5.3半群
离散数学第五章
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
第七章 半群与群
☆ 定理 6.1-4 每个循环独异点都是可交换的。
证 设〈S, *, e〉是循环独异点, 其生成元是g, 对任意a、 b∈S, 存在m、n∈N, 使a=gm和b=gn, 因此
a b g g g
m n
m n
g
n m
g g b aຫໍສະໝຸດ n m证毕。例 2
(a) 下表给出的代数是个循环独异点, 生成元是c(也可以是b), 因为 c0 = 1 c = c c2 = c*c = a c3 = c2 * c =a * c = b c4 = c3 * c = b * c = 1 = c0
即：在G运算表的每一行里，G的每个元素都出现一次，且出现
一次。在不同的行里，元素的排列顺序也不同。 证 首先, 证明运算表中的行或列所含G的一个元素不可能多 于一次。用反证法, 如果对应于元素a∈Ｇ的那一行中有两个元素 都是k, 即假定a * b1=a * b2=k, 而b1≠b2, 但根据定理6.2-2有b1=b2。 得出矛盾。对于列也一样可以证明。
如果x是G中满足a * x=b的任意元素, 则
x=e * x=(a-1 * a) * x = a-1 * (a * x) = a-1 * b
所以, x=a-1 * b是满足a * x=b的唯一元素。
定理 6.2-2 如果〈G, *〉是一个群, 则对于任何a、b、c∈G,
(a ) a b a c b c ( b) b a c a b c
所以, h(a*b)=fa*b=fa ·b=h(a) · 。 证毕。 f h(b)
6.2 群
6.2.1 群的定义和性质
定义 6.2-1 群〈G , * 〉是一代数系统, 其中二元运算*满足
离散数学-群
a ◦ b = a g (g-1 a-1 g-1) = g-1。 同理可证，b ◦ a = g-1。 所以 G 的每个元素都有逆元。 综上所述，< G; ◦ > 是群。
注：
因为半群 < S; > 中 是可结合的，所以可以定义元素的幂。
对任意 a S，定义
a1 = a，an + 1 = an a (n = 1, 2, …)，
并且对于任意正整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
3
定理5-1 设 < S; > 是一个有限的半群，则必有 a S，使得 a 是一个幂等元，即 a a = a 。
第二部分 抽象代数
0
第五章 群
本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重讨论具有一个 二元运算的代数系统，常称为二元代数，包括半群、独异点和 群。半群和独异点在自动机理论、形式语言及程序设计的数学 基础中占有重要的地位，而群是抽象代数中最古老且发展得最 完善的代数系统，在计算机科学中，对于代码的查错和纠错、 自动机理论等各个方面的应用的研究，群是其基础。
代数系统中唯一的单位元常记为 e。 5
在独异点 < S; > 中，也可定义元素的幂：
对任意 a S，有
a0 = e，an + 1 = an a (n = 0, 1, 2, …)，
并且对于任意非负整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
设 < S; > 为独异点，则关于运算 的运算表中没有两行或 两列是相同的。
第五章代数系统关于集合是否封闭？
第五章代数系统5-1代数系统的引入5.1.1设集合{1，2，3，…，10}，问下面定义的映射*关于集合是否封闭？a） x*y=max(x,y);b） x*y=min(x,y);c） x*y=GCD(x,y);d） x*y=LCM(x,y);e） x*y=素数p的个数，其中x≤p≤y。
解：a）封闭。
b）封闭。
c）封闭。
d）不封闭。
e）不封闭。
5.1.2在下表所列出的集合和映射中，请根据映射是否在相应集合上封闭，在相应位置上填写“是”或“否”，I表示整数集，N表示自然数集合。
5.1.3设B={0，a，b，1}，S1={ a，1}, S2={ 0，1}, S3={ a，b},二元运算⊕和*定义如下表：⊕0 a b 1 * 0 a b 10 0 a b 1 0 0 0 0 0a a a 1 1 a 0 a 0 ab b 1 b 1 b 0 0 b b1 1 1 1 1 1 0 a b 1试问（S1，*，，⊕）是代数系统吗？是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统吗？（S2，*，，⊕，1，0）是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统吗？（S3，*，，⊕）是代数系统吗？解：⊕ a 1 * a 1a a 1 a a a1 1 1 1 a 1因此（S1，*，，⊕）是代数系统。
它不是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统。
因为S1中缺少0。
（S2，*，，⊕，1，0）是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统。
⊕ a b * a ba a 1 a a 0b 1 b b 0 b因为⊕和*在{a，b}上不封闭，所以（S3，*，，⊕）不是代数系统。
5-2运算及其性质5.2.1对于实数集合R，下表所列的二元运算是否具有左边一列中那些性质，请在相应位置上填写“是”或“否”。
∣-y∣max min x-+*结合律交换律有单位元有零元解：max min x∣-y∣-+*结合律是否是是是否交换律是否是是是是有单位元是否是否否否有零元否否是否否否5.2.2设代数系统（{a,b,c}，*）中，*是{a,b,c}上二元运算，下面运算表中分别讨论交换性，等幂性，问有否单位元？若有，问每个元素有否逆元？有否零元？a）b）c）d）* a b c * a b c*a b c* a b ca abc a a b c a a b c a a b cb bc a b b a c b a b c b b b cc c a b c c c c c a b c c c c b解：a）可交换，不等幂，a为单位元，a 的逆元是a，b和c互为逆元。
半群,幺半群和群的关系
[2] [3] [1],[1] [2] [3]
事实上，可用运算表来完全刻划“+” ，可知“+”是 封闭的。
全部子集构成的集合） ， 通常叫做 A 的幂 集。那么 S , 及 S , 都是有限可换半 群。
定义 2：设 G, 是一个半群，如果 G 中含有单位元 e ，那
么称 G, 为幺半群，通常写为 G,, e .
