2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.2 极坐标系

合集下载

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.3 球坐标系与柱坐标系

2 6 2À 3À 为，， . 3 4 3
2．若点 M
À 的柱坐标为2， 6，－2，试求点
M 的球坐标．
À À 解：设 M 的直角坐标为(x，y，z)，x＝2cos ＝ 3，y＝2sin 6 6 ＝1，z＝－2. 于是由球坐标变换公式，得 r＝ 32＋12＋－22＝2 2，－2 2 3 cos ¸ ＝＝－，cos Æ ＝， 2 2 2 2 3À À 从而 ¸ ＝，Æ ＝， 4 6 故点 M
À A1(4,0,5)，C16， 2，5，如图所示，求此长
方体的外接球的体积．
解：由长方体的两个顶点的柱坐标为
À A1(4,0,5)，C16， 2，5，
可知 OA＝4，OC＝6，OO1＝5，则对角线长为 42＋52＋62＝ 77， 77 那么外接球的半径为， 2
2 2 2
z 6 3 又 cos ¸ ＝r＝＝，且 0≤¸ ≤À， 2 2 2
À À À ∴¸ ＝ .故 A 的球坐标为2 2， 6， 4 . 6
1．把下列各点的直角坐标化为球坐标，并在球坐标系中作出下列各点： (1)A(0,2,0)；(2)B(
3，3,2)；C －1，1，－
(2)球坐标系下点 P 的表示：
OP 的长度，¸ 表示以____ Oz 为设 P 为空间一点，用 r 表示_____
POz OP 为终边的角， Æ 表示半平面 ______ xOz 到半平面 _____ 始边， _____
(r，¸ ，Æ ) 就是点 P 的球坐标，这里 r 是的角，则有序数组 ___________
[思路点拨] 利用直角坐标与柱坐标间的关系直接求解即可．
x＝Ácos ¸ ， [精解详析] 由y＝Ásin ¸ ， z＝z，

