2015年湖北省青年教师优质课比赛B会场高中数学课：数形结合的思想方法的应用-(湖北省仙桃中学)

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浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用

浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用【内容摘要】：数形结合的思想是高考数学试题中的基本方法之一，数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是可以使代数问题几何化，几何问题代数化，从而在解题过程中化难为易，化繁为简，提高解题效率。

【关键词】：数形结合直观形象解题一、数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。

实际上就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。

在解析几何中，我们充分强调了用代数方法解决几何问题的解析法，它解决了许多紧靠图形无法精确讨论的问题，显示“数”的巨大威力。

同时我们也看到许多问题若从“形”的角度去思考，可以找到直观、简捷的解题方案，这充分展现了“形”的无穷魅力。

二、运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。

有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。

2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。

3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。

具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。

数形结合思想在高中数学教学中的运用研究

数形结合思想在高中数学教学中的运用研究摘要：数形结合思想是数学教学中的重要理念，通过将数学和几何形式结合，可以更加直观地理解数学知识，提高学生的学习兴趣和学习效果。

本文将从数形结合思想在高中数学教学中的意义和重要性、数形结合思想在解决实际问题中的应用以及数形结合思想在高中数学教学中的实际操作等方面展开研究，希望能够为高中数学教学提供一定的参考和借鉴。

关键词：数形结合思想；高中数学教学；实际问题；应用研究；教学操作一、引言二、数形结合思想在高中数学教学中的意义和重要性1. 提高学习兴趣数学教学中，通过数形结合思想，可以使抽象的数学知识更加具体和直观，从而提高学生的学习兴趣。

通过图形展示不同的数学定理和问题，可以使学生更容易理解和记忆，从而激发学习兴趣，增加学习动力。

2. 加深理解数形结合思想可以帮助学生更深入地理解数学概念和原理。

通过观察图形、几何形状和数学关系，学生可以更加直观地理解数学知识，从而更容易掌握和运用。

3. 培养思维能力数形结合思想可以培养学生的空间想象力和逻辑推理能力，提高学生的数学思维水平。

通过观察、研究和推理，学生可以更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力。

三、数形结合思想在解决实际问题中的应用数形结合思想在解决实际问题中有着广泛的应用，特别是在几何问题和应用题中往往能够发挥出更大的作用。

1. 几何问题2. 应用题在应用题中，数形结合思想可以帮助学生更加直观地理解和解决各种实际问题。

通过图形展示一个实际问题的几何形式，可以更容易地建立数学模型，从而更容易地解决应用题。

1. 利用图形展示数学知识2. 引导学生观察、分析和推理。

数形结合在高中数学教学中的巧妙应用

数形结合在高中数学教学中的巧妙应用数形结合是指数学中将数学概念与图形形式相结合，通过使用图形直观地表示数学问题，从而加深学生对数学概念的理解和记忆。

在高中数学教学中，数形结合的巧妙应用可以使学生更加深入地理解和掌握数学知识，并能够更好地应用于解决实际问题。

数形结合可以帮助学生更加形象地理解几何图形的性质。

以平行四边形为例，传统教学中通常使用文字和符号来描述平行四边形的定义和性质，但学生往往难以直观地理解其几何特征。

而将平行四边形的定义和性质与相应的图形形式结合起来，可以使学生通过观察图形直观地感受到其特点，从而更好地理解和记忆。

数形结合还可以帮助学生更加直观地理解数学中的变量和函数关系。

在函数的教学中，常常使用符号和公式来表述函数关系，但对于学生来说，往往难以把握函数图形与其代数表达的对应关系。

而通过绘制函数图形，可以使学生直观地观察到函数关系的变化规律，从而更加深入地理解和掌握函数的性质和特点。

数形结合在解决数学问题中也有着巧妙的应用。

以解方程为例，传统的解方程方法往往通过运算步骤来推导出方程的解，但对于一些复杂的方程，运算步骤往往会较为繁杂，学生容易迷失在计算中。

而通过数形结合的方法，可以将方程转化为图形问题，通过观察图形解决方程，不仅更能激发学生的兴趣，还能够简化解题过程，提高解题效率。

在几何证明中，数形结合也有着重要的应用价值。

几何证明通常需要通过逻辑推理和形式化的描述来确立结论，而对于一些复杂的几何证明，学生往往难以从中找到突破口。

而通过数形结合的方法，可以将几何问题转化为数学问题，通过对数学关系或性质的推导来解决几何证明，从而使学生更加直观地理解几何问题的本质，提高几何证明的能力。

数形结合思想在函数中的应用.docx

数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝225300）数形结合是数学研究的重要方法是传化的数淫思想的重要体现。

