竞赛讲座 03同余式与不定方程
二元一次不定方程与一次同余式的关系
二元一次不定方程与一次同余式的关系二元一次不定方程与一次同余式的关系是数学中的重要概念。
它们在形式上有所不同，但在解题和应用中具有密切的联系。
二元一次不定方程的一般形式为ax + by = c (其中a、b、c 是常数，a 和b 不同时为零)。
它表示两个未知数的线性关系，可以通过求解得到一组特定的解。
一次同余式的一般形式为ax ≡b (mod m) (其中a、b、m 是常数，a 和m 互质)。
它表示一个未知数x 对模m 的同余关系，可以通过求解得到一组满足条件的解。
虽然二元一次不定方程和一次同余式在形式上有所不同，但它们在解题和应用中具有密切的联系。
例如，在某些情况下，可以将一次同余式转化为二元一次不定方程来求解。
同样地，也可以将二元一次不定方程转化为一次同余式来求解。
此外，二元一次不定方程和一次同余式还在一些实际问题中有广泛的应用。
例如，在数论、组合数学、密码学等领域中，它们都是重要的工具。
总之，二元一次不定方程与一次同余式是数学中的重要概念，它们在形式上有所不同，但在解题和应用中具有密切的联系。
高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(一)
同余理论及其应用基础知识一. 定义定义1. 设m 为正整数，整数a 和b 之差可被m 整除时，称为a 和b 关于模m 同余，记作 ).(mod m b a ≡ 定义2. 被正整数m 除余数相等的所有整数的集合称为模m 的剩余类。
模m 的剩余类共有m 个。
定义3. 在模m 的m 个剩余类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的完全剩余系。
定义4. 绝对值不超过]2[m 的模m 的完全剩余系称为模m 的绝对最小剩余系。
定义5. 当模m 的某一剩余类的所有整数均与m 互素时，则称此剩余类是模m 的简化类。
模m 的简化类共有)(m φ个。
定义6. 在模m 的)(m φ个简化类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的简化剩余系。
定义7. 欧拉函数：设n 为正整数，从1到n 的整数中与n 互素的整数的个数用)(n φ表示，称)(n φ为欧拉函数。
当1212s s np p p ααα=时，有)11)...(11)(11()(21s p p p n n ---=φ 二. 定理定理1. ).(mod m b a ≡ 的必要充分条件是a 和b 被m 除的余数相等。
定理 2. I .);(mod m a a ≡II .若),(mod m b a ≡则);(mod m a b ≡III .若),(mod m b a ≡),(mod m c b ≡则).(mod m c a ≡定理3. 若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则I .)(m od 2121m b b a a +≡+；II .(mod 2121m b b a a -≡-2 )(m od 212m b b a -≡-；III .)(m od 2121m b b a a ≡.定理4. 如果),...,2,1)((m od n i m b a i i =≡，则I .)(m od ......2121m b b b a a a n n +++≡+++；II . ).(m od ......2121m b b b a a a n n ≡推论. 如果).(mod m b a ≡n 为任意正整数，则).(mod m b a nn ≡ 定理5. 如果).(mod m cb ca ≡则).),((modm c m b a ≡ 推论. 如果1),(=m c ，).(mod m cb ca ≡则).(mod m b a ≡ 定理6. 如果).(mod m b a ≡则).,(),(m b m a =定理7. a 和b 属于模m 的同一剩余类的充要条件是).(mod m b a ≡定理8. m 个整数m a a a ,...,,21是模m 的完全剩余系的充要条件是m a a a ,...,,21关于模m 两两互不同余。
同余与不定方程的求解
同余与不定方程的求解
这是一篇关于模运算和不定方程的求解的文章，模运算用来求解一些极其费时的算术表达式问题，不定方程用来解决等式的形式，如果未知数出现在整数集合中，这种方法就可以有效的解决问题。
模运算的基本概念是，对于a和m，使用模a mod m表示一种已知的模运算，其中
a是可以分解为整数加m的模m值，即°表示，a=k*m+r，其中r是余数，而k是
整除结果。
那么a mod m = r，模运算就是这种形式的运算，即把一个不定的数
分解为一个模值和一个余数，余数的值在0和m之间。
不定方程可以有效的解决一些未知数的问题。
它的基本形式可以写成ax+b=y，其
中x是未知数，y是一个给定的整数，而a和b是一些已知的常量，一般来说，求
解一个不定方程，只要知道a和b的值就可以求出未知数x。
如果a和b均为整数，那么不定方程可以使用模运算解决，这种解法叫做模等式。
模等式的具体求解方法是把不定方程转化为ax=y-b+m(mod m)，这里m是一个足够
