四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文)答案
四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末考试数学(理科)试题解析版
17.在等比数列 中， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
(Ⅱ)设 是等差数列，且 ，求数列 的公差，并计算 的值.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由题意求得数列的公比为2，据此求解可得数列的通项公式为 .
(Ⅱ)由题意可得数列 的公差为6，并项求和可得 的值是-300.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，
∴2×2a3=3a2+a4，
∴4a2q=3 ，化为q2﹣4q+3=0，
解得q=1或3．又各项均不等，所以q=3
当q=3时， .
故选A．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的求通项公式与和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.
【详解】如图， 于 ， 延长线交地面于 ，则 ， ，而 ，所以 ，即 ， ，
所以 ．
故答案为：28．
【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．
16.设 是从 ，0，1这三个整数中取值的数列，若 ，且 ，则 中数字0的个数为________.
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意用m，n表示出a，b和c，再把不等式 化为以m，n为系数的不等式，求出解集即可.
【详解】因为不等式 的解为 ，所以 ，且 ，
四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期中考试数学(文)试题含解析
郫都区2019—2020学年度下期期中考试高一文科数学试题说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.第I 卷（选择题 共60分）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.不等式(1)(2)0x x --<的解集为（ ） A. {|1,x x <或2}x > B. {|12}x x << C. {|2,x x <-或1}x >- D. {|21}x x -<<-【答案】B 【解析】分析：结合二次函数的图象解不等式可得结果． 详解：结合二次函数的图象解不等式得12x <<， ∴不等式的解集为{|12}x x <<． 故选B ．点睛：解一元二次不等式的步骤（1）对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式；（2）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； （3）根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集． 2.cos45cos15sin 45sin15︒︒-︒︒=（ ） 32 C.12D.624- 【答案】C【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式求解即可.【详解】()1cos 45cos15sin 45sin15cos 45152︒︒-︒︒=︒+︒= 故选：C【点睛】本题主要考查了逆用两角和的余弦公式，属于基础题. 3.设a b >，则下列不等式成立的是（ ） A. 22a b > B.11a b< C.11a b a>- D.22a b c c > 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】a b >，对于A 选项，取1a =-，2b =-，则22a b <，A 选项中的不等式不成立；对于B 选项，取1a =，1b =-，则11a b >，B 选项中的不等式不成立； 对于C 选项，取0b =，则11a b a=-，C 选项中的不等式不成立； 对于D 选项，0c ≠，则210c >，a b >，由不等式的基本性质得22a b c c>，D 选项中的不等式成立. 故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、特殊值法、作差（商）法、函数单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知466a a +=-，则9S =（ ） A. -27 B. 27C. -54D. 54【答案】A 【解析】 试题分析：因466a a +=-,故，所以应选A.考点：等差数列的性质及其前项和．晨鸟教育5.已知{}n a 是等比数列，且5371,422a a a =+=，则9a = A. 2± B. 8 C. 18D. 2【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列，且512a =,得237514a a a ==.又3742a a +=，联立得314a =.253 q 2a a ==. 4952a a q ==.故选D.6.已知ABC ∆中，45,2,A a b =︒==那么B ∠为（ ）A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒【答案】A 【解析】试题分析：在ABC ∆中，45,2,A a b =︒==a b >，A B ∠>∠，那么B ∠为锐角，由正弦定理可得2,,sin sin sin45sin a b A B B==即解得01sin ,302B B =∴=. 考点：正弦定理的应用. 7.若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,4)B. [0,2)C. [0,4)D. (2,4]【答案】C 【解析】 【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.在ABC 中，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形【答案】D 【解析】 【分析】 在ABC中，把()sin sin sin cos +cos sin C A B A B A B=+=⋅⋅代入到2cos sin sin B A C =中，化简即可【详解】解：在ABC 中，()sin sin sin cos +cos sin C A B A B A B =+=⋅⋅ 因为2cos sin sin B A C =，所以()2cos sin sin cos +cos sin sin cos cos sin 0sin 0B A A B A BA B A B A B =⋅⋅⋅-⋅=-= 所以A B =，则ABC 的形状等腰三角形 故选：D【点睛】考查两角和的正弦公式和三角形中的恒等式，基础题.9.在ABC ∆，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若内角,,A B C 依次成等差数列，且不等式220x ax c -++>的解集为1,2，则b 等于（ ）A. B. 3C. 4D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得出60B =︒，根据不等式的解集得出4,2c a ==，再由余弦定理即可得出答案.【详解】因为内角,,A B C 依次成等差数列，所以2B A C B π=+=-，即60B =︒ 因为不等式220x ax c -++>的解集为()1,2-，所以方程220x ax c -++=的两根为1,2- 则122a -+=--，122c -⨯=-，即4,2c a == 由余弦定理可知，2222212cos 24224122b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， 即23b = 故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，涉及等差数列的性质，一元二次不等式的应用，属于中档题.10.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北o 45（即o 45BAC ∠=）的方向上，行驶6006m 后到达B 处，测得此山顶在北偏东o 15（即o 75ABC ∠=）的方向上，仰角o 30DBC ∠=，则此山的高度CD =（ ）A. 800 3 mB. 600 3 mC. 400 3 mD.200 3 m【答案】C 【解析】 分析】根据正弦定理先求得BC ,再求出DC 即可. 【详解】易得180457560BCA ∠=︒-︒-︒=︒.由正弦定理得sin 1200sin sin sin AB BC AB BACBC m BCA BAC BCA⋅∠=⇒===∠∠∠.故tan301200CD BC m =⨯︒==. 故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中的正余弦定理的实际运用,属于中等题型. 11.已知2sin2cos21θθ-=，则sin 2cos21sin 2cos21θθθθ++-+的值为（ ）A.45B. 0C. 2D. 0或2【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式对2sin2cos21θθ-=化简，可得cos 0θ=或1tan 2θ=，再对sin 2cos21sin 2cos21θθθθ++-+利用二倍角公式化简，代值可得结果.【详解】解：因为2sin2cos21θθ-=， 所以24sin cos 2cos θθθ=， 所以cos 0θ=或1tan 2θ=因为22sin 2cos 212sin cos 2cos 2cos (sin cos )cos =sin 2cos 212sin cos 2sin 2sin (sin cos )sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++++==-+++所以sin 2cos 21=0sin 2cos 21θθθθ++-+或2故选：D【点睛】此题考查三角函数恒等变换中的二倍角公式，属于基础题.12.已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x =-+的定义域为,a b ，值域为2⎡⎢⎣⎦，则b a -的值不可能是（ ）A.3π B.2π C.712π D. 34π【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再由正弦函数的性质得出b a -的取值范围，即可进行判断. 【详解】2()2cos (sin cos )12sin cos 2cos 1sin 2cos 2f x x x x x x x x x =-+=-+=-2sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,222444a xb a x b πππ∴---又222sin 242x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 11sin 242x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭正弦函数sin y x =在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦这一个周期中，其图像如下图所示由图可知，当246b ππ-=，7246a ππ-=-时，2244b a ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值即()max 1272663b a πππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=当246b ππ-=，242a ππ-=-时，2244b a ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值 即()min 16232b a πππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=则2,33b a ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦由于32,433πππ⎡⎤∉⎢⎥⎣⎦，则D 错误 故选：D【点睛】本题主要考查了已知正弦型函数的值域求参数的范围，涉及了三角恒等变换的应用，属于中档题.第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效. 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等差数列{}n a 的通项公式为23n a n =-，那么它的公差为______________. 【答案】3- 【解析】 【分析】利用第二项减去第一项，即可得出答案.【详解】()()21232231413d a a =-=-⨯--⨯=-+=- 故答案为：3-【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.14.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}na 满足11a=，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数为_____.【答案】7【解析】 【分析】利用{}n a 的通项公式，依次求出2,3a a ，从而得到4a ，即可得到答案． 【详解】由于n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需的移动最少次数，{}na 满足11a=，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数所以21212111=-=⨯-=a a ，32222124=+=⨯+=a a ，故43212417=-=⨯-=a a ，所以解下4个环所需的最少移动次数为7 故答案为7.【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题．15.已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 72ο==. 【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力． 16.在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边, 222a c b +-=,则cos sin A C +的取值范围为__________．【答案】2⎛- ⎝【解析】分析：由已知及余弦定理可求cos B ，即可求B ，根据三角形内角和定理可求56C A π=-，利用三角函数恒等变换的应用可求cos sin 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由A 的范围利用正弦函数的图象和性质即可得答案.详解：由条件222a c b +-=，根据余弦定理得：222cos 2a c b B ac +-==， B 是三角形内角，6B π∴=，56A C π∴+=，即56C A π=-，53cos sin cos sin cos 623A C A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又506A π<<， 7336A πππ∴<+<，cos sin A C ⎛∴+∈ ⎝.故答案为2⎛- ⎝.点睛：本题主要考查了余弦定理、三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想.三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知α， ,2πβπ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，且3cos 5α=-(Ⅰ)求tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ)若()3sin 5αβ-=，求sin β的值. 【答案】(Ⅰ) 7-；(Ⅱ) 1 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题中条件，求出4sin 5α==，进而可得tan α，再由两角差的正切公式，即可得出结果；(Ⅱ)根据题中条件，得到02παβ<-<，求出()4cos 5αβ-=，再由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】(Ⅰ)因为3cos 5α=-，,2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4sin 5α==，因此sin tan s 43co ααα==-， 所以41tantan 34tan 7441tan tan 143παπαπα+-⎛⎫-===- ⎪⎝⎭+⋅-； (Ⅱ)因为α， ,2πβπ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以22ππαβ-≤-≤，又()3sin 5αβ-=，所以02παβ<-<，所以()4cos 5αβ-=， 因此()()()4433sin sin sin cos cos sin 15555βααβααβααβ=--=---=⋅+⋅=⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）当n 取何值时n S 有最小值，并求出该值？【答案】（1）29n a n =-；（2）当4n =，最小值为16-. