2019学年江苏省泰兴市高二上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】(1)

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江苏省泰州市泰兴中学附属实验学校2018-2019学年高二数学理联考试卷含解析

江苏省泰州市泰兴中学附属实验学校2018-2019学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是A.1B.C.D.参考答案：D2. 设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型．【专题】概率与统计．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为=4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=故选：D．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．3. 若实数满足，则的最小值是A．B．C．2 D．6参考答案：B4. 如图所示的流程图，最后输出n的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，n=2不满足条件2n＞n2，n=3不满足条件2n＞n2，n=4不满足条件2n＞n2，n=5满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．故选：C．5. 已知函数f（x）=x3﹣2x2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．a＞﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞1 D．a≥1参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x）=3x2﹣4x+a，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2x2+ax+3，∴f'（x）=3x2﹣4x+a，∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x）=3x2﹣4x+a在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=，∴函数在区间内递增，∴f'（1）≥0，∴﹣1+a≥0，∴a≥1，故选D．6. 如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN 的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦MN的长度超过R的图形测度，再代入几何概型计算公式求解．【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦MN的长度超过R的概率是P=．故选：D．7. 对任意的x∈R，函数f（x）=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是（）A．0≤a≤21B．a=0或a=7 C．a＜0或a＞21 D．a=0或a=21参考答案：A【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由于函数f（x）=x3+ax2+7ax（x∈R）不存在极值，可得f′（x）≥0恒成立，求解出一元二次不等式即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+7ax（x∈R），∴f′（x）=3x2+2ax+7a，∵函数f（x）=x3+ax2+7ax（x∈R）不存在极值，且f′（x）的图象开口向上，∴f′（x）≥0对x∈R恒成立，∴△=4a2﹣84a≤0，解得0≤a≤21，∴a的取值范围是0≤a≤21．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，解题时要注意运用极值点必定是导函数对应方程的根，而导函数对应方程的根不一定是极值点．考查了转化化归的数学思想方法．属于中档题．8. 已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为( ).A. B. C. D.参考答案：A略9. 若直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）A．3 B．1 C．0或D．1或﹣3参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：当a=1时，两条直线分别化为：x=3，5y=2，此时两条直线互相垂直；当a=﹣时，两条直线分别化为：3x﹣5y+6=0，5x=﹣4，此时两条直线不互相垂直．当a≠﹣，1时，两条直线分别化为：﹣， +．∵直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴=﹣1，解得a=﹣3或1（舍去），综上可得：a=﹣3或1．故选：D．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法，属于基础题．10. 坐标原点O到直线3x＋4y－5＝0的距离为A．1 B． C．2 D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间上的均匀随机数和10个在区间[0,1]上的均匀随机数（），其数据如下表的前两行．136001由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．参考答案：【分析】先根据题意以及题中数据，可得：向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此即可估计出曲边三角形的面积.【详解】由题意以及表中数据可得，向矩形区域内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，所以其频率为，因为矩形区域面积为，所以这个曲边三角形面积的一个近似值为.故答案为【点睛】本题主要考查几何概型，以及定积分在求面积中的应用，属于常考题型.12. 一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为________。

数学-高二-江苏省泰州市泰兴中学高二(上)期中数学试卷(理科)

2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx）n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有种．（用数字作答）13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．1 2 34 5 67 8 914．已知数列{a n}为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n}为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=．二.解答题（本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？16．已知（+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．18．如图：已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．（1）试用，，表示，并求||；（2）求证：CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？20．数学运算中，常用符号来表示算式，如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1，求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x）k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（每题5分，共计70分）1．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件共4种结果，从而得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是两颗骰子向上点数之积等于12，有（2，6）、（3，4）、（4，3）、（6，2）共4种结果，∴要求的概率是=．故答案为：．2．已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1} ．【考点】伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值；函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则我们可以在同一平面直角坐标系中画出y=f（x）与y=m的图象进行分析．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值；其函数图象如图所示：又∵函数g（x）=f（x）﹣m在R上有且只有两个零点，则由图可得m＜0或m=1，故答案为：（﹣∞，0）∪{1}．3．如图，空间四边形O A BC中，=，=，=，点M在O A上，且=，点N为BC中点，则等于．（用向量表示）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】连接AM，根据向量的加减运算三角形法则，求出，，即可求．【解答】解：由题意：=，=，=，∴，．点N为BC中点，那么：，=，则，连接AN，则，那么：===，故答案为：．4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为10．【考点】分层抽样方法．【分析】设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求．【解答】解：设从高三学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得x=10，故答案为10．5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2=208．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，求解即可．【解答】解：由题意可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解得则x2+y2=208，故答案为：208．6．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）【考点】程序框图．【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，分析可得常数项．【解答】解：第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得：b=7，a=4；第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9．∵（﹣）6=的展开式的通项为：=令3﹣r=0得r=3∴常数项为=﹣540．故答案为：﹣540．7．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF 所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值，取一组空间基底为{}，用这组基底分别表示出向量，可设正四面体的棱长为1，这样即可求出，，从而根据求出，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．【解答】解：，；设正四面体的棱长为1，则，=；=；∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．故答案为：．8．已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x3的系数是35，则a1+a2+a3+…+a7=1或127．【考点】二项式系数的性质．【分析】由条件求得a0=（﹣m）7，根据展开式中x3的系数是35，求得m=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1，可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，分当m=1时和当m=﹣1时两种情况，分别由①求得a1+a2+a3+…+a7的值．【解答】解：∵（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7 ，∴a0=（﹣m）7．又展开式中x3的系数是35，可得•（﹣m）4=35，∴m=±1．∴a0=（﹣m）7=±1．在（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1，可得（1﹣m）7=a0+a1+a2+…+a7 ①，当m=1时，a0=﹣1，由①可得0=﹣1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=1．当m=﹣1时，a0=1，由①可得27=1+a1+a2+…+a7 ，即a1+a2+a3+…+a7=127，故答案为：﹣1或129．9．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是．（请用分数表示结果）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据n次独立重复实验中至少发生k次的概率公式求得播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是即可．【解答】解：根据题意，播下4粒种子至少有2粒发芽即4次独立重复事件至少发生2次，由n次独立重复事件至少发生k次的概率的公式可得，P=•+•+=，故答案为：．10．已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．则（1+mx）n（1﹣x）6展开式中含x2项的系数为﹣5．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=32，解得n=5，由（1+mx）5的展开式的通项公式，及其展开式中含x3项的系数为80．解得m=2．把（1+2x）5（1﹣x）6展开即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=32，解得n=5，=（mx）r=m r x r，令r=3，（1+mx）5的展开式的通项公式：T r+1则=80，解得m=2．则（1+2x）5（1﹣x）6=，∴展开式含x2项的系数为=+﹣2=﹣5．故答案为：﹣5．11．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，得分的随机变量ξ=4，6，8，10，由经能求出P（ξ≤7）的值．【解答】解：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）==．故答案为：．12．袋中混装着10个大小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有7920种．（用数字作答）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、前6次取出的全部为白球，②、前5次取出3个红球、2个白球，第6次取出红球，分别求出每种情况下的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分开来，则一共有2种情况：①、前6次取出的全部为白球，需要将6个白球全排列，安排在前6次取出，有A66=720种情况，②、前5次取出3个红球、2个白球，第5次取出红球，需要在4个红球中取出3个，6只白球中取出2个，安排在前5次取出，第6次取出第4只红球，有C43C62A55=7200种情况，则一共有720+7200=7920种不同的抽取方式．故答案为：7920．13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有108种．1 2 34 5 67 8 9【考点】排列、组合的实际应用．【分析】当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关，当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况，相乘得到结果．【解答】解：首先看图形中的1，5，9，有3种可能，当1，5，9，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能共6种可能．4，8及7，与2，6及3，一样有6种可能并且与2，6，3，颜色无关．当1，5，9换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种，故答案为：10814．已知数列{a n}为a0，a1，a2，a3，…，a n（n∈N），b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n，i∈N．若数列{a n}为等差数列a n=2n（n∈N），则（b i）=（n2+3n）•2n﹣2．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的求和公式可得：b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n==n （n+1）．因此（b i）=1×2×++…+n（n+1），构造等式：x（x+1）n=+++…+，两边对x两次求导，令x=1即可得出．【解答】解：∵a n=2n（n∈N），∴b n=a i=a0+a1+a2+a3+…+a n===n（n+1）．∴（b i）=1×2×++…+n（n+1），∵x（x+1）n=+++…+，两边对x求导：（x+1）n+nx（x+1）n﹣1=1+2x+3x2+…+（n+1），两边对x求导：n（x+1）n﹣1+n（x+1）n﹣1+nx（x+1）n﹣2=1×2×+x+…+n（n+1）x n﹣1，令x=1可得：（n2+3n）•2n﹣2=1×2×++…+n（n+1），故答案为：（n2+3n）•2n﹣2．二.解答题（本题包括六道大题共计90分，解答时请写出必要的计算或证明过程）15．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100mL（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车．”2015年9月26日晚8时开始，德阳市交警一队在本市一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，如图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图．（1）求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y（mg/100mL），则事件|x﹣y|≤10的概率是多少？【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据频率=，计算所求的频数即可；（2）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可；（3）用列举法计算基本事件数与对应的概率值．【解答】解：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL（含80）以上者，共有0.05×60=3人；（2）由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值为=25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47（mg/100 mL）；（3）第五组和第七组的人分别有：60×0.1=6人，60×0.05=3人，|x﹣y|≤10即选的两人只能在同一组中；设第五组中六人为a、b、c、d、e、f，第七组中三人为A、B、C；则从9人中抽出2人的一切可能结果组成的基本事件如下：ab；ac；ad；ae；af；aA；aB；aC；bc；bd；be；bf；bA；bB；bC；cd；ce；cf；cA；cB；cC；de；df；dA；dB；dC；ef；eA；eB；eC；fA；fB；fC；AB；AC；BC共36种；其中两人只能在同一组中的事件有18种，用M表示|x﹣y|≤10这一事件，则概率P（M）==．16．已知（+2x）n．（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）第k+1项的二项式系数为C n k，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设T k+1项的系数最大，T k+1项的系数为r k，则有【解答】解：（1）∵C n4+C n6=2C n5，∴n2﹣21n+98=0，∴n=7或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数=C73（）423=，T5的系数=C74（）324=70．当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数=C147（）727=3432．（2）由C n0+C n1+C n2=79，可得n=12，设T k+1项的系数最大．∵（+2x）12=（）12（1+4x）12，∴∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，∴展开式中系数最大的项为T11．T11=（）12C1210410x10=16896x10．17．在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1，2，…7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数ξ的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则由等可能性事件的概率计算公式即可求得；（2）由于题意知道ξ表示甲、乙两选手之间的演讲选手个数，有题意则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，再有古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义与其分布列即可求得．【解答】解：（1）设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”．由等可能性事件的概率计算公式得．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，，，，，，．从而ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4 5P所以，．18．如图：已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，且C1C=CD=1．（1）试用，，表示，并求||；（2）求证：CC1⊥BD；（3）试判断直线A1C与面C1BD是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义得出，通过计算2得出||；（2）通过计算=0得出CC1⊥BD；（3）通过计算数量积证明CA1⊥BD，CA1⊥BC1，于是直线A1C⊥平面C1BD．【解答】解：（1）=+，=+++2+2+2=1+1+1+2×1×1×+2×1×1×+2×1×1×=6，∴．证明：（2）∵=•（）=•﹣•==0，∴，∴CC1⊥BD．（3）=（+）•（）==1﹣+﹣1+=0，∴，∴CA1⊥BD．同理可证CA1⊥BC1，∵BC1⊂面BDC1，BD⊂面BDC1，BC1∩BD=B，∴A1C⊥面C1DB．19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？【考点】离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率．【分析】（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望．（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得到结果．【解答】解：（1）设袋中黑球的个数为x（个），记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则．∴x=6．设袋中白球的个数为y（个），记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，∴y2﹣29y+120=0，∴y=5或y=24（舍）．∴红球的个数为15﹣6﹣5=4（个）．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是ξ的数学期望=；（2）设袋中有黑球z个，则，）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件求出则，当n=5时，P（C）最大，最大值为．20．数学运算中，常用符号来表示算式，如=a0+a1+a2+a3+…+a n，其中i∈N，n∈N*（Ⅰ）若a0、a1、a2、…a n成等差数列，且a0=0，公差d=1，求证：（a i C）=n•2n﹣1（Ⅱ）若（1+x）k=a0+a1x+a2x2+…+a2n x2k，b n=，记d n=1+且不等式t•（d n﹣1）≤b n对于∀n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明（a i C）=n•2n﹣1；（Ⅱ）在二项式展开式中分别取x=﹣1，x=1，求出b n，再借助于二项式系数的性质化简可得d n，代入不等式t•（d n﹣1）≤b n，分n为奇数和偶数求得t的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，等差数列的通项公式为a n=n，则（a i C）==．∵，∴，∴（a i C）=；（Ⅱ）解：令x=1，则，令x=﹣1，则，∴，由已知可知，==（1﹣4）n﹣（1﹣1）n+1=（﹣3）n+1，∴，将代入不等式t•（d n﹣1）≤b n，得t•（﹣3）n≤4n﹣1，当n为偶数时，，∴t≤；当n为奇数时，，∴．综上所述，所求实数t的范围是．2016年10月15日。