大的整数，然后计算出x的值，这时x的值一定是可以分解为整数加m的，也就是说，x = r(mod m)，用模解法解出余数r之后，就可以直接求解不定方程的x的值，x=y-b+r(mod m)。
模运算和不定方程的求解是一种有效的算术技术，能够有效的解决一些极其复杂的运算问题。
这种技术只要能够准确的表达出到底要求出来的是什么结果，并且给
出算术表达式的详细描述，就可以通过这种技术迅速的求解出答案。
因此，模运算和不定方程的求解在计算器科学中有着十分重要的地位。
竞赛数学(张同君陈传理)数论3(不定方程)
根据未知数的个数和方程的个数之间的关系，不定方程可分为一 元不定方程、二元不定方程等。
整数解与特解概念
整数解
满足不定方程的整数解称为该不 定方程的整数解。
特解
不定方程的一组特殊解，通常用 于求解其他解或证明解的存在性 。
线性不定方程性质
01
齐次线性不定方程
若线性不定方程的常数项为零，则称为齐次线性不定方程。齐次线性不
的解。
04
特殊类型不定方程处理方法
佩尔方程求解思路
佩尔方程形式
佩尔方程是一类形如x^2 - ny^2 = 1的不定方程， 其中n为正整数且不是完全平方数。
求解步骤
通过连分数、二次剩余等方法找到一组特解，然后 利用递推关系式求得所有解。
注意事项
在求解过程中需要注意n的取值范围以及特解的选择 ，避免陷入死循环或者得到无效解。
况下，可以通过消元法、代入法等方法求解。
02
线性不定方程求解方法
逐步满足法原理及步骤
原理：通过逐步满足方程中的条件，使问题不 断简化，最终得到方程的解。
01
观察方程特点，确定一个未知数的取值范 围；
03
02
步骤
04
在该范围内逐一尝试满足方程的整数解；
若找到一组解，则验证其正确性；
05
06
若无法找到解，则调整取值范围或尝试其 他方法。
其他特殊类型问题探讨
其他特殊类型问题
除了佩尔方程和高次幂和型不定方程外，还有一些其他特殊类型的不定方程问题，如费马 大定理相关的不定方程、涉及三角函数的不定方程等。
处理方法
针对不同类型的特殊问题，需要采用不同的处理方法。例如，费马大定理相关的不定方程 可以通过代数数论的方法进行研究；涉及三角函数的不定方程可以通过三角恒等式进行化 简和求解。
数论中的同余方程与不定方程
数论中的同余方程与不定方程数论是研究整数的性质和结构的学科，其中同余方程和不定方程属于重要的研究内容。
本文将介绍同余方程和不定方程的概念、性质以及解法。
一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b和m都是整数，≡表示同余，意味着 a与b对于模m同余。
1.1 概念同余方程是用来描述整数之间的关系的方程。
同余方程中的 a、b和m都是整数，其中 a和m是已知的，b是未知的。
解同余方程就是要找到满足这个关系的整数b的值。
1.2 性质同余方程具有一些重要的性质：- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有a+km≡b (mod m) 。
- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有ak≡bk (mod m) 。
- 如果a≡b (mod m) 且b≡c (mod m) ，那么a≡c (mod m) 。
1.3 解法一般而言，我们可以通过穷举法或代入法求解同余方程。
- 穷举法：我们可以从 0开始，依次将整数代入方程，判断是否满足同余关系。
这种方法比较直观，但对于大数目的解比较复杂。
- 代入法：我们可以将 b 替换成一个待定整数 x，然后通过一定的数学变换，将原方程转化为一个简化的同余方程。
然后我们可以通过简化后的方程来求解。
二、不定方程不定方程是指形如 ax+by=c 的方程，其中 a、b和c都是整数，且给定整数解x和y。
2.1 概念不定方程是一种用来描述整数之间的关系的方程。
不定方程中的a、b和c都是整数，其中 a和b是已知的，c是未知的。
我们需要找到满足该关系的整数解x和y。
2.2 性质不定方程具有一些重要的性质：- 如果 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是不定方程 ax+by=c 的解，那么(x₁+x₂, y₁+y₂) 也是其解。
- 不定方程 ax+by=c 只有有限多个整数解，当且仅当 c 是 a和b的公倍数。
2.3 解法解决不定方程一般有以下几种方法：- 整数分拆法：我们可以通过对方程逐项进行整数分拆，得到不同的解。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、整除与同余的概念1.整除的定义2.同余的定义二、不定方程的介绍1.不定方程的概念2.不定方程的例子三、整除与同余在不定方程中的应用1.整除在不定方程中的性质2.同余在不定方程中的性质四、不定方程的求解方法1.整除法求解2.同余法求解五、总结1.整除同余与不定方程的关系2.不定方程的求解技巧正文：整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
而不定方程是指含有未知数的等式，其解不一定是整数。
本文将探讨整除与同余在不定方程中的性质及应用，并介绍求解不定方程的方法。
