若AB ，则实数a 的取值范围是___________．【解析】 ①{|1a a <-或01}a ≤≤；② {|01}a a ≤≤；<教师备案> 对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白，对于抽象的集合，要理解A B ⊆，需要从元素角度出发：即对任意的x A ∈，有x B ∈；这在证明抽象的集合的关系时很有用，见下面的德摩根律的证明．集合的运算满足德摩根律：①()U A B =()()U U A B ；②()U A B =()()U U A B ．对于德摩根律，可以使用两个集合相等的定义进行抽象的证明，如下：证明：① 对任意的()U x A B ∈，则x A B ∉，从而x A ∉且x B ∉；因为x A ∉，所以U x A ∈；因为x B ∉，所以U x B ∈，从而()()U Ux A B ∈；从而有()()()UU U AB A B ⊆；对任意的()()U UA B x ∈，则Ux A ∈且U x B ∈，从而x A ∉，且x B ∉．故()x A B ∉，即()Ux AB ∈，故()()()U UUA B A B ⊆．综上有()UA B =()()UUA B ；②对任意的()Ux A B ∈，则x AB ∉，从而x A ∉或x B ∉；若x A ∉，则U x A ∈，从而()()U Ux A B ∈；若x B ∉，则U x B ∈，从而()()UUx A B ∈；从而有()()()UU U AB A B ⊆；对任意的()()U UA B x ∈，则U x A ∈或U x B ∈，即x A ∉或x B ∉，从而()x AB ∉，故()U x A B ∈，故()()()U U U A B A B ⊆．综上有，()U A B =()()UUA B ．德摩根律的严格证明并不容易，学生需要时间慢慢适应高中的严格的推理有．德摩根律的正确性借助于韦恩图是很容易得到的，韦恩图在表示集合的关系与运算时非常直观．见例6．考点6：韦恩图【例6】 ⑴设A 、B 、I 均为非空集合，且A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是( ) A ．()I A B I = B ．()()I I A B I = C ．()I A B =∅ D ．()()I I I A B B = ⑵若全集{}123456789U =，，，，，，，，，A 、B 为U 的子集，且(){}19UA B =，，{}2AB =，()(){}468UUA B =，，，求A 、B 和UB ．【解析】 ⑴ B ； ⑵ {}2357A =，，，，{}129B =，，，{}345678UB =，，，，，．AA∩C U B B A∩B B∩C U AC U (A ⋃B )UU4,6,81,92B3,5,7A考点7：子集个数问题(尖子班选讲)若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．<教师备案> 这个结论可以归纳得到：当A 中有两个元素时，记为212{}A a a =，，2A 的子集有4个；当A 中有三个元素时，记为3A ，323{}A A a =，2A 的四个子集仍然为3A 的子集，且这些子集中加入元素3a 后会得到四个新的互不相同的子集，且3A 的每个子集都可以归在这两类中，从而3A 的子集个数是2A 的两倍，从而3A 有8个子集，可以归纳得到n A (含有n 个元素的集合)有2n 个子集．如果利用乘法原理（奥数学介绍过，在高二会进行系统学习），会很容易得到这个结论，要得到n A 的子集，只需考虑n A 的每个元素在或不在这个子集中，对n 个元素，可以通过n 步得到，每步有两种不同的方法，故共对应2n 个子集．【例7】 ⑴已知A B ⊆，A C ⊆，{01234}B =，，，，，{0248}C =，，，，则满足上述条件的集合 A 的个数是（）A ．8B ．32C ．16D ．4⑵已知{12310}A =，，，，，{12345}B =，，，，，若C 是A 的子集，且B C ≠∅，则子集C 共有_____个．⑶若集合A 满足：对任意x A ∈，都有1A x∈，就称A 是“和谐”集合．则在集合111012345632M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，，，，，，，，的所有非空子集中，“和谐”集合有_______个．【解析】 ⑴ A⑵ 992； ⑶ 15（2009年北京）已知数集{}12n A a a a =，，，()1212n a a a n <<<≤，≥具有性质:P 对任意的i j ，()1i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．⑴ 分别判断数集{}134，，与{}1236，，，是否具有性质P ，并说明理由； ⑵ 证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++．【解析】 ⑴ 由于34⨯与43均不属于数集{}134，，，所以该数集不具有性质P ．