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及求和公式，列出方程组，求解即可； （2）由等差数列的求和公式，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得115254a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得17,2a d =-=所以{a n }的通项公式为29n a n =-； （2）由（1）得221()8(4)162n n n a a S n n n +==-=--， 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16.【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，二次函数法求等差数列前n 项和的最值，属于中档题. 19.已知sin2cos 022x x+=， （1）求tan x 的值；（2）求cos 2)sin 4xx xπ+的值.【答案】（1）43（2）74【解析】 【分析】 （1）由sin2cos 022x x +=可得tan 2x=-2，然后再利用正切的二倍角公式可求得tan x 的值； （2）先利用二倍角公式和两角和的余弦公式将分子和分母化简，再利用同角三角函数的关系将其转化为正切，然后将第一问的正切值代入可得结果. 【详解】解：由sin2x +2cos 2x =0，得tan 2x=-2． 222tan2(2)421tan 1(2)31tan 2xx x ⨯-===---（）(2)()()()22cos sin cos sin cos 2cos sin cos sin sin sin )sin 4x x x x x x xx x xx x xπ-++==-+13711tan 44x =+=+= 【点睛】此题考查同角三角函数关系和二倍角公式，属于基础题.20.在ABC ∆中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 所对的边，且()2cos cos 0a b C c A -+=.（1）求C 的大小； （2）若2b =，c =AB 边上的高.【答案】（1）3C π=；（2）7. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想可求得cos C 的值，结合角C 的取值范围可得出角C 的值； （2）利用余弦定理求得a 的值，利用正弦定理求得sin A 的值，进而可得出AB 边上的高为sin b A ，即可得解.【详解】（1）()2cos cos 0a b C c A -+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos 0A C A C B C +-=， 即()sin 2sin cos 0A C B C +-=，即()sin 12cos 0B C -=，0B π<<，sin 0B ∴>，则有1cos 2C =，0C π<<，因此，3C π=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，整理得2230a a --=，0a >，解得3a =，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin sin 14a C A c ==， 因此，AB边上的高为sin 2147b A =⨯=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了三角形高的计算，涉及正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.21.定义行列式运算：13x x 24x x 1423x x x x =-，若函数sin()cos ()301x x f x πωω-=（0>ω）的最小正周期是π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）数列{}n a 的前n 项和2n S An =，且5()12A f π=，求证：数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T <. 【答案】（1）π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）见解析【解析】 【分析】（1）由行列式运算，化简可得()sin -3fx x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由周期求出ω值，然后由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可求出函数的单调增区间； （2）由5()12A f π=求出A ，从而可得2n S An =，再由1n n n a S S -=- 求出数列{}n a 的通项，由此可得数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，再利用裂项相消法可得结果. 【详解】（1）解：由题意：()sin -3fx x πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵2ππ02ωωω=>⇒=，，∴()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π232k x k k Z -≤-≤+∈，可得π5πππ1212k x k k Z -≤≤+∈，， ∴()f x 的单调增区间为π5πππ1212k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）证明：由（Ⅰ）得5π5πππsin 2sin 1121232A f ⎛⎫⎛⎫==⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2n S n =，①当1n =时，111a S ==； ②当()2n n N +≥∈时，()221121nn n aS S n n n -=-=--=-，而12111a =⨯-=，满足上式∴21n a n =-，则()()1221121212121n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111111335212121n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<-++．【点睛】此题考查了三角函数的图像和性质，数列的求和方法，属于中档题. 22.已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123232x x x x +=-=， （Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点()()()112211,1,2,1n n P x P x P x n ++⋯+，得到折线121n PP P +⋯，求由该折线与直线0y =，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ..【答案】（Ⅰ）12n n x -= （Ⅱ）(21)212n n n T -⨯+=【解析】【详解】(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（II ）过123,,,P P P ……1n P+向x 轴作垂线，垂足分别123,,,Q Q Q ……1n Q +,由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++……+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+……+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。
2019-2020学年四川省成都市郫都区高一下学期期末数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市郫都区高一下学期期末数学（文）试题一、单选题 1．22cossin 88ππ-=（ ）A ．1B ．12C D 【答案】C【解析】根据二倍角余弦公式有22cos sin cos884πππ-=，即可求值【详解】由二倍角余弦公式知：22cos sin cos8842πππ-==故答案为：C 【点睛】本题考查了利用二倍角余弦公式22cos 2cos sin =-ααα化简求值2．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4C ．16D ．8【答案】D【解析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力． 3．若a <b <0，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a b a>- C ．33a b < D ．22a b >【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合函数单调性，逐一分析即可. 【详解】由0a b <<，两边同除ab 即可得11a b>，故A 正确； 由题意可知0a a b <-<，两边同除()a a b -即可得11a b a<-，故B 错误； 由0a b <<，结合函数3y x =单调性可知33a b <，故C 正确； 由0a b <<可知a b >，所以22a b >，故D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了不等式性质的应用和函数的单调性，属于基础题.4．已知各项均不相等的等比数列{}2343,2,n a a a a ，若成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于 A ．139 B ．79C ．3D ．1【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由3a 2，2a 3，a 4成等差数列，可得2×2a 3=3a 2+a 4，4a 2q=3222a a q +,解得q ．利用通项公式与求和公式即可得出．【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵3a 2，2a 3，a 4成等差数列， ∴2×2a 3=3a 2+a 4，∴4a 2q=3222a a q +，化为q 2﹣4q+3=0，解得q =1或3．又各项均不等，所以q =3当q=3时，33S a =()31131133199a a --=⨯. 故选A ． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的求通项公式与和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.5．在△ABC 中，若B 、C 的对边边长分别为b ，c ，45B =︒，c =b =则C 等于（ ） A ．30 B ．60C ．120D ．60或120【答案】D【解析】根据正弦定理即可求解． 【详解】由45B ︒=,c =3b =, 根据正弦定理sin sin b cB C=得:csin sin 2B C b ===,又C 为三角形的内角,且c b >,可得45C B ︒>=,即45180C ︒︒<< 则60C ︒=或120︒. 所以D 选项是正确的 【点睛】本题考查了正弦定理，在确定角的度数时应根据大边对大角以及三角形内角和来确定，属于基础题． 6．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】B【解析】试题分析：sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63tan 21tan 84ααα-===--. 【考点】三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．7．ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos a bB A=，则ABC 的形状是（ ） A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】利用正弦定理sin sin sin sin a b a AA B b B=⇒=，再结合已知cos cos a b B A =可求得sin cos sin cos A BB A=，从而可得sin 2sin 2A B =，可判断ABC 的形状. 【详解】解：ABC 中，由正弦定理得：sin sin a b A B=， ∴sin sin a Ab B=，又cos cos a b B A =， ∴sin cos sin cos A BB A=， ∴sin 2sin 2A B =， ∴A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D . 【点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形状． 8．已知3sin 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2x 的值为（ ） A ．725B ．725-C ．2425-D ．2425【答案】B【解析】根据2sin 2cos 212sin 24x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，把3sin 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭代入，运算求得结果.【详解】 ∵3sin 45x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∴22sin 2cos 212sin 2sin 1244x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 97212525=⨯-=-. 故选：B . 【点睛】本题考查三角函数诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题. 9．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．35【答案】B【解析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 10．定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（ ） A ．3122a -<< B ．1322a -<<C ．11a -<<D ．02a <<【答案】B【解析】由题意得出2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，由判别式小于0求解即可. 【详解】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -⋅--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，∴()21410a a ∆=-⨯-+<，解得1322a -<<.故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.11．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值 （ ）A ．10B ．10C D ．5【答案】B【解析】试题分析：设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则1A （2，0，2），B （2，2，0），1D （0，0，2），E （2，1，2），∴1A B =（0，2，-2），1D E =（2，1，0），设1A B 与1D E 所成角为θ，则11cos cos ,10A B D E θ=〈〉== 【考点】异面直线及其所成的角12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．42D ．12【答案】B【解析】作出几何体的直观图，可知几何体为直三棱柱中截去一个三棱锥而形成，利用柱体和锥体的体积公式可计算出几何体的体积. 【详解】几何体的直观图如下图所示：可知几何体为直三棱柱111ABC A B C -中截去三棱锥111A A B C -所形成， 结合三视图中的数据可知，几何体的体积为2211123234232V =⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解答的关键在于作出几何体的直观图，考查计算能力，属于基础题.二、填空题13．若1x >，则11x x +-的最小值是________． 【答案】3 【解析】由11x x +-转化为均值不等式形式1111x x -+++，由1x >即10x ->结合均值不等式求最小值即可，注意均值不等式等号成立的条件 【详解】∵1x >，即有10x ->而11111311x x x x +=-++≥=-+，当且仅当2x =时等号成立 ∴当2x =时，11x x +-的最小值为3 故答案为：3 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，注意利用均值不等式的前提条件：一正二定三相等 14．已知4παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ++的值是__________.【答案】2.【解析】利用二角和的正切公式，可以直接求解． 【详解】4παβ+=tan tan tan()tan1tan tan 1tan tan 41tan tan παβαβαβαβαβ+⇒+=⇒=⇒+=--()()1tan 1tan αβ++=1tan tan tan tan αβαβ+++=2.