【教育资料】空间点直线平面的关系,直线平面平行判定及性质教案学习专用

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直线与平面平行的性质教案

直线与平面平行的性质教案教案标题：直线与平面平行的性质一、教学目标：1. 知识目标：了解直线与平面平行的定义和性质。

2. 能力目标：能够判断直线与平面的平行关系，并运用相关性质解决相关问题。

3. 情感目标：培养学生对几何概念的兴趣，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点和难点：1. 重点：直线与平面平行的定义和性质。

2. 难点：运用相关性质解决相关问题。

三、教学内容和方法：1. 教学内容：（1）直线与平面平行的定义；（2）直线与平面平行的性质；（3）相关例题讲解与练习。

2. 教学方法：（1）激发学生兴趣，通过引入生活中的实际例子引出直线与平面平行的概念；（2）通过教师讲解、示范和学生讨论，引导学生理解直线与平面平行的性质；（3）通过例题讲解和练习，巩固和提高学生的理解和运用能力。

四、教学过程：1. 导入：通过展示生活中的实际例子，引出直线与平面平行的概念，激发学生的兴趣。

2. 讲解：教师讲解直线与平面平行的定义和性质，引导学生理解相关概念和性质。

3. 练习：学生进行相关练习，巩固和提高理解和运用能力。

4. 拓展：引导学生运用所学知识解决相关问题，拓展思维能力。

5. 总结：总结直线与平面平行的性质，强化学生对知识点的理解。

五、教学工具：1. 教学PPT；2. 相关教学实例；3. 黑板和粉笔。

六、作业布置：布置相关作业，巩固所学知识，培养学生独立解决问题的能力。

七、教学评价：通过课堂练习和作业评价学生对直线与平面平行性质的掌握程度，及时发现问题并进行针对性辅导。

直线、平面的平行与垂直的判定和性质(精品教案)

卓越个性化教案 GFJW09011学生姓名付海铭年级授课时间教师姓名刘春科课时05-直线、平面的平行与垂直的判定和性质【知识点】（务必背熟一些课本上的和本教案的一些基本图形，这是进行空间想象思考的基础和关键，下面知识点关键记住判定定理和性质定理即可掌握大部分知识点）2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系知识点1：平面的基本性质 ⑴、公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

图形语言表述：符号语言表述;公理1的作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面。

⑵、公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一个平面。

图形语言表述：符号语言表述;公理2的作用;一是确定平面，二是可用其证明点、线共面问题。

⑶、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

图形语言表述：符号语言表述;公理3的作用：其一是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。

符号语言表述：⑷、公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。

知识点2：空间中直线与直线的位置关系等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

异面直线夹角的取值范围:.知识点3：空间中直线与平面之间的位置关系（1）、直线在平面内——有无数个公共点；（2）、直线与平面相交——有且只有一个公共点；（3）、直线与平面平行——没有公共点。

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

知识点4：平面与平面之间的位置关系（1）、两个平面平行——没有公共点；（2）、两个平面相交——有一条公共直线。

★★★等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2.2直线、平面平行的判定及其性质（123）知识点一、直线与平面平行的判定ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a 与平面α平行.（a||b）直线与平面平行的判断判定文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则直线和平面平行（定义）平面外的一条直线一次平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形条件a与α无交点结论a∥αb∥α线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况）※判定定理的证明性质文字描述一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面相交，这条直线和交线平行．图形条件a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∩α＝∅a∥b特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.如果两个平面同时垂直于α∥β2.3直线、平面垂直的判定及其性质与平面⊥，⊥，∩＝B，Ì，Ì⊥⊥“平面内的任意一条直线”“平面内的所有直线”这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ.与棱垂直Ⅱ.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：.α∩β=l α-l-β=90o α⊥β“任何”“随意”“无数”等字眼【方法总结】一．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系

高三数学教案：空间点、直线、平面之间的位置关系【编辑寄语】本教案是我对《点直线平面的位置关系》需要达到的目标进行的归总，希望对老师有所帮助。

第一课时 2.1.1 平面教学要求：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的平面理解平面的无限延展性;正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系;初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化;理解可以作为推理依据的三条公理.教学重点：理解三条公理，能用三种语言分别表示.教学难点：理解三条公理第二课时 2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系教学要求：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直教学重点：掌握平行公理与等角定理.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

教学难点：理解异面直线的定义与所成角第三课时 2.1.3 空间直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学要求：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.教学重点：掌握线面、面面位置关系的图形语言与符号语言. “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