江苏省泰州中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题含解析

江苏省泰州中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟试卷分值：150分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1.不等式10xx-≥的解集为（） A. []0,1B. (]0,1C. (][),01,-∞⋃+∞D.()[),01,-∞+∞【答案】B 【解析】【分析】直接将分式不等式转化将为一元二次不等式，求解即可．【详解】不等式10xx -≥等价于()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得01x <≤，所以不等式10xx-≥的解集为(]0,1，故选：B.【点睛】本题主要考查分式不等式的求法，考查转化思想与计算能力，属于基础题. 2.在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于() A. 2 B. 18C. 4D. 9【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列性质得到51a =，959S a =，计算得到答案. 【详解】等差数列{}n a 中，375522,1a a a a +===1995()9992a a S a +⨯===故选D【点睛】本题考查了等差数列的计算，利用性质可以简化运算，是解题的关键.3.若双曲线E ：22149x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，且12,PF =则2PF =（） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】B 【解析】【分析】求得双曲线的2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，代入已知条件解方程即可得到所求值．【详解】解：双曲线E ：22149x y -=可得2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，由12=PF ，可得2|2|||4PF -=，解得26PF =（−2舍去）．故选B ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题． 4.已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则n a 等于( ) A. 22n + B. 24n + C. 21n D. 23n -【答案】A 【解析】【分析】直接利用等差数列公式和等比中项公式2317a a a =得到答案. 【详解】3a 是1a 与7a 的等比中项，故2317a a a = 即2111(2)(6)a d a a d +=+ 解得：14a =1(1)22n a a n d n =+-=+故选A【点睛】本题考查了等差数列和等比中项，属于常考题型.5.已知椭圆()22:10y C x n n +=>n 的值为（） A.14或4 B.14C.12或2 D.12【答案】A 【解析】【分析】对椭圆C 的焦点位置进行分类讨论，利用离心率公式可求出实数n 的值.【详解】当椭圆C 的焦点在x 轴上时，则01n <<，则21a =，2b n =，则2221c a b n =-=-，此时，椭圆C的离心率为c e a ===14n =；当椭圆C的焦点在y 轴上时，则1n >，则2a n =，21b =，则2221c a b n =-=-，此时，椭圆C 的离心率为c e a ===，解得4n =. 因此，14n =或4. 故选A.【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数，解题时要对椭圆的焦点位置进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.6.若函数()()2125f x a x x =-++的图像恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是( )． A. 65a >B. 65a <C. 65a ≥D.615a a =>或【答案】A 【解析】【分析】二次项系数含参数，要讨论二次项系数是否为零，然后再利用二次函数的图像的位置对开口方向、判别式24b ac ∆=-限制即可求解．【详解】当10a -=时：则25y x =+，此直线图像不是恒在x 轴上方，即1a ≠ ；当10a -≠时：若图像恒在x 轴上方，则10420(1)0a a ->⎧⎨∆=--<⎩ 解不等式组可得65a >故选A【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，注意当二次项含有参数数时，需对二次项系数讨论． 7.已知数列{}n a 中，11a =，()111n n a a n n +-=+，则10a 等于( )A.1910B.910C.179D.2111【答案】A 【解析】【分析】变形为()111111n n a a n n n n +-==-++，利用累加法和裂项求和计算得到答案.【详解】()111111n n a a n n n n +-==-++10109982111111119 (1191089210)a a a a a a a a =-+-++-+=-+-++-+= 故选A【点睛】本题考查了累加法和裂项求和，意在考查学生对于数列方法的灵活应用. 8.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 是等比数列； ②{}1n n a a +是等比数列； ③{}1n n a a ++等比数列； ④{}lg n a 是等差数列．其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】设11n n a a q -=，得到22(1)1n n a a q q -=⋅，22(1)11n n n a a a q q -+=⋅，1lg lg (1)lg n a a n q =+-，再利用举反例的方式排除③【详解】设11n n a a q -=，则：2122(1)11n n n a a q a q q --==⋅，故{}2n a 是首项为2a ，公比为2q 的等比数列，①正确 122122(1)11111n n n n n n a a a q a q a q a q q ---+=⋅==⋅，故{}1n n a a +是首项为21a q ，公比为2q 的等比数列，②正确取1(1)n n a -=-，则10n n a a ++=，不是等比数列，③错误.11111lg lg lg lg lg (1)lg n n n a a q a q a n q --==+=+-，故{}lg n a 是首项为1lg a ，公差为lg q 的等差数列，④正确故选C【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的判断，找出反例可以快速的排除选项，简化运算，是解题的关键.9.已知正实数,x y 满足+=2x y xy ,则2x y +的最小值为( )．B. 3C. 3+D. 【答案】A 【解析】【分析】由题设条件得111()12y x +=，2(2)111()2y x xy x y =+++，利用基本不等式求出最值．【详解】由已知+=2x y xy ，111()12y x∴+=，所以11112121()(21)(3)3)222222)(x y x y x y x y x y x y x y +=+=+++=++≥=+当且仅当2x yy x =时等号成立，又+=2x y xy ，所以x y == 故选A【点睛】本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值． 10.已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（）A. B.C. 6D. 【答案】D 【解析】【分析】设出直线(2)y k x =-，与22:2C x y -=联立，根据韦达定理，可求出k 的值，再根据弦长公式||AB =AB 的长．【详解】解：双曲线22:122x y C -=，则24c =，所以右焦点(2,0)F ，根据题意易得过F 的直线斜率存在，设为(2)y k x =-，(,),(,)A A B B A x y B x y联立22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩，化简得()222214420kxk x k -+--=，所以2222442,11A B A B k k x x x x k k---+==--，因为,A B 中点横坐标为4，所以22481A B k x x k -+==-，解得22k =，所以2242101A B k x x k --==-，则()()2228410244A B A B A B x x x x x x -=+-=-⨯=，则||AB ===故选D ．【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．11.将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每-行均构成公比为2的等比数列，1a23,a a 4567,,,a a a a89101112131415,,,,,,,a a a a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅记数阵中的第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，T 为数列{}n b 的前n 项和，若253n T n n =+，则1025a 等于( )A. 176B. 196C. 216D. 236【答案】C 【解析】【分析】先确定1025a 为第11行第2个数，由253n T n n =+可得102n b n =-，最后根据从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列即可得出结论．【详解】∵其中每一行项数是上一行项数的2倍，第一行有一个数，前10行共计()10112102312-=-个数，即1025a 为第11行第2个数，又∵第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，253n T n n =+， ∴当2n ≥时，()()221535131102n n n b T T n n n n n -=-=+----=-， ∴第11行第1个数为108， ∴10251082216a =⨯=，故选：C.【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是1025a 为第11行第2个数，属于中档题．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，直线l 与椭圆交于,A B 两点，当O到直线AB 的距离为1时，则OAB 面积的最大值为( )A.C. 1【答案】C 【解析】【分析】当AB x ⊥轴时，易求三角形面积，当AB 与x 轴不垂直时，设直线方程为y kx m =+，由坐标原点O 到直线的距离为1可得221m k =+，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求得AB ，结合二次函数的性质求其最大值，则AOB 面积的最大值可求．【详解】当AB x ⊥轴时，AB =1122OABS==；当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，，得221m k =+，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-=， ∴122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，∴()()()()()22222221222216164114141m k m AB kx x k k k ⎡⎤-⎢⎥=+-=+-⎢⎥++⎣⎦()()()()()()2222222222216141382324333411414k k m k k kk k ++-+--==+=++++()22223331414k k ⎛⎫⎪=+- ⎪++⎝⎭，令2114n k =+，则()22211333233333AB n n n ⎡⎤⎛⎫=+-+=+--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当211143n k ==+，即2k =±时，2AB 最大，此时max 2AB =，此时AOB 面积的最大值为：12112⨯⨯=，故选：C ．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了函数最值的求法，属于难题．二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，6350S S -=,则7a 的值为______．【答案】16 【解析】【分析】利用3633S S q S -=及6350S S -=可计算3q ，从而可计算7a 的值.【详解】因3633S S q S -=，故3334q S S =，因为30S ≠，故34q =，故67116a a q ==，故填16.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．14.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线222210,0)x y a b a b-=>>（的右焦点作垂直于x 轴的直线l ，l 与双曲线的渐近线交于A B 、两点，且三角形ABO 为等腰直角三角形，若双曲线的，则双曲线的标准方程为_________.【答案】22144x y -=【解析】【分析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，可得a b =，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得a ，进而可得到所求双曲线的方程．