【步步高】高考数学第一轮知识点巩固题库第6讲幂函数与二次函数(含解析)新人教A版

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2015届高考数学第一轮知识点巩固题库第6讲幂函数与二次函数(含解析)新人教A版

第6讲幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14B ．4 C.22 D. 2解析设f (x )＝x α，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝22. 答案 C2．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f (12)的值为( ) A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析设f (x )＝x α，则由f 4f 2＝3，得4α2α＝3. ∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝13. 答案 D3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )． A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3.答案 A5 .函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b 2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}解析设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642. 答案 D6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5.答案 C二、填空题7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案 ①②⑤⑥8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4ac －164a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝49．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β. ∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数， ∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，2m <－(m ＋3)，2m <－4，－(m ＋3)<1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2)三、解答题11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝⎛⎭⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝⎛⎭⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6 或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3，x ∈，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．解不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2x 2，设g (x )＝2x －2x 2，x ∈(1,4)，则 g ′(x )＝2x 2－x －x x 4＝－2x 2＋4x x 4＝－2x x －x 4，当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，g (x )≤g (2)＝12，由已知条件a >12，因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝⎛⎭⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．。

新高考数学一轮复习幂函数与二次函数重难点题型精练(含答案)

幂函数与二次函数-重难点题型精练【新高考地区专用】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•日照模拟）已知幂函数y ＝x a 的图象经过点（2，4），则f （﹣3）＝（） A ．﹣9B ．9C ．3D ．﹣32．（5分）（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x m 2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数m 的值是（） A ．﹣1B ．3C ．﹣1或3D ．1或﹣33．（5分）（2021•3月份模拟）若函数f （x ）＝x 2在区间[a ，b ]上的值域为[t ，t +1]（t ∈R ），则b ﹣a （） A ．有最大值，但无最小值 B ．既有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值4．（5分）（2020•舒城县校级模拟）已知幂函数y =x pq （p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq＜0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＞0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＜05．（5分）（2021•安阳三模）已知幂函数f （x ）＝x a 满足2f （2）＝f （16），若a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a6．（5分）（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1的图象过函数f （x ）＝m x ﹣b −12（m ＞0，且m ≠1）的图象所经过的定点，则b 的值等于（） A ．±12B ．±√22C ．2D ．±27．（5分）（2020•红河州一模）函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），且f （0）＝3，则f （b x ）与f （c x ）的大小关系是（） A ．与x 有关，不确定 B ．f （b x ）≥f （c x ） C ．f （b x ）＞f （c x ）D ．f （b x ）≤f （c x ）8．（5分）（2021•石景山区一模）已知f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0，若|f （x ）|≥ax 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，0）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•衢州月考）已知幂函数f(x)=(m +95)x m ，则下列结论正确的有（） A ．f(−32)=116B ．f （x ）的定义域是RC ．f （x ）是偶函数D ．不等式f （x ﹣1）≥f （2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]10．（5分）（2020秋•荆州期末）已知函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0），若x 1＜x 2，则（） A ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＜f （x 2） B ．当x 1+x 2＝﹣2时，f （x 1）＝f （x 2） C ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＞f （x 2）D ．f （x 1）与f （x 2）的大小与a 有关11．（5分）（2020秋•双塔区校级月考）已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）的值为负值，则下列结论可能成立的有（） A ．a +b ＞0，ab ＜0B ．a +b ＜0，ab ＞0C ．a +b ＜0，ab ＜0D ．a +b ＞0，ab ＞012．（5分）（2020秋•湖南期中）已知函数f （x ）＝2x 2﹣mx ﹣m 2，则下列命题正确的有（） A ．当m ≠0时，f （x ）＜0的解集为{x|−m2＜x ＜m}B ．当m ＝1时，∀x 1，x 2∈[1，+∞）时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0C ．∀x 1，x 2∈(−∞，14m]且x 1≠x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)D ．当m ＜0时，若0＜x 1＜x 2，则x 2f （x 1）＞x 1f （x 2）三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•襄城区校级模拟）函数y ＝log a （2x ﹣3）+√2的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则f （9）＝．14．（5分）（2020•镇海区校级模拟）设m ＞﹣1，函数f （x ）＝x 2﹣3mx +2m 2+1（x ＜m ），若存在θ≠π4+k π，使得f （sin θ）＝f （cos θ），则m 的取值范围是．15．（5分）（2020•江苏一模）已知函数f （x ）＝（m ﹣2）x 2+（m ﹣8）x （m ∈R ）是奇函数，若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，则实数a 的取值范围是．16．（5分）（2020•吉林模拟）M(94，32)是幂函数f （x ）＝x n 图象上的点，将f （x ）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，则|MT 2|+|MT 3|+…+|MT 9|＝四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•浦东新区期末）已知m 是整数，幂函数f （x ）＝x ﹣m 2+m +2在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）求幂函数f （x ）的解析式；（2）作出函数g （x ）＝|f （x ）﹣1|的大致图象；（3）写出g （x ）的单调区间，并用定义法证明g （x ）在区间[1，+∞）上的单调性．18．（12分）（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2（1）求g（x）、f（x）的解析式（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．19．（12分）（2020秋•高安市校级期末）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x) x．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（log2x）﹣2k log2x≥0在x∈[2，8]上有解，求实数k的取值范围．20．（12分）（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3．（1）若f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a的最小值；（2）存在x∈[﹣4，﹣2]，使得f（x）≥a有解，求实数a的取值范围．21．（12分）（2020秋•虹口区校级期中）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）若b＝1，且f（x）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣2，3]使f（x）＞0，求实数b的取值范围．22．（12分）（2021春•吴兴区校级月考）已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减．（1）求m的值并写出f（x）的解析式；（2）试判断是否存在a＞0，使得函数g(x)=(2a−1)x−af(x)+1在（0，2]上的值域为（1，11]？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．幂函数与二次函数-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2021•日照模拟）已知幂函数y＝x a的图象经过点（2，4），则f（﹣3）＝（）A．﹣9B．9C．3D．﹣3【解题思路】根据幂函数的图象过点（2，4）求出函数解析式，再计算所求的函数值．【解答过程】解：因为幂函数y＝x a的图象过点（2，4），所以2a＝4，a＝2，y＝f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝（﹣3）2＝9．故选：B．2．（5分）（2021•皇姑区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m2−2在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．1或﹣3【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，由此求得m的值．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m2−2在（0，+∞）上为增函数，∴m2﹣2m﹣2＝1，且m2﹣2＞0，求得m＝3，故选：B．3．（5分）（2021•3月份模拟）若函数f（x）＝x2在区间[a，b]上的值域为[t，t+1]（t∈R），则b﹣a（）A．有最大值，但无最小值B．既有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值【解题思路】根据二次函数的对称轴与a，b的位置关系，可知对ab进行分类讨论，进而确定函数在[a，b]上取得的值域，进而确定b﹣a的范围．【解答过程】解：由题意知a＜b．当ab≤0时，t＝0，则b2≤1，a2≤1，即b≤1，a≥﹣1，所以0＜b﹣a≤2，则b﹣a有最大值；当ab＞0时，不妨设0＜a＜b，则b2﹣a2＝1，所以b−a=1a+b，显然b﹣a有最大值无最小值，故选：A ．4．（5分）（2020•舒城县校级模拟）已知幂函数y =x pq （p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（）A ．p ，q 均为奇数，且pq ＞0B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q ＜0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq＞0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq ＜0【解题思路】通过研究函数的图象与性质，得出p 、q 的取值情况即可．【解答过程】解：因为函数为偶函数，所以p 为偶数，且由图象形状判定pq ＜0．又因p 、q 互质，所以q 为奇数．所以选D ．故选：D ．5．（5分）（2021•安阳三模）已知幂函数f （x ）＝x a 满足2f （2）＝f （16），若a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a【解题思路】根据题意求出幂函数f （x ）的解析式，判断f （x ）是定义域上的单调增函数，再比较log 42、ln 2和5−12的大小，即可得出结论．【解答过程】解：幂函数f （x ）＝x a 中，2f （2）＝f （16），所以2×2a ＝16a ，即2a +1＝24a ，所以a +1＝4a ，解得a =13，所以f （x ）=x 13，所以f （x ）是定义域为R 上的单调增函数；又a ＝f （log 42），b ＝f （ln 2），c ＝f （5−12），且log 42=12，ln 2＞ln √e =12，5−12=1√512，所以5−12＜log 42＜ln 2，即f （5−12）＜f （log 42）＜f （ln 2），所以b ＞a ＞c ．故选：C ．6．（5分）（2020•福田区校级模拟）已知幂函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1的图象过函数f （x ）＝m x ﹣b −12（m＞0，且m ≠1）的图象所经过的定点，则b 的值等于（） A ．±12B ．±√22C ．2D ．±2【解题思路】根据函数g （x ）是幂函数求出a 的值，再写出指数函数f （x ）图象所过的定点，代入g （x ）中求得b 的值．【解答过程】解：函数g （x ）＝（2a ﹣1）x a +1是幂函数， ∴2a ﹣1＝1，解得a ＝1， ∴g （x ）＝x 2；令x ﹣b ＝0，解得x ＝b ，∴函数f （x ）＝m x ﹣b −12的图象经过定点（b ，12），∴b 2=12，解得b ＝±√22．故选：B ．7．（5分）（2020•红河州一模）函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），且f （0）＝3，则f （b x ）与f （c x ）的大小关系是（） A ．与x 有关，不确定 B ．f （b x ）≥f （c x ） C ．f （b x ）＞f （c x ）D ．f （b x ）≤f （c x ）【解题思路】根据题意，由二次函数的性质分析可得b 、c 的值，则有b x ＝2x ，c x ＝3x ，由指数的性质分情况讨论x 的值，比较f （b x ）和f （c x ）的大小，综合即可得答案．【解答过程】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣bx +c 满足f （x +1）＝f （1﹣x ），则有b2=1，即b ＝2，又由f （0）＝3，则c ＝3， b x ＝2x ，c x ＝3x ，若x ＜0，则有c x ＜b x ＜1，而f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，此时有f （b x ）＜f （c x ），若x ＝0，则有c x ＝b x ＝1，此时有f （b x ）＝f （c x ），若x ＞0，则有1＜b x ＜c x ，而f （x ）在（1，+∞）上为增函数，此时有f （b x ）＜f （c x ），综合可得f （b x ）≤f （c x ），故选：D ．8．（5分）（2021•石景山区一模）已知f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0，若|f （x ）|≥ax 在x ∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，0）【解题思路】先画出函数f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0和|f （x ）|的图象；利用图象再结合答案即可解决本题．【解答过程】解：函数f(x)={x 2−2，x ≤03x −2，x ＞0的图象如图：|f（x）|的图象如图：因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以y＝ax的图象应在y＝|f（x）|的图象的下方，故须斜率为负，或为0．当斜率为负时，排除答案A，C；当a＝0，y＝0满足要求，排除D．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•衢州月考）已知幂函数f(x)=(m+95)x m，则下列结论正确的有（）A．f(−32)=1 16B．f（x）的定义域是RC．f（x）是偶函数D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]【解题思路】先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数f（x）的解析式，可判定选项A，B的正确，利用偶函数的定义判定选项C的正误，利用函数f（x）的奇偶性和单调性解选项D的不等式．