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.2 极坐标系

4．1.2极坐标系[对应学生用书P5]1．极坐标系的概念(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．(3)在极坐标系中，如果极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意角，那么M(ρ，θ)的极坐标也可以表示为(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)．2．极坐标与直角坐标互化[对应学生用书P5][例1] 写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．[思路点拨] 分析每一点对应的ρ与θ，写出极坐标．[精解详析] 由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B ⎝⎛⎭⎫2， π4，C ⎝⎛⎭⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎫1，5π6，E (4，π)，F ⎝⎛⎭⎫6，4π3，G ⎝⎛⎭⎫5，5π3，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．1．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． 2．点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ≥0，θ∈[0,2π)，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．1．试画出满足下列条件的点，并说明它们有何特殊的位置关系： A ⎝⎛⎭⎫5，3π4；B ⎝⎛⎭⎫－5，3π4；C ⎝⎛⎭⎫5，－3π4；D ⎝⎛⎭⎫－5，－3π4. 解：所求各点如图所示．由图可以看出，点B 与点A ，点C 与点D 都关于极点对称；点C 与点A ，点B 与点D 都关于极轴对称；点D 与点A ，点B 与点C 都关于直线θ＝π2(ρ∈R )对称．2．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标．解：设C 点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)，如图．则ρ＝23，θ＝π4＋π2＝3π4，或θ＝5π4＋π2＝7π4.∴C 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎫23，3π4.[例2] 在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎭⎫3，π6，求 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))[思路点拨] 结合极坐标系及对称知识，确定对称点的极坐标． [精解详析] (1)设点A 关于极轴的对称点为A 1(ρ1，θ1)，则ρ1＝OA 1＝OA ＝3，θ1＝2π－π6＝11π6.∴点A 关于极轴的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，11π6. (2)设点A 关于极点的对称点为A 2(ρ2，θ2)，则ρ2＝OA 2＝OA ＝3， θ2＝π＋π6＝7π6.∴点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)．(3)设点A 关于直线θ＝π2的对称点为A 3(ρ3，θ3)，则ρ3＝OA 3＝OA ＝3， θ3＝π－π6＝5π6.∴点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，5π61．解决极坐标下的对称问题要注意以下三点：(1)利用数形结合思想；(2)在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化；(3)极径ρ≥0，极角θ是以x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转得到的．2．记住以下结论：点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．3．在极坐标系中，求点A (2，－π3)关于极轴所在的直线的对称的点的极坐标．解：结合极坐标系知A 关于极轴所在的直线对称点为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3或⎝⎛⎭⎫－2，(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )．4．求点A ⎝⎛⎭⎫5，3π4关于下列直线对称的点的一个坐标： (1)θ＝π2；(2)θ＝π6.解：(1)点A 关于θ＝π2的对称点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，π4. (2)点A 关于θ＝π6对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，－5π12.[例3] (1)把下列各点的极坐标化为直角坐标：A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2； (2)把下列各点的直角坐标化为极坐标：A ()3，－3，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，其中极径ρ≥0，极角θ∈[0,2π)．[思路点拨] 直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可． [精解详析] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得各点的直角坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)． (2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x得各点的极坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．5．把下列极坐标化为直角坐标： (1)A ⎝⎛⎭⎫3，2π3；(2)B ⎝⎛⎭⎫4，－3π4； (3)C ⎝⎛⎭⎫－6，17π3；(4)D ⎝⎛⎭⎫5，π2. 解：(1)x ＝3cos 2π3＝－32，y ＝3sin 2π3＝332，故点A 的直角坐标为A ⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，故点B 的直角坐标为B (－22，－22)．(3)x ＝－6cos 17π3＝－3，y ＝－6sin 17π3＝33，故点C 的直角坐标为C (－3,33)．(4)x ＝5cos π2＝0，y ＝5sin π2＝5，故点D 的直角坐标为D (0,5)．6．写出下列直角坐标系中的点的一个极坐标：(1)P (3，3)；(2)Q (0，－5)；(3)R (26，－22)；(4)O (0,0)．解：(1)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，且点P 在第一象限，故点P 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6.(2)ρ＝5，θ＝3π2，故点Q 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫5，3π2. (3)ρ＝(26)2＋(－22)2＝42，tan θ＝－33，且点R 在第四象限，故点R 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫42，11π6. (4)ρ＝0，θ可为任意值，故点O 的极坐标为O (0，θ)．1．写出下图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的一个极坐标．解：A ⎝⎛⎭⎫6，53π，B ⎝⎛⎭⎫8，π6，C ⎝⎛⎭⎫5，π2，D ⎝⎛⎭⎫5，7π6，E ⎝⎛⎭⎫8，4π3，F (8,0)，G ⎝⎛⎭⎫4，11π6. 2．已知点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫122，5π4，B ⎝⎛⎭⎫42，3π4，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫52，π2. 求证：直线AB ⊥CD .证明：各点的直角坐标为A (－12，－12)，B (－4,4)，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，52. 由于k AB ＝4＋12－4＋12＝2，k CD ＝52－00－5＝－12，k AB ·k CD ＝－1，故AB ⊥CD .3．求在极坐标系中点M ⎝⎛⎭⎫14，－π6关于θ＝π4的对称点N 的一个极坐标．解：如图设N (ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)．则ρ＝OM ，θ－π4＝π4＋π6，即ρ＝14，θ＝2π3.∴N 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫14，2π3.4．已知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，5π6，⎝⎛⎭⎫2，π3，求线段AB 的中点的一个极坐标．解：A ，B 两点的直角坐标分别为(－3，3)，(1，3)．线段AB 的中点的直角坐标为(－1，3)．[对应学生用书P7]则ρ＝2，tan θ＝－3，0≤θ<π.所以线段AB 的中点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. 5．在极坐标系中，根据下列条件，求△ABC 的面积． (1)A ⎝⎛⎭⎫6，π6，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6； (2)A ⎝⎛⎭⎫6，13π12，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6. 解：(1)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OAC －S △OBC ＝12×6×4sin π6＋12×6×2sin π3－12×4×2sin π2＝2＋3 3.(2)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12×6×4sin 3π4＋12×4×2sin π2＋12×6×2sin 3π4＝4＋9 2.6．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎫3，π2，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，求线段AB 的长度及直线AB 的倾斜角．解：根据极坐标的定义可得AO ＝BO ＝3，∠AOB ＝π3，即△AOB 为等边三角形，所以AB ＝AO ＝BO ＝3，∠ACO ＝π6(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)，则直线AB 的倾斜角为5π6.7．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的直角坐标．解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)．因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4，则A 的直角坐标为(4,4)，所以(4－r )2＋16＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．8．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点的坐标是A ⎝⎛⎭⎫4，π4，B ⎝⎛⎭⎫4，5π4，求顶点C 的坐标．解：如图，由A ，B 两点坐标得A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．因为AB ＝8，△ABC 为正三角形，所以OC ＝43，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝2π－π4＝7π4，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，3π4或⎝⎛⎭⎫43，7π4.。