【详解】解：设双曲线22221x y a b-=的右焦点为(c,0)，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，则221b a-=-，即a b =，则双曲线的渐近线方程为y x =±，设双曲线的方程为222x y a -=，=2a =，所以双曲线的方程为22144x y -=．故答案为22144x y -=．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.若正实数,a b 满足关系式24a b +=__________．【答案】4. 【解析】【分析】设()1,1m =，(2n a =+，运用||||||m m n n ⋅≤⋅即可得到最大值.【详解】设()1,1m =，(2n a =+，则||||||m m n n ⋅≤⋅，则21322132224a b a b +++≤⨯+++=⨯=，当且仅当 213a b +=+，又24a b +=，即有32a =，1b =，取得最大值4，故答案为：4.【点睛】本题主要考查运用向量的数量积的性质，求最值的方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．16.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2212x y +=上有三点,,A B C ，满足2OP AO =，52BP BC =，则直线,OA OB 的斜率之积为__________．【答案】12-.【解析】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，推导出P 点坐标，根据52BP BC =将3x ，3y 用12,x x 和12,y y 表示，代入椭圆方程，结合点,A B 满足椭圆方程可得121202x x y y +=，代入斜率计算公式即可得结果．【详解】如图所示：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，∵2OP AO =，∴()1122P x y --，， ∵52BP BC =，∴()()121232325,222x x y y x x y y ----=--，，∴()()12321232522522x x x x y y y y ⎧--=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，∴3213213455 3455x x x y y y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入椭圆，得2221213425534551x x y y -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭+-=，即22221212********* 1252252252x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③ ∵A ，B 在椭圆上，∴221112x y +=，222212x y +=④∴121202x xy y +=，∵直线OA ，OB 的斜率之积为121212121212122y y y y y y x x x x y y ===--⋅，故答案为：12-．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D的渐近线方程为y =，且经过点(2,3)，直线:2l y x =-交双曲线于,A B 两点，连结,OA OB . （1）求双曲线方程；（2）求OA OB ⋅的值.【答案】（1）2213y x -=（2）1OA OB ⋅=【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程；（2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可．【详解】解：（1）由双曲线D的渐近线方程为y =，设双曲线的方程为：223y x k -=，将点(2,3)代入双曲线方程得1k =，所以双曲线的方程为：2213y x -=（2）联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=设()()1122,,,A x y B x y ，则121272,2x x x x +=-=-， ()()()121212127922244422y y x x x x x x =--=-++=-++=∴121279122OA OB x x y y ⋅=+=-+=．【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以(0,0)m y x m n n =±>>为渐进线的双曲线系方程可设为2222y x m nλ-=，λ为参数且不为0．18.已知函数()()()2341f x x a x a R =-++∈.（1）若对任意的(0,)x ∈+∞，总有()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()121f x a <-+. 【答案】（1）23a <-；（2）当43a =时，不等式解集为∅；当43a <时，不等式解集为()3,4a ；当43a >时，不等式解集为()4,3a . 【解析】【分析】（1）利用分离参数思想将原不等式等价转化为134a x x+<+在()0,∞+内恒成立，求出右端的最小值即可得出a 的取值范围；（2）分为43a =，43a <和43a >三种情形，解出一元二次不等式即可.【详解】（1）对任意的()0,x ∈+∞，()()23410f x x a x =-++>恒成立即134a x x+<+恒成立因为当0x >时，12x x+≥(当且仅当时1x =取等号) 所以342a +<即23a <-（2）不等式()121f x a <-+即()()340x a x --< ①当34a =即43a =时，不等式无解； ②34a <即43a <时，34a x <<； ③ 当34a >即43a >时，43x a <<.综上:当43a =时，不等式解集为∅；当43a <时，不等式解集为()3,4a ；当43a >时，不等式解集为()4,3a .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式在给定区间内恒成立问题，含有参数的一元二次不等式的解法，属于中档题. 19.设数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足121, 2b b ==，()11n n n n a b b n b ++=+（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）()2121nn S n =-⋅+.【解析】【分析】（1）121, 2b b ==且()11n n n n a b b n b ++=+，1n =时，解得1a ，利用等差数列的通项公式可得n a ，利用等比数列的通项公式可得n b ；（2）()1212n n n a b n -⋅=+⋅，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【详解】（1）∵121, 2b b ==且()11n n n n a b b n b ++=+， ∴1n =时，114a +=，解得13a =， ∴()32121na n n =+-=+，∴()()1221n n n b n b ++=+，即12n n b b +=， ∴数列{}n b 是等比数列，公比为2． ∴12n nb -=．（2）由（1）得()1212n n n a b n -⋅=+⋅，∴()0121325272212n n S n -=⋅+⋅+⋅+++⋅，① ()1233252722122n n n S =⋅+⋅+⋅+++⋅，②两式相减可得()12132********n n n S n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅，即()1221nn S n --⋅-=，所以()2121nn S n =-⋅+.【点睛】本题主要考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和.【答案】（1）2e =（2）2 【解析】【分析】（1）由2122PF F F =，建立关于,a c 的关系式，变形即可求出离心率；（2）先根据点P 的坐标求出椭圆方程，设出直线l 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算PM PN k k +，整理可得结果．【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴222c a =∴212e =又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22ac=又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y 联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x kx x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k -+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PNx x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．21.某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的125%．（1）求第n 年该设备的维修费n a 的表达式；（2）设12nn a a a A n+++=，若40n A <万元，则该设备继续使用，否则须在第n 年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？【答案】(1) 6416,16540,74n n n n a n -+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2) 第9年【解析】【分析】（1）将数列分为两部分，分别利用等差数列和等比数列公式得到答案.（2）当16n ≤≤时，2183040n A n =+≤<恒成立，当7n ≥时，65200204n n A n-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=，判断{}n A 是递增数列，计算840A <,940A >得到答案.【详解】（1）当16n ≤≤时，数列{}n a 是首项为20，公差为4的等差数列，()2041416n a n n =+-=+；当7n ≥时，数列{}n a 是首项为6a ，公比为54的等比数列，又640a = 所以65404n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.因此第n 年该设备的维修费n a 的表达式因此为6416,16540,74n n n n a n -+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫⨯≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由等差及等比的求和公式得：当16n ≤≤时，()22021218n S n n n n n =+-=+，此时2183040nn S A n n==+≤<恒成立，即该设备继续使用；当7n ≥时，6667855()18020012002044n n n n S S a a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯-=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，此时65200204n n A n-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=因为()()61550420401n n n n A A n n -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-=>+，即1n n A A +> 所以{}n A 是递增数列，又86054016A =<,929654072A => 故在第9年必须对该设备进行更新.【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生利用数列知识解决问题的能力和应用能力.22.已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y += （2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅=+-- 因点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AMBMx y kk x x -⋅==--- 因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=-当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x 轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝ 因为94BN BMk k ⋅=-，所以1m =（ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k--+==++ 因为()()()1112111212922244BN BM kx t kx t y yk k x x x x x x ++⋅=⋅==----++ 所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k =-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去. 所以直线恒过定点()1,0【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

