二次函数家教

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一对一家教教案(二次函数)

1对1辅导教案学生学校年级九年级教师授课日期12月1日授课时段9:00~11:0课题二次函数重点难点重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.难点：⑴二次函数图象的平移；⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.教学步骤及教学内容一. 教学内容：二次函数小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.2. 难点：⑴二次函数图象的平移；⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.三. 知识梳理：1. 二次函数的概念及图象特征二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线．2. 二次函数的性质值函数的图象及性质＞0 ⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当x＝时，函数有最小值；当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大．＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x＝时，函数有最大值；当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小．3. 二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．4. 、、及的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧；a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；⑶设交点式：（a≠0）.6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.【典型例题】例 1. 二次函数y=－x2+2x－1通过向（左、右）平移个单位，再向___________（上、下）平移个单位，便可得到二次函数y=－x2的图象.分析：y=－x2+2x－1的顶点为（3，2），y=－x2的顶点为（0，0），因此可以根据顶点坐标确定平移的方向和距离.解：y=－x2+2x－1=－（x－3）2+2，∴把二次函数y=－x2+2x－1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，便得到y=－x2的图象．例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）A. 5B. 4C. 3D. 2解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号.又a＞0，∴b＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c﹤O. ∴ab＞0，ac﹤0.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0.∵对称轴x=－=－1，∴b=2a. ∴2a+b﹥0当x=－1时，y=a－b+c﹤0. ∴选C.例3. 如图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（）A. －B. 0C. －或0 D. 1分析：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点A在原点右侧时，x A=OA；当点A在原点左侧时，x A+OA=0（注：点A在x轴上）.解：设OB=x，则OA=3x（x﹥0），则B（－x，0），A（3x，0）.∵－x，3x是方程－x2+2（m+1）x+m+3=0的根，∴－x+3x=2（m+1），－x·3x=－m－3.解得m1=0，m2=－.又∵x﹥0，∴m=－不合题意.∴m=0，因此选B.例4. 已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值.分析：二次函数y=ax2+bx+c有最大（小）值a﹤0（a＞0）.解：∵二次函数y=mx2+（m－1）x+m+1有最小值为0，∴即解得m=1.例5. 已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.分析：这个函数是二次函数，应注意m+6≠0这个条件.解：∵二次函数y=（m+6）x2+2（m－l）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，∴∴m≤－且m≠－6.例6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）分析：由已知条件知，抛物线经过原点O（0，0）、C（10，0），顶点的纵坐标为（4. 9－2. 4）=2. 5. 由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看y=4－2. 4=1. 6时，求出x的值.解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为=5，纵坐标为4. 9－2. 4=2. 5，C点坐标为（0，0），∴设抛物线的函数关系式为y=a（x－5）2+2. 5.把（0，0）或（10，0）代入上式，得0=25a+2. 5. 解得a=－.∴y=－（x－5）2+2. 5.当y=4－2. 4=1. 6时，1. 6=－（x－5）2+2. 5.解得x1=8，x2=2（不合题意，舍去）.∴x=8，∴OC－x=10－8=2（米）.故汽车离开右壁至少2米，才不会碰到顶部.点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意（1）顶点纵坐标是（4. 9－2. 4）而不是4. 9；（2）求出的x=2是汽车的右侧离开隧道右壁的距离（因为该隧道是双向的，因此会出现两种情况），若改为“汽车离开隧道壁多少米才不至于碰隧道顶部”，则x1=2，x2=8都合题意.例7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。

求函数解析式.(第二次家教)