【解答过程】解：幂函数f(x)=(m+95)x m，∴m+95=1，∴m=−4 5，∴f（x）=x−45，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故选项B错误，∵f （﹣32）=(−32)−45=116， ∴选项A 正确， f （x ）=x−45=1√x 5，定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f （﹣x ）=1√(−x)45=1√x 5=f （x ），∴f （x ）是偶函数，选项C 正确， ∵f （x ）=x−45，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，不等式f （x ﹣1）≥f （2）等价于f （|x ﹣1|）≥f （2）， ∴{x −1≠0|x −1|≤2解得：﹣1≤x ＜1，或1＜x ≤3，故选项D 正确，故选：ACD ．10．（5分）（2020秋•荆州期末）已知函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0），若x 1＜x 2，则（） A ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＜f （x 2） B ．当x 1+x 2＝﹣2时，f （x 1）＝f （x 2） C ．当x 1+x 2＞﹣2时，f （x 1）＞f （x 2）D ．f （x 1）与f （x 2）的大小与a 有关【解题思路】根据二次函数的图象及二次函数的对称轴，即可判断出每个选项的正误．【解答过程】解：二次函数f （x ）＝ax 2+2ax +4（a ＞0）的图象开口向上，对称轴为x ＝﹣1，当x 1+x 2＝﹣2时，x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，此时f （x 1）＝f （x 2），选项B 正确；当x 1+x 2＞﹣2时，x 1与x 2的中点大于﹣1，又x 1＜x 2， ∴点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离， ∴f （x 1）＜f （x 2），选项A 正确，C 错误；显然当a ＞0时，f （x 1）与f （x 2）的大小与a 无关，选项D 错误．故选：AB ．11．（5分）（2020秋•双塔区校级月考）已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3是幂函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）的值为负值，则下列结论可能成立的有（） A ．a +b ＞0，ab ＜0B ．a +b ＜0，ab ＞0C ．a +b ＜0，ab ＜0D ．a +b ＞0，ab ＞0【解题思路】利用幂函数的性质推导出f （x ）＝x 3，从而求得 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2），然后检验各个选项是否正确．【解答过程】解：∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−3是幂函数，∴m 2﹣m ﹣1＝1，求得m ＝2 或m ＝﹣1．对任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，满足f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，故f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴m 2+m ﹣3＞0，∴m ＝2，f （x ）＝x 3．若a ，b ∈R ，且f （a ）+f （b ）＝a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）的值为负值．若A 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＞0，不满足题意；若B 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝（a +b ）[(a −b 2)2+3b24]＜0，满足题意；若C 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＜0，满足题意；若D 成立，则 f （a ）+f （b ）＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝（a +b ）[(a −b 2)2+3b24]＞0，不满足题意，故选：BC ．12．（5分）（2020秋•湖南期中）已知函数f （x ）＝2x 2﹣mx ﹣m 2，则下列命题正确的有（） A ．当m ≠0时，f （x ）＜0的解集为{x|−m2＜x ＜m}B ．当m ＝1时，∀x 1，x 2∈[1，+∞）时，（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0C ．∀x 1，x 2∈(−∞，14m]且x 1≠x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)D ．当m ＜0时，若0＜x 1＜x 2，则x 2f （x 1）＞x 1f （x 2）【解题思路】对于A ，分m ＞0和m ＜0时求解不等式；对于B ，根据函数的单调性判断即可；对于C ，根据函数的单调性，任取两点，根据数形结合的方式判断即可；对于D ，构造函数g （x ）=f(x)x （x ＞0），看作y ＝f （x ）在y 轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率，数形结合可判断单调性．【解答过程】解：对于A ：由2x 2﹣mx ﹣m 2＜0，当m ＞0时，原不等式的解集为{x |−m2＜x ＜m }，当m ＜0时，原不等式的解集为{x |m ＜x ＜−m2}，故AC 错误；对于B ：m ＝1时，f （x ）＝2x 2﹣x ﹣1＝2(x −14)2−98在[1，+∞）递增，则（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，故B 正确；对于C ：f （x ）在（﹣∞，14m ]递减，当x 1，x 2∈（﹣∞，14m ]时，设A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），则AB 的中点C （x 1+x 22，f(x 1)+f(x 2)2），设D （x 1+x 22，f(x 1+x 22)），数形结合得：点D 位于点C 的下方，即f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)，故C 正确；对于D ：设g （x ）=f(x)x（x ＞0），则g （x ）表示y ＝f （x ）在y 轴右侧图象上的点与原点所在的直线的斜率，数形结合可知：g （x ）是增函数，当0＜x 1＜x 2时，g （x 1）＜g （x 2），则f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2，即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2），故D 错误；故选：BC ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•襄城区校级模拟）函数y ＝log a （2x ﹣3）+√2的图象恒过定点P ，P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则f （9）＝ 3 ．【解题思路】令2x ﹣3＝1求出x ，代入解析式求出y ，即求出定点P 的坐标，再代入幂函数f （x ）＝x α求出α的值，即可求出f （9）．【解答过程】解：由题意得，2x ﹣3＝1，解得x ＝2，此时y ＝log a （2x ﹣3）+√2=√2，则定点P 的坐标是（2，√2），又P 在幂函数f （x ）＝x α的图象上，则2α=√2=212，得α=12，所以f(x)=x 12，则f(9)=912=3，故答案为：3．14．（5分）（2020•镇海区校级模拟）设m ＞﹣1，函数f （x ）＝x 2﹣3mx +2m 2+1（x ＜m ），若存在θ≠π4+k π，使得f （sin θ）＝f （cos θ），则m 的取值范围是 −√23＜m ＜0 ．【解题思路】由f （sin θ）＝f （cos θ）可知sin θ与cos θ关于二次函数的轴对称，解出m 与θ的关系，进而求出m 的取值范围即可．【解答过程】解；由题意可知{32m ＜m3m =cosθ+sinθ，因为θ≠π4+kπ(k ∈Z)，{m ＜0m =√23cos(θ+π4)，解得−√23＜m ＜0，故答案为：−√23＜m ＜0．15．（5分）（2020•江苏一模）已知函数f （x ）＝（m ﹣2）x 2+（m ﹣8）x （m ∈R ）是奇函数，若对于任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，则实数a 的取值范围是（﹣∞，1）．【解题思路】由已知结合奇函数的定义可求m ，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．【解答过程】解：由奇函数的性质可得，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，即（m ﹣2）x 2﹣（m ﹣8）x ＝﹣（m ﹣2）x 2﹣（m ﹣8）x ，故m ﹣2＝0即m ＝2，此时f （x ）＝﹣6x 单调递减的奇函数，由不等式f （x 2+1）＜f （a ）恒成立，可得x 2+1＞a 恒成立，结合二次函数的性质可知，x 2+1≥1，所以a ＜1．故答案为：（﹣∞，1）16．（5分）（2020•吉林模拟）M(94，32)是幂函数f （x ）＝x n 图象上的点，将f （x ）的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象，若点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，则|MT 2|+|MT 3|+…+|MT 9|＝ 30【解题思路】由32=(94)n ，解得n =12．可得f （x ）=√x ．可得：g （x ）=√x −2+32，根据点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上，可得：(m −32)2=n ﹣2，（m ≥32）．利用抛物线的定义及其性质即可得出．【解答过程】解：由32=(94)n ，解得n =12．∴f （x ）=√x ．可得：g （x ）=√x −2+32，∵点T n （n ，m ）（n ∈N *，且n ≥2）在g （x ）的图象上， ∴m =√n −2+32．(m −32)2=n ﹣2，（m ≥32）．抛物线(y −32)2=x ﹣2的焦点M （94，32），准线方程为x ＝2−14=74．根据抛物线的性质可得：|MT n|＝n−7 4，则|MT2|+|MT3|+…+|MT9|＝2−74+3−74+⋯⋯+9−74=(2+9)×82−8×74=30．故答案为：30．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•浦东新区期末）已知m是整数，幂函数f（x）＝x﹣m2+m+2在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）作出函数g（x）＝|f（x）﹣1|的大致图象；（3）写出g（x）的单调区间，并用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上的单调性．【解题思路】（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）作出函数g（x）＝|f（x）﹣1|的大致图象；（3）写出g（x）的单调区间，并用定义法证明g（x）在区间[1，+∞）上的单调性．【解答过程】解：（1）由f（x）在[0，+∞）上单调递增可得：﹣m2+m+2＞0，∴﹣1＜m＜2，又∵m∈Z，∴m＝0或m＝1，∴f（x）＝x2；（2）由于f（x）＝x2，所以g（x）＝|x2﹣1|．如图所示：（3）根据函数的图象：函数的单调减区间为：（﹣∞，﹣1]和[0，1]．函数的单调增区间为[﹣1，0]和[1，+∞）．证明：设1≤x1＜x2，所以x12−1≥0，x22−1＞0．所以g（x2）﹣g（x1）＝（x2﹣x1）（x2+x1）＞0．所以函数在区间[1，+∞）上为增函数．18．（12分）（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2（1）求g（x）、f（x）的解析式（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．【解题思路】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组{m2−3=1m＜0，求出m的值，得g（x）解析式；由f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=12，利用m的值求出f（x）的解析式；（2）根据f（x）的单调性，把f（2a﹣1）＜f（5﹣a）转化，求出解集即可．【解答过程】解：（1）幂函数g（x）＝（m2﹣3）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，∴{m2−3=1 m＜0，解得m＝﹣2，∴g（x）＝x﹣2；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=1 2，∴设f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），∴log a （﹣m +1）+log a （﹣m ﹣1）=12，即log a （m 2﹣1）＝log a 3=12，解得a ＝9， ∴f （x ）＝log 9x ；（2）∵实数a 满足f （2a ﹣1）＜f （5﹣a ），且f （x ）＝log 9x 在（0，+∞）上单调递增，∴{2a −1＞05−a ＞02a −1＜5−a ，解得{a ＞12a ＜5a ＜2；即12＜a ＜2，∴实数a 的取值范围是（12，2）．19．（12分）（2020秋•高安市校级期末）已知函数g （x ）＝ax 2﹣2ax +1+b （a ＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f(x)=g(x)x ．（1）求a ，b 的值；（2）若不等式f （log 2x ）﹣2k log 2x ≥0在x ∈[2，8]上有解，求实数k 的取值范围．【解题思路】（1）首先判断二次函数的开口方向及单调性，再利用二次函数的性质求解．（2）利用换元法求解．【解答过程】解：（1）函数g （x ）＝a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， ∵a ＞0，∴g （x ）为开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝1， ∴g （x ）在区间[2，3]上是增函数， ∴{g(2)=1g(3)=4，即{b +1=13a +b +1=4 解得a ＝1，b ＝0．（2）由（1）可得g （x ）＝x 2﹣2x +1，则f(x)=x +1x −2．∴f （log 2x ）﹣2k log 2x ≥0在x ∈[2，8]上有解等价于log 2x +1log 2x −2≥2klog 2x 在x ∈[2，8]上有解．即2k ≤1(log 2x)2−2log 2x+1在x ∈[2，8]上有解令t =1log 2x ，∵x ∈[2，8]，∴t ∈[13，1]，∴2k ≤t 2﹣2t +1在t ∈[13，1]上有解，记φ（t ）＝t 2﹣2t +1＝（t ﹣1）2，则φ（t ）在[13，1]上为减函数，ϕ(t)max =ϕ(13)=49∴2k ≤49，则k ≤29，∴k 的取值范围为(−∞，29]．20．（12分）（2021春•让胡路区校级月考）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣2ax +3．（1）若f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，求实数a 的最小值；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解，求实数a 的取值范围．【解题思路】（1）结合该图象，使用对称轴可解决此问题；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解⇔f （﹣4）≥0或f （﹣2）≥0，可解决此问题．【解答过程】解：（1）∵二次函数f （x ）＝x 2﹣2ax +3是开口向上的抛物线且对称轴方程为x ＝a ， ∴若f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则a ≥1，故a 的最小值是1；（2）存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得f （x ）≥a 有解，即存在x ∈[﹣4，﹣2]，使得x 2﹣2ax +3﹣a ≥0有解，则f （﹣4）≥0或f （﹣2）≥0，解得：a ≥−197，故a 的取值范围是：[−197，+∞）．21．（12分）（2020秋•虹口区校级期中）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）．（1）若b ＝1，且f （x ）在[﹣2，2]上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）若对任意a ∈[﹣1，1]，存在x ∈[﹣2，3]使f （x ）＞0，求实数b 的取值范围．【解题思路】（1）把f （x ）在[﹣2，2]上存在零点转化为f （x ）＝x 2+ax +1＝0在[﹣2，2]上有解，分参求值域．（2））先把存在x ∈[﹣2，3]，f （x ）＞0，转化为f （x ）max ＞0，求出f （x ）最大值，再把9﹣3a +b ＞0对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，分参求出b 范围．【解答过程】解：（1）当b ＝1时，f （x ）＝x 2+ax +1，∵f （x ）在[﹣2，2]上存在零点，∴f （x ）＝x 2+ax +1＝0在[﹣2，2]上有解， ∵x ≠0，∴ax ＝﹣x 2﹣1， ∴a ＝﹣x −1x ，①当x ＞0时，x +1x ≥2√1=2，当且仅当x =1x即x ＝1时取等号， ∴x +1x ≥2，∴a ＝﹣x −1x ≤−2，即a ≤﹣2．②当x ＜0时，a ＝﹣x −1x ≥2√1=2，当且仅当﹣x =−1x即x ＝﹣1时取等号， ∴a ≥2．综上所述，a 的取值范围为a ≤﹣2或a ≥2．（2）∵存在x ∈[﹣2，3]，f （x ）＞0，∴f （x ）max ＞0， ∵f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）是开口向上的二次函数， ∴f （x ）max ＝f （﹣2）＝4﹣2a +b 或f （x ）max ＝f （3）＝9﹣3a +b ∵f （3）﹣f （2）＝9﹣3a +b ﹣4+2a ﹣b ＝5﹣a ＞0， ∴f （x ）max ＝f （3）＝9﹣3a +b ，即9﹣3a +b ＞0对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，∴b ＞3a ﹣9对任意a ∈[﹣1，1]恒成立，∴b ＞（3a ﹣9）max ， ∴b ＞﹣6．22．（12分）（2021春•吴兴区校级月考）已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减．（1）求m 的值并写出f （x ）的解析式；（2）试判断是否存在a ＞0，使得函数g(x)=(2a −1)x −af(x)+1在（0，2]上的值域为（1，11]？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）利用幂函数的定义以及单调性，列出关于m 的关系式，求解即可；（2）求出g （x ）的解析式，按照a ﹣1与0的大小关系进行分类讨论，利用g （x ）的单调性列出方程组，求解即可．【解答过程】解：（1）因为幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递减，所以{m 2−2m −2=1m 2−4m +2＜0，解得m ＝3或m ＝﹣1（舍），所以f （x ）＝x ﹣1；（2）由（1）可得，f （x ）＝x ﹣1，所以g （x ）＝（2a ﹣1）x ﹣ax +1＝（a ﹣1）x +1，假设存在a ＞0，使得g （x ）在（0，2]上的值域为（1，11]，①当0＜a ＜1时，a ﹣1＜0，此时g （x ）在（0，2]上单调递减，不符合题意； ②当a ＝1时，g （x ）＝1，显然不成立；③当a＞1时，a﹣1＞0，g（x）在和（0，2]上单调递增，故g（2）＝2（a﹣1）+1＝11，解得a＝6．综上所述，存在a＝6使得g（x）在（0，2]上的值域为（1，11]．21。

