厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查数学文科试题
高三数学-2018(文科)考试解答 精品
2018年厦门市高中毕业班适应性考试 数学（文科）试题参考答案及评分标准说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题，当考生的解答 某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算． 1、D 2、A 3、C 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A 9、C 10、B 11、C 12、D二、本大题共4个小题；每小题4分，共16分.本题主要考查基础知识和基本运算． 13、3214、160015、21 16、72三、解答题 17、本题考查三角函数的基本公式和平面向量等基本知识，要求学生能灵活运用所学知识解决问题．满分12分． 解：（1） ·=0 ∴ -1·y +cos x (3sin x +cos x )=0………………………………………2分 ∴y =3sin x ⋅cos x +cos 2x =23sin2x +21cos2x +21 …………………………………………4分=sin(2x +6π)+21∴f (x ) =sin(2x +6π)+21……………………………………………………………………6分（2） f (x )=1, ∴ sin(2x +6π)= 12 ……………………………………………………8分 又 x ∈[0 , 21π]，∴6π≤2x +6π≤67π ，∴ 2x +6π=6π或2x +6π=65π…………10分∴x = 0或π3 ………………………………………………………………………………12分 18、本题主要考查等差数列的概念和性质，以及数列求和等基本运算，考查学生解决数列问题的基本技能．满分12分. 解：（1）}{n a 为等差数列2891-=+a a282591-==+∴a a a ，145-=∴a …………………………………………………2分 又202-=a 设{n a }的公差为d ，d a a 325+=∴，∴d=2， …………………………………………………………………4分 242-=∴n a n ……………………………………………………………………………6分（2）n n b a 2log = na nb 2=∴ na a a n nb b b T +⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅=∴21221 ……………………9分当0321=+⋅+++n a a a a 时，=n T 121=⋅⋅n b b b …………………………………10分即02)1(1=-+d n n na ，221-=a 23=∴n ，即n =23时， =n T 1 。
福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查(3月)数学(文)试题(含答案)
（ⅳ）当 时，由（1）可知，对任意
，当且仅当 时取等号.
此时令 ∴在
，得
；令
单调递减；在
得
.
上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值点.
【解析】
由三视图画出如图所示的直观图：
该几何体是直三棱柱
，其中
，
直三棱柱补全成长方体，如图所示：
，
，四边形
是正方形，则将该
∴该长方体的体对角线为
，则外接球的半径为
∴该几何体外接球的表面积是
故选 A.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆
.即 在
上单调递增；当
时，
，即 在
上单调递减：此时 有一个极大值点 和一个极小值点 .
（ⅱ）当 时，
，所以
时 有一个极小值点 ，无极大值点.
，显然 在
单调递减；在
上单调递增；此
（ⅲ）当
时，由（1）可知，对任意
，从而
，而对任意
.
∴对任意
.
此时令 ∴在
，得
；令
单调递减；在
，得
.
上单调递增；此时 有一个极小值点 ，无极大值点.
的平面角，此角显然存在，即当 在底面上的射
影位于 的中点时，直线 与直线 垂直，故③正确；对于④，若存在某个位置，
，因为
，所以 平面 ，从而
，这与已知矛盾，故④不正确.
故选 C.
12. 的内角的对边分别为 ，若
A.
B.
【答案】A
【解析】
C. 3 D. 4
，则 的最大值为（ ）
厦门市2018-2019学年度第一学期高三年级质量检测文科数学参考答案
(2)由 cos A =
5 得 sin A = 2
5
，································································ 6 分
5
5
所以 sin B=
sin( A + π )=
sin Acos π + cos Asin π=
3 10
. ······························ 8 分
2
2
2
18．本题考查等差、等比数列与解不等式等知识；考查运算求解能力；考查方程思想，化归
与转化思想．满分 12 分．
（1）设{an} 的公差为 d ，{bn} 的公比为 q ，依题意得：
a1 a1
+ +
d =b1q2 2d =b1 +
b1q
+
b1q 2
，即
1+ d 1+ 2d
=4b1 = 7b1
4
2
3
4
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．1+ i ；
14． 3 2 ；
15． 17 ；
16．
1 2
e2
−1,
e
．
16． f (x) 是定义在 R 上的奇函数，在 (−∞, ∞) 为单调递增，且 f (1) = 2 .
−2 ≤
f
(ax − ex
+1) ≤
整理得 a2 + b2 − c2 =2ab .由余弦定理得： cos C =
2
， ································ 4 分
福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查(3月)数学(文)试卷word版含答案
厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查数学(文科)试题满分150分考试时间120分钟一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1,已知集合{}{}11,1,0,1A x x B =-<<=-，则 A A B B = B A B A =C.A B ϕ=D.{}11A B x x =-≤≤2.已知i 为虚数单位,,a b R ∈,若(2)2a i i b i +=+,则则a +b =A-2B.0C.2D.43.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入,则这两名同学加入同一个社团的概率是 A.14B 13C 12D 234.已知双曲线的渐近线方程为12y x =±,焦距为则该双曲线的标准方程是A.2214x y -=B 2214y x -= C.2214x y -=或2214x y -= D.2214y x -=或2214y x -= 5,若x 、y 满足约束条件110x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则x =2x +y 的最小值为A.-1B.0C.1D.26.把函数()sin 2f x x x =的图象向右平移ϕ个单位,再把所得图象上各点的的横坐标仲长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()2sin g x x =的图象,则ϕ的一个可能值为 A. 3π-B.3πC.6π- D.6π7.已知函数()f x 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是 A ln ()x xf x e=B.()ln x f x e x =C,ln ()xf x x=D.()(1)ln f x x x =- 8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积是A, 8πB 9π C.163πD 283π9.已知0.30.3121(),log ,2ba b c a ===,则a 、b 、c 的大小关系是A a <b <c B. c <a <b C a <c <b D b <c <a10.公元263年左右,我国魏晋时期的数学家刘微首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法,所谓割制圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.右图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,若输出n 的值为24,则判断框中填人的条件可以为 (1.732,sin150.2588,sin7.50.1305︒︒≈≈≈)A,S ≤3.10?B.S≤3.11C. 3.10?S ≥ D. 3.11?S ≥11,矩形ABCD 中,BC=2AB,E 为BC 中点,将△ABD 沿BD 所在直线翻折,在翻折过程中,给出下列结论①存在某个位置,BD ⊥AE ②存在某个位置,BC ⊥AD; ③存在某个位置,AB ⊥CD:④存在某个位置,BD ⊥AC 其中正确的A.①②B.③④C.①③D.②④12.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若b =1,a 2=sin A ,则c的最大值为A.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年3月厦门市高三质检数学(文)参考答案
厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查参考答案文科数学一、选择题：DBBCCDAABC CA 二、填空题：13．1414．34-15．m ≤16．三、解答题：17．本题主要考查等差数列的基本量运算，考查分组求和法及等差和等比数列的求和运算；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、分类与整合思想等。
满分12分。
解：（1）由条件可得：11111133()()2254225102a a d a a d a d a d ⎧+=⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⨯⎪⎪+=+=⎩⎪⎩-----------------------------------------------------2分消去d 得：211230a a +-=，解得11a =或13a =-（舍），所以12d =--------------------------------4分所以1n n a +=．-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）得：122,1,2nn n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，---------------------------------------------------------------------------------7分所以数列{}n b 的前21n +项和为：212112342213521222222n n n n n T b b b b b b ++++=++++++=++++++ ---------------------------------8分23135721(2222)()2222n n ++=+++++++++ ---------------------------------------------------10分1223212(12)222221222n n n n n n ++++-+=+⋅=+------------------------------------------------------------12分18．本小题主要考查样本的数字特征，等高条形图和2⨯2列联表等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力；考查统计概率思想。