江苏省泰兴中学高二数学上学期期中试题理

江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中考试试题一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．． 1、已知复数23z i =-，则复数z 的虚部为．2、命题：“2,10x R x x ∀∈-->”的否定是．3、复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．4、双曲线221y x -=的渐近线方程为． 5、抛物线2y x =的焦点坐标为．6、观察下列各式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，L 从中归纳出一般结论：． 7、焦点在x 轴上，离心率45e =，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的标准方程为． 8、已知函数4y x =-的定义域为A ，集合{}|B x x a =≤，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．9、已知动点(),P x y 在曲线22:1169x y C -=上，定点Q 的坐标为()5,0Q ，则线段PQ 长度的最小值为．10、已知121212,,||||1,||3z z C z z z z ∈==+=，则12||z z -= ．11、已知集合()||||,|132x y A x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，()22,|194x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，则命题“():,p x y A ∈”是命题“():,q x y B ∈”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）12、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个假命题；③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中真命题的个数是．13、过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点，若点M 恰为线段AB 的中点，则直线l的方程为．14、过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ，交y 轴于点D ，P 为AC 中点，定点Q 满足：对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥，则Q 点的坐标为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分14分）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m -=++--，当m 为何值时，分别满足下列条件：（1）z R ∈；（2）z 对应的点位于复平面第二象限．16、（本题满分14分）已知()()21:|34|2,:0,:102p x q r x a x a x x ->>---<--．(1)p ⌝是q ⌝的什么条件？(2)若r ⌝是p ⌝的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．17、（本题满分14分）设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，M 是椭圆C 上一点，且直线2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求椭圆C 的方程．18、（本题满分16分）如图，某小区有一边长为2 (单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个水池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数()2202y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为2433t t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭．（1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程；（2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含水池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19、（本题满分16分）设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θπ∈．（1）用数学归纳法证明：()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+；（2）已知3z i =+，试利用（1）的结论计算10z ；20、（本题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为23+和23-，直线()0y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于,E F 两点．（1）求此椭圆的方程；（2）若6ED DF =u u u r u u u r，求斜率k 的值；（3）求四边形AEBF 面积的最大值．江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中试题参考答案一、填空题：1、3-；2、2,10x R x x ∃∈--≤；3、1-；4、y x y x ==-和；5、10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；6、()()213521*n n n N ++++-=∈L ；7、221259x y +=；8、4a >；9、1；10、1；11、充分不必要；12、2；13、825580x y +-=；14、()3,0- 二、解答题：15、解（1）2230,10m m z R m ⎧+-=∈∴⎨-≠⎩Q ， ............................. 2分3m ∴=- .......................................................... 6分（2）复数z 在复平面上对应点为()22,231m m m m m -⎛⎫+- ⎪-⎝⎭， ............. 8分依题意有()2201230m m m m m ⎧-<⎪-⎨⎪+->⎩......................................... 10分解之得()(),31,2m ∈-∞-U ......................................... 14分16、解 (1):|34|2,342342p x x x ->∴->-<-或，222,:233x x p x ∴><∴⌝≤≤或..................................... 2分 221:0,20,12,2q x x x x x x >-->∴<->--即或 ∴{}:|12q x x ⌝-≤≤， ............................................. 4分 ∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． ...................................... 6分 (2)()():10,1r x a x a a x a ---<∴<<+.∴r ⌝：1x a x a ≤≥+或. ............................................ 8分 ∵r ⌝是p ⌝的必要非充分条件． ∴2121,233a a a a ≤+≤∴≥≤-或或................................ 12分∴a 的取值范围是1|23a a a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. .............................. 12分17、解：（1）记c =，则()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,b Mc a ⎛⎫⎪⎝⎭，则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=， ..................................4分 2213,2()2c ca c ac e e a a ∴-=⇒====-或舍去； ....................6分（2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则22||44b MF a =⇒=①， .... 8分 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r Q ， ....................... 10分将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=② ............................ 12分由①②及222c a b =-得2249,28a b ==，故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=． ................................. 14分18、(1)214,39M ⎛⎫⎪⎝⎭， ................................................ 2分 :129220l x y +-=，.............................................. 6分 (2)()2,2M t t -+，过切点M 的切线()()2:22l y t t x t --+=--，即222y tx t =-++，令2y =得2t x =，故切线l 与AB 交于点,22t ⎛⎫⎪⎝⎭； ... 8分令0y =，得122t x =+，又12t x t =+在24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以11711,2126t x t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故切线l 与OC 交于点1,02t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． ................................... 10分所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积111122442222t t S t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-⋅=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，............. 14分当且仅当1t =时取等号，即1t =时max 2S =． ........................ 16分19、（1）证明：1o 当1n =时，左边=右边=cos sin i θθ+，所以命题成立； .. 2分 2o 假设当n k =时，命题成立，即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， .... 4分则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k kx i i i θθθθθ++=++g()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)k i k i k k i k k k i k θθθθθθθθθθθθθθ=++=-++=+++ 1n k ∴=+当时，命题成立；........................................ 6分综上，由1o和2o可得，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ ............... 8分（2）31322cos sin 2266z i i i ππ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， ................ 12分 10105513cos sin cos sin 663322z i i ππππ⎛⎫∴=+=+=- ⎪⎝⎭...............16分20、解（1）)由题意，2323a c a c ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩ 解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ............... 2分故椭圆的方程为2214x y +=． .................................... 4分（2）由（1）得，直线AB 的方程为220x y +-=．()222241444y kx k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩． ................................... 6分设()()1111,,,E x kx F x kx --，()00,D x kx ，且1241x k =+则()()()()01011001,,,ED x x k x x DF x x k x x =--=---+u u u r u u u r，因为6ED DF =u u u r u u u r ，所以()01106x x x x -=--，即1057x x =-= 8分所以D ⎛⎫在直线AB220-=，化简得2242560k k -+=，解得23k =，或38k =． .................... 10分（3）AB =,E F 到直线AB 距离之和最大．E F d d +=............................ 12分421k +====..........................................14分因为0k >，所以E F d d +≤=，当且仅当14k k =，即12k=时取“＝”号．所以max 12S ==16分。