新高考数学一轮复习幂函数与二次函数重难点题型精讲(含答案)

幂函数与二次函数-重难点题型精讲1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0}2.二次函数的图象和性质R R【题型1 幂函数的图象及性质】【例1】（2021•宜春模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f （0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解题思路】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断a，b，c的大小关系．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8），∴m﹣1＝1，且m n＝8，求得m ＝2，n ＝3，故f （x ）＝x 3．∵a ＝f （20.3）＝20.9＞1，b ＝f （0.32）＝0.36∈（0，1），c ＝f （log 20.3）=(log 20.3)3＜0， ∴a ＞b ＞c ，故选：D ．【变式1-1】（2021•阳泉三模）已知点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上，设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【解题思路】推导出f （x ）＝x 3，从而45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．【解答过程】解：点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， ∴f （2）＝2n ＝8，解得n ＝3，∴f （x ）＝x 3，设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)， ∴45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0， ∴a ，b ，c 的大小关系是b ＞a ＞c ．故选：A ．【变式1-2】（2020•金安区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，设a ＝f （sin2π7），b ＝f （cos2π7），c ＝f （tan2π7），则（） A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解题思路】根据幂函数的定义与奇函数的定义，求出m 、n 的值，写出f （x ），判断其单调性，再根据cos2π7、sin2π7和tan2π7的大小比较f （cos2π7）与f （sin2π7）、f （tan2π7）的大小．【解答过程】解：根据幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，得m ＝1，且﹣2+n ＝0，解得n ＝2；∴f （x ）＝x 3，且在定义域R 上是单调增函数；又0＜π4＜2π7＜π2，∴cos2π7＜sin2π7＜1＜tan2π7，∴f （cos 2π7）＜f （sin 2π7）＜f （tan 2π7），即b ＜a ＜c ．故选：A ．【变式1-3】（2020•三明模拟）已知幂函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x ﹣t ，对于任意x 1∈[1，5）时，总存在x 2∈[1，5）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（） A ．∅B ．t ≥7或t ≤1C ．t ＞7或t ＜1D ．1≤t ≤7【解题思路】先利用幂函数的定义和单调性，求出m 的值，得到函数f （x ）的解析式，设函数f （x ）在[1，5）的值域为集合A ，函数g （x ）在[1，5）的值域为集合B ，利用函数的单调性分别求出集合A ，集合B ，由题意可得A ⊆B ，利用集合间的包含关系列出不等式组，即可求出t 的取值范围．【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m −1)2x m 2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，∴{(m −1)2=1m 2−4m +2＞0，解得m ＝0，∴f （x ）＝x 2，当x 1∈[1，5）时，f （x 1）∈[1，25），设集合A ＝[1，25），又当x 2∈[1，5）时，g （x 2）∈[2﹣t ，32﹣t ），设集合B ＝[2﹣t ，32﹣t ），由题意得：A ⊆B ，∴{2−t ≤132−t ≥25，解得：1≤t ≤7，故选：D ．【题型2 二次函数的图象及性质】【例2】（2020•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是（） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]【解题思路】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m 是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答．【解答过程】解：由题意可知：当m ＝0时，由f （x ）＝0 知，﹣3x +1＝0，∴x =13＞0，符合题意；当m＞0时，由f（0）＝1可知：{△=(m−3)2−4m≥0−m−32m＞0，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）＝1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选：D．【变式2-1】（2020秋•龙岩期中）已知二次函数f（x）＝ax2+（a﹣5）x+a2﹣6（a≠0）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0）两点，且﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则a的取值范围是（）A．(2，1+2√3)B．(2，2√3−1)C．(1+2√3，+∞)D．(−∞，2−2√3)【解题思路】由已知结合二次函数的实根分布中特殊点函数值的符号建立关于a的不等式，可求．【解答过程】解：若a＞0，则{f(−1)=a2−1＞0f(1)=a2+2a−11＜0 f(2)=a2+6a−11＞0，解得2＜a＜2√3−1；若a＜0，则{f(−1)=a2−1＜0f(1)=a2+2a−11＞0f(2)=a2+6a−16＜0，不等式组无解．故a的取值范围是(2，2√3−1)．故选：B．【变式2-2】（2020秋•咸阳期末）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝1时，函数f（x）的图象恰好在函数g（x）＝2x+b的图象上方（f（x）≥g（x）且恰好能取到等号），求实数b的值．【解题思路】（Ⅰ）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出b的值即可．【解答过程】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2，对称轴是x＝a，若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）；（Ⅱ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+2，f（x）﹣g（x）＝x2﹣4x+3﹣b，由题意得f（x）﹣g（x）≥0，即x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，故△＝16﹣12+4b ≤0，解得：b ≤﹣1，当f （x ）≥g （x ）且恰好能取到等号，即f （x ）＝g （x ）时，b ＝﹣1．【变式2-3】（2020秋•越秀区期末）问题：是否存在二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0，b ，c ∈R ）同时满足下列条件：f （0）＝3，f （x ）的最大值为4，____？若存在，求出f （x ）的解析式；若不存在，请说明理由．在①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．【解题思路】由f （0）＝3，可求得c ＝3，由条件可得函数的对称轴，又f （x ）的最大值为4，可得关于a ，b 的方程组，求解即可．【解答过程】解：由f （0）＝3，可得c ＝3，则f （x ）＝ax 2+bx +3，若选择①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，可得f （x ）的对称轴为x ＝1，所以−b2a =1，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （1）＝4，即a +b +3＝4，解得a ＝﹣1，b ＝2，此时f （x ）＝﹣x 2+2x +3；若选择②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，可得f （x ）关于x ＝2对称，则−b2a =2，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （2）＝4，即4a +2b +3＝4，解得a =−14，b ＝1，此时f （x ）=−14x 2+x +3；若选择③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)，可得f （x ）关于x =12对称，则−b2a =12，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （12）＝4，即14a +12b +3＝4，解得a ＝﹣4，b ＝﹣4，此时f （x ）＝﹣4x 2﹣4x +3．【题型3 二次函数的最值问题】【例3】（2020春•滨海新区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在x ∈[﹣1，2]．上有最大值是4，则实数a 的值为（） A ．﹣1或3B ．﹣4或0C ．﹣1或0D ．﹣4或3【解题思路】由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知函数f （x ）在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．从而分类讨论求解．【解答过程】解：由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知，函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．若函数f （x ）在﹣1上取得最大值4，则 {−a ≥121−2a +a 2=4，解得a ＝﹣1，若函数f （x ）在2上取得最大值4，则 {−a ≤124+4a +a 2=4，解得a ＝0，故选：C ．【变式3-1】（2020秋•仓山区校级期中）如果函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3在区间[0，2]上有最小值3，那么实数a 的值为．【解题思路】由二次函数对称轴结合定义域进行讨论即可解决此题．【解答过程】解：函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3的对称轴是：x =a2．当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，2]上的最小值a 2﹣2a +3＝3，解得：a ＝0或2（舍去）；当0＜a2＜2，即0＜a ＜4时，f （x ）的最小值是f （a2）＝﹣2a +3＝3，解得：a ＝0（舍去）；a 2≥2，即a ≥4时，f （x ）的最小值是f （2）＝4×22﹣4a ×2+a 2﹣2a +3＝a 2﹣8a +19＝3，解得：a 1＝a 2＝4．综上，a 的值是0或4．故答案为：0或4．【变式3-2】（2020•浙江模拟）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1，则当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为．【解题思路】由题知{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，进而求出a ，b ，c ，所以f （x ）＝f （1）(x 2+x 2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f（0）（1﹣x 2）再由题知对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1分别再讨论﹣2≤x ≤﹣1与1≤x ≤2区间最值，最后得出最值．【解答过程】解：由题意{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，有得{a =12[f(1)+f(−1)−2f(0)]b =12[f(1)−f(−1)]c =f(0)所以f （x ）＝f （1）(x 2+x2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f （0）（1﹣x 2）对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1所以当﹣2≤x ＜﹣1时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+|| =(x 2+x2)+(x 2−x2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7当1＜x ≤2时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+||=(x 2+x 2)+(x 2−x 2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7综上所述，当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为7．【变式3-3】（2021春•浦东新区校级期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3．（1）若f （a +1）＝f （2a ），求a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）在x ∈[2，3]的最小值为5﹣a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]？若存在，请求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据已知条件，得到（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3解方程即可求出结果；（2）由于f （x ）的对称轴为x =a−22，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求出最小值即可；（3）根据题意转化为 m ，n 是方程 x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x 的两个根，结合韦达定理得到 m +n ＝2+mn ，分离常数，根据m ，n 为整数即可求解．【解答过程】解：（1）因为f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3，且 f （a +1）＝f （2a ），所以（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3，整理得2a 2+a ﹣3＝0，解得a ＝1或−32；（2）f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3 的对称轴为 x =a−22，因为 x ∈[2，3]， ①当a−22≤2，即 a ≤6，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝22﹣2（a ﹣2）+a ﹣3＝5﹣a ，符合题意；②当2＜a−22＜3，即6＜a ＜8，则f （x ）在(2，a−22)上单调递减，在(a−22，3)单调递增，所以f(x)min =f(a−22)=(a−22)2−a−22(a −2)+a −3=−a 2+8a−164=5﹣a ，则a ＝6，与6＜a ＜8矛盾，不符合题意； ③a−22≥3，即a ≥8，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递减，所以f(x)min =f(3)=32−3(a −2)+a −3=12−2a =5−a ，则a ＝7，与a ≥8矛盾，不符合题意，综上a ≤6，因此实数a 的取值范围为（﹣∞，6]；（3）因为关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]， ①若a−22≤m ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递增，所以{f(m)=mf(n)=n，即m ，n 是方程x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x ，即x 2﹣（a ﹣1）x +a ﹣3＝0的两个根，由韦达定理得{m +n =a −1mn =a −3，所以 m +n ＝2+mn ，所以m （1﹣n ）＝2﹣n ，当n ＝1时，m 不存在，舍去，当n ≠1时，m =2−n 1−n =11−n +1，所以当n ＝0时，m ＝2；当n ＝2时，m ＝0，又因为m ＜n ，所以n ＝2，m ＝0，经检验，此时a ＝3，关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；②若m ＜a−22≤n ，则f （x ）在(m ，a−22)上单调递减，在(a−22，n +1)上单调递增，所以{f(a−22)≥m f(n)=n f(m)=n ，即{(a−22)2−(a −2)⋅a−22+a −3≥m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n，所以{−a 2+8a −16≥4m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n ，即x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3﹣n ＝0有两个不相等的实数根，且m +n ＝2﹣a ，由于m ，n 为整数，则a 为整数，则a =n 2+n−3n−1=n +2−1n−1，当n ＝0时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；当n ＝2时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验符合题意；故m ＝﹣1，n ＝2； ③若a−22≥n ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递减，所以{f(m)=nf(n)=m，即{m 2−(a −2)⋅m +a −3=n n 2−(a −2)⋅n +a −3=m ，则m ＝n ，不合题意舍去．综上：存在这样的m ，n 为整数，且m ＝﹣1，n ＝2．【题型4 二次函数的恒成立问题】【例4】（2021•4月份模拟）对于任意a ∈[﹣1，1]，函数f （x ）＝x 2+（a ﹣4）x +4﹣2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是（） A ．（1，3） B ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C ．（1，2）D ．（3，+∞）【解题思路】把二次函数的恒成立问题转化为y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x 的取值范围．【解答过程】解：原问题可转化为关于a 的一次函数y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需{(−1)⋅(x −2)+x 2−4x +4＞01×(x −2)+x 2−4x +4＞0， ∴{x ＞3，或x ＜2x ＜1，或x ＞2， ∴x ＜1或x ＞3．故选：B ．【变式4-1】（2020春•玉林期末）已知函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（）A ．（﹣∞，72）B ．（72，+∞）C ．（﹣∞，143）D ．（143，+∞）【解题思路】由题意可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，结合y ＝g （x ）的图象，只需g （1）＜0，且g （2）＜0，解不等式可得所求范围．【解答过程】解：函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，由于y ＝g （x ）的图象为开口向上的抛物线，只需g （1）＜0且g （2）＜0，所以{1+4−k −k +2＜04+2(4−k)−k +2＜0，即{k ＞72k ＞143，可得k ＞143．故选：D ．【变式4-2】（2020春•浙江期中）已知f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ，若f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，0]C ．[0，+∞）D ．[﹣1，0]【解题思路】利用分段思想，分类讨论，结合二次函数性质即可求解．【解答过程】解：f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ={x 2−x +2a ，x ≥a x 2+x ，x ＜a ，∵f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，∴①{x 2−x ≤−2a x ≥a 恒成立，此时a ≤﹣1；②{x 2+x ≤0x ＜a在x ∈[﹣1，1]恒成立，此时a ≤0；综上核对a ≤0，故选：B ．【变式4-3】（2021春•虹口区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2．（1）若对于任意x ∈R ，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，求实数x 的取值范围．【解题思路】（1）利用二次函数的图象与性质可得△≤0，从而可求得a 的取值范围；（2）f （x ）≥0恒成立等价于f （x ）min ≥0，利用二次函数的图象与性质对a 分类讨论，求出f （x ）的最小值，结合题意即可求解a 的取值范围；（3）将函数f （x ）看作关于a 的函数g （a ），结合题意可得关于x 的不等式组即可求解x 的取值范围．【解答过程】解：（1）f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2≥0恒成立，可得△＝4a 2﹣4（2﹣a ）≤0，解得﹣2≤a ≤1，即实数a 的取值范围是[﹣2，1]．（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，则f （x ）min ≥0，函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2的对称轴为x ＝﹣a ，当﹣a ＜﹣1，即a ＞1时，f （x ）min ＝f （﹣1）＝3﹣3a ≥0，解得a ≤1，矛盾，舍去；当﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，f （x ）min ＝f （1）＝3+a ≥0，可得﹣3≤a ＜﹣1，当﹣1≤﹣a ≤1，即﹣1≤a ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣a ）＝﹣a 2﹣a +2≥0，可得﹣1≤a ≤1，综上所述，求实数a 的取值范围是[﹣3，1]．（3）对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，等价于对于任意a ∈[﹣1，1]，g （a ）＝（2x ﹣1）a +x 2+2＞0，所以{g(−1)=x 2−2x +3＞0g(1)=x 2+2x +1＞0，解得x ≠1，所以实数x 的取值范围是{x |x ≠﹣1}．。