求函数解析式代入法拼凑法换元法待定系数法赋值法例：已知f (x) = x 2 －3，求f (x +x1) 例：已知f (x +x 1) = x 2 －3 +21x，求f (x)及定义域例：设函数f (x)的定义域为Ｒ，满足f (x)=f (x1)l g x +1 ，求f (x) 例：若f (x)、g (x)分别为奇函数、偶函数，且f (x)＋g (x)＝11-x ，求f (x)、g (x) 求函数的定义域当函数的解析式为以下情况时，定义域情况为：1．函数的解析式为多项式时，定义域是R例：f(x)=2 x 2 + 3 x + 12．函数的解析式为分式时，分母不为0例：f(x)=11+x 3．函数的解析式为偶次根式时，被开方数非负；为奇次根式时，定义域为R例：f(x)=452+x 例：f(x)=36+x4．对数的真数大于0，底数大于0，且不等于15．例：f(x)= log 3(1-x)5．零的零次幂，零的负数次幂无意义例：f(x)= x 06．三角函数中，正、余弦，正、余切定义域例：f(x)=sinx x ∈Rf(x)=cosx x ∈Rf(x)=tanx x ∈R ，且x ≠ππk +2，Z k ∈7．注意实际问题和几何问题中自变量的有效性8．函数定义域应是自变量满足所有条件的集合的交集例：f(x)=)2lg(1522x x x -+-- 10．复合函数的定义域①已知f(x)定义域［a,b ］,求f[g(x)]定义域例：已知f(x)定义域为［０，１］，求f(x ２)定义域已知f(x)定义域为［-1，１］，求f(lnx)定义域②已知f[g(x)]定义域，求f(x)定义域例：已知f( 2x - 1)= 2x – 1,求f(x)定义域③已知f[g(x)]定义域，求f[h(x)]定义域例：已知f( 2x )定义域［－１，１］，则求y = f(log 2x)定义域④.已知某函数的定义域，求这个函数中的字母参数的取值范围例：若函数y ＝3452+++kx kx kx 的定义域为Ｒ，求实数k 的取值范围．例：若函数f(x)= )8(62++-k kx kx 定义域为Ｒ，求实数k 的取值范围．求函数的值域１．观察法例：求y =41--x 的值域例：求y = 11+-x x e e 的值域２．二次函数在某区间上的值域：配方法①定义域为Ｒ当a ＞０时，y ∈ ab ac 44[2-,+)∞ 当a ＜０时，y ∈-∞(,]442ab ac - ②定义域为［a ，b ］例：⑴ y = x 2 + 2 x – 3 (- 5≤x ≤-2)⑵ y = x - x 2 (-1≤x ≤1)例：⑴ y = 245x x -+⑵ y = lg2x + lg(4－x)变形题：设函数f (x) = log 2(x 2 + ax - a)，若f (x)的定义域是Ｒ，则a 的取值（），若f (x)的值域是Ｒ，则a的取值范围是（）３．形如y = d cx b ax ++(c ≠0，ad≠bc)的值域是：y ∈R ，且y ≠c a 例：求y = x x -+11 、y = 234+x 、y = 312+x （一次函数）的值域４．形如y = r qx px c bx ax ++++22(p x 2 + q x + r ≠0)，可以化成x 的二次方程，用判别式法求值域分式形式：分子、分母有一个或二个二次式注意：y = pa 时，x 的存在性 ①定义域为使分母≠０的x 的取值范围例：求y = 21x x -的值域例：求y = 212x x+的值域变形题⑴已知函数y = 12++x b ax （R x ∈）的值域是［－１，４］，求常数a ，b②定义域为［a ，b ］例：函数y = xx x 32+-的定义域是（０，＋∞），求值域５．换元法例：形如y = ax + b +d cx +,换元为二次函数求y = x + x 21-的值域例：求y =sin 2x –sinx +1的值域例：三角换元法①如果实数x ，y 满足122=+y x ，求（１－xy ）(1 + xy)的值域②如果正实数x ，y 满足122=+y x ，求（１－xy ）(1 + xy)的值域 ③如果实数x ，y 满足322=+y x ，求（１－xy ）(1 + xy)的值域６．利用不等式的性质例：求y = x +11-x 的值域例：求y = x +x1在区间（０，21）的值域例：求y =4522++x x 的值域例：设x>1, 求y = 1102-x x的值域７．利用三角函数的性质例：求y = cos 2x － sin 2x + 2cosxsinx 的值域８．逆求法例：求y = 11+-x x e e 的值域例：求y = x --111的值域９．数形结合法例：求y =｜x + 1| +2)2(-x 的值域例：求y = |1|)31(-x 的值域例：求y = 2cos 1sin --θθ的值域例：求y =2cos 31sin 2+-αα的值域例：已知422=+y x ，求４x + 3 y 的取值范围１０．利用函数的单调性例：求y = x +12-x 的值域例：求y = x －x1的值域１１．导数法例：:求函数y = x 3－3x 2－9x+5在区间[－4,4]上的值域例：求函数y = x x -++612的值域１２．A 、B 在直线l 的同（异）侧，可在l 上求一点M ，使得｜MA ｜＋｜ＭＢ｜有最小值，｜MA ｜－｜ＭＢ｜有最大值例：已知两点A （－３，３），B （５，１），在x 轴上求一点Ｐ，使得｜PA ｜+｜ＰＢ｜有最小值，求点Ｐ的坐标。