直线、平面平行的判定及其性质教案

直线、平面平行的判定及其性质【复习指导】1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题．2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．基础梳理1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.双基自测1．下面命题中正确的是()．①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④解析①②中两个平面可以相交，③是两个平面平行的定义，④是两个平面平行的判定定理．答案 D2．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案 D3．在空间中，下列命题正确的是()．A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行的判定定理知，B 错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C错误．答案 D4．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()．A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β解析选项A中，如图①，n∥m，m⊥α⇒n⊥α一定成立，A正确；选项B中，如图②，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n互为异面直线，∴B不正确；选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n⇒n⊂α，∴C不正确；选项D中，如图④，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交，∴D不正确. 答案 A5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．解析如图．连AC、BD交O点，连OE，因为OE∥BD1，而OE⊂面ACE，BD1⊄面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案平行考向一直线与平面平行的判定与性质【例1】►如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．求证：PB∥平面ACM.证明连接BD ，MO .在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .【训练1】如图，若P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PCE .证明取PC 的中点M ，连接ME 、MF ，则FM ∥CD 且FM ＝12CD .又∵AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴FM 綉AE ，即四边形AFME 是平行四边形．∴AF ∥ME ，又∵AF ⊄平面PCE ，EM ⊂平面PCE ， ∴AF ∥平面PCE .考向二平面与平面平行的判定与性质【例2】►如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP ∥平面A 1C 1B ；证明连接D 1C ，则MN 为△DD 1C 的中位线，∴MN ∥D 1C .又∵D 1C ∥A 1B ，∴MN ∥A 1B .同理，MP ∥C 1B .而MN 与MP 相交，MN ，MP 在平面MNP 内，A 1B ，C 1B 在平面A 1C 1B内．∴平面MNP ∥平面A 1C 1B .【训练2】如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1. 又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC ，∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綉EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG .∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EF A 1∥平面BCHG .考向三线面平行中的探索问题【例3】►如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1. ∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1. B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.【训练3】如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.证明如下：如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为P A，PD的中点，所以NE綉12AD.又在平行四边形ABCD中，CM綉12AD.所以NE綉MC，即四边形MCEN是平行四边形．所以NM綉EC.又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.考向四线线、线面、面面平行与垂直的综合问题【示例】►如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.证明(1)因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D ⊥BD.(1分)又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .(4分)又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .(6分)(2)如图，连结AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连结EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝12AC .(8分)由棱台定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ， CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .(12分)【试一试】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ；(3)求四面体BDEF 的体积．(1)证明设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连EG ，GH ，由于H 为BC 的中点，故GH 綉12AB .又EF 綉12AB ，∴EF 綉GH .∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB .(2)证明由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC . 又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC . 而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH .∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD . ∴FH ⊥AC .又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB .(3)解 ∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF .∴BF 为四面体BDEF 的高．又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2. V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13.课后作业：1.过平面α外的直线l ,作一组平面与α相交,如果所得的交线为a ,b ,c ,…,则这些交线的位置关系为( )A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或都交于同一点【答案】D 【解】若l ∥α,则a ∥b ∥c ∥…,若l 与α交于一点A 时,则a ,b ,c ,…都交于点A.2.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题:①若l 与m 为异面直线l m α,⊂,∥β,则α∥β; ②若α∥l m βαβ,⊂,⊂,则l ∥m ; ③若l m n l αββγγα⋂=,⋂=,⋂=,∥γ,则m ∥n .其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0【答案】C 【解析】①中当α与β不平行时,也能存在符合题意的l 、m .②中l 与m 也可能异面. ③中 //l l m γββγ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭l ⇒∥m , 同理l ∥n ,则m ∥n ,正确.3.下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内,则a ∥α;②若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α;③若直线l 与平面α平行,则l 与α内的任意一条直线都平行④如果两条平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;⑤若l 与平面α平行,则l 与α内任何一条直线都没有公共点;⑥平行于同一平面的两直线可以相交.A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】a A α⋂=时a α,⊄,∴①错;直线l 与α相交时,l 上有无数个点不在α内,故②错;l ∥α时α,内的直线与l 平行或异面,故③错; a ∥b ,b ∥α时,a ∥α或a α⊂,故④错; l ∥l α,与α无公共点,∴l 与α内任一直线都无公共点,⑤正确; ⑥正确.故选B.4.如图,在空间四边形ABCD 中M AB N AD ,∈,∈,若AN AM MB ND=,则直线MN 与平面BDC 的位置关系是 .【答案】平行【解析】在平面ABD 中AN AM MB ND,=, ∴MN ∥BD . 又MN ⊄平面BCD BD ,⊂平面BCD , ∴MN ∥平面BCD .5.经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作( )A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或无数个【答案】C 【解析】如果这两点所在的直线与平面α平行,则可作一个平面与平面α平行,若所在直线与平面α相交,则不能作平面与平面α平行.6.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α和β平行的是( )A.α和β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l ,m 是平面α内的直线,且l ∥m β,∥βD.l ,m 是两条异面直线,且l ∥m α,∥m α,∥l β,∥β【答案】D 【解析】利用面面平行的判定方法及平行间的转化可知D 正确.7.已知直线m ∥n ,且m ∥α,则n 与α的位置关系是 …( )A.n ∥αB.n α⊂C.n ∥α或n α⊂D.n 与α相交【答案】C 【解析】m ∥n ,且m ∥α,则n ∥α或n α⊂,故选C.8.下列命题:①平行于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两直线平行;③平行于同一直线的两平面平行;④垂直于同一直线的两平面平行.其中正确的有( )A.①②④B.②④C.②③④D.③④【答案】B 【解析】注意平面中成立的几何定理在空间中可能成立,也可能不成立;平行于同一平面的两直线可以相交、异面和平行;平行于同一直线的两平面可以相交.9.设平面α∥平面A B C βαβ,∈,∈,是AB 的中点,当A 、B 分别在α、β内运动时,那么所有的动点C ( )A.不共面B.当且仅当A 、B 在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A 、B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A 、B 如何移动都共面【答案】D 【解析】不论A,B 如何移动,点C 均在与α、β距离相等的平面内,故选D.10.正方体ABCD -1111A B C D 中,E 是1DD 的中点,则1BD 与平面ACE 的位置关系为 .【答案】平行【解析】如图,连接AC 、BD 交于O ,连接EO ,则EO ∥1BD . 又EO ⊂平面1ACE BD ,⊄平面ACE ,故1BD ∥平面ACE .11.考察下列三个命题,在” ”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线α,、β为平面),则此条件为 .① //______m l m α⊂⎫⎪⎬⎪⎭ l ⇒∥α ② ////_____l m m α⎫⎪⎬⎪⎭ l ⇒∥α ③ _______l βαβ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭l ⇒∥α【答案】l α⊄ 【解析】①体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是”l 为平面α外的直线”即”l α⊄”,它同样也适合②③,故填l α⊄.12.如图,在正方体ABCD -1111A B C D 中,E 、F 、G 、H 分别是棱1CC 、11C D 、1D D 、CD 的中点,N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 上及其内部运动,则M 满足条件时,有MN ∥平面11B BDD .【答案】M FH ∈ 【解析】∵HN ∥DB,FH ∥1D D ,∴平面FHN ∥平面11B BDD .故M FH ∈.13.如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面是一直角梯形,AB ∥2CD BA AD CD AB PA ,⊥,=,⊥底面ABCD ,E 为P C 的中点,则B E 与平面P AD 的位置关系是 .【答案】平行【解析】取PD 的中点F ,连接EF ,AF . 在△PCD 中,EF 1//2CD , 又∵AB ∥CD ,且CD =2AB , ∴EF //AB . ∴四边形ABEF 为平行四边形. ∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面PAD AF ,⊂平面P AD , ∴B E ∥平面P AD .14.如图所示,在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,E 、F 分别为AB 、S C 的中点,求证:EF ∥平面SAD .【证法一】作FG ∥DC 交SD 于点G , 则G 为SD 的中点.连接AG ,FG 1//2CD , 又CD //AB E AB ,,且为的中点故FG //AE AEFG ,四边形为平行四边形. ∴EF ∥AG .又∵AG ⊂平面SAD EF ,⊄平面SAD , ∴EF ∥平面SAD .【证法二】取线段CD 的中点M ,连接ME 、MF ,∵E 、F 分别为AB 、S C 的中点, ∴ME ∥AD ,MF ∥SD .又∵ME MF ,⊄平面SAD , ∴ME ∥平面SAD ,MF ∥平面SAD .∵ME 、MF 相交, ∴平面MEF ∥平面SAD . ∵EF ⊂平面MEF ,∴EF ∥平面SAD .15.如图,在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中60ABC ,∠=,P A =AC =2a PB PD a ,==,点E 在PD 上,且PE ∶ED =2∶1,在棱P C 上是否存在一点F ,使BF ∥平面AEC ?证明你的结论.【解】存在,证明如下:取棱P C 的中点F ,线段PE 的中点M ,连接BD .设BD AC O ⋂=. 连接BF ,MF ,BM ,OE .∵PE ∶ED =2∶1,F 为P C 的中点,E 是M D 的中点, ∴MF ∥E C,BM ∥OE .∵MF ⊄平面AEC CE ,⊂平面AEC BM ,⊄平面AEC OE ,⊂平面AEC ,∴MF ∥平面AEC ,BM ∥平面AEC . ∵MF BM M ⋂=, ∴平面BMF ∥平面AEC . 又BF ⊂平面BMF , ∴BF ∥平面AEC .16.如图,在直四棱柱ABCD -1111A B C D 中,底面ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD ,且AB =2CD ,在棱AB 上是否存在一点F ,使平面1C CF∥平面11ADD A ?若存在,求点F 的位置;若不存在,请说明理由.【解】存在这样的点F ,使平面1C CF ∥平面11ADD A ,此时点F为AB 的中点,证明如下:∵AB ∥CD ,AB =2CD ,∴AF //CD . ∴AD ∥CF .又AD ⊂平面11ADD A CF ,⊄平面11ADD A , ∴CF ∥平面11ADD A .又1CC ∥11DD CC ,⊄平面11ADD A , 1DD ⊂平面11ADD A , ∴1CC ∥平面11ADD A . 又1CC 、CF ⊂平面11C CF CC CF C ,⋂=, ∴平面1C CF ∥平面11ADD A .17.如图,ABEDF C 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD 上,OA =1,OD =2,△OAB ,△OAC ,△ODE ,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF ; (2)求棱锥F -OBED 的体积.【解】(1)证明:设G 是线段DA 与EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以OB 1//2DE ,OG =OD同理,设G ′是线段DA 与F C 延长线的交点,有OG ′=OD =2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上, 所以G 与G ′重合.在△GED 和△GFD 中,由OB 1//2DE 和OC 1//2DF ,可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是△GEF的中位线,故BC ∥EF .(2)由OB 1260OE EOB =,=,∠=,知32EOB S=,而△OED 是边长为2的正三角形,故3OED S =. 所以332EOB OED OBED S S S =+=四边形. 过点F 作FQ DG ⊥,交DG 于点Q ,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F -OBED 的高,且3FQ =, 所以-3132F OBED OBED V FQ S =⋅=四边形.18.如图,在长方体ABCD -1111A B C D 中,E 是BC 的中点,M ,N分别是1AE CD ,的中点，12AD AA a AB a ==,=.(1)求证:MN ∥平面11ADD A ; (2)求异面直线A E 和1CD 所成角的余弦值.【解】(1)证明:取CD 的中点K ,连接MK ,NK . ∵M ,N ,K 分别为1AE CD CD ,,的中点,∴MK ∥AD ,NK ∥1DD .∴MK ∥平面11ADD A NK ,∥平面11ADD A .∴平面MNK ∥平面11ADD A . 又∵MN ⊂平面MNK , ∴MN ∥平面11ADD A .(2)取11A D 的中点F ,连接AF ,EF , 则1D F //CE ,从而四边形C EF D 1为平行四边形.11 ∴EF ∥1CD . ∴AEF ∠为异面直线A E 和1CD 所成的角.在△A EF 中,易得1517522a a AF AE EF CD a =,=,==. 由余弦定理,得c os 222885285AE EF AF AEF AE EF +-∠==,⋅ ∴异面直线A E 和1CD 所成角的余弦值为88585.。