.
思考题：能否举出一个是半群但不是幺半群的例子？
由于本讲知识是群论的最基本部分，照理不该 出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意： （1） 半群，幺半群和群的关系. （2） 本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证 明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路）. （3） 群的阶和群中元素的阶.
本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称 为乘法（这时群也称为乘群） ，特殊情况下， “” 也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群） 。
都是可换半群。
例 2 取 F 为任一数域， M n (F ) 为 F 上一切 n 阶方阵组成的集合。
若“+”和“ · ”均为通常矩阵的加法和乘法，那么 M n ( F ), 和
M n ，而当 n 1 时 ，
课堂训练 ：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是
群？为什么？
1、 Z , 2、 Z , 3、 Q, 4、 Q, 5、 Q, 6、 R, 7、 R,
8、 R , 9、 C, 10、 C ,
11、 C , 12、 N , 13、 N , 14、 N ,
从而 a a aa e .
1
1
半群与群的基本概念
第一节 半群与群的基本概念定义1.1 设代数系统<S,*>，其中*为二元运算。
如果*是可结合的,则称<S,*>为一个半群（semigroup ），如果半群的二元运算有单位元，则称此半群为独异点（含幺半群）。
如果独异点的每个元素都是可逆的，则称它为群(group)。
根据定义，代数系统<G ,*>为成一个群当且仅当二元运算*满足下述条件： (1)适合结合律(*)**(*),,,a b c a b c a b c G =∀∈。
(2)有单位元e G ∈∀∈==，**a G a e e a a 。
(3)a G ∀∈,有逆元1a G −∈，使得11**a a a a e −−==群<G ,*>可简记作G ，a*b 可略去*，简记作ab 。
如果半群，独异点和群中的运算是可交换的，则分别称作为交换半群，交换独异点和交换群。
交换群又称作阿贝尔（Abel ）群。
如果群中的运算不是可交换的，则称它为非交换群。
习惯上，常将群中的二元运算叫作乘法，记做 。
定义1.2 若群G 所含元素个数有限，则称G 是有限群,否则称G 是无限群。
群G 中元素个数称作群的阶。
当G 是有限群时，用|G|表示它的阶。
例1.1，,Z +<+>是半群，但不是独异点，因为它没有单位元，,N <+>是独异点，但不是群,因为除0外其它元素无逆元。
而,Z +是一个群，并且是一个交换群，叫作整数加法群。
例1.2模n剩余类加法群<⊕>,n Z 是阿贝尔群,这里{[0],[1],,[1]}n Z n =−L ,[][][()mod ]x y x y n ⊕=+, [0]是它的单位元，对于每个x=0,1,2,…,n-1，[x]的逆元是[-x]=[n-x]。
例1.3 (),n M R <•>是独异点，这里•是矩阵乘法，n 阶单位矩阵是单位元，但它不是可交换的,而且不是每一个矩阵都是可逆的。
半群与群
第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。
群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。
群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。
例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。
例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。
例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。
定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。
在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。
例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。
例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。
字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m 的字符串。
长度为0的字符串称为空串，用来表示。
如对V={a,b}, =aa 和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。
我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。
设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。