数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方而，前者初屮阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。

本文从两方而探讨数形结合思想在初中数学中的应用。

（-）数形结合的简介屮学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平而几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方而，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数Z 间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些屈性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。

”数形结合就是根据数学问题的条件和结论Z间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形彖巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简, 从而得到解决。

“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形” 的矛盾的统一。

（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。

不少函数问题以图形的形式出现，图形屮包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。

例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。

假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y （升）与接水时间x（分）的函数图像如图。

请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？(3)小敏说：“今天我们褸室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3 分钟。

数形结合方法在高中数学教学中的应用

数形结合方法在高中数学教学中的应用数形结合方法是指通过将数学问题转化为几何图形的方式来解决问题的方法。

在高中数学教学中，数形结合方法被广泛应用于解决各类数学问题，不仅能够帮助学生理解抽象的数学概念，还可以培养学生的几何思维和直观感性思维能力。

下面就是数形结合方法在高中数学教学中的一些典型应用：1. 几何图形的面积和体积计算：数形结合方法可以帮助学生将抽象的计算问题转化为具体的几何图形问题，从而更加直观地计算图形的面积和体积。

通过将一个复杂的图形分解为多个简单的几何图形，可以使用面积的叠加或减法来计算整个图形的面积，同时通过将一个立体体积分解为多个简单的几何体积，可以使用体积的叠加或减法来计算整个立体体积。

2. 几何图形的相似比例关系：数形结合方法可以帮助学生直观地理解几何图形的相似比例关系。

在相似三角形的问题中，学生可以通过构造相似三角形，并比较它们的边长和角度来确定它们的相似比例关系。

通过数形结合方法，学生可以更好地理解抽象的相似比例关系，并能够应用这些比例关系解决相关的问题。

3. 解决变量问题：数形结合方法可以帮助学生解决含有变量的数学问题。

在解决二次函数的最值问题时，可以通过将函数图像与坐标系中的几何图形相结合，找到函数图像与几何图形的最值点的位置关系，从而解决问题。

通过数形结合方法，学生能够更直观地理解变量的含义，并能够将变量与几何图形进行关联。

4. 证明几何问题：数形结合方法可以帮助学生进行几何问题的证明。

在证明平行线定理时，可以通过将平行线与直线上的任意两点相连，构成一组相似三角形，并利用相似三角形的相似比例关系来证明平行线定理。

通过数形结合方法，学生能够建立几何图形与数学公式之间的联系，并能够进行推理和证明。

论数形结合思想方法在高中教学应用中的重要地位

论数形结合思想方法在高中教学应用中的重要地位数学和几何在高中阶段都是重点学科，数学作为一门抽象的学科需要通过逻辑和推理来解决问题，而几何则需要通过空间想象力和图形推理来解决问题。

这两门学科看似独立，但实际上有着紧密的联系。

论数形结合思想方法就是将数学和几何结合起来，通过数学的方法和思想来解决几何问题，有着非常重要的地位。

论数形结合思想方法的重要地位主要体现在以下几个方面：首先，论数形结合思想方法有助于提高学生数学思维的灵活性和创造性。

在传统的数学教学中，学生只是被灌输一些规则和公式，而缺乏对数学思维的培养。

而通过论数形结合思想方法，学生将会学会用数学的方法来解决几何问题，从而培养了他们的数学思维能力。

比如，在解决几何问题时，学生可以运用代数方程的思想来建立几何问题的数学模型，然后通过求解方程组来得到几何问题的解答，这样既加深了学生对代数方程的理解，又锻炼了学生的数学思维能力。