空间点直线平面的关系,直线平面平行判定及性质教案

【教学建议】线通过前的位置关系得到直线与平面的三种位置关系，建议用三种语言对比的形式来加深理解；得到直线与平面平行的位置关系后，可以让学生来类比写出三种位置关系及其特点：
直线与平面的位置关系有且只有三种：
（1）直线在平面内一一有无数个公共点.（如直线A'B在平面ABB'A'内）
（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点.（如直线A'B与平面BCC'B'只有一个公共点）
【总结与反思】判断空间中点，直线与平面的位置关系比较抽象，可以作图观
察•一般在长方体模型中进行分析，平常可以多进行此种训练.
【教学建议】本题难度不大但稍微超前，视学生掌握程度选择使用•对于掌握较
好的学生可以适当提及
.是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题：
（2）如果m —二n/八，那么口」.
（3）如果：//-'m:,那么m//\
等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角（或直角）相等..
5.空间两条异面直线的画法..
6.异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个——平面内不经过此点的直线是异面直线•
7•异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直.两条异面直线a,b垂直，记作a_b.
适用学科高中数学
适用年级
高二
人教版区域
知识点直线与平面的位置关系：
I（1）直线在平面内一一
（2）直线与平面相交一-
（3）直线在平面平行一- 直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的性质定理理解直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系

直线与平面平行的判定教案

直线和平面平行的判定一、素质教育目标1、理解并掌握直线和平面平行的判定定理，会运用定理证明直线与平面平行问题；2、领悟将空间的线面平行关系转化为线线平行关系的转化数学思想，同时让学生认识理论来源于实践，并应用于实践．二、教学重点、难点1．教学重点：直线与平面平行的判定定理及应用．2．教学难点：直线与平面平行的判定定理的归纳与灵活运用．三、教学手段及教具准备1、运用多媒体电脑教室，教学课件；2、教具准备：直线2条、平面、长方体模型各一个。

四、教与学双边活动过程设计（一）复习旧知，创设问题情境．师：直线和平面的位置关系有几种，分别是什么？生：直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内；直线和平面相交；直线和平面平行．师：直线和平面平行的定义怎样？生：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行．（二）提出问题.师：可不可以用这个方法判定直线与平面平行？还有没有更好的办法？（三）引导学生探索新知，发现定理.师：直线和平面平行的判定不仅可以根据定义，还有更好的方法．让我们先来观察(动手操作)：【实例1】如图1，将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？（模型演示）【实例2】门框的对边是平行的，如图2，a ∥b ，当门扇绕着一边b 转动时，另一边a 始终与b图1 ——启发学生观察，积极进行思考，探索、总结归纳直线与平面平行的判定定理。

生：不会有公共点，即a 平行于b 所在的平面．由此我们得到：直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号表示为：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α师：从上面的判定定理我们可以得到证明一条直线和一个平面平行的方法，是怎样的？——引导学生深化理解，形成知识方法。

生：只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行，就可断定这条已知直线必和这个平面平行，即：线线平行⇒线面平行．知识及时反馈：在长方体中，指定一条棱所在直线，找出与该棱所在直线平行的平面。

直线平面平行的判定及其性质教案

直线与平面平行的判定和性质（二）新授内容1．如何判定直线与平面平行不能说明直线与平面平行）②直线与平面平行的判定定理面平行。

已知：a⊄α，b⊂α，且a∥b求证：a∥α觉入手如：怎样证明：∵ a∥b∴经过a,b∵a⊄α，b⊂α∴α与β∵b⊂α，且b⊂β∴α∩β=b假设a与α有公共点P，则P∈α点P是a、b的公共点这与a∥b例1：求证：已知：如图空间四边形ABCD中，面BCD证明：连结BDAE＝EB⇒EF∥BDAF＝FDEF ⊄平面BCD ⇒EF∥平面BD ⊂平面BCD评析：要证EF∥平面BCD2．直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，这条直线和交线平行。

已知：a∥α，a⊂β,α∩β＝b求证：a∥b证明：α∩β＝b ⇒b ⊂a a ⊂βa ∥α⇒a ∩b=φ⇒a ∥b b ⊂β评析：证明用到了“同一平面的两直线没有公共点，则它们平行”例2、如图，平面α、β、γ两两相交，a 、b 、c 为三条交线，且a ∥b ，那么a 与c 、b 与c 有什么关系？为什么？师：猜a 与c 什么关系？生：平行师：已知a ∥b 能得出什么结论，怎样又可征得a ∥c解：依题可知：α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β=C ∵a ⊂α,b ⊄α,且a ∥b ∴b ∥α图形多角度展又∵b ⊂β, α∩β=C ∴b ∥c 示，便于观察又∵a ∥b, ∴a ∥c师：b ∥α,过b 且与α相交的平面有多少个？这些交线的位置关系如何？多媒体展示过生：有无数条交线，且它们相互平行。