2018届福建省厦门市高三年级第一学期期末质检文科数学试题(解析版)
2018届福建省厦门市高三年级第一学期期末质检文科数学试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ）A. B. C. D.【答案】B故选B2. ）【答案】C为假，命题为真，命题故选C3. ）【答案】D故选D4. ）B. C. D.【答案】A故选A【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．5. ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】D【解析】画出可行域如图所示，故选D6. ）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A. 错误，因为可以拍下，相交或异面；对于B对于C对于D故选C7. 100项和为（）A. 250B. 200C. 150D. 100【答案】D，，100故选D8. ）A. B.C. D.【答案】B，故函数为奇函数，排除D;排除C排除A故选B9.是面积为的菱形，则该渐近线方程为（）【答案】A【解析】的方程为，故双曲线的渐近线方程为选A10. 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和..执行该程序框图，输入）A. 44B. 68C. 100D. 140【答案】C【解析】第1，继续运行；第2，不符合，继续运行；第3，继续运行；第4，继续运行；第5，继续运行；第6，不符合，继续运行；第7，继续运行；第8，符合；故选C11. ）A. -2【答案】D【解析】解得．故选D12. 两点，（）D.【答案】A，，选A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ．14. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为__________．【解析】由三视图还原原几何体如图：底面15. 已知函数若函数__________．【解析】函数存在实数根，如图：【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的灵活应用．16. ，点在椭圆上，且，则该椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】根据题意，如图：右焦点分别为的斜率为【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是作出椭圆的图形，结合直线的斜率分析三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1）直接利用余弦定理和正弦定理求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理求出三角形的面积．试题解析：（1中，由正弦定理得）因为，是锐角，所以，在中，化简得：互补，得18. .（1（2【答案】(1)；【解析】试题分析：（1）由可得成等比数列，可得（2得出．试题解析：（1，①，化简得：（219. 如图，四棱锥（1（22.【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：（1）直接利用线面垂直和面面垂直的性质求出结果．（2）利用等体积转化法求出结果．试题解析：（1.（2，得.20. 满足：以.（1（2时，求直线的方程.【答案】【解析】试题分析：（1，得间的距离公式整理可得点P；（2）（ⅰ）当直线l，可得．（ⅱ）当直线l联立直线方程与抛物线方程，，结合等号成立的条件的值，进一步得到值，则与的面积之和取得最小值时，直线的方程可求试题解析：（1，整理得：（2）所以，当且仅当时等号成立，又，，解得：，，所以当两个三角形的面积和最小时，.21.（1）讨论函数的单调性；（2【答案】(1)答案见解析；(2)0.【解析】试题分析：（1）求函数的定义域和导数，讨论的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）根据（1的极小值为根据导数和函数的函数，求出即可求出满足条件的最小整数试题解析：（1①若，当时，，时，时，在单调递减，在（ⅱ）若单调递增，时，在单调递减，在）由（1）得：若，所以恒成立，恒成立，时，单调递减，所以，，，，因为在，【点睛】本题主要考查函数单调性，极值，最值和导数的关系，求函数的导数，其中构造心还是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. .，设射线（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1）利用已知条件把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用三角函数关系式的恒等变换，基本不等式求出结果．试题解析：（1代入可得（2当且仅当，即.23.（1（22，求实数的值.【答案】(1)证明见解析；【解析】试题分析：（1（2值.试题解析：（1.（2，故.时，即时，有最小值0，不符合题意，舍去.。
福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查3月数学文
2
，则 a,b, c 的大小关系是（
）
A． a b c
B
．c a b C ．a c b
D ．b c a
10. 公元 263 年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和
完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法
. 如图是
利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出
2m cos x 在
0,
上单调递增，则 m 的取值范围是．
16. 已知 A, B 是圆 C : x 2 y 2 8 x 2y 16 0 上两点，点 P 在抛物线 x2 2 y 上，当 APB 取得最大
值时， AB ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步
A． 2 3
B
． 2 3 C ．3 D ．4
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量 a 1,2 x 1 , b 2,3 ，若 a / /b ，则 x ．
cos
14. 已知
4
ห้องสมุดไป่ตู้
2 4 ，则 sin 2 ．
1
fx 15. 若函数
2x
sin 2 x 2
B
．A B A C ．A B
D ．A B x 1 x 1
2. 已知 i 为虚数单位， a,b R ，若 a 2i i b 2i ，则 a b （ ）
A． 2
B ．0 C ．2 D ． 4
3. 甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两
名同学加入同一个社团的概率是（
厦门2018届高三上期末质检文科数学
厦门2018届高三第一学期期末质检文科数学一、选择题：1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C D 二、填空题13．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z = ．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为 ．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF的斜率为3，则该椭圆的离心率为 ． 三、解答题17．在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程. 21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b . 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门2018届高三第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B ==（2）因为sin 7B =，B 是锐角，所以cos 7B = 设BC x =，在ABC ∆中，2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即272167x x +-⋅=化简得：290x --=解得x =或x =则CD BC BD =-==由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin sin ADC ADB B ∠=∠==所以ADC ∆的面积11sin 22S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠==18．解：（1）因为()1555202a a S +==，即158a a += 34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，即2538a a a =所以()()()2111427a d a d a d +=++，化简得：12a d =②联立①和②得：12a =，1d = 所以1n a n =+ （2）因为()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭所以111111123233445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L 1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =.cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=.20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，1x =+，整理得：24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，方程为：4x =， 易得14ABF AOF S S ∆∆+=.（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅= 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-2y =，所以1243y y k +==±，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l 的方程为：)4y x =±-. 