定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。
离散数学讲解第五章
2018/12/20
20
例5 *
e a b c
设G= {a,b,c,e}, * 是G上的二元运算， e
e a b c
a
a e c b
b
b c e a
c
c b a e
a*=b*a=c,
b*c=c*b=a， a*c=c*a=b <G;*>是一阿贝尔群，但它不
是循环群，一般称这个群为
2018/12/20 2
例3 设S={|是集合A上的关系}，对于关系的复合运 算可构成代数系统 <S; >，<S;>是半群。
若F={f |f :AA}，则对于函数的复合运算，代
数系统<F;>也是半群。 对任意 a∈S ，定义 an+1=an*a a1=a (n=1,2,……) (* )
例7 对于半群 <S;*>的任一元素a S ,令集合 T={a,a2,a3,…}
<T;*>是<S;*>的子半群。
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定义5-6 设<S;*>是一独异点，若<T;* >是<S;*>的子代
数，且单位元 e T，则称<T;*>是<S;*>的子独 异点。 例8 对于独异点<Z;+ > , 子集N2, N3, N4, … ,它们均不 能构成<Z;+>的子独异点， 令Z2={2n|nZ}, Z3={3n|nZ}, Z4={4n|nZ} 则<Z2 ;+ >, <Z3 ;+ >, <Z4 ;+ >都是 <Z ;+>的子独异点。
关于半群和群课件
循环半群
例7.1.3 下表给出的代数是个循环独异点，生成元是d
因为 d=d d2 = b d3 = c d4 = a
⊙a b c d aabcd bbadc c cdba ddcab
生成元也可以是c，但不是a或b
循环半群
定义：给定半群< S, ⊙>，以及G S， 若S中的所有元素，都可以由G中元素经过⊙运算而得 并且G是最小的这样的集合 则称G为< S, ⊙>的生成集，即
循环半群
四、循环半群 定义：< S, ⊙>是半群，若存在g S，对于每个x S，都 有相应的自然数n，将x表示成gn，即x=gn ，则 称g为< S, ⊙>的生成元 可以说，元素g生成半群< S, ⊙> 称< S, ⊙>为循环半群
循环半群
定义：< S, ⊙, e>是独异点，若存在gS，对于每个xS， 都有相应的自然数n，将x表示成gn，即x=gn ，且g0=e
称g为< S, ⊙, e>的生成元 可以说，元素g生成独异点< S, ⊙, e> 称< S, ⊙, e>为循环独异点
循环半群
定理：每个循环独异点都是可交换独异点。 证明： 设< S, ⊙, e>是循环独异点，g为其生成元 对于任意 a, b S，存在自然数m, n，使得a=gm，b=gn 于是，a⊙b = gm⊙gn = gm+n = gn+m = gn⊙gm = b⊙a 所以⊙是可交换的，故< S, ⊙, e>是可交换独异点。
半群和独异点
代数< [0, 1], ×>、< [0, 1), ×>和< N, ×> （N是自 然数集合，×是普通乘法）都是半群 并且都是< R,×>（R是实数集合）的子半群 < [0, 1], ×, 1>和< N, ×, 1>都是独异点 并且都是< R,×, 1>的子独异点 < [0, 1), ×>不是独异点，因为它不含关于×的么元
《离散数学》教学大纲
《离散数学》教学大纲一、教学目的与要求（一）目的本课程教学的目的是培养学生的数学思维能力，使学生得到良好的数学训练，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供坚实的理论基础。
通过教学，最终使学生能够在众多的概念中要找出最重要的，在众多的定理中找出最根本的，将这些少量的概念和定理能够透彻地理解，自如地运用。
（二）要求1. 有效地掌握该门课程中的所有概念。
通过讲课和布置一定数量的习题使学生能够使用所学的概念对许多问题作出正确的判断。
2. 通过课程中许多定理的证明过程复习概念，了解证明的思路，学会证明的方法，并使学生掌握定理的内容和结果。
3. 通过介绍各种做题的方法，启发学生独立思维的能力。
创造性的提出自己解决问题的方法，提高学生解决问题的能力。
4．通过该门课程的学习使学生掌握逻辑思维和逻辑推理的能力，培养学生正规的逻辑思维方式。
二、教学重点及难点（一）重点1．集合论：集合恒等式，关系运算，关系性质，等价关系，偏序关系2．数理逻辑：等价演算，推理理论3．代数系统：代数系统，群的性质，子群，陪集与拉格朗日定理，循环群，置换群4．图论：图的基本概念，图的矩阵，根树，有向树和有序树。
5．代数系统：代数系统，群的性质，子群，陪集与拉格朗日定理，循环群，置换群（二）难点关系的运算，偏序关系,一阶逻辑推理，陪集，置换群，根树的应用三、教学方法采用多媒体和板书相结合，采用启发式和案例教学，以知识为载体，培养学生分析解决问题的思维方式和方法，激发学生创造性思维。