江苏省泰兴中学高二数学上学期期中试题

江苏省泰兴中学高二数学期中考试试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1、命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是． 2、抛物线214y x =的焦点坐标是． 3、双曲线2219y x -=的渐近线方程是． 4、函数()3212313f x x x x =-+-的极小值为． 5、若命题“,r R +∃∈使得圆()2220x y r r +=>与双曲线221410x y -=有公共点”为假命题，则实数r 的取值范围是．6、已知函数()[]2sin ,0,f x x x x π=+∈，则函数()y f x =的最大值为．7、命题“:19p k <<”是命题“:q 方程22191x y k k +=--表示椭圆”的条件．（填“充要”或“充分不必要”或“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 8、函数()21xx f x e x+=的递减区间为． 9、双曲线22916144x y -=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON ＝________．10、已知函数()ax e x f x-=在区间()1,0上有极值，则实数a 的取值范围是．11、椭圆22:194x y C +=和圆22:5O x y +=，动点P 在椭圆C 上动点，当点P 落在圆O 内部时，点P 横坐标的取值范围是_____________．12、在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆13422=+y x 的左焦点为F ，直线,01=--y x 01=+-y x 与椭圆分别交于点D C B A ,,,，则=+++DF CF BF AF ．13、已知直线):l y k R =-∈与双曲线222:1412x y C a-=-的右支有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是__________．14、设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2015)(2015)4(2)0x f x f ++-->的解集为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本题满分14分）已知命题p ：实数x 满足2280x x --≤；命题q ：实数x 满足|2|(0)x m m -≤>．（1）当3m =时，若“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；（2）若“非p ”是“非q ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．16、（本题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为()11,0F -，右准线方程为：4x =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上点N 到定点(,0)(02)M m m <<的距离的最小值为1，求m 的值及点N 的坐标；17、（本题满分14分）已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.18、（本题满分16分）已知函数()()1,0,0f x a x x a x ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，点P 为函数()y f x =图像上一动点．（1）当2a =时，过点P 分别向y 轴及直线2y x =作垂线，垂足分别为点,A B ，试计算线段PA PB ，长度之积PA PB 的值；（2）作曲线()y f x =在点P 处的切线l ，记直线l 与y 轴及直线y ax =的交点分别为,M N ，试计算线段,PM PN 长度比值PMPN．19、（本题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．20、（本题满分16分）已知函数()2ln 2x f x x kx =+-（k 为常数）．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求函数()f x 的零点个数．江苏省泰兴中学高二数学期中考试试题参考答案一、填空题：1、2,10x R x x ∃∈-+≤；2、()0,1；3、3y x =±；4、1-；5、02r <<；6、23π+7、必要不充分；8、()1,0-和10,2⎛⎫⎪⎝⎭；9、5；10、e a <<1；11、55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；12、8；13、()1,2；14、(),2017-∞ 二、解答题：15、解：（1）若p 真：24x -≤≤；当3m =时，若q 真：15x -≤≤ ……3分∵p 且q 为真 ∴2415x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴实数x 的取值范围为：[1,4]- ……7分（2）∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件……10分 ∵若q 真：22m x m -≤≤+∴2242m m -≤-⎧⎨≤+⎩且等号不同时取得（不写“且等号不同时取得”，写检验也可）∴4m ≥． ……14分16、解：（1分由题意得：，解得：21a c =⎧⎨=⎩， ………………4分∴23b =，∴椭圆的标准方程：分（2）设(,)N x y ，则对称轴：4x m =，22x -≤≤ ………9分，4x m=时，22min 331MN m =-+=， ………………11分，2x =时，22min 441MN m m =-+=，解得：1m =或3m =；12m << 1m ∴=； ………………13分综上：1m =，(2,0)N ； ………………14分17、解：（1）()f x 的定义域为0∞(，+)， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. …………1分令()0f x '>，解得1ex >；令()0f x '<，解得10e x <<.………………3分从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. ………………5分所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e-. ………………6分（2）法一：令()()(1)g x f x ax =--，则()()1ln g x f x a a x ''=-=-+，………7分① 若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>-≥，故()g x 在(1)∞，+上为增函数， ………………9分所以，1x ≥时，()(1)10g x g a ≥=-≥，即()1f x ax ≥-.………………10分② 若1a >，方程()0g x '=的根为 10e a x -=，此时，若0(1)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数. ………………12分所以0(1)x x ∈，时，()(1)10g x g a <=-<，即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾.………………13分综上，满足条件的a 的取值范围是(1]-∞，. ………………14分法二：依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立，即不等式1ln a x x≤+对于[1)x ∈+∞，恒成立 . ………………8分令1()ln g x x x =+，则22111()x g x x x x-'=-=. ………………10分当1x >时，因为21()0x g x x -'=>，故()g x 是(1)+∞，上的增函数，…………12分所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，所以a 的取值范围是(1]-∞，. ………………14分 18、解：（1）当2a =时，()22f x x x=+，设点P 的坐标为0002,2P x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则0020,2A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，……………………………1分依题意，()0012:22PB l y x x x x =--++，……………………………………………3分由()00012222y x x x x y x⎧=--++⎪⎨⎪=⎩，得000048,255B x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，………………………5分000004,5PA x PB x x x ⎫∴==+-=⎪⎭，………………………………7分0055PA PB x x ∴⋅=⋅=……………………………………………………8分（2）设点P 的坐标为000,a P x ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…………………………………9分()()0220,MN a a f x a k f x a x x ''=-∴==-，…………………………………11分 ()00200:MN a al y a x x ax x x ⎛⎫∴=--++ ⎪⎝⎭，…………………………………12分令0x =，得020,a M x ⎛⎫⎪⎝⎭，…………………………………13分由()00200a a y a x x ax x x y ax⎧⎛⎫=--++⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，得()002,2N x ax ， …………………14分则点000,a P x ax x ⎛⎫+⎪⎝⎭为点020,a M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点()002,2N x ax 的中点，…………15分所以1PMPN=…………………………………16分 19、解：（1）由题意知c e a ==，所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，………2分又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．…4分（2）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①………5分联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，……………………7分由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，………………9分又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<．…10分⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，……………………11分直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，……12分将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②………13分由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，……………………15分所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)． ………………………………16分 20、解：（1）()1f x x k x'=+-（0x >）………………………………………1分 ①1122x x x x+≥=（当且仅当1x x =，即1x =时取“=”）∴当2k ≤时，()0f x '≥在()0,x ∈+∞恒成立， ∴()f x 在()0,+∞单调递增；（或根据判别式∆分22k -≤≤及2k <-两种情况讨论）………………………4分②当2k >时，由()2110x kx f x x k x x-+'=+-=>得()210g x x kx =-+>， 240k ∆=->，∴方程()0g x =有两不等实根212121,24,,kk x x x x x ⎛⎫-<=⎪ ⎪⎝⎭， 12121210,001x x x x k x x ⋅=>+=>∴<<<，∴由()210g x x kx =-+>得10x x <<或2x x >，∴()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增；…………………7分综上：当2k ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当2k >时，()f x 的增区间为()10,x 和()2,x +∞，减区间为()12,x x ．……………………………………………………8分（2）由（1）可知，当且仅当2k >时，()f x 存在极值，且()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且()()12f x f x >，………………………………9分先证()()210f x f x <<：()()()2121111112111ln ln 12210x f x x kx x f x x g x x kx ⎧=+-⎪⇒=--⎨⎪=-+=⎩，……………………11分由（1）知101x <<，∴1ln 0x <，∴()2111ln 102x f x x =--<；…………………12分再证存在x ，使得()0f x >：()()()()222ln 2+2ln 2ln 402k f k k k k k =-⋅=>>，…………………………14分所以，由（1）的单调性可得()f x 在()2,x +∞存在唯一的零点．…………………16分。