其次，论数形结合思想方法有助于提高学生对几何形状的理解和记忆能力。

几何形状是抽象的，没有实际的意义，而论数形结合思想方法可以将几何形状与数学知识联系起来，通过数学的方式来描述和分析几何形状。

比如，通过代数方程来描述平面图形，通过向量来表示线段和向量，通过矩阵来描述刚体的位移等等。

这样一来，学生可以从数学的角度去理解几何形状，提高他们对几何形状的理解和记忆能力。

再次，论数形结合思想方法有助于提高学生解题的能力和应用的能力。

在数学学科中，解题能力尤为重要。

通过论数形结合思想方法，学生可以运用数学的方法和思想来解决几何问题，这要求他们具备一定的数学知识和技巧。

通过这种方法，学生可以更加全面地理解和掌握数学知识，并将其应用到实际的问题中去。

例如，在计算几何中，学生可以通过向量和矩阵的运算来解决几何问题，这要求他们对向量和矩阵的运算有着深入的理解和掌握，从而提高了他们解题的能力和应用的能力。

最后，论数形结合思想方法有助于提高学生对数学的兴趣和学习的积极性。

数形结合的思想在高中数学中的应用

龙源期刊网数形结合的思想在高中数学中的应用作者：崔子烽来源：《文化产业》2014年第04期摘要：在数学课的教学中，数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.关键词：数形结合；高中数学；数学问题；中图分类号：G4 文献标识：A 文章编号：1674-3520（2014）-04-00131-02数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

数与形是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面。

本文试从函数图像和几何图形两个方面，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用.一、利用数形结合思想解决方程和不等式问题（一）利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集三、利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题.在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图像.如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角不等式问题，简便易行.。

数形结合在高中数学教学中的巧妙应用

数形结合在高中数学教学中的巧妙应用数形结合是高中数学教学中的一个重要部分，它是数学与几何的深度融合，也是把具体图形化为数学概念的一种实用技巧。

数形结合在高中数学教学中的应用非常广泛，可以帮助学生深刻理解各种数学概念和定理，增强学生对数学的兴趣和学科钻研能力，下面将来介绍数形结合在高中数学教学中的详细应用。

1.平面向量与几何关系的数形结合平面向量是高中数学中的一个重要概念，它与几何关系的数形结合可以帮助学生更直观地理解平面向量的性质和作用。

例如，在解平面向量共线性问题时，我们可以将向量作为几何图形表示出来，通过数学分析这些图形之间的几何关系，来判断向量是否共线；在证明平面向量的一些基本定理时，我们也可以利用图形直观地验证定理的正确性。

这种数形结合的方法既可以提高学生的几何直观能力，又可以加深其对平面向量理论的认识和理解。

2.集合论中的数形结合集合论是高中数学中的重要分支，它研究集合和元素的关系，是数学中最基本和最抽象的概念之一。

在集合论中，我们可以利用数形结合来进一步深入理解集合和元素之间的关系。

例如，在研究集合的交、并、差等操作时，我们可以用图形表示出它们之间的集合关系，通过直观的方式来理解集合操作的本质。

同时，在研究包含问题时，我们也可以利用集合的图形来方便地表示出它们之间的元素关系。

3.函数图像的数形结合函数是高中数学中的重要概念，它是用来描述自变量和因变量之间的对应关系。

在研究函数图像时，我们可以利用数形结合方法来增加学生的视觉感受力，使得学生更加直观地理解函数的性质和特点。

例如，在研究一元一次和二次函数的图像时，我们可以用几何图形代表函数的性质和特点，来直观地理解函数的增减性、单调性、零点、极值以及对称轴等特征，从而提高学生的图像思维能力和实际应用能力。

立体几何是高中数学中的一项重要内容，它是数学与空间结合的一种具体体现。

在研究立体几何的问题时，我们可以利用数形结合的方法来进行分析和推理。

数形结合,并蒂花开——数形结合思想在初中数学几何教学中的运用

教法研究数形结合，并蒂花开——数形结合思想在初中数学几何教学中的运用刘亚会摘要：数学作为一门集抽象、复杂的特点于一体的学科，对学生思维方式的要求非常高。

但是小学教育对学生的抽象思维培养并不严格，造成学生进入初中学习几何问题是有一定的困难。

初中教师应该对学生进行正确引导，对学生的抽象思维进行培养，利用树形思维融入日常学习。

本文将数形结合思想渗透入初中教学中，让学生对几何图形有更深入的了解和认识。

关键词：思想；几何；数形结合数学几何的教学一直是初中教学的重难点，因为小学知识体系对抽象思维能力的培养并未重视，所以学生在初中的几何学习并不是很应用自如。

初中教师应该有意将数形结合的思想融入到日常学习中，运用正确的方法，用图形结合习题，帮助学生理解，并培养其抽象思维能力。

以下的一些解题方法可供老师在日常教学中加以运用。

一、“树形结合”在三角函数的应用作为初中知识的重难点之一，三角函数的相关知识点对于初中学生来说无疑是陌生而又有难度的。

理解三角函数的定义，厘清变量之间的关系对于接触函数时间不长的初中生来说是很有难度的。

教师应转变教学方法，以学生不抵触较为有难度的知识点为目标，尽量通过简单的、容易理解的方式为学生讲解。

“数形结合”是有利的方法之一。

例如：只有通过“数形结合”的思想，才能将三角函数问题形象化，体现在图中有助于学生定量分析，将抽象化为具象。

三角函数利用数形结合的思想的难点在于，正确引导学生分析各个变量，以及三角函数在三角形中表达的含义。

学生再解决三角函数相关问题时能够养成画出相应三角形解决问题的习惯，例如在刚开始接触三角函数概念时，需要记忆余切,正切等相关概念，利用三角形辅助，帮助学生理清概念，记忆深刻。