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x '=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x-++--=①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 （2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==-- 由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立 设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x xϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=，且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '< 所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+，因为005ln 4x x =- 得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=.将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+（2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sincos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-.③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。
2018年福建省厦门市第一中学高三数学文月考试卷含解析
2018年福建省厦门市第一中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一组数据中每个数据都减去构成一组新数据，则这组新数据的平均数是，方差是，则原来一组数的平均数和方差分别是（）A． B． C． D．参考答案：答案：C2. 下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1）D．y=2﹣x参考答案：D【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．3. 若点(a，b)在y＝lg x图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是()A．(，b) B．(10a,1－b)C．(，b＋1) D．(a2,2b)参考答案：D4. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.参考答案：【知识点】集合及其运算A1B由=,则【思路点拨】先求出集合B再求出交集。
5. 已知双曲线C：－y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=A. B.3 C. D.4参考答案：B解答：渐近线方程为：，即，∵为直角三角形，假设，如图，∴，直线方程为.联立∴，即，∴，∴，故选B.6. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．2+D．3+参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与长方体的组合体，结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为三棱柱，下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面为底面边长是1，底边上的高是1，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，高是2；所以该几何体的体积为V=V三棱柱+V长方体=×1×1×3+1×1×2=．故选：B．7. 下列说法错误的是A．如果命题“”与命题“”都是真命题，那么命题一定是真命题； B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”；C．若命题，，则，；D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：D略8. 设函数若实数a,b满足则A. B.C. D.参考答案：A略9. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】利用排除法，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=?cos（﹣x）=﹣f（x），函数是奇函数，排除A，B；x→0+，f（x）→+∞，排除D．故选C．10. 定义在R上的可导函数，当时，恒成立，，, 则a，b，c的大小关系为（）AA略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合表示的平面区域为，若在区域内任取一点，若，则的取值范围是。
2018年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)
2018年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|−1<x<1}，B={−1, 0, 1}，则（）A.A∩B=BB.A∪B=AC.A∩B=⌀D.A∪B={x|−1≤x≤1}【答案】D【考点】并集及其运算交集及其运算【解析】根据交集与并集的定义，写出A∩B与A∪B即可．【解答】集合A={x|−1<x<1}，B={−1, 0, 1}，则A∩B={0}，A、C错误；A∪B={x|−1≤x≤1}，B错误，D正确．2. 已知i为虚数单位，a，b∈R，若(a+2i)i=b+2i，则a+b=()A.−2B.0C.2D.4【答案】B【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的模复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简左边，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】由(a+2i)i=b+2i，得−2+ai=b+2i，则a=2，b=−2．∴a+b=0．3. 甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（）A.1 4B.13C.12D.23【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】先求出基本事件总数n =3×3=9，再求出这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数m =3，由此能求出这两名同学加入同一个社团的概率． 【解答】甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入， 基本事件总数n =3×3=9，这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数m =3， ∴ 这两名同学加入同一个社团的概率是p =m n=39=13．4. 已知双曲线的渐近线方程为y =±12x ，焦距为2√5，则该双曲线的标准方程是（ ） A.x 24−y 2=1B.x 2−y 24=1C.x 24−y 2=1或y 2−x 24=1D.x 2−y 24=1或y 24−x 2=1【答案】 C【考点】 双曲线的特性 双曲线的标准方程 【解析】根据题意，设双曲线的方程为：x 24m−y 2m =1；分析可得其中c 的值，分情况讨论双曲线焦点的位置，求出m 的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若要求双曲线的渐近线方程为y =±12x ， 设其方程为：x 24m−y 2m=1；又由双曲线的焦距为2√5，即2c =2√5，则c =√5，由题意可得|4m +m|=5，解可得m =±1， 双曲线的方程为：x 24−y 2=1或y 2−x 24=1．故选C .5. 设x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≤1x ≥0 ，则z =2x +y 的最小值是（ ）A.−1B.0C.1D.2【答案】 C【考点】简单线性规划【解析】先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y=−2x，当过点(1, 0)时，直线在y轴上的截距最大，从而求出所求．【解答】x，y满足约束条件{x+y≥1x−y≤1x≥0的平面区域如下图所示：平移直线y=−2x，由图易得，当x=0，y=1时，即经过A时，目标函数z=2x+y的最小值为：1．6. 把函数f(x)=sin2x+√3cos2x的图象向右平移φ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=2sinx的图象，则φ的一个可能值为（）A.−π3B.π3C.−π6D.π6【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据三角函数的图象变换关系求出g(x)的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【解答】f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，函数f(x)=sin2x+√3cos2x的图象向右平移φ个单位，得y=2sin[2(x−φ)+π3]=2sin(2x−2φ+π3)，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，则g(x)=2sin(x−2φ+π3)=2sinx，则−2φ+π3=2kπ，k∈Z，则φ=π6−kπ，当k=0时，φ=π6，7. 已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A.f(x)=ln|x|e xB.f(x)=e x ln|x|C.f(x)=ln|x|xD.f(x)=(x−1)ln|x|【答案】A【考点】函数的图象变化【解析】通过函数的变化趋势即可判断．【解答】由图象可知，当x→+∞时，f(x)→0，当x→−∞时，f(x)→+∞对于A：满足要求，对于B：当x→+∞时，f(x)=e x ln|x|→+∞，不满足，对于C：当x→−∞时，f(x)=e x ln|x|→0，不满足，对于D：当x→−∞时，f(x)=(x−1)ln|x|→+∞，不满足，8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A.8πB.9πC.16π3D.28π3【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】判断三视图对应的几何体的形状，然后判断外接球的半径的位置，求解即可．【解答】几何体是放倒的三棱柱，底面是等腰直角三角形，斜边长为1，高为1，棱柱的高为2的棱柱，外接球的直径就是最大的侧面的对角线，直径长为：√22+22=2√2．则该几何体外接球的表面积是：4πR2=8π．9. 