【点睛】本题考查了二角和的正切公式，以及整体代换思想,掌握公式的特征是解题的关键.考查了学生分析、解决问题的能力.15．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.【答案】28【解析】作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ． 【详解】如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=，40203tan 60tan 30BN ==︒-︒，所以tan 60tan 603220333228DC AM CM BN =︒-=︒-=⨯-=． 故答案为：28．【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式． 16．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ . 【答案】11【解析】由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解． 【详解】 设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11． 【点睛】本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．三、解答题17．求下列各式的值： （1）1sin10cos10-︒︒； （2）若8x π=，求()2sin cos 2cos 2x x x ++的值．【答案】（1）4；（2）. 【解析】（1）先进行通分，然后结合二倍角及辅助角公式进行化简即可求解； （2）展开后结合二倍角公式进行化简，代入即可求解． 【详解】（1）12sin(3010)4sin 2041sin10sin 20sin 202︒-︒︒====︒︒︒； （2）若8x π=，则2(sin cos )2cos21sin 22cos21sin2cos144x x x x x ππ++=++=++=【点睛】本题主要考查了和差角公式、辅助角公式、二倍角公式在三角化简求值中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．在等比数列{}n a 中，12236,12a a a a +=+=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设{}n b 是等差数列，且2244,b a b a ==，求数列{}n b 的公差，并计算1234100b b b b b -+-+-的值.【答案】(Ⅰ)2nn a =；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意求得数列的 公比为2，据此求解可得数列的通项公式为2n n a =. (Ⅱ)由题意可得数列{}n b 的公差为6，并项求和可得1234100b b b b b -+-+-的值是-300. 试题解析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知，211116,12a a q a q a q +=+=两式相除，得2q =. 所以12a =，所以数列{}n a 的通项公式2nn a =.（Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ， 则114,316b d b d +=+= 解得12,6b d =-=()()()1234100123499100b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- 50300d =-=-19．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 【答案】（1）725-；（2）211-【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈． 又因为()cos αβ+=()sin αβ+==因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--， 因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,n n S n ∈N 均在二次函数()232f x xx=-的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设16n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1) 65n a n =-()*n ∈N；(2) 661nnTn =+ 【解析】(1)根据点()()*,n n S n ∈N均在二次函数()232f x xx =-上即可得232n S n n =-，又由数列的项与前n 项和的关系111,1,1nn n a S n a S S n -==⎧⎨=->⎩，即可求得数列{}n a 的通项公式；(2)结合(1) 数列{}n a 的通项公式，且16n n n b a a +=，即可得到n T ，注意通过裂项求和的方式消项得到nT 【详解】(1)由点()()*,nn S n∈N均在二次函数()232f x x x=-的图象上，有232nS n n=-，而由111,1,1n n na S na S S n-==⎧⎨=->⎩故有11a=，65na n=-，而16151a=⨯-=∴数列{}n a的通项公式为65na n=-()*n∈N(2)16nn nba a+=结合(1)中的结论65na n=-()*n∈N∴611(65)(61)6561nbn n n n==--+-+而数列{}n b的前n项和为123111111......1771111656161131319n nT b b bn nbn =++++=-+-+-=--++++-故661nnTn=+.【点睛】本题考查了数列，利用数列中n、n S的函数关系，并结合数列的项与前n项和的关系111,1,1n n na S na S S n-==⎧⎨=->⎩求数列通项；并综合应用了裂项法求数列的前n项和.21．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，D为AC中点，AB BC=，11A D AC⊥．求证：（1）1//B C 平面1A BD ； （2）平面1A BD ⊥平面11AB C ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，利用中位线的性质得出1//OD B C ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）证明出BD ⊥平面11AAC C ，可得出1AC BD ⊥，再由11A D AC ⊥结合线面垂直的判定定理可得出1AC ⊥平面1A BD ，最后利用面面垂直的判定定理可得出结论. 【详解】（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，在平行四边形11ABB A 中，O 为1AB 中点，D 为AC 中点，所以1//OD B C ，OD ⊂平面1A BD ，因1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ；（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD C C ⊥． 又BD AC ⊥，1ACC C C =，所以BD ⊥平面11ACC A ．因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，又11A D AC ⊥， 1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ． 又1AC ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD ． 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题. 22．如图，在ABC ∆中，30B ∠=，25AC =D 是边AB 上一点．（1）求ABC ∆的面积的最大值；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长． 【答案】（1）5(23)；（2）4．【解析】（1），先根据余弦定理得到,AB BC 满足的关系式，在利用三角形面积公式1sin 2S ab c =即可得到其最大值；对于问题（2）可以先在三角形ACD 中利用面积公式求出角ACD ∠，之后在三角形ACD 利用余弦定理求出AD 的长，最后在三角形ABC ∆中利用正弦定理即可求得BC 的长．【详解】（1）因为在ABC ∆中，30,25,B AC D ∠==是边AB 上一点， 所以由余弦定理得：(22222202cos 323AC AB BC AB BC ABC AB BC AB BC AB BC ==+-⋅∠=+⋅≥⋅所以(202323AB BC ⋅≤=-所以(1sinB 5232ABCSAB BC =⋅≤所以ABC ∆的面积的最大值为5(23)+ （2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角， 所以11sin 252sin 422ABCSAC CD θθ=⋅=⨯= 所以255sin ,cos 55θθ， 由余弦定理，得，22252cos 2048516AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-= 所以4=AD ，由正弦定理，得sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin 5A =， 此时sin sin BC ACA B=，所以sin 4sin AC A BC B ==． 所以BC 的长为4。
【2019精品高一期末】-2019年成都高一(下)数学期末试卷+答案
2019成都高一（下）数学期末试卷一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）A ． 18B ．36C ．54D ．722.已知点(),P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）AB ． 8C ． 10D ． 163.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．2nB ． 3nC ．2n -D ． 3n -4.如图0,,,45AB AC BAD CAD αβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC ∠=（ ）A ．90°B ． 60° C. 45° D ．30°5.若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ． 1B ． -1 C. 1± D ．32- 6.若ABC ∆的内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且s i n s i n s i n a A c C C b B +-=，则B 等于（ ）A ． 6πB ．4π C. 3π D ．34π 7.直线10ax y ++=与连接()()2,33,2A B -、的线段相交，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ． [)(]2,,1+∞-∞- C. []2,1- D ．(][),21,-∞-+∞8.已知某几何体的三视图中，正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）A ． 132+B ．4136π+ C. 166+ D ．2132π+ 9. ()()001tan171tan 28++的值是（ ）A ．-1B ．0 C. 1 D ． 210.设0002012tan15cos 2sin 2,,221tan 15a b c =-==+，则有（ ） A ．c a b << B ．a b c << C. b c a << D ．a c b <<11.若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值可以为（ ） A ．12-或1 B ．12 C. 34 D ．34-12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC. 三棱锥B AEF -的体积为定值 D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为 ．14.过点()1,3且与原点的距离为1的直线共有 条.15.已知关于x 的不等式()2110ax a x +-->的解集为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭，则a = ．16.数列{}n a 满足，123231*********n n a a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式 ．三、解答题 （共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点.（1）在棱11A B 上找一点1D ，当1D 在何处时可使平面11//AC D 平面1CDB ，并证明你的结论；（2）求二面角1B CD B --大小的正切值.18. 已知直线():120l kx y k k R -++=∈，直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B .（1）记ABO ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；（2）直线l 过定点M ，求MA MB 的最小值.19.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M N 、分别为AB PC 、的中点，045,2,1PDA AB AD ∠===.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求PC 与面PAD 所成角大小的正弦值；（3）求证：MN ⊥面PCD .20. 已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x a b =，ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫=== ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ； （2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值.21. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan :tan A B 的值；（2）若4b =，求ABC S ∆的最大值.22.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n n na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）记()()211422n nnn nn nca a+-++=，求数列{}n c的前n项和n T.2019成都高一（下）数学期末试卷一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ）A ． 18B ．36C ．54D ．72【答案】D2.已知点(),P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）AB ． 8C ． 10D ． 16【答案】C3.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．2nB ． 3nC ．2n- D ． 3n -【答案】A4.如图0,,,45AB AC BAD CAD αβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC ∠=（ ）A ．90°B ． 60° C. 45° D ．30°【答案】B5.若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ． 1B ． -1 C. 1± D ．32-【答案】C6.若ABC ∆的内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且s i n s i n s i n a A c C C b B +-=，则B等于（ ） A ．6π B ．4π C. 3πD ．34π 【答案】B7.直线10ax y ++=与连接()()2,33,2A B -、的线段相交，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,2- B ． [)(]2,,1+∞-∞- C. []2,1- D ．(][),21,-∞-+∞【答案】D8.已知某几何体的三视图中，正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）A ．132+ B ．4136π+C. 166+ D ．2132π+【答案】C9. ()()001tan171tan 28++的值是（ ） A ．-1 B ．0 C. 1 D ． 2 【答案】D10.设0002012tan15cos 2sin 2,,221tan 15a b c =-==+，则有（ ） A ．c a b << B ．a b c << C. b c a << D ．a c b << 【答案】A11.若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值可以为（ ） A ．12-或1 B ．12 C. 34 D ．