由于12⨯，13⨯，16⨯，23⨯，62，63，11，22，33，66都属于数集{}1236，，，，所以该数集具有性质P ．⑵ 因为{}12n A a a a =，，，具有性质P ，所以n n a a 与n naa 中至少有一个属于A ．由于121n a a a <<<≤，所以n n n a a a >，故n n a a A ∉．从而1n naA a =∈，故11a =．因为121n a a a =<<<，所以k n n a a a >，故()23k n a a A k n ∉=，，，．由A 具有性质P 可知()123nka A k n a ∈=，，，，．又因为121n n n n n n a a a aa a a a -<<<<，所以121121n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a --====，，，，．从而121121n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a --++++=++++，故1211112nn na a a a a a a ---+++=+++．【演练1】设集合{}113A =-，，，{}224B a a =++，，{}3AB =，则实数a =_____．【解析】1．【演练2】⑴ 已知{}234567U =，，，，，，{}3457M =，，，，{}2456N =，，，，则（） A ．{}46，MN = B ．MN U =C ．()U N M U =D ．()U M N N =⑵ 已知集合{}|1M y y x ==+，(){}|23N x y y x ==+，，则集合MN 中的子集个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4⑶ 集合{}101A =-，，，A 的子集中含有元素0的子集共有（） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【解析】 ⑴ B ；⑵ B ； ⑶ B ．【演练3】已知集合{|25}A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+-≤≤，若A B A =，求实数m 的取值范围．【解析】 3m ≤．【演练4】已知集合2{|210}A x ax x =∈++=R ，其中a ∈R ．⑴ 1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；⑵ 若A 中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合B ； ⑶ 若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围．【解析】 ⑴ 1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．⑵ {01}B =，．⑶ {}|10a a a =≥或．【演练5】设A B ，是两个非空集合，定义A 与B 的差集{|A B x x A -=∈且}x B ∉，⑴已知集合{1234}A =，，，，{2345}B =，，，，求它们的差集A B -与B A -；⑵已知{|4}A x x =>，{|6}B x x =<，求()A A B --及()B B A --，并猜测它们之间的关系；⑶若差集A B -与B A -是同一集合，证明A B =．【解析】 ⑴ {1}A B -=，{5}B A -=；⑵ (){|46}A A B x x --=<<，(){|46}B B A x x --=<<，实战演练由此猜测()()A A B B B A --=--．⑶ 对任意的x A ∈，若x B ∉，则x A B ∈-，但x B A ∉-，与已知条件矛盾，故对任意的x A ∈，有x B ∈，从而A B ⊆；同理有，B A ⊆，故A B =．已知集合{}1234A a a a a =，，，，{}22221234B a a a a =，，，，i a ∈N （1234i =，，，），其中1234a a a a <<<，且{}14A B a a =，，1410a a +=，A B 的所有元素之和为124，求⑴14a a ，；⑵A ．【解析】 ∵20i a ≥()1234i =，，，，{}14A B a a =，，∴211a a =，则10a =或11a =．若10a =，则410a =，又集合B 中必存在某个数的平方为10，即A 中存在10，这与(12345)i a i ∈=N ，，，，矛盾，因此有11a =，∴49a =．由49a =知3A ∈，于是利用A B 的元素之和为124，分23a =或33a =进行讨论，①若23a =，则有23313981124a a +++++=，解得35a =或36a =-（舍），②若33a =，则有22213981124a a +++++=，解得25a =或26a =-（舍），∵23a a <，∴2335a a ==，，综上所述，{}1359A =，，，．大千世界。