首先，我们来回顾一下整除与同余的概念。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
例如，11 和19 同余，因为它们除以3 的余数都是2。
不定方程是含有未知数的等式，其解不一定是整数。
例如，x^2 + 3x + 2 = 0 是一个不定方程，其解为x = -1 和x = -2，都是整数。
然而，x^2 + 3x + 3 = 0 是一个不定方程，它没有实数解。
整除与同余在不定方程中的应用非常广泛。
整除在不定方程中的性质可以帮助我们简化问题，例如，如果一个不定方程有整数解，那么它的解一定可以表示为整数的乘积。
同余在不定方程中的性质可以帮助我们找到解的规律，例如，如果两个数同余，那么它们与任意整数的和仍然保持同余关系。
求解不定方程的方法有很多，其中整除法和同余法是常用的方法。
整除法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行因式分解，然后将未知数表示为整数的乘积，最后根据整数的性质求解方程。
同余法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行同余变形，然后利用同余性质求解方程。
总之，整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程一、整除同余1.1 定义在数论中，整除同余是指两个数 a 和 b 在模 m 下，它们的差可以被 m 整除。
可以表示为a ≡ b (mod m)。
1.2 性质整除同余具有以下性质：•自反性：a ≡ a (mod m)•对称性：如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)•传递性：如果a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)•同余定理：如果a ≡ b (mod m) 和c ≡ d (mod m)，那么a ± c ≡ b ± d (mod m)，a × c ≡ b × d (mod m)1.3 应用整除同余在密码学、编码和算法中有广泛应用。
例如，它们可以用于计算哈希函数、判断两个数是否互质、生成随机数等。
二、不定方程2.1 定义不定方程是指含有未知数的方程，通常需要找到满足方程的整数解或一类整数解。
2.2 一次不定方程一次不定方程是指形式为 ax + by = c 的方程，其中 a、b、c 为已知整数，找到整数解 (x, y)。
这类方程可以使用扩展欧几里得算法求解。
扩展欧几里得算法的步骤如下：1.初始化变量，令 r1 = a，r2 = b，s1 = 1，s2 = 0，t1 = 0，t2 = 1。
2.当r2 ≠ 0 时，执行以下循环：–计算商和余数：q = r1 // r2，r = r1 % r2。
–使用辗转相除法更新变量：r1 = r2，r2 = r；s1 = s2，s2 = s；t1 = t2，t2 = t。
3.当 r2 = 0 时，得到方程的一个解为 (x, y) = (s1, t1)。
2.3 二次不定方程二次不定方程是指形式为 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 的方程，其中 a、b、c、d、e、f 为已知整数，找到满足方程的整数解 (x, y)。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程一、什么是整除同余与不定方程1.1 整除同余整除同余是数论中的一个重要概念。
当两个整数对于某个给定的正整数n，除以n 所得的余数相等时，我们称这两个整数在模n意义下是同余的。
用符号表示为 a ≡ b (mod n)。
1.2 不定方程不定方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知整数，x、y为未知整数。
不定方程的解是指满足方程的整数解。
二、整除同余的性质2.1 传递性如果a ≡ b (mod n)且b ≡ c (mod n)，那么a ≡ c (mod n)。
2.2 同余的加减性如果a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，那么a ± c ≡ b ± d (mod n)。
2.3 同余的乘法性如果a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，那么ac ≡ bd (mod n)。
2.4 同余的幂运算性如果a ≡ b (mod n)，那么a^k ≡ b^k (mod n)，其中k为非负整数。
三、整除同余的应用3.1 寻找整数解在一些问题中，我们需要找出满足一定条件的整数解。
通过运用整除同余的性质，我们可以简化问题的求解过程。
3.2 寻找模n的逆元在模运算中，如果存在一个整数x，使得ax ≡ 1 (mod n)，我们称x为a在模n 下的逆元。
通过整除同余的性质，可以快速求解模n的逆元。
四、不定方程的求解方法4.1 欧几里得算法欧几里得算法是一种求解不定方程ax + by = gcd(a, b)的方法，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。