34-【答案】A12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCD C. 三棱锥B AEF -的体积为定值 D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值【答案】D二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为 ．【答案】3π 14. 过点()1,3且与原点的距离为1的直线共有 条.【答案】215.已知关于x 的不等式()2110ax a x +-->的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则a = ． 【答案】-2 16.数列{}n a 满足，123231111212222n n a a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式 ． 【答案】 16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ 三、解答题 （共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点. （1）在棱11A B 上找一点1D ，当1D 在何处时可使平面11//AC D 平面1CDB ，并证明你的结论； （2）求二面角1B CD B --大小的正切值. 【解析】（1）当1D 在棱11A B 中点时，可使平面11//AC D 平面1CDB ，证明略.（2）在平面ABC 内，过点B 作直线CD 的垂线，记垂足为E ，连接1B E ，1B EB ∠即为二面角1B CD B --的平面角.由已知，结合勾股定理得ABC ∆为直角三角形，125345BE BE =⨯⇒=，从而1145tan 123BB B EB BE ∠===. 二面角1B CD B --大小的正切值为53.18. 已知直线():120l kx y k k R -++=∈，直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B . （1）记ABO ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）直线l 过定点M ，求MA MB 的最小值. 【解析】解：由题意，分别令0x =，0y =解得 ()10,12,2,0B k A k ⎛⎫+--⎪⎝⎭且0k >. （1）()111112244,022S k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时144k k k k +≥=，当且仅当12k =时取等.所以S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=. （2）易得()2,1M -，∴()1,1,2,2MA MB k k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，224MA MB MA MB k k =-=-+≥，当且仅当1k =时取到，MA MB 的最小值为4.19.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M N 、分别为AB PC 、的中点，045,2,1PDA AB AD ∠===.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求PC 与面PAD 所成角大小的正弦值； （3）求证：MN ⊥面PCD . 【解析】 解：记PD 中点为E ，易得EN 平行且等于AM ， （1）证明：如图，取PD 的中点E ，连结AE EN 、， 则有////EN CD AM ，且1122EN CD AB MA ===， ∴四边形AMNE 是平行四边形. ∴//MN AE .∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴//MN 平面PAD ；（2）易得CPD ∠即为PC 与面PAD 所成角，sin 3CD CPD PC ∠==，所以，PC 与面PAD 所成角大小（3）证明：∵PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD ADC ⊂平面ABCD . ∴,PA CD PA AD ⊥⊥， ∵,CD AD PAAD A ⊥=，∴CD ⊥平面PAD ，又∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥， ∵045PDA ∠=，E 为PD 中点， ∴AE PD ⊥，又∵PD CD D =，∴AE ⊥平面PCD .∵//MN AE ， ∴MN ⊥平面PCD .20. 已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x a b =，ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ； （2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值. 【解析】解：()2113sin cos sin 2cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π⎛⎫==+-=-=- ⎪⎝⎭，（1）由12B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭，结合,,A B C 为三角形内角得2,33B C A ππ+==而1a b ==.由正弦定理得,62B C ππ==，所以12S ab ==. （2）由()3sin 2,0654f ππααα⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭时，2663πππα-<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan :tan A B 的值； （2）若4b =，求ABC S ∆的最大值. 【解析】（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：()3sin cos sin cos sin cos sin cos 5A B B A A B B A -=+， 从而sin cos 4sin cos A B B A =，即tan :tan 4A B =；（2）由（1）知内角A B 、均为锐角，如图所示过C 作CD 垂直于AB 垂足为D . 设,CD m AD n ==，由题意结合tan :tan 4A B =得4BD n =， 且22216m n b +==，所以m n ==时，22555162022222ABCm n S mn ∆+=≤==.22.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【解析】 解：（1）易得n b n =；（2）易得2nn a n =，其前n 项和()1122n n S n +=-+；（3）()()()()()()()()()()22211114221421212121212nnnnn nn n n nn nn nn n n c n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()111111111111221222212nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()22312122311111111111222212222232212n n nn n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11121136212n nn n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()114123312n n n n +++---+.。
四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末考试数学(文)试题
郫都区2019—2020学年度下期期末考试高一文科数学第I 卷（选择题 共60分）一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1．化简22ππcos sin 88-的值为 A ．12 BCD2．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=A ．2B ．4C ．16D ．83．若0<<b a ，则下列不等式中不成立的是A ．11a b> B ．33a b < C ．11a b a>- D ．22a b > 4．已知各项均不相等的等比数列{}2343,2,n a a a a ，若成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于 A ．139B ．79C ．3D ．1 5．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45B =︒，c b =C = A ．60 B ．30 C ．120 D ．60或1206．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α等于A ．34-B ．34 C ．43- D ．437．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a A b B =，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2x =A ．725-B ．725C ．2425-D ．24259．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为A ．21B ．103-C ．53-D ．5310．定义在R 上的运算：()1x y x y *=-。
若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则A ．3122a -<<B ．11a -<<C ．1322a -<<D ．02a <<11．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为A ．510B ．1010C ．55D ．10512．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．42D ．12第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．当1>x 时，11-+x x 的最小值为 . 14．已知4παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ++的值是________.15．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40米的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角60β=︒，30α=︒，若山坡高为32米，则灯塔高度是________米.正视图侧视图俯视图16．设1250a a a ，，，是从1,0,1-这三个整数中取值的数列，若95021=+++a a a ，且 107)1()1()1(2502221=++++++a a a ，则1250a a a ，，，中为0的项的个数是 .三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）求下列各式的值10cos 310sin 11-）（； 82π=x ）若（，.cos 2)cos (sin 22的值求x x x ++18．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，12236,12a a a a +=+=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设{}n b 是等差数列，且2244,b a b a ==，求数列{}n b 的公差，并计算12b b -3b + 4100b b -+-的值.19．（本小题满分12分）已知αβ、为锐角，34tan =α，()cos αβ+=. （1）求α2cos 的值； （2）求()tan αβ-的值.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()n n S n ∈*Ν，均在二次函数()232f x x x =-的图像上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设16n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n Τ.21.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 中点，AB BC =，11A D AC ⊥．求证： （1）1//B C 平面1A BD ； （2）平面1A BD ⊥平面11AB C ．22.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，30B ∠=，25AC =，D 是边AB 上一点． （1）求ABC ∆的面积的最大值； （2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．。
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年四川省成都市蓉城名校联盟高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．下列几何体是旋转体的是（）A．五棱柱B．六棱锥C．八棱台D．球2．已知a＞b，则下列不等式成立的是（）A．2a＞b B．a＞2b C．|a|＞b D．a＞|b|3．已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到的直观图为△A'B'C'，如图，若A'B'＝3，A'C'＝2，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．3D．64．若α∈（0°，180°），且cos（α+20°）cos20°+sin（α+20°）sin20°＝，则tanα＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．一个简单组合体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图中的圆半径都为3，正视图和侧视图的下半部分都为正方形，则该几何体的体积为（）A．54πB．63πC．72πD．90π6．已知{a n}为等比数列，且a1＝32，a2a3＝128，设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．13B．14C．15D．167．若x＞，则3x+的最小值为（）A．7B．4C．9D．28．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+1＝，a1＝﹣2，则S97＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣79．△ABC中，AB＝2，BC＝，AC＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1﹣a n＝2n，则a9＝（）A．510B．512C．1022D．102411．已知sin（α+）＝，则sin（﹣2α）＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S99＝，函数f（x）＝sin2x﹣3cos2x+，则f（a1）+f（a2）+…+f（a99）＝（）A．66B．33C．99D．88二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．求值：＝．14．△ABC中，BC＝6，AC＝2，∠BAC＝90°，把△ABC绕直线AB旋转一周，则形成的旋转体的侧面积为．15．关于x的不等式tx2+tx+5＞0的解集为R，则实数t的取值范围是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝3，2S n＝（n+1）a n，设b n＝a n a n+1（）n，则数列{b n}的最大项的值为．三、解答题：本题共6小题，共70分。
成都市重点名校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含解析
【解析】
，对应点 ，在第四象限.
二、填空题：本题共4小题
13．已知两个正实数x，y满足 ＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，则实数m的取值范围是______________
【答案】(-∞,1)
【解析】
【分析】
由x+2y （x+2y）（ ） （1 ），运用基本不等式可得x+2y的最小值，由题意可得m＜x+2y的最小值．
14．圆 上的点 到直线 的距离的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值.
【详解】
圆C的圆心为 ，半径为 ，
圆心C到直线的距离为： ，
所以最小值为：
【详解】
解：由 ，
得 ，
∵ ，
∴ ，
即
即 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
则 ，
故选D．
【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
2．下列各角中与 角终边相同的角是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析：利用等比中项求解．