苏教版数学高二数学苏教版选修4-4学案4.2曲线的极坐标方程

4.2 曲线的极坐标方程1．极坐标方程与曲线在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．直线的极坐标方程直线l 经过极点，倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )． 3．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是ρ＝r ；(2)圆心在(a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程是ρ＝2a cos θ. 预习交流1．求曲线的极坐标方程的步骤是什么？提示：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上的任意一点；(2)由曲线上的点所满足的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f (ρ，θ)＝0；(3)将列出的关系式f (ρ，θ)＝0进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项有哪些？提示：(1)两组公式是在三个条件规定下得到的；(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但一般约定只在规定范围内求值； (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．一、极坐标方程和直角坐标方程的互化将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化． (1)x 2＋y 2＝4；(2)(x －1)2＋(y ＋2)2＝4；(3)ρ＝3cos θ；(4)ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝4得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4，即ρ2＝4.(2)将(x －1)2＋(y ＋2)2＝4展开得x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1，得(ρcos θ)2－2ρcos θ＋(ρsin θ)2＋4ρsin θ＝－1，化简，得ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋1＝0.(3)因为ρ＝3cos θ，所以ρ2＝3ρcos θ，即x 2＋y 2＝3x .(4)由ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4＝22cos θ＋22sin θ. 整理，得ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2＝22x ＋22y ，即x 2－22x ＋y 2－22y ＝0.化圆的直角坐标方程x 2＋y 2－2ax ＝0(a ≠0)为极坐标方程．解：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－2ax ＝0得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2aρcos θ＝0，即ρ＝2a cos θ(a ≠0)．所以所求极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)．极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法，都是研究平面图形的重要工具．在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，除了正确使用互化公式外，还要注意变形的等价性．二、求直线的极坐标方程设P ⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程．思路分析：设M (ρ，θ)(ρ≥0)是直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，构造三角形求OM .解：如图所示，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，π4MOP θ∠=-，π2OPM ∠=，所以|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即πcos 24ρθ-=，即πcos 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，显然点P 也在这条直线上．故所求直线的极坐标方程为πcos 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.求过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的方程．解：如图，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，∴|OM|cos θ＝|OA|，即ρcos θ＝2.显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，∴所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M(ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O，连接OM，构造出含有OM的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．三、求圆的极坐标方程求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连接OP，PA，在Rt△OPA中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AOP＝θ，∴|OA|·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C的极坐标方程．从极点O作圆C：ρ＝8cos θ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程并把它化为直角坐标方程．解：方法一：如图，圆C的圆心C(4,0)，半径r＝|OC|＝4，连接CM.∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．∴动点M的轨迹方程是ρ＝4cos θ.∵ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x，故(x－2)2＋y2＝4为所求的直角坐标方程．方法二：设M点的坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．N点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1(*)．∵M是ON的中点，∴112,,ρρθθ=⎧⎨=⎩将它代入(*)式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. ∵ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，故(x －2)2＋y 2＝4为所求的直角坐标方程．在极坐标系中，求圆的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的关系，将它用坐标表示并化简，得到ρ和θ的关系，即为所求极坐标方程．1．在极坐标系中，过点M ⎝⎛⎭⎫2，π2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．答案：ρsin θ＝2(ρ≥0)解析：如图，设P (ρ，θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点，在Rt △OMP 中，()πcos 202ρθρ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，即ρsin θ＝2(ρ≥0)．2．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是__________．答案：两条射线y ＝±x (x ≥0)解析：∵cos θ＝22，∴ρcos θ＝22ρ.两边平方，得x 2＝12(x 2＋y 2)，即y ＝±x .又∵ρ≥0，∴ρcos θ＝x ≥0. ∴y ＝±x (x ≥0)表示两条射线．3．在极坐标系中，圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是__________．答案：ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π) 解析：如图所示，圆与射线OP 的交点为π2,2P a ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆上任取一点M (ρ，θ)，连接OM 和MP ，则有OM ⊥MP ，在Rt △MOP 中，由Rt △MOP 的边角关系可得π2cos 2sin 2a a ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(0≤θ≤π)．4．直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为__________．答案：ρ＝4sin θ 解析：x 2＋(y －2)2＝4可化为x 2＋y 2＝4y ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ.5．从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP |·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0，设M (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.。

高中数学选修4-424曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化教案

科目:高二数学授课时间：第12周星期三
单元（章节）课题
本节课题
2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
三维目标
知识与技能：掌握极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．
过程与方法：通过学生自主探究极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式，培养学生自主学习能力和阅读能力；
情感,态度与价值观：培养学生数学表达能力。
提炼的课题
极坐标方程与直角坐标方程的互化
教学重难点
重点：掌握极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式．
难点：实现ห้องสมุดไป่ตู้坐标方程和直角坐标方程之间的互化．
教学过程
一、情境导入
1.点的直角坐标与极坐标互化关系如下：
(1)点M的极坐标化为直角坐标的公式：
(2)点M的直角坐标化为极坐标的公式：
（1）将方程转化成含、、的式子；
（2）将分别换成、、；
（3）整理、化简。
2.将曲线的直角坐标方程化成极坐标方程的基本步骤：
（1）将分别换成、、；
（2）整理、化简。
五、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？
课堂检测内容
1.把下面的极坐标方程转化为直角坐标方程.
（1）（2）
2.课本P17练习1.
课后作业布置
课本第18页A组5,6
预习内容布置
完成《极坐标习题二》
（1）（2）（3）
2．直角坐标方程化为极坐标方程的公式
（1）（2）（3）
三、典型例题
题型一：极坐标方程化为直角坐标方程
例1、将下列曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：
题型二：直角坐标方程化为极坐标方程
例2.将下列曲线的直角坐标方程化成极坐标方程。