高考数学(文科)大一轮复习配套课时训练：第二篇函数、导数及其应用第6节二次函数与幂函数(含答案)

第6节二次函数与幂函数课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(A)(A)1,3 (B)-1,1 (C)-1,3 (D)-1,1,3解析:α=-1,1,3时幂函数为奇函数,当α=-1时定义域不是R,所以α=1,3.故选A.2.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是(D)解析:∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0,c<0.∴图象可能是D.故选D.3.已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是(B)(A)0<α<1 (B)α<1(C)α<0 (D)α>0解析:x>1时,由f(x)<x可得xα<x=x1,因此α<1,故选B.4.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(A)(A)a>b>c (B)a>c>b(C)c>a>b (D)b>c>a解析:∵函数y=0.4x在R上是减函数,且0.2<0.6,∴0.40.2>0.40.6,即b>c.又函数y=x0.2在(0,+∞)上是增函数,且2>0.4,∴20.2>0.40.2,即a>b,∴a>b>c.故选A.5.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么(A)(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)解析:∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)关于x=2对称,又开口向上.∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4),故选A.6.如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(B)(A)①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1(B)①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1(C)①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1(D)①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1解析:结合幂函数性质,对解析式和图象逐一对照知B项正确.故选B.7.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则(B)(A)f(x1)=f(x2)(B)f(x1)<f(x2)(C)f(x1)>f(x2)(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析:函数的对称轴为x=-1,设x0=,由0<a<3得到-1<<,又x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断,故选B.二、填空题8.已知幂函数y=f(x)的图象过点（,）,则log4f(2)的值为.解析:设f(x)=xα,由其图象过点（,）得（）α==,所以α=,log4f(2)=log4=log4=.答案:9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=.解析:f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2,∵f(x)是偶函数,∴2a+ab=0.①又f(x)的值域为(-∞,4].∴b<0.②=4.③联立①②③解得a2=2,b=-2,∴f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+410.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若对任意x>2,不等式(x-a)⊗x≤a+2都成立,则实数a的取值范围是.解析:由题意得(x-a)⊗x=(x-a)(1-x),故不等式(x-a)⊗x≤a+2化为(x-a)(1-x)≤a+2.化简得x2-(a+1)x+2a+2≥0,故原题等价于x2-(a+1)x+2a+2≥0在(2,+∞)上恒成立,由二次函数f(x)=x2-(a+1)x+2a+2的图象,其对称轴为x=,讨论得或解得a≤3或3<a≤7综上得a≤7.答案:(-∞,7]11.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是.解析:令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由题意得即解得<k<.答案:(,)三、解答题12.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.∴f(x)=(x+1)2.∴F(x)=∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2, ∴-2≤b≤0.即b的取值范围是[-2,0].13.已知函数f(x)=x m-且f(4)=.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(4)=,∴4m-=,∴m=1.(2)由(1)知f(x)=x-,∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 又f(-x)=-x+=-=-f(x).所以函数f(x)是奇函数.(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下: 设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2),因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+>0.所以f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.B组14.设f(x)=|2-x2|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是(D)(A)(0,2) (B)(0,)(C)(0,4) (D)(0,2)解析:∵f(a)=f(b),0<a<b,∴a<<b,∴2-a2=b2-2,即a2+b2=4,则(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=8,0<a+b<2,故选D.15.在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.解析:设P(x,)(x>0),则|PA|2=(x-a)2+(-a)2=x2+-2a(x+)+2a2令x+=t(t≥2),则|PA|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2若a≥2,当t=a时,|PA=a2-2=8,解得a=.若a<2,当t=2时,|PA=2a2-4a+2=8,解得a=-1.答案:-1,16.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,F(x)=(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设m·n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0. (1)解:∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,a=b-1.又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),∴∴b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.∴F(x)=(2)解:g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1,当≥2或≤-2时,即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.(3)证明:∵f(x)是偶函数,∴f(x)=ax2+1,F(x)=∵m·n<0,不妨设m>n,则n<0,又m+n>0,m>-n>0,∴|m|>|-n|,又a>0,∴F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0.。