详解： ，因为 为正，解得 ．
点睛：等比数列的性质：若 ，则 ．
10．角 的终边过点 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝ ＝ ，∴sinα＝ ＝ .
11．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
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2019-2020学年成都市高一下学期期末数学试卷(文科)
2019-2020学年成都市高一下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.等比数列{a n}中，若a3=4，则a2⋅a4=()A. 8B. 16C. 32D. 642.已知四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是()A. 2B. 3C.D. 33.设对任意实数x>0，y>0，若不等式x+√xy≤a(x+2y)恒成立，则实数a的最小值为()A. √6+24B. 2+√24C. √6+√24D. 234.若cosα2=√63，则cos2α=()A. 13B. 79C. −79D. −135.各项都是正数的等比数列{a n}，若a2，12a3，2a1成等差数列，则a3+a4a4+a5的值为()A. 2B. 2或−1C. 12D. 12或−16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosC>ba，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形7.在△ABC中，a=3，b=4，c=5，则sin2AsinC=()A. 125B. 1225C. 2425D. 238.设x∈R，且a=3x2−x+1，b=2x2+x−1，则a与b的大小关系为()A. a>bB. a=bC. a<bD. 不确定，与x取值有关9.一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是()A. 8B. 16C. 16√2D. 32√210.已知S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n+1)=n+1，则数列{a n}的通项公式为()A. a n=2nB. a n={3 n=12n n≥2C. a n=2n−1D. a n=2n+111.在三角形ABC中，已知B=60度，C=45度，BC=8，AD垂直于BC于D，则AD长为()A. B. C. D.12.()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）,π]的值域为______ ．13.函数y=3sinx+4cosx,x∈[π214.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π，b2=c⋅(c+a)，则B=______．615.已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1，且a1、a2、a4成等比数列．则数列{a n}的通项公式为______ ；则a2+a5+a8+⋯+a3n−1+⋯+a3n+8的表达式为______ ．16.已知x+y=40且x和y都是正数，则xy的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知(1)求数列{}的通项公式(2)数列{}的首项b1=1，前n项和为T n，且，求数列{}的通项公式．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C=√6，(理科做)求二面角B−AC−A1的余弦值．(文科做)求三棱锥A−CA1B的体积．19.已知cosα=−45,sinβ=−34,α∈(π2,π),β∈(π,32π)，求cos(α−β)20.在数列{a n}中，满足点P(a n,a n+1)是函数f(x)=3x图象上的点，且a1=3．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．21.已知二次函数，满足，且方程有两个相等的实根。
2019—2020成都市高一数学期末考试卷含答案解析
2019—2019—2020成都市高一数学期末考试卷含答案解析一、选择题：1. 集合{1；2；3}的真子集共有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 2. 已知角α的终边过点P (－4；3) ；则2sin cos αα+ 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．52-D ． 253. 已知扇形OAB 的圆心角为rad 4；其面积是2cm 2则该扇形的周长是( )cm.A ．8B ．6C ．4D ．2 4. 已知集合{}2,0x M y y x ==>；{})2lg(2x x y x N -==；则M N I 为( )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．[)+∞,2D ．[)+∞,16. 函数 )252sin(π+=x y 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 7. 右图是函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象；此函数的解析式为可为( )A ．)32sin(2π+=x y B ．)322sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x y ) D ．)32sin(2π-=x y8.已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间[2；+∞)上是增函数； 则a 的取值范围是( )A ．（]4,∞-B ．（]2,∞-C ．（]4,4-D ．（]2,4-9. 已知函数()f x 对任意x R ∈都有(6)()2(3),(1)f x f x f y f x ++==-的图象关于点(1,0)对称；则(2013)f =（ ）A ．10B ．5-C ．5D ．010. 已知函数21(0)(),()(1)(0)x x f x f x x a f x x -⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根；则实数a 的取 值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1)D ．[0,)+∞二、填空题:11.sin 600︒= __________.12. 函数()lg 21y x =+的定义域是__________. 13. 若2510a b ==；则=+ba 11__________. 14. 函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是__________.15. 函数()f x 的定义域为D ；若存在闭区间[,]a b D ⊆；使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ；则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有________①)0()(2≥=x x x f ;②()()xf x e x =∈R ; ③)0(14)(2≥+=x x xx f ; ④()sin 2()f x x x R =∈三、解答题16. 已知31tan =α； （1）求：ααααsin cos 5cos 2sin -+的值（2）求：1cos sin -αα的值3讨论关于x 的方程m x f =)(解的个数。
四川省成都市2019～2020学年度下学期期末高一年级调研考试理科数学试题 (含解析)
四川省成都市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是（）A．0 B．C．D．﹣2．二次不等式ax2+bx+c≥0的解为全体实数的条件是（）A．B．C．D．3．已知sinα＝，则cos2α＝（）A．B．﹣C．D．﹣4．已知单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（）A．q＝1 B．q＜0 C．q＞1 D．0＜q＜15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：7，则△ABC 为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．若a＜b＜c，则下列说法正确的是（）A．lna＜lnb B．a2＜b2C．D．7．把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'（如图所示），其中B'O'＝O'C'＝2，O'D'＝，则四边形ABCD一定是一个（）A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形8．在△ABC中，若角B＝，AC＝，AB＝，则角C＝（）A．B．C．或D．或9．体积为的某三棱锥的三视图如图所示（其三个视图均为直角三角形），则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（）A．B．2C．D．610．若数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，则a n＝（）A．B．C．D．11．夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作．为更好地考察防汛工作实际情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据．如图所示，CE是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得坝顶E的仰角为θ，对着大坝在水平地面上前进30m后到达B处，测得仰角为原来的2倍，继续在水平地面上前进10m后到达坡底C处，测得仰角为原来的4倍，则该大坝的高度为（）A．10m B．15m C．20m D．5m12．下列四个说法中，错误的是（）①若a，b均为正数，则；②若x∈（0，），则sin x+的最小值为2；③若a＞b＞1，则；④a＞b＞0，则a+＞b+．A．①②③B．①③C．②③D．②④二、填空题（共4小题）.13．等比数列{a n}中，a1＝1，q＝﹣3，则a5＝（用数字作答）．14．将2sin2x+2sin x cos x化简为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的形式为．15．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺，则夏至的日影子长为尺．16．已知A、B、C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则的最小值为．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．图形ABCDE由矩形ABCD和扇形ADE组合而成（如图所示），AD⊥DE，AB＝2AD ＝2．求将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．18．已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最大值．19．已知sinβ＝，cos（α+β）＝﹣，0＜α＜β＜．（1）求tan2β的值；（2）求角α的大小．20．已知函数f（x）＝x2﹣5x﹣a（a﹣5）．（1）当a＝1时，求当x∈（0，+∞）时，函数g（x）＝的值域；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}的前n项和为T n，证明：＜T n＜．22．2020年5月6日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计，一个承接成渝地区双城经济圈建设、落实成都东进战略的新区正式成立．为落实东部新区“双城一园、一轴一带”的空间布局，某部门规划了一个如图所示的三角形（△ABC）产业园区，其中AC•sin A＝BC•cos B．（1）求角B的大小；（2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区△ADE（D、E是边BC上的点），且C ＝，∠DAE＝，AC＝200米，求核心功能区△ADE面积的最小值．四川省成都市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是（）A．0 B．C．D．﹣【分析】由两角和的余弦公式的逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．解：cos75°•cos15°﹣sin75°sin15°＝cos（75°+15°）＝cos90°＝0．故选：A．2．二次不等式ax2+bx+c≥0的解为全体实数的条件是（）A．B．C．D．【分析】设f（x）＝ax2+bx+c，a≠0，讨论a＞0，a＜0，结合二次函数的图象和判别式的符号，即可得到结论．解：设f（x）＝ax2+bx+c，a≠0，当a＞0，△≤0时，f（x）≥0的解为全体实数；当a＜0时，f（x）≥0的解不为全体实数．综上，二次不等式的解为全体实数的条件是．故选：B．3．已知sinα＝，则cos2α＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2＝．故选：A．4．已知单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是（）A．q＝1 B．q＜0 C．q＞1 D．0＜q＜1【分析】利用等比数列的性质直接求解．解：单调递减的等比数列{a n}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是0＜q＜1．故选：D．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：7，则△ABC 为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】易判断最大角为C，直接由余弦定理可求cos C，结合cos C的取值来判断该三角形的形状．解：由a：b：c＝4：5：7，知最大角为C，∵cos C＝＝＝﹣，由于cos C＝﹣＜0，0＜C＜π，∴＜C＜π，∴△ABC为钝角三角形．故选：C．6．若a＜b＜c，则下列说法正确的是（）A．lna＜lnb B．a2＜b2C．D．【分析】根据a＜b＜c，取c＝1，b＝0，a＝﹣1，则可排除错误选项．解：根据a＜b＜c，取c＝1，b＝0，a＝﹣1，则可排除ABD．故选：C．7．把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A'B'C'D'（如图所示），其中B'O'＝O'C'＝2，O'D'＝，则四边形ABCD一定是一个（）A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形【分析】根据斜二测画法把直观图还原回原图形，即可得到四边形ABCD一定是一个菱形．解：把平行四边形A'B'C'D'换元回原图形，过程如下：在平面直角坐标系中，在x轴上截取BC＝4，且使O为BC的中点，在y轴上截取OD＝，过D向左左x轴的平行线段DA，使DA＝4，连接AB，CD，可得平行四边形ABCD．∵OC＝2，OD＝2，∴CD＝．∴平行四边形ABCD为菱形．故选：A．8．在△ABC中，若角B＝，AC＝，AB＝，则角C＝（）A．B．C．或D．或【分析】由正弦定理，则有sin C＝，从而可求C解：由正弦定理可得：，则sin C＝＝＝，因为AC＜AB，所以B＜C，故C＝或，故选：D．9．体积为的某三棱锥的三视图如图所示（其三个视图均为直角三角形），则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（）A．B．2C．D．6【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积求法x，然后求解四个面面积的最大值．解：由题意可知，三棱锥是正方体的一个角的三棱锥，三棱锥O﹣ABC．所以＝，解得x＝2，所以面积的最大值为：S△ABC＝＝2．故选：B．10．若数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，则a n＝（）A．B．C．D．【分析】由数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，求出{a n}的前四项，由此猜想数列的通项公式，再由数学归纳法进行证明．解：∵数列{a n}满足a n＝（n≥2，n∈N*），且a1＝，∴＝，＝，＝，由此猜想a n＝，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，，成立；②假设n＝k时成立，即，则当n＝k+1时，＝＝＝，成立．由①②，得a n＝．故选：A．11．夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作．为更好地考察防汛工作实际情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据．如图所示，CE是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A处测得坝顶E的仰角为θ，对着大坝在水平地面上前进30m后到达B处，测得仰角为原来的2倍，继续在水平地面上前进10m后到达坡底C处，测得仰角为原来的4倍，则该大坝的高度为（）A．10m B．15m C．20m D．