高中数学选修4-4-极坐标

极坐标知识集结知识元极坐标知识讲解1．极坐标系【知识点的认识】极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的极径，θ称为点M的极角．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．2．简单曲线的极坐标方程【知识点的认识】一、曲线的极坐标方程定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．二、求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）④将等式坐标化⑤化简（此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）三、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．四、直线的极坐标方程（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a（3）过某个定点平行于极轴，r sinθ＝a（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）五、直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求．3．点的极坐标和直角坐标的互化【知识点的认识】坐标之间的互化（1）点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位（如图）．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：，．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．（2）空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ρ，θ，z）之间的变换公式为：．（3）空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，φ，θ）之间的变换关系为：．例题精讲极坐标例1.在极坐标系中，已知M（1，），N，则|MN|=（）A．B．C．1+D．2例2.在极坐标系中，已知A（3，），B（4，），O为极点，则△AOB的面积为（）A．3B．C．D．2例3.已知直线l：（t为参数）与曲线ρ2=的相交弦中点坐标为（1，1），则a等于（）A．-B．C．-D．当堂练习单选题练习1.已知曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ-4sinθ，P为曲线C上的动点，O为极点，则|PO|的最大值为（）A．2B．4C．D．2练习2.在极坐标中，O为极点，曲线C：ρ=2cosθ上两点A、B对应的极角分别为，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．练习3.已知直线l过点P（-2，0），且倾斜角为150°，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=15．若直线l交曲线C于A，B两点，则|PA|∙|PB|的值为（）A．5B．7C．15D．20练习4.在平面直角坐标系中，记曲线C为点P（2cosθ-1，2sinθ+1）的轨迹，直线x-ty+2=0与曲线C 交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．C．D．4练习5.在极坐标系中，直线ρcosθ=2与圆ρ=4cosθ交于A，B两点，则|AB|=（）A．4B．C．2D．练习6.在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2按φ：变换后得到的直线l，若以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程为（）A．4ρcosθ-ρsinθ=4B．ρcosθ-16ρsinθ=4C．ρcosθ-4ρsinθ=4D．ρcosθ-8ρsinθ=4填空题练习1.在极坐标系中，圆ρ=1上的点到直线的距离的最大值是___．练习2.在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ-ρcosθ-6=0的距离为___．练习3.在极坐标系下，已知圆，则圆O的直角坐标方程是_________________练习4.在极坐标系中，若点A（3，），B（3，），则△AOB的面积为___解答题练习1.'在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程是，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α<π），设P （1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当α=0时，求|AB|的长度；（2）求|PA|2+|PB|2的取值范围．'练习2.'在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ-2cosθ．（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．'。

选修4-4 1.2 极坐标系

X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到 OM 的角度，叫做点M 的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M

X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
( 3, 1)
化成极坐标.
Байду номын сангаас
（）解: ( 3 ) 1 2
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
从这向北 2000米。
请问：去菜市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向北走 2 0 0 0 米！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针 O 方向）。
思考:极坐标系中，点A的极坐标是(3, ) 6

11 (3, ) （1）点A关于极轴对称的点是_______________ 6 7 (3, ) （2）点A关于极点对称的点的极坐标是__________ 6 5 (3, ) （3）点A关于直线＝的对称点的极坐标是_______ 6 2

苏教版数学高二-选修4-4素材 4.2认识几类特殊的极坐标方程

认识几类特殊的极坐标方程在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。

所谓曲线L 的极坐标方程是指L 上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程)(θρf =或0),(=θρF1、过极点直线的极坐标方程在平面直角坐标系中，过原点O 的直线方程形如：kx y =，其中k 是实数，叫作斜率，θtan =k ，θ是此直线与O x 轴的夹角，这个角是多大，一般从k 上不易看出来，需要计算θarctan 。

但在极坐标中，我们取O x 的正方向为极轴，则过极点O 的射线方程写成[)πθθθ2,0(00∈=）如果我们充许极径取负值，约定M （ρ，θ）关于极点对称点N 的极坐标写成N （θρ,-），于是过原点与x 轴夹角为0θ的直线的极坐标方程为:l 0θθ=如与x 轴夹角为4π过原点的直线的极坐标方程为θ=4π2、圆心在极点的圆的极坐标方程 ρ=0r方程ρ=0r 的含义是动点的极径恒为0r ，是个常数；而方程ρ=0r 无极角θ，表示θ可以任意变化，当极径ρ是常数，极角任意时，即动保持与O 点等距地转动，这正是圆规在画圆。

