21.4无理方程.ppt 共13页
21.4 无理方程(1) 课件(13张ppt)
(2).解有理方程；代入无理方程的左、右两边
(3).检验；
若左边=右边，是原方程的根； 若左边≠右边，是原方程的增根，舍去.
(4).写出原方程的根；
解方程
(1). y 2 2
(2). y 2 y
【思考】 如何解下列方程
(1). y 2 - 2 0
(2). y 2 y 0
变形得：y 2 2例1.源自验x=4，x=-1是不是方程x 3x的 4解.
当x=4时
左边= 4
右边= 3 4 4 16 =4
∴左边=右边
∴x=4是方程 x 3x 4的解.
2.思考和尝试
如何解方程 x 3x 4
关键是如何去掉“根号”( a )2 =a 方程两边平方得：x2 ( 3x 4)2
即x2 3x 4 整理得： x2 3x 4 0 解得： x1 4，x2 1 都是原方程的解吗?
(1). 1 x 1 0 2
整式方程
(2). 1 1 0 分式方程 2x
(3). 2x 1 0 整式方程 (4). 2x 1 0 无理方程
(5). x 2 x 1
分式方程
(7). a 1 2x 1 整式方程
(6). x 1 无理方程 x 1
(8). 1 x 1 x3 2x
分式方程
一.问题引入 1.问题 在平面直角坐标系中,点A在x轴上，它与点 B(-1,3)之间的距离为5，求点A的坐标？
若设点A(x，0)， 可得： (x 1)2 9 5
特点：
含有根式 根号内含有未知数
无理方程
是一个方程
二.学习新知识
1.无理方程 方程中含有根式，且被开方数是含有未知
数的代数式，这样的方程叫做无理方程.
检验
§21.4 无理方程(2)
课堂练习 3： 下列方程中，有实数根的方程是： A、 x − 1 + 4 = 0 ； C、 x = − x ； B、 x + 1 = 0 ；
2
学生：C
D、 x + 2 +
x−2 = 0；
1、含一个“根号”的无理方 程的解法； 2、含两个“根号”的无理方 程的解法．
三、本课小结 通过这节课的学习，你有什么收获？
§21．4 无理方程(2) 21． 无理方程(2)
普陀区课题组
教学目标： 教学目标： 1．会解无理方程，并再次规范解题格式； 2．通过无理方程转化为有理方程，感受化归的数学思想． 教学重点： 教学重点：无理方程的解法． 教学难点 难点： 教学难点：含有两个关于未知数二次根式的无理方程的解法． 教学过程： 教学过程： 教师活动 一、复习引入 复习引入 1、解无理方程的一般步骤是什么？ 学生活动 预设： （1） 设计意图
请 2 位同学板演．
及 时 练
3
（1） x − 4 x + 3 = 1 − x ；
2
习，巩固知 识．
（2） x − 2 • （3） x − 7 +
x−3− 2 =0； x = 7。
让学生来 观察和判断 预设： 无理方程有 不能 学生小组交流， 请几位同 无实数根，激 学汇报，并及时的给予评价． 发 学 生 从 另 外的角度来 x + 1 的值是一个非负 分析无理方 数，在加上个 1，和肯定大于 程，使学生养 0，所以原方程没有实数根． 成 良 好 的 观 察和分析习 惯。练习丰富 此方法的适 应类型，让学 生掌握方法， 从而能举一 反三．
x1 = 2, x 2 = 6
这两个解都是原方程的根吗？ 经检验， x = 2 是原方程的 根； x = 6 是增根，舍去． 所以原方程的根是 x = 2． 适 时 小 结，让学生掌 握规律．
21.4无理方程
去根号
解有理方程
检验
否是写出原方程的根 Nhomakorabea舍去
结束
解下列方程：
(1) x2x
(2)x1 x3
(3)5x 25x230
课堂小结
• 什么是无理方程？ • 解无理方程的一般步骤有哪些？ • 解无理方程必须检验，检验的方法是什么？ • 解无理方程的策略是什么？体现了什么数
学思想？
作业布置
21.4（1）无理方程
上海市凌桥中学 陆夏瑛
用一根30cm长的细铁丝弯成一个直角 三角形，使它的一条直角边长为5cm，那 么另一条直角边长为多少厘米？
5
？
x
5x 25x2 30
定义：方程中含有根式，且被开方数 是含有未知数的代数式，这样 的方程叫做无理方程。
有理方程和无理方程统称为初 等代数方程，简称代数方程。
• 练习册21.4（1）
判断下列方程是否为无理方程？
(1) x 2 2 x 0 (2) x 3 4
x (3) x 2 1 7 0 (4) 2 x2 5 x 1 0 (5) 1 3
x
怎样解方程 x 3x4 ？
无理方程 转化
平方
有理方程
为什么会产生增根呢？
归纳
解简单无理方程的一般步骤：
§21.4无理方程(1)
3、将方程 x − 1 − 2 x = 0 化成有理方程．