高考数学易错点第6讲：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数

高考数学易错点第6讲：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数易错知识1．对数函数、指数函数中容易忽略底数的取值范围；2．在对数式中，要注意真数是大于零的；3．函数的单调区间与在区间上单调是两个不同的概念；4.对于最高项系数含有参数的函数，要注意对参数的讨论；易错分析一、对数函数中忽视对底数的讨论致错1．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【错解】已知f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.故实数a【错因】没有对底数a 进行分情况讨论，【正解】二、忽视对数式中真数大于零致错2．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______．【错解】令g (x )＝x 2＋2x －3，则函数g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是(－1，＋∞)．【错因】没有保证对数式中真数大于零，【正解】3．已知函数f (x )＝log a (ax 2－2x ＋5)(a >0，且a≠1)a 的取值范围为()忽视对高次项系数的讨论致错使用换元法忽视新变量范围致错A.310(，∪[2，＋∞)B.13，(1,2]C.19，13∪[2，＋∞)D ．19，13∪(1,2]【错解】选A当0<a <1时，由复合函数单调性知函数u ＝ax 2－2x ＋5且u >0恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<3110aa ，解得0<a ≤13；当a >1时，由复合函数单调性知函数u ＝ax 2－2x ＋5u >0恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>2111a a ，解得a ≥2.综上，a 的取值范围为]310(，∪[2，＋∞)．【错因】没有保证对数式中真数大于零，【正解】三、忽视高次项系数的讨论致错4．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()A ．－14B ．0 C.14D ．0或－14【错解】选A若f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则方程ax 2－x －1=0有且仅有一个根，则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【错因】没有对二次项系数a 分情况讨论，【正解】5．若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()－14，＋∞ B.－14，＋∞C.－14，D ．－14，0【错解】选C函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.故选C.【错因】没有对二次项系数a 分情况讨论，【正解】四、指数函数中忽视对底数的讨论致错6．若函数f (x )＝a22-+1x ax (a >0且a ≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(1,4]D ．(－∞，4]【错解】选D221y x ax =-+∞根据复合函数的单调性可知，f (x )∞f (x )在(1,3)上单调递增，所以14≤a，解得a ≤4.所以a 的取值范围为(－∞，4]．【错因】没有对底数a 进行分情况讨论，【正解】五、幂函数中忽视定义域致错7．已知幂函数f (x )＝x-12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．【错解】∵f (x )＝x -12＝1x(x ＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴aa 2101->+，解得3＜a .答案：(3,＋∞)．【错因】没有考虑函数的定义域，【正解】六、使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错8．(注意新元的取值范围)已知函数y ＝4x －3·2x ＋3，若其值域为[1,7]，则x 可能的取值范围是()A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]【错解】选D令t ＝2x ，则y ＝t 2－3t ＋3＋34，其图象的对称轴为直线t ＝32.当x ∈[2,4]时，t ∈[4,16]，此时y ∈[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]时，t ∈(－∞,1]，此时y ∈[1,3)，不满足题意；当x ∈(0,1]∪[2,4]时，t ∈(－∞,2]∪[4,16]，此时y ∈34，1∪[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]∪[1,2]时，t ∈(－∞,1]∪[2,4]，此时y ∈[1,7]，满足题意．故选D.【错因】没有考虑新元t 的取值范围，因为2x >0，所以t >0。

(智慧测评)高考数学大一轮总复习第2篇第6节二次函数与幂函数课件理新人教A版

∴函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
又f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴函数为奇函数．其单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．答案： ( －∞， 0)∪(0 ，＋∞ ) (0，＋∞) 奇函数 ( －∞， 0) 和
考点突破
二次函数的图象与性质
[例1] 函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上
2.幂函数
(1)幂函数的概念形如 y ＝ xα(α∈R) 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数． (2)常见幂函数的图象与性质
函数特征图象或性质图象 y＝x y＝x
2
y＝x
3
y＝x2
1y＝x－1定来自域值域奇偶性R R 奇
R [0，＋∞) 偶 x∈[0，＋ ∞) 时，增
)
1 B.－∞，－20 1 D.－20，0
解析：由于 f(x)的图象均在 x 轴上方，则 f(x)>0 恒成立，
a>0，故有 Δ＝1－20a<0，
1 ∴a>20，故选 C.
答案：C
2．(2014 河北保定一模)已知函数在 R 上单调递减，则实数 a 满足( A．a>－2 C．a≤－2 B．－2<a<－1 1 D．a≤－ 2

b x＝－2a
a>0 顶点坐标奇偶性

a<0
b 4ac－b2 －， 2 a 4 a
b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数
b x ∈ －∞，－2a 时 b x ∈ 时是增函数；x∈ －∞，－是减函数；x∈ 2a 单调性 b b ，＋∞ ，＋∞ －时是－时是减函数 2 a 2 a 增函数 b 当 x＝－2a时，ymin 4ac－b2 b 最值当 x＝－2a时，ymax＝ 4a 4ac－b2 ＝ 4a

幂函数与二次函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)

当 = 2时， ( ) = 3 是奇函数，其图象关于原点对称，于是得 = 2，
不等式 + 1

> 3 − 2
化为：
< 4，
2
所以实数a的取值范围为( 3 , 4)．
2
故答案为：( 3 , 4)
+1
2
> 3 − 2
2 ，即(3
2
− 2)( − 4) < 0，解得： 3 <
从而解不等式求参数的范围．
考向典题讲解
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【例4】（2023·上海·高三专题练习）已知 = 2 + 2 + 4 , , ∈ ．
（1）若 0 = −1 ， + 2 = 0 ，解关于的不等式 < + 1 − 3 ；
单调性
在

b

－∞，－
2a

b

－∞，－
2a

在

b

－
，＋∞

2a

b

－
，＋∞

2a

减
上单调递____；
在
增
上单调递____
在
增
上单调递____；
减
上单调递____
考点知识梳理
常用结论
1、幂函数 = ( ∈ )在第一象限内图象的画法如下：
目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及

2023届高中数学一轮复习+幂函数与二次函数+课件

要写出一个即可) 解由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为 f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，
∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，
都有f（x1）x1－－xf（2 x2）＜0，等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.
在－∞，－2ba上是_减__函数；在－∞，－2ba上是_增__函数；在－2ba，＋∞上是_增__函数在－2ba，＋∞上是_减__函数
常用结论
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a>0，时，恒有 f(x)>0；当a<0，时，恒有 f(x)<0.
角度2 二次函数的单调性与最值
例3 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；解当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图象的对称轴为直线
x＝－23∈[－2，3]， ∴f(x)min＝f－32＝94－92－3＝－241， ∴f(x)的值域为－241，15.
(2)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝
_－___4_x_2_＋__4_x_＋___7__.
解法一 (利用“一般式”) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
4a＋2b＋c＝－1， a＝－4，
由题意得a4－ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
解得b＝4， c＝7.

【步步高】2021届高考数学第一轮知识点巩固题库第6讲抛物线（含解析）新人教A版 (1)

第6讲抛物线一、选择题1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，那么实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－32 解析依照分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，那么焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，那么12－a2＝1，解得a ＝－32.答案 D2．假设抛物线y 2＝2px (p >0)的核心在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，那么p ＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的核心为(p2，0)在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p＝－6(舍去)．答案 C3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的核心为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝( )． A.45B.35C ．－35D ．－45解析由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，那么|FA →|＝5，|FB →|＝2，FA →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB→|FA →||FB →|＝－85×2＝－45.应选D.答案 D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.假设抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的核心到双曲线C 1的渐近线的距离为2，那么抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b a ＝ 3.x 2＝2py 的核心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .由题意，得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y ，选D. 答案 D5．已知直线l 过抛物线C 的核心，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，那么△ABP 的面积为( )．A ．18B ．24C ．36D ．48 解析如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.答案 C6．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，那么点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )． A.3B.5C ．2D.5－1解析由题意知，抛物线的核心为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的概念可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，因此点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，因此d ＋|PF |－1的最小值为5－1.答案 D 二、填空题7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，那么动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x ，y )，那么圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，依照抛物线的概念易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x . 答案 y 2＝4x 8．已知抛物线y 2＝4x的核心为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且知足|NF |＝32|MN |，那么∠NMF ＝________.解析过N 作准线的垂线，垂足是P ，那么有PN ＝NF ，∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP .又cos ∠MNP ＝32，∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6.答案 π69．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图成立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py .由题意A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米．答案 2610．过抛物线y 2＝2x的核心F 作直线交抛物线于A ，B 两点，假设|AB |＝2512，|AF |<|BF |，那么|AF |＝________.解析设过抛物线核心的直线为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立得，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，整理得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得，k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得，12x 2－13x ＋3＝0，解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.答案 56三、解答题 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右核心别离为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解 (1)由e ＝ca＝1－b 2a2＝33，得b a ＝63. 又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b ＝2，那么a ＝3.(2)法一由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设M (x ，y )，那么P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，即y 2＝－4x ，因此所求的M 的轨迹方程为y 2＝－4x ，该曲线为抛物线．法二因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，因此|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为核心，l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .12．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →. (1)假设点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 通过抛物线C 的核心F ；(2)假设λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．思维启发：(1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)成立|PQ |和λ的关系，然后求最值． (1)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →，∴直线MQ 通过抛物线C 的核心F . (2)由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，那么|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.13．设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的核心为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)假设∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)假设A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p .由抛物线概念可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .因为△ABD 的面积为4 2，因此12|BD |·d ＝42，即12·2p · 2p ＝4 2，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.因此F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，因此AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线概念知|AD |＝|FA |＝12|AB |.因此∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－2 33px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的纵截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，因此坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.14．如下图，抛物线关于x 轴对称，它的极点在座标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。

【步步高】同步届高考数学大一轮复习 2.4 二次函数与幂函数试题（含解析）新人教A版

二次函数与幂函数一、选择题1 幂函数43y x =的图象是（）答案 A2已知幂函数的图象经过点2,4,则的解析式为A ()2f x x =B 2()f x x =C ()2x f x =D ()2f x x =+答案 B3．设f ＝错误!则ff 5＝．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析由于函数f ＝错误!所以ff 5＝f [og 25－1]＝f 2＝22－2＝1答案 B4．若≥0，≥0，且＋2＝1，那么2＋32的最小值为．A ．2 D ．0解析由≥0，≥0＝1－2≥0知0≤≤错误! t ＝2＋32＝2－4＋32＝3错误!2＋错误!在错误!上递减，当＝错误!时，t 取到最小值，t min ＝错误!答案 B5．二次函数f ＝2－a ＋4，若f ＋1是偶函数，则实数a 的值为A ．－1B ．1C ．－2D ．2 解析：由题意f ＋1＝＋12－a ＋1＋4＝2＋2－a ＋5－a 为偶函数，所以2－a ＝0，a ＝2答案：D6设232555322555a b c===（）,（），（），则a，b，c的大小关系是（）＞c＞b ＞b＞c ＞a＞b ＞c＞a答案：A7 函数f＝a2＋b＋ca≠0的图象关于直线＝－错误!对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，[f]2＋nf＋[f]2＋nf＋1.30.7的取值范围是________．解析：∵01.30.71.30.70答案：0，＋∞9．若函数＝m2＋＋5在[－2，＋∞上是增函数，则m的取值范围是________．解析由已知条件当m＝0，或错误!时，函数＝m2＋＋5在[－2，＋∞上是增函数，解得0≤m≤错误!答案错误!10．若方程2＋－2＋2－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数的取值范围是________．解析：设f＝2＋－2＋2－1，由题意知错误!即错误!解得错误!4m4m－2的解集为{|16a3a6a4a9a4a36a16a16a36a20a16a5a4a5a0．∵f图象的对称轴是＝－1，∴f－1＝－1，即a－2a＝－1，得a＝1∴f＝2＋2又∵函数g的图象与f的图象关于原点对称，∴g＝－f－＝－2＋22由1得h＝2＋2－λ－2＋2＝λ＋12＋21－λ①当λ＝－1时，h＝4满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ－1时，同理则需错误!≤－1，又λ>－1，解得－10，求实数a的取值范围．解不等式a2－2＋2>0等价于a>错误!，设g＝错误!，∈1,4，则g′＝错误!＝错误!＝错误!，当10，当2错误!，因此实数a的取值范围是错误!。