图形的介入会使抽象的函数问题较为具体地呈现出来，例如通过求反比例函数中图形的面积问题，教师可以引导学生从较为简单和方便的方式辅助学生，并且发现反比例函数的性质和变量之间的关系。

二、利用“数形结合”解决几何问题对于初中学生来说，强调抽象思维的几何知识一直是学习中的重难点，要求学生有能力完成“数”与“形”的相互转换。

高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用

《数形结合思想》在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。

代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。

现举例如下：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，求k 的取值范围.解：（代数法）曲线方程可化为)0(122≥=+x y x ，把k x y +=代入)0(122≥=+x y x可得：012222=-++k kx x （0≥x ），由题意可知方程仅有一个非负根①当方程有等根时，即)1(8)2(22--=∆k k =0，可得2±=k ，当2=k 时，方程可化为012222=++x x ，得22-=x 不合题意；当2-=k 时，方程为012222=+-x x 得22=x 符合题意，可知2-=k ； ②当方程根为0=x 时，得012=-k ，1±=k ，当1-=k 时，方程为0222=-x x ，得方程两个根为01=x ，12=x 不合题意应舍去；当1=k 时，方程为0222=+x x ，得方程两个根为01=x ，12-=x 适合题意，可知1=k ； ③当方程根为一正一负时，只需021221<-=k x x ，可得11<<-k 。

综上所述：所求 k 的取值范围为2-=k 或11≤<-k 。

（几何法）曲线21y x -=是单位圆122=+y x 的右半圆（0≥x ），k 是直线k x y +=在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，2-=k ，由图形：可得2-=k 或11≤<-k 。

上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。

二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。

高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：“数形结合思想”在集合运算中的应用(含答案解析)

数形联合思想方法是高中数学中常用的一种解题思想方法，在解答相关会合运算7 及抽象会合问题时，一般要借助数轴或韦恩图求解，运用数形联合思想方法能够比较形象、直观地解决问题，常常有事半功倍的成效，平常我们要增强“数形联合”的思想训练 .下边我们看几个例题.例 1.设全集U R, A x| x 1 , B x | x a 0 ,且 BUe A, 务实数a的取值范围.解： e U A x | x 1 , B x| x a ，1a1.思路点拨：第一化简并求解会合，而后借助数轴由已知所给的会合间的关系求出 a 的取值范围 .例 2.设会合S x ||x 2| 3 ,T x | a x a 8 , S T R, 务实数a的取值范围.解：第一步：化简会合，S x | x1或x 5 ,T x | a x a 8 .第二步：借助数轴：第三步：依据所给会合间的关系列不等式求解参数，a1,得 3 a 1 .例 3.某班级共有30 人，此中15 人喜爱篮球， 8 人喜爱足球，两项都不喜爱的有8 人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有_____人 .篮球足球x - 7x15- x8例 4.以下图， I 是全集， A，B， C 是它的子集，则暗影部分所表示的会合是（）ACBA.(A B) CB.( A e I B) CC.( A B)e I CD.( e I B A) C解：选择 B.注：关于韦恩图所表述的会合应做以下理解：暗影部分波及谁就交谁，不波及谁就交其补集.就此，我们看下边暗影部分所表示的会合：A B C A B (e I C)(痧I A) ( I B) Ce I ( A B) C下边给出些练习来领会以上数形联合思想在会合中的应用.练习题：1.已知会合 A = { x ? R || x 2 |< 3} , 会合 B = { x ? R | ( x－ m)( x－ 2) 0} , 且 A B(- 1, n), 则m=________ ，n=________.分析：2.某网店统计了连续三天售出商品的种类状况：第一天售出19 种商品，次日售出13种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有4种，则该网店① 第一天售出但次日未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最罕有________种 .分析：3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有______人 ..已知6 人，分析：4.已知全集U = R会合M = { x | - 2 ? x 1?2}, 和 N = { x | x = 2k - 1, k ? N * }, 的韦恩图如图所示，则暗影部分所表示的会合元素共有（）A.2 个B.3 个C.1 个D. 无量多个UN M。