2
师：强调解形如这样的无理方程的关键是使 二次根式单独在等式一边．
呈 现 一 次平方的其 他题型，移项 后再平方，从 2 解：移项，得 x − 1 = 2 x ． 而巩固解无 理方程的基 2 2 两边同时平方， x − 1 = 4 x ． 得 本思想方法．
2、解简单的无理方程的一般步骤，用流程图 可表述为：
在 学 生 对于解无理 方程有了具 体感受和实 践经验后，师 生一起归纳 解无理方程 的一般步骤， 然后用流程
3
ห้องสมุดไป่ตู้ 图进行表述．
三、巩固练习 1、课后练习 3
2、解方程： x + 2 = − x ．
学生独立完成，两位学生板书， 师生共同纠正 解： 两边平方，得 x + 2 = x ，
问 1：这个方程是今天刚刚学习的无理方程， 答 1：通过去分母，将分式方程 我们还不会求解．回忆一下之前我们是如何 转化为整式方程． 解分式方程的，是将分式方程转化为什么方 程？如何转化？ 问 2：是不是可以将无理方程转化已学习过 的方程来求解呢，转化为什么方程？ 问 3：如何转化？ 根据等式性质，若 p = q ，则 p = q 以
无理方程（ §21.4 无理方程（1）
普陀区课题组
教学目标： 教学目标： 1．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念． 2．经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想． 3．知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法． 教学重点及难点 及难点： 教学重点及难点：无理方程的解法． 教学过程： 教学过程： 教师活动 我们已经学习了整式方程、分式方程， 还有没有其它类型的方程呢？ 学生活动 设计意图 引 发 学 生的思考，带 着困惑和好 奇学习新知．
21.4(2)无理方程
课内练习二 3. 解下列方程:
通过计算，熟悉解无理方程的步骤.
3
教学内容
本课小结 解简单的无理方程
无理方程 转化为
两边平方
教学过程
教后记
对本节课所学知识进行梳理.
有理方程
初中数学电子教案
年级
八年级（第二学期）
课题
21.4（2）无理方程
日期
2009.2
知识与技能
掌握解移项后经过一次或一次以上平方可转化为整式方程的无理方程； 知道无理方程的解需要检验.
教学 目标 过程与方法
经历运用一次或一次以上平方的方法把无理方程转化为整式方程的过 程.
情 感 态 度 与 价 值 观 教 学 重 点 教材 分析 教 学 难 点 相 关 链 接
通过解无理方程，实践解题流程. 将无理方程“有理化”的基本方法是通 过“方程两边同时乘方”从而去掉根号.
让学生尝试解无理方程，感受两种不同 的解方程步骤顺序，经过比较，得出合 理的解题顺序. 指出：什么情况下需要先移项；通常让 二次根式单独留在等号的一边.
2
教学内容
新课探索二 思考 如何解方程:
教学过程
教学中让学生体会化归思想，学会在简单情形中运用化归的基本思想.
按流程正确解无理方程并检验；调整步骤，优化解题过程. 调整步骤，优化解题过程. 完全平方公式、平方与平方根的关系、代入思想、因式分解、一元二次 方程的解法、代数式的值等.
1
教学内容
课前练习一 1. 下列方程中 , 哪几个方程是 无理方程?
布置作业 1. 填空: 加深理解，巩固新知. 2 (1) 方程 x x =0 的根是_____. (2) 如 果 关 于 x 的 无 理 方 程 x 2 =1+k 没有实数根,那么 k 的 取值范围是_______. 2. 选择题: (1) 下列说法中,正确的是 ( ) (A) 方程 x =4 的根是 x=±16; (B) 方 程 2 x 3 =x 的 根 是 x1=3,x2=-1; (C) 方程 2x 1 =x+1 变形所得的 有理方程是 2x-1=x+1. (D) 方程 x 1 +1=0 没有实数解. (2) 如果关于 x 的方程 2 x m =x 有实数根 x=1,那么 m 的值是( ) (A) 1; (B) -1; (C) 0; (D) 2. 3. 解下列方程:
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八
方 年
级
程 第
二 学 期
无忧PPT整理发布
一、课前复习
1.解下列方程：
（1）x1 x+3 （2） x 6 2
解无理方程的一般步骤：
开始Biblioteka 去根号 他项放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解比较简单.