专题09 幂函数与二次函数-2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测)(新高考专用)解析版

专题09幂函数与二次函数（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (6)【考点1】幂函数的图象和性质 (6)【考点2】求二次函数的解析式 (9)【考点3】二次函数的图象与性质 (13)【分层检测】 (18)【基础篇】 (18)【能力篇】 (25)【培优篇】 (27)考试要求：1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ).零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c(a <0)图象(抛物线)定义域R－∞，1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)>0，<0时，恒有f(x)>0<0，<0时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质；(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.真题自测1．（2023·全国·高考真题）设函数)()2x x ax-=在区间()0,1上单调递减，则a的取值范围是（）A．(],2-∞-B．[)2,0-C．(]0,2D．[)2,+∞2．（2021·全国·高考真题）设B是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PB b≤，则C的离心率的取值范围是（）A．,12⎫⎪⎪⎣⎭B．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．2⎛⎝⎦D．10,2⎛⎤⎥⎝⎦3．（2023·天津·高考真题）设0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c===，则,,a b c的大小关系为（）A．a b c<<B．b a c<<C．c b a<<D．c a b<<4．（2022·天津·高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>二、填空题5．（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是.三、解答题6．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数()()223Z m m f x x m --=∈为奇函数，且在区间()0,∞+上是严格减函数.(1)求函数()y f x =的表达式；(2)对任意实数1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()4xf x t ≤+恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案：1．D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D2．C【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．3．D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D4．C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.5．4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.6．(1)3()-=f x x (2)[6,)∞+．【分析】（1）根据在区间(0,)+∞上是严格减函数可得2230m m --<，解不等式可得整数m 的值，检验是否符合奇函数即可；（2）对任意实数1[,1]2x ∈，不等式34x t x -≥-恒成立，而3()4x g x x -=-在1[,1]2上为减函数，由此可得解．【详解】（1）依题意()f x 为奇函数，在区间(0,)+∞上是严格减函数，可得2230m m --<，解得13m -<<，由于m ∈Z ,故0m =，1，2，当0m =和2m =时，2233m m --=-，此时3()-=f x x 为奇函数，符合要求，当1m =时，2234m m --=-，此时4()f x x -=为偶函数，不符合要求，3()-=f x x ；（2）不等式()4x f x t ≤+，即34x t x -≥-，又3()-=f x x 在(0,)+∞上是减函数，4x y =在R 上为增函数，则3()4x g x x -=-在1[,1]2上为减函数，所以max 1()(62g x g ==，则6t ≥，所以实数t 的取值范围为[6,)∞+．【考点1】幂函数的图象和性质一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）设命题:R p m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-是幂函数，且在()0,∞+上单调递减；命题()2:2,,2x q x x ∀∈+∞>，则下列命题为真的是（）A ．()p q ∧⌝B ．()p q⌝∧C ．p q∧D ．()p q ⌝∨2．（2022·上海黄浦·模拟预测）下列函数定义域为[0+∞，）的是（）A ．1yx=B ．ln y x =C ．y =D ．tan y x=二、多选题3．（20-21高三上·辽宁辽阳·期末）下列函数中是奇函数，且值域为R 的有（）A ．3()f x x =B ．1()f x x x=+C ．()sin f x x x=+D ．5()f x x -=4．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（）A ．3p =，2m =，12q =，3n =-B ．4p =，3m =，13q =，2n =-C ．2p =，3m =，12q =-，3n =-D ．12p =，13m =，2q =-，14n =三、填空题5．（2024·北京延庆·一模）已知函数()(01)f x x αα=<<在区间(1,0)-上单调递减，则α的一个取值为．6．（2022·全国·模拟预测）若幂函数()25a y a a x =--的图像关于y 轴对称，则实数=a ．参考答案：1．A【分析】根据特称命题与全称命题判断命题,p q 的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.【详解】对于命题p ，当2m =时，函数()1f x x -=，是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，故命题p 为真命题；对于命题q ，当3x =时，3223<，不满足()22,,2x x x ∞∀∈+>，故命题q 为假命题．所以“()p q ∧⌝”为真命题，“()p q ⌝∧”为假命题，“p q ∧”为假命题，“()p q ⌝∨”为假命题．故选：A ．2．C【分析】根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.【详解】解：对于A ，函数的定义域为()(),00,∞-+∞U ，对于B ，函数的定义域为()0,∞+，对于C ，函数的定义域为[0+∞，），对于D ，函数的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：C.3．AC【分析】根据奇函数的定义判断四个函数的奇偶性，并求出值域可得答案.【详解】对于A ，因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =是奇函数，且值域为R ，故A 正确；对于B ，因为1()()f x x f x x-=-+=--，所以()f x 为奇函数，但值域为(,2][2,)-∞-+∞ ，故B 不正确；对于C ，因为()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以()f x 为奇函数，且且值域为R ，故C 正确；对于D ，因为55()()()f x x x f x ---=-=-=-，所以()f x 为奇函数，但是值域为(,0)(0,)-∞+∞ ．故D 不正确.故选：AC 4．AB 【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.【详解】对于幂函数y x α=，若函数在()0,∞+上单调递增，则0α>，若函数在()0,∞+上单调递减，则0α<，所以0n <，D 选项错误；当1x >时，若y x α=的图象在y x =的上方，则1α>，若y x α=的图象在y x =的下方，则1α<，所以1,1,01p m q >><<，C 因为当1x >时，指数越大，图象越高，所以p m >，综上，10p m q n >>>>>，AB 选项正确.故选：AB 5．23（不唯一）【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.【详解】因为()(01)f x x αα=<<在(0,)+∞上单调递增，又()f x 在区间()1,0-上单调递减，所以()f x 可以为偶函数，不妨取23α=，此时23()f x x ==x ∈R ，且()23()()f x x f x -=-==，故23()f x x =为偶函数，满足在区间(1,0)-上单调递减.故答案为：23（不唯一）6．2-【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可【详解】由幂函数可得251a a --=，解得3a =或2a =-，又因为函数图像关于y 轴对称，则a 为偶数，所以2a =-．故答案为：2-反思提升：(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【考点2】求二次函数的解析式一、单选题1．（2024·陕西·模拟预测）设函数()f x 的定义域为R ，且()()()()11,22f x f x f x f x -+=-++=-+，当[]0,1x ∈时，()()()22,326f x x bx c f f =++-=，则b c +=（）A ．4-B ．3-C ．1D ．2-2．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数()f x 满足对于任意的,R x y ∈，()()()f x f y f xy =，且()24f =.若()()1f p q f q ++=，则222p q +的最大值与最小值之和是（）A ．4+B ．C ．4D 二、多选题3．（2023·河北沧州·三模）已知二次函数()g x 满足()()42g x g x -=-，()g x x ≥；当()0,2x ∈时，()212x g x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.函数()f x 的定义域为R ，()e x y f x =+是奇函数，()3e x y f x =-是偶函数，e 为自然对数的底数，则（）A ．函数()g x 的最小值为0B ．()01f =C ．()()1f g x ≥-D ．函数()f x的导函数()f x '的最小值为4．（2023·全国·模拟预测）已知二次函数()f x 满足对于任意的()()(),,x y f x f y f xy ∈=R 且()24f =．若()()1f p q f q ++=，则下列说法正确的是（）A ．21p q +≥-B ．2p q +C．2222p q +≤D ．2222p q +≤三、填空题5．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）的图象关于y 轴对称，且与直线y x=相切，写出满足上述条件的一个函数()f x =．参考答案：1．D【分析】根据题意，通过赋值法求得()()()1,2,3f f f ，即可联立方程解出,b c .【详解】由题意可得()()11f x f x -+=-+①；()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()02f f c =-=，令1x =，由②得()()312f f b c ==++，因为()()326f f -=，所以26b c c +++=，即24b c +=.令0x =，由①得()()()111020f f f b c =-⇒=⇒++=，解得8,6b c =-=，所以2b c +=-．故选：D ．2．C【分析】设()()20f x ax bx c a =++≠，根据题意求得()2f x x =，由()()1f p q f q ++=得到()221p q q ++=，设cos p q θ+=，sin q θ=，即cos sin p θθ=-，sin q θ=，利用三角函数的性质求最大值最小值即可.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()()()f x f y f xy =，令0y =，得()()()00f x f f =，故()00f =，所以0c =，令1y =，得()()()1f x f f x =，故()11f =，即1a b +=，又()24f =，即424a b +=，故1a =，0b =，所以()2f x x =，由()()1f p q f q ++=，得()221p q q ++=，设cos p q θ+=，sin q θ=，即cos sin p θθ=-，sin q θ=，则()22222cos sin 2sin 12sin cos p q θθθθθ+=-+=-+()22sin 1sin 21cos 2θθθ=-+-π2sin 2cos 222224θθθ⎛⎫⎡=--=-+∈+ ⎪⎣⎝⎭，所以222p q +的最大值与最小值之和为224+-，故选：C 3．ACD【分析】设()()20g x ax bx c a =++≠，根据已知条件求出a 、b 、c 的值，可得出函数()g x 的解析式，利用二次函数的基本性质可判断A 选项；利用函数奇偶性的定义可得出关于()f x 、()f x -的等式组，求出()f x 的解析式，求出()0f 的值，可判断B 选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C 选项；利用基本不等式求出()f x '的最小值，可判断D 选项.【详解】设()()20g x ax bx c a =++≠，由()()42g x g x -=-知函数()g x 的图象关于直线1x =-对称，即12ba-=-，解得2b a =.因为()g x x ≥，由题意可得()11g ≥，当()0,2x ∈时，()212x g x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则()11g ≤，所以()11g =，故1a b c ++=，即13c a =-，所以()()22130g x ax ax a a =++-≠.又()g x x ≥恒成立，即()221130ax a x a +-+-≥恒成立，于是()()20Δ214130a a a a >⎧⎪⎨=---≤⎪⎩，整理可得()2410a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得14a =，所以，()()22111114244g x x x x =++=+，则()()min 10g x g =-=，因此，函数()g x 的最小值为0，A 正确；因为函数()e x y f x =+为奇函数，则()()e e x xf x f x --+=--，①又因为函数()3e x y f x =-为偶函数，则()()3e 3e x xf x f x ---=-，②联立①②可得()e 2e x xf x -=-，于是，()01f =-，B 错误；于是，()e 2e 0x xf x -'=+>，即()f x 在R 上单调递增.注意到()0g x ≥，从而()()()01f g x f ≥=-，C 正确；由基本不等式可得()e 2e x x f x -≥'=+e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x '的最小值为D 正确，故选：ACD.4．BD【分析】设()()20f x ax bx c a =++≠，根据题意，求得()2f x x =，由()()1f p q f q ++=，得到()221p q q ++=，设cos ,sin p q q θθ+==，得到cos sin ,sin p q θθθ=-=，结合三角函数的性质，逐项计算，即可求解.【详解】设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，因为()()()f x f y f xy =，令0y =，可得()()()00f x f f =，故()00f =，所以0c =，令1y =，得()()()1f x f f x =，故()11f =，即1a b +=；又因为()24f =，即424a b +=，解得1,0a b ==，所以()2f x x =，由()()1f p q f q ++=，可得()221p q q ++=，设cos ,sin p q q θθ+==，即cos sin ,sin p q θθθ=-=，从而2cos sin sin 4p q πθθθ⎛⎫⎡+=++∈ ⎪⎣⎝⎭，故A 错误，B 正确；又由()()222222cos sin 2sin 12sin cos 2sin 1sin 21cos2p q θθθθθθθθ+=-+=-+=-+-π2sin 2cos 222224θθθ⎛⎫⎡=--=-+∈+ ⎪⎣⎝⎭，所以C 错误、D 正确．故选：BD ．5．214x +（答案不唯一）【分析】由已知得到函数的对称轴方程，从而得到0b =，由2y ax bx c =++与y x =联立方程消去y 整理成x 的一元二次方程，由Δ0=得到a c 、的关系，分别取值写出函数即可.