浅谈集合思想在小学数学教学中的渗透

浅谈集合思想在小学数学教学中的渗透集合思想作为数学的重要组成部分，在小学数学教学中扮演着重要的角色。

它不仅是一种数学概念，更是一种数学思维方式的体现。

本文将从集合的基本概念、在小学数学教学中的应用以及对学生思维方式的影响等方面，浅谈集合思想在小学数学教学中的渗透。

一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，它是一种抽象概念，用来描述具有共同特征的对象的总体。

在数学中，集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母列举，并用大括号{}括起来。

集合A={1,2,3,4,5}表示集合A中包含了元素1,2,3,4,5。

集合的基本概念在小学数学教学中得到了广泛的应用。

在数学启蒙阶段，教师可以通过集合的概念引导学生认识周围的事物，并让学生明白一些对象之间的联系和区别。

在教学中可以通过集合的概念引导学生认识自然数、整数等，并让学生明白它们之间的包含关系和排列组合。

集合的基本概念为学生理解数学知识奠定了基础。

二、集合在小学数学教学中的应用在小学数学教学中，集合的概念被广泛应用于各个知识点中。

比如在数学启蒙阶段，教师可以通过集合的概念引导学生认识自然数、整数等，并让学生明白它们之间的包含关系和排列组合。

在一年级数学教学中，教师可以通过集合的概念引导学生认识表示集合的符号“∈”、“∉”，并让学生明白这些符号的含义和用法。

在二年级数学教学中，教师可以通过集合的概念引导学生认识集合的并集、交集等，并让学生明白这些运算符的含义和用法。

在三年级数学教学中，教师可以通过集合的概念引导学生认识集合的包含、相等等，并让学生明白这些概念的含义和用法。

通过这些例子可以看出，集合的概念在小学数学教学中得到了广泛的应用。

三、集合思想对学生思维方式的影响集合思想不仅是一种数学概念，更是一种数学思维方式的体现。

在小学数学教学中，集合思想对学生的思维方式产生了积极的影响。

集合思想培养了学生的分类思维能力。

通过学习集合的概念，学生可以将周围的事物进行分类，明确它们之间的联系和区别。

集合思想和方法

集合思想和方法高中数学新教材很重视“集合”概念，把它作为高中数学的基础，放在第一章，这是符合近代数学发展规律的。

实际上，集合是整个数学的基础，它不但为数学的不同分支提供了工具，还提供了重要的思想方法。

因此，如何在高中数学教学中教好“集合”的概念和思想方法就显得非常重要了。

但是，在数学教学中，我们很少自觉地运用集合的思想和方法去分析问题、解决问题，至于认真地发掘、研究它的应用就更少了。

我们认为，关键在于运用，就是在其它内容的教学和学习中贯彻和运用集合的思想方法，而这是一个薄弱环节。

下面谈一谈本人在这方面的一些思考和做法。

一、什么是集合思想简而言之，集合思想就是从集合的观点出发，把所研究的对象看成某个集合的元素。

但我们认为集合的本质是“分类”，是“求同辨异”。

“分类思想”是重要的数学思想，用于处理复杂的数学问题，可以化繁为简，化难为易。

分类时要求标准明确，这与集合的基本性质——确定性完全一致。

所以，集合是分类思想方法的极好的载体，其本质就是分类。

基于这样的认识，我们才能在数学教学和学习中自觉地运用集合思想和方法。

二、集合思想和方法的运用根据上面的叙述，我们可以在高中数学的任何一块内容中找到应用集合概念及其思想方法的天地。

函数、数列等自不待言，逻辑、不等式、排列组合概率、三角、解析几何乃至立体几何中都可以充分地运用集合的工具和思想方法。

1、从一个典型问题谈起例1 函数)12lg(2+-=ax x y 的值域为R ，求常数a 的取值范围。

分析：学生解该题时往往分不清值域为R 与定义域为R 的不同，错误率非常高。

错解如：2()210g x x ax =-+> ⇒ 0<∆ ⇒ a 取值范围是：(-1,1)。

正确的思考方法应是，欲使lg ()y g x =的值域为R ，必使()g x 的值域包含),0(+∞，而12)(2+-=ax x x g 的值域是),)([min +∞x g ，故应有min ()04g x -∆=≤，即0≥∆。

集合思想

集合思想1. 集合的概念。

把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。

给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。

如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。

一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。

只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。

集合的表示法一般用列举法和描述法。

列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。

描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。

列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。

此外，有时也能够用封闭的曲线（文恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。

一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。

数集之间能够建立一一对应，如正奇数集合和正偶数集合之间的元素能够建立一一对应。

其他集合之间也能够建立一一对应，如五(1)班有25个男生，25个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间能够建立一一对应；再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也能够建立一一对应。

2. 集合思想的重要意义。

集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。

如数系的扩展，从小学的自然数到整数，再到中学的有理数、无理数和实数，都能够从集合的角度来描述。

有时用集合语言来表述相关概念更为简洁，如全体偶数的集合可表示为｛x|x＝2k，k∈Z｝。

集合论的思想方法在中学数学中的作用

集合论的思想方法在中学数学中的作用集合论的思想方法在中学数学中的作用________________________________________集合论是数学的一个重要分支，它的思想方法在中学数学中也有着重要的作用。