再整理，这样可以简化解题过程. 思考：不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？理 由是什么？ 解无理方程必须要把求得的x的值代入原方程检验. 解含有两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后 解含有两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后
注2：
解无理方程必须要把求得的x的值代入原方程检验.
二、课堂学习
❖例题2：解下列方程
（1） x22 2x1 （2） x2 x1
注3：
解含有两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平 再整理，这样可以简化解题过程.
注4：
如果含两个“根号”的无理方程中还有其他“项”，通常要经过两次平方，才能把原方 转化为有理方程.
注1： 解含有两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后 他项放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解比较简单. 思如考果： 含不两解解个只方“程根含，号你”有能的一判无断理个出方下程“列中根方还程有号的其根他”的“情项的况”无吗，？通理理常要方由经是程过什两时么次？平，方一，才般能把将原“方程根号项”放在方程的一边，把 他解他项只放 含项在有放方一程个在的“另根方一号程边”，的的然无后理另进方一行程平时边方，，一，这般然样将求“后解根比号进较项行简”单放平在. 方方程，的一这边，样把其求解比较简单. 解无理方程必须要把求得的x的值代入原方程检验. 再整理，这样可以简化解题过程.
214 无理方程
21.4 无理方程（1）一、教学目标：（1）理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.（2）了解解无理方程的基本思想:无理方程有理方程；掌握简单无理方程的基本解法，懂得解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.（3）学会归纳总结有关方程的知识系统.二、教学重点、难点：重点：经历解无理方程的过程，归纳、总结解无理方程的一般步骤，掌握简单无理方程的基本解法。
领会无理方程“有理化”的化归思想. 难点：解无理方程可能产生增根的原因.三、教学过程：（一）温故知新1、解分式方程的一般思路.2、有理方程的概念.（二）探索与发现1、问题：用一根30厘米长的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为5厘米，应该怎样弯折？2、问题：观察比较所列方程，看看它们之间有什么区别和联系？（三）学习新知1、给出概念无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.因为方程中含有根式，所以我们也把它叫做根式方程.初等代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程（简称代数方程）.2、巩固概念判断：下列关于x 的方程中哪些是无理方程？21)6(12)3(11113)5(015)2(721)4(015)1(3222=++=+=+++=++=+-=++xx x x x x x x x a x x3、无理方程的解法(1)例1、解下列方程（1）223=+x（2）例2、解下列方程（1）x x =+43 （2）x x -=+43问题：①解无理方程为什么会产生增根？②怎样验根（3）归纳解简单无理方程的一般步骤.（四）巩固练习1、下面四个方程中，有一个根x=2的方程是（ ） (A) 21+=+x x (B) 26=-x (C) x x =+2 (D) 012=++x x2、解方程（1） x x -=+2； （2） 1212-=-x x ；（3）632-=-x x ； （4）22-=-x ；（5） 22=-+x x ，（五）小结1、解决问题的需要2、概念；3、解无理方程的基本思想；4、解无理方程可能产生增根验根；（六）布置作业（1）写出本节课学习要点；（2）练习册 习题21.4(1)（3）解下列方程：045=--x。
21.4 无理方程(原卷版)
21.4 无理方程1．理解代数方程的概念，会熟练解无理方程，进一步体会转化思想在解方程中的运用．2．理解增根的意义，会检验无理方程的根．会结合算术平方根的双重非负性判断无理方程实数根情况．1. 无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程（也叫作根=2=3，等都是无理方程．整式方程与分式方程统称为有理方程．有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．2. 解无理方程将无理方程转化为有理方程，转化的方法是方程两边乘方，去根号．【知识补充】有理方程和无理方程的联系：无理方程式通过“去根号”转化为有理方程，然后求解．解无理方程的一般步骤：３．增根产生的原因：无理方程化为有理方程的过程必须要两边乘方，两个方程未知数的允许取值范围会扩大，这时就产生了增根．所以解无理方程必须检验，而检验只需把有理方程的解代入到原无理方程、看左右两边是否有意义、且左边是否等于右边．４．无解的情况：（1）将无理方程化为有理方程后，有理方程无解．（2）解出的有理方程的根是无理方程的增根．5. 无理方程的实数根情况对于含二次根号的无理方程，结合二次根式的双重非负性可以不解出方程直接判断方程是否有实数根．题型一无理方程的概念【例题1-1】下列说法正确的是（）A．是二项方程B．是无理方程C．是分式方程D．是二元二次方程【例题1-2】下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．；B．；C．；D．．【例题1-3】下列方程中，有实数根的方程是（）A．B．C．D．【变式1-1】以下方程是无理方程的是（）A．B．C．D．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．是分式方程B．是二元二次方程组C．是无理方程D．是二项方程【变式1-3】已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（）A．