4.2 贝祖等式贝祖等式是一种表示不定方程ax + by = c的解的方法，其中c是a和b的最大公约数的倍数。
4.3 扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是一种求解不定方程ax + by = c的方法，其中c是a和b的最大公约数的倍数，并且可以求得x和y的具体值。
4.4 模线性方程模线性方程是指形如ax ≡ b (mod n)的方程，其中a、b、n为已知整数，x为未知整数。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程
摘要：
一、整除与同余的概念
1.整除
2.同余
二、同余方程和不定方程
1.同余方程
2.不定方程
三、整除同余与不定方程的应用
1.整除同余在数论中的应用
2.不定方程在数学和物理中的应用
正文：
整除同余与不定方程是数学中的重要概念，它们在数学研究中有广泛的应用。
首先，我们需要了解整除和同余的概念。
整除是指一个数可以被另一个数整除，即余数为零。
例如，8 可以被2 整除，因为8 除以2 的余数为0。
同余是指两个整数除以一个正整数的余数相同。
例如，11 和17 除以3 的余数都是1，因此11 和17 同余。
同余方程和不定方程是整除同余的进一步发展。
同余方程是指一个关于同余的方程，例如a mod n = b，其中a、b、n 都是整数。
而不定方程是指一个没有明确给出解的方程，例如x^2 + 2 = 6，其中x 是未知数。
整除同余与不定方程在数学和物理中有广泛的应用。
在数论中，整除同余被用来研究素数和整数之间的关系。
例如，欧拉定理表明，如果a 和n 是互质的正整数，那么a 的欧拉函数值和n 互质的数a^k mod n 的结果是循环的，循环节长度为n-1。
不定方程也在数学和物理中有重要的应用。
例如，在量子力学中，薛定谔方程就是一个关于波函数的不定方程，它描述了量子系统的状态。
在密码学中，不定方程也被用来设计加密和解密算法，例如RSA 算法就是基于大整数分解的不定方程。
总的来说，整除同余与不定方程是数学中的重要概念，它们在数学和物理中有广泛的应用。
「noip2024」同余方程
「noip2024」同余方程同余方程是一个重要的数论概念，它描述了两个整数在除以一个正整数时的余数相等。
同余方程在密码学、模运算和数论中都有广泛的应用。
本文将讨论同余方程的定义、性质、求解方法以及一些实际应用。
一、同余方程的定义和性质：同余方程是指形式为a ≡ b (mod m)的等式，表示a和b在除以m时的余数相等。
其中，a、b是任意整数，m是一个正整数。
同余方程具有以下性质：1. 反射性：a ≡ a (mod m)，整数a与自身在模m下同余。
2. 对称性：若a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)，如果a与b在模m下同余，那么b与a也在模m下同余。
3. 传递性：若a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)，如果a与b在模m下同余，b与c在模m下同余，那么a与c也在模m下同余。
4. 同余方程的加法性质：若a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡b + d (mod m)，如果a与b在模m下同余，c与d在模m下同余，那么a加上c与b加上d在模m下同余。
5. 同余方程的乘法性质：若a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a * c ≡b * d (mod m)，如果a与b在模m下同余，c与d在模m下同余，那么a乘以c与b乘以d在模m下同余。
二、同余方程的求解方法：1. 穷举法：对于较小的m和已知的a和b，可以通过穷举法查找满足a ≡ b (mod m)的整数x。
从0开始，逐一尝试，直到找到满足条件的x。
2. 同余定理法：同余定理是同余方程的一个重要性质。
如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和a * c ≡ b* d (mod m)。
利用同余定理，我们可以将同余方程化简为更简单的形式。
举例说明：假设我们要求解方程2x ≡ 3 (mod 5)，我们可以通过同余定理来不断化简。
解不定方程和同余方程的基本方法总结
解不定方程和同余方程的基本方法总结不定方程和同余方程是数论中的两个重要问题。
解不定方程的目标是找到使方程成立的整数解，而同余方程则是计算模运算下的解集。
本文将总结解不定方程和同余方程的基本方法和技巧。
一、解不定方程的基本方法解不定方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为给定的整数，x和y为未知数，求整数解。
以下是解不定方程的基本方法：1. 辗转相除法：如果a和b互素，即它们的最大公约数为1，那么可以使用辗转相除法求解不定方程。
首先，利用辗转相除法找到一个整数解(x0, y0)，然后这个方程的所有整数解可以表示为：x = x0 + bt，y = y0 - at，其中t为整数。