程注： ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行”②过b 且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这些交线都互相平行 3．练习①能保证直线a 与平面α平行的条件是（ A ） A.a ⊄α,b ⊂α,a ∥bB .b ⊂α,a ∥b C. b ⊂α,c ∥α,a ∥b,a ∥cD. b ⊂α,A ∈a,B ∈a,C ∈b ,D ∈b 且AC ＝BD ②下列命题正确的是（ D F ） A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 若直线a ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a 平行C. 若直线a ∥α,则平面α内任一条直线都与a 平行D. 若直线a ∥α,则平面α内有无数条直线与a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α,b ⊄α，那么b ∥α ③若两直线a 与b 相交，且a 平行于平面α，则b 与α的位置关系是平行或相交④如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一矩形。

直线与平面平行平面与平面平行的判定教案

直线与平面平行、平面与平面平行的判定教案第一课时直线与平面平行、平面与平面平行的判定（一）教学目标 1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理. 3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想. （二）教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用. （三）教学方法借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理，教师给予适当的引导、点拔. 教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入 1．直线和平面平行的重要性 2．问题（1）怎样判定直线与平面平行呢？（2）如图，直线a与平面平行吗？教师讲述直线和平面的重要性并提出问题：怎样判定直线与平面平行？生：直线和平面没有公共点. 师：如图，直线和平面平行吗？生：不好判定. 师：直线与平面平行，可以直接用定义来检验，但“没有公共点”不好验证所以我们来寻找比较实用又便于验证的判定定理. 复习巩固点出主题探索新知一．直线和平面平行的判定 1．问题2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动收的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 2．问题3：如图，如果在平面内有直线b与直线a平行，那么直线a与平面的位置关系如何？是否可以保证直线a与平面平行？ 2．直线和平面平行的判定定理. 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示：教师做实验，学生观察并思考问题. 生：平行师：问题2与问题1有什么区别？生：问题2增加了条件：平面外. 直线平行于平面内直线. 师投影问题3，学生讨论、交流教师引导，要讨论直线a与平面有没有公共点，可转化为下面两个问题：（1）这两条直线是否共面？（2）直线a与平面是否相交？生1：直线a∥直线b，所以a、b共面. 生2：设a、b确定一个平面，且，则A为的公共点，又b为面的公共直线，所以A∈b，即a = A，但a∥b 矛盾∴直线a 与平面不相交. 师：根据刚才分析，我们得出以下定理……… 师：定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行.这是处理空间位置关系一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）. 通过实验，加深理解.通过讨论，培养学生分析问题的能力.画龙点睛，加深对知识理解完善知识结构. 典例分析例1已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点. 求证EF∥平面BCD. 证明：连结BD.在△ABD中，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以EF∥BD. 又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，平面BCD，所以EF∥平面BCD. 师：下面我们来看一个例子（投影例1）师：EF在面BCD外，要证EF∥面BCD，只要证明EF与面BCD内一条直线平行即可，EF与面BCD内哪一条直线平行？生：连结BD，BD即所求师：你能证明吗？学生分析，教师板书启发学生思维，培养学生运用知识分析问题、解决问题的能力. 探索新知二．平面与平面平行的判定例2 给定下列条件①两个平面不相交②两个平面没有公共点③一个平面内所有直线都平行于另一个平面④一个平面内有一条直线平行于另一个平面⑤一个平面内有两条直线平行于另一个平面以上条件能判断两个平面平行的有①②③ 2．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示：教师投影例2并读题，学生先独立思考，再讨论最后回答. 生：由两个平面的位置关系知①正确；由两个平面平行的定义知②③正确；两个平面相交，其中一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，故④⑤错误，选①②③ 师（表扬），如果将条件⑤改为两条相交直线呢？如图，借助长方体模型，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条相交直线A′C′，B′D′平行，由直线与平面平行的判定定理可知，这两条直交直线AC，BD都与平面A′B′C′D′平行.此时，平面ABCD平行于平面A′B′C′D′. 一方面复习巩固已学知识，另一方面通过开放性题目培养学生探索知识的积极性.借助模型解决，一方面起到示范作用，另一方面给学生直观感受，有利定理的掌握. 典例分析例3 已知正方体ABCD �CA1B1C1D1 证：平面AB1D1∥平面C1BD. 证明：因为ABCD �C A1B1C1D1为正方体，所以D1C1∥A1B1，D1C1 = A1B1 又AB∥A1B1，AB = A1B1 所以D1C1BA 为平行四边形. 所以D¬1A∥C1B. 又平面C1BD，平面C1BD 由直线与平面平行的判定定理得D1A∥平面C1BD 同理D1B1∥平面C1BD 又所以平面AB1D1∥平面C1BD. 点评：线线平行线面平行面面平行. 教师投影例题3，并读题师：根据面面平行的判定定理，结论可转化为证面AB1D内有两条相交直线平行于面C1BD，不妨取直线D1A、D1B1，而要证D1A∥面C1BD，证AD1∥BC1即可，怎样证明？学生分析，老师板书，然后师生共同归纳总结. 巩固知识，培养学生转化化归能力随堂练习 1．如图，长方体ABCD �C A′B′C′D′ 中，（1）与AB平行的平面是 . （2）与AA′ 平行的平面是 . （3）与AD平行的平面是 . 2．如图，正方体，E为DD1的中点，试判断BD1与平面AEC的位置关系并说明理由. 3．判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：（1）已知平面，和直线m，n，若则；（2）一个平面内两条不平行直线都平行于另一平面，则； 4．如图，正方体ABCD �C A1B1C1D1 中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB. 5．平面与平面平行的条件可以是（） A．内有无穷多条直线都与平行. B．直线a∥ ，a∥ ，E且直线a不在内，也不在内. C．直线，直线，且a∥ ，b∥ D．内的任何直线都与平行. 学生独立完成答案： 1．（1）面A′B′C′D′，面CC′DD′；（2）面DD′C′C，面BB′C′C；（3）面A′D′B′C′，面BB′C′C. 2．直线BD1∥面AEC. 3．（1）命题不正确；（2）命题正确. 4．提示：容易证明MN∥EF，NA∥EB，进而可证平面AMN∥平面EFDB. 5．D 巩固所学知识归纳总结 1．直线与平面平行的判定 2．平面与平面平行的判定 3．面面平行线面平行线线平行 4．借助模型理解与解题学生归纳、总结、教师点评完善反思、归纳所学知识，提高自我整合知识的能力. 作业 2.2 第一课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1 在正方体ABCD �C A1B1C1D1 中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BB1D1D．【证明】连接AC交BD 于O，连接OE，则OE∥DC，OE = ．∵DC∥D1C1，DC = D1C1，F为D1C1的中点，∴ OE∥D1F，OE = D1F，四边形D1FEO为平行四边形．∴EF∥D1O．又∵EF 平面BB1D1D，D1O 平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D．例2 已知四棱锥P �C ABCD 中，底面ABCD为平行四边形．点M、N、Q分别在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．【证明】∵PM∶ MA = BN∶ND = PQ∶ QD. ∴MQ∥AD，NQ∥BP，而BP 平面PBC，NQ 平面PBC，∴NQ∥平面PBC．又∵ABCD为平行四边形，BC∥AD，∴MQ∥BC，而BC 平面PBC，MQ 平面PBC，∴MQ∥平面PBC．由MQ∩NQ = Q，根据平面与平面平行的判定定理，∴平面MNQ∥平面PBC．【评析】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行．。

