高中数学北师大版选修2-3课件：第一章 5 第二课时 二项式系数的性质
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选修2-3：1.3.2二项式系数的性质-课件(共26张PPT)
拔高练习：
若(2 x 3 )4 a0 x4 a1 x3 a2 x2 a3 x a4 求(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2
解：原式 (a0 a2 a4 a1 a3 ) (a0 a2 a4 a1 a3 ) (a0 a1 a2 a3 a4 ) (a0 a1 a2 a3 a4 )
C
r n
C
0 n
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
C
n n
可看成是集合｛0，1，…，n｝到二项式系数的集合的映射。
二项式系数与函数
从映射、函数的观点看，二项式系数可 以看作是一个定义域为 {0，1，2，…，n} 的函数当自变量从小到大依次取值时对应 的一列函数值。
y f (x)
函数值
C
r n
自变量
r
的系数之和为1024，求它的中间项.
解：∵展开式中各项的二项式系数与该项的 的系数相等
∴由已知可得：2n-1=1024
解得 n=11，∴有两个中间项分别为
T6=462x-4，T7=462x
61 15
求解二项式系数和时，灵活运用赋 值法可以使问题简单化。通常选取赋值 时取－1，1，0。
例题讲解 2 例2、已知：(x 3 3x2 )n 的展开式中，各项系数和比它
先增后减
T 即 n 1 2
n
当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数
最大值 ；
Cn2取得
C C 当n是奇数时，中间的两项 二项式系数
和 n1 2 n
n 1 2
n
相等，且 同时取得最大值。
即T T 和 n11 2
北师大版高中数学《二项式系数的性质》全国一等奖教学课件
0 5
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
0 1 2 3 4 5 6 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 C6 C6C6 C6 C6 C6 C6 …… …………………… ……………… 0 1 2 r n1 n (a+b)n Cn CnCn Cn
性质1.
0 1 2 C2 C2C2 0 1 2 3 C3 C3C3 C3 0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4
此表叫作：二项式系数表
杨辉三角
人物介绍
杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。他编著的数学书共五种二十一卷。著有 《详解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通 变本末》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘 奇算法》二卷。其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、 日本等国均有译本出版，流传世界。 早在1261年，“杨辉三角”在其编著的《详解九章算法 中出现，此书还说明了表内除“一”以外的每一个数都等于 它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书， 且我国北宋数学家贾宪已经用过它，这表明我国发现这个 表不晚于11世纪。 在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的 （1623-1662年），这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 500年左右，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得 中华民族自豪的。
f(r)= C
f(r) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 O 3
r 6
1 6 15 20 15 6 1
0 1 2 3 4 5 6 C6 C6C6 C6 C6 C6 C6
1 7 21 35 35 21 7 1 CCCCCCCC
6
0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 5.2二项式系数的性质》7
《二项式系数的性质》教学设计陕西省西安中学焦宇一、教学内容解析1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。
以二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质。
这一过程不仅有利于学生理解本节课的核心数学知识，也有利于培养和提高学生的数学素养，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力，发展其数学应用意识、创新精神。
2．学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联想到组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。
故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。
另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。
二、教学目标设置教学目标：1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程；3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生协作的精神，提高学生思维能力，激发学生探索热情。
通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。
教学重点：观察、讨论交流并归纳二项式系数的性质，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力；教学难点：从函数的角度，理解二项式系数的增减性与最大值。
三、学情分析学生已经学习了两个计数原理、二项式定理和组合数的性质，已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力。
《1.5.2 二项式系数的性质》 课件 1-优质公开课-北师大选修2-3精品
若需展开的式子中有3项，应变形为两项后展 开.
【例1】试展开 ( x 1 )4．
2x
【审题指导】展开一个二项式即直接应用二项式定理，但
应注意本题 x 为a，而b是 1 ．
2x
【规范解答】方法一：
(
x
1 2x
)
4
C04 (
x )4 C14 (
x )3
1 2x
C24 (
x)2 ( 1 )2 2x
［x 1 1］n xn.