二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义二、考点分析考点一、图象1、根据二次函数图象提供(de)信息,判断与a、b、c相关(de)代数式是否成立例1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）(de)图象如图1所示,有下列5个结论：①；②；③；④；⑤,（(de)实数）其中正确(de)结论有（）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个2、根据二次函数图象提供(de)信息,比较与a、b、c相关(de)代数式(de)大小例2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）(de)图象如图2所示,且P=| a－b＋c |＋| 2a＋b |,Q=| a＋b＋c |＋| 2a－b |,则P、Q(de)大小关系为 .3、根据二次函数图象提供(de)信息,确定对应一元二次方程(de)解例3、已知二次函数(de)部分图象如图所示,则关于(de)一元二次方程(de)解为 .4、根据二次函数图象提供(de)信息,确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标(de)点(de)位置例4、已知二次函数(de)图象如图所示,则点在第象限.5、根据二次函数图象提供(de)信息,确定两个函数在同一坐标系中(de)大致图象例5、在同一平面直角坐标系中,直线y=ax+b和y=ax2+bx+c(de)图象只可能是——.6、根据二次函数图象提供(de)信息,确定某一个待定系数(de)范围例6、如图6所示(de)抛物线是二次函数(de)图象,那么(de)值是 .考点2、考抛物线(de)解析式求二次函数(de)解析式,是重点内容.1、已知抛物线上任意(de)三个点(de)坐标,求解析式例1、已知抛物线经过点A（1,2）、B（2,2）、C（3,4）,求抛物线(de)解析式.2、已知抛物线与x轴(de)交点坐标,和某一个点(de)坐标,求解析式例2、已知抛物线与x轴(de)交点是A（-2,0）、B（1,0）,且经过点C（2,8）.求该抛物线(de)解析式.3、已知抛物线(de)顶点坐标,和某一个点(de)坐标,求解析式例3、在直角坐标平面内,二次函数图象(de)顶点为A（1,-4）,且过点B（3,0）．求该二次函数(de)解析式.4、已知抛物线(de)对称轴,和某两个点(de)坐标,求解析式例4、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为20米,水位上升3米就达到警戒水位线CD,这时水面(de)宽度为10米.请你在如图所示(de)平面直角坐标系中,求出二次函数(de)解析式.5、已知一个抛物线(de)解析式,求平移(de)函数解析式例5、将抛物线y=x2(de)图象向右平移3个单位,接着再向上平移6个单位,则平移后(de)抛物线(de)解析式为___________.例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线(de)表达式为例7、在同一坐标平面内,图象不可能由函数 y=2x2+1 (de)图象通过平移变换、轴对称变换得到(de)函数是（）Ａ． y=2（x+1）2-1 Ｂ． y=2x2+3 Ｃ． y=-2x2-1 Ｄ．6、抛物线关于x轴对称(de)抛物线(de)解析式结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴(de)对称抛物线为：y=-（a2x+bx+c）.例8、抛物线 y=2（x-1）2+3关于x轴对称(de)抛物线(de)解析式为 .7、抛物线关于y轴对称(de)抛物线(de)解析式结论：抛物线y= a2x+bx+c关于y 轴(de)对称抛物线为：y=a2x-bx+c.例9、抛物线 y=2（x-1）2+3关于y轴对称(de)抛物线(de)解析式为 .8、抛物线关于原点轴对称(de)抛物线(de)解析式结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴(de)对称抛物线为：y=-a2x+bx-c.例10、抛物线 y=2（x-1）2+3关于原点对称(de)抛物线(de)解析式为 .考点3、图形面积最优化问题1、只围二边(de)矩形(de)面积最值问题例1、如图1,用长为18米(de)篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃.（1）设矩形(de)一边长为x（米）,面积为y（平方米）,求y关于x(de)函数关系式；（2）当x为何值时,所围成(de)苗圃面积最大最大面积是多少2、只围三边(de)矩形(de)面积最值例2、如图2,用长为50米(de)篱笆围成一个养鸡场,养鸡场(de)一面靠墙.问如何围,才能使养鸡场(de)面积最大4、截出图形面积(de)最值问题例4、如图4,△ABC是一块锐角三角形(de)余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成长方形零件PQMN ,使长方形PQMN(de)边QM在BC上,其余两点P、N在AB、AC上.（1）问如何截才能使长方形PQMN(de)面积S最大（2）在这个长方形零件PQMN面积最大时,能否将余下(de)材料△APN、△BPQ △NMC 剪下再拼成（不计接缝用料和损耗）一个与长方形零件PQMN大小一样(de)长方形若能,给出一种拼法；若不能,试说明理由.5、采光面积(de)最值例5、用19米长(de)铝合金条制成如图所示(de)矩形(de)窗框.（1）求窗框(de)透光面积S（平方米）与窗框(de)宽x（米）之间(de)函数关系式；（2）求自变量x(de)取值范围；（3）问如何设计才能使窗框透过(de)面积最大最大(de)透光面积是多少三、课堂练习一、选择题： 1.抛物线3)2(2+-=x y (de)对称轴是（） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=xD. 直线2=x2.二次函数c bx ax y ++=2(de)图象如右图,则点),(ac b M 在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3.已知二次函数c bx ax y ++=2,且0<a ,0>+-c b a ,则一定有（） A. 042>-ac bB. 042=-ac bC. 042<-ac bD. ac b 42-≤04.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象(de)解析式是532+-=x x y ,则有（）A. 3=b ,7=cB. 9-=b ,15-=cC. 3=b ,3=cD. 9-=b ,21=c5.已知反比例函数xk y =(de)图象如右图所示,则二次函数222k x kx y +-=(de)图象大致为（）OxyAO xyBO xyCOxyD6.下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数O xyOxy校长签字： ___________ 家长签字：___________。