江苏省泰兴中学第一学期高二数学期中考试试卷

江苏省泰兴中学第一学期高二数学期中考试试卷一、选择题（5’×13=65’）１．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0互相垂直，那么系数a= ( )A. -32B. –6C. -23D. 32２．一条直线过点(5,2)，且在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线有 ( )A. １条B. ２条C. ３条D. ４条３．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ( )A. y=xB. x 2-y 2=0C. y=-xD. y=|x| ４．双曲线42x -52y =1的焦点坐标为( )A. (0,±1)B. (±1,0)C. (0, ±3)D. (±3,0) ５．如直线l 1、l 2的斜率是二次方程x 2-4x+1=0的两根，那么l 1和l 2的夹角是 ( )A.3π B. 4π C. 6π D. 8π６．M(3,0)是圆x 2+y 2-8x-2y+10=0内一点，过M 点最长的弦所在直线方程为 ( )A. x+y-3=0B. x-y-3=0C. 2x-y-6=0D. 2x+y-6=0７．椭圆长轴是短轴的３倍，且过点(-3,0)，则其标准方程为 ( )A. 92x +2y =1B. 812y +92x =1C. 92x +2y =1或92y +2x =1 D. 以上均不对８．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程是 ( )A. x+y-5=0B. 2x-y-1=0C. 2y-x-4=0D. 2x+y-7=0９．如直线ax+by=4与圆C ：2x ＋2y =4有两个不同的交点, 那么点P(a,b)与圆C 的位置关系是 ( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定 10. 过点A(1,-1)，B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 ( )A. (x-3)2+(y+1)2=4B. (x+3)2+(y-1)2=4C. (x-1)2+(y-1)2=4D. (x+1)2+(y+1)2=411. 椭圆252x +92y =1上一点P 到右焦点的距离为6，则P 到左准线的距离是( )A.49 B. 415 C. 215D. ５ 12. 已知定点P(x 0,y 0)不在直线l 1：f(x,y)=0上，则直线l ：f(x,y)-f(x 0,y 0)=0与直线l 1和点P 的关系一定是 ( )A. 过P 且垂直l 1B. 过P 且平行于l 1C. 不过P 且垂直于l 1D. 不过P 且平行于l 113. a>1曲线y=a|x|和直线y-x-a=0有且仅有两个不同交点的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题（5’×5=25’）14. 若方程52-k x -k y -32=-1表示的曲线是双曲线，则k 的取值范围是______________.15. 从椭圆2x +42y =1上任意一点P 向x 轴作垂线段PP’，且线段PP’上一点M 满足关系式|PP’|：|MP’|=3：2，则点M 的轨迹方程为_____________________. 16. 集合M={(x,y)|x=24y -}，N={(x,y)|y=x+b}，且M N=φ，则b 的取值范围是__________.17. 若点A(m,n)在直线y=-b a x-bc 2上(其中a,b,c 为直角三角形的三边，c 为斜边),则m 2+n 2的最小值为_______.18. 圆2x +(y-1)2=1上任意一点P(x,y)都使不等式x+y+c ≥0成立，则c 的最小值是_________.三、解答题（12’×5=60’）19. 分别求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程 (1)离心率e=22，焦点到相应准线的距离等于3；(2)经过两点P(-2,-3)和Q(315,2).20. 过点P(-3,0)作直线l 交椭圆11x 2+y 2=9于M 、N 两点，若以M 、N 为直径的圆恰好过椭圆中心，求直线l 的方程.21. 某工厂生产A 、B 两种产品，生产A 、B 所需的煤、电力、劳动力及产值如下表，每日所用的总量：煤不超过360吨，电不超过200千瓦，劳动力不超过300个，问每天两种产品各生产多少吨，才能使日产值最高？22. 椭圆252x +92y =1上有不同的三点A(x 1,y 1)，B(4,59)，C(x 2,y 2)，它们与焦点F(4,0)的距离成等差数列. (1)求x 1+x 2的值；(2)求证线段AC 的垂直平分线过定点.23. 已知圆C 过定点A(0,a)(a>0)且在x 轴上截得的弦MN 的长为2a.(1) 求圆C 的圆心的轨迹方程； (2) 设|AM|=m ，|AN|=n ，求n m +mn的最大值及此时圆C 的方程.高二数学期中答案一、 1、D 2、B 3、B 4、D 5、A 6、B 7、D 8、A 9、A 10、C 11、D 12、B 13、A 二、14、（3，5） 15、x 2+169y 2=1 16、(-∞, -22)∪(2, +∞) 17、2 18、2-1 三、19、解：（1） a 2=2c 2 a 2=18，b 2=9c b 2=3 标准方程为：191822=+y x 或191822=+x y a 2=b 2+c 2（2）设所求方程为mx 2+ny 2=1则 2m+3n=11235=+n m m=1，n=-31 ∴x 2-31y 2=1 20、设l ：x=my=3代入11x 2+y 2=9 (11m 2+1)y 2-223my+24=0 （*） OM ⊥ONx 1x 2+y 1y 2=(my 1-3) (my 2-3)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-3m(y 1+y 2)+3=0由韦达定理代入：0311166111)1(242222=++-++m m m m m=±3 且此时（*）式，△>0 ∴l ：x ±3y-3=021、设生产A 、B 产品分别为x 、y 吨。

7学年上学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)