2. 扩展欧几里得算法：如果a和b不互素，即它们的最大公约数不为1，可以使用扩展欧几里得算法求解。
通过该算法计算出方程的一个特解(x0, y0)，然后方程的所有整数解可以表示为：x = x0 + b/d * t，y = y0 - a/d * t，其中t为整数，d为a和b的最大公约数。
3. 循环：对于一些形式特殊的不定方程，可以通过循环枚举的方法来解决。
例如对于方程3x + 7y = 100，由于3和7不互素，不能直接使用辗转相除法或扩展欧几里得算法。
可以通过循环枚举x和y的取值范围，判断是否满足方程条件，从而得到所有解。
二、同余方程的基本方法同余方程的一般形式为ax ≡ b (mod m)，其中a、b、m为给定的整数，x为未知数，求模m下的整数解。
以下是同余方程的基本方法：1. 同余定理：如果a和m互素，即它们的最大公约数为1，那么同余方程有唯一解。
可以使用扩展欧几里得算法求解逆元的方式得到解x。
2. 中国剩余定理：如果给定一系列同余方程，形如：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)其中m1、m2、...、mn两两互素，那么可以使用中国剩余定理求解该同余方程组。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程
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目录
1.整除同余与不定方程的定义和概念
2.整除同余与不定方程的性质和特点
3.整除同余与不定方程的求解方法
4.整除同余与不定方程在数学领域的应用
5.总结
正文
一、整除同余与不定方程的定义和概念
整除同余与不定方程是数论中的基本概念之一，它是研究整数性质的一种重要工具。
整除同余是指两个整数之间的余数相等，而不定方程是含有一个或多个未知数的等式。
二、整除同余与不定方程的性质和特点
整除同余与不定方程具有以下性质和特点：
1.整除同余具有反身性、对称性和传递性。
2.不定方程的解法有多种，如代入法、消元法和韦达定理等。
3.整除同余与不定方程的解集具有周期性和有限性。
三、整除同余与不定方程的求解方法
求解整除同余与不定方程的方法有多种，常见的有：
1.直接法：通过观察和尝试，直接找到满足条件的解。
2.代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求得新的解。
3.消元法：通过方程的加减消去一个未知数，从而求得解。
4.韦达定理：通过两个方程的系数关系，直接求得解。
四、整除同余与不定方程在数学领域的应用
整除同余与不定方程在数学领域具有广泛的应用，如：
1.求解数列中的某一项。
2.求解模运算问题。
3.求解同余方程组。
4.求解不定方程的整数解。
五、总结
整除同余与不定方程是数论中的基本概念，它们在数学领域具有广泛的应用。
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整除同余与不定方程
整除同余与不定方程1.引言整除同余和不定方程是数论中的基础概念和重要研究领域。
它们在代数数论、数论几何以及密码学中都有广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地介绍整除同余和不定方程的相关概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
2.整除同余2.1 整除的定义在整数集中，如果某个整数a可以除尽另一个整数b，则称a整除b，记作a | b。
4整除12，我们可以表示为4 | 12。
2.2 同余的定义在整数集中，如果两个整数a和b除以一个正整数m得到的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
12被5除的余数为2，7被5除的余数也为2，所以我们可以表示为12 ≡ 7 (mod 5)。
2.3 重要性质整除同余关系具有以下重要性质： - 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，都有a + km ≡b (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，都有ak ≡ bk (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，且c ≡d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和ac ≡ bd (mod m)； - 若a ≡ b (mod m)，则a的n次幂与b的n次幂对模m同余。
3.不定方程3.1 不定方程的概念不定方程是指方程中有未知数，并且要求寻找整数解的方程。
ax + by = c就是一个不定方程，其中a、b和c是给定的整数，而x和y是未知数。
3.2 整数解与不定方程对于不定方程ax + by = c，如果存在整数解(x0, y0)，则称该不定方程有整数解。