数形结合思想在高中数学解题中的应用

第5讲数形结合思想在解题中的使用一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数和形之间的对应关系，通过数和形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性和灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常和以下内容有关：①实数和数轴上的点的对应关系；②函数和图象的对应关系；③曲线和方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高测试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法使用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

数形结合思想在中学数学中的应用

数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学计算机科学学院专业名称： 10数学与应用数学专业姓名：吴晨晨同组人员：王帅帅指导教师：戴普庆数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。

数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。

本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。

通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。

关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and number thought in the middle school problem solving and so on. Through the analysis, comparison and induction,it shows the combination of shapes and number thought's characteristic and advantages in the problem solving, which in actual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and number thought.Keywords Number and shape The combination of number and shapes The mathematics of the middle school目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形” (7)4.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用 (9)4.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数” (10)5 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中。

浅析数形结合在高中数学中的应用-教育文档

浅析数形结合在高中数学中的应用数形结合是一种非常好的学习方法，可以帮助学生有效解决数学问题，理清数学思路。

所以，在高中数学教学过程中，教师可以更多的运用数形结合的教学手段，培养学生的逻辑思维能力和对数学的学习兴趣，让学习成为一个享受和获得成功的过程，让学生不再畏惧数学。

一、数形结合方法的定义在数学的教学以及学习中，“数”与“形”是学习数学的内容与对象，在一定程度上来说，数与形在某些条件下是能相互转变的。

因此，所谓的数形结合方法，就是在数学的教学过程中将数学问题中的结果与条件之间通过将二者的关联当做基础，同时对问题进行代数分析以及其几何分析的一种数学问题解决方法，从而使数量关系的代数数据和空间形式的直观形象和谐、精确、巧妙地相结合。

并且充分运用此方法寻求数学的解题方法，简化数学难点，从而有效解决数学教学中关键点教学效果不明显现象。

通过数形结合的教学方法，能有效将数学中的难点进行简化，将抽象的部分实现具体化，从而实现数学教学的最优化。

在高中数学教学中，数形结合法在高中的应用非常广，包括较为藏家的求解不等式、三角函数等等方面。

数形结合法不仅能促使学生更加直观的找出数学中的解题昂发，同时还能避免不必要的推理验证，进而简化数学解题。

数形结合的方法在高中数学教学之中的应用通常有两方面内容：一方面，通过图形来反应代数的关系，也就是所谓的“用形解数”；另一方面，这是通过代数的准确性来对图形进行阐明。

二、高中数学教学中存在的问题1、数学思维的肤浅。

目前，我国高中数学教学的过程中，由于学生对数形结合思维的概念理解不够深刻。

同时，我国高中数学教学思维比较肤浅，进而使得高中学生的数学思维无法摆脱抽象概念的局限性。

高中学生数学思维的肤浅性造成了以下两个方面的后果，第一，高中学生在解决实际数学问题时，学生只会根据数学题目和问题思考问题，不注重转换思维的数学思维方式，造成学生缺乏探索解决问题的能力。

第二，高中学生缺乏足够的抽象思维能力，学生大多只会处理一些比较直观的数学问题，而对那些抽象的数学问题，学生往往不能抓住其本质，主要表现为学生缺乏建立数学模型的实际能力。