已知a=(12)0.3,b=log120.3,c=a b，则a，b，c的大小关系是（）A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】b=log120.3>log1212=1>a=(12)0.3，c=a b<a．∴c<a<b．10. 公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法．如图是利用刘徽的割圆术”思想设计的一个程序框图，若输出n的值为24，则判断框中填入的条件可以为（）（参考数据：√3≈1.732,sin15∘≈0.258×8,sin7.5∘≈0.1305）A.S≤3.10？B.S≤3.11？C.S≥3.10？D.S≥3.11？【答案】C【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，可得当S=12×24×sin15∘=3.1056时，应该满足判断框内的条件，输出n的值为24，结合选项即可得解．【解答】模拟程序的运行，可得当n=6时，S=12×6×sin60∘=2.598，继续循环，n=12，S=12×12×sin30∘=3，继续循环，n=24，S=12×24×sin15∘=3.1056，由题意，此时应该满足判断框内的条件，输出n的值为24，结束，结合选项可得当判断框内的条件为S≥3.10？时满足题意．11. 矩形ABCD中，BC=√2AB，E为BC中点，将△ABD沿BD所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，BD⊥AE；②存在某个位置，BC⊥AD；③存在某个位置，AB⊥CD；④存在某个位置，BD⊥AC.①③ A.①② B.③④D.②④【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，可得BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直；C、D，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，【解答】存在某个位置，BD⊥AE；（1）存在某个位置，BC⊥AD；（2）存在某个位置，AB⊥CD；（3）存在某个位置，BD⊥AC．其中正确的是（4）（5），故选：C．12. △ABC的内角的对边分别为a，b，c，若b=1,a2=2√3csinA，则c的最大值为()A.2+√3B.√2+√3C.3D.4【答案】A【考点】余弦定理【解析】首先利用余弦定理和三角函数的关系式的变换，再利用解一元二次不等式求出结果．【解答】解：△ABC的内角的对边分别为a，b，c，若b=1,a2=2√3csinA，则：a2=b2+c2−2bccosA=2√3csinA，所以1+c2=2ccosA+2√3csinA=4csin(A+π)≤4c，3则c2−4c+1≤0，解得2−√3≤c≤2+√3，故c的最大值为：2+√3．故选A.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知向量a→=(1,2x+1),b→=(2,3)，若a→ // b→，则x=________．【答案】14【考点】平行向量的性质【解析】根据平面向量共线定理的线性表示，列方程求出x的值．【解答】向量a→=(1,2x+1),b→=(2,3)，若a→ // b→，则1×3−2(2x+1)=0，解得x=14．已知cos(π4−α)=√24，则sin2α=________．【答案】−3【考点】两角和与差的三角函数【解析】由已知结合诱导公式及二倍角的余弦求解．【解答】∵cos(π4−α)=√24，∴sin2α=cos(π2−2α)=cos2(π4−α)=2cos2(π4−α)−1=2×(√24)2−1=−34．若函数f(x)=2x−12sin2x+2mcosx在(0, π)上单调递增，则m的取值范围是________．【答案】(−∞, √2]【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数的导数，问题转化为m≤2−cos2x2sinx ，x∈(0, π)，令g(x)=2−cos2x2sinx=sinx+12sinx，根据不等式的性质求出g(x)的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】f′(x)=2−cos2x−2msinx，若f(x)在(0, π)递增，则2−cos2x−2msinx≥0在(0, π)恒成立，即m≤2−cos2x2sinx，x∈(0, π)，令g(x)=2−cos2x2sinx =sinx+12sinx≥2√sinx∗12sinx=√2，故m≤√2，已知A，B是圆C:x2+y2−8x−2y+16=0上两点，点P在抛物线x2=2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|=________．【答案】4√55【考点】圆与圆锥曲线的综合问题两点间的距离公式【解析】求出圆C:x2+y2−8x−2y+16=0的圆心与半径，设出抛物线x2=2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．【解答】解：圆C:x2+y2−8x−2y+16=0的圆心(4, 1)，半径为1，设抛物线上的点P(m, n)，则m2=2n，|PC|=√(m−4)2+(n−1)2=√m2−8m+m44−m2+17=√m44−8m+17，令g(m)=m44−8m+17，可得g′(m)=m3−8，令g′(m)=m3−8=0，解得m=2，当m<2，g′(m)=m3−8<0；当m>2，g′(m)=m3−8>0，所以g(m)的最小值为4−16+17=5．|PC|≥√5.如图所示，所以切线长为|PA|=2， |PC|⋅12|AB|=|PA|⋅|AC|，√52|AB|=2×1，|AB|=4√55． 故答案为：4√55. 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等差数列{a n }的前n 项和味S n ，a 1>0，a 1⋅a 2=32，S 5=10． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n ={2a n ,n 为奇数a n ,n 为偶数 ，求数{b n }的前2n +1项和T 2n+1． 【答案】由条件可得：{a 1(a 1+d)=325a 1+5×42d =10 ⇒{a 1(a 1+d)=32a 1+2d =2 消去d 得：a 12+2a 1−3=0，解得a 1=1或a 1=−3（舍），所以d =12 所以a n =n+12．由（1）得：b n ={2n+12,n 为奇数n+12,n 为偶数， 所以数列{b n }的前2n +1项和为：T 2n+1=b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n +b 2n+1=2+32+22+52+⋯+2n+12+2n+1=(2+22+23+⋯+2n+1)+(32+52+72+⋯+2n+12)=2(1−2n+1)1−2+32+2n+122∗n =2n+1+n 2+2n 2−2【考点】数列的求和 数列递推式 【解析】（1）利用已知条件列出方程组，群相册数列的首项与公差，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用分组求和．一个是等差数列一个是等比数列求和即可． 【解答】由条件可得：{a 1(a 1+d)=325a 1+5×42d =10⇒{a 1(a 1+d)=32a 1+2d =2 消去d 得：a 12+2a 1−3=0，解得a 1=1或a 1=−3（舍），所以d =12 所以a n =n+12．由（1）得：b n ={2n+12,n 为奇数n+12,n 为偶数 ， 所以数列{b n }的前2n +1项和为：T 2n+1=b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n +b 2n+1=2+32+22+52+⋯+2n+12+2n+1=(2+22+23+⋯+2n+1)+(32+52+72+⋯+2n+12)=2(1−2n+1)1−2+32+2n+122∗n =2n+1+n 2+2n 2−2为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间（单位：分钟）绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图．（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．临界值表：该校学生的每天平均阅读时间为：10×850+30×1050+50×1250+70×1150+90×750+110×250=1.6+6+12+15.4+12.6+4.4=52（分）；由频数分布表得，“阅读达人”的人数是11+7+2=20人，根据等高条形图作出2×2列联表如下：计算K2=50×(6×12−18×14)220×30×24×26=22552≈4.327，由于4.327<6.635，故没有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关．【考点】独立性检验【解析】（1）由题意求出该校学生的每天平均阅读时间；（2）由频数分布表结合等高条形图作出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】该校学生的每天平均阅读时间为：10×850+30×1050+50×1250+70×1150+90×750+110×250=1.6+6+12+15.4+12.6+4.4=52（分）；由频数分布表得，“阅读达人”的人数是11+7+2=20人，根据等高条形图作出2×2列联表如下：计算K2=50×(6×12−18×14)220×30×24×26=22552≈4.327，由于4.327<6.635，故没有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关．如图，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，AF // CE，AF⊥AC，AB=AF=2，CE=1．（1）求四棱锥B−ACEF的体积；（2）在BF上有一点P，使得AP // DE，求BPPF的值．【答案】∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ACEF，在△ABC中，∠ABC=60∘，AB=2，设BD∩AC=O，计算得AC=2,BO=√3在梯形ACEF中，AF // CE，AF⊥AC，AC=AF=2，CE=1，梯形ACEF的面积S=12×(1+2)×2=3，∴四棱锥B−ACEF的体积为V=13×S×BO=13×3×√3=√3．在平面ABF内作BM // AF，且BM=1，连接AM交BF于P，则点P满足AP // DE，证明如下：∵AF // CE，CE=1，∴BM // CE，且BM=CE，∴四边形BMEC是平行四边形．∴BC // ME，BC=ME，又菱形ABCD中，BC // AD，BC=AD，∴ME // AD，ME=AD，∴四边形ADEM是平行四边形∴AM // DE，即AP // DE．∵BM // AF，∴△BPM∼△FPA，又BM=1，∴BPPF =BMAF=12．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】（1）证明BD⊥AC，推出BD⊥平面ACEF，计算得AC=2,BO=√3，然后求解四棱锥B−ACEF的体积．