25.物体的动态平衡问题解题技巧

物体的动态平衡问题解题技巧

湖北省恩施高中 陈恩谱

—、总论

1、 动态平衡问题的产生 ——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，

但物体仍然平衡，典型关键词

一一缓慢转动、缓慢移动 ……

2、 动态平衡问题的解法一一解析法、图解法

解析法一一画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然 后由角度变化分析判断力的变化规律；

图解法一一画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的 不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。

3、 动态平衡问题的分类一一动态三角形、相似三角形、圆与三角形（

2类）、其他特殊类型

二、例析

1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定 一- 动态三角形

【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为

F NI ，球对木板的压力

大小为F N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不 计摩擦，在此过程中

A . F NI 始终减小，F N 2始终增大

B . F NI 始终减小，F N 2始终减小

C . F NI 先增大后减小，F N 2始终减小

D . F NI 先增大后减小，F N 2先减小后增大

解法一：解析法一一画受力分析图，正交分解列方程，解出 F NI 、F N 2随夹角变化的函数，然后

由函数 讨论；

小。选B 。

解法二： 图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后

抓住不变，讨论变化 ”不变的是小

球重力和F NI 的方向，然后按 F N 2方向变化规律转动 F N 2，即可看出结果。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形 mg

成如右图所示闭合三角形，其中重力

mg 保持不变，F NI 的方向始终水平向右，

而F N2的方向逐渐变得竖直。

则由右图可知F NI 、F N 2都一直在减小。

F N 2

【解析】小球受力如图，由平衡条件，有

F N2sin v - mg = 0

F N 2 cos 二-F NI = 0 联立，解得：F N2 -

mg

mg

木板在顺时针放平过程中,

0角一直在增大，可知 F NI 、F N 2都一直在减

先减小后增大。选 A 。

解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方 向是确定的，然后按 动态三角形法”的思路分析。

【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合,

由 F f 二・F N 可知，tan ：二 J

°

由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三

角形，其中重力 mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成 B 角。

则由右图可知，当 B 从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三 角形的三边平行一一相似三

角形

【例2】半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小 滑轮，滑轮到球面

B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 A 点,

另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小 球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力 F N 和绳对小球的拉力 F T 的大小变化

的情况是

A 、F N 变大，F T 变小

B 、F N 变小，F T 变大

C 、F N 变小，F T 先变小后变大

D 、F N 不变，F T 变小

解法一：解析法（略）

解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个 力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对

（X 。v 1）。现对木箱施加一拉力

F ,

使木相做匀速直线运动。设 F 的方向与水平地面的夹角为

中，木箱的速度保持不变，

则

A . F 先减小后增大

B . F 一直增大

C . F 一直减小

D . F 先增大后减小

解法一：解析法一一

画受力分析图，

止父分解列方程,

如图所示，在 B 从0逐渐增大到90°的过程

解出F 随夹角B 变化的函数，然后由函数讨论;

F N F sin v -mg =0

其中 F f 二丁“ J

mg

联立，解得:

F =

cos 日 + 4 sin 日

J

mg - 1 F ，其中 tan -<

耳1 + A 2 cos （日 _a ）

卩

1

当日=a =arctan —时，F 最小，贝U B 从0逐渐增大到90。的过程中, [1

由数学知识可知

【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为

【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有

F N

合

应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。

很容易发现，这三个力与.AO0 •的三边始终平行，即力的三角形与似。则有。

其中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，F N不变，

F T变小。

3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定

――圆与三角形

【例3】在共点力的合成实验中，如图，用A，B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置0,这时两绳套AO , B0的夹角小于90°现在保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使a角变小，那么要

使结点仍在位置0,就应该调整弹簧秤B的拉力的大小及B角，则下列调整方法中可行的是

A、增大B的拉力，增大B角

B、增大B的拉力，B角不变

C、增大B的拉力，减小B角

D、B的拉力大小不变，增大B角

解法一：解析法（略）

解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后抓住不变，讨

论变化”一一呆持长度不变F A将F A绕橡皮条拉力F端点转动形成一个圆弧，F B的一个端点不动，另一个端

点在圆弧上滑动，即可看出结果。

【解析】如右图，由于两绳套A0、

F

B0的夹角小于90 °在力的三角形中，F A、

F B的顶角为钝角，当顺时针转动时，F A、

F B的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。

由图可知，这个过程中F B—直增大，但B角先减小，再增大。故选ABC。

4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持

不变一一圆与三角形（正弦定理）

【例4】如图所示装置，

若把整个装置顺时针缓慢转过力

F T2的大小变化情况是

A、F TI先变小后变大

C、F T2一直变小

两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角0=120。不变,

90°则在转动过程中，CA绳的拉力F T1, CB绳的拉

B、F TI先变大后变小

D、F T2最终变为零

解法一：解析法1 ――让整个装置顺时针转过一个角度a画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条

件列方程，解出F TI、F T2随a变化的关系式，然后根据的变化求解。

【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设竖直方

向夹角为a,则由平衡条件，有

/B

5Z T2

A F T^5c

几何三角形：A0^相

AC绳与