3.3 整数解的存在性根据欧几里得算法和裴蜀定理，不定方程ax + by = c有整数解的充分必要条件是：gcd(a, b) | c，其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数。
4.应用与拓展整除同余和不定方程在数论中有着广泛的应用，并且在实际应用中有很多拓展。
4.1 应用1：代数数论整除同余和不定方程在代数数论中是非常重要的。
同余方程和不等式方程的解法
同余方程和不等式方程的解法同余方程和不等式方程是高中数学中经常涉及的两个重要概念，它们的解法和应用在数学和工程学科中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍同余方程和不等式方程的解法，以及在实际应用中的一些示范。
同余方程的解法同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a，b，m都是整数，且m > 0。
同余方程求解就是要找出满足这个方程的所有整数x的值。
下面介绍两种求解同余方程的方法：（1）直接法：将同余方程变形为ax – b = km的形式，然后根据贝祖定理，求出a和m的最大公因数d。
如果d不能整除b，那么同余方程无解；否则，可以得到一组特解x0，然后求出同余方程的通解，即：x = x0 + k(m/d)，其中k为任意整数。
例如，对于同余方程5x ≡ 1 (mod 7)，它可以转化为5x – 1 = 7k的形式。
然后，我们可以使用欧几里得算法求出5和7的最大公因数为1，因此同余方程有解。
接下来可以通过特解法或通解法来求解。
特解法：由于5x – 1 = 7k，可以先将7除以5得到商1余2，即7 = 5×1 + 2。
进一步地，可以将5除以2得到商2余1，即5 =2×2 + 1。
然后，将这个余数代入第一个式子中，得到2 = 7 –5×1。
因此，可以得到一组特解为k = –1，x0 = 3。
因此，同余方程的解为x = 3 + 7k。
通解法：首先，由于5和7的最大公因数为1，因此它们互质。
根据费马定理，可以得到5^6 ≡ 1 (mod 7)，因此同余方程等价于5^6x ≡ 1 (mod 7)。
然后，可以将同余方程写成5x ≡ 1 (mod 7)，再使用特解法求得一组特解x0 = 3。
因此，同余方程的通解为x = 3+ 6k。
（2）中国剩余定理：中国剩余定理是解决一组同余方程的有效方法。
如果有两个同余方程ax ≡ b (mod m)和cx ≡ d (mod n)，其中m和n互质，那么可以使用中国剩余定理来求解。
高中学习数学竞赛讲座同余
高中数学竞赛讲座之同余【知点】1．m是一个定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，称 a 与b模同余，作 a b(modm)，否，就 a与b模m不同余，作a b(modm)，然，a b(modm) a km b,(k Z) m|(a b)；每一个整数a恰与1，2，⋯⋯，m，m个数中的某一个同余；2.同余的性：1).反身性：2).称性：a a(modm)；a b(modm)b a(modm)；3).假设a b(modm)，bc(modm)a c(modm);4).假设a1b1(modm)，a2b2(modm)，a1a2b1b2(modm)特是a b(modm)ak b k(modm)；5).假设a1b1(modm)，a2b2(modm)，a1a2b1b2(modm)；特是a b(modm),k Z 那么ak bk(modm)a b(modm),n N 那么a nb n(modm)；6).a(b c)abac(modm)；7).假设ac bc(modm),那么当(c,m)1时，ab(modm)当(c,m)m).特别地，acbc(momcd)a b(momd)；d时，ab(modd8).假设a b(modm1)，a b(modm2)a b(modm3)⋯⋯⋯⋯⋯⋯a b(modm n)，且M [m1,m2,m n]，那么a b(modM)数学【例1】明：完全平方数模4同余于 0或1；明：设n 是任一整数，那么n 2k 或者n 2k 1,k Z;当n 2k 时，n 24k 20(mod4);当n2k 1时，n 2 〔2k1)21(mod4);所以原命成立；【例2】明于任何整数k0 ,26k136k156k1能被7整除；证：令M26k136k 1 56k1M226k336k 56k1264k3729k15625k12(791)k3(7104 1)k(7 2232 1)k127A237B37C11(2311)(mod7)0(mod7)对于k0,且kZ,26k136k1 56k1都能被7整除；注：a1(modb)a k 1(modb),kZ【例3】判断197126197227 197328能被3整除？解：19710(mod3),1972 1(mod3),1973 2(mod3)197126197227197328 (026 127228)(mod3)即：261972271973 28(1 228)(mod3)1971又2284141(mod3), (1 228) 2(mod3)197126197227 197328不能被3整除；【例4】能否把1，2，⋯⋯，19801980 个数分成四，令每数之和S 1，S 2，S 3，S 4，且足S 2S 1，＝10，S 3 S 2＝10，S 4S 3＝10；解：依题意可知：TS 1S 2S 3S 4＝S 1S 110 S 120S 130T 4S 1 60 0(mod4)又T123198019812(mod4)198099019812产生矛盾，不能这样分组；数学【例5】在数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻假设干数之和，能被11整除的数组共有多少组。