（2）连接AM交BF于P则点P满足AP // DE，证明四边形BMEC是平行四边形．推出AP // DE．通过△BPM∼△FPA，求解即可．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ACEF，在△ABC中，∠ABC=60∘，AB=2，设BD∩AC=O，计算得AC=2,BO=√3在梯形ACEF中，AF // CE，AF⊥AC，AC=AF=2，CE=1，梯形ACEF的面积S=12×(1+2)×2=3，∴四棱锥B−ACEF的体积为V=13×S×BO=13×3×√3=√3．在平面ABF内作BM // AF，且BM=1，连接AM交BF于P，则点P满足AP // DE，证明如下：∵AF // CE，CE=1，∴BM // CE，且BM=CE，∴四边形BMEC是平行四边形．∴BC // ME，BC=ME，又菱形ABCD中，BC // AD，BC=AD，∴ME // AD，ME=AD，∴四边形ADEM是平行四边形∴AM // DE，即AP // DE．∵BM // AF，∴△BPM∼△FPA，又BM=1，∴BPPF =BMAF=12．设O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为2√55．直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A，B两点，AF的中点为M，|OM|+|MF|=5．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P(0, 1)，PA→⋅PB→=−4，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【答案】设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，所以OM=12AF1,MF=12AF，所以|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5因为e=ca =2√55，所以c=2√5所以b=√5，所以椭圆C的方程为：x225+y25=1设A(x1, y1)，B(x2, y2)联立{y=kx+mx225+y25=1，消去y整理得：(1+5k2)x2+10mkx+5m2−25=0所以△>0，x1+x2=−10km1+5k ,x1x2=5m2−251+5k所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=5k2m2−25k2−10k2m2+m2+5k2m21+5k2=−25k2+m21+5k2因为P(0,1),PA→⋅PB→=−4所以(x1, y1−1)⋅(x2, y2−1)=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=−4所以5m2−251+5k +−25k2+m21+5k−2m1+5k+5=0整理得：3m2−m−10=0解得：m=2或m=−53（舍去）所以直线l过定点(0, 2)．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，利用已知条件求出a，b即可得到椭圆方程．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)联立{y=kx+mx225+y25=1，消去y，通过△>0，以及韦达定理，转化为：数量积求出m．即可推出直线l过定点(0, 2)．【解答】设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，所以OM=12AF1,MF=12AF，所以|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5因为e=ca =2√55，所以c=2√5所以b=√5，所以椭圆C的方程为：x225+y25=1设A(x1, y1)，B(x2, y2)联立{y=kx+mx225+y25=1，消去y整理得：(1+5k2)x2+10mkx+5m2−25=0所以△>0，x1+x2=−10km1+5k2,x1x2=5m2−251+5k2所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=5k2m2−25k2−10k2m2+m2+5k2m21+5k2=−25k2+m21+5k2因为P(0,1),PA→⋅PB→=−4所以(x1, y1−1)⋅(x2, y2−1)=x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=−4所以5m2−251+5k2+−25k2+m21+5k2−2m1+5k2+5=0整理得：3m2−m−10=0解得：m=2或m=−53（舍去）所以直线l过定点(0, 2)．已知函数f(x)=x(e x−a3x2−a2x),a≤e，其中e为自然对数的底数．（1）当a=0，x>0时，证明：f(x)≥ex2；（2）讨论函数f(x)极值点的个数．【答案】依题意，f(x)=xe x，故原不等式可化为xe x≥ex2，因为x>0，只要证e x−ex≥0，记g(x)=e x−ex，(x>0)，则g′(x)=e x−e，(x>0)当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增所以g(x)≥g(1)=0，即f(x)≥ex2，原不等式成立．f′(x)=(e x−13ax2−12ax)+x(e x−23ax−12a)=(x+1)e x−ax(x+1)=(x+1)(e x−ax)记ℎ(x)=e x−ax，ℎ′(x)=e x−a(ⅰ)当a<0时，ℎ′(x)=e x−a>0，ℎ(x)在R上单调递增，ℎ(0)=1>0，ℎ(1a)=e1a−1<0所以存在唯一x0∈(1a,0),ℎ(x0)=0，且当x<x0时，ℎ(x)<0；当x>x0，ℎ(x)>0①若x0=−1，即a=−1e时，对任意x≠−1，f′(x)>0，此时f(x)在R上单调递增，无极值点②若x 0<−1，即−1e <a <0时，此时当x <x 0或x >−1时，f ′(x)>0， 即f(x)在(−∞, x 0)，(−1, +∞)上单调递增；当x 0<x <−1时，f ′(x)<0，即f(x)在(x 0, −1)上单调递减； 此时f(x)有一个极大值点x 0和一个极小值点−1③若−1<x 0<0，即a <−1e 时，此时当x <−1或x >x 0时，f ′(x)>0．即f(x)在(−∞, −1)，(x 0, +∞)上单调递增；当−1<x <x 0时，f ′(x)<0，即f(x)在(−1, x 0)上单调递减： 此时f(x)有一个极大值点−1和一个极小值点x 0．(ⅱ)当a =0时，f(x)=xe x ，所以f ′(x)=(x +1)e x ， 显然f(x)在(−∞, −1)单调递减；在(−1, +∞)上， 单调递增；此时f(x)有一个极小值点−1，无极大值点 (ⅲ)当0<a <e 时，由（1）可知，对任意x ≥0，ℎ(x)=e x −ax >e x −ex ≥0，从而ℎ(x)>0， 而对任意x <0，ℎ(x)=e x −ax >e x >0，所以对任意x ∈R ，ℎ(x)>0， 此时令f ′(x)<0，得x <−1；令f ′(x)>0，得x >−1， 所以f(x)在(−∞, −1)单调递减；在(−1, +∞)上单调递增； 此时f(x)有一个极小值点−1，无极大值点(ⅳ)当a =e 时，由（1）可知，对任意x ∈R ，ℎ(x)=e x −ax =e x −ex ≥0，当且仅当x =1时取等号，此时令f ′(x)<0，得x <−1；令f ′(x)>0得x >−1， 所以f(x)在(−∞, −1)单调递减；在(−1, +∞)上单调递增； 此时f(x)有一个极小值点−1，无极大值点； 综上可得：①当a <−1e 或−1e <a <0时，f(x)有两个极值点； ②当a =−1e 时，f(x)无极值点；③当0≤a ≤e 时，f(x)有一个极值点． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）得到xe x ≥ex 2，因为x >0，只要证e x −ex ≥0，记g(x)=e x −ex ，(x >0)，根据函数的单调性证明即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点的个数即可． 【解答】依题意，f(x)=xe x ，故原不等式可化为xe x ≥ex 2，因为x >0，只要证e x −ex ≥0， 记g(x)=e x −ex ，(x >0)，则g ′(x)=e x −e ，(x >0)当0<x <1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减；当x >1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增 所以g(x)≥g(1)=0，即f(x)≥ex 2，原不等式成立．f ′(x)=(e x −13ax 2−12ax)+x(e x −23ax −12a)=(x +1)e x −ax(x +1)=(x +1)(e x −ax)记ℎ(x)=e x −ax ，ℎ′(x)=e x −a(ⅰ)当a <0时，ℎ′(x)=e x −a >0，ℎ(x)在R 上单调递增，ℎ(0)=1>0，ℎ(1a )=e 1a −1<0所以存在唯一x 0∈(1a ,0),ℎ(x 0)=0，且当x <x 0时，ℎ(x)<0；当x >x 0，ℎ(x)>0 ①若x 0=−1，即a =−1e 时，对任意x ≠−1，f ′(x)>0，此时f(x)在R 上单调递增，无极值点②若x 0<−1，即−1e <a <0时，此时当x <x 0或x >−1时，f ′(x)>0， 即f(x)在(−∞, x 0)，(−1, +∞)上单调递增；当x 0<x <−1时，f ′(x)<0，即f(x)在(x 0, −1)上单调递减； 此时f(x)有一个极大值点x 0和一个极小值点−1③若−1<x 0<0，即a <−1e 时，此时当x <−1或x >x 0时，f ′(x)>0．即f(x)在(−∞, −1)，(x 0, +∞)上单调递增；当−1<x <x 0时，f ′(x)<0，即f(x)在(−1, x 0)上单调递减： 此时f(x)有一个极大值点−1和一个极小值点x 0．(ⅱ)当a =0时，f(x)=xe x ，所以f ′(x)=(x +1)e x ， 显然f(x)在(−∞, −1)单调递减；在(−1, +∞)上， 单调递增；此时f(x)有一个极小值点−1，无极大值点 (ⅲ)当0<a <e 时，由（1）可知，对任意x ≥0，ℎ(x)=e x −ax >e x −ex ≥0，从而ℎ(x)>0， 而对任意x <0，ℎ(x)=e x −ax >e x >0，所以对任意x ∈R ，ℎ(x)>0， 此时令f ′(x)<0，得x <−1；令f ′(x)>0，得x >−1， 所以f(x)在(−∞, −1)单调递减；在(−1, +∞)上单调递增； 此时f(x)有一个极小值点−1，无极大值点(ⅳ)当a =e 时，由（1）可知，对任意x ∈R ，ℎ(x)=e x −ax =e x −ex ≥0，当且仅当x =1时取等号，此时令f ′(x)<0，得x <−1；令f ′(x)>0得x >−1， 所以f(x)在(−∞, −1)单调递减；在(−1, +∞)上单调递增； 此时f(x)有一个极小值点−1，无极大值点； 综上可得：①当a <−1e 或−1e <a <0时，f(x)有两个极值点； ②当a =−1e 时，f(x)无极值点； ③当0≤a ≤e 时，f(x)有一个极值点． [选修4-4：坐标系与参数方程]在立角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−2√3+tcosαy =−1+tsinα （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ)=8．