3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为0r设此圆上任取一点M 的极坐标为（ρ，θ），由于OA 是直径，所以∠OMA=2π，于是θcos =OA OM ，即θρcos 20=r 从而得ρ与θ满足的方程为：ρ=20r θcos4、阿基米德螺线一个动点M 随时间的增加绕定点O 逆（或顺）时针匀速绕动，同时离O 点越来越远，它远离O 点的直线距离也是匀速增长的，如果把O 点定为极坐标的极点，M 与O 点的直线距离就是向径ρ，转角就是极角θ，由于ρ与θ的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间t 为ωθυρ==t （0,≠ωυ）θωυρ= 一般地，将该式写成)0(≠=ααθρ)0(≠=ααθρ表示的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径的扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.2 曲线的极坐标方程

4．1．曲线的极坐标方程一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (Á，¸)＝0；并且极坐标适合方程f (Á，¸)＝0的点都在曲线上，那么这个方程称为曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线．2．求曲线的极坐标方程的基本步骤(1)建系：建立适当的极坐标系；(2)设点：在曲线上任取一点P (Á，¸)；(3)列式：根据曲线上点所满足的条件写出等式；(4)化简：用极坐标Á，¸表示上述等式，并化简得极坐标方程；(5)证明：证明所得的方程是曲线的极坐标方程．3．直线的极坐标方程(1)若直线l 经过点M (Á0，¸0)，且直线l 的倾斜角为±，则此直线的极坐标方程为Ásin(¸－±)＝Á0sin(¸0－±)．(2)几种常见直线的极坐标方程：4．圆的极坐标方程(1)若圆心的坐标为M (Á0，¸0)，圆的半径为r ，则圆的极坐标方程为Á2－2Á0Ácos(¸－¸0)＋Á－r2＝0.(2)几种常见圆的极坐标方程：[对应学生用书P12][对应学生用书P12]求曲线的极坐标方程[例1]　设P[思路点拨]　取直线上任意点M(Á，¸)，构造三角形求OM.[精解详析]　如图，设M(Á，¸)为直线l上除P点外的任意一点，连接OM，OP，该直线交Ox于点A，则有OM＝Á，OP＝2，∠xAM＝，∠OPM＝，∠MOP＝¸－，所以有OM cos∠MOP＝OP，即Ácos＝2，显然P点也在这条直线上．所以直线l的极坐标方程为Ácos＝2.求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径Á和极角¸之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理及直角三角形的边角关系)的知识来建立Á、¸之间的关系．1．已知动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为e，求点M的极坐标方程．解：过点F作直线l的垂线，垂足为K，以点F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系(如图)．设M(Á，¸)是曲线上任意一点，连接MF，作MA⊥l，MB⊥Fx，垂足分别为A，B，那么＝e.设点F到直线l的距离为FK＝p.由MF＝Á，MA＝BK＝p＋Ácos ¸，得＝e，即Á＝.2．从极点O作圆Á＝2a cos ¸的弦OM，求各弦的中点P的轨迹方程．解：设P点的极坐标是(Á，¸)，M的极坐标是(Á1，¸1)．∵点M在圆Á＝2a cos ¸上，∴Á1＝2a cos ¸1.∵P是OM的中点，∴将它代入Á1＝2a cos ¸1得2Á＝2a cos ¸，故P的轨迹方程是Á＝a cos ¸.直线的极坐标方程[例2]　求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程．[思路点拨]　法一：按照求极坐标方程的步骤建系、设点、坐标化可求．法二：先求直角方程，再将互化公式代入可得.[精解详析]　法一：如图，设M(Á，¸)(Á≥0)为直线上除点A以外的任意一点，则∠xAM＝，∠OAM＝，∠OMA＝－¸，在△OAM中，由正弦定理得＝，即＝，所以Ásin＝，即Á＝，化简，得Á(cos ¸－sin ¸)＝1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为Á(cos ¸－sin ¸)＝1.法二：以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，直线的斜率k＝tan ＝1，直线方程为y＝x－1，将y＝Ásin ¸，x＝Ácos ¸(Á≥0)代入上式，得Ásin ¸＝Ácos ¸－1，所以Á(cos ¸－sin ¸)＝1.求直线的极坐标方程的一般方法为：在直线上设M(Á，¸)为任意一点，连接OM，构造出含有OM的三角形，再利用三角形知识求OM，即把OM用¸表示，这就是我们所需求的Á与¸的关系，即为直线的极坐标方程，也可先求出直角坐标方程，再变换为极坐标方程．3．求满足下列条件的直线的极坐标方程：(1)过点且与极轴平行；(2)过点且与极轴垂直；(3)过极点且与极轴成角．解：(1)点与点相同，所以过点且与极轴平行的直线极坐标方程为Ásin ¸＝－.(2)点与点相同，所以过点且与极轴垂直的直线极坐标方程为Ácos ¸＝－1.