3.5_向量空间

为两个已知的n维向量 例3：设 a，b为两个已知的 维向量，判断集合 ： ， 为两个已知的 维向量， 解： ∀x1 = λ1a + µ1b, x2 = λ2a + µ 2b ∈ V
是否为向量空间. V = {x = λa + µb λ , µ ∈ R} 是否为向量空间
有x1 + x2 = (λ1 + λ2 )a + ( µ1 + µ 2 )b ∈ V ,
即
(1)
(β1 ,β2 ,L,βn ) = (α1 , α2 ,L, αn )P
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(2)
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其中
P11 P 21 P= M P n1
P12 P22 M Pn 2
L P1 n L P2 n M L Pnn
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β1 = p11α1 + p21α2 +L+ pn1αn , β2 = p12α1 + p22α2 +L+ pn2αn , L L L L L L L L L L L L L βn = p1nα1 + p2nα2 +L+ pnnαn ,
有α + β = ( 0, a2 + b2 ,L , an + bn ) ∈ V1
所以， 向量空间。 所以， V1 是向量空间。 不是向量空间 向量空间。 (2) V2 不是向量空间。
∀λ ∈ R, 有λα = ( 0, λ a2 ,L , λ an ) ∈ V1 .
(1, a 2 ,L, a n )T ∈ V2 , 因为若 α = (2,2a 2 ,L,2a n )T ∉ V2 . 则2α =
1 ( r1 + r2 + r3 ) 3
1 1 − 1 3 1 2 − 1 2 0 3 − 1 2 2 − 4 2
→
1 ( r1 + r2 + r3 ) 3
→
1 1 − 1 3 1 2 − 1 2 0 3 − 1 2 2 − 4 2
V = {x = λ1a1 + λ2a2 + L+ λmam λ1 ,λ2 ,L, λm ∈ R}
二、 向量空间的基与维数
定义2： 是向量空间， 定义 ：设V是向量空间，如果 个向量 α 1 ,α 2 ,L ,α r ∈ V , 是向量空间 如果r个向量 且满足 线性无关。 （1） α 1 ,α 2 ,L ,α r 线性无关。 ） （2）V中任一向量都可由 α 1 ,α 2 ,L ,α r 线性表示， ） 中任一向量都可由 线性表示， 那么，就称向量组 那么，
α 1 ,α 2 ,L ,α r 是向量空间 的 是向量空间V的
一个基， 称为向量空间 称为向量空间V的维数，记作dimV＝r 一个基，r称为向量空间 的维数，记作 ＝ 并称V是 维向量空间 维向量空间。 并称 是r维向量空间。 注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为 。 ）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。 （2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向 ）如果把向量空间看作向量组，可知， 的基就是向 量组的极大无关组 极大无关组， 的维数就是向量组的 的维数就是向量组的秩 量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。 不唯一。 （3）向量空间的基不唯一。 ）向量空间的基不唯一
2 3 − 2 (b1 , b2 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 ) 3 −1 4 3 1 . 2 3
三、向量在基下的坐标
定义3：设向量空间 的基为 定义 ：设向量空间V的基为 α 1 ,α 2 ,L,α r ，对于 ∀ α ∈ V ,
∀ k ∈ R , 有 kx1 = ( k λ1 )a + ( k µ 1 )b ∈ V .
所以V 是一个向量空间 向量空间。 所以 是一个向量空间。 生成的向量空间） （这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间） 这个向量空间成为由向量 ， 生成的向量空间 一般地， 一般地，由向量组
a1 , a2 ,L , am 所生成的向量空间为 生成的向量空间为
3 解： 要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证a1 , a2 , a3 的一个基，
线性无关， 线性无关，即只要证 A ~ E .