（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为(ρ0,π2)，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设点P(−2√3,−1)，l与C的交点为A，B，求1|PA|+1|PB|的最大值．【答案】把Q(ρ0,π2)代入曲线C可得Q(2,π2)化为直角坐标为Q(0, 2)l又l过点P(−2√3,−1)，得直线l的普通方程为y=√32x+2；ρ2(1+sin2θ)=8可化为．曲线的直角坐标方程为：x2+2y2=8：．把直线l的参数方程代入曲线C:ρ2+(ρsinθ)2=8(tcosα−2√3)2+2(tsinα−1)2=8的直角坐标方程得，化简得(sin2α+1)t2−4(sinα+√3cosα)t+6=0，①△=[−4(sinα+√3cosα)]2−24(sin2α+1)可得t1+t2=4(sinα+√3cosα)sin2α+1,t1t2=6sin2α+1>0，故t1与t2同号1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1||t2|=|t1+t2||t1||t2|，=4|sinα+√3cosα|6=43|sin(α+π3)|，所以α=π6时，43|sin(α+π3)|有最大值43．此时方程①的△=34>0，故1|PA|+1|PB|有最大值43．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用方程组和一元二次方程根与系数的关系进行应用．【解答】把Q(ρ0,π2)代入曲线C可得Q(2,π2)化为直角坐标为Q(0, 2)l又l过点P(−2√3,−1)，得直线l的普通方程为y=√32x+2；ρ2(1+sin2θ)=8可化为．曲线的直角坐标方程为：x2+2y2=8：．把直线l的参数方程代入曲线C:ρ2+(ρsinθ)2=8(tcosα−2√3)2+2(tsinα−1)2=8的直角坐标方程得，化简得(sin2α+1)t2−4(sinα+√3cosα)t+6=0，①△=[−4(sinα+√3cosα)]2−24(sin2α+1)可得t1+t2=4(sinα+√3cosα)sin2α+1,t1t2=6sin2α+1>0，故t1与t2同号1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1||t2|=|t1+t2||t1||t2|，=4|sinα+√3cosα|6=43|sin(α+π3)|，所以α=π6时，43|sin(α+π3)|有最大值43．此时方程①的△=34>0，故1|PA|+1|PB|有最大值43． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x +a|+|3x −1|(a ∈R)． (1)当a =−1时，求不等式f(x)≤1的解集；(2)设关于x 的不等式f(x)≤|3x +1|的解集为M ，且[14,1]⊆M ，求a 的取值范围 【答案】解：(1)当a =−1时，f(x)=|x −1|+|3x −1|， f(x)≤1⇒|x −1|+|3x −1|≤1． 即{x ≤13,1−x +1−3x ≤1, 或{13<x <1,1−x +3x −1≤1, 或{x ≥1,x −1+3x −1≤1,解得{x ≤13,x ≥14, 或{13<x <1,x ≤12,或{x ≥1,x ≤34, ， 所以14≤x ≤13或13<x ≤12或⌀． 所以原不等式的解集为{x|14≤x ≤12}．(2)因为[14,1]⊆M ，所以当x ∈[14,1]时，不等式f(x)≤|3x +1|恒成立， 即|x +a|+|3x −1|≤|3x +1|在[14,1]上恒成立， 当x ∈[14,13)时，|x +a|+1−3x ≤3x +1， 即|x +a|≤6x ，所以−6x ≤x +a ≤6x ，所以−7x ≤a ≤5x 在[14,13)上恒成立， 所以(−7x)max ≤a ≤(5x)min ，即−74≤a ≤54；当x ∈[13,1]时，|x +a|+3x −1≤3x +1， 即|x +a|≤2，即−2≤x +a ≤2， 所以−2−x ≤a ≤2−x 在[13,1]上恒成立，所以(−2−x)max ≤a ≤(2−x)min ，即−73≤a ≤1； 综上，a 的取值范围为−73≤a ≤1．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(1)将a =−1代入，根据零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式再合并；(2)不等式的解集为M ，且[14, 1]⊆M ，即不等式在[14, 1]上恒成立，根据零点分段去掉绝对值，分离参变量并求出最值，可得a 的取值范围． 【解答】解：(1)当a =−1时，f(x)=|x −1|+|3x −1|， f(x)≤1⇒|x −1|+|3x −1|≤1． 即{x ≤13,1−x +1−3x ≤1, 或{13<x <1,1−x +3x −1≤1, 或{x ≥1,x −1+3x −1≤1,解得{x ≤13,x ≥14, 或{13<x <1,x ≤12, 或{x ≥1,x ≤34, ， 所以14≤x ≤13或13<x ≤12或⌀． 所以原不等式的解集为{x|14≤x ≤12}． (2)因为[14,1]⊆M ，所以当x ∈[14,1]时，不等式f(x)≤|3x +1|恒成立， 即|x +a|+|3x −1|≤|3x +1|在[14,1]上恒成立， 当x ∈[14,13)时，|x +a|+1−3x ≤3x +1， 即|x +a|≤6x ，所以−6x ≤x +a ≤6x ，所以−7x ≤a ≤5x 在[14,13)上恒成立， 所以(−7x)max ≤a ≤(5x)min ，即−74≤a ≤54； 当x ∈[13,1]时，|x +a|+3x −1≤3x +1，即|x+a|≤2，即−2≤x+a≤2，,1]上恒成立，所以−2−x≤a≤2−x在[13≤a≤1；所以(−2−x)max≤a≤(2−x)min，即−73≤a≤1．综上，a的取值范围为−73试卷第21页，总21页。
(全优试卷)福建省厦门市高三下学期第一次质量检查(3月)数学(文)Word版含答案
厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）2.） A．0 C ．2 D ．43.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）A4.）AD5.）A ．0 C ．1 D ．26.再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2）A7.）AD8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A9.）A10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，24，则判断框中填入的条件可以为（）(A11程中，给出下列结论：其中正确的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④）A．3 D．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.14.15.，的取值范围是 ．16.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（218. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了 50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；（2性别有关？附：参考公式临界值表：19.（1（2.20.直线（1（2:..21.（1（2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以坐标原点为极（1方程；（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2.参考答案一、选择题1-5:DBBCC 6-10:DAABC 11、12：CA 二、填空题三、解答题17.解：（1（2）由（1222++++++2222++++⎪⎝⎭18. 解：（1）该校学生的每天平均阅读时间为：（2.19.解：（1（2证明如下：且,.20.解：（1（221.解：（1）.（2（ⅰ）由（1极大值点1取等号极大值点综上可得：.22.（1（223.（1（2。
福建省厦门市2018届高三数学下学期第一次开学考试试题文.doc
厦门外国语学校2017-2018 学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A 1,2,3,4,5,6 ， B x | x2 3x 0 ，则A B （）A. 0,3B. 1,3C. 0,1,2,3D. 1,2,32．设i时虚数单位，若复数zi，则 z （）1 iA. 1 1i B. 11i C. 11i D. 1 1 i2 2 2 2 2 23. 执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为2，则输出的n值为（）A. 3B. 4C. 5D. 64．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）．A．3 B．4 C．34D．2 4(第 3题图)( 第4题图)5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y 10lg x的定义域和值域相同的是（）A. y 1B. y xC. y 2xD. y lgxx6．直线x y2y2 2(a2A,B ，点O是坐标原点，若AOB 是正3a与圆 x a 1) 相交于点三角形，则实数 a 的值为（）A ． 1B ．-1C ． 1D ．12222227．设椭圆 x2y 2 1，双曲线 x2y 2 1，（其中 m n 0 ）的离心率分别为 e 1 ,e 2 ，则（）mnmnA. e 1 e 2 1B. e 1 e 2 1C. e 1 e 2 1D. e 1 ,e 2 与 1 大小不确定8．已知底面边长为 2 ，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3B.2C. 4D. 439．已知 sin32 3，则 cos（）23A.3B.3 C. 1D.-122 2 2n 2 为奇数 ,10. 已知函数 f (n), n，且 a n f (n) f (n 1)，则 a 1 a 23a ....4102a等于（）n 2， 为偶数nA. － 2013B ．－ 2014C ． 2013D ． 201411．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验 . 受其启发， 我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 120 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对x, y ；再统计两数能与1 构成钝角三角形三边的数对 x, y 的个数 m ；最后再根据统计数 m 估计的值，假如统计结果是 m 34 ，那么可以估计的值约为（）A.22B.47C.51D.53715161712．