初中数学竞赛教程《同余3》
初中数学竞赛教程《同余3》同余是数论中一个重要的概念，也是初中数学竞赛中常考的知识点之一、同余关系可以帮助我们解决一些整数求余的问题，同时也有一些重要的应用，如模运算、同余方程等。
本文将介绍同余的基本概念、性质以及应用。
一、同余的基本概念同余的定义：设a、b为任意两个整数，m为一个正整数，如果m整除(a-b)，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b模m 同余。
二、同余的性质1. 自反性：对于任意整数a，有a≡a(mod m)。
证明：因为m整除（a-a），所以a与a对于模m同余。
2. 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
证明：由a≡b(mod m)，得m整除a-b，又由整除的性质，得m整除-(a-b)，即m整除b-a，所以b≡a(mod m)。
3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
证明：由a≡b(mod m)和b≡c(mod m)，得m整除a-b和b-c所以m整除（a-b）+（b-c），即m整除a-c，所以a≡c(mod m)。
三、同余的应用1. 求余数：当m=10时，对一个正整数n，n≡a(mod 10)的意义就是n的个位数是a。
比如，1234≡4(mod 10)。
2. 模运算：同余关系可以推广到任意的四则运算和乘幂运算中。
比如，对于任意整数a、b，若a≡b(mod m)，那么对于任意整数c，有(a+c)≡(b+c)(mod m)和(a-c)≡(b-c)(mod m)。
另外，如果a≡b(mod m)，则a^k≡b^k(mod m)。
3. 同余方程：同余方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b、m是已知的整数，x是未知的整数。
同余方程在密码学、计算机算法等领域有广泛的应用。
解同余方程的方法一般有试错法、中国剩余定理等。
在解同余方程时，我们要先求出模m意义下的倒数，一般记作b^-1，满足b*b^-1≡1(mod m)。
竞赛数学课程 同余
同 余同余是数论中的重要概念，也是一种方便有力的工具。
它主要涉及同余式、剩余类及鸥拉函数等内容。
一、 基本理论：1.同余式：a ≡b(modm) ⇔a=1q m+r 且b=2q m+r ⇔m ∣a-b （1） 自反性：a ≡a(modm)（2） 对称性：a ≡b(modm) ⇔b ≡a(modm)（3） 传递性：a ≡b(modm)且b ≡c(modm)，则a ≡c(modm)（4） a ≡b(modm)，c ≡d(modm)，则a ±c ≡b ±d(modm)，ac ≡bd(modm)（5） a ≡b(modm)，n +∈Z ，则nn b a ≡ (modm) （6） a ≡b(modm)，m=qn ，n +∈Z ，则a ≡b(modn)（7） a ≡b(mod i m )，i =1、2、…k ，则a ≡b(mod[k m m m ,,21])（8） m ≥1，m +∈Z ，(a,m)=1，则∃c ，使ac ≡1(modm)2．剩余类i M ={i+km ∣i=1,2,…m-1,k ∈ Z}称为模m 的剩余类（同余类），表示为imodm.(1) 在任意给定的m+1个整数中，必有两个对模m 同余。
(2) 存在m 个数，两两对模m 不同余。
(3) n ∣m ，则Z r ∈∃，有rmodm ⊆rmodn(4) 1a modm=2a modm ，则(1a ，m)=(2a ，m)(5) f(x)=011a x a x a n n n n +++-- ， g(x)= 011b x b x b n n n n +++-- ，是两整系数多项式，若满足i i b a ≡(modm)(i=1,2…n)，则当a ≡b(modm)时，f(a)=g(b)(modm)。
（上述多项式叫同余多项式，记为f(x) ≡g(x)(modm)3．鸥拉函数(r,m)=1，则称rmodm 为模m 的既约（互素）同余类，模m 的所有既约同余类的个数记作Ф(x),叫鸥拉函数。