二次函数一对一讲义

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教师简介
1、学而思教研中心主任，北京中考中心专家成员 2、2010、2011年学而思“优秀教师”奖年学秀教师奖 3、2012年学而思“卓越教师”（全学而思5人） 4、执行主编书籍《培优辅导》跟踪练习系列书籍； 5、执行主编《几何辅助线秘籍》书籍 6、其学员数十人在各大杯赛中获奖近百人考入各省市一流顶尖高中名校。 6、其学员数十人在各大杯赛中获奖，近百人考入各省市流顶尖高中名校。
韩春成—源于学而思培优学而思初中教研中心主任我的课程QQ：2867251154 我的
二次函数定义、图象及性质
【核心知识点梳理】 1、二次函数的定义——两个考点
2、图像及性质——抓住“a、b、c” 图像及性质抓住“ ”
3 最值问题——“配方法”或“顶点法பைடு நூலகம் 3、最值问题配方法或顶点法
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二次函数三大解析式求法及转换
解析式三种表达方式： 1、一般式： 1 般式 2、顶点式： 3、交点式：
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二次函数实际应用题
二次函数应用题热门题型 1 最大利润问题 1、最大利润问题——两个公式两个公式
2、根据实际问题建系问题——灵活 3、与几何综合实际问题
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教师简介
1、学而思教研中心主任，北京中考中心专家成员 1 学思教研中主任北京中考中专家成员 2、2010、2011年学而思“优秀教师”奖 3、2012年学而思“卓越教师”（全学而思5人） “卓 ”（ 4、执行主编书籍《培优辅导》跟踪练习系列书籍； 5、执行主编《几何辅助线秘籍》书籍 6、其学员数十人在各大杯赛中获奖，近百人考入各省市一流顶尖高中名校。
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二次函数三大图像变换