四、教学时数54学时，每周3学时五、考试或考察方式本课程为考试课考试方式六、学时安排序号章节内容学时1 第一章集合与关系122 第二章命题逻辑123 第三章谓词逻辑94 第四章图论125 第五章代数系统9合计54第一章集合与关系 1.1 集合的概念与运算一、教学目的及要求：1、掌握集合的两种表示法2、判别元素是否属于给定的集合3、判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系4、掌握集合的基本运算（幂集运算，普通运算和广义运算）并能化简集合表达式二、教学难点及重点：教学重点：1. 集合的两种表示法2. 集合之间的包含、相等、真包含等关系3. 集合的基本运算（幂集运算，普通运算和广义运算）教学难点：集合的运算三、教学基本内容：1．集合的概念，集合的两种表示法2．元素与集合的关系3．两个集合之间的关系：包含、相等、真包含等关系4．空集，全集，幂集的概念5. 集合的基本运算（幂集运算，普通运算和广义运算），化简集合表达式四、作业习题1.1 2、3、5、7、9第一章集合与关系(1.2,1.3)一、教学目的及要求：1．掌握有序对的定义2．掌握笛卡儿积运算和性质3．熟练掌握二元关系的定义4．掌握二元关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法5. 掌握关系的逆和合成运算二、教学难点及重点：教学重点：1．有序对的定义2．笛卡儿积运算和性质3．二元关系的定义4．二元关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法5. 关系的逆和合成运算教学难点：笛卡儿积运算和性质、关系的合成三、教学基本内容:1.有序对的概念2.有序对的性质3.有序n元组4.笛卡儿积的定义5.笛卡儿积的运算和性质6.二元关系的概念7.集合A到B的关系、集合A上的关系的定义8.关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法9.关系的逆和合成运算四、作业习题1.2 1、3、4、5、6 习题1.3 1、2、7、11第一章集合与关系(1.4)一、教学目的及要求：1．掌握二元关系的基本性质及其关系矩阵、关系图上的体现2．掌握二元关系的各种性质存在的充要条件3．了解二元关系各种性质与集合运算的关系4．掌握自反性、对称性、传递性的证明方法二、教学难点及重点：教学重点：1．二元关系的基本性质：自反性，非自反性，对称性，反对称性，传递性2．二元关系的各种性质存在的充要条件3．二元关系的基本性质在关系矩阵、关系图上的体现4．二元关系各种性质与集合运算的关系5．自反性、对称性、传递性的证明方法教学难点：1.二元关系的各种性质存在的充要条件2.自反性、对称性、传递性的证明方法三、教学基本内容:1．自反性的定义及关系矩阵、关系图的特征2．非自反性的定义及关系矩阵、关系图的特征3．对称性的定义及关系矩阵、关系图的特征4．反对称性的定义及关系矩阵、关系图的特征5．传递性的定义及关系矩阵、关系图的特征6.二元关系的各种性质存在的充要条件7.集合的并、交运算对自反性的保持8.集合的并、交运算对对称性的保持9.集合的并、交运算对传递性的保持10.二元关系性质的证明四、作业习题 1.4 1、2、3、4、8第一章集合与关系(1.5) 一、教学目的及要求：1．掌握二元关系闭包的含义2．掌握二元关系闭包的性质3．掌握二元关系闭包的计算方法二、教学难点及重点：教学重点：1．二元关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包2．二元关系的闭包计算的基本定理3．利用关系矩阵和关系图计算闭包4．二元关系的闭包的性质教学难点：二元关系闭包的求法三、教学基本内容:1．闭包的定义：自反闭包、对称闭包、传递闭包2．利用集合与闭包的关系计算闭包3．利用关系矩阵和关系图计算闭包4．二元关系的闭包的性质5．闭包与闭包之间的关系6. 集合、关系矩阵、关系图之间的转换四、作业习题1.5 1、2、3、9第一章集合与关系(1.6) 一、教学目的及要求：1．掌握等价关系及其条件2．掌握等价关系与划分的联系二、教学难点及重点：教学重点：1．等价关系及充要条件2．等价关系与划分的联系教学难点：等价关系的划分三、教学基本内容:1．等价关系的定义2．利用矩阵表示等价关系3．等价关系的充要条件4．等价类与商集的定义5．等价关系与划分的联系四、作业习题 1.6 2、4、5、6第一章集合与关系(1.7) 一、教学目的及要求：1．了解序关系的概念2．掌握偏序与拟序3. 掌握哈斯图4. 掌握全序与良序二、教学难点及重点：教学重点：1．偏序与拟序2．哈斯图3. 全序与良序教学难点：全序与良序三、教学基本内容:1．序关系的概念：偏序关系、拟序关系2．偏序的充分必要条件3．拟序的充分必要条件4．覆盖的定义5．哈斯图6.极大元与极小元7.全序结构与良序结构四、作业习题 1.7 2、5、8第二章命题逻辑(2.1、2.2) 一、教学目的及要求：1．分清简单命题（既原子命题）与复合命题2．深刻理解5种常用联结词的涵义，每种联结词的真值3．分清“相容或”与“排斥或”4. 掌握命题公式及其真值表5. 掌握命题公式的类型与判定二、教学难点及重点：教学重点：1. 命题的概念2．简单命题（既原子命题）与复合命题3. 5种常用联结词4. “相容或”与“排斥或”5. 命题公式及其真值表6. 命题公式的类型与判定教学难点：“相容或”与“排斥或”逻辑区别、命题公式的判定三、教学基本内容:1．命题的概念，真命题，假命题，真值2．命题的判断，简单命题的符号化3．联结词4．每个联结词表示的逻辑关系5．每个联结词的真值6. 命题公式的真值表7. 命题公式的类型8. 命题公式的判定四、作业习题2.1 2、3、4 习题2.2 1、2、3、5第二章命题逻辑(2.3) 一、教学目的及要求：1．掌握命题公式的等价2．掌握命题公式的蕴含3．理解置换定理与对偶定理二、教学难点及重点：教学重点：1．命题公式的等价2．命题公式的蕴含3．置换定理与对偶定理教学难点：命题公式的关系及真值表演算三、教学基本内容:1．命题公式的等价2．命题公式的蕴含3．置换定理与对偶定理四、作业习题2.3 1、2、3、4第二章命题逻辑(2.4)一、教学目的及要求：1．了解文字、简单析取式、简单合取式、析取范式，合取范式，主析取范式与主合取范式等概念。