二项式系数与某项的系数问题 二项式系数与某项的系数的区别及求法
(1)二项展开式中某项的二项式系数和该项的系数是两个不 同的概念，前者是指组合数 Crn，实际上是同类项的个数， 而后者是指该项字母的系数，其值可正、可负． (2)求某项的二项式系数、系数或含xr的系数，通常是先利 用通项公式求出相应的项，再根据题目条件确定．
【规范解答】(1)二项展开式的通项为：
Crn (3
x )nr
( 3 )r 3x
n 2r
3 r Crnx 3 ，
∵第６项为常数项，∴当r=5时，
n 2r 0，得n 10． 3
(2)根据通项公式，由题意得
n 0
2r Z 3 r 10
,
r Z
《1.5.2 二项式系数的性质》 课件 1
二项式定理的简单应用 二项式定理直接应用的策略
二项式定理的简单应用首先体现为正用二项式定理展开二 项式或逆用二项式定理化简展开式，熟记二项式(a+b)n的 展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂 的二项式，有时可先化简再展开，往往更简捷．
C34
x
(
2
【例1】试展开 ( x 1 )4．
2x
【审题指导】展开一个二项式即直接应用二项式定理，但
应注意本题 x 为a，而b是 1 ．
2x
【规范解答】方法一：
(
x
1 2x
)
4
C04 (
x )4 C14 (
x )3
1 2x
C24 (
x)2 ( 1 )2 2x
［x 1 1］n xn.
二项式系数与某项的系数问题 二项式系数与某项的系数的区别及求法
(1)二项展开式中某项的二项式系数和该项的系数是两个不 同的概念，前者是指组合数 Crn，实际上是同类项的个数， 而后者是指该项字母的系数，其值可正、可负． (2)求某项的二项式系数、系数或含xr的系数，通常是先利 用通项公式求出相应的项，再根据题目条件确定．
【规范解答】(1)二项展开式的通项为：
Crn (3
x )nr
( 3 )r 3x
n 2r
3 r Crnx 3 ，
∵第６项为常数项，∴当r=5时，
n 2r 0，得n 10． 3
(2)根据通项公式，由题意得
n 0
2r Z 3 r 10
,
r Z
《1.5.2 二项式系数的性质》 课件 1
二项式定理的简单应用 二项式定理直接应用的策略
二项式定理的简单应用首先体现为正用二项式定理展开二 项式或逆用二项式定理化简展开式，熟记二项式(a+b)n的 展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂 的二项式，有时可先化简再展开，往往更简捷．
C34
x
(
2
2018年高中数学北师大版选修2-3课件：二项式定理
3 0 3 3 1 2 3 2 3 2
3 3 3
探究2
仿照上述过程,推导
的展开式.
( a b)
2
a 2 ab
2
b
2
( a b)
3
a
3
a b
2
ab2
a b
2 2
b
3
3
4
( a b)
4
a
4
a b
3
ab
b
(a b) ?
n
探究3：
请分析
n
的展开过程
问题1: 的展开式是什么？ (a1 a2 )( b1 b2 )
展开式有几项？每一项是怎样构成的？
问题2:
(a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )
展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
探究1 推导
3
的展开式.
③二项式系数:
④二项展开式的通项:
课堂练习
例：求
1 6 (2 x ) x
的展开式．
分析：对照二项展开式的通项n、a、b分别是什么，然后逐项写出。
1 6 例：求 (2 x ) 的展开式． x
解: 直接展开
1 6 1 0 6 1 5 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x ) ( ) x x 1 2 1 3 2 4 3 3 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) 2 x 2 x
1 4 1 5 1 6 5 6 C (2 x ) ( ) C6 (2 x )( ) C6 ( ) x x x 60 12 1 3 2 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
3 3 3
探究2
仿照上述过程,推导
的展开式.
( a b)
2
a 2 ab
2
b
2
( a b)
3
a
3
a b
2
ab2
a b
2 2
b
3
3
4
( a b)
4
a
4
a b
3
ab
b
(a b) ?
n
探究3：
请分析
n
的展开过程
问题1: 的展开式是什么？ (a1 a2 )( b1 b2 )
展开式有几项？每一项是怎样构成的？
问题2:
(a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )
展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构 成了展开式中的每一项.