江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中考试试题一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位．．．．．．．置上．．． 1、已知复数23z i =-，则复数z 的虚部为．2、命题：“2,10x R x x ∀∈-->”的否定是．3、复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭．4、双曲线221y x -=的渐近线方程为．5、抛物线2y x =的焦点坐标为．6、观察下列各式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，从中归纳出一般结论：． 7、焦点在x 轴上，离心率45e =，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的标准方程为．8、已知函数y =A ，集合{}|B x x a =≤，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．9、已知动点(),P x y 在曲线22:1169x y C -=上，定点Q 的坐标为()5,0Q ，则线段PQ 长度的最小值为．10、已知121212,,||||1,||z z C z z z z ∈==+=12||z z -= ．11、已知集合()||||,|132x y A x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，()22,|194x y B x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，则命题“():,p x y A ∈”是命题“():,q x y B ∈”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）12、下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个假命题；③“2x >”是“112x <”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中真命题的个数是．13、过点()1,2M 作直线l 交椭圆2212516x y +=于,A B 两点，若点M 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为．14、过椭圆2211612x y +=的左顶点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点C ，交y 轴于点D ，P 为AC 中点，定点Q 满足：对于任意的()0k k ≠都有OP DQ ⊥，则Q 点的坐标为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本题满分14分）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m -=++--，当m 为何值时，分别满足下列条件：（1）z R ∈；（2）z 对应的点位于复平面第二象限．16、（本题满分14分）已知()()21:|34|2,:0,:102p x q r x a x a x x ->>---<--． (1)p ⌝是q ⌝的什么条件？(2)若r ⌝是p ⌝的必要非充分条件，求实数a 的取值范围．17、（本题满分14分）设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点，M 是椭圆C 上一点，且直线2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求椭圆C 的方程．18、（本题满分16分）如图，某小区有一边长为2 (单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个水池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数(220y x x =-+≤≤的图象，且点M 到边OA 距离为2433t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．（1）当23t =时，求直路l 所在的直线方程；（2）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含水池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19、（本题满分16分）设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θπ∈．（1）用数学归纳法证明：()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+；（2）已知z i =，试利用（1）的结论计算10z ；20、（本题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为22()0y kx k =>与AB 相交于点D ，与椭圆相交于,E F 两点．（1）求此椭圆的方程；（2）若6ED DF =，求斜率k 的值；（3）求四边形AEBF 面积的最大值．江苏省泰兴中学高二数学（理科）期中试题参考答案一、填空题：1、3-；2、2,10x R x x ∃∈--≤；3、1-；4、y x y x ==-和；5、10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；6、()()213521*n n n N ++++-=∈ ；7、221259x y +=；8、4a >；9、1；10、1；11、充分不必要；12、2；13、825580x y +-=；14、()3,0- 二、解答题：15、解（1）2230,10m m z R m ⎧+-=∈∴⎨-≠⎩， ............................................................ 2分3m ∴=- ...................................................................................................................... 6分（2）复数z 在复平面上对应点为()22,231m m m m m -⎛⎫+-⎪-⎝⎭， ........................... 8分依题意有()2201230m m m m m ⎧-<⎪-⎨⎪+->⎩.................................................................................... 10分解之得()(),31,2m ∈-∞- .................................................................................... 14分16、解 (1):|34|2,342342p x x x ->∴->-<-或，222,:233x x p x ∴><∴⌝≤≤或. .......................................................................... 2分 221:0,20,12,2q x x x x x x >-->∴<->--即或 ∴{}:|12q x x ⌝-≤≤， ........................................................................................... 4分 ∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件． ............................................................................. 6分 (2)()():10,1r x a x a a x a ---<∴<<+.∴r ⌝：1x a x a ≤≥+或. .......................................................................................... 8分 ∵r ⌝是p ⌝的必要非充分条件． ∴2121,233a a a a ≤+≤∴≥≤-或或. ................................................................ 12分∴a 的取值范围是1|23a a a ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. ............................................................. 12分17、解：（1）记c =，则()()12,0,,0F c F c -，由题设可知2,b M c a⎛⎫⎪⎝⎭，则12232324MN F M b a k k b ac c ===⇒=， ...................................................................... 4分2213,2()2c ca c ac e e a a∴-=⇒====-或舍去； .......................................... 6分（2）记直线MN 与y 轴的交点为()D 0,2，则22||44b MF a =⇒=①， .......... 8分 11135,2,12c MN F N DF F N N ⎛⎫=∴=⇒-- ⎪⎝⎭， .............................................. 10分将N 的坐标代入椭圆方程得2229114c a b+=② ......................................................... 12分由①②及222c a b =-得2249,28a b ==，故所求椭圆C 的方程为2214928x y +=． ................................................................... 14分18、(1)214,39M ⎛⎫⎪⎝⎭， .................................................................................................. 2分:129220l x y +-=， ............................................................................................. 6分(2)()2,2M t t -+，过切点M 的切线()()2:22l y t t x t --+=--，即222y tx t =-++，令2y =得2t x =，故切线l 与AB 交于点,22t ⎛⎫⎪⎝⎭； ....... 8分令0y =，得122t x =+，又12t x t =+在24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以11711,2126t x t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故切线l 与OC 交于点1,02t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． ........................................................................ 10分所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积111122442222t t S t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+-⋅=--=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ........................... 14分当且仅当1t =时取等号，即1t =时max 2S =． .................................................. 16分19、（1）证明：1当1n =时，左边=右边=cos sin i θθ+，所以命题成立； ..... 2分2 假设当n k =时，命题成立，即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， ......... 4分则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k kx i i i θθθθθ++=++()()()()cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)k i k i k k i k k k i k θθθθθθθθθθθθθθ=++=-++=+++ 1n k ∴=+当时，命题成立； ................................................................................ 6分综上，由1 和2可得，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ ................................ 8分（2）122cos sin 266z i i i ππ⎫⎛⎫===+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ................................. 12分1010551cos sin cos sin 66332z i i ππππ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭ .............................. 16分20、解（1）)由题意，22a c a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ................................ 2分故椭圆的方程为2214x y +=． ......................................................................... 4分（2）由（1）得，直线AB 的方程为220x y +-=．()222241444y kxk x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩． ........................................................................ 6分设()()1111,,,E x kx F x kx --，()00,D x kx，且1x =．则()()()()01011001,,,ED x x k x x DF x x k x x =--=---+，因为6ED DF = ，所以()01106x x x x -=--，即1057x x =-=， .. 8分所以D ⎛⎫在直线AB220+-=，化简得2242560k k -+=，解得23k =，或38k =． ......................................... 10分（3）AB =,E F 到直线AB 距离之和最大．E F d d +=........................................................ 12分421k +====14分因为0k >，所以E F d d +≤=，当且仅当14k k =，即12k =时取“＝”号．所以max 12S ==16分。

【20套试卷合集】江苏省泰兴市实验初中2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(每小题5分，共40分) 二、填空题：(每小题5分，共30分) 9．21；甲 10．12 11．10 12．21 13．②③ 14．120三、解答题：(共80分) 15．(本题12分)(1)根据表中所列数据可得散点图如图：……3分(2)列出下表．因此，,505,5525====y x .1380,13500,14551512512===∑∑∑---i i i i ii iy x y x于是可得;5.6551455055138055ˆ2512251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑--i ii ii x xyx yx b……8分,5.1755.650ˆˆ=⨯-=-=x b y a……10分因此，所求回归方程是.5.175.6ˆ+=x y……12分16．(本题12分)解：(1)当6π=x 时 2222)1(sin cos cos ,cos +-⨯+-=>=<x x x……2分6π5cos 6πcos cos =-=-=x ……4分π,0>≤≤< 6π5,>=∴<．……6分(2)1)cos sin cos (212)(2++-=+⋅=x x x x f ……7分)1cos 2(cos sin 22--=x x x)4π2sin(22cos 2sin -=-=x x x ……9分].8π9,2π[∈xπ]2,4π3[4π2∈-∴x ……10分故],22,1[)4π2sin(-∈-x ∴当π,234π2=-x 即π87=x 时，2)(min -=x f ……12分 17．(本题14分)解：(1)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件),3,2,1,0(==i A i 则51)(232512233==C C C C A P ……7分(2)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则,32A A B ⋃=又21)(2325121212232522232=+=C C C C C C C C C A P ……10分且32A A 、互斥，所以1075121)()()(32=+=+=A P A P B P ．……14分 18．(本题14分)解：(1)3.0,4==y x ，………………………… 2分众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．……………………4分 (2)其频率分布直方图如图所示：……9分(3)样本的平均数为1.05.821.05.672.05.522.05.373.05.221.05.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5.40=……11分因为355.40>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．……14分19．(本题14分)解：(1)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE 证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形∴BD ⊥AC ∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC ……2分又∵AC ∩PC ＝C ∴BD ⊥平面PAC ……3分 ∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ……4分 (2)连接AC 交BD 于F ，连接EF ，则点F 为BD 的中点，又点E 为PC 的中点，∴EF ∥PA ，又EF ⊂平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ……9分 (3)将四棱锥的侧面沿PA 展开，如图示，则AA ’即为所求．在PCD ∆Rt 中，sin ∠DPC ＝51，cos ∠DPC ＝ 52；在ADP ∆Rt 中，sin ∠APD ＝61，cos ∠APD ＝ 65； sin ∠APC ＝sin (∠DPC ＋∠APD )＝.302561526551+=⋅+⋅……12分 sin 2'⋅=∴PA AA ∠;5541030)25(62+=+⋅=APC ……14分20．(本题14分)解：(1)函数()421x f x x -=+的定义域()(),11,D =-∞--+∞…………………1分把04965x =代入可得11119x =，把11119x =代入可得215x =，把215x =代入可得31x =-因为31x D =-∉，所以数列}{n a 只有三项：1,51,1911321-===x x x ……4分 (2)若要产生一个无穷的常数列，则x x x x f ==sin )(在]π2,0[上有解，即0)1(sin =-x x 在]π2,0[上有解，则,1sin 0==x x 或所以2π0==x x 或……6分即当n n n n x x x x x x ====+sin ,2π0100时或故当.2π,2π;0,000====n n x x x x 时当时……9分 (3)32)(+=x x f 的定义域为R ，……10分若,1,110=-=x x 则则),3(23,32)(11+=++==++n n n n n x x x x f x 所以……12分所以数列}3{+n x 是首项为4，公比为2的等比数列，所以,32,2243111-==⋅=+++-n n n n n x x 所以即数列}{n x 的通项公式.321-=+n n x ……14分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案A ．b a 11< B ．1122+>+c b c a C ．22b a > D ．c b c a > 2. 已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于 ( )A.3-B.13-C.3D.133. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是（）A.锐角三角B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形4. 已知函数⎩⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为（） A.}10|{<<x x B }01|{≤<-x x C. }1|{->x x D. }11|{<<-x x 5. 在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则数列{}n a 的前11项和S 11等于（） A.24B.48C.66D.1326. 设定点12(0,3),(0,3),M M -动点P 满足条件129PM PM a a+=+（a 为大于0的常数），则点P 的轨迹是（）A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.不存在 7. 在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是（） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解8. 已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 59. “方程22221x y m n+=表示焦点在y 轴上的椭圆” 是“0n m >>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.下列说法错误的是（）A ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=使得，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠都有； B ．命题“若0232=+-x x ,则1=x ”的否命题为假命题；C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．已知:,cos 1p x R x ∃∈=使得，2:,10q x R x x ∀∈-+>都有，则“q p ⌝∧”为假命题.11. 已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆12222=+by a x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，且221c PF PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．B ．11[,]32C ．D ． 12. 设1a >，定义111()122f n n n n=+++++，如果对任意的2n N n *∈≥且，不等式()1127log 77log a a f n b b ++>+恒成立，则实数b 的取值范围是（）A ．29217⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()1,+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知数列{}n a 满足12324n n n n a a a a +++=，且1231,2,3,a a a ===则12320132014a a a a a +++⋅⋅⋅++＝________.14. 已知O 为原点，椭圆221259x y +=上一点P 到左焦点1F 的距离为4，M 是1PF 的中点．则OM = .15. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin ,A C =30,2,B b ==则ABC ∆的面积是 .16. 已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知全集U R =，非空集合{23x A x x -=-＜}0，{}()(4)0B x x a x a =---<．（1）当32a =-时，求A B ⋂；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(cos ,sin ),(cos ,sin ),m B C n C B ==- 且1.2m n ⋅=（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积S =求b c +的值．19.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，22b S q =. （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km h ，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v （km h ）的平方成正比，比例系数为b ,固定部分为a 元，（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （km h ）的函数；并求出当150,200a b ==时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当1691,2200a b ==，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小．21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点到焦点的距离为2（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. 若22PA PB +的值与点P 的位置无关，求k 的值.22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=,n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b aa +=⋅,n *N ∈， n T 为数列{}nb 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⨯-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,(1)m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．数学试卷（文）参考答案一、选择题(每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求.)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