数学《二次函数》优秀教案（精选8篇）

数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案（精选8篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。

优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编收集整理的数学《二次函数》优秀教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标（一）教学知识点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

2、进一步发展估算能力。

（二）能力训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。

2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想。

（三）情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。

教学重点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学方法学生合作交流学习法。

教具准备投影片三张第一张：（记作§2.8.2A）第二张：（记作§2.8.2B）第三张：（记作§2.8.2C）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可。

但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算。

本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根。

数学《二次函数》优秀教案篇2一.学习目标1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

二次函数一对一辅导讲义（1对1辅导精品）

二次函数一对一辅导讲义（1对1辅导精品）教学目标1、使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。

2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

重点、难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

考点及考试要求考点1：二次函数的有关概念考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系考点3：二次函数在生活中的运用教学内容第一课时二次函数知识重要考点（1）考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。

（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。

（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数（c bx ax ++2为整式）典型例题：例1：函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， )（2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0），对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x= 22x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为；对称轴是。

例2：二次函数y=-4（1+2x ）（x-3）的一般形式是。

一对一标准教案模板二次函数教案.doc

§第三讲二次函数图象和性质第上讲年级:初三学科:数学教师：胡老师日期：2012.12.2•【教学目标】1.理解二次函数概念、性质、含画二次函数的图像。

2.能确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及抛物线与坐标轴的交点坐标。

3.含根据不同条件确定二次函数的解析式。

4.灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题。

•【重点难点】重点是二次函数概念、性质5准点是灵活运用函数思想，数形结合思想解决实际问题。

•【基础知识】1.二次函数的解析式：(1)一般式：____________ ;(2)顶点式：__________3.二次函数y = a(x-h)2+k的图像和性质a >0a <0图象i\L/k_L kV/0 八开口对称轴顶点坐标最值当X=_时，y有最_值当X =—时，y有最值增减性在对称轴左侧y随x的增大而____ y随x的增大而_____ 在对称轴右侧y随x的增大而____ y随x的增大而____4.二次函数y = 用配方法可化成y = 的形式，其中5.二次函数y = a（x-hV + k的图像和y = o?图像的关系.6.二次函数y = ax~ +bx + c中Q,b,c的符号的确定.•【例题讲解】例1. （2010成都）28 （共12分）.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax~ +bx + c与A•轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,点A的坐标为（-3,0）,若将经过*、C两点的直线y = kx + b沿），轴的下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x = —2 ・（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC ±一点，设\ABP. \BPC的面积分别为S AW、S Am，且S MBP : S/PC =2:3,求点P的坐标；（3）设Q的半径为1,圆心。

在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由.并探究：若设OQ 的半径为矿，圆心。

初中一对一培训教案二次函数复习

学生姓名原就读学校年级授课时间教师姓名教学内容二次函数复习教学目标二次函数的应用与综合教学重、难点二次函数的应用一、主要知识点回顾1．二次函数的形式有三种：（1）2y ax bx c =++；其中抛物线的顶点坐标是，对称轴是。