设
即
b1 = x11a1 + x 21a 2 + x 31a 3 , b2 = x12 a 1 + x 22 a 2 + x 32 a 3，
x11 (b1 , b2 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31
r2 − 2r1 r3→r1 +
1 1 1 − 1 3 0 − 3 0 2 − 3 0 3 3 − 5 5
r2 − 2r1 r3→r1 +
1 1 1 − 1 3 0 − 3 0 2 − 3 0 3 3 − 5 5
r2 ÷ ( −3)
r3→3 ÷
→
1 1 1 − 1 3 0 1 0 − 2 1 3 5 5 0 1 1 − 3 3
r2 ÷ ( −3)
r3→3 ÷
→
1 1 1 − 1 3 0 1 0 − 2 1 3 5 5 0 1 1 − 3 3
(β1 , β2 ,L, βn ) = (α1 ,α2 ,L,αn )P
(2)
坐标变换公式
2 α α 定理 设Vn中的元素 在基 1 ,α2 ,L,αn下的 ( 坐标是 x1 , x2 ,L, xn ), 在基 1 , β2 ,L, βn下的坐标是 β ′ ′ ( x1 , x2 ,L, x′ ).若两个基满足关系2), 则有坐标变换 ( n 公式: ′ ′ x1 x1 x1 x1 x x2 x′ x′ 2 2 −1 2 M = P M , 或 M = P M x x′ x′ x n n n n
∀α ∈ V , β ∈ V , 有 α + β ∈ V ;
∀α ∈ V , ∀k ∈ R, 有 kα ∈ V .
例1： ： 3维向量的全体 R 3 是一个向量空间。 维向量的全体 是一个向量空间 向量空间。 n维向量的全体 R n ，也是一个向量空间。 维向量的全体 也是一个向量空间 向量空间。
判别下列集合是否为向量空间. 例2: 判别下列集合是否为向量空间.
例4 设矩阵
2 − 1 2 A = ( a1 , a 2 , a 3 ) = 2 − 1 2 , −1 2 2
1 4 B = (b1 , b2 ) = 0 3 , − 4 2
的一个基， 验证a1 , a 2 , a 3 , 是R 3的一个基，并把 b1 , b2用这个基 线性表示 .
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过渡矩阵与基变换公式
同一元素在不同的基下的坐标是不同的，那么， 同一元素在不同的基下的坐标是不同的，那么， 不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？ 不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？
V , 设α1 ,L,αn及β1 ,L, βn是线性空间 n中的两个基 β1 = p11α1 + p21α2 +L+ pn1αn , β2 = p12α1 + p22α2 +L+ pn2αn , L L L L L L L L L L L L L βn = p1nα1 + p2nα2 +L+ pnnαn ,
2 1 B= 0 1
0 − 2 1 1 1 3 , 2 1 1 2 2 2
−1
得
(β1 , β2 ,L, βn ) = (α1 ,α2 ,L,αn )A B.
′ x1 x1 x x′ 2 −1 2 故坐标变换公式为 = B A . M M x′ x n n
(1)
(β1 , β2 ,L, βn ) = (α1 ,α2 ,L,αn )P
(2)
α (1)或(2)称为基变换公式矩阵 称为由基 1 ,α2 , , P β L,αn到基 1 , β2 ,L, βn的过渡矩阵 . β , P . 由于 1 , β2 ,L, βn线性无关故过渡矩阵 可逆
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(3)
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例7
在P[ x]3中取两个基
α1 = x3 + 2x2 − x , α2 = x3 − x2 + x + 1, α3 = −x3 + 2x2 + x + 1, α4 = −x3 − x2 + 1,
及 β1 = 2x3 + x2 + 1, β2 = x2 + 2x + 2,
β3 = −2x3 + x2 + x + 2, β4 = x3 + 3x2 + x + 2.
第3.5节 向量空间 3.5节
主要内容: 主要内容 一．向量空间的概念 二．向量空间的基与维数 三．向量在基下的坐标 四．思考练习题
一、 向量空间的概念
定义1： 维向量的集合，如果集合V 非空， 定义 ： 设 V 为n 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合V 向量空间． 那么就称集合 为向量空间． 说明: 说明: 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指
T 唯一, 表示式 α = x1α 1 + L + xrα r 唯一 称 ( x1 ,L, xr ) 为
在 α 1 ,α 2 ,L,α r 基下的坐标（列向量）． 基下的坐标（列向量）． 维向量， 下的坐标为r维列向 注： α 为n维向量，在V的基 α 1 ,α 2 ,L,α r 下的坐标为 维列向 维向量 的基 量。