【详解】已知()()20f x ax bx c a =++≠，∵()f x 的图象关于y 轴对称，∴对称轴02bx a=-=，∴0b =，∴()2f x ax c =+，联立2y ax c y x⎧=+⎨=⎩，整理得2ax c x +=，即20ax x c -+=，∵()f x 的图象与直线y x =相切，∴140ac ∆=-=，∴14ac =，当1a =时，14c =.∴满足条件的二次函数可以为()214f x x =+．故答案为：214x +.反思提升：求二次函数解析式的方法【考点3】二次函数的图象与性质一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2log 1a f x x ax =-+在区间1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值或最小值，则实数a 的取值范围为（）A ．1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,11,44⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭D ．()1,11,24⎛⎫⎪⎝⎭2．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程5ln 0x x ++=和5e 0x x ++=的解分别是α和β，则函数()()()f x x x αβ=++的单调递减区间是（）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],5-∞D ．[)5,+∞二、多选题3．（2023·湖南株洲·一模）已知sin15︒是函数()()43243210432104,,,,,0f x a x a x a x a x a a a a a a Z a =++++∈≠的零点，则下列说法正确的是（）A ．416a a =B ．()cos150f ︒=C ．()()f x f x -=D ．()min 3f x =-4．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数()()221f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则实数m 的值可以为（）A ．1-B ．12-C ．52D ．3三、填空题5．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数()()21,22,a x a x af x x a x a ⎧--<⎪=⎨--≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为．6．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数()()2lg 1f x x ax =++在区间(),2-∞-上单调递减，则a 的取值范围为．参考答案：1．B【分析】根据21y x ax =-+开口向上，故需21y x ax =-+在区间1,24⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，且0y >，从而得到不等式，求出答案.【详解】要使函数()f x 在区间1,24⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值或最小值，由于21y x ax =-+开口向上，故需函数21y x ax =-+在区间1,24⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，且0y >．该函数图像的对称轴为直线2ax =，所以20112421022a a a a aa >⎧⎪≠⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫-⋅+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得0114222a a a a >⎧⎪≠⎪⎪<<⎨⎪-<<⎪⎪⎩，所以122a <<，且1a ≠，即实数a 的取值范围为()1,11,22⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B ．2．A【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出αβ+即可作答.【详解】方程5ln 0x x ++=和5e 0x x ++=依次化为：ln 5x x =--和e 5x x =--，因此α和β分别是直线=5y x --与曲线ln y x =和e x y =的交点横坐标，而函数ln y x =和e x y =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，又直线=5y x --垂直于直线y x =，因此直线=5y x --与曲线ln y x =和e x y =的交点关于直线y x =对称，于是5αβ+=-，函数22()()5f x x x x x αβαβαβ=+++=-+，所以函数()f x 的单调递减区间是(5,2-∞.故选：A 3．ABC【分析】设0sin15x ︒=，由4200161610x x -+=可得()400021616f x x x a a a =-+，再根据选项依次判断正误即可.【详解】设()0s sin 45n 30i 15x ︒=︒-︒=，2024x =，2042x -=()220423x -=，即4200161610x x -+=，所以要使0x 为系数都是整数的整式方程的根，则方程必须包含因式4416161x x -+.由()43243210f x a x a x a x a x a =++++中x 的最高次数为4，sin15︒是它的一个零点，因此()()2443432100000242161611616f x x x x x a x a x a x a x a a a a a =-+=-=+++++，即40320116,0,160,a a a a a a ====-.对A 选项，4001616a a a a ==，是正确的；对B 选项，()()()()0002242216cos 16cos 14cos 232cos3030cos15151515f a a a ⎡⎤⎡⎤-+=--=-=⎢⎥︒⎣︒⎦︒︒⎦⎣=︒，是正确的；对C 选项，()()()402001616x x f x a a a ---+-==()042001616a a x a f x x -+=，是正确的；对D 选项，()()242000021616423f x a x x x a a a ⎡⎤-+-==-⎢⎥⎣⎦，当00a >时，()f x 最小值为03a -，当00a <时，()f x 无最小值，因此D 选项是错误的.故选：ABC .【点睛】关键点睛：本题解题关键在于将含有无理数的平方根式通过两次平方化成有理数，得到含有无理数解的有理数整式方程，从而得解.4．BD【分析】分别讨论0∆≤和0∆>两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.【详解】①当2(2)40m ∆=--≤，即04m ≤≤时，()()()222121f x x m x x m x =--+=--+，所以()f x 的对称轴为22m x -=，则()f x的图象如下：结合图象可知，要使函数()()221f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则2122m -≥或2122m -≤-，解得：3m ≥或1m £，即34m ≤≤或01m ≤≤；②当2(2)40m ∆=-->，即0m <或4m >，令()2()21h x x m x =--+，则()h x 的对称轴为22m x -=，则()h x 的图象如下：结合图象可知，要使函数()()221f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则12221(02m h -⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，或12221()02m h -⎧≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，或12221(02m h -⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，或12221()02m h -⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩解得：942m <≤，或102m -≤<，综上：392m ≤≤或112m -≤≤；故选：BD 5．[)1,0-【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】当0a ≥时，若x a <，可得()1f x ≥-；若x a ≥，()2f x ≥-，函数()f x 的值域不可能为R ；②当a<0时，2a a <，所以函数()f x 在(),a ∞-，[),+∞a 上单调递增，若函数()f x 的值域为R ，只需21a -≤-，可得10a -≤<．由上知，实数a 的取值范围为[)1,0-．故答案为：[)1,0-6．(5,2-∞【分析】将()()2lg 1f x x ax =++可看作由2lg ,1y u u x ax ==++复合而成，根据复合函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】设21u x ax =++，则()()2lg 1f x x ax =++可看作由2lg ,1y u u x ax ==++复合而成，由于lg y u =在(0,)+∞上单调递增，故要使得函数()()2lg 1f x x ax =++在区间(),2-∞-上单调递减，需满足0u >在区间(),2-∞-上恒成立，且21u x ax =++在区间(),2-∞-上单调递减，故()()2222210aa ⎧-≥-⎪⎨⎪-+-+≥⎩，解得52a ≤，故a 的取值范围为(5,]2-∞，故答案为：(5,2-∞反思提升：1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.3.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.4不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.【基础篇】一、单选题1．（2011·辽宁沈阳·一模）已知函数2()f x ax bx c =++，若a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数()()222mf x m m x =+-在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（）A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2024·全国·模拟预测）若函数2()(2)1f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则实数m 的取值范围为（）A ．19,13,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B ．19,23,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．19,13,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．19,23,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4．（2023·全国·模拟预测）已知集合12A x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}2Z 4B x x =∈<，则A B ⋂的子集的个数为（）A ．1B ．2C ．4D ．8二、多选题5．（2021·辽宁·模拟预测）已知函数()22,,,x x a x a f x x x a x a⎧-+≤=⎨+->⎩(即()2f x x x a =+-，x ∈R )则（）A ．当0a =时，()f x 是偶函数B ．()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数C ．设()f x 最小值为N ，则14N ≤D ．方程()1f x =可能有2个解6．（23-24高一上·浙江·期中）若实数1x ，2x ，3x 满足1233231x xx x ⋅=⋅=，则下列不等关系可能成立的是（）A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．321x x x <<D ．312x x x <<7．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（）A ．()53f x x=-B ．()2xf x =C ．()1f x x=D ．()132f x x =-三、填空题8．（2023·上海闵行·一模）已知二次函数()2f x ax x a =++的值域为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，则函数()2xg x a =+的值域为．9．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数()221f x x mx x =+-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是.10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知命题:p x ∃∈R ，使得2cos sin 1x x m ++>，若命题p 是假命题，则实数m 的取值范围是.四、解答题11．（2023·山东·一模）已知二次函数()f x 满足(0)1f =-，顶点为(1,2)-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 在区间[1,4]a -上单调递增，求实数a 的取值范围.12．（21-22高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数()()22722m f x m m x -=+-（m Z ∈）的定义域为R ，且在[)0,∞+上单调递增．(1)求m 的值；(2)[]1,2x ∀∈，不等式()320af x x -+>恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据条件确定0,0a c ><，从而抛物线开口向上，(0)0f c =<，通过排除法得出选项.【详解】由a b c >>且0a b c ++=0,0a c ><，所以函数()f x 是二次函数，图象开口向上，排除A ，C ；又(0)0f c =<，所以排除B ；只有D 符合.故选：D.2．A【分析】根据幂函数的定义，求得3m =-或1m =，结合幂函数的单调性，即可求解.【详解】由函数()()222mm m f x x =+-为幂函数，可得2221m m +-=，即2230m m +-=，解得3m =-或1m =，当3m =-时，函数()3f x x -=在()0,∞+上单调递减，符合题意；当1m =时，函数()f x x =在()0,∞+上单调递增，不符合题意.故选：A.3．C【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.【详解】令()()221g x x m x =--+，则21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,2210,2m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得392m ≤≤或112m -≤≤，即实数m 得取值范围为1[,1][3,]229- .故选：C ．4．B【分析】化简集合,A B ，求A B ⋂，再确定其子集个数.【详解】因为{}120A x y x x x -⎧⎫===>⎨⎬⎩⎭，{}{}2Z 41,0,1B x x =∈<=-，所以{}1A B ⋂=，所以A B ⋂有2个子集．故选：B ．5．ABD.【详解】A ：当0a =时，{22()x x x a x x x af x -≤+>=，，，即2()f x x x =+，所以22()()()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，故正确；B ：当x a ≤时，2()f x x x a =-+，()f x 的对称轴为12x =，开口向上，此时()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，当x a >时，2()f x x x a =+-，()f x 的对称轴为12x =-，开口向上，此时()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，综上，()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，故B 正确；C ：当x a ≤时，min 11()()24f x f a ==-，当x a >时，min 11()()24f x f a =-=--，因为不能确定a 的大小，所以最小值N 无法判断，故C 错误；D ：令22()=111f x x x a x x a ⇒-+=+-=、，当0a =时，{22()x x x a x x x af x -≤+>=，，，()=1f x 有2个解，故D 正确.故选：ABD 6．ABC【分析】将条件转化为123123x xx ==，在同一平面直角坐标系中作出函数2x y =，3x y =，1y x =的函数图象，判断他们与y m =有交点时横坐标的大小情况.