（2）()2y a x h k =-+，其中抛物线的顶点坐标是，对称轴是。

（3）()()12y a x x x x =--，其中12,x x 是抛物线与横轴两个交点的横坐标。

2．二次函数的移动：由2y ax =得到()2y a x h k =-+的图象的移动法则。

3．二次函数的性质（1）二次函数()2, 0y ax bx c a =++≠的图象是抛物线，它与y 轴的交点为（0，c ）。

（2）①当a ＞0时，抛物线开口向上，有最低点，即当=x 2b a -时，函数有最小值，244ac b y a-=最小值；②当a ＜0时，抛物线开口向下，有最高点，即当x =2b a -时，函数有最大值，244ac b y a-=最大值。

4．灵活运用待定系数法求二次函数的解析式（1）已知函数三点坐标可设二次函数解析式为一般式：()20y ax bx c a =++≠；（2）已知顶点、对称轴、最值时，可设二次函数解析式为顶点式：()()20y a x h k a =-+≠；（3）已知三点，且其中两点为与x 轴的两个交点()10x ,、()20x , 时，可设二次函数解析式为交点式：()()()120y a x x x x a =--≠。

5．会结合函数思想、数形结合思想、转化思想等解决二次函数与方程、不等式、实际问题等问题。

x y -1 1 O 1图12y x-1 0 1 2 3 -1 图11 4．（2011山东威海）二次函数223y x x =--的图象如图11所示。

当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（）。

A ．-1＜x ＜3B ．x ＜-1C ．x ＞3D ．x ＜-1或x ＞35．（2011甘肃兰州）如图12所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）c >1；（3）2a -b <0；（4）a +b +c <0。

二次函数的性质)乐荣广

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号10sh6sx009435学员编号：年级：初三课时数：3 学员姓名：计宇杰辅导科目：数学学科教师：乐荣广课题二次函数()k m x a y ++=2的图像授课日期及时段2010年11月15日 17：30—19：30教学目的 1、掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2、经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。

教学内容第一部分上节课知识要点回顾1、二次函数的概念：（1）系数、次数的要求：（2）式子的特征：2、特殊的二次函数图像及其性质：（1）形如2ax y =（0≠a ）的二次函数的图像及其性质：（2）形如c ax y +=2（0≠a ）的二次函数的图像及其性质：（3）形如()2m x a y +=（0≠a ）的二次函数的图像及其性质：（4）三种特殊函数的图像之间的平移变换：第二部分上节课知识检测1、函数)1()(22+++-=m mx x m m y ，当m ，此函数是关于x 的二次函数？2、二次函数23x xy π-=的二次项系数，一次项系数，常数项3、下列函数中，哪些是二次函数（1）()20x y k k =≠ （2）21xy -= （3）221y x x =-- （4）)1(x x y -=（5）220x y +-= （6）)1)(1()1(2-+--=x x x y （7）22y ax -=- 4、若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______=m ；5、抛物线232-=x y 的图象可由抛物线23x y =的图象向平移个单位得到，它的顶点坐标是，对称轴是； 6、抛物线2)2(31-=x y 的图象可由抛物线231x y =向平移个单位得到，它的顶点坐标是，对称轴是；7、当m = 时，抛物线y =（m ＋1）xmm +2＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y 随x 的增大而；在对称轴右侧，y 随x 的增大而．8、已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值．9、已知函数22x y =，2)4(2-=x y 和221y x =+。

二次函数课件教案5篇

二次函数课件教案精选5篇二次函数课件教案。

为了更加顺当地进行教学，老师需要提前预备教案课件。

我们也要静下心来仔细写好教案课件。

同时，老师通过写好教案课件，也能更好地了解自己的教学状况。

那么，一个好的教案课件应当具备哪些特点呢？我查阅了相关资料“二次函数课件教案”，共享给大家参考。

二次函数课件教案(篇1)学习目标：1、能解释二次函数的图像的位置关系;2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系(转化)，感受形数结合的数学思想等。

学习重点与难点：对二次函数的图像的位置关系解释和讨论问题的数学方法的感受是学习重点;难点是对数学问题讨论问题方法的感受和领悟。

学习过程：一、学问预备本节课的学习的内容是课本P12-P14的内容,内容较长，课本上问题较多，需要你操作、观看、思索和概括，请你留意：学习时要圈、点、勾、画，随时记录甚至批注课本，想想那个人是如何讨论出来的。