第5-2讲 半群与群
a,bS且ab时,有 e*a=ab=e*b; a*e=ab=b*e。 前式说明e所在行的任意两个元素都是不 同的，从而任意两列至少有一个元素是 不同的，从而任意两行不同(参考右图)。 后式说明e所在列的任意两个元素都不 相同，从而任意两行是不同的。
5
2、独异点(2)
例2 设整数集合，Z6是同余模6的等价类构成的集合(参看P132)，
12
4、群的性质（2）
（接证定理5） 设<G,*>为群,则 (3) 对任意a,b,cG,如果a*b=a*c或b*a=c*a,则b=c。 (4) 群中幺元外，无等幂元。 证：(3) 若a*b=a*c，e为幺元，则 a-1*(a*b)=a-1*(a*c) (a-1*a)*b=(a-1*a)*c 即 e*b=e*c 亦即 b=c 同理可证，当b*a=c*a,有b=c。 (4) （用反证法）设G中有等幂元ae，a*a=a，那么 a=e*a=(a-1*a)*a==a-1*(a*a)=a-1*a=e 与假设ae矛盾！
即Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}。在Z6上定义运算6如下表： 对任意[i],[j]Z6，[i]6[j]=[(ij)(mod6)]。 验证<Z6,6>是独异点。
解:(1)由定义运算6显然是封闭的。
(2)可验证运算6是可结合的： ([i]6[j])6[k]=[i]6([j]6[k]) =[(ijk)(mod6)]。 例如:([4]6[5])6[3]=[2]6[3]=[0] [4]6([5]6[3])=[4]6[3]=[0] [(453)(mod6)]=[60(mod6)]=[0] (3)[1]是幺元。因为 [1]6[i]=[i]6[1]= [(1i)(mod6)] = [i(mod6)]=[i]。
半群
Δ
a
b
c
a
a
b
c
b
aLeabharlann bcca
b
c
验证<S, Δ>是一个半群。
解 从表5-3.1中可知运算Δ是封闭的，同时a,b和c都是左幺 元。所以，对于任意的x,y,zS，都有
xΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)Δz 因此，<S, Δ>是半群。
明显地，代数系统<I+，->和<R，/>都不是半群，这里，和/分别是普通的减法和除法。
当k=4时， *k的运算表如下：
*k 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
找出<Nk，*k>中的等幂元。 0和1都是等幂元。
例题2 设S={a,b,c}，在S上的一个二元运算Δ 定义如表5-3.1 所示。 表5-3.1：
Δ
a
b
c
a
a
b
c
b
a
b
c
c
a
b
c
验证<S, Δ>是一个半群。
因S是一个有限集合，所以必存在 j>i，使得
bi = bj
令
p=j-i 即 j =p+i 代入上式：bi = bp bi
所以， bq = bp bq i≤q
因为p≥1所以总可以找到k≥1，使得 kp≥i ,
对于bkp S，就有 bkp = bp bkp = bp (bp bkp )
本例题的实例见 表5-3.2和表5-3.3
(1)由运算+m和×m的定义，可知它们在Zm上都是封闭的。
(2)对于任意[i]，[j]，[k]Zm ([i]+m[j])+m[k]=[i]+m([j]+m[k])
第5章 群论
主要讨论半群与群两个代数系统
5.1半群
定义5.1半群:(S,)中二元运算“ ”满足结 合律则称此代数系统为半群。
注:半群的子系统是半群。
1
第5章 群论
定义5.2 交换半群:半群(S,)如满足交换律则称其为 可换半群。 定义5.3 单元半群(幺半群):半群(S,)中如存在单位 元则称其为单位半群,也称独异点。
3
实例
例： (1) <Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点。 (2) 设n是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),· >都是半 群，也都是独异点，其中+和· 分别表示矩阵加法和矩阵乘 法。 (3) <P(B),>为半群，也是独异点，其中为集合对称差运 算。 (4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n1}， 为模n加法 。 (5) <R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定义如 下：x, yR*, x◦y=y。
29
第5章 群论
定义5.13:一个阶为n的有限集合S上的所有变换所组成的集 合Sn及其复合运算所构成的变换群(Sn,)称为S的对称群,若有 限集S上若干个变换所组成的集合S及其复合运算所组成的变 换群(S,)称为S的置换群。 由定义可知有限集上的变换群称置换群或对称群。
13
群的性质：方程存在惟一解