2019学年江苏省泰兴市九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】

2019学年江苏省泰兴市九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 方程的根是（）．A． B． C．, D．,2. 已知⊙的半径为，点在⊙内，则不可能等于（）．A． B． C． D．3. 如图，在中，、分别是边、的中点，则的面积与四边形的面积比为（）．A． B． C． D．4. 已知中，，，则（）．A． B． C． D．5. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（）．A． B．C． D．6. 如图，边长为的正方形中，点在延长线上，连接交于点，（），．则在下面函数图象中，大致能反映与之闻函数关系的是（）．二、填空题7. 正十边形的对称轴的条数为____ _ .8. 如图，、分别与⊙相切于点、，连接，，，则的长是 .三、选择题9. 已知，则的值为 .四、填空题10. 如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子．现测得，，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长之比是_________．11. 如图，是⊙的直径，，分别是过⊙上点，的切线，且．连接，则的度数是．12. 如图，点、、、为⊙上的点，，若，.则 .13. 将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为.14. 中，，为延长线上一点，为延长线上一点，，当°时，∽.15. 如图，线段，点P1是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点（），…，依次类推，则线段的长度是_______.16. 如图，在5×5的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），规定三角形的顶点是网格的交点的三角形叫格点三角形.若格点三角形和相似（这里全等除外）,与的相似比为，则满足条件的的值为_______________.五、计算题17. （12分）用适当的方法解下列方程.（1）（2）六、解答题18. （10分）如图，为原点，、两点坐标分别为、.（1）以为位似中心在轴左侧将放大为原来的两倍，并画出图形；（2）分别写出，两点的对应点，的坐标；（3）已知点为内部一点，且，点在内的对应点为，求的长；（4）若点为的内心，则度．19. （8分）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强.一日本人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染.（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？20. （8分）已知关于的一元二次方程的一根为2.（1）求关于的关系式；（3分）（2）试说明：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根.（5分）21. （8分）如图所示在中，是的延长线上一点，与交于点，.（1）求证：∽；（2）若面积为2，求的面积.22. （10分）如图，⊙的半径为4，是⊙外一点，连接，且，延长交⊙于点,点为⊙上一点，过点作直线的垂线，垂足为，平分．（1）求证：是⊙的切线；（2）求的长．23. （10分）如图，小华在晚上由路灯走向路灯．当他走到点时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他向前再步行到达点时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯的底部．已知小华的身高是，两个路灯的高度都是，且．（1）求两个路灯之间的距离；（2）当小华走到路灯的底部时，他在路灯下的影长是多少?24. （12分）正方形与扇形有公共顶点，分别以，所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系．如图所示，正方形两个顶点、分别在轴、轴正半轴上移动，设，，（1）当时，正方形与扇形不重合的面积是；此时直线对应的函数关系式是；（2）当直线与扇形相切时．求直线对应的函数关系式；（3）当正方形有顶点恰好落在弧上时，求正方形与扇形不重合的面积．七、计算题25. （12分）在中，分别为所对的边，我们称关于的一元二次方程为“的☆方程”.根据规定解答下列问题：（1）“的☆方程”的根的情况是（填序号）；①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根.（2）如图，为⊙的直径，点为⊙上的一点，的平分线交⊙于点，求“的☆方程”的解；（3）若是“的☆方程”的一个根，其中均为正整数，且，求：①求的值；②求“的☆方程”的另一个根.八、解答题26. （12分）（1）问题背景：如图1，中，，，的平分线交直线于，过点作，交直线于．请探究线段与的数量关系．（事实上，我们可以延长与直线相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）结论：线段与的数量关系是 ______ （请直接写出结论）；（2）类比探索：在（1）中，如果把改为的外角的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：在（2）中，如果，且（），其他条件均不变（如图3），请你直接写出与的数量关系．结论： _________ （用含的代数式表示）．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。

江苏省泰州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷(理科)B卷

江苏省泰州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若向量满足∥且，则=A . 4B . 3C . 2D . 02. （2分）若=，则下列结论一定成立的是（）A . A与C重合B . A与C重合，B与D重合C . ||=||D . A、B、C、D、四点共线3. （2分） (2017高二上·安阳开学考) 椭圆 =1过点（﹣2，），则其焦距为（）A . 2B . 2C . 4D . 44. （2分） (2017高二上·晋中期末) 双曲线 =1的渐近线方程为（）A . y=±B . y=± xC . y=± xD . y=± x5. （2分）以正方形的相对顶点A,C为焦点的椭圆恰好过正方形四边中点，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·孝感期中) 如图，过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A . y2=3xB . y2=9xC . y2= xD . y2= x7. （2分）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为， E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A,B 是C的准线与E的两个交点，则|AB|= （）A . 3B . 6C . 9D . 128. （2分）已知双曲线的一个焦点为,点P位于该双曲线上，线段PF的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .9. （2分）椭圆=1的焦点为F1 ，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M 的纵坐标是（）A .B .C .D .10. （2分）设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则cos的值等于（）A .B .C .D .11. （2分）双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， P为双曲线上任一点，已知｜｜·｜｜的最小值为m．当≤m≤时，其中c＝，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二上·西安期末) 双曲线的渐近线方程为（）A .B .C . y=3xD .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·阳高开学考) 已知△ABC的两个顶点为A（0，0）、B（6，0），顶点C在曲线﹣ =1上运动，则△ABC的重心的轨迹方程是________．14. （1分）(2017·淮安模拟) 已知双曲线﹣ =1的右焦点F到其一条渐近线距离为3，则实数m 的值是________．15. （1分） (2016高二上·合川期中) 已知，若则实数x=________．16. （1分） (2016高二上·江北期中) 若双曲线﹣ =1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p 的值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2017高二上·南阳月考)（1）求对称轴是轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点的直线它交于两点，求弦的中点的轨迹方程.18. （10分） (2019高二上·遵义期中) 如图，是平行四边形，平面，，，， .（1）求证：平面；（2）求四面体的体积.19. （5分）(2017·海淀模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，点E在棱PA上．（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求证：AE=EP；（Ⅲ）是否存在点E，使得四面体A﹣BDE的体积等于四面体P﹣BDC的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20. （5分） (2018高二上·吉林期中) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴且焦点到准线的距离为2．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若直线与抛物线相交于两点，求弦长 .21. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ．22. （10分） (2015高二下·双流期中) 在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=﹣1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN必过定点R（3，0）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。