你有何新的发觉呢?二、学习内容1.思索：二次函数的图象是个什么图形?是抛物线吗?为什么?(请你认真看课本P12-P13，作出合理的解释)x -3 -2 -10 1 2 3类似的：二次函数的图象与函数的图象有什么关系?它的对称轴、顶点、最值、增减性如何?2.想一想：二次函数的图象是抛物线吗?假如结合下表和看课本P13-P14你的解释是什么?x-8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6类似的：二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系 ?它的对称轴、顶点呢?它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢三、学问梳理1、二次函数图像的外形，位置的关系是：2、它们的性质是：四、达标测试⒈将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。

将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是。

将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象;将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可由 y=2x2的图象。

(家教培优专用)人教版数学九年级上册--二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)

二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．将抛物线22(1)3y x =-+作下列移动，求得到的新抛物线的解析式． (1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】抛物线22(1)3y x =-+的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a ＝2，得到抛物线解析式为222(1)242y x x x =+=++． (2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则2a =-，所得抛物线解析式为222(1)3241y x x x =--+=-++．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x 轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向， ∴ 2a =-．故所得抛物线解析式为222(1)3245y x x x =---=-+-．【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a 的符号，故可利用移动后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式．举一反三：【高清课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．【答案】23127y x x =-+-.2．（2014•荆州）将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式. 【答案与解析】解：y=x 2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．举一反三：【高清课程名称：函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质高清ID 号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习2】【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．（2014秋•安顺期末）二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB 的解析式．（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y 1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣，∴二次函数解析式为y 1=﹣（x ﹣2）2=﹣a 2+a ﹣1；设直线AB 解析式为y=kx+b ，把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y 1＜y 2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y 1=y 2时，x=0或x=2，y 1＞y 2时，0＜x ＜2．【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：212y x =，2132y x =+，2132y x =-．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线212y x c =+的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案与解析】（1）列表：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 (2)12y x =…142 212 012 2142…描点、连线，可得抛物线22y x =．将212y x =的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到2132y x =+与2132y x =-的图象（如图所示）．抛物线212y x =，2132y x =+与2132y x =-开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）抛物线212y x c =+的开口向上，对称轴是y 轴（或直线0x =），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出212y x =的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：2y ax k =+k ←−−−−−向上平移个单位2y ax =k −−−−→向下平移个单位2(0)y ax k k =->．。

(家教培优专用)人教版数学九年级上册--二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(提高)

二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭．对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质函数二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）图象0a >0a <开口方向向上向下对称轴直线2b x a=-直线2b x a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性在对称轴的左侧，即当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大．简记：左减右增在对称轴的左侧，即当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当2b x a =-时，y 有最小值，抛物线有最高点，当2bx a=-时，y 有2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1. 抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？(4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？【答案与解析】(1)由抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0，3)可得m ＝3．∴ 抛物线解析式为223y x x =-++，如图所示．(2)由2230x x -++=得11x =-，23x =．∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)． ∵ 2223(1)4y x x x =-++=--+，∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，举一反三：【高清课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：练习2-3】【变式】（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5…由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x 2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值2. 分别在下列范围内求函数223y x x =--的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3．【答案与解析】∵ 2223(1)4y x x x =--=--，∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，4y =-最小值．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．(2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数223y x x =--(2≤x ≤3)的图象是抛物线223y x x =--的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，232330y =-⨯-=最大值；当x ＝2时，222233y =-⨯-=-最小值．【总结升华】先求出抛物线223y x x =--的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x ≤3为图中实线部分，易看出x ＝3时，0y =最大值；x ＝2时，3y =-最小值．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用3.（2015•梅州）对于二次函数y=﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C. 【解析】解：y=﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，①正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1，②错误；③当y=0，则x （﹣x+2）=0，解得：x 1=0，x 2=2，故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确； ④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）， ∴当0＜x ＜2时，y ＞0，④正确．故选：C ．【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．4. 一条抛物线2y ax bx c =++经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1．（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；x y（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线2y =的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是4x =． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则420,3660,164 1.a b cb ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1,42,3.abc⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴所求抛物线的解析式为21234y x x=-+-．列表：x-2 0 2 4 6 8 10y-8 -3 0 1 0 -3 -8描点、连线，如图所示：（2）取点（-2，-8）为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C到直线y＝2的距离分别是5、10、2、1．（3）抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得．举一反三：【高清课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象与性质高清ID号：392790 关联的位置名称（播放点名称）：练习4】【变式】已知二次函数2y ax bx c=++（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C.。