例: 设群G=<P({a,b}),>，其中为对称差. 解下列 群方程： {a}X=，Y{a,b}={b} 解 X={a}1={a}={a}， Y={b}{a,b}1={b}{a,b}={a}
半群
1、半群
定理
5-3.1：设<S, ＊>是一个半群, B S , 且 ＊在B上是 封闭的, 那么 <B, ＊>也是一个半群, 通常称<B, ＊> 是半群<S, ＊>的子半群。
1、半群
定理
5-3.1：设<S, ＊>是一个半群, B S , 且 ＊在B上是 封闭的, 那么 <B, ＊>也是一个半群, 通常称<B, ＊> 是半群<S, ＊>的子半群。 例题：教材187页例3
第五章：代数结构
5-3 半群
0、引言
代数系统就是集合上赋予代数结构——运算。 代数系统是一个总称, 具体运算符结合某些律, 就产生
了代数系统的分类。例如：群, 环, 域, 布尔代数等。
1、半群
定义 半群：设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘ 运算是可结合的，则称V为半群.
1、半群
例： <Z+, +>, <Z, +>, <N, +>, < Z+, ×>, < N, ×>等都 是半群。 <Z+, ->, <R, />都不是半群, 这里- , / 分别是普通减 法和除法。(不是代数系统) 教材186页例1, 2
1、半群
教材186页例1, 2
1、半群
教材186页例1, 2
例3 设 S=P ({a,b})，S上的 和 ∼运算的运算表如下
(4) <Zn, >为半群，也是独异点，其中Zn={0,1,…,n 1}， 为模n加法
(5) <AA,◦>为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合运算 f AA，f ◦ IA= IA ◦ f = f
5.3半群
半群的性质
定理5-3.2 有限半群必有等幂元 。 证明：设〈s，*〉是有限半群，只要需证 as，有a*a=a。
bs ，因为运算封闭， b2=b*bs b3，b4 ， …s s有限 ｉ，j(j>ｉ) 有bi=bj。 bi =bj =bj- i * bi。 令p=j－i。当q≥i时 , bq=bp·bq （１）
证明：a) ∵a*a-1=e ∴a是a-1的左逆元 a-1*a=e ∴a是a-1的右逆元
∴(a-1)-1=a b) ∵(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e
∴b-1*a-1是1*（a-1*a）*b＝e
∴b-1*a-1是a*b的左逆元 ∴（a*b）-1=b-1*a-1。 ＃
5.3 半群
群论是代数系统中研究得比较成熟的一个 分支，在计算机形式语言，自动机理论，编码 理论等得到广泛应用。
1
半群
1、定义5-3.1： 具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉称为广群。
定义5-3.2： 满足运算封闭、结合律的代数系统A=＜s，*＞，称为半群，这里
*是二元运算。 定义5-3.3：
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存在幺元的半群称为独异点，也称含幺半群(或单位半群或单元 半群)。
2
半群
例1．a)〈N，x〉〈{0，1}，x〉是半群，是独异点,
〈R，-〉 不是半群。
b) 设s={a，b}，*定义如右表：
即a，b都是右零元。 ∵x,y,zs
* ab
① x*ys ∴运算封闭 ② x*（y*z）=x*z=z
aab
（x*y）*z=z
bab
∴结合律成立。
∴〈s，*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群。
第五章 2半群
5-3 半群(Semigroups)
例5 对任意a, b∈R，规定a b= (a+b)/2，则 是半群。
证明 对于1, 2, 3∈R，有
(1 2) 3
1 2 3
3 2
3
9
2
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1 (2 3) 1
2
3
1
5 2
7
2
24
所以 “ ” 不满足结合律。
故 R, 不是半群。
R,不
5-3 半群(Semigroups)
(6) A≠ ， 2A,
逆元，所以不是群。
是半群，幺元为A，非空集合无
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
(7) A≠ ， 2A,
是半群。 S∈2A，因为
所以幺元为 。 S S S
又因为
所以2A的每个元素以其自S身为逆S 元 。故
是群。
2 A ,
5-4 群与子群(Groups & Subgroups)
5-3 半群(Semigroups)
(a b) b = a b = a = a b =
a (b b)
(b a) a = a a = b = b b =
b (a a)
(b a) b = a b = a = b a =
b (a b)
故 b S(,b
为半(群b。b) a)
a
=
b
a
=
a
=
b
a
=
(b b) b = b b = b = b b =
(b)
(a b) (b1 a1) a (b b1) a1 a e a1 a a1 e,
(b1 a1) (a b) b1 (a1 a) b b1 e b b1 b e.
