高三数学教案

平面向量及其线性运算
教学内容：平面向量及其线性运算（2课时）
教学目标：理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义，掌握平面向量的线性
运算（向量加法、减法、数乘）的性质及其几何意义，理解平面向量共线的条件 和平面向量的基本定理．
教学重点：平面向量的线性运算．
教学难点：用基底表示平面内的向量．
教学用具：三角板
教学设计：
一、知识要点
1. 平面向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量；向量的基本要素：大小和方向.
（2）向量的表示： ①几何表示法；用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的 方向表示向量的方向；②字母表示：a 或AB .
(3) 向量的长度（模）：即向量的大小，记作||a 或||AB .
(4) 特殊的向量：零向量：0||0=⇔=a a ；单位向量：a 为单位向量⇔1||=a .
(5) 相等的向量：大小相等，方向相同的向量.
(6) 相反向量：b a -=⇔a b -=⇔0=+b a .
(7) 平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行(共线)向量，记作a ∥b .
2. 运算 运算法则 运算性质
向量加法 b a +是一个向量， 平行四边形法则
三角形法则 AC BC AB =+ a b b a +=+ ()()a b c a b c ++=++ 向量减法 b a -是一个向量，
三角形法则 AB OA OB =-
()a b a b -=+- AB BA =-
数乘向量 a λ是一个向量,
满足||||||a a λλ=，
0>λ时, a a λ与同向；
0<λ时, a a λ与异向；
0=λ时, 0a λ=. ()()a a λμλμ= ()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ+=+
3.（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平 面内任一向量a ，有且仅有一对实数1λ，2λ，使2211e e a λλ+=. 其中不共线的向量1e ，2e 称为基底.
（2）向量共线定理：向量b 与向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得a b λ=， 即a ∥b ⇔)0(≠=a a b λ.
二、典型例示
例1 判断下列命题是否正确：
① 零向量没有方向；② 两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等； ③ 单位向量都相等；④ 在平行四边形ABCD 中，一定有DC AB =；
⑤ 若b a =，c b =，则c a =；⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；
⑦ b a =的充要条件是||||b a =且a ∥b ；⑧ 向量AB 就是有向线段AB ； ⑨若AB ∥CD ，则直线AB ∥直线CD ；⑩ 两相等向量若共起点，则终点也相同.
解：只有 ④、⑤、⑩ 三个命题正确. 如⑧不正确，是因为有向线段仅仅是向量的直观体 现，我们可以用有向线段AB 来表示向量AB ，但向量AB 可以用不同的有向线段表示，只要 这些有向线段的长度相等方向相同即可，因此向量与有向线段是有区别的.
注：正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提．
例2 （1）化简下列各式：①CA BC AB ++；②BC CD AB ++)(； ③)()(CM BC MB AD +++；④CD OC OA ++-；⑤)(AM AD MB --.
（2）若B 是AC 的中点，则=AB AC ，=AB CA ，=AC BA .
注：正确运用向量的运算法则和运算律进行化简，尤其要注意差向量起点和终点的选择． 例3 已知AB AD 32=，AC AE 3
2=，则DE 等于（ ） A. CB 3
1 B. CB 31- C. CB 3
2 D. CB 32- 注：逆用向量的运算法则，体现逆向思维.
例4 设a AB =，b BC =，c CA =，判断下列命题的真假：（1）若0=++c b a ，则 三个向量可构成ABC ∆；（2）若三个向量可构成ABC ∆，则0=++c b a ；并由此回答下列 问题：若命题甲为0=++c b a ，命题乙为三个向量可构成ABC ∆，则命题甲是命题乙的什 么条件？
注：注意向量运算的几何意义，体现数形结合思想.
例5如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD 且CD AB 2=，M ，N 分别是CD 和AB 的中 点，设a AB =，b AD =，试用a ，b 表示BC 和MN . 解：AB AD AB DC AD BA BC 2
1++-=++= a b AB AD 2
121-=-=； a b AB AD DC AD BA DN AD MA MN 41412121-=-=++=++=. 注：关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径，然后再借助于向量的运算逐步转 化成用基底表示．
三、课堂练习
1．已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 为（ ） A.
4233a b + B. 2433a b + C. 2233a b - D. 2233
a b -+ 2．已知,,AB a BC b CA c ===,则0a b c ++=是,,A B C 三点构成三角形的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
3. 对平面内任意的四点A,B,C,D ，则AB BC CD DA +++= .
4. 化简：
（1）AB BC CD ++=_____________；
（2）AB AD DC --=______________；
（3）()()AB CD AC BD ---=______________.
5. 判断下列命题是否正确
（1）若a b =，则a b =.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形.
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =.
（5）若,a b b c ==，则a c =.
（6）若//,//a b b c ，则//a c .
6. 若3||=a ，5||=b ，b 与a 的方向相反，则=a b .
四、课堂小结
五、课外作业
1．下面给出四个命题：①对于实数m 和向量,a b ，恒有()
m a b ma mb -=-
②对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-
③若(,0),ma mb m R m a b =∈≠=则
④若(0)ma na a =≠，则m=n 其中正确的命题个数是
（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有 ( )
A. 0AD =
B. 00AB AD ==或
C.ABCD 是矩形
D.ABCD 是正方形
3．下列命题中，正确的是（ ）
A.若a b =，则a b =
B. 若a b =，则//a b
C. 若a b >，则a b >
D. 若1a =，则1a =
4. 下列说法中错误的是（ ）
A. 向量AB 的长度与向量BA 的长度相等
B. 任一非零向量都可以平行移动
C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.
5．,,D E F 分别是ABC ∆的边,,BC CA AB 的中点，且,,BC a CA b ==给出下列命题 ①12AD a b =-- ②12BE a b =+ ③ 1122
CF a b =-+ ④0AD BE CF ++=
其中正确的序号是_________。

6．若112()(3)032
x a b c x b --+-+=，则x =__________。

7. 两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是______。

8. 如图，OADB 是以向量,OA a OB b ==为边的平行四边形，又11,33
BM BC CN CD ==，试用,a b 表示,,OM ON MN 。

9. 已知O 是ABC ∆内的一点，若0OA OB OC ++=，
求证：O 是ABC ∆的重心.
10. 在水流速度为43/km h 的河中，如果要使船的速
度行驶方向与两岸垂直，并使船速达到12/km h ，求
船的航行速度与方向。