2015年湖北省高中青年数学教师优秀课评比结果通报

附件：2015一等奖姓名学校课题代名扬洪湖一中常用逻辑用语陈开懋华师一附中一元二次函数、方程和不等式戴凯水果湖高级中学基本初等函数（Ⅰ）袁迁黄石二中常用逻辑用语姚雅倩汉川一中一元二次函数、方程和不等式余勤夷陵中学建立概率模型解决实际问题陶晨仙桃中学数形结合的思想方法的应用龚彪汉铁高中建立概率模型解决实际问题崔冬林龙泉中学建立概率模型解决实际问题白云鄂南高中数形结合的思想方法的应用朱文杰孝感高中椭圆中的一类定值问题探讨魏兰武汉四中奇偶性吕国琦枣阳一中函数y=A sin(ωx+φ)的图象余信欢宜昌一中单调性与最大（小）值秦红福恩施一中单调性与最大（小）值黄荣荆州开发区滩桥高中奇偶性王涛天门实验高中平面向量基本定理蒋志方孝感高中柱、锥、台、球的结构特征胡小琴黄冈中学空间直线与平面的位置关系梁修曦郧阳中学直线与圆锥曲线的位置关系曹旗黄石三中导数在优化问题中的应用王春宇钟祥一中导数在优化问题中的应用周婉襄阳五中直线与圆锥曲线的位置关系高绍娟红安一中正、余弦定理在实际问题中的应用刘芳沙市中学正、余弦定理在实际问题中的应用二等奖姓名学校课题龙祁林东风高级中学常用逻辑用语黄利娟鄂州高中常用逻辑用语向美鹏广水一中一元二次函数、方程和不等式陆振方潜江中学一元二次函数、方程和不等式王保清襄阳四中数形结合的思想方法的应用唐琪武穴中学数形结合的思想方法的应用胡芳恩施高中建立统计模型解决实际问题李苗天门中学建立概率模型解决实际问题严贤灿华师一附中数列的综合应用田爽武汉市二十九中三角函数模型的简单应用张静荆州中学函数y=A sin(ωx+φ)的图象陈沫荆门掇刀中学单调性与最大（小）值马洪全仙桃一中平面向量基本定理杨爱华十堰车城高中柱、锥、台、球的结构特征余玮黄石一中柱、锥、台、球的结构特征张慧贤襄州一中奇偶性刘志刚浠水实验高中奇偶性裴金玲宜都一中函数y=A sin(ωx+φ)的图象李丹凤咸宁青龙山高中柱、锥、台、球的结构特征吴德敏曾都一中单调性与最大（小）值郑丽萍通城一中空间直线与平面的位置关系饶志雄鄂州二中函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的性质及其应用刘丽平云梦一中直线与圆锥曲线的位置关系陈庭旺潜江园林高中函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的性质及其应用崔征葛洲坝中学直线与圆锥曲线的位置关系吴燕大悟楚才高中空间直线与平面的位置关系周俊荣开发区汉阳三中导数在优化问题中的应用魏志红随州二中空间直线与平面的位置关系舒建平利川一中导数在优化问题中的应用叶莉常青一中正、余弦定理在实际问题中的应用。