必修二空间点直线平面之间的位置关系教案

必修二空间点直线平面之间的位置关系教案一、教学目标：1.了解空间中点、直线、平面的基本概念，并能够准确描述它们之间的位置关系。

2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的几何性质。

3.应用所学知识解决实际问题。

二、教学重点：1.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面相交时的基本属性。

2.能够应用所学知识解决实际问题。

三、教学内容：1.空间中点、直线、平面的概念及其表示方法。

2.直线与直线的位置关系：相交、平行。

3.直线与平面的位置关系：相交于一点、平行于平面。

4.平面与平面的位置关系：相交、平行。

四、教学过程：步骤一：导入新知识（15分钟）1.复习并巩固二维平面几何中的直线和平行线的概念，积累一些直线和平行线的性质；2.通过一些常见的平行线的例子，引出直线和直线、直线和平面、平面和平面之间的位置关系。

步骤二：点、直线、平面的概念及表示方法（10分钟）1.引导学生回顾点、直线、平面的概念和表示方法，使用示意图加深理解；2.提问引导学生思考：点确定直线，直线确定平面，点和平面之间是否必然相交？步骤三：直线与直线的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与直线相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与直线平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤四：直线与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察直线与平面相交于一点时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察直线与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤五：平面与平面的位置关系（15分钟）1.引导学生观察平面与平面相交时的几何性质，总结并记录下来；2.引导学生观察平面与平面平行时的几何性质，总结并记录下来；3.提供一些实例让学生进行练习，巩固所学知识；步骤六：综合应用（15分钟）1.提供一些综合性问题，让学生应用所学知识解决问题；2.引导学生分析问题，并给出解决思路；3.让学生个别或小组合作展开思考，解决问题；4.客观给予学生合理的评价和鼓励。

第三节直线、平面平行的判定与性质教案

第三节直线、平面平行的判定与性质核心素养立意下的命题导向1.结合立体几何的定义、公理，会推导直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理和性质定理，凸显逻辑推理的核心素养．2．常与求几何体的体积计算相结合，会应用直线和平面平行、平面和平面平行的判定定理、性质定理证明空间的线、面平行关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b3.谨记两个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(直线与平面平行的定义)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：选D因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.2．(面面平行的判定定理)设α，β是两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．(平行关系的判定)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥αC．m⊥α，m⊥β，则α∥βD．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析：选C A中，m与n平行、相交或异面，A不正确；B中，n∥α或n⊂α，B不正确；根据线面垂直的性质，C正确；D中，α∥β或α与β相交，D不正确．4．(面面平行的性质定理)设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③二、易错点练清1．(忽视面面平行的条件)下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行．故可知D符合．2．(对空间平行关系相互转化的条件理解不到位)设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．解析：由m⊂α，l∥α不能推出l∥m；由m⊂α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要3．(忽视线面平行的条件)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a与α的位置关系是______________．(2)已知直线a，b和平面α，β，若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是______________．(3)若α∥β，直线a∥α，则a与β的位置关系是___________________________________．解析：(1)由直线与平面平行的判定定理知，a可能平行于α，也可能在α内．(2)当a，b相交时，α∥β；当a，b平行时，α，β平行或相交．(3)当a在β外时，a∥β；当a在β内时，a∥α也成立．答案：(1)a∥α或a⊂α(2)平行或相交(3)a∥β或a⊂β考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)线面平行的判定[例1]如图所示，在空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点．求证：PQ∥平面ABCD.[证明]法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG.在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，所以PG∥平面ABCD.在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以GQ∥平面ABCD.因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，所以平面PQG∥平面ABCD.又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD.法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH.因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH.在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH.又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.考法(二)线面平行的性质定理的应用[例2]如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴AP∥MO.又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD，∴AP∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且AP⊂平面PAHG，∴AP∥GH.[方法技巧]线面平行问题的解题关键(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．(2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．[针对训练]如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO⊂平面EOC，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)如图，取AB的中点N，连接DN，MN.因为M是AE的中点，N是AB的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵在△A1B1C1中，G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴GH与BC确定一个平面α，∴G，H，B，C∈α，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.易证A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，且A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.[方法技巧]1．判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．[提醒]利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线．[针对训练]1.如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四边形EFGH 是平行四边形．答案：平行四边形2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，AB ＝AD ，PA ⊥PD ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝60°，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．(1)证明：平面BMN ∥平面PCD ； (2)若AD ＝6，求三棱锥P -BMN 的体积．解：(1)证明：如图，连接BD . ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为正三角形． ∵M 为AD 的中点，∴BM ⊥AD .∵AD ⊥CD ，CD ⊂平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ∥CD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴BM ∥平面PCD .∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN ∥PD . 又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ∥平面PCD .又BM ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，BM ∩MN ＝M ， ∴平面BMN ∥平面PCD . (2)在(1)中已证BM ⊥AD . ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BM ⊂平面ABCD ， ∴BM ⊥平面PAD .又AD ＝6，∠BAD ＝60°，∴BM ＝3 3. ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，PA ＝PD ＝22AD ＝32， ∴S △PMN ＝14S △PAD ＝14×12×(32)2＝94.∴V P -BMN ＝V B -PMN ＝13S △PMN ·BM ＝13×94×33＝934.考点三平行关系的综合[典例] 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，点C ∈α，点B ∈β，点D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB ＝CF ∶FD . (1)求证：EF ∥平面β；(2)若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC ＝4，BD ＝6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长．[解] (1)证明：①当AB ，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC ＝AC ，平面β∩平面ABDC ＝BD 知，AC ∥BD . ∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD . 又EF ⊄β，BD ⊂β，∴EF ∥平面β.②当AB 与CD 异面时，如图所示，设平面ACD ∩平面β＝HD ，且HD ＝AC ， ∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH ＝AC ， ∴AC ∥HD ，∴四边形ACDH 是平行四边形．在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ，连接EG ，FG ，BH .∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ， ∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ， ∴平面EFG ∥平面β.又EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面β. 综合①②可知，EF ∥平面β.(2)如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME ＝12BD ＝3，MF ＝12AC ＝2.∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角， ∴∠EMF ＝60°或120°. ∴在△EFM 中，由余弦定理得EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF ＝32＋22±2×3×2×12＝13±6，即EF ＝7或EF ＝19. [方法技巧]利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．