5m【分析】先根据条件得到BA＝AD﹣BD＝DE（cotθ﹣cot2θ）和BC＝DE（cot2θ﹣cot4θ）；求出其比值，结合三角函数的性质求得θ，进而求得结论．解：由题可得：AB＝30，BC＝10，在RT△ADE中，AD＝DE cotθ；在RT△CBD中，BD＝DE cot2θ；故BA＝AD﹣BD＝DE（cotθ﹣cot2θ）；同理可得：BC＝DE（cot2θ﹣cot4θ）；∴＝＝＝；∵cotθ﹣cot2θ＝﹣＝＝；同理cot2θ﹣cot4θ＝；∴＝＝2cos2θ；∴cos2θ＝，结合题意可得2θ＝30°⇒θ＝15°；故DE＝＝BA sin2θ＝15．故选：B．12．下列四个说法中，错误的是（）①若a，b均为正数，则；②若x∈（0，），则sin x+的最小值为2；③若a＞b＞1，则；④a＞b＞0，则a+＞b+．A．①②③B．①③C．②③D．②④【分析】利用不等式的性质以及基本不等式判断选项的正误即可．解：①若a，b均为正数，则；满足基本不等式的性质，所以①正确．②若x∈（0，]，则sin x+≥2，当且仅当x＝时，表达式取得最小值为2；导数条件缺少x＝，所以②不正确；③∵a＞b＞1，∴＞1，＞即＞，1﹣＞1﹣，即．所以；不正确；所以③不正确；④a＞b＞0，可知，所以a+＞b+．所以④正确；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．等比数列{a n}中，a1＝1，q＝﹣3，则a5＝81（用数字作答）．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．解：∵a1＝1，q＝﹣3，∴a5＝（﹣3）4＝81．故答案为：81．14．将2sin2x+2sin x cos x化简为A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的形式为2sin （x﹣）+1．【分析】利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可得解．解：2sin2x+2sin x cos x＝2×+sin2x＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（x﹣）+1．故答案为：2sin（x﹣）+1．15．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺，则夏至的日影子长为 3.6尺．【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．解：设夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n}，则a3+a4+a5＝3a4＝18，a10＝10.8，∴a4＝6，a10＝10.8，d＝＝0.8，a1＝3.6则夏至的日影子a1＝3.6故答案为：3.616．已知A、B、C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则的最小值为．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝3sin A cos B，利用三角函数恒等变换的应用可求＝，利用正弦函数的性质进而求解．解：∵tan B＝2tan A，可得：，可得：2sin A cos B＝cos A sin B，∴sin C＝sin A cos B+cos A sin B＝3sin A cos B，∴＝+＝＝＝＝＝＝，∵角A为锐角，若tan B＝2tan A＞0，可得B为锐角，∴＝≤，当且仅当2B＝时，即B＝时等号成立．故答案为：．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．图形ABCDE由矩形ABCD和扇形ADE组合而成（如图所示），AD⊥DE，AB＝2AD ＝2．求将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．【分析】该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为1，圆柱高为2，由此能求出将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．解：由题意得，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为1，圆柱高为2，圆柱的底面积S1＝πr2＝π，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝4π，半球球冠的表面积S3＝＝2π，∴将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积为：S＝S1+S2+S3＝π+4π+2π＝7π，圆柱的体积V1＝Sh＝S1×2＝2π，半球的体积V2＝＝，∴将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的体积为：V＝V1+V2＝2＝．18．已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n的最大值．【分析】（1）利用等差数列通项公式列方程组，解得a1＝10，d＝﹣2，由此能求出{a n}的通项公式．（2）S n＝﹣n2﹣11n＝﹣（n﹣）2+，由此能求出{a n}的前n项和S n的最大值．解：（1）∵等差数列{a n}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝0．∴，解得a1＝10，d＝﹣2，∴{a n}的通项公式为a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．（2）由（1）得：S n＝＝＝﹣n2﹣11n＝﹣（n﹣）2+，∴当n＝5或n＝6时，{a n}的前n项和S n取最大值S5＝S6＝30．19．已知sinβ＝，cos（α+β）＝﹣，0＜α＜β＜．（1）求tan2β的值；（2）求角α的大小．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosβ，tanβ，进而根据两角和的正切函数公式即可求解．（2）由已知可得0＜α+β＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），由α＝（α+β）﹣β，利用两角差的正弦函数公式可求sinα＝，结合范围0，可求α＝．解：（1）∵sinβ＝，0＜β＜．∴cosβ＝＝，tanβ＝＝4，∴tan2β＝＝＝﹣．（2）∵0＜α＜β＜，∴0＜α+β＜π，∵cos（α+β）＝﹣，∴sin（α+β）＝＝，∴sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝﹣（﹣）×＝，∵0，∴α＝．20．已知函数f（x）＝x2﹣5x﹣a（a﹣5）．（1）当a＝1时，求当x∈（0，+∞）时，函数g（x）＝的值域；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．【分析】（1）根据题意得g（x）＝x+﹣5 （x＞0），由基本不等式可得x+≥2＝4（当且仅当x＝时，即x＝2时，上式取“＝“）进而可得g（x）的值域．（2）令f（x）＝（x﹣a）[x﹣（5﹣a）]＝0，得x＝a或x＝5﹣a，再分①当a＝5﹣a，②当a＜5﹣a，③当a＞5﹣a，三种情况讨论，不等式的解集．解：（1）当a＝1时，g（x）＝＝＝x+﹣5，因为x∈（0，+∞），所以x+≥2＝4，当且仅当x＝时，即x＝2时，上式取“＝“，所以g（x）的值域为[﹣1，+∞）．（2）f（x）＝x2﹣5x﹣a（a﹣5）＝（x﹣a）[x﹣（5﹣a）]，令f（x）＝0，得x＝a或x＝5﹣a，①当a＝5﹣a，即a＝时，由f（x）≤0，解得x＝，②当a＜5﹣a，即a＜时，由f（x）≤0，解得a≤x≤5﹣a，③当a＞5﹣a，即a＞时，由f（x）≤0，解得5﹣a≤x≤a，综上所述，当a＝时，原不等式的解集为{}，当a＜时，原不等式的解集为{x|a≤x≤5﹣a}，当a＞时，原不等式的解集为{x|5﹣a≤x≤a}．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n＝3a n﹣3．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若数列{b n}满足b n＝log3a n，记数列{}的前n项和为T n，证明：＜T n＜．【分析】（1）易知，a1＝3≠0．由2S n＝3a n﹣3，可知2S n﹣1＝3a n﹣1﹣3，两式相减整理得a n＝3a n﹣1，即（n≥2），为常数．故数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）可知a n＝3n，b n＝n，于是＝，然后采用错位相减法可求得T n＝＜；当n≥2时，采用作差法可证得T n﹣T n﹣1＞0，即数列{T n}为递增数列，T n＞T1＝，故而得证．【解答】证明：（1）因为2S n＝3a n﹣3，所以2S n﹣1＝3a n﹣1﹣3，两式相减得，2a n＝3a n﹣3a n﹣1（n≥2），即a n＝3a n﹣1（n≥2），在2S n＝3a n﹣3中，令n＝1，则2a1＝2S1＝3a1﹣3，解得a1＝3≠0，故数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）可知a n＝3n．所以b n＝log3a n＝log33n＝n，所以＝．所以T n＝+++……++，T n＝+++……++，两式相减得，T n＝+++……+﹣＝﹣＝，所以T n＝＝＜，当n≥2时，T n﹣T n﹣1＝＝＞0，故数列{T n}为递增数列，T n＞T1＝．综上所述，＜T n＜．22．2020年5月6日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计，一个承接成渝地区双城经济圈建设、落实成都东进战略的新区正式成立．为落实东部新区“双城一园、一轴一带”的空间布局，某部门规划了一个如图所示的三角形（△ABC）产业园区，其中AC•sin A＝BC•cos B．（1）求角B的大小；（2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区△ADE（D、E是边BC上的点），且C ＝，∠DAE＝，AC＝200米，求核心功能区△ADE面积的最小值．【分析】（1）由正弦定理可得sin B sin A＝sin A cos B，结合sin A≠0，利用同角三角函数基本关系式可求得tan B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由已知及（1）可求AB的值，记∠BAD＝α，则，则∠BDA＝﹣α，利用正弦定理可得AD＝，AE＝，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求△ADE的面积S＝，结合范围，可求范围2α∈[0，]，利用正弦函数的性质即可求解．解：（1）∵AC•sin A＝BC•cos B，∴由正弦定理可得sin B sin A＝sin A cos B，∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴sin B＝cos B，可得tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝…5分（2）由已知及（1）可知，∠BAC＝，∵AC＝200米，∴AB＝200米，…6分记∠BAD＝α，则，则∠BDA＝﹣α，∴在△ABD中，＝，可得AD＝，…7分由∠CAE＝﹣α，C＝，则∠CEA＝+α，∴在△ACE中，＝，可得AE＝，…8分∴△ADE的面积S＝AD•AE•sin∠DAE＝××sin＝×＝＝，…11分当时，2α∈[0，]，当α＝时，sin2α取得最大值1，此时△ADE 面积的最小值30000（2﹣）平方米…12分。
四川省成都市郫都区2019-2020学年高一下学期期末考试语文试题 扫描版含答案
郫都区高一期末语文试题参考答案1. B解析：本题B项，“中国的文学艺术是各自时代特有的艺术符号”以偏概全，原文说“唐诗、宋词、元曲、明清小说更是成为各自时代特有的艺术符号”，不能扩大成“中国的文学艺术”。
2. A解析：A项，“引证法”错，“以‘北京8分钟’来印证传统文化与现代文化对接融合的探索”应是“例证法”。
3. D解析：本题D项，“科幻文艺的创作，离不开科学意识与想象力”曲解文意，原文说“在科幻文艺创作方面，培育民族的科学意识，大胆放飞想象的翅膀，是进行文化创新的一个可行路径”，只是说“是进行文化创新的一个可行路径”，而不是“离不开”。
4. B解析：B项，无中生有。
“总体水平在国内外领先”错。
于文无据。
5. C解析：逻辑混乱，据原文，“政务服务事项网上申报、网上审批”是建成城市空间服务平台之后的服务，不能为建设平台奠定基础。
6.①明确建设目标，提升信息采集技术。
②要整合城市服务资源，促进技术、业务、数据融合。
③要建设标杆城市，为建设智慧城市积累经验。
④要注重对现有技术的运用，来降低成本。
⑤要善于借鉴国外成功经验，为我所用。
（每点2分，答对任意三点给满分）7. C “则是无情”属无中生有。
8. ①颜色灰暗，代表平民性；②质地不坚硬，默默无声（落地无声）；③亲密协作，共御风雨（有责任感，坚守一生）；④对其他物种亲切包容。
（每点2分，答对任意三点给满分）9. ①这些瓦不是装饰性的，代表着一种简单的、平民化的生活。
②这些瓦经历过数百年的风霜，具有独特的历史文化意蕴，相当于古老的周庄（铁皮所代表的是一种西方文明，周庄的瓦所代表的是一种古老的中国文化）。
③无数瓦片用自己的劳苦撑住了周庄人的日常生活，使他们的生活虽历经风雨，但也能世代延续下去。
（意思接近即可）10. D（轼诣武卫营，呼卒长，曰：“河将害城，事急矣，虽禁军且为我尽力。
”卒长曰：“太守犹不避涂潦，吾侪小人，当效命。
”）11. D（干支古代可用来纪年，也可用来纪日。
2019-2020学年四川省成都市高一下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市高一下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．等比数列{}n a 满足11a =，3q =-，则5a =（ ） A ．81 B ．－81C ．243D ．－243【答案】A【解析】按等比数列的通项公式算第五项即可. 【详解】11n n a a q -=，()5151381a -=⨯-=.故选：A 【点睛】此题为简单题，考查等比数列通项公式.2．某正方体被截去部分后剩余几何体的直观图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等分析求解. 【详解】由三视图的画法，可得侧视图如下：故选：B 【点睛】本题主要考查三视图，还考查了空间想象的能力，属于基础题.3．二次不等式20ax bx c ++≥的解为全体实数的条件是（ ） A ．0a >⎧⎨∆≥⎩B ．0a >⎧⎨∆≤⎩C ．0a <⎧⎨∆≥⎩D ．0a <⎧⎨∆≤⎩【答案】B【解析】根据二次函数图像的特征判断即可. 【详解】二次不等式20ax bx c ++≥的解为全体实数，即二次函数2()0f x ax bx c =++≥恒成立，即二次函数图像不在x 轴下方，因此需要开口向上，并且与x 轴无交点或有且只有一个交点，因此00a >⎧⎨∆≤⎩. 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立的问题，属于基础题.4．已知10sin α=，则cos2=α（ ）A ．45 B ．45-C D ．10-【答案】A【解析】由二倍角的余弦公式可直接求解. 【详解】10sin10， 214cos 212sin 12105αα∴=-=-⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.5．已知单调递减的等比数列{}n a 中，10a >，则该数列的公比q 的取值范围是（ ） A ．1q = B ．0q <C ．1q >D ．01q <<【答案】D【解析】根据等比数列{}n a 单调递减，得到0q >，()11110n n n q a a a q -+=->-，再根据10a >，1n ≥求解. 【详解】因为等比数列{}n a 单调递减， 所以0q >，()11111110nn n n n a a a q a q a q q --+-=-=-<，因为10a >， 所以()110n qq --<，又因为1n ≥， 所以10,10n qq ->-<，所以01q <<， 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用以及数列的单调性的应用，属于基础题.6．cos x x -化简为sin()A x ωϕ+（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为（ ） A ．π2sin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π2sin 3x ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．π2sin 6x ⎛⎫+⎪⎝⎭D ．π2sin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A【解析】cos x x -化为12cos 2sin cos cos sin 2266x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后逆用差的正弦公式即可得出. 【详解】1cos 2cos 2sin cos cos sin 2sin 2666x x x x x x x πππ⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查差的正弦公式的逆用，属于基础题.