初三一对一二次函数教案

上海求实进修学校教师教学设计方案学生编号学生姓名朱思毅授课教师王培培辅导学科数学所属年级九年级教材版本沪教版课题名称二次函数基础梳理课时进度总第（）课次授课时间1010：：00至1212：：00教学目标1.1.理解二次函数的概念，熟记基本解析式，能快速准确的找到定点，对称轴，最值；理解二次函数的概念，熟记基本解析式，能快速准确的找到定点，对称轴，最值；2.2.能加强对数形结合的理解。

能加强对数形结合的理解。

重点难点二次函数概念，性质及图像一．知识点系统梳理（40min ）（一）、二次函数概念：、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数。

）的函数，叫做二次函数。

这里这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ¹，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．是常数项．（二）、二次函数的基本形式、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：的性质： a a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号的符号开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴性质性质0a > 向上向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．2. 2y ax c =+的性质：的性质：上加下减。

二次函数的概念及其相关性质+应用一对一辅导教案

（注意咯，下面可是黄金部分！）1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,0=b 时，对称轴为y 轴；a 与b 同号（即ab ＞0）对称轴在y 轴左侧知识点y 随着x 的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b2-，2min 44ac b y a-=；当a<0时，函数有最大值，并且当x=a b 2-，2max 44ac b y a-=；二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.（注意咯，下面可是黄金部分！）二次函数的概念x 2y ax bx c =++a b c a b c x 典型．当半圆的半径等于多少时，窗户的透光面积最大，最大面积是多少？（精确到0.01m)。

二次函数(1对1辅导精品)

二次函数中考复习专题一、二次函数知识点1. 二次函数的解析式三种形式一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠0)顶点式 2()y a x h k =-+ 224()24b ac b y a x a a-=-+交点式 12()()y a x x x x =-- 2. 二次函数图像与性质对称轴：2bx a=- 顶点坐标：24(,)24b ac b a a -- 与y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小二次函数图像画法：勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点图像平移步骤（1）配方 2()y a x h k =-+，确定顶点（h,k ）（2）对x 轴左加右减；对y 轴上加下减二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴122x x x += 根据图像判断a,b,c 的符号（1）a ——开口方向（2）b ——对称轴与a 左同右异 3. 二次函数的应用如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等yx O【典型例题】题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。

○3当c=－5时，不论b 为何值，抛物线y=ax 2+bx+c 一定过y 轴上一定点。

人教版数学九年级上学期机构一对一讲义：二次函数的应用

1．能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2．经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．3．掌握二次函数在实际问题中及几何综合中的应用。

重点：① 二次函数中销售利润问题、几何面积问题及抛物问题的理解及灵活运用。

② 二次函数与最值问题、几何图形存在性问题的综合应用。

难点：二次函数与最值问题、存在性问题。

1．一般地，形如的函数叫做二次函数，当时，是一次函数．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是，对称轴是直线，顶点坐标是 .3．抛物线的开口方向由a 确定，当a ＞0时，开口；当a ＜0时，开口；a 的值越大，开口越．4．抛物线与y 轴的交点坐标为．当c ＞0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＜0时，与y 轴的半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过． 5．若a 0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为；若a 0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为．6．当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而．7．当m ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象向平移个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象向平移个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左右；上下．知识回顾知识重难点教学目标二次函数的实际应用精讲精练知识点一、二次函数的实际应用列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。