[针对训练] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E ，F ，G 分别是棱BC ，AD ，PA 的中点． (1)求证：PE ∥平面BFG ；(2)若PD ＝AD ＝1，AB ＝2，求点C 到平面BFG 的距离．解：(1)证明：如图，连接DE .∵在矩形ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点， ∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴DE ∥BF . ∵G 是PA 的中点，∴FG ∥PD .∵PD ⊄平面BFG ，DE ⊄平面BFG ，FG ⊂平面BFG ， BF ⊂平面BFG ，∴PD ∥平面BFG ，DE ∥平面BFG . 又PD ∩DE ＝D ，∴平面PDE ∥平面BFG . ∵PE ⊂平面PDE ，∴PE ∥平面BFG .(2)法一：∵PD ⊥平面ABCD ，FG ∥PD ，∴FG ⊥平面ABCD . 过点C 在平面ABCD 内，作CM ⊥BF ，垂足为M ，则FG ⊥CM . ∵FG ∩BF ＝F ，∴CM ⊥平面BFG ， ∴线段CM 的长是点C 到平面BFG 的距离．在矩形ABCD 中，∵F 是AD 的中点，AD ＝1，AB ＝2，△BCM ∽△FBA ， ∴CM BA ＝BC FB. ∵FB ＝AB 2＋AF 2＝172，BC ＝AD ＝1， ∴CM ＝41717，即点C 到平面BFG 的距离为41717.法二：设点C 到平面BFG 的距离为d . 在矩形ABCD 中，AF ＝12AD ＝12，AB ＝2，∴BF ＝14＋4＝172. ∵PD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BF .∵FG ∥PD ，∴FG ⊥BF ，又FG ＝12PD ＝12，∴△BFG 的面积为12BF ·FG ＝178.∵△BCF 的面积为12BC ·AB ＝1，V C -BFG ＝V G -BCF ， ∴13×178d ＝13×1×12，解得d ＝41717，即点C 到平面BFG 的距离为41717.创新考查方式——领悟高考新动向1.如图，已知底面边长为3且高为1的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，过顶点A 作平面α与侧面BCC 1B 1交于EF ，且EF ∥BC ，若∠FAB ＝x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π6，四边形BCEF 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 由题意得，在Rt △ABF 中，BF ＝AB tan x ，所以y ＝f (x )＝BC ·BF ＝BC ·AB tan x ＝3tan x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π6.由正切函数的图象及性质，可得C 正确．2．(多选)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝22，以下结论正确的为( ) A ．AC ⊥BFB ．三棱锥A -BEF 的体积为定值C ．EF ∥平面ABCDD ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值解析：选ABC 对于A ，∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得AC ⊥平面BDD 1B 1， ∵BF ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BF ，故A 正确；对于B ，∵E ，F ，B 在平面BDD 1B 1上，∴A 到平面BEF 的距离为定值，∵EF ＝22，又B 到直线EF 的距离为1，∴△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积为定值，故B 正确；对于C ，∵EF ∥BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于D，设上底面中心为O，当F与B1重合时，E与O重合，易知两异面直线所成的角是∠A1AO；当E与D1重合时，F与O重合，连接BC1，易知两异面直线所成的角是∠OBC1，可知，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．3.如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥D1D，HN∥BD，∵FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FNH∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN⊂平面FNH，∴MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)4．(2021·福建漳州适应性测试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在正方形D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长为________．解析：由于QB∥平面D1NT，所以点Q在过B且与平面D1NT平行的平面上，如图，取DC的中点E1，取线段AA1上一点G，使A1G＝1，易证平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，AD，交于点E，连接EG，交DD1于点I，显然，平面BGE∩正方形D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI，易求得GI＝10.答案：105．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝23AC＝2，FM＝EN＝13PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：8[课时跟踪检测]1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为() A．若α⊥β，l⊥α，则l∥βB．若a⊥l，b⊥l，则a∥b C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若l⊥α，l⊥β，则α∥β解析：选ABC对于A，由α⊥β，l⊥α，可知l⊂β或l∥β，故A错误；对于B，当a⊥l，b⊥l时，直线a与b可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错误；对于C，当α⊥β，l⊂α时，l可能与平面β平行，也可能斜交，故C错误；对于D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确．2．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是()A．若l上两点到α的距离相等，则l∥αB．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥βD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n解析：选BC对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不与α平行，所以A错误；对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，所以D错误，故选B、C.3．(2021·潍坊期中)m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由已知条件m∥α，结合线面平行的性质定理可得，过直线m作一平面β交α于直线l，则m∥l，从而存在l⊂α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，从而有n∥α.反之，不一定成立，m，n可能相交、平行或异面．所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A. 4．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的棱有()A．0条B．1条C．2条D．1条或2条解析：选C如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2条棱与平面EFGH平行．因此选C. 5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．②③B．③④C．①④D．①②解析：选A对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的；易知②③正确；对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的．故选A.6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：选D m∥α，m∥β，则有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A∉l，α∩β＝l，所以AB∥β，所以C成立；C点可以在平面β内，AC与直线l异面垂直，如图所示，此时AC⊥β不成立，所以D不一定成立．7.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：如图，设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案：18．(2021·苏州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是________(填序号)．解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．答案：②9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．解析：①中，易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B ，可得出AB ∥平面MNP (如图)． ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP . 在②③中不能判定AB ∥平面MNP . 答案：①④10.(2021·武汉模拟)如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，侧面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 的中点． (1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)平面BDE 分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．解：(1)证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，设AC ，BD 的交点为O (图略)，则O 是AC 的中点．又E 是PA 的中点，连接EO ，则EO 是△PAC 的中位线，所以PC ∥EO ，又EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC ∥平面EBD .(2)设三棱锥E -ABD 的体积为V 1，高为h ，四棱锥P -ABCD 的体积为V ，则三棱锥E -ABD 的体积V 1＝13×S △ABD ×h ，因为E 是PA 的中点，所以四棱锥P -ABCD 的高为2h ，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×S四边形ABCD×2h ＝4×13S △ABD ×h ＝4V 1，所以(V －V 1)∶V 1＝3∶1，所以平面BDE 分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3. 11.如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证： (1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG . 证明：(1)如图，连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO . 又BE ⊄平面DMF ， MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG .又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，所以平面BDE ∥平面MNG .12．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .若BE ＝1，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，且AP ＝λPD ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时λ＝32.理由如下：当λ＝32时，AP ＝32PD ，可知AP AD ＝35，如图，过点P 作MP ∥FD 交AF 于点M ，连接EM ，PC ，则有MP FD ＝AP AD ＝35，又BE ＝1，可得FD ＝5，故MP ＝3，又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以CP ∥ME ，又ME ⊂平面ABEF ，CP ⊄平面ABEF ，故有CP ∥平面ABEF .。