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若::4:5:7a b c =，则ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】C【解析】用余弦定理求最大边所对角. 【详解】::4:5:7a b c =,可设457a k,b k,c k ===，最大角为C ，()()()2224571cos 02455k k k C k k+-==-<⨯⨯，所以C 为钝角. 故选:C 【点睛】此题也可以直接求222a b c +-判断其符号，从而确定角C 是钝角、锐角、直角. 8．若a b c <<，则下列说法正确的是（ ） A ．ln ln a b < B ．22a b <C ．11c a c b<-- D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】根据a b c <<，取1c =，0b =，1a =-，则可排除错误选项. 【详解】根据a b c <<，取1c =，0b =，1a =-， 则A 错误；22=1>0a b =，B 错误；112221a b=>⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，D 错误； 排除错误选项. 故选：C . 【点睛】本题考查不等式的性质，可用特殊值排除法.9．把四边形ABCD 按斜二测画法得到平行四边形A B C D ''''（如图所示），其中2B O O C ''''==，O D ''=ABCD 一定是一个（ ）A ．梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形【答案】D【解析】还原原平面图形ABCD ，计算出BC 、CD 的长，结合四边形A B C D ''''为平行四边形可判断出四边形ABCD 的形状. 【详解】根据斜二测直观图还原原平面四边形ABCD 如下图所示：由图可知，ODBC ，2OC OB ==，223OD O D ''==由勾股定理可得224CD OC CD BC +==，在斜二测直观图中，四边形A B C D ''''为平行四边形，则//A D B C ''''且A D B C ''''=， 在四边形ABCD 中，//AD BC 且AD BC =，所以，四边形ABCD 为菱形. 故选：D. 【点睛】本题考查利用斜二测直观图判断原平面图形的形状，一般要求还原原平面图形，属于基础题.10．已知数列{}n a 满足()112,21n n n a a n n a *--=≥∈+N ，且112a =，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第n 项为（ ） A ．2n B ．2nC ．31n -D ．12n【答案】A【解析】在等式1121n n n a a a --=+两边取倒数，可推导出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得1na . 【详解】当2n ≥且n *∈N ，在等式1121n n n a a a --=+两边取倒数得11121112n n n n a a a a ---+==+， 1112n n a a -∴-=，且112a =，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2， 因此，()12212nn n a =+-=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用倒数法求数列通项，考查计算能力，属于基础题.11．夏季是暴雨和洪水高发季节，需要做好各项防汛工作.为更好地考察防汛抗洪实地情况，某校高一数学兴趣小组前往某水库实地测量其大坝相关数据.如图所示，CE 是该大坝的坡面，该小组在坝底所在水平地面的A 处测得坝顶E 的仰角为θ，对着大坝在水平地面上前进30m 后到达B 处，测得仰角为原来的2倍，继续在水平地面上前进103m 后到达坡底C 处，测得仰角为原来的4倍，则该大坝的高度为（ ）A ．10mB ．15mC ．20mD ．53m【答案】B【解析】由题意及仰角的定义，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系，求出15θ=，即可得出结论.【详解】 由已知30,103ABBC ，在Rt AED △中，cot AD ED ， 在Rt BED 中，cot 2BDED ，cotcot 2AB AD BD ED ，同理可得cot 2cot 4BCED ,(cot cot 2)(cot 2cot 4)AB ED BC ED θθθθ-∴=-，即cot cot 2cot 2cot 4θθθθ-=- cos cos 2sin 2cos cos 2sin 1cot cot 2sin sin 2sin sin 2sin 2θθθθθθθθθθθθθ--=-==， 同理可得1cot 2cot 4sin 4θθθ-=，sin 42cos 2sin 2θθθ∴==cos 2θ∴=，结合题意可知230θ=，即15θ=， sin 215cot cot 2ABED AB θθθ∴===-.故选：B. 【点睛】本题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，考查了学生们解三角形的能力，属于中档题.12．已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C +的最小值为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】将11tan tan B C+化为关于tan A 的式子，然后利用基本不等式可以求出最小值. 【详解】在ABC 中，()tan tan C A B =-+，111111tan tan tan tan tan tan tan tan tan A BB C B A B B A B，tan 2tan B A =，211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3A BA AB A BA AA ,角A 为锐角,tan 0A ∴>，12tan 12tan 226tan 36tan 33A AA A ， 当且仅当12tan 6tan 3A A ，即1tan 2A =时，等号成立，∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°= ． 【答案】0【解析】试题分析：根据题意，利用余弦的和差公式可得cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°，利用特殊角的三角函数值可得答案． 解：根据题意，原式=cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°=0， 故答案为0．【考点】两角和与差的余弦函数．14．在ABC ∆中，若角60C =︒，AC =AB =B =______.【答案】45【解析】利用正弦定理求得sin B ，再由B C <，得B 即可. 【详解】由正弦定理sin sin AC AB B C =得sin B =，得sin B 45B =︒或135︒，又因为AC =AB <=B C <，故45B =︒.故答案为：45. 【点睛】本题考查了正弦定理和大边对大角，属于基础题.15．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧.古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为18尺，立冬的日影子长为10.8尺，则夏至的日影子长为______尺. 【答案】3.6【解析】根据题意列出关于首项和公差的方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】由题意，用123456789101112,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a 分别表示夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长，且它们依次成等差数列，设公差为d ，345101810.8a a a a ++=⎧∴⎨=⎩，即113918910.8a d a d +=⎧⎨+=⎩解得10.83.6d a =⎧⎨=⎩所以夏至的日影子长为3.6尺. 故答案为：3.6. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及性质.16．下列说法中，错误．．的有______（写出你认为错误的所有说法的序号） ①若a ，b均为正数，则11a b +≥②若π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1sin sin x x+的最小值为2 ③0a b >>，则11a b b a +>+ ④若1a b >>，则11b ba a->- 【答案】②④【解析】由基本不等式的性质可判断①②；利用作差法可判断③④. 【详解】①由基本不等式的性质知，11a b +≥=②∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()sin 0,1x ∈，由基本不等式的性质知，1sin 2sin x x +≥=， 当且仅当1sin sin =x x，即sin 1x =时，等号成立， 而sin 1x <，∴等号不成立，取不到最小值2，即②错误；③111()()1a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵0a b >>，∴0a b ->，0ab >， ∴110a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b b a+>+，③正确； ④1(1)(1)1(1)(1)b b a b b a b a a a a a a a ------==---， ∵1a b >>，∴0b a -<，10a ->， ∴101b b a a --<-，即11b ba a-<-，④错误. ∴错误的有②④. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查不等式的基本性质及代数式的比较方法，在用基本不等式求最值时需要注意：一正，二定，三相等.三、解答题17．已知等差数列{}n a 中，13518a a a ++=，570a a +=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）122na n ；（2）211n S n n =-+.【解析】（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差数列的通项公式求数列{}n a 的通项公式； （2）利用等差数列求和公式求和即可. 【详解】（1）由题意得，设数列{}n a 公差为d ， 则13513618a a a a d ++=+=，5712100a a a d +=+=，解得：110a =，2d =-，∴()11n a a n d +-=()1021122n n =--=-；（2）由（1）可得，()12n n n a a S +=()210122112n n n n +-==-+. 【点睛】本题考查利用基本量求解等差数列的通项公式，以及前n 项和，属基础题.18．图形ABCDE 由矩形ABCD 和扇形ADE 组合而成（如图所示），AD DE ⊥，22AB AD ==.求将该图形沿CE 旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积.【答案】表面积7S π=，体积83V π=. 【解析】根据题意确定几何体的组成，结合题中数据可求得几何体的表面积和体积.【详解】由题意知，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，其中圆柱和半球的底面半径均为1，圆柱的高为2.圆柱的底面积211S ππ=⨯=，圆柱的侧面积22124S ππ=⨯⨯=，半球面的表面积2314122S ππ=⨯⨯=， 则该几何体的表面积123427S S S S ππππ=++=++=，圆柱的体积122V ππ=⨯=，半球的体积321421233V ππ=⨯⨯=， 则该几何体的体积1228233V V V πππ=+=+=. 【点睛】 本题考查组合旋转体的表面和体积，解题的关键就是确定组合体的构成，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.19．已知sin 7β=，()11cos 14αβ+=-，02παβ<<<. （1）求tan 2β的值；（2）求角α的大小.【答案】（1）；（2）3π. 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得tan β的值，然后利用二倍角的正切公式可求tan 2β的值；（2）利用两角差的正弦公式求得sin α的值，结合角α的取值范围，进而可求得角α的值.【详解】（1）4sin β=，02πβ<<，1cos 7β∴==，sin 7tan 1cos 7βββ∴===22tan tan 21tan 1βββ===-- （2）02<<<παβ，0αβπ∴<+<，()11cos 14αβ+=-，()sin αβ∴+== ()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ∴=+-=+-+⎡⎤⎣⎦111714⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 02πα<<，3πα∴=.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正切公式求值，同时也考查了利用三角函数值求角，考查计算能力，属于中等题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足233n n S a =-.（1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足3log n n b a =，记数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭前n 项和为n T ，证明112n T ≤<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）根据233n n S a =-，利用数列通项与前n 项和关系，得到13n n a a -=，再利用等比数列的定义求解.（2）由（1）得到3n n a =，则()1111111n n b b n n n n +==-⋅++，然后利用裂项相消法求得n T 1111nn n =-=++，再根据{}n T 为递增数列求解.【详解】（1）由题意得，当()*2n n N ≥∈时，1222n n n a S S -=-，()11333333n n n n a a a a --=---=-∴13n n a a -=，即13nn a a -=，当1n =时，1112233a S a ==-，∴130a =≠故{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列（2）由（1）可知3nn a =，∴33l 3log og nn n b a n ===， ∴()1111111n n b b n n n n +==-⋅++ ∴()()1111112233411n T n n n n =+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯-+11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++因为()*2n n N ≥∈时，()111101n n n n T T b b n n -+-==>⋅+，所以{}n T 为递增数列，故112n T T ≥=因为*n N ∈，则101n >+，故1111n T n =-<+ 所以112n T ≤< 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系，等比数列的定义，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数()()255f x x x a a =---. （1）当1a =时，求当()0,x ∈+∞时，函数()()f x g x x =的值域； （2）解关于x 的不等式()0f x ≤.【答案】（1）[)1,-+∞；（2）答案见解析.【解析】(1)利用1a =代入化简()()f x g x x=，再用基本不等式求值域即可； (2) 对()f x 因式分解得到两根，对两根分类讨论写不等式解集即可.【详解】解：（1）当1a =时，()()25445f x x x g x x x x x-+===+-∵()0,x ∈+∞，∴44x x +≥= 当且仅当4x x=时，即2x =时，上式取“=”， 所以()g x 45451x x=+-≥-=-，当且仅当2x =时取等号， 所以()g x 的值域为[)1,-+∞；（2）()()()()2555f x x x a a x a x a =---=---⎡⎤⎣⎦ 令()0f x =，得x a =或5x a =-，①当5a a =-，即52a =时，由()0f x ≤，解得52x =； ②当5a a <-，即52a <时，由()0f x ≤，解得5a x a ≤≤-； ③当5a a >-，即52a >时，由()0f x ≤，解得5a x a -≤≤；综上所述， 当52a =时，原不等式的解集为52⎧⎫⎨⎬⎩⎭； 当52a <时，原不等式的解集为{}5x a x a ≤≤-； 当52a >时，原不等式的解集为{}5x a x a -≤≤. 【点睛】本题考查了函数值域、基本不等式和含参数的一元二次不等式，属于综合题. 22．2020年5月6日，成都东部新区正式挂牌，标志着经过三年的规划设计后，一个承接成渝地区双城经济圈建设、落实成都东进战略的新区正式成立.