25.物体的动态平衡问题解题技巧

物体的动态平衡问题解题技巧湖北省恩施高中 陈恩谱—、总论1、 动态平衡问题的产生 ——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型关键词一一缓慢转动、缓慢移动 ……2、 动态平衡问题的解法一一解析法、图解法解析法一一画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然 后由角度变化分析判断力的变化规律；图解法一一画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的 不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。

3、 动态平衡问题的分类一一动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、其他特殊类型二、例析1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定 一- 动态三角形【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。

设墙面对球的压力大小为F NI ，球对木板的压力大小为F N2。

以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。

不 计摩擦，在此过程中A . F NI 始终减小，F N 2始终增大B . F NI 始终减小，F N 2始终减小C . F NI 先增大后减小，F N 2始终减小D . F NI 先增大后减小，F N 2先减小后增大解法一：解析法一一画受力分析图，正交分解列方程，解出 F NI 、F N 2随夹角变化的函数，然后由函数 讨论；小。

选B 。

解法二： 图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后抓住不变，讨论变化 ”不变的是小球重力和F NI 的方向，然后按 F N 2方向变化规律转动 F N 2，即可看出结果。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形 mg成如右图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F NI 的方向始终水平向右，而F N2的方向逐渐变得竖直。

则由右图可知F NI 、F N 2都一直在减小。

F N 2【解析】小球受力如图，由平衡条件，有F N2sin v - mg = 0F N 2 cos 二-F NI = 0 联立，解得：F N2 -mgmg木板在顺时针放平过程中,0角一直在增大，可知 F NI 、F N 2都一直在减先减小后增大。

选 A 。

解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方 向是确定的，然后按 动态三角形法”的思路分析。

【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合,由 F f 二・F N 可知，tan ：二 J°由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力 mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成 B 角。

则由右图可知，当 B 从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三 角形的三边平行一一相似三角形【例2】半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小 滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 A 点,另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小 球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力 F N 和绳对小球的拉力 F T 的大小变化的情况是A 、F N 变大，F T 变小B 、F N 变小，F T 变大C 、F N 变小，F T 先变小后变大D 、F N 不变，F T 变小解法一：解析法（略）解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个 力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对（X 。

v 1）。

现对木箱施加一拉力F ,使木相做匀速直线运动。

设 F 的方向与水平地面的夹角为中，木箱的速度保持不变，则A . F 先减小后增大B . F 一直增大C . F 一直减小D . F 先增大后减小解法一：解析法一一画受力分析图，止父分解列方程,如图所示，在 B 从0逐渐增大到90°的过程解出F 随夹角B 变化的函数，然后由函数讨论;F N F sin v -mg =0其中 F f 二丁“ Jmg联立，解得:F =cos 日 + 4 sin 日Jmg - 1 F ，其中 tan -<耳1 + A 2 cos （日 _a ）卩1当日=a =arctan —时，F 最小，贝U B 从0逐渐增大到90。

的过程中, [1由数学知识可知【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有F N合应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。

很容易发现，这三个力与.AO0 •的三边始终平行，即力的三角形与似。

则有。

其中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，F N不变，F T变小。

3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定――圆与三角形【例3】在共点力的合成实验中，如图，用A，B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置0,这时两绳套AO , B0的夹角小于90°现在保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使a角变小，那么要使结点仍在位置0,就应该调整弹簧秤B的拉力的大小及B角，则下列调整方法中可行的是A、增大B的拉力，增大B角B、增大B的拉力，B角不变C、增大B的拉力，减小B角D、B的拉力大小不变，增大B角解法一：解析法（略）解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后抓住不变，讨论变化”一一呆持长度不变F A将F A绕橡皮条拉力F端点转动形成一个圆弧，F B的一个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。

【解析】如右图，由于两绳套A0、FB0的夹角小于90 °在力的三角形中，F A、F B的顶角为钝角，当顺时针转动时，F A、F B的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。

由图可知，这个过程中F B—直增大，但B角先减小，再增大。

故选ABC。

4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持不变一一圆与三角形（正弦定理）【例4】如图所示装置，若把整个装置顺时针缓慢转过力F T2的大小变化情况是A、F TI先变小后变大C、F T2一直变小两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角0=120。

不变,90°则在转动过程中，CA绳的拉力F T1, CB绳的拉B、F TI先变大后变小D、F T2最终变为零解法一：解析法1 ――让整个装置顺时针转过一个角度a画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列方程，解出F TI、F T2随a变化的关系式，然后根据的变化求解。

【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设竖直方向夹角为a,则由平衡条件，有/B5Z T2A F T^5c几何三角形：A0^相AC绳与F T1 sin 匚-F T2 sin （ v 「）=0联立，解得mg si n （日—ot ）mg si n ot F T 1，F T 2 ：sin ）sin va 从90。

逐渐减小为0 °则由上式可知：F T 1先变大后变小，F T 2 —直变小。

解法二：解析法2画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，F3,写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据接，形成一个等腰三角形。

F T 2F T 2mgF TIAmg整个装置顺时针缓慢转动mgMN ACG（解析略）F 2F IF TI【解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的【解析】如图，由正弦定理有F T 2为直径的圆周，易知F TI 先变大到最大为圆周直径，然后变小B 角从90。

减小，易知F TI 先变大后变小，F T 2 —直变小。

90°过程的中B 角和mg 保持不变，a 角从30°增大F T 2 一直变小。

答案为： BCDa 、B 的变化规律得到 F TI 、F T 2的变化规律。

5、其他类型【例5】如图所示•用钢筋弯成的支架，水平虚线MN 的上端是半圆形，MN的下端笔直竖立•一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物G •现将轻绳的一端固定于支架上的 A 点，另一端从 C 点处沿支架缓慢地向最高点 B 靠近（C 点与A 点等高），则绳中拉力A .先变大后不变B .先不变后变大C .先不变后变小D .保持不变解法一：解析法一一分两个阶段画受力分析图， 绳端在CN 段、NB 段，在CN 段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系易知 这个夹角保持不变，则易看出结果；在NB 段，左右两侧绳与水平方向夹角也相同， 但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。

解法二：图解法一一画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是 个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的 变化规律。

mg sin( n-对解法三：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的 夹角（180。

一 ®保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的 外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心） ，然后让另两个力的交点在圆周上按F T 1、F T 2的方向变化规律滑动，即可看出结果。

匚”T1、(XF T 2的夹角（180 °- 9保持不变，设另外两个夹角分别为由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小。

选C。

、练习1、如图1所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中（该过程小球未脱离球面且球面始终静止），挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持力F N的变化情况是（）A . F增大，F N减小C . F减小，F N减小B. F增大，F N增大D .F减小，F N增大N将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形,其中重力mg保持不变，F的方向始终水平向左，而F N的方向逐渐变得水平。

则由上图可知F、F N都一直在增大。

故B正确2、如图2所示是一个简易起吊设施的示意图，滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。

现施加一拉力A . BC绳中的拉力F T越来越大C . AC杆中的支撑力F N越来越大AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（）B. BC绳中的拉力F T 越来越小D . AC杆中的支撑力F N越来越小【解析】F N 将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。