探究1 推导
3
的展开式.
③二项式系数:
④二项展开式的通项:
课堂练习
例：求
1 6 (2 x ) x
的展开式．
分析：对照二项展开式的通项n、a、b分别是什么，然后逐项写出。
1 6 例：求 (2 x ) 的展开式． x
解: 直接展开
1 6 1 0 6 1 5 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x ) ( ) x x 1 2 1 3 2 4 3 3 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) 2 x 2 x
1 4 1 5 1 6 5 6 C (2 x ) ( ) C6 (2 x )( ) C6 ( ) x x x 60 12 1 3 2 64x 192x 240x 160 2 3 x x x
数学北师大版高中选修2-3二项式定理说课课件
二项式定理说课
一、教材分析 二、目标分析
四、教法分析
五、过程分析
三、重点难点分析 六、评价分析
退出
一、教材分析
二项式定理是选修2—3第一章第3节的 内容。它是解决高次多项式问题的有力工具。 在函数、数列、不等式证明等问题中时常会 碰到高次多项式的问题，二项式就是解决该 类问题的重要工具之一。
知识目标 二、目标分析 能力目标 情感目标
n n
(4) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 T r + 1 =
C a
r n
n r
b
r
, (r=0,1,2,…n)
知识形成性练习
题组一 1、写出(p+q)7的展开式. 2、求(2a+3b)6的展开式的第三项. 3、（x-1)10的展开式的第六项的系数是. 题组二
1 6 ) 的展开式 例1、求 (2 x x
n n n
二项式定理： 对于任意n ∈ N *
0 n 2 n 2 2 n 1 n 1 (a b ) Cna C na b C n a b
L C a
r n
n r
b L C b
r n n
n
注: (1) 展开式的项数为 n+1 项；
(2) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n 1 n 叫做二项式系数 (3)其中 C 0 ，C n ，……， C
（4）求 ( 1 + 2x ) 7 的展开式中所有偶数项系数的和 令f(x)=( 1 + 2x ) 7 则 （1）f(1) (2) f(-1)
f (1) f (1) f (1) f (1) (3) (4) 2 2
一、教材分析 二、目标分析
四、教法分析
五、过程分析
三、重点难点分析 六、评价分析
退出
一、教材分析
二项式定理是选修2—3第一章第3节的 内容。它是解决高次多项式问题的有力工具。 在函数、数列、不等式证明等问题中时常会 碰到高次多项式的问题，二项式就是解决该 类问题的重要工具之一。
知识目标 二、目标分析 能力目标 情感目标
n n
(4) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 T r + 1 =
C a
r n
n r
b
r
, (r=0,1,2,…n)
知识形成性练习
题组一 1、写出(p+q)7的展开式. 2、求(2a+3b)6的展开式的第三项. 3、（x-1)10的展开式的第六项的系数是. 题组二
1 6 ) 的展开式 例1、求 (2 x x
n n n
二项式定理： 对于任意n ∈ N *
0 n 2 n 2 2 n 1 n 1 (a b ) Cna C na b C n a b
L C a
r n
n r
b L C b
r n n
n
注: (1) 展开式的项数为 n+1 项；
(2) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n 1 n 叫做二项式系数 (3)其中 C 0 ，C n ，……， C
（4）求 ( 1 + 2x ) 7 的展开式中所有偶数项系数的和 令f(x)=( 1 + 2x ) 7 则 （1）f(1) (2) f(-1)
f (1) f (1) f (1) f (1) (3) (4) 2 2
数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理
(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2 ＋…＋Cnr (x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[ (x＋1)＋(－1)] n＝xn．
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
5.4.2 二项式系数的性质 教学课件(38张PPT) 高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
（与 a,b 的值无关，只与 n 的值有关）
C
n n
，这表明在二项
C
n n
2n
②在二项式定理中，令 a=1，b=-1，则有
1 1 n 0n C0n C1n
1 k Cnk
1 n Cnn ，这表明在二项展开式中奇
数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于 2n 1 ．即
C0n C2n C4n
（2）将三项式视为二项式，利用二项式定理逐次展开，不同的分组方式展开过
程中的运算繁简也不相同，要注意结合三项式中各项的特征合理分组，以简化运
算．如求 x
1
n
2 的展开式，可视为 x
1
x
x
x2
2x
n
1
x
x 1 2n xn 等．
n
2 ，或 x 2
1 n ，或变形 x
特别地，若三项式可因式分解为两个二项式的乘积，则可分 别利用二项式定理展开，再利用多项式的乘法法则展开．
等．
（2）在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它"肩上"两个数的和（由组
合数的性质:
C
k n
1
Ckn 1
Ckn 即得）；当二项式的次数不大时，可借助杨辉三角直
接写出各项的二项式系数.