(3)过极点且与极轴成的角的直线方程为¸＝.4．求过点(－2,3)，且斜率为2的直线的极坐标方程．解：由题意可知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.设M(Á，¸)为直线上任意一点，将x＝Ácos ¸，y＝Ásin ¸代入2x－y＋7＝0得2Ácos ¸－Ásin ¸＋7＝0.故所求的极坐标方程为2Ácos ¸－Ásin ¸＋7＝0.圆的极坐标方程[例3]　求圆心在[思路点拨]　设P(Á，¸)是圆上任意一点，结合图形，构造三角形后可求解．[精解详析]　如图，设P(Á，¸)为圆上除O、B外的任意一点，连接OP，PB，则有OB ＝4，OP＝Á，∠POB＝，∠BPO＝，从而△BOP为直角三角形，所以有OP＝OB cos∠POB，即Á＝4cos＝－4sin ¸.点O(0,0)，B也适合此方程．故所求圆的极坐标方程为Á＝－4sin ¸.化为直角坐标方程为x2＋y2＋4y＝0.求与圆有关的极坐标方程时，关键是找出曲线上点满足的几何条件，转化为解三角形问题，从而建立Á、¸满足的关系式即方程，也可先求直角坐标方程，再化为极坐标方程．5．求满足下列条件的圆的极坐标方程：(1)半径为4，在极坐标系中圆心坐标为(4，π)；(2)在直角坐标系中，圆心为(－1,1)，且过原点．解：(1)因为＝4sin(¸－90°)＝－4cos ¸，所以圆的极坐标方程为Á＝－8cos ¸.(2)因为圆的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＝－2(x－y)．由坐标变换公式，得Á2＝－2(Ácos ¸－Ásin ¸)，所以圆的极坐标方程为Á＝2(sin ¸－cos ¸)．6．求以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的极坐标方程．解：如图所示，设圆心为C(1,1)，P(Á，¸)为圆上任意一点，过C作CD⊥OP于点D，∵CO＝CP，∴OP＝2DO.在Rt△CDO中，∠DOC＝¸－1，∴DO ＝cos(¸－1)．∴OP ＝2cos(¸－1)，因此圆的极坐标方程为Á＝2cos(¸－1)．1．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．(1)y 2＋x 2－2x －1＝0；(2)Á＝.解：(1)将x ＝Ácos ¸，y ＝Ásin ¸，代入原方程，得Á2－2Ácos ¸－1＝0.(2)由Á＝得2Á－Ácos ¸＝1，所以2Á＝Ácos ¸＋1，令x ＝Ácos ¸，Á2＝x 2＋y 2，得2＝x ＋1，两边平方整理得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2．(北京高考改编)在极坐标系中，求点到直线Ásin ¸＝2的距离．解：极坐标系中点对应直角坐标系中坐标为(，1)，极坐标系直线Ásin ¸＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，所以距离为1.3．在极坐标系中，已知圆Á＝2cos ¸与直线3Ácos ¸＋4Ásin ¸＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.4．极坐标方程(Á－2)＝0(Á≥0)表示的图形是什么？解：由(Á－2)＝0(Á≥0)，得Á＝2或者¸＝(Á≥0)，其中前者表示的图形是圆，后者表示的图形是一条射线．5．(安徽高考改编)在极坐标系中，求圆Á＝2cos ¸的垂直于极轴的两条切线的方程．解：由Á＝2cos ¸可得x 2＋y 2＝2x ⇒(x －1)2＋y 2＝1，所以圆的圆心为(1,0)，半径为1，与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x ＝0，x ＝2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是¸＝(Á∈R )和Ácos ¸＝2.6．(天津高考改编)已知圆的极坐标方程为Á＝4cos ¸，圆心为C ，点P 的极坐标为，求CP 的长．解：如图，由圆的极坐标方程为Á＝4cos ¸知OC ＝2，又因为点P 的极坐标为，P 的直角坐标为(2,2)，所以OP ＝4，∠POC ＝，在△POC 中，由[对应学生用书P14]余弦定理得CP2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos＝16＋4－2×4×2×＝12，所以CP＝2.7．在极坐标系中，O为极点，求过圆C：Á＝6cos的圆心C且与直线OC垂直的直线l的极坐标方程．解：圆心C的坐标为，设直线l上任意一点P(Á，¸)，则有Ácos＝3.故直线l的极坐标方程为Ácos＝3.8．在极坐标系中，点O(0,0)，B.(1)求以OB为直径的圆C的直角坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为Ácos A＋Ásin A＝4，判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)设P(Á，¸)是所求圆C上任意一点，因为OB为直径，所以∠OPB＝，所以OP＝OB cos，即Á＝2cos，化为直角坐标方程，得x2＋y2－2x－2y＝0.(2)圆C的圆心为C(1,1)，半径r＝，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0，所以圆心到直线l距离d＝＝＝r.故直线与圆C相切．。