直线、平面平行的判定及性质教案

直线、平面平行的判定及性质适用学科数学适用年级高二适用区域新课标课时时长（分钟）60 知识点线面平行的判定面面平行的判定线面平行的性质面面平行的性质平行关系的综合应用教学目标1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．教学重点线与面、面与面平行关系的判定与性质定理教学难点线与面、面与面平行关系的判定与性质定理教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 直线与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行þïýïüa ⊄αb ⊂αb ∥a ⇒a ∥α考点/易错点2 直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行þïýïüa ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b考点/易错点3 平面与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行þïýïüa ⊂αb ⊂αa ∩b ＝P a ∥βb ∥β⇒α∥β考点/易错点4 平面与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行þïýïüα∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b三、例题精析【例题1】【题干】(1)已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线( ) A ．只有一条，不在平面α内 B ．有无数条，不一定在平面α内 C ．只有一条，且在平面α内 D ．有无数条，一定在平面α内(2)已知m ，n ，l1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( ) A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2【答案】 (1) C (2)D 【解析】(1) 由直线l 与点P 可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，有公共点，因此因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m ，因为l ∥α，所以l ∥m ，故过点P 且平行于直线l 的直线只有一条，且在平面α内(2) 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么【解析】(1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，所以MB∥平面DNC. 又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN. 又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC. 所以MA∥平面DNC. 又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC. (2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN. 因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN. 因为BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC. 因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC. 因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.四、课堂运用【基础】1．已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是() A．若n∥α，则α∥β B．若α⊥β，则m∥nC．若m⊥n，则α∥βD．若α∥β，则m⊥n 解析：选D由m⊥α，α∥β，n⊂β⇒m⊥n. 2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线() A．不存在．不存在 B．有1条C．有2条D．有无数条．有无数条解析：选D由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF 平行．平行．3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC，CD的中点，则() A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形是平行四边形解析：选B由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊15BD，∴EF∥面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，的中点，∴HG綊12BD，∴EF∥HG且EF≠HG. ∴四边形EFGH是梯形．是梯形．4．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：为空间的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，a⊥β，则α∥β；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b⊥α，则a∥b. 上述命题中，所有真命题的序号是________．解析：①错误．因为α与β可能相交；③错误．因为直线a与b还可能异面、相交．答案：②④②④5．下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号) 解析：对于①，注意到该正方体的经过直线AB的侧面与平面MNP平行，注意到直线AB和过点A的一个与平面对于②，注意到直线因此直线AB平行于平面MNP；对于②，MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到直线AB 与MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③. 答案：①③①③【巩固】1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内与过B点的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线平行的直线B．只有两条与a平行的直线平行的直线C．存在无数条与a平行的直线平行的直线D．存在唯一与a平行的直线平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线．平行的直线．2．如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°90°. . (1)求证：BE∥平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB＝3，EF＝23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F－BDE的体积为3？解：(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM. 因为CE∥DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM＝CD且EM∥CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE∥AM. 而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，所以BE∥平面ADF. (2)由EF＝23，EM＝AB＝3，得FM＝3且∠MFE＝30°30°. . 由∠DEF＝90°可得FD＝4，从而得DE＝2. 因为BC⊥CD，BC⊥FD，所以BC⊥平面CDFE. 所以，V F－BDE＝V B－DEF＝13S△DEF×BC. 因为S△DEF ＝12DE×EF＝23，V F－BDE＝3，所以BC＝3 2. 综上当BC＝32时，三棱锥F－BDE的体积为 3. 【拔高】1．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n B．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β解析：选D对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．这种情形．2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB. 当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解：法一：如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M. ∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ， ∴OM ⊥底面ABC . 又∵EC ＝2FB ，∴OM 綊FB 綊12EC . ∴四边形OMBF 为矩形． ∴BM ∥OF . 又∵OF ⊂面AEF ，BM ⊄面AEF . 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ ，∴PQ ∥AE .∵EC ＝2FB ， ∴PE 綊BF ，PB ∥EF ，∴PQ ∥平面AEF ，PB ∥平面AEF . 又PQ ∩PB ＝P ， ∴平面PBQ ∥平面AEF ，又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF . 故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．课程小结1.1.平行问题的转化关系：平行问题的转化关系：平行问题的转化关系：线∥线判定判定性质线∥面――→判定性质面∥面性质性质 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，化，即从“线线平行”到“线面平行”，即从“线线平行”到“线面平行”，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；再到“面面平行”；再到“面面平行”；而在性质定理的应而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．决不可过于“模式化”．3．辅助线．辅助线((面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．及相似中有关平行性质的应用．课后作业【基础】1．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则α∥β，b ∥α，故排除C. 2．(2012·浙江模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( ) A ．①或②．①或②B ．②或③．②或③C ．①或③．①或③D ．只有②．只有②解析：选C 由定理“一条直线与一个平面平行，由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C. 3．在空间内，设l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( ) A ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，则l ⊥γB ．l ∥α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥mC ．α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥m ，则l ∥nD ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：选D 对于A ，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B ，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C ，∵如果三个平面两两相交，如果三个平面两两相交，有三条交线，有三条交线，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，那么这三条交线交于一点或相互平行，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴∴该命题是真命题；该命题是真命题；对于对于D ，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D 不正确．不正确．4．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A .C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8则BD 的长为________．解析：如图1，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD . ∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD . ∴P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD . ∴BD ＝245. 如图2，同理可证AB ∥CD . ∴P A PC ＝PBPD ，即63＝BD －88. ∴BD ＝24. 综上所述，BD ＝245或24. 答案：245或24 【巩固】1．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，重合为一点，且该点为且该点为CD 的中点E ，由EMMA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 答案：平面ABC ，平面ABD2.如图，在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．置；若不存在，请说明理由．解：存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB 的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF 綊CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形， ∴AD ∥CF . 又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1. ∴CF ∥平面ADD 1A 1. 又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1， DD 1⊂平面ADD 1A 1， ∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1，CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ， ∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1. 3．如图，点C 是以AB 为直径的圆上一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝12BC ＝2，AC ＝CD ＝3. (1)证明：EO ∥平面ACD ； (2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE ； (3)求三棱锥E －ABD 的体积．的体积．解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，连接OM ，ME . 在△ABC 中，O 为AB 的中点，M 为BC 的中点， ∴OM ∥AC . 在直角梯形BCDE 中，DE ∥BC ，且DE ＝12BC ＝CM ， ∴四边形MCDE 为平行四边形．∴EM ∥DC . ∴平面EMO ∥平面ACD ，又∵EO ⊂平面EMO ， ∴EO ∥平面ACD . (2)证明：∵C 在以AB 为直径的圆上，∴AC ⊥BC . 又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC . ∴AC ⊥平面BCDE . 又∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCDE. (3)由(2)知AC⊥平面BCDE. 又∵S△BDE ＝12×DE×CD＝12×2×3＝3，∴V E－ABD＝V A－BDE＝13×S△BDE×AC＝13×3×3＝3.【拔高】1．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．上的一动点．(1)求该多面体的体积与表面积；求该多面体的体积与表面积；(2)求证：GN⊥AC；(3)当FG＝GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．明．解：(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所以该多面体的体积为12a 3. 表面积为12a2×2＋2a2＋a2＋a2＝(3＋2)a2. (2)连接DB，FN，由四边形ABCD为正方形，且N为AC的中点知B，N，D三点共线，且AC⊥DN. 又∵FD⊥AD，FD⊥CD，AD∩CD＝D，∴FD⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD，∴FD⊥AC. 又DN∩FD＝D，∴AC⊥平面FDN. 又GN⊂平面FDN，∴GN⊥AC. (3)点P与点A重合时，GP∥平面FMC. 取FC的中点H，连接GH，GA，MH. ∵G是DF的中点，∴GH綊12CD. 又M是AB的中点，∴AM綊12CD. ∴GH∥AM且GH＝AM. ∴四边形GHMA是平行四边形．∴GA∥MH. ∵MH⊂平面FMC，GA⊄平面FMC，∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC. 2．如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的角平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．的中点．(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B －DEG的体积．的体积．解：(1)证明：∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°60°. . ∵CD为∠ACB的角平分线，∴∠BCD＝∠ACD＝30°30°. . 3. .. 3211×131 313×3×3232. 。

高二数学二第二章点、直线、平面之间的位置关系直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定【教案】

直线与平面、平面与平面平行的判定C 1BD[知识链接:根据空间问题平面化的思想,因此把找空间平行直线问题转化为找平行四边形或三角形中位线问题,这样就自然想到了找中点。

平行问题找中点解决是个好途径好方法。

这种思想方法是解决立几论证平行问题，培养逻辑思维能力的重要思想方法]学生上黑板板演，其他同学下面做，师生共同评价点明，对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化"的思想方法，为引入新课作铺垫点明证明线面平行的方法及思想（转化的思想)提出课题思考1：如果将上题中正方体中的AB 1 ， AD 1连接构成了一个新的平面AB 1D 1如何证明：平面AB 1D 1∥平面C 1BD[设计意图：说明面面平行证明的必要性，通过提问引入本节课题，并为探寻平面与平面平行判定定理作好准备。