2x5+b＝0是二项方程B．是分式方程C．2x+5＝x是无理方程D．是二元二次方程组【同步测试1-1】方程（x﹣2）＝0的根是 _____．【同步测试1-2】如果方程无实数解，那么的取值范围是______．【同步测试1-3】如果关于x的方程＝2﹣3a无实数根，那么a的取值范围是_____．题型二解无理方程【例题2-1】方程的解是____________．【例题2-2】解方程：(1)；(2)；(3)【例题2-3】我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式，(1)写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案）(2)已知两个根分式与．①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；②当是一个整数时，求无理数的值．(3)小明在解方程时，采用了下面的方法：去分母，得①可得②①+②，可得将两边平方可解得，经检验：是原方程的解．∴原方程的解为：请你学习小明的方法，解下面的方程：①方程的解是_____________；（直接写出答案）②方程的解是_____________；（直接写出答案）【变式2-1】解方程：．【变式2-2】“转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解二元一次方程组，把它利用消元法转化为一元一次方程；解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解无理方程．解：方程两边同时平方，得：，解这个一元一次方程，得：．检验：当时，左边右边，所以，是原方程的解．通过“方程两边平方”，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验．通过上面的学习，请解决以下两个问题：(1)解无理方程：；(2)如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点的坐标．【变式2-3】类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．【回顾旧知，类比求解】解方程：．解：去根号，两边同时平方得一元一次方程，解这个方程，得______．经检验，______是原方程的解．【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程：（1）；（2）【同步测试2-1】解方程：．【同步测试2-2】阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．(1)问题：方程的解是，，；(2)拓展：用“转化”思想求方程的解．【同步测试2-3】定义：我们将（＋）与（－）称为一对“对偶式”．因为（＋）（－）＝（）2－（）2＝a－b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将（＋）和（－）中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如＝＝3＋2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)请直接写出＋的对偶式_________；(2)已知m＝，n＝，求的值；(3)利用“对偶式”相关知识解方程：－＝2，其中x≤4．【同步测试2-4】解方程(1)解无理方程：﹣＝1；(2)已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．课后限时训练（15min）一、单选题1．已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（）A．2x5+b＝0是二项方程B．是分式方程C．2x+5＝x是无理方程D．是二元二次方程组2．下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．；B．；C．；D．．3．下列说法正确的是( )A．是二项方程B．是二元二次方程C．是分式方程D．是无理方程4．下列方程中，有实数根的方程是（）A．B．C．D．5．下列方程中有实数解的方程是（）A．；B．；C．；D．．二、填空题6．方程＝0的根是______．7．若，则________．8．方程的根为____．9．方程的根是______.10．方程的解是____．三、解答题11．解方程：；12．解方程13．解方程：x﹣＝214．求直角坐标平面内到的距离都等于15的点的坐标．15．解方程：2x1．。
上海初数---八年级-无理方程(1)
21.4无理方程（1）一、问题引入二、讲授新知1、无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。
小结：根号下含有未知数的方程，就是无理方程。
2代数方程整式方程和分式方程统称为有理方程。
有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程。
代数方程的共同特点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算。
3、解无理方程的步骤解无理方程的基本思路：将“无理方程”通过“去根号”转化为“有理方程”，再进行求解（需要检验）。
无理方程检验的主要方法：将解有理方程的根直接代入原方程，检验两边是否相等即可。
课后思考：不计算，判断0122=++=x x x 是不是的根？（提示：可以从根式的意义和结果来判断） 小结：①当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边，然后方程两边同时平方，将这个方程转化为有理方程；②由于这去根号一步骤必需且可能产生增根，因此必须验根； ③对方程变形时，尽量找整数系数方程。
三、归纳小结1、代数方程的共同特点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算；2、解无理方程的基本思路：将“无理方程”通过“去根号”转化为“有理方程”，再进行求解；3、解无理方程，验根是必不可少的。