一、集合论的概念集合论是数学的一个重要分支，它是研究集合的一种数学理论，它的研究内容包括集合的定义、集合的性质、集合的运算、集合的构造等。

集合论的概念是把一组具有某种共同特征的元素组合成一个整体，把它们看作一个整体，这个整体就是一个集合。

二、集合论在中学数学中的作用1、集合论的思想方法可以帮助学生更好地理解数学概念。

集合论的思想方法可以帮助学生把一组具有某种共同特征的元素组合成一个整体，把它们看作一个整体，这样可以更好地理解数学概念，更好地把握数学规律。

2、集合论的思想方法可以帮助学生更好地解决数学问题。

集合论的思想方法可以帮助学生把一组具有某种共同特征的元素组合成一个整体，把它们看作一个整体，这样可以更好地理解数学问题，更好地解决数学问题。

3、集合论的思想方法可以帮助学生更好地掌握数学知识。

集合论的思想方法可以帮助学生把一组具有某种共同特征的元素组合成一个整体，把它们看作一个整体，这样可以更好地理解数学知识，更好地掌握数学知识。

三、集合论在中学数学中的应用1、集合论在中学数学中可以用来解决一些复杂的数学问题，比如求解一元二次方程的根、求解一元三次方程的根等。

2、集合论在中学数学中可以用来解决一些复杂的几何问题，比如求解三角形的面积、求解圆的面积等。

3、集合论在中学数学中可以用来解决一些复杂的概率问题，比如求解抛掷两个骰子的概率、求解抛掷三个骰子的概率等。

四、总结集合论的思想方法在中学数学中有着重要的作用，它可以帮助学生更好地理解数学概念、更好地解决数学问题、更好地掌握数学知识，并且可以用来解决一些复杂的数学问题、几何问题和概率问题。

因此，集合论的思想方法在中学数学中有着重要的作用，应该得到重视和推广。

集合思想知识点总结

集合思想知识点总结集合思想是数学中的一个重要概念，它在不同领域和学科中都有广泛的应用。

集合的概念最早起源于数学，但逐渐被引入到其他学科，如计算机科学、统计学、逻辑学等中。

集合思想是解决问题、推理和论证的基础，它能帮助我们清晰地组织和分类事物，并提供一种抽象的框架来研究对象之间的关系。

首先，我们来定义一下什么是集合。

在数学中，集合是由一些特定的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。

例如，一个集合可以是由自然数1、2、3组成的集合，记作{1, 2, 3}。

集合中的元素没有重复，如果一个元素在集合中出现多次，则只计算一次。

集合中的元素可以是任何类型的对象，包括数字、字母、词语等。

集合之间有着不同的关系，比如相等、包含、交集、并集、差集等等。

两个集合相等意味着它们包含的元素完全相同，也就是说集合A和集合B相等当且仅当A中的每个元素都在B中且B中的每个元素都在A中。

例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3, 1}，那么A和B是相等的。

集合的包含关系用来描述一个集合中的每个元素都在另一个集合中。

例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3}，那么B是A的子集。

集合的交集是指两个集合中共有的元素的集合，而并集则是指两个集合中所有元素的集合。

例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，那么A和B的交集为{2, 3}，并集为{1, 2, 3, 4}。

集合的差集是指一个集合中除去另一个集合中共有的元素后的结果。

例如，如果A={1, 2, 3}，B={2, 3}，那么A和B的差集是{1}。

集合的操作有着特定的性质和规律。

比如，交换律指的是对于任意两个集合A和B，A和B的交集等于B和A的交集，即A∩B=B∩A。

结合律指的是对于任意三个集合A、B和C，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

分配律指的是对于任意三个集合A、B和C，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

集合思想知识点总结

集合思想知识点总结一、集合的概念与表示方法1.1 集合的定义集合是由一组互不相同的元素所构成的整体，这些元素可以是任何事物，但必须满足互不相同的条件。

例如，{1, 2, 3, 4}就是一个集合，其中的元素是数字1、2、3、4，而且它们互不相同。

集合通常用大写字母A、B、C等来表示，元素则用小写字母a、b、c等来表示。

1.2 集合的表示方法集合有多种表示方法，常见的有以下几种：1) 列举法：直接列举出集合中的所有元素。

例如，集合A={1,2,3,4}就是用列举法表示的。

2) 描述法：用某种条件对集合中的元素进行描述。

例如，集合B={x|x是自然数，且x<5}就是用描述法表示的，表示B是由所有小于5的自然数所构成的集合。

3) 命题法：用一个命题来表述集合，大括号里的是满足这个命题的元素。

例如，集合C={x|2x+1=5}表示C是由满足方程2x+1=5的所有x所构成的集合。

以上是集合的基本概念和表示方法，接下来我们将介绍集合的基本运算和相关性质。

二、集合的基本运算和相关性质2.1 集合的基本运算集合的基本运算包括并集、交集、差集和补集。

1) 并集：将两个集合中的所有元素取在一起而成的集合。

用符号"∪"表示，并集的定义是A∪B={x|x∈A或x∈B}。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。