二项式系数的性质
(1）各二项式系数的和
①在二项式定理中，令 a=b=1，则有 2n
C0n
C1n
C
2 n
展开式中各项的二项式系数之和为 2"．即 C0n C1n C2n
，
又当
r
12
时，
C12 24
取最大值，
则系数最大的项是第
高中数学北师大版选修2-3学案1.5.2 二项式系数的性质 Word版含解析
二项式系数的性质
．了解杨辉三角．
．掌握二项式系数的性质．(重点)
．会用赋值法求系数和．(难点
)
[基础·初探]
教材整理二项式系数的性质
阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题．
．杨辉三角的特点
()在同一行中每行两端都是，与这两个等距离的项的系数．
()在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的，即＝.
【答案】()相等()和＋
．二项式系数的性质
当为奇数时，中间两项的二项式系数
．已知(＋)展开式中只有第项的二项式系数最大，则等于( )
．．
．．
【解析】∵只有第项的二项式系数最大，
∴＋＝，∴＝.
【答案】
．如图--，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第个与第个数的比为∶.
图--
【解析】由已知＝，
即×＝，
化简得＝，解得＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]。
2021-2022学年高中数学北师大版选修2-3同步课件：第一章 §5 二项式定理
探究一
探究二
探究三
思维辨析
课堂篇探究学习
当堂检测
解(1)令 x=0,则展开式为 a0=2100.
(2)令 x=1 可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3)100,
①
∴a1+a2+…+a100=(2- 3)100-2100.
(3)令 x=-1 可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3)100.
3 5
(2)由二项式定理得 2- 2
2
2
3
3
3
3
0
1
2
3
= C5 (2x)5+C5 (2x)4· - 2 + C5 (2x)3 - 2 + C5 (2x)2 - 2 +
2
2
2
3 4
3 5
180 135 405
243
4
5
C5 (2x)· - 22 + C5 - 22 =32x5-120x2+ − 4 + 87 − 3210 .
名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数
最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并
且最大.
2.二项式系数的和等于 2n,即C0 + C1 + C2 +…+C =2n.
3.二项式展开式中,偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式
系数和,即C1 + C3 + C5 +…=C0 + C2 + C4 +…=2n-1.
§5
二项式定理
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-3同步配套课件：1.5 二项式定理1.5.2 .pdf
解析:由1,3,5,7,9,…可知它们成等差数列,所以an=2n-1. 答案:2n-1
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
123456
6.在二项式(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和.
解设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9. (1)二项式系数之和为C90 + C91 + C92+…+C99=29. (2)各项系数之和为 a0+a1+a2+…+a9,令 x=1,y=1,所以
D.第 5 项和第 7 项
解析
������-
1 ������
10
的展开式的通项为
Tr+1=C1������0 x10-r·
-
1 ������
������
=(-1)rC1������0 x10-2r,
其系数为(-1)rC1������0 .
∵ C150最大,其次是C140与C160,
∴当 r=4 或 r=6 时,系数最大,即第 5 项和第 7 项系数最大.
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 3】求(1-2x)7 展开式中系数最大的项. 解设展开式中的第 r+1 项的系数最大,由通项知 Tr+1=C7������ ·(2)rxr(r=0,1,…,7),则此时 r 为偶数.