补充练习：1：下列方程是哪些是关于x 的无理方程?（1）49=；（2）26250-=； （3）1211x -=；（41=；（5）27-=；（6）21x -2：解下列方程：（1x ；（23x =．（3）10x =-；（4）()30x +=；3：解下列方程：（11=+；（2）5x =．补充练习答案：1：下列方程是哪些是关于x 的无理方程?（1）49=；（2）26250-=； （3）1211x -=；（41=；（5）27-=；（6）21x -【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程． 2：解下列方程：（2x ；（23x =．（3）10x =-；（4）()30x +=；【答案】（1）3x =；（2）5x =．（3）20x =；（4）1x =．3：解下列方程：（11=+；（2）5x =．【答案】（1）x =2）4x =．。
21.4(1)无理方程
21．4 (1)无理方程课型：新授课 教时/累计教时：1 /2 主讲人：褚玉叶 教学目标（1）理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.（2）经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.（3）知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.教学重点及难点只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法；对无理方程产生增根的理解.教学媒体：粉笔、多媒体学情分析：学生已基本掌握有理方程的解法课前学生准备：课前预习教材了解本课时的教学内容。
教学过程设计一、 问题引入1．思考直角坐标系中,点A(3,1)与点B(x ,5)之间的距离为5.怎样求点B 的坐标？2．观察思考题中的方程有什么特点？它与前面所学的方程有什么区别？二、 新课学习1、 归纳概念① 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.② 整式方程和分式方程统称为有理方程.③ 有理方程和无理方程统称为代数方程.巩固练习1已知下列关于x 的方程： .3231)6(;21)5(;721)4(;071)3(;015)2(;015122=-++=+=+-=-+=++=++xx x x x x a x x x x x ）（其中无理方程是____________________(填序号).2、 思考与尝试 怎样解方程43+=x x ？3、 归纳方法无理方程 有理方程4、 提问解得有理方程的根1,421-==x x ，它们都是原方程的根吗?5、 讨论方程43+=x x 的根究竟是什么？怎样知道4=x 是原方程的根，而1-=x 不是原方程的根？6、 结论①无理方程在转化成有理方程的过程中，扩大了未知数的允许取值范围（如：,22-≠但22)2(2-=），因此可能产生增根，必须进行检验； ②将有理方程的根分别代入原方程的左边和右边，看左边和右边是否相等，是主要的检验方法.三、 巩固练习课本练习21.4(1) 2、3、4四、 课堂小结通过本堂课你有什么收获?五、 作业布置完成练习册21.4(1)作业六、 教学反思或后记去根号两边同时乘方。
第3节 无理方程
第21章 第三节《无理方程》知识概要 1.无理方程的概念定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫无理方程。
2.代数方程的分类整式方程和分式方程统称为有理方程，有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程。
3.无理方程的求解思路解无理方程的基本思路是去根号，将无理方程转化为有理方程进行求解，再验根，把不符合题意 的根舍去，得到原方程的根。
方程变形的基本依据是等式的性质，解无理方程会涉及到乘方运算，所以要充分利用乘方与开方的运算性质进行同解变形，根据实际问题的背景，最后都需要验根。
经典题型精讲 (一)无理方程的概念例1.在方程x x =+532、23-=+x 、373=-x 、0342=-+x 中，哪些是无理方程?试一试：在方程①0=+x x ，②021=++x ，③07232=-+x x ，④0312=+-+x x ，⑤2113=---x x x ，⑥0251=-+xx 中，是无理方程的是______________.(只要填写方程的序号)例2.不解方程，试说明下列方程为什么无实数根?(1))1(5222+-=+x x (2)1=-+x x (3)119-=+-+x x (4)142=+x试一试：不解方程，说明下列方程是否有实数根：(1)01212=-+-x x (2))()(4)(22b a b a x x b a ≤-=--(3)523=-+-x x (4)012=-++y y(二)无理方程的求解 例3.解下列方程：(1)x x =+32 (2)011=-+-x x (3)3621=-+⋅-x x x试一试：解下列方程：(1)6922=--x x (2)03)2(=--x x (3)0232=--⋅-x x例4.解下列方程：(1)1542++=-x x (2)734=-++x x (3)1342=+-+x x (4)23823=--+x x (5)77=-+x x (6)x x x -=+-1342例5.解下列方程：(1)x x x -=---6112 (2)533265-=---x x x例6.解下列方程：(1)625222=+++x x x x (2)2)5(31522=++++x x x x换元法试一试：解下列方程：(1)215325322=++++x x x x (2)1725210422=+-+-x x x x(3)21212=--+-+x x x x (4)820x -=例7.解下列方程：(1)0226622=-----x x x x x (2)0166422=-----x x x x x例8.解下列方程：(1)335836522-=+-+-+x x x x x (2)14222=+++x x x x试一试：解下列方程：(1)315112622-=+-+--x x x x x (2)x x x x x 242222-=++++(3)1168143=--++--+x x x x(三)无理方程的解的讨论例9.已知关于x 的方程142=+--a x x 有一个增根4=x 。