为落实东部新区“双城一园、一轴一带”的空间布局的需要，某规划部门拟规划如图所示的三角形（ABC ）产业园区，其中3sin cos AC A BC B ⋅=⋅.（1）求角B 的大小；（2）若在该产业园区内再规划一个核心功能区ADE （D 、E 是边BC 上的点），且π3C =，π6DAE ∠=，200AC =米，求核心功能区ADE 面积的最小值. 【答案】（1）π6；（2）(3000023平方米. 【解析】（13sin cos AC A BC B ⋅=⋅边化角可求出tan B ，即可求出角B ；（2）记BAD ∠=α，则π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π6BDA α∠=-，利用正弦定理可以表示出AD 和AE ，利用面积公式表示出面积，再根据α的取值范围即可求出ADE 面积的最小值.【详解】（13sin cos A BC B ⋅=⋅，3sin sin cos B A A B =，∵()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴sin tan cos 3B B B ==， ∵()0,πB ∈，∴π6B =； （2）由已知及（1）可知，ABC 为直角三角形且π2BAC ∠=， ∵200AC =米，所以AB = 记BAD ∠=α，则π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π6BDA α∠=-， ∴在ABD △中，π5πsin sin 66AD AB α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，得sin 6AD α=- ⎪⎝⎭， 由π3CAE α∠=-，π3C =，则π3CEA α∠=+， ∴在ACE △中，ππsin sin 33AE AC α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得πsin 3AE α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴ADE 的面积1sin 2S AD AE DAE =⋅⋅∠1πsin 26sin sin 63αα=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭142222=⎝⎭⎝⎭==当π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π20,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当π4α=时，sin 2α取得最大值1， 此时ADE的面积的最小值为(300002平方米.【点睛】本题考查正弦定理解三角形以及面积公式的应用，属于中档题.。
2019-2020学年四川省成都市郫都区高一(下)期末数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年四川省成都市郫都区高一(下)期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.函数f(x)=sin2xcos2x 的周期为( )A. 2πB. πC. π2D. π42.设y =f(x)是一次函数，若f(0)=1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)+f(4)+⋯+f(2n)等于( )A. n(2n +3)B. n(n +4)C. 2n(2n +3)D. 2n(n +4)3.“|x −1|<2”是“0<x <3”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n =a n +1(n =1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19，37，82}中，则q 等于( )A. −12B. 12C. −32D. 325.在△ABC 中，ccosA =b ，则△ABC 的形状为( )A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形6.己知α，β都是锐角，若sinα=√55，sinβ=√1010，则α+β=( )A. π4B. 3π4C. 3π4和π4D. −π4和−3π47.△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，cosC =−14，BC =2，BD =4，则△ABC 的面积为( )A. 3√154B. 7√154C. √15D. 2√158. 已知1+cos2αsin2α=12，则tanα=( )A. 2B. 3C. 12D. 139.在△ABC 中，角A ，B 分别满足tanA =2，tanB =3，则角C 为( )A. 3π4B. π4C. π6D. π310.正方体中，与直线所成角为且与直线互为异面直线的直线为A. B. C. D.11.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1<x<2}，则ab的值为()A. 1B. −14C. 4 D. −1212.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与原正方体体积的比值为()A. 18B. 17C. 16D. 15二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为14.已知log2a+log2b=16sinπ12⋅cosπ12，则a+b的最小值为______ ．15.三国(220年～280年)是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权.元末明初的小说家罗贯中依据这段历史创作了《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣往来，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰能走30公里，一天最多能跑10个小时，十天能到达.如果吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，那么吴国都城一叛徒要向魏国都城告密大约需要______ (填整数)天能达到魏国都城．(√7≈2.65)16.若数列{a n}满足log a a n+1=1+log a a n(a>0,a≠1)，已知a为常数，且a1+a2+⋯+a100=100，则a2+a4+⋯+a98+a100=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(本小题满分12分)设数列的前项和为.已知，，．(Ⅰ)设，求数列的通项公式；(Ⅱ)若，，求的取值范围．18.在△ABC中，a=5，B=45°，C=105°，解三角形．19.已知数列{a n}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n都有(a1+a2+⋯+a n)2=a13+a23+⋯a n3．(1)若数列{a n}共三项，且为等比数列，求数列{a n}的公比．(2)是否存在满足条件的无穷数列{a n}，使得a2020=−2019？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．20.已知如图几何体，矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD，M为AF的中点，BN⊥CE．(Ⅰ)求证：CF//平面MBD；(Ⅱ)求证：CF⊥平面BDN．21.△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cosBcosC =b2a−c(1)求∠B的大小；(2)若a=4，S=5√3，求b的值．22.已知：a⃗=(√3sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,cosx)，f(x)=2a⃗⋅b⃗ (x∈R)．(1)求f(x)关于x的表达式，并求f(x)的最小正周期；]时，g(x)的最小值为5，求m的值．(2)已知g(x)=f(x)+2m−1，若x∈[0,π2【答案与解析】1.答案：C解析：解：函数f(x)=sin2xcos2x=12sin4x的周期为2π4=π2，故选：C．利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性，得出结论．本题主要考查二倍角公式，三角函数的周期性，属于基础题．2.答案：A解析：解：由已知，假设f(x)=kx+b，(k≠0)∵f(0)=1=k×0+b，∴b=1．∵f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，且f(1)=k+1，f(4)=4k+1，f(13)=13k+1．∴k+1，4k+1，13k+1成等比数列，即(4k+1)2=(k+1)(13k+1)，16k2+1+8k=13k2+14k+1，从而解得k=0(舍去)，k=2，f(2)+f(4)+⋯+f(2n)=(2×2+1)+(4×2+1)+⋯+(2n×2+1)=(2+4+⋯+2n)×2+n=4×n(n+1)2+n=2n(n+1)+n=3n+2n2，故选A．3.答案：B解析：解：解绝对值不等式|x−1|<2得：−1<x<3，又“−1<x<3”是“0<x<3”的必要不充分条件，即“|x−1|<2”是“0<x<3”成立的必要不充分条件，故选：B．由绝对值不等式的解法及充分必要条件可得：解|x−1|<2得：−1<x<3，又“−1<x<3”是“0<x<3”的必要不充分条件，即“|x−1|<2”是“0<x<3”成立的必要不充分条件，得解．本题考查了解绝对值不等式及充分必要条件，属简单题．4.答案：C解析：本题考查等比数列的公比，注意递推公式的应用．属简单题，理解题意，按绝对值顺序排列集合中的元素是解题的关键。
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高一下期末文科数学参考答案
题号123456789101112答案B D
C A
D B
D A
C
C
B
B
13.
3
14．2
15.
28
16．11
分
分
分
分）
（分分分）原式解：（10---------------------229------------4
π
cos 4πsin 27----------2cos 12sin 16-------------cos 22sin 1cos 2)cos (sin ∴8
π25---------420sin 2120sin 23------------10cos 10sin )10-30sin(21-----------10cos 10sin )10sin 23-10cos 21
(210cos 10sin 10sin 3-10cos 117.222+=++=+++=++=++======
x x x x x
x x x
18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，-------------------1分
由已知，2
11116,12a a q a q a q +=+=---------------------------------2分
两式相除，得2q =.------------------------------3分所以12a =，--------------------------------4分
所以数列{}n a 的通项公式2n
n a =.----------------------5分
（2）设等差数列{}n b 的公差为d ，----------------------6分则114,316b d b d +=+=------------------------------------------7分解得12,6b d =-=---------------------------------------------8分
()()()1234100123499100b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- 50300d =-=----------------------------------------------------------------------10分
19．解：（1）3
4
tan =
α ，又αβ、为锐角，由22
sin sin cos 1,tan cos ααααα+==得：4sin 53cos 5αα⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，---------------3分
227
cos 2cos sin 25
ααα∴=-=-
；----------------------6分（2）由（1）得，24
sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos 27
ααα==-．
α 又，(0,2
π
β∈，(0,)αβπ∴+∈，-----------------------7
分
sin()5
αβ∴+=．---------------------------8分则sin()
tan()2cos()
αβαβαβ++=
=-+．-------------------------------------9分
tan 2tan()2
tan()tan[2()]1tan 2tan()11
ααβαβααβααβ-+∴-=-+=
=-++------------------------12分
20．解：（1） 点()()
,n n S n *∈N 均在二次函数()2
32f x x x =-的图象上，
∴232n S n n =-．----------------------1分
当2n ≥时，()()2
2
132312165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
；--------3分
当1n =时，21131211a S ==⨯-⨯=，满足上式．（5分）-------------5分
∴数列{}n a 的通项公式是65n a n =-．-------------------------------6分
（2） 65n a n =-，
∴()()16611
65616561
n n n b a a n n n n +=
==-
-+-+．----------------8分∴123n n
b b b b T =++++ 111111
11771313196561n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
----------9分
O
11111111771313196561n n -+-+-++--+ -------------10分1=161n -
+661
n
n =+．-----------------------12分
21解：（1）设1A B 与1AB 交于O ，连接OD ，---------2分在平行四边形11ABB A 中，O 为1AB 中点，D 为AC 中点，所以
1//OD B C ，---------4分
OD ⊂ 平面1A BD ，因1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ；-------------6分
（2）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥平面ABC ，
BD ⊂平面ABC ，所以1BD C C ⊥．---------------------------8分
又BD AC ⊥，1AC C C C = ，所以BD ⊥平面11ACC A ．因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，--------------10分
又11A D AC ⊥，1A D BD D ⋂=，所以1AC ⊥平面1A BD ．------------11分又1AC ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD ．--------------12分22．（1）因为在ABC ∆
中，30,B AC D ∠== 是边AB 上一点，
所以由余弦定理得：
(22222202cos 2AC AB BC AB BC ABC AB BC BC AB BC
==+-⋅∠=+-⋅≥-⋅------------------3分
所以(202AB BC ⋅≤=+----------------------------------------------4分
所以(1
sinB 522
ABC S AB BC =
⋅≤+ -------------------------------------------6分
所以ABC ∆
的面积的最大值为5(2+（2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，
因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，
所以11
sin 2sin 422ABC S AC CD θθ=⋅=⨯= --------------------------------7分
所以sin 55
θθ=
=
，------------------------------------8分
由余弦定理，得，2225
2cos 2048165
AD AC CD AC CD θ=+-⋅=+-=所以4=AD ，------------------------------------------10分
由正弦定理，得
sin sin AD CD A θ=，所以42sin sin A θ=，所以sin 5
A =，-------11分此时
sin sin BC AC A B =，所以sin 4sin AC A BC B
==．------------------------------------12分所以BC 的长为4。