半群,幺半群和群的关系
例如,全体偶数构成的集合2Z,对普 通数的乘法构成半群,但不是幺半群 .
群的定义
定义（群的定义） G 对“ ”来说是一个群应满足下列四条：
（1） “ ”在 G 中是封闭的（即 “ ”是代数运算） ； （2） “ ”满足结合律 (即 G, 是半群)； （3） {G ,} 中有左单位元 e ， （即 G, 是幺半群） ； （4） {G ,} 中每个元都有左逆元（即 G, 是群） 。
18 不是群， 因为若 A M n (F ) 且 A 0 时，
A 不可逆
A 没有逆元.
19 不是群， 因为除了 外，其它元都没有逆元. 20 不是群， 因为除了 S 外，其它元都没有逆元.
注意：在群 G, 中，通常称“ ”为乘法，因而称群
G 为乘法群。但有时我们会遇到用“加法”做成的群，
例如什么的 1，3，6，9，16.这时，我们称这类群为加 法群。为此，这些群中的单位元习惯上称为零元，并 统记为 0，每个元的逆元习惯上叫做负元，统记为 a ， 而不用 a 1 。 （譬如群 Z , 中的零元为 0，3 的负元为-3）
不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“ ”并不 是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词 汇而已。 同理加法群中的相加， 并非一定是数的相加， 更多的表示“抽象加法”的含义。 例 9 一种重要的群：我们应该能回忆得起第 3 讲 中曾出现过的模 n 的剩余类集合
G 称为 4 次单位根群. G 的元素的运算可用下表给出,这个表
称为群的运算表. 1 -1 i -i
1 1 -1 i -i
-1 -1 1 -i i
i i -i -1 1
-i -i i 1 -1
对于一个集合，要考察它是否作成群，不仅要注意它的 元素是什么，更应注意它的代数运算是什么，因为同一个集 合，对这个代数运算可能作成群，而对另一个代数运算却不 一定作成群；即使对两个不同的代数运算同时都作成群，那 么一般来说，也被认为是两个不同的群． 一个群的代数运算叫什么名称或用什么符号表示，这是 非本质的．因此，在不致发生混淆时，有时为了方便，也常 把群的代数运算叫做 “乘法” ， 并且往往还把 a 或 ab ．
第4讲 半群和群的性质 优质课件
幂等元
定义：代数系统<G,*>中，如果存在a∈G， 有a*a=a，则称a为幂等元。
2019/11/16
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有限半群必存在幂等元
性质：设<S,*>是一个半群，如果S是一 个有限集，则必有a∈S，使得a*a=a.