数形结合方法在高中数学教学中的应用评价

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教学研究
数形结合方法在高中数学教学中的应评价
盛军
（南溪中学，重庆４０４１００）
摘要：高中数学的基本研究对象就是 “ 数” 与“ 型” ， “ 数形结合” 的教学思想贯彻高中数学教学的始末，高中生深入把握好 “ 数形结合” 的解题思想，对学好数学起到至关重要的作用。“ 数形结合” 的解题方法能让数学代数转化为几何图形来加以解答，体现出数学的灵活性，这种代数、几何之间相互转换的特点在很大程度上使复杂难解的问题简单化，有效拓宽了学生的解题思路和学习效率。关键词：数形结合；数学教学；解题思想；应用
用“ 数形结合” 的方法可以直观、具体的阐明问题的本质，在很大程数形结合的数学思想在高中数学解题中有着不可忽视的作用。度上可以减轻学生的学习压力，引导学生对数学学习产生兴趣。数学研究的是事物的数量关系和空间几何，这两者之间存在密切的４．２合理的运用 “ 数形结合” 有利于学生进行初中、高中两阶段联系，数量关系可以通过图形来表示，几何图形又可以通过代数关数学方面知识的过渡和衔接，相对于高中数学而言，初中数学的内系来解释，它们之间可以在一定条件下相互转化。高中数学难解的容相对简单具体，其解答特点是过程具有较强的模仿性，而高中的抽象问题多半是巧妙运用数形结合的思想来进行解答的，这种方法数学内容要求掌握的重点是对数学概念进行理解，并在此基础上进让学生避免了繁琐的计算和推理，很大程度上简化了解题过程，这行运用，具有较强的抽象性。另一方面，要求学生有较强的思维能种优势往往在解决选择和填空题中表现明显，解题效率大大提高，力、运算能力和空间想象力以及熟练的运用数学语言的能力等。所高中生熟练掌握这种思想对高中数学乃至以后的数学学习都有很以，在进行高中阶段数学学习时，大多数学生都需要一个适应的过大帮助。程， “ 数形结合” 的教学方式能使学生的思维方式从抽象转化为具２数形结合的概念体，这一点恰好符合学生的认知规律。数形结合就是根据“ 数” 与“ 形” 之间的对应关系，通过代数关系４．３数形结合的思想能够培养学生的现代思维方式。具体指的和几何图形之间的相互转化来解决抽象的数学问题的思想。是：第一， “ 数形结合 ” 方法的有效运用，可以帮助学生更好的看清、 “ 数” 与“ 形” 是数学教学中两个最基本的研究对象，数形结合作把握事物的本质，有利于培养学生静态思维与动态思维相结合思考为一种数学思想，它的应用可以分为两方面：一方面是形借助数的问题的好习惯，让学生面对问题能够进行动态、变化、联系的思考。精确性来解释某些属性，这种情况是“ 以数解形” ；另一方面是数借第二，帮助学生养成放射性思考或发散性思考的思维习惯，一定程助形的几何直观性来解释其之间的关系，这种情况是“ 以形解数 ” 。度上让学生对问题进行多层次、多角度、有重点的思考。第三，有效 “ 数” 与“ 形” 反应的是事物的两种属性，数形结合一般是指 “ 数” 与的运用“ 数形结合 ” 的方法，可以帮助学生把抽象与具体思维相结 “ 形” 两者之间的一一对应关系，是指把抽象复杂的数学关系、数学合，从而帮助学生养成辩证思维能力，开拓学生的视野，让学生在以语言和直观的位置关系、几何图形相联系起来，通过抽象思维与形后的生活中有良好的思考与解决问题的能力。象思维相结合的思想，化复杂问题为简单问题，化抽象为具体，从而５结论达到优化解题步骤的目的。数形结合一般应用于解决集合、函数、方 “ 数形结合 ” 的思想是数学教学的重要思想之一，对数学的发展程与不等式、三角函数、立体几何等问题。起到了至关重要的作用，立体解析几何就是由笛卡尔利用“ 数形结３数形结合的应用方法合” 的思想，将传统代数与几何相联系而创立的，从而开辟了数学的３．１以数化形。新领域。在高中的教学与学习中，更应该注意使用这种思想，教师应在高中数学中，有些抽象数难以把握，而其形却具体且直观，能培养学生运用这种思想，从而提高学生解决数学问题的能力。 “ 数形够表达具体的思想，因此，我们可以用图形来解决问题。例如：利用结合 ” 的方法很大程度上帮助数学教学和解题，还能帮助学生增强韦恩图解决集合的问题、利用二次函数图形解决一元二次不等式的思维的创造性与灵活性。问题、利用两点之间的距离公式辅助图形解决代数综合题等。参考文献３．２以形化数。【１］张海．例谈高中数学数形结合的转化思想『Ｊ１考试周刊，２０１１（８ｚ）． “ 形” 虽然有直观、具体的优点，但有时在定量时还需要进行代【２】张小军．例谈高中数学数形结合解题法教学的有效策略『Ｊ１．高中数擞计算，尤其是复杂的图形，不仅要对图形进行数字化，还必须要注理化．２０１３（２０）．意图形本身的特点，挖掘题目中的隐含提示，充分发挥图形的性质【３】张福庆．例谈高中数学数形结合解题法教学的有效策略［Ｊ】＿高中数和几何意义的作用，用“ 数” 正确表述“ 形” ，进行分析计算。例如平面理化。２０１３（１６）．解析几何中的圆锥曲线问题可以用解析法来解决。【４】徐志勇．高中数学数形结合教学模式策略探讨［Ｊ】．数理化学习（高３．３形数互换。三版）．２０１３（８）．有些复杂的数学问题中，简单的“ 以数化形 ” 或“ 以形化数 ” 已经不能解决所面临的问题了，这时就需要“ 数” “ 形” 相互变换来加以解决。这种方法本质上就是以数化形和以形化数的结合。它可以应用于数轴在有理数中的简化问题、三角函数图像求角问题和数形结合解决平面几何问题等。４数形结合方法在高中数学教学中的应用评价数形结合的思想在高中数学解题过程中应用广泛，对高中数学教学也起着巨大作用。４．１合理运用“ 数形结合 ” 的方法，对学生树立形象思维和培养浓厚的学习兴趣起到了重要作用，同时学生利用数形结合的方法容易解答出较为复杂的问题，有利于学生增强学习数学的自信心。数学具有形式化、符号化和抽象性的特点，给人的第一感觉就是晦涩难懂，其学习过程也有些枯燥无味，容易使学生产生厌学的情绪，然而高中数学的问题多数都可以根据“ 数形结合 ” 的方法得以解决，利

数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用

The Science Education Article CollectsTotal.489 March2020（C）总第489期2020年3月（下）摘要在高中数学教学过程中，数学知识的学习与解题技巧的分析备受关注，为了构建高效课堂、促进教学实践活动的顺利开展，许多老师开始重新调整教学策略和教学方向，既坚持学生的主体地位，又十分关注教学策略和教学手段的稳定革新，在引导和鼓励学生的基础上丰富课堂教学内容和形式，保证学生在一个自由宽松的学习氛围下实现个人的良性成长和发展。