依题意得 C7������ (-2)������ ≥ C7������-2(-2)������-2, C7������ (-2)������ ≥ C7������+2(-2)������+2,
2018学年高中数学北师大版选修2-3课件：1.5.2 二项式系数的性质 精品
A．11
B．10
C．9
D．8
【解析】 ∵只有第 5 项的二项式系数最大，
∴n2＋1＝5，∴n＝8. 【答案】 D
2．如图 1-5-1，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左 至右第 14 个与第 15 个数的比为 2∶3.
图 1-5-1
【解析】 由已知CCn1n134＝23， 即n－13n！！·13！×n－14n！！·14！＝23， 化简得n－1413＝23，解得 n＝34. 【答案】 34
[小组合作型]
与“杨辉三角”有关的问题 如图 1-5-2，在“杨辉三角”中斜线 AB 的上 方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前 n 项和为 Sn，求 S19 的值． 【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C12，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，……，第 17 项是 C210，第 18 项是 C110，第 19 项是 C211.
(2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr53r·
．
假设 Tr＋1 项系数最大，
则有CC5rr533rr≥ ≥CCr5r5－ ＋11··33rr－ ＋11， ，
∴55－ －55rr！ ！！ ！rr！ ！× ≥34≥－6r－！5！rr！＋5！1r－ ！1×！3， ，
∴35r≥ －1 6r≥－1 rr＋，3 1. ∴72≤r≤92，∵r∈N＋，∴r＝4. ∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45
【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时，中间
的两项
相等，且同时取得最大值．
已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数 和大 992.
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3课件：第一章 5 第二课时 二项式系数的性质
解：(1)令 x＝0，则 a0＝－1. 令 x＝1，则 a0＋a1＋…＋a7＝27＝128， ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令 x＝－1，则 a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7， 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256. ② ①
[精解详析] (1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a2 013x2 013 中，令 x＝0，得 1＝a0. ∴a0＝1. (2)在等式中，令 x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 a1＋a2＋…＋a2 013＝－2. (3)令 x＝－1，x＝1，
2 013 ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012－a2 013， 3 得 －1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＋a2 013，
[思路点拨]
观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项
还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．
[精解详析]
1 由图知，数列中的首项是 C2 2，第 2 项是 C2，第 3
1 2 1 项是 C2 ，第 4 项是 C ，…，第 17 项是 C ，第 18 项是 C 3 3 10 10，第 19
项是 C2 11.
答案：2n－1
2．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中 从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.
1 解析：由杨辉三角知，第 1 行中的数是 C0 ， C 1 1；第 2 行中的数 1 2 0 1 2 3 是 C0 2，C2，C2；第 3 行中的数是 C3，C3，C3，C3；…；第 n 0 2 n 行中的数是 Cn ，C1 ， C ， … ， C n n n.设第 n 行中从左到右第 14 与 14 第 15 个数的比为 2∶3，则 C13 n ∶Cn ＝2∶3，解之得 n＝34.
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[精解详析] (1)在等式(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a2 013x2 013 中，令 x＝0，得 1＝a0. ∴a0＝1. (2)在等式中，令 x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 a1＋a2＋…＋a2 013＝－2. (3)令 x＝－1，x＝1，
2 013 ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012－a2 013， 3 得 －1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＋a2 013，
§5 第 一 章
二 项 式 定 理
第 一 课 时 二 项 式 系 数 的 性 质
理解教材新知
知识点
考点一
把握热点考向
考点二
应用创新演练
§ 5
二项式定理
第二课时
二项式系数的性质
二项式系数的性质
n 依次取 1,2,3，…时，(a＋b)n 展开式的二项式系数如图 所示：
观察此表，思考下列问题．
问题 1：同一行中，系数有什么规律？
提示：两端都是 1，与两端 1 等距离的项的系数相等，
n－r 即 Cr ＝ C n n .
问题 2：相邻两行，系数有什么规律？
提示： 在相邻的两行中， 除 1 以外的每一个数都等于它“肩
r－1 r 上”两个数的和，即 Cr ＝ C n＋1 n ＋Cn.