选修4-4 1.2 极坐标系

[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
M O (ρ,θ)… X
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
对称性
( , )关于极轴的对称点为 ,2 ) (
关于极点的对称点为 , ) (
关于过极点且垂直与极轴的直线的对称点为( , )
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
( 3, 1)
化成极坐标.
（）解: ( 3 ) 1 2
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到 OM 的角度，叫做点M 的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M

X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
y x y , tan ( x 0) x

苏教版高二数学选修4-4三维坐标系简介

三维坐标系三维笛卡儿坐标系是在二维笛卡儿坐标系的基础上根据右手定则增加第三维坐标（即Z 轴）而形成的。

同二维坐标系一样，AutoCAD中的三维坐标系有世界坐标系WCS(World Coordinate System)和用户坐标系UCS(User Coordinate System)两种形式。

在AutoCAD中提供了下列三种三维坐标形式：1.三维笛卡尔坐标三维笛卡尔坐标（X，Y，Z）与二维笛卡尔坐标（X，Y）相似，即在X和Y值基础上增加Z值。

同样还可以使用基于当前坐标系原点的绝对坐标值或基于上个输入点的相对坐标值。

2.圆柱坐标圆柱坐标与二维极坐标类似，但增加了从所要确定的点到XY平面的距离值。

即三维点的圆柱坐标可通过该点与UCS原点连线在XY平面上的投影长度，该投影与X轴夹角、以及该点垂直于XY平面的Z值来确定。

例如，坐标“10<60，20”表示某点与原点的连线在XY平面上的投影长度为10个单位，其投影与X轴的夹角为60度，在Z轴上的投影点的Z 值为20。

圆柱坐标也有相对的坐标形式，如相对圆柱坐标“@ 10<45 ，30”表示某点与上个输入点连线在XY平面上的投影长为10个单位，该投影与X轴正方向的夹角为45度且Z轴的距离为30个单位。

3.球面坐标球面坐标也类似与二维极坐标。

在确定某点时，应分别指定该点与当前坐标系原点的距离，二者连线在XY平面上的投影与X轴的角度，以及二者连线与XY平面的角度。

例如，坐标“10<45<60”表示一个点，它与当前UCS原点的距离为10个单位，在XY平面的投影与X轴的夹角为45度，该点与XY平面的夹角为60度。

同样，圆柱坐标的相对形式表明了某点与上个输入点的距离，二者连线在XY平面上的投影与X轴的角度，以及二者连线与XY平面的角度。

注：1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。

a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。

苏教版高中数学选修4-4 4.1.2极坐标系_学案设计1(无答案)

极坐标系【学习目标】掌握极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题。

【学习过程】一、基础梳理1．极坐标系的概念2．直角坐标与极坐标的互化3．几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点：（2）直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：（3）直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴： 4．几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，半径为r ：（2）当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：（3）当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：二、基础练习1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________。

2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________。

3．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________。

4．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________。

5．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________。

三、典例训练例1．设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程。

例2．在极坐标系中，若过点(1，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ．B 两点，则|AB |＝________。

例3．在圆心的极坐标为A (4，0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。

四、巩固练习1．点P 的直角坐标为(1，－3)。

则点P 的极坐标可以是________。

2．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________。

3．从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.1.2 极坐标系》7

《极坐标系》教学设计江苏省海州高级中学高静一、教材分析本节课是选修4-4的内容，由于生活中的许多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，这时就需要建立以角度和距离为依据的坐标系，从而建立极坐标系。

教材通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，让学生体会数学在生活中的应用。

二、学情分析笔者所带的班级是高二年级理科班，学生具备了较好的分析问题的能力，对新知识的学习也有很浓厚的兴趣，能积极思考发言。

学生已经学习了三角函数、平面上两点间距离公式，以及解斜三角形的等本节课所需的预备知识，同时能熟练利用平面直角坐标系来刻画点的位置。

三、教学目标（1）认识极坐标系；（2）使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置：（3）体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；（4）能进行极坐标和直角坐标的互化。

四、重点、难点重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化难点：极坐标系的建立，认识点与极坐标之间的对应关系五、教学过程（一）情境引入电脑播放精彩的足球经典进球视频，引导学生关注给射门的运动员传球的运动员，没有这个巧妙的传球，就没有这个轻松的进球。

问题1：在运动员传球之前，他是如何确定队友的位置？（学生讨论，教师提炼关键词：距离，角度）【设计意图】这个问题的目的是让学生体会在生活中，我们经常会以当前所在位置，利用角度和距离来描述另一个点的位置。

【反思】可能是因为学生没有领会问题的含义，学生首先回答“用眼睛看”，教师进一步将问题细化为：“他是如何确定传球的线路的？”（二）知识初建构问题2：你能建立一个合理的坐标系，描述上述的问题吗？（学生回答，教师总结）【设计意图】通过学生自己的思考和尝试，体会用距离和角度来刻画点的位置需要的参照物是什么？这里学生要自己找到极点，极轴，规定单位长度和角度的正方向。