关键词数形结合；思想方法；高中数学教学；解题应用The Application of Numeral-Form Combination Method in High School Mathematics Teaching and Problem Solv原ing//Yin ShangzhiAbstract In the process of high school mathematics teaching, much attention has been paid to the learning of math knowledge and the analysis of problem solving skills.In order to build effi-cient classroom,and promote the smooth progress in teaching practice,many teachers start to adjust teaching strategies and teaching directions,both insisting on students'main body status, and paying close attention to the stable innovation of teaching strategies and teaching methods.On the basis of guiding and en-couraging students to enrich classroom teaching content and form,they attempt to ensure that students realize positive person-al growth and development in a free and relaxed learning envi-ronment.Key words numeral-form combination;method of thinking;high school mathematics teaching;problem solving application1数形结合思想方法数与形是高中数学教学的重点和难点，老师需要了解不同的数量关系和空间图形分析要求之间的内在逻辑联系，结合学生的学习能力和学习背景，积极阐述数量关系与图形之间的转化关系。

数形结合法在高中物理教学中的妙用

数形结合法在高中物理教学中的妙用摘要数形结合法是中学物理的重要解题方法，可使物理概念、过程、规律更形象、直观地展现，简化解题过程，通过典型例题的分析，可以体会这种方法的特点，提高解题技能。

关键词物理学科数形结合运用数形结合的方法就是运用数学图像来描述两个物理量之间的关系，直观、形象地展示物理规律的一种物理教学方法。

数形结合是一种重要的数学思想方法，在物理解题中有着广泛的应用，图像法解题便是一例。

因在高考命题中屡次渗透考查，这种方法在于引起学生注意，它能启迪学生思维，在提高解题技能和运算速度上都有很大地帮助。

一、借助物理图像启迪思维、提高能力运用一题多解的训练，对提高学生的发散思维能力，提高解题技能和运算速度有很大地帮助，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果。

对于有些物理问题，采用物理图像的方法求解更容易、直观、方便，易于理解，通过数图转换训练，可以使学生得到简洁的解题思路，锻炼学生的思维。

二、借助物理图像阐明物理规律物理图像能形象地表达物理规律，直观地叙述物理过程，鲜明地表达物理量间的依赖关系，直接表明其变化特点，并提供直观清晰的物理图景。

在物理课堂教学和实验教学中常常借助物理图像的方法，帮助学生认识物理规律。

在许多情况下，由于直线图像绘制方便，正比关系明显，为了使获得的图线为一直线，往往采用将被测数据作某种变换后的数值作为变量，从而得出正比图线。

如在伏安法测电阻实验中，利用安阻法或伏阻法测电源电动势和内阻时，往往通过改变横纵轴的物理量来达到化曲为直的效果。

三、理解图像含义及所提供的信息1.轴：弄清直角坐标系中横轴、纵轴代表的含义，即图像是描述哪两个物理量间的关系，是位移——时间关系？还是速度——时间关系？……同时注意单位及标度。

2.点：物理图像上的“点”代表某一物理状态，要弄清图像上任一点的物理意义，实质是两个轴所代表的物理量的瞬时对应关系，如代表t时刻的位移s，或t时刻对应的速度等等。

在图像中我们要着重了解截距点、交点、极值点、拐点等这些特殊点的物理意义。

通过“数形结合”生发多元思维——特级教师徐长青“多边形的再认识”教学片段赏析

通过“数形结合”生发多元思维——特级教师徐长青“多边
形的再认识”教学片段赏析
史俊
【期刊名称】《华夏教师》
【年(卷),期】2024()7
【摘要】本文赏析了特级教师徐长青“多边形的再认识”一课,在教学中,通过带领学生回忆旧知,帮助学生复习多边形的特征;由旧到新,帮助学生拓展多边形的定义;尝试多种途径,引导学生探究多边形的转化;大胆自主探究,促进学生发现通用的面积公式;将数形相结合,帮助学生勾连公式的不同应用;最后通过全课总结,交流、提升本堂课的体会和认知。

这节数学课虽然是一节复习课,但是高效实现了学科知识与学科活动的融合,“做中学”与知识融为一体,让学生在具身认知和思维可视化中成长。

【总页数】4页(P53-55)
【作者】史俊
【作者单位】江苏省常州市武进区礼河实验学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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