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竞赛讲座03--同余式与不定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1. 同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r（r=0，1，…，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余；(4) 同余关系是一种等价关系：①反身性；②对称性，则，反之亦然.③传递性，，则；（5）如果，，则①；②特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n. 解∵∴则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2 求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.例3 求证31980+41981能被5整除.证明∵∴∴∴2．不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程①证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例7 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a 满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≣3,∴≢1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（）.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例11 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≣0，解得≢y≢.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例12 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例13（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26·31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x是完全平方数.∵x＜1984，∵1≢t≢7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≢x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习二十1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A）一组（B）二组（C）三组（D）四组(2)在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）.（A） 3个（B）4个（C）5个（D）6个2．填空题（1）的个位数分别为_________及_________.(2)满足不等式104≢A≢105的整数A的个数是x×104+1，则x的值________.(3) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为________.(4) (全俄第14届中学生数学竞赛试题)求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_________.3.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.4．（1985年上海数学竞赛题）在数列4，8，17，77，97，106，125，238中相邻若干个数之和是3的倍数，而不是9的倍数的数组共有多少组？5．求的整数解.6．求证可被37整除.7．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.8．（1985年上海初中数学竞赛题）已知直角三角形的两直角边长分别为l厘米、m 厘米，斜边长为n厘米，且l，m，n均为正整数，l为质数.证明：2（l+m+n）是完全平方数.9.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习二十1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可变形为x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨设x≢y≢z,则,故x≢3.又有故x≣2.若x=2,则,故y≢6.又有,故y≣4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≢y≢4,y=3或4,z都不能是整数.4.可仿例2解.5.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|N.7.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≣0及y为整数可得0≢y≢5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l为质数,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方数.9.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.。