思路：(构造法) b∈S，由S对*封闭及S有限，则对序列
回顾
{群} {独异点}{半群}
代数系统：
封闭性
半群：
封闭性，可结合性
独异点： (含幺半群)
封闭性，可结合性，有单位元
群
封闭性，可结合性，有单位元，有逆元
2019/11/16
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群的阶和元素的阶
群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G|
元素a 的n 次幂 e n 0
例： G为群，a∈G， |a|=r, 证明|at| = r/(t,r)
证： 令|at| = s, 设(t, r) = d , t =dp, r = dq , r/(t,r) = r/d = q 只要证s = q
(at)q = (at)r/d = (ar)t/d= ep = e s|q (at)s= e ⇒ ats=e ⇒ r | ts ⇒ q | ps q | s （p, q互素）
2019/11/16
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群中幂等元唯一
例：在群<G,*>中，除单位元e外，不可 能有任何别的幂等元(即a*a=a)
证：e*e=e，∴e为幂等元 现设a∈G，a≠e且a*a=a 则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e
2019/11/16
1=a
2019/11/16
第4讲 半群和群的定义和性质
独异点的同构性质
定理 设V=<S,*,e>为独异点，则存在T⊆SS, 使得 <S,*,e>同构于<T,◦,IS> 证：令 ϕ：S→SS, ϕ(a) = fa, 则 ϕ(a*b) = ϕ(a)◦ϕ(b) ϕ(e) = fe = IS, ϕ为独异点V 到<SS,◦,IS>的同态 ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ fa= fb ⇒ ∀x∈S (a*x=b*x) ⇒ a*e = b*e ⇒ a=b , ϕ为单射 令T=ϕ(S)，则T⊆SS, 且ϕ:S→T 为双射， <S,*,e>≅<T,∘,IS>
26
幂运算的性质
定理10.1 幂运算规则 ① (a-1)-1=a ② (ab)-1=b-1a-1 ③ anam=an+m ④ (an)m=anm ⑤ 若G 为Abel 群，则(ab)n=anbn 说明：
等式1 和2 证明用到逆元定义和唯一性 等式3 和4 的证明使用归纳法并加以讨论 等式2 可以推广到有限个元素之积.
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同余关系
相对于某个固定模数 m 的同余关系，是整数间 的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性 质： 自反性：对任意整数a有a≡a（mod m） 对称性：如果a≡b(mod m)则b≡a（mod m） 传递性：如果a≡b (mod m）b≡c（mod m） 则a≡c(mod m) 全体整数集合Z可按模m（m>1）分成一些两 两不交的等价类，称之为同余类或剩余类。
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群的相关术语（定义10.2）
平凡群 只含单位元的群 {e} 有限群与无限群 群G 的阶 G 的基数，通常有限群记为|G|
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由（１），有 bkp=bp*bkp=bP*(bP*bkp)=…=bkp＊bkp，
∴令a=bkps， 则a*a=a。 ∴ bkp是等幂元。＃
半群的性质
2、定理5-3.3 独异点的运算表中任何两行两列均不相同。 证明：设独异点的幺元为e，a，bs，ab ∵a*eb*e ， ＜ｓ，＊＞运算表中ａ，ｂ两行不同。 由ａ，ｂ任意性，运算表中任两行不同。 ∵ e*ae*b ＜ｓ，＊＞运算表中ａ，ｂ二列不同。 由ａ，ｂ任意性，运算表中任两列不同。 ＃
半群的性质
2.半群的性质 定理5-3.1 设〈S，*〉是半群，B S且*在B上是封闭的，那 幺〈B，*〉也是一个半群。通常称〈B，*〉是半 群〈S，*〉的子半群。 证明： 因为*在S上是可结合的，而B S且*在B上是封闭的， 所以*在B上也是可结合的，故〈B，*〉也是一个半群。 ＃
〈N，x〉〈{0，1}，x〉是〈R，x〉的子半群.
半群的性质
3、定理5-3.4 设〈s，*〉的幺元为e,a，bs，若a，b均有
逆元，则 a)（a-1）-1=a; b)（a) ∵a*a-1=e ∴a是a-1的左逆元 a-1*a=e ∴a是a-1的右逆元 ∴(a-1)-1=a b) ∵(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e ∴b-1*a-1是a*b的右逆元 又∵（b-1*a-1）*（a*b）=b-1*（a-1*a）*b＝e ∴b-1*a-1是a*b的左逆元 ∴（a*b）-1=b-1*a-1。 ＃
5.3
半群
群论是代数系统中研究得比较成熟的一个
分支，在计算机形式语言，自动机理论，编码
理论等得到广泛应用。
半群
1、定义5-3.1：
具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉称为广群。 定义5-3.2：
满足运算封闭、结合律的代数系统A=＜s，*＞，称为半群，这里
*是二元运算。 定义5-3.3： 存在幺元的半群称为独异点，也称含幺半群(或单位半群或单元 半群)。
半群
例1．a)〈N，x〉〈{0，1}，x〉是半群，是独异点,
〈R，-〉 不是半群。
b) 设s={a，b}，*定义如右表： 即a，b都是右零元。
∵x,y,zs
* a
b
a a
a
b b
b
① x*ys ∴运算封闭 ② x*（y*z）=x*z=z
（x*y）*z=z
∴结合律成立。
∴〈s，*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群。
半群的性质
定理5-3.2 有限半群必有等幂元 。
证明：设〈s，*〉是有限半群，只要需证 as，有a*a=a。 bs ，因为运算封闭， b2=b*bs b3，b4 ， …s s有限 ｉ，j(j>ｉ) 有bi=bj。
bi =bj =bj- i * bi。
令p=j－i。当q≥i时 , bq=bp· bq 又∵p≥1， ∴k，使k p ≥i ，