若关于 x 的不等式 xe xax a 0 的解集为 (m,n)(n 0) ，且 (m,n) 中只有一个整数，则实数 a 的取值范围是（）A.（2 2,12 1 2 1 2 1 3e )B. [ 2 , )C （. 2 , )D. [ 2 , )2e 3e 2e 3e e 3e e二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分．13．已知向量 a 6, 2 ， b 3, m ，且 a / /b ，则 a b __________．2x y 10,14．已知实数x ，y 满足约束条件x 2 y 2 0, 则 z 2x y 的最大值为__________．y 2,15．学校艺术节对同一类的A, B,C, D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“ C作品获得一等奖”丙说：“ B, D 两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________ ．16．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且 AB 2, BC 4, CD 5, DA 3 ，则四边形ABCD面积的最大值为__________三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12 分）等差数列a n的前n项和为S a110，a为整数，且S S .n ，已知 2 n 4（ 1）求a n 的通项公式；（ 2）设b n1 b n的前n项和T n.，求数列a n a n 118．（本小题满分12 分）如图（ 1），五边形ABCDE 中，ED EA，AB / /CD，CD 2 AB ，, EDC 1500.如图（2），将EAD 沿 AD 折到PAD 的位置，得到四棱锥P ABCD . 点M为线段 PC 的中点，且BM平面PCD．（ 1）求证： BM // 平面PAD .（ 2）若直线 PC 与AB所成角的正切值为1，设AB 1，求四棱锥P ABCD的体积. 219.（本小题满分 12 分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车,, ”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：人数次数[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]年龄18 岁至 31 岁8 12 20 60 140 15032 岁至 44 岁12 28 20 140 60 15045 岁至 59 岁25 50 80 100 225 45060 岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013 年确定新的年龄分段：44 岁及以下为青年人，45 岁至 59 岁为中年人， 60 岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数；（2）若月骑车次数不少于 30 次者称为“骑行爱好者” ，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P(K 20.02 0.01 0.000.0010.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05k)5 0 5k0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.825 8 3 26 1 4 5 9 84K 2n(ad bc)( a c)( a b)(b d )(c d )20．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点 P 1,2 .（ 1）求抛物线 C 的方程；（ 2）设点A， B 在抛物线C上，直线 PA，PB 分别与y轴交于点 M ，N ，PM PN .求证 : 直线AB的斜率为定值 .21．（本小题满分12 分）设函数 f x xe x ax （ a R, a 为常数）， e 为自然对数的底数.（ 1）当f x 0 时，求实数x 的取值范围；（ 2）当 a 2 时，求使得 f x k 0 成立的最小正整数k .22．选修 4－ 4：坐标系与参数方程（本小题满分12 分）在平面直角坐标系xoy 中，圆 C 的参数方程为x 5 2 cost ，（ t 为参数），在以原点 O为极y 3 2sin t点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()2 ， A, B 两4点的极坐标分别为．A(2, ), B(2, )2（ 1）求圆 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（ 2）点P是圆 C 上任一点，求PAB 面积的最小值．23．选修 4-5 ：不等式选讲（本小题满分10 分)已知函数 f x 2x a 2x 3 ， g x x 1 3 （ 1）解不等式：g x 2 ；（ 2）若对任意的x1R ，都有 x2R ，使得 f x1g x2成立，求实数 a 的取值范围.厦门外国语学校201 7-2018 学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题参考答案一. 选择题1---12 DACCA CBACD BB二. 填空题13.10 14． 615． C16． 2 30【选择填空解析】1． D【解析】 B x| x23x 0x |0 x 3 , 所以A B {1 ，2，3}2． A【解析】 z ii 1 i 1i， z 11i .i 1 i 11 i2 2 23． C4． C【解析】几何体是半个圆柱，底面是半径为 1 的半圆，高为2，故几何体的表面积是S 12 2 2 1 2 3 4 ,5． A【解析】函数y 10 lgx 的定义域和值域均为 0, , 函数 y x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y lg x 的定义域为0, ，值域为 R，不满足要求；函数y 2 x的定义域为 R ，值域为 0, 不满足要求；函数y 10, 满足要求，的定义域和值域均为x6． C【解析】试题分析：由题意得，圆的圆心坐标O(0,0) ，所以弦长 2 r 2 d2 r ，得4d2 3r 2 . 所以6 a 2 3a 2 3( a 1)2，解得a 127． Bx 2y2m2 n2 c1 m2 n 2【解析】在椭圆 2 2 1中，c1 ，∴ e1 ，m n m m在双曲线x2 y 21中，c2 2 n 2 e2c2 m2 n 2 2n2 m ，∴m m，mm2 n2 m2 n2 m4 n4 n 4∴ e1 e2 1 1m m m4 m8． A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1, 补成一个正方体( 棱长为 1), 正方体外接球为正三棱锥外接球 , 所以球的直径为,表面积为9． C【解析】 cos πα = cos 2 cos 2 2cos2 1 1 , 3 3 3 2 3 210.D【解析】当 n 为奇数时, a n f (n) f ( n 1) n 2 (n 1)2 (2 n 1);当 n 为偶数时，a n f (n) f ( n 1) n 2 ( n 1)2 2n 1所以 a1 a2 a3 a2014 ( 3 5) ( 7 9) ( 11 13)（- 4017+ 4019）2 2 2 2201411． B【解析】如图，点x, y 在以 OA,OB为邻边的正方形内部，正方形面积为1，x, y,1能构成钝角1 ，如图弓形内部，面积为1 1 1 147三角形的三边，则 { x y ，由题意42 34 ，解得x2 y2 1 4 2 1 120 25 12.B【解析】设 g (x) xe x , y ax a ，由题设原不等式有唯一整数解， 即 g( x ) xe x 在直线 y ax a下方， g ( x) （ x+1） e x , g (x)在 (-， -1) 递减，在 (1, ) 递增，故 g( x)min g( 1)1 ，y ax a2 1e恒过定点 P(1,0) ，结合图象得：k PA a k PB ，即a[2,)3e 2e13. 10【解析】由题意可知： 6m6 解得 m1a b 6， 23， 1 3， 1 a b32211014． 6【解析】解：绘制由不等式组表示的平面区域，结合目标函数可知目标函数在点 C 2,2 处取得最大值 z 2x y 6.15． C【解析】若 A 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若B 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若 C 是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若D 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是 C ．16． 2 309【解析】设 AC x ，在ABC中，由余弦定理可得，x2 22 42 2 2 4cosB 20 16cosB .在ACD中，由余弦定理可得，x2 32 52 2 3 5cosD 34 30cosD ，即有15cosD 8cosB 7 ，又四边形 ABCD面积S 12 4sinB 13 5sinD ，即有8sinB 15sinD 2S，又2 215sinD 8sinB 7，两式两边平方可得64 225 240 sinBsinD cosBcosD 49 4s2 . 化简可得，240cos( B D ) 4 S2 240 ，由于 1 cos B D 1，即有S 2 30 ，当cos B D 1即B D 时， 4S2 240 240 ，解得S 2 30 . 故S的最大值为 2 30.三.解答题17. 解：（ 1）由a1 10， a 2为整数知，等差数列a n的公差d为整数．又 S n S4，故 a4 0, a5 0, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分于是 10 3d 0,10 4d 0 ，解得10d54 分3， ,,,,,,,,,,,,,2因此 d 3，故数列a n的通项公式为a n 13 3n ．,,,,,,,,,,,, 6 分（ 2）b n1 1 1 1，,,,,,,,,,,,, 8 分13 3n 10 3n 3 10 3n 13 3n于是 T n b1 b21 1 1 1 1 1 1b n7 10 4 7 10 3n 13 3n31 1 1 n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分3 10 3n 10 10 10 3n18. （ 1）证明：取PD 的中点N，连接AN,MN，则MN / /CD,MN1CD ，12又 AB / /CD, AB AB，,,,,,,,,,, 2 分CD ，所以MN / / AB,MN2则四边形 ABMN为平行四边形，所以AN / /BM ，,,,,,,,,,, 3 分又因为 BM 面 PAD AN 面PCD10所以 BM // 平面PAD ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分（ 2）又 BM平面PCD，∴ AN平面PCD，AN 面 PCD ∴平面PAD平面PCD；取 AD 的中点O，连接PO，因为 AN 平面 PCD，∴ AN PD,AN CD .