2) 交集：将两个集合中共有的元素取出来而成的集合。

用符号"∩"表示，交集的定义是A∩B={x|x∈A且x∈B}。

例如，A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。

3) 差集：从一个集合中减去另一个集合中的元素得到的集合。

用符号"-"表示，差集的定义是A-B={x|x∈A且x∉B}。

例如，A={1,2,3,4}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。

4) 补集：相对于全集而言，在全集中没有出现的元素所构成的集合。

1.夯基复习之--集合之思想

第一节集合知识一.重点知识介绍:1、集合的含义：被研究对象(元素)的全体称为集合,用ABC …表示；元素用abc …表示；“,∈∉”关系.集合的表示法：列举法（{2，4，6，8}）；描述法（{x| -1< log x < 1 }，{（x ，y ）| y = 2 x }）；集合的分类：有限集；无限集；空集∅（不含任何元素）（{x ∈R| x 2+2 < 0 }） 2、集合的基本关系：子集（,,2n A A A ⊆∅⊆）；真子集（ , A B A ⊂⊂≠≠∅（非空），21n -）集合相等（⇔⊆⊆A=B A B 且B A ）；想一想（非空真子集意义及个数）3、集合的基本运算：补集（{|U C A x x U =∈且x A ∉），交集（{|A B x x A =∈ 且x B ∈），并集（{|A B x x A =∈ 或x B ∈），A B A A B =⇔⊆4、几个重要关系： A B A A B =⇔⊆ ；A B A B A =⇔⊆ （思：如何用韦恩图表示？） ()()()U U U C A B C A C B = ；()()()U U U C A B C A C B = （思：如何用韦恩图表示？） ()()()()card A B card A card B card A B =+- （想一想：()card A B C =？）二.解题方法指导:1、集合的含义表示例1：判断下列各组对象能否构成集合？对能否构成集合的，分别指出属于和不属于它的一个元素：（1）满足1213x <-≤的实数x （2）方程2210x x -+=的解（3）满足x Z ∈且20x -<≤的解x （4）抛物线2y x =上的所有点（5）函数y =的值（6）函数y =的定义域2、集合的基本关系例2：用适当的符号填空（1）2 2{|440}x x x -+= （2）{|34}x x ≤< {|628}x x ≤≤（3）∅ {|03}x Z x ∈<< {|(1)(2)0}x x x --= {|,33}y Z y x x ∈=--<< 例3：已知{|21,}A x x n n Z ==+∈，{|21,}B y y m m Z ==+∈，求证A B =。

生活中的集合思想

生活中的集合思想
好的，我们可以开始写一篇关于生活中的集合思想的文章。

集合思想是指将一系列元素组成一个整体的思想。

在我们的生活中，集合思想无处不在。

我们可以从日常生活中的各个方面来看待这一思想。

例如，在工作中，我们常常需要将一系列数据组成一个完整的报告。

这就是集合思想的体现。

我们需要将不同的数据组合起来，通过对数据的分析，得出有意义的结论。

同样的，在我们的日常生活中，我们也会使用集合思想。

例如，我们在购物时，常常会将购物清单分成不同的类别，这样就能更好地组织我们的购物计划。

或者，当我们在准备一顿饭时，我们也会将菜肴分成主菜、副菜、甜点等不同的类别，这样就能使我们的饭菜更加丰富和美味。

总的来说，集合思想是生活中不可或缺的一部分。

它能够帮助我们更好地组织我们的生活，使我们的生活更加有序、高效。

因此，我们应该加强对集合思想的学习，并在日常生活中多加运用。

中职集合通俗易懂

中职集合通俗易懂
集合是一个数学概念，它包含一定范围内所有事物。

通俗易懂地说，
集合就是将许多物体放在一起形成一个整体，这个整体就是一个集合。

在集合论中，集合通常由大写的英文字母表示，例如A、B、C等。

集
合中的每一个元素可以用小写的英文字母表示，例如a、b、c等。

集合有三大特性：确定性、互异性和无序性。

确定性是指集合中的元
素是确定的，不能模棱两可；互异性是指集合中的元素是互不相同的，不能重复；无序性是指集合中的元素排列顺序不影响集合本身。

集合根据其元素的数量可以分为有限集、无限集和空集。

含有有限个
元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的叫做无限集，不含任何元
素的集合叫做空集。

例如，小于5的正整数构成的集合就是有限集，
小于5的整数构成的集合就是无限集，大于5的负整数构成的集合就
是空集。

此外，还有一些常用的数集及其记法，例如实数集记作R，有理数集记作Q，正实数集记作R+或Q+等。

这些数集在数学和日常生活中都有广
泛的应用。

总之，中职学生通过学习集合论，可以更好地理解数学的基本概念和
原理，提高数学素养和思维能力。

同时，集合论在计算机科学、物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。