量子力学讲义第七章讲义概要

第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 态的表象一、什么叫表象——量子力学中态和力学量的具体表示方式 二、研究表象的意义根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。

§7.1 量子态的不同表象一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。

3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数x p ip e x ''= 2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数动量本征函数：px ip e x 2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰(1) 展开系数*(,)()(,)p c p t x x t dx ψψ=⎰(2)ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。

认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。

ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。

1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。

3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。

(在第一章中已经证明)4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数： *(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E tep p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。

换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。

三、力学量表象问题：那末，在任一力学量F 表象中，ψ(x ,t )所描写的态又如何表示呢？ 1、分立谱的情况设算符ˆF的本征值为： F 1, F 2, ..., F n ,...， 相应本征函数为：ψ1(x ), ψ 2(x ),..., ψn (x ),...。

将ψ(x ,t )按ˆF的本征函数展开： (,)()()n n nx t a t u x ψ=∑*()()(,)n n a t u x x t dx ψ=⎰若ψ(x ,t ), u n (x )都是归一化的，则a n (t )也是归一化的。

(在第三章中已经证明) 由此可知，| a n | 2 表示在ψ(x ,t )所描述的状态中测量F 得F n 的几率。

展开系数组成的数列}),(,),(),({21 t a t a t a n 与ψ(x ,t )是一一对应关系， {a n (t )}与ψ(x ,t )描述体系的同一个态，ψ(x ,t )是这一状态在坐标表象中的表示，而数列{a n (t )}是这同一状态在F 表象中的表示。

我们可以把数列{a n (t )}写成列矩阵的形式，用ψF 标记：(1)、体系态 12()()()F n a t a t a t ψ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭列矩阵为ψ(x ,t )所描写的态在F 表象中的表示 并把矩阵ψF 称为ψ(x ,t )所描写的状态在F 表象中的波函数。

ψF 的共轭矩阵是一个行矩阵，用ψ+F 标记()***12()()()F n a t a t a t ψ+=(2)、| a n | 2 表示在ψ(x ,t )所描述的状态中测量F 得F n 的几率。

(3)、若ψ(x ,t )已归一化，则有1)(2=∑nn t a 。

若用矩阵表示F F ψψ+()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= )()()()()()(21**2*1t a t a t a t a t a t a n n *()()n n n a t a t =∑1= (4)、本征值为n F '的本征函数。

001F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ψ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（ 第行n '为1，其余为零）2、连续谱的情况 ˆF f ()fu x 12()()()f n a t a t a t ψ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()()F f a t ψ= →连续矩阵（一般用()f a t 表示即可） (1) (,)~()~()n f x t a t a t ψ(2) 222(,)~()~()n f x t dx a t a t df ψ在q ψ所描述的态中，测量力学量f ，所得结果为f →f +d f 的几率 (3) 222(,)1~()1~()1n f nx t dx a t a t df ψ===∑⎰⎰综上所述，量子力学中体系的同一状态可以用不同力学量表象中的波函数来描写。

所取表象不同，波函数的形式也不同。

我们可以根据处理问题的需要选用适当的表象以方便求解。

下面举个例子说明。

例：分别在坐标表象、动量表象、能量表象中写出一维无限深势阱中基态粒子的波函数。

四、Hilbert （希耳伯特）空间：态矢量所在的无限维空间 同一个态在不同表象中有不同的表述方式量子力学中，态的表象这一概念与几何学中选取不同的坐标系来表示同一矢量的概念十分相似。

在量子力学中，我们可以建立一个n 维（n 可以是无穷大）空间，把波函数ψ看成是这个空间中的一个矢量，称为态矢量。

选取一个特定力学量F 表象，相当于选取特定的坐标系。

该坐标系是以力学量F 的本征函数系,),(),(),(21 x u x u x u n 为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展开系数() ),(,),(),(21t a t a t a n ，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。

(,)()()nnnx t a t u x ψ=∑++++=)()()()()()(2211x u t a x u t a x u t a n nF 表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert 空间。

§7.2 力学量(算符)的矩阵表示一、矩阵简介 1、定义⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=NM N N M M A A A A A A A A A A212222111211 矩阵M N ⨯ 矩阵元nm A ,,,2,1N n =M m ,,2,1 =方阵：行数与列数相等的矩阵。

2、两矩阵相等B A = nm nm B A = （行列数相等）3、两矩阵相加 B A C += nm nm nm B A C += （行列数相等）4、两矩阵相乘 ∑=llm nlnm B AC M N M l l N C B A ⨯⨯⨯= （ 一个l 列的矩阵A 与一个l 行的矩阵B 相乘） ()()()=A B C3222⨯⨯B A 32⨯=C⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23222113121123222113121122211211C C C C C C B B B B B B A A A A 11C 21121111B A B A +=23C 23221321B A B A +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23222113121122211211B B B B B B A A A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=232213212222122121221121231213112212121121121111B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A(1)BA AB ≠ 称A 、B 矩阵相互不对易；BA AB = 称A 、B 矩阵相互对易（2）)()(BC A C AB ABC == (3) ()A B C AB BC +=+(4) AB AC =，但B=C 不一定成立 (5) AB =0，但A =0，B =0不一定成立 (6) A 2=0，但A =0不一定成立 5、对角矩阵 nm n nmA A δ=⎪⎩⎪⎨⎧≠==)(0)(n m n m A n除对角元外其余为零⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43210000000000A A A A A 6、单位矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010000100001I 即nm nm A δ=单位矩阵与任何矩阵A 的乘积仍为A ：IA=A ，并且与任何矩阵都是可对易的：IA=AI 7、转置矩阵：把矩阵A 的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A 的转置矩阵A ~。

nm m n A A A =→~~ m 列n 行→n 列m 行⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211A A A A A A A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231322122111~A AA A A A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+*23*13*22*12*21*11A A A A A A A共轭矩阵+A ：**)~()(nmm n m n A A A A ==→++ m 列n 行→n 列m 行→转成共轭复数 8、厄密矩阵：如果A A =+，则称A 矩阵为厄密矩阵（如果一个矩阵A 和它的共轭矩阵相等）例如，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00i i A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+****0)(0i i A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00i i A = +++=A B AB )( +++++=A B C D ABCD )(二、F 表象中的算符表示设量子态ψ经过算符ˆL运算后变成另一个态φ ˆLφψ= A 、分立谱的情况在以力学量完全集F 的本征态ψk 为基矢的表象（F 表象）中，上式表成ˆkkkkkkb a Lψψ=∑∑ (1)以*()j x ψ左乘上式两边并对x 积分，积分范围是x 变化的整个区域得*()(1)j x dx ψ⨯⎰式*ˆk jk k kb L dx a ψψ=⋅∑⎰ˆjk kkL a =∑ (2) 式中ˆˆ(,)jk j kL L ψψ= 将(2)表成矩阵的形式则为1111211221222212m m n n n nmn b L L L a b L L L a b L L L a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) 式(3)即式(1)在F 表象中的矩阵表示，左边的一列矩阵和右边的一列矩阵分别是波函数φ和波函数ψ在F 表象中的矩阵表示，而矩阵()jk L 即算符ˆL 在F 表象中的表示。