由 ED EA即 PD PA及N 为 PD 的中点，可得PAD 为等边三角形，∴ PDA 600，又EDC 1500，∴CDA 900，∴CD AD，∴ CD 平面 PAD,CD 平面ABCD ，,,, ,,,,,,,,,,,,,, 7 分∴平面 PAD 平面 ABCD.PO AD 面PAD 面ABCDPO 面PAD 所以 PO 面 ABCD ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9 分所以 PO是锥P ABCD的高.AB/ /CD，∴PCD为直线 PC 与AB所成的角，由（ 1）可得PDC 900，∴tan PCD PD 1 ，∴ CD 2PD，CD 2由 AB 1 ，可知 CD 2,PA AD AB 1，则 V P ABCD 1POS ABCD 3 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分3 219．解（ 1）20 540 15 40 25 200 35 200 45 300 55 34200 42.75，·· 4 分20 40 40 200 200 300 800（ 2）根据题意，得出如下2 2列联表骑行爱非骑行爱总好者好者计青年700 10080人非青800 200 1011年人0018总计300150000·······································8 分K 2 1800 (100 800 700 200) 2 18 7.879300 1500 800 1000根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分20．解：（ 1）依题意，设抛物线C的方程为y2 ax a 0 ．由抛物线C且经过点 P 1,2 ，得a 4，所以抛物线 C的方程为y2 4 x ． ,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分（ 2）因为PM PN ，所以PMN PNM，所以 1 2 ，所以直线 PA 与 PB 的倾斜角互补，所以k PA k PB 0 ． ,,, 6 分依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：y 2 k x 1 k 0 ，将其代入抛物线C的方程，整理得k2 x2 2 k2 2k 2 x k 2 4k 4 0 ．设 A x1,y1 ，则 1 x1 k 2 4k 4k x142 ，2 ， y1 1 2k kk 2 2 4所以．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 8 分A k 2 , k 2k 2 24以 k 替换点A坐标中的 k ，得B , 2 ．,,,,,,,,,,,, 10 分2k k4 4所以 k ABk2k21 ．所以直线AB的斜率为 1 ．,,,,,,, 12 分k 2 k 2k2 k221. 解：（1）由f x 0可知x e x a 0 ，当 a 0时，e x a 0 ，由 x e x a 0 ，解得x 0 ；,,,,,,,,,,,, 2 分当 0 a 1时， lna 0 ，由x e x a 0，解得x 0 或x lna ；,,,,,,, 3 分当 a 1 时， lna 0 ，由 x e x a 0 ，解得x lna 或 x 0；,,,,,,,,, 4 分（ 2）当a 2时，要使 f x k 0 恒成立，即x 2xe k 恒成立，x12令f xx2x h x xx2,h x xx，xe x ，则 f 1 e 2 e当 x , 2 时， h x 0，函数 h x 在, 2 上单调递减；当 x 2, 时， h x 0，函数 h x 的2, 上单调递增． ,,,,,, 6 分又因为 x , 1 时， h x 0 ，且 2h 0 1 0,h 1 2e，2 0所以，存在唯一的x0 0,1 ，使得 f x0 h x0 x0 1 e x0 2 0，当 x , x0 时， f x 0 ，函数 f x 在,x0 上单调递减；当 x x0, 时， f x 0 ，函数 f x 在 x0 , 上单调递增．所以，当 x x0时，f x 取到最小值．,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9 分f x0 x0 2x0 2x02x0 4 2 x0 11，x0 ex0 1 x0 1因为 x0 0,1 ，所以 f x0 1,0 ， ,,,,,,,,,,,,, 11 分从而使得 f x k 0 恒成立的最小正整数k 的值为1．,,,,,,, 12 分22．解：（ 1）由x 5 2 cost消去参数 t ，得 ( x 5) 2 ( y 3) 2 2 ，y 3 2 sint所以圆 C的普通方程为( x 5) 2 ( y 3) 2 2 ． ,,,,,,,,,,,,,, 2 分由 cos( ) 2 ，得2cos2sin 2 ，换成直角坐标系为x y 2 0 ，4 2 2所以直线 l 的直角坐标方程为x y 2 0 ,,,,,,,,,,, 5 分（ 2）A(2, ), B(2, ) 化为直角坐标为A(0,2), B( 2,0) 在直线 l 上，2并且 AB 2 2，设P点的坐标为( 5 2cost,3 2sin t) ，5 2 cost 3 2 sint 26 2cos(t则 P 点到直线 l 的距离为d 4 ，,8分2 2dmin 2 2 ，所经PAB 面积的最小值是S 12 2 2 4,,,,,,,, 10 分2223. 解：试题解析：（Ⅰ）由g x 2 得 x 1 3 4 4 x 1 3 4 1 x 1 77 x 1 7 6 x 8. ,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分13（Ⅱ）∵g x 的值域为 3, ，∴对任意的 x1 R ，都有 x2 R ，使得f x1 g x2成立f xmin g x min 3 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 分∵ f x 2x a 2x 3 2x a 2x 3 a 3 ≥3 a 3 30 a 6所以实数 a 的取值范围是a|0 a 6. ,,,,,,,,,,,,,,,, 10 分14。
厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查文科数学试题
厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B ⋂=A.{}1,2B.{}0,1,2C.{}0,1,23，D.φ2．已知命题:p x ∀∈R ，21x >，命题0:q x ∃∈R ，00sin cos x x =，则下列命题中的真命题为A.q ⌝B.p q ∧C.p q ⌝∧D.p q∨⌝3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则A.a b c>> B.c b a >> C.b a c >> D.b c a >>4．已知sin234α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是A.12 B.12- C.14 D.14-5．若x ,y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是A.1B.3C.5D.76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是A.若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB.若a α⊥，αβ⊥，则a ∥βC.若a ∥α，b α⊥，则a b ⊥D.若a ∥α，αβ⊥，则a β⊥7．已知数列{}n a 满足11(1)2n n n a a +++-=，则其前100项和为A.250B.200C.150D.1008．函数sin (1cos 2)y x x =+在区间[2,2]-上的图象大致为A. B. C. D.9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(,0)F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为A.2y x =±B.12y x =±C.4y x =±D.14y x =±10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12 来源于《乾坤谱》中对《易传》大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.右图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =A ．44B ．68C ．100D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ= ．若1·4AD BC = ，则实数λ的值为A.2-B.14 C.12 D.3412．函数2cos y x =0x π<<（）和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为A.3πB.3πC.22πD.23π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =.14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为.15．已知函数221,20,(),0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为.16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x轴，若直线1PF 3，则该椭圆的离心率为.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，D 是边BC 上的点，7AB AD ==,1cos 7BAD ∠=.（1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．（12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD ∥AB ，90BPA BAD ∠=∠=︒．（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，(1,0)F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点(4,0)M 且与Γ交于,A B 两点．当ABF ∆与AOF∆的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()321(225)4g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线OA ：,θα=其中02πα<<．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求OA OB ⋅的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）函数()12f x x x a =-++．（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥；（2）若()f x 的最小值为2，试求a 的值．。