教师总结（M O M ||OM M ρOx OM xOM M θρθM （ρ，θ）。

苏教版高二数学选修4-4 4.1.2 极坐标系学案

4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4-1-3所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).图4-1-3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx (x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________0,0≤θ＜2π)．图4-1-4【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝ ⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，2π3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解．【自主解答】对于A (3，－π3)， x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)． ∵AB ＝(32＋12)2＋(－332－32)2＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题．【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋(－2)2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________．【解析】由ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋22＝22， tan θ＝2－2＝－1， ∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4)2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)．【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】由余弦定理得 AB ＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cos (θ1－θ2) ＝32＋(－3)2－2×3×(－3)cos (π4－π12)＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】 36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

苏教版数学高一苏教版选修4-4学案 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义

选修4－4坐标系与参数方程 4.2.1曲线的极坐标方程的意义编写人：姚明宝编号：005学习目标能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

学习过程：一、预习：回顾：1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤问题1、直角坐标系建立可以描述点的位置在极坐标系是否也有同样作用？问题2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？思考：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。

因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。

提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？归纳：定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

思考：求曲线的极坐标方程的步骤是什么？二、课堂训练：例1．求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线的极坐标方程。

例2、求圆心在)0,3(A 且过极点的圆A 的极坐标方程。

例3．（1）化直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程。

小结：①由曲线方程的意义可知，在方程变形过程中，应保持“方程同解”；②在不同的坐标系中，同一条曲线的方程具有不同的表现形式。

例4、若直线经过),(00θρM 且极轴到此直线的角为α，求直线的极坐标方程。

例5、若圆心的坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的方程。

运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。

课堂练习1、已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。

2、求圆心在)2,3(πA 且过极点的圆A 的极坐标方程。

苏教版高二数学选修4-4 极坐标系学案

4.1.2 极坐标系1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从点O 引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以O x 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的单位长度．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是=cos =sin x y ρθρθ⎧⎪⎨⎪⎩ ②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是222=tan =(0)x y yx x ρθ⎧+⎪⎨≠⎪⎩预习交流1．建立极坐标系的意义是什么？提示：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点做旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下的点与它的极坐标对应情况是怎样的？提示：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．一、极坐标系中点的表示已知点M 的极坐标为π5,3⎛⎫⎪⎝⎭，其坐标也可表示为______________或______________．答案：π5,2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z解析：一般地，如果点M 的极坐标是(ρ，θ)，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)，k ∈Z 都可以作为点M 的极坐标．以下四个点A ⎝⎛⎭⎫3，π6，B ⎝⎛⎭⎫3，－π6，C ⎝⎛⎭⎫3，13π6，D ⎝⎛⎭⎫3，17π6，表示同一个点的是__________．答案：点A ，C在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．二、对称性问题在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴所在直线的对称点是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ＞0，θ∈[0,2π))答案：(1)⎝⎛⎭⎫3，11π6 (2)⎝⎛⎭⎫3，7π6 (3)⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是__________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．答案：⎝⎛⎭⎫2，π3 解析：与A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3，k ∈Z ，而ρ＞0，θ∈[0,2π)，∴所求坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．三、极坐标和直角坐标互化(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．思路分析：直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3. (1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，11π6.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．1．在极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标是__________．答案：⎝⎛⎭⎫8，π6 解析：点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)，故⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫－8，76π，即⎝⎛⎭⎫8，π6. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，则其极坐标为__________．(ρ＞0,0≤θ＜2π)答案：⎝⎛⎭⎫2，76π 解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2，tan θ＝－1－3＝33，∵点在第三象限，∴θ＝76π.故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，76π. 3．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，－π4，化为直角坐标为__________．答案：(22，－22)解析：x ＝ρcos θ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×⎝⎛⎭⎫－22＝－22， ∴M (22，－22)．4．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标__________．答案：⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x ＝23－2＝－3，又∵点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )． 5．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点(3，3)在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3. (2)ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝1.又因为点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4.。

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.2 极坐标系

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.3 球坐标系与柱坐标系

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.2 极坐标系

苏教版数学高二数学苏教版选修4-4学案4.2曲线的极坐标方程

高中数学选修4-424曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化教案

高中数学选修4-4-极坐标

选修4-4 1.2 极坐标系

苏教版数学高二-选修4-4素材 4.2认识几类特殊的极坐标方程

2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.2 曲线的极坐标方程

选修4-4 1.2 极坐标系

苏教版高二数学选修4-4三维坐标系简介

苏教版高中数学选修4-4 4.1.2极坐标系_学案设计1(无答案)

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.1.2 极坐标系》7

苏教版高二数学选修4-4 4.1.2 极坐标系 学案

苏教版数学高一苏教版选修4-4学案 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义

苏教版高二数学选修4-4 极坐标系 学案

苏教版高二数学选修4-4 4.1.2 极坐标系学案

苏教版高二数学选修4-4 极坐标系学案