“杨辉三角”及其规律 (1)杨辉三角
(2)“杨辉三角”蕴含的规律 ①在同一行中，每行两端都是 1. ②在相邻的两行中，除 1 以外的每一 个数都等于它“肩上”两数的和．即二项
(3 分)
013，∴
(6 分)
相减，得－1－32 013＝2(a1＋a3＋…＋a2 013)． 1 ∴a1＋a3＋…＋a2 013＝－ (1＋22 013)． 2
(8 分) (10 分)
[一点通]
(1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方
法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值， 也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况． (2)一般地，二项式展开式 f(x)的各项系数的和为 f(1)，奇 1 1 次项系数和为 [f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为 [f(1)＋f(－1)]． 2 2
1 2 2 1 2 1 2 2 ∴S19＝(C2 ＋C2 )＋(C1 3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C10＋C10)＋C11 1 1 1 2 2 2 ＝(C1 ＋ C ＋ C ＋…＋ C ) ＋ (C ＋ C ＋…＋ C 2 3 4 10 2 3 11)
2＋10×9 3 ＝ ＋C12 ＝54＋220＝274. 2
7－ r r (3)∵Tr＋1＝Cr (3 x ) ( － 1) ， 7
∴a2k－1>0(k∈N＋)，a2k<0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7| ＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7 ＝47＝16 384.
答案：2n－1
2．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中 从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.
1 解析：由杨辉三角知，第 1 行中的数是 C0 ， C 1 1；第 2 行中的数 1 2 0 1 2 3 是 C0 2，C2，C2；第 3 行中的数是 C3，C3，C3，C3；…；第 n 0 2 n 行中的数是 Cn ，C1 ， C ， … ， C n n n.设第 n 行中从左到右第 14 与 14 第 15 个数的比为 2∶3，则 C13 n ∶Cn ＝2∶3，解之得 n＝34.
2．从表中可以看出(a＋b)n 的展开式中二项式系数先增加，后
1 2 n n 减少，各二项式系数和等于 2n，而 C0 ＋ C ＋ C ＋…＋ C ＝ 2 . n n n n
与“杨辉三角”有关的问题
[例 1]
如图所示，在“杨辉三角”中，斜
线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一 个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前 n 项 和为 Sn，求 S19 的值．
3．(1－2x)15 的展开式中的各项系数和是 A．1 C．215 B．－1 D．315
(
)
解析：令 x＝1 时(－1)15＝－1.
答案：B
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0 求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
[一点通]
解决与杨辉三角有关问题的一般思路：
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观 察； (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数 据的规律．
1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第 n 行 的首尾两个数均为________．
解析：观察规律可知：第 n 行的首尾两个数均为 2n－1.
r 1 r 式系数满足组合数的性质 Cr n＋1＝Cn ＋Cn. 等距离 ”的两个二项式系数相等， ③与首末两端“_______ 即二项
－
n－r r C n 式系数具有对称性．Cn＝_____.
1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：
n－r (1)Cr ＝ C n n ； r－1 r (2)Cr ＝ C ＋ C ＋ n 1 n n.
[思路点拨]
观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项
还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．
[精解详析]
1 由图知，数列中的首项是 C2 2，第 2 项是 C2，第 3
1 2 1 项是 C2 ，第 4 项是 C ，…，第 17 项是 C ，第 18 项是 C 3 3 10 10，第 19
项是 C2 11.
答案：34
二项展开式中系数的和
[例 2] ∈R)． (1)求 a0 的值； (2)求 a1＋a2＋a3＋…＋a2 013 的值； (3)求 a1＋a3＋a5＋…＋a20 13 的值． [思路点拨] 可在已知的等式中分别取 x＝0,1，－1，得各系 数和、差的关系，进而求解． (10 分)设(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013(x
解：(1)令 x＝0，则 a0＝－1. 令 x＝1，则 a0＋a1＋…＋a7＝27＝128， ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令 x＝－1，则 a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7， 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256. ② ①