］（二）判定定理的探求过程1、直观感知思考1：根据同学们日常生活的观察,你们能举出平面与平面平行的具体事例吗？生1:教室的天花板与地面给人平行的感觉。

A BC D ABC DD 1A ∥平D 1B 1＝D 1,所以，平面AB 1D 1∥平面C 1BD 。

总结思路，体会思想：面面平行线面平行线线平行。

体会转化思想[设计意图:1与本节开头的问题呼应，并得到了解决2通过问题探究、讨论,思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力.]3练一练,巩固新知练习、棱长为a 的正方体AC1中，设M 、N 、E 、F 分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.(1)求证：E 、F 、B 、D 四点共面；(2)求证:面AMN ∥面EFBD.[设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化定理的运用,特别是通过练习训练，让学生能在复杂的图形中去识图，去寻找分析问题、解决问题的途径与方法,以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。

］N M E F A B C D A CD B4回归生活:你知道建筑师是如何检验屋顶平面是与水平面平行的吗？[设计意图：增强学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值。

《直线和平面平行的判定和性质》第1课时_教案1.doc

§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。

3、情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

二、教学重点、难点重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。

三、学法与教学用具1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。

2、教学用具：投影仪（片）四、教学思想（一）创设情景、揭示课题引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。

（二）研探新知1、投影问题直线a 与平面α平行吗？若α内有直线b 与a 平行，那么α与a 的位置关系如何？是否可以保证直线a 与平面α平行？学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b2、例1 引导学生思考后，师生共同完成该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。

（三）自主学习、发展思维αa α a b练习：教材第57页 1、2题让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。

（四）归纳整理1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。

（五）作业1、教材第64页习题2.2 A组第3题；2、预习：如何判定两个平面平行？。

5.示范教案(2.2.1 直线与平面平行的判定)

2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定整体设计教学分析空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.三维目标1.探究直线与平面平行的判定定理.2.直线与平面平行的判定定理的应用.重点难点如何判定直线与平面平行.课时安排1课时教学过程复习复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.导入新课思路1.(情境导入)将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？图1推进新课新知探究提出问题①回忆空间直线与平面的位置关系.②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.④试证明直线与平面平行的判定定理.活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用反证法证明.讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行.③直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号语言为：.图形语言为：如图2.图2④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.∴a⊂β，b⊂β.∵a⊄α，a⊂β，∴α和β是两个不同平面.∵b⊂α且b⊂β，∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.∴假设错误.故a∥α.应用示例思路1例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证：EF∥面BCD.活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.证明：如图3,连接BD,图3EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.变式训练如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.图4画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB 于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.证明：如图5,图5.所以,BC∥平面MNEF.点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.例2 如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.图6求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.又EF⊂面EFG，AC⊄面EFG,∴AC∥面EFG.同理可证BD∥面EFG.变式训练已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN ∥α.证明：如图7,连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于P 、Q ，连接PQ.图7∵M 、N 分别是△ADB 、△ADC 的重心， ∴NQANMP AM ==2.∴MN ∥PQ. 又PQ ⊂α，MN ⊄α,∴MN ∥α.点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.思路2例题设P 、Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心,如图8, （1）证明PQ ∥平面AA 1B 1B ；（2）求线段PQ 的长.图8(1)证法一：取AA 1,A 1B 1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP ∥AD,MP=AD 21,NQ ∥A 1D 1,NQ=1121D A , ∴MP ∥ND 且MP=ND.∴四边形PQNM 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.∵MN ⊂面AA 1B 1B,PQ ⊄面AA 1B 1B, ∴PQ ∥面AA 1B 1B.证法二：连接AD 1,AB 1,在△AB 1D 1中,显然P,Q 分别是AD 1,D 1B 1的中点,∴PQ ∥AB 1,且PQ=121AB . ∵PQ ⊄面AA 1B 1B,AB 1⊂面AA 1B 1B,∴PQ ∥面AA 1B 1B. (2)解:方法一:PQ=MN=a N A M A 222121=+.方法二：PQ=a AB 22211=. 变式训练如图9，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E=BF.图9求证：EF ∥平面BB 1C 1C.证明：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M. ∵AD ∥BC,∴△AFD ∽△MFB. ∴BF DFFM AF =. 又∵BD=B 1A ，B 1E=BF,∴DF=AE. ∴BFDFFM AF =. ∴EF ∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C. ∴EF ∥平面BB 1C 1C. 知能训练已知四棱锥P —ABCD 的底面为平行四边形,M 为PC 的中点,求证:PA ∥平面MBD. 证明：如图10,连接AC 、BD 交于O 点,连接MO,图10∵O 为AC 的中点,M 为PC 的中点, ∴MO 为△PAC 的中位线. ∴PA ∥MO.∵PA ⊄平面MBD,MO ⊂平面MBD, ∴PA ∥平面MBD. 拓展提升如图11，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于AC,M 是线段EF 的中点.图11求证:AM∥平面BDE.证明：设AC∩BD=O，连接OE，∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，∴四边形AOEM是平行四边形.∴AM∥OE.∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.课堂小结知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.作业课本习题2.2 A组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定.本节不仅选用了大量的传统经典题目，而且还选取了近几年的高考题目.学生通过这些优秀题目的训练，不仅可以熟练掌握线面平行的判定，而且将大大增强学好数学的信心.。

直线平面判定及其性质教案

直线平面判定及其性质教案教案标题：直线平面判定及其性质教案教学目标：1. 理解直线与平面的基本概念。

2. 掌握直线在平面上的判定方法。

3. 理解直线与平面的性质及其相互关系。

教学重点：1. 直线在平面上的判定方法。

2. 直线与平面的性质及其相互关系。

教学难点：1. 理解直线与平面的性质及其相互关系。

2. 运用直线在平面上的判定方法解决问题。

教学准备：1. 教学投影仪和幻灯片。

2. 教学板书工具。

教学过程：Step 1: 引入知识 (5分钟)引导学生回顾直线和平面的基本概念，并提出直线在平面上的判定问题。

通过实例引导学生思考如何判断一条直线是否在一个给定的平面上。

Step 2: 直线在平面上的判定方法 (15分钟)2.1 使用投影法判定直线在平面上的方法。

2.2 使用交线法判定直线在平面上的方法。

2.3 使用夹角法判定直线在平面上的方法。

Step 3: 直线与平面的性质及其相互关系 (20分钟)3.1 直线与平面的交点性质。

3.2 直线与平面的垂直关系。

3.3 直线与平面的平行关系。

Step 4: 综合练习 (15分钟)提供一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。

Step 5: 总结与拓展 (5分钟)总结本节课所学内容，并引导学生思考直线与平面的判定方法和性质的应用场景。

Step 6: 课堂作业 (5分钟)布置课后作业，要求学生练习更多的直线在平面上的判定题目，并思考直线与平面性质的应用。

教学延伸：1. 鼓励学生自主探究直线与平面的判定方法和性质，提高解决问题的能力。

2. 引导学生应用所学知识解决实际生活中的问题，如建筑设计、地理测量等。

教学评估：1. 课堂练习题的完成情况和答案正确率。

2. 学生对直线与平面判定方法和性质的理解程度。

3. 学生在课堂综合练习中的解题能力。

教学反思：本节课通过引入知识、判定方法讲解、性质讲解、综合练习等环节，全面提升学生对直线平面判定及其性质的理解和应用能力。