【详解】实数1x ，2x ，3x 满足1233231x xx x ⋅=⋅=，∴30x ≠，123123x xx ==，如图在同一平面直角坐标系中作出函数2x y =，3x y =，1y x=的函数图象，再作直线y m =，变换m 的值发现，1x ，2x ，3x 的大小关系可能为321x x x <<，321x x x =<，231x x x <<，231x x x <=，213x x x <<，213x x x =<，123x x x <<，故A 、B 、C 正确，D 错误．故选：ABC ．7．AD【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.【详解】对于A ，()53f x x =-是奇函数，在其定义域上单调递减，故A 正确；对于B ，()2xf x =是在其定义域上单调递增的指数函数，故B 错误；对于C ，()()11,11f f -=-=，故()1f x x=在其定义域上不单调递减，故C 错误；对于D ，()132f x x =-是奇函数，在其定义域上单调递减，故D 错误.故选：AD.8．1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】由二次函数的值域为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，分析求出参数a ，然后代入()2xg x a =+中求出值域即可【详解】由二次函数()2f x ax x a =++的值域为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦得：20013113()24224a a f a a a a a <⎧<⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-+= ⎪ ⎪⎪⎩⎝⎭⎝⎭⎩解得：14a =-或1a =（舍去）所以()124xg x =-因为()111202444x xg x >⇒->-⇒>-所以函数()g x 的值域为：1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故答案为：1,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.9．[)2,-+∞【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数m 的不等式，解之即可.【详解】二次函数()()221f x x m x =++的图象开口向上，对称轴为直线22m x -=-，因为函数()f x 在区间[)2,+∞上是增函数，则222m --≤，解得2m ≥-.因此，实数m 的取值范围是[)2,-+∞.故答案为：[)2,-+∞.10．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】将问题转化为对x ∀∈R ，2cos sin 1m x x ≥++恒成立，进一步转化为不等式右边的最大值，再构造函数，利用二次函数可求得最大值，从而可得结果.【详解】因为命题p 是假命题，所以非p ：对x ∀∈R ，2cos sin 1m x x ≥++恒成立为真命题，设2cos sin 1y x x =++，则max m y ≥，因为2219sin sin 2(sin )24y x x x =-++=--+，且1sin 1x -≤≤，所以当1sin 2x =时，y 取得最大值94，所以94m ≥.故答案为：9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了命题的真假，考查了不等式恒成立问题，考查了二次函数求最大值，考查了同角公式，属于基础题.11．(1)2()21f x x x =--(2)[)2,5【分析】（1）由二次函数()f x 顶点为(1,2)-可设2()(1)2f x a x =--，由(0)1f =-即可求出a ，则求出()f x 的解析式.（2）根据二次函数()f x 的开口和对称轴即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）设2()(1)2f x a x =--，则由(0)1f =-得：21a -=-，1a ∴=，22()(1)221f x x x x ∴=--=--.（2）由（1）知2()21f x x x =--，开口向上，对称轴为1x =，则若函数()f x 在区间[1,4]a -上单调递增，需满足1411a a -<⎧⎨-≥⎩，25a ∴≤<，∴实数a 的取值范围为[)2,5.12．(1)1m =或3m =-(2)98a >【分析】（1）根据幂函数的性质求解即可.（2）首先根据题意转化为[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．再利用换元法求解即可.【详解】（1）22211m m m +-=⇒=或3m =-，又因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，1m =，()6f x x -=（舍），3m =-，()2f x x =.（2）[]1,2x ∀∈，2320ax x -+>恒成立，[]1,2x ∀∈，22321132x a x x x -⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．令11,12t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，()232g t t t =-，则()g t 在区间13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 3948g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故98a >．【能力篇】一、单选题1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若221a b +=，则()()4141a b++的最小值为（）A ．254B ．916C ．94D ．2516二、多选题2．（2023·河南·模拟预测）已知0x y >>，则（）A ．()()2222log 1log 1x y +>+B ．cos cos x y >C ．()()3311x y +>+D ．11e e x y -+-+>三、填空题3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）已知函数23,3()11,33x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的不等式(1)(2)f x f x -<-的解集为．四、解答题4．（2022·黑龙江鸡西·二模）已知幂函数()2()294mf x m m x =+-在(,0)-∞上为减函数.(1)试求函数()f x 解析式；(2)判断函数()f x 的奇偶性并写出其单调区间.参考答案：1．D【分析】令2a m =，2b n =，结合基本不等式可得104mn <≤，化简()()4141a b++可得()()()2414122ab mn mn ++=-+，转化为求关于mn 的二次函数在区间1(0,4上的最小值即可.【详解】不妨设2a m =，2b n =，则0m >，0n >，所以1m n =+≥12m n ==时取等号，即104mn <≤，当且仅当12m n ==时取等号，所以()()()()()()()2222222414111121a b m n mn m n mn m n mn ++=++=+++=++-+()()222211mn mn mn =-+=-+，（104mn <≤）所以当14mn =时，()222mn mn -+取得最小值2516，故选：D ．2．AC【分析】根据对数函数的单调性可判断A ；根据余弦函数的单调性可判断B ；根据幂函数的单调性可判断C ；根据指数函数的单调性可判断D.【详解】对于A ，由0x y >>，得2211x y +>+，又()2log f t t =单调递增，所以()()2222log 1log 1x y +>+，故A 正确；对于B ，由于()cos g t t =在()0,∞+上不单调，所以cos x 与cos y 的大小关系无法确定，故B 错误；对于C ，由x y >，得11x y +>+，又()3h t t =单调递增，所以()()3311x y +>+，故C 正确；对于D ，由x y >，得11x y -+<-+，又()e tt ϕ=单调递增，所以11e e x y -+-+<，故D 错误．故选：AC ．3．(),0∞-【分析】分析函数()f x 的性质，借助函数单调性和代入求解不等式作答.【详解】当3x ≤时，2()3f x x x =-在3(,2-∞上单调递减，在3[,3]2上单调递增，当3x >时，1()13f x x =-是增函数，且1310(3)3f ⨯-==，因此函数()f x 在3(,]2-∞上单调递减，在3[,)2+∞上单调递增，而12x x -<-，则当312x -≥，即12x ≤-时，恒有(1)(2)f x f x -<-成立，则12x ≤-，当12x >-时，5232x -<≤，不等式化为22(1)3(1)(2)3(2)x x x x ---<---，解得0x <，则102x -<<，所以不等式(1)(2)f x f x -<-的解集为(),0∞-.故答案为：(),0∞-4．(1)5()f x x -=(2)奇函数，其单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞【分析】（1）根据幂函数的定义，令22941m m +-=，求解即可；（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.【详解】（1）由题意得，22941m m +-=，解得12m =或5m =-，经检验当12m =时，函数12()f x x =在区间(,0)-∞上无意义，所以5m =-，则5()f x x -=.（2）551()f x x x -==，∴要使函数有意义，则0x ≠，即定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，其关于原点对称.5511()()()f x f x x x -==-=-- ，∴该幂函数为奇函数.当0x >时，根据幂函数的性质可知5()f x x -=在(0,)+∞上为减函数，函数()f x 是奇函数，∴在(,0)-∞上也为减函数，故其单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞.【培优篇】一、单选题1．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知函数()e ,02,0x x f x x x ⎧≤=⎨⎩＞，()22g x x x =-，记函数()()()F x g f x m =-，若函数()F x 恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12324x x x -+的最大值为（）A ．1ln3-B ．1ln3+C ．3ln3-D ．3ln3+二、多选题2．（2024.浙江.模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，且0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x (1)-012…y…m22n…且当32x =时，对应的函数值0y <.下列说法不正确的有（）A ．0abc >B ．1009mn >C ．关于x 的方程20ax bx c ++=一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在12-和0之间D ．()112,P t y +和()222,P t y -在该二次函数的图象上，则当实数12t <时，12y y >三、填空题3．（22-23高一下·福建福州·期中）已知函数2,01()3,1x x x f x x ⎧<<=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得21()3()f x f x =，则12()x f x ⋅的取值范围是．参考答案：1．C【分析】根据已知条件画出函数图像，得到()g x 与y m =的交点的横坐标一个在(]0,1上，另一个在()1,+∞上，转化为研究()ln 34h x x x =-+，01x <<的最值问题，利用导数研究即可解决.【详解】由()f x 的解析式，可知()f x 在(],0-∞上单调递增，且值域为(]0,1，在()0,∞+上单调递增，且值域为()0,∞+，函数()f x 的图像如图所示，所以在()f x 的值域(]0,1上，任意函数值都有两个x 值与之对应，在值域()1,+∞上，任意函数值都有一个x 值与之对应.要使()()()F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则()g x 与y m =的交点的横坐标一个在(]0,1上，另一个在()1,+∞上，由()22g x x x =-的图像开口向上且对称轴为1x =，易知10m -<<，此时()()12g t g t m ==，且1212012,2t t t t <<<<+=，结合()f x 的图像及123x x x <<，得12132e 2,2xx t x t ===，则121123ln ,,22t t x t x x ===，所以()123112111124ln 2ln 22ln 34x x x t t t t t t t t -+=-+=-+-=-+，且101t <<，令()ln 34h x x x =-+，01x <<，则()1133xh x x x-=-='.当103x <<时，()()0,h x h x '>单调递增；当13x >时，()()0,h x h x '<单调递减.所以max 1()3ln33h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故12324x x x -+的最大值为3ln3-.【点睛】思路点睛：本题考查函数与导数的综合问题.复合函数要层层分析，通过图像加以辅助，多变量问题要寻找变量之间的关系，实现消元，从而解答.2．BCD 【分析】先根据二次函数图象上的点求得2b a c =-⎧⎨=⎩，再由当32x =时，对应的函数值0y <求得83a <-，从而求得<0abc ，判断A ，求出()241mn a =+后求解范围判断B ，根据抛物线的对称性及函数过点()0,2得函数零点范围即可判断C ，由12y y >列不等式求解12t <判断D.【详解】将()()0,2,1,2代入2y ax bx c =++得22a b c c ++=⎧⎨=⎩，解得2b ac =-⎧⎨=⎩，所以二次函数22y ax ax =-+，当32x =时，对应的函数值0y <，所以932042a a -+<，解得83a <-，所以83b a =->，所以0.0,0a b c >，所以<0abc ，故A 错误；当=1x -时，222m a a a =++=+，当2x =时，42222n a a a =-+=+，所以()()222241mn a a =+=+，因为83a <-，所以1009mn >，故B 正确；因为二次函数22y ax ax =-+过()()0,2,1,2，所以其对称轴为12x =，又当32x =时，对应的函数值0y <，根据二次函数的对称性知，当12x =-时，对应的函数值0y <，而当0x =时，20y =>，所以二次函数与x 轴负半轴的交点横坐标在12-和0之间，所以关于x 的方程20ax bx c ++=一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在12-和0之间，故C 正确；因为()112,P t y +和()222,P t y -在该二次函数的图象上，所以()()21222y a t a t =+-++，()()22222y a t a t =---+，若12y y >，则()()()()22222222a t a t a t a t +-++>---+，因为a<0，所以()()()()222222t t t t +-+<---，解得12t <，故D 正确.故选：BCD3．[9,)∞⎛⋃+ ⎝⎭【分析】由分段函数解析式，可分1201x x <<<、1201x x <<≤、121x x ≤<三种情况分别写出1()f x 与2()f x ，结合21()3()f x f x =，可得12()x f x ⋅关于1x 的表达式，再由函数的单调性求解12()x f x ⋅的取值范围．【详解】当1201x x <<<时，则21()3()(0,1)f x f x =∈，31/31可得11()(0,)3f x ∈，即211(0,)3x ∈，求得1x ∈，则312111()3()3x f x x f x x ⋅=⋅=，函数3y x =在(0,1)上递增，∴3121()3(0,)3x f x x ⋅=∈；当1201x x <<≤时，2112()(0,1),()3[3,)x f x x f x ∞=∈=∈+，21()3()f x f x ∴>，可知不存在1201x x <<≤，使得21()3()f x f x =；当121x x ≤<时，则1212()3,()3x x f x f x ==，由21()3()f x f x =，得112111()3()33x x f x x f x x ⋅=⋅=⋅，令()33xg x x =⋅，[1,)x ∈+∞，则1122111222()333()33x x x x g x x x g x x x -⋅==⋅⋅，121x x ≤<Q ，∴11221,0x x x x <-<，∴1231x x -<，则121231x x x x -⋅<，即12()()<g x g x ，∴函数()33x g x x =⋅在[1,)+∞上单调递增，可得()(1)9g x g ≥=，即()12[9,)x f x ⋅∈+∞．综上所述，12()x f x ⋅的取值范围是[9,)3∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：[9,)3∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点睛：本题的关键通过分1201x x <<<、1201x x <<≤以及121x x ≤<进行讨论，通过构造函数利用其单调性得到范围.。