福建省福州市八县(市)一中联考2017届高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2}2．已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的共轭复数为﹣1﹣2iB．z的虚部为2iC．|z|=5D．z在复平面内对应的点在第三象限3．函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是（）A．B．C．D．4．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2 D．45．下列命题中正确的是（）A．命题p：“∃x0∈R，”，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0B．“lna＞lnb”是“2a＞2b”的充要条件C．命题“若x2=2，则或”的逆否命题是“若或，则x2≠2”D．命题p：∃x0∈R，1﹣x0＜lnx0；命题q：对∀x∈R，总有2x＞0；则p∧q是真命题6．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于（）A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m7．已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=﹣8，b2+b5+b8=6π，则的值是（）A．B．C． D．8．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在方向上的投影为（）A．B． C．D．9．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=cos（x+）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x10．已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n是函数f（x）=x2﹣b n x+2n的两个零点，则+1b10等于（）A．24 B．32 C．48 D．6411．已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则方程f（x）=log6（x﹣3）在（0，+∞）解的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．312．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则=．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若，则d的值为．15．在△ABC中，，sinB=cosAsinC，E为线段AC的中点，则的值为．16．对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）=x2，g（x）=2x﹣2；②，g（x）=x+2；③f（x）=e﹣x，；④f（x）=lnx，g（x）=x．则在区间（0，+∞）上存在唯一“友好点”的是．（填上所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．设命题p：函数f（x）=lg（﹣mx2+2x﹣m）的定义域为R；命题q：函数g（x）=4lnx+﹣（m﹣1）x的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx+m（ω＞0，x∈R，m是常数）的图象上的一个最高点，且与点最近的一个最低点是．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac，求函数f（A）的值域．19．已知函数f（x）=（2x2﹣3x）•e x（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若方程（2x﹣3）•e x=有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．20．如图，在△ABC中，AB=2，3acosB﹣bcosC=ccosB，点D在线段BC上．（Ⅰ）若∠ADC=，求AD的长；（Ⅱ）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．21．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+2S n=2n+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：．22．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f （x2）|成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年福建省福州市八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2}【考点】并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．2．已知复数，则下列说法正确的是（）A．z的共轭复数为﹣1﹣2iB．z的虚部为2iC．|z|=5D．z在复平面内对应的点在第三象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数===﹣1+2i，∴=﹣1﹣2i．故选：A．3．函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项．【解答】解：﹣＜x＜时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx∈（0，1]，函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）是偶函数，cosx∈（0，1]时，f（x）≥0．∴四个选项，只有C满足题意．故选：C．4．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2 D．4【考点】定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．5．下列命题中正确的是（）A．命题p：“∃x0∈R，”，则命题¬p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0B．“lna＞lnb”是“2a＞2b”的充要条件C．命题“若x2=2，则或”的逆否命题是“若或，则x2≠2”D．命题p：∃x0∈R，1﹣x0＜lnx0；命题q：对∀x∈R，总有2x＞0；则p∧q是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于A，特称命题的否定，先换量词，再否定结论；对于B，利用自然对数的定义及性质判定；对于C，“且”的否定时“或”；对于D，当命题p和q都真，p∧q是真．【解答】解：对于A，特称命题的否定，先换量词，再否定结论，小于的否定是大于或等于，故A错；对于B利用自然对数的定义及性质要求a＞b＞0，可是由2a＞2b；只能得到a＞b，不一定大于0，故B错；对于C，“且”的否定时“或”，故C错；对于D，命题p中，如x0=2等成立，命题q 显然成立，当命题p和q都真，p∧q是真，故D为真命题．故选：D．6．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于（）A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m【考点】解三角形的实际应用．【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中用AB表示出BC，BD，作差建立方程求得AB．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AB，在Rt△ABD中，BD=AB，又BD﹣BC=10，∴AB﹣AB=10，AB=5（+1）（m），故A点离地面的高AB为5（+1）m，故选D．7．已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1•a5•a9=﹣8，b2+b5+b8=6π，则的值是（）A．B．C． D．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等比数列和等差数列的性质可知：a5=﹣2，b5=2π，=cos=cos（﹣）=﹣．【解答】解：由数列{a n}是等比数列，由等比数列的性质可知：a1•a9=a3•a7=，则a1•a5•a9=﹣8，即=﹣8，∴a5=﹣2，数列{b n}是等差数列，由等差数列的性质可知：b2+b8=4+b6=2b5，b2+b5+b8=6π，即3b5=6π，b5=2π，∴=cos=cos（﹣）=﹣cos=﹣，故选C．8．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则向量在方向上的投影为（）A．B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可得出△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，∠ACB=30°，这样便可求出向量在方向上的投影．【解答】解：根据条件，O为△ABC的外心；∴AO⊥BC，且AO平分BC，如图所示，则：AB=AC；；∴△ABO为等边三角形，∠BAO=60°；∴AB=AC=1，∠BAC=120°；∴∠ACB=30°；∴在方向上的投影为．故选C．9．若函数f（x）同时满足以下三个性质；①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）=f（﹣x）；③f（x）在（，）上是减函数．则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=cos（x+）B．f（x）=sin2x﹣cos2xC．f（x）=sinxcosx D．f（x）=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象．【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可．【解答】解：根据题意，函数应满足：①f（x）的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f（x﹣）+f（﹣x）=0，用x+替换式中的x可得f（x﹣）+f（﹣x﹣）=0，即函数的图象关于点（﹣，0）对称；③f（x）在（，）上是减函数；对于A，f（x）=cos（x+）的周期为T=2π，不符合①，故不满足题意；对于B，f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），不符合②，故不满足题意；对于C，f（x）=sinxcosx=sin2x，不符合②，故不满足题意；对于D，f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），符合①②③，满足题意．故选：D．10．已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，且a n，a n是函数f（x）=x2﹣b n x+2n的两个零点，则+1b10等于（）A．24 B．32 C．48 D．64【考点】数列与函数的综合；函数的零点．【分析】由韦达定理，得出，所以，两式相除得=2，数列{a n}中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列．求出a10，a11后，先将即为b10．【解答】解：由已知，，所以，两式相除得=2所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列．而a1=1，a2=2，所以a10=2×24=32．a11=1×25=32，=b n，又a n+a n+1所以b10=a10+a11=64故选D11．已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则方程f（x）=log6（x﹣3）在（0，+∞）解的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据已知，在同一坐标系中做出：函数f（x）的图象与y=log6（x﹣3）的图象，分析两函数交点的个数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：函数f（x）的图象与y=log6（x﹣3）的图象有4个交点，故方程f（x）=log6（x﹣3）在（0，+∞）有4个解，故选：C12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g （m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则=．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用已知条件求出θ的正切函数值，通过诱导公式化简所求表达式即可求出结果．【解答】解：∵角θ的顶点坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，∴可得tanθ=3．∴则====．故答案为：．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若，则d的值为．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的前n项和公式和已知条件推知a2017﹣a17=200，故2016d﹣16d=200，由此求得d的值．【解答】解：∵S2017=，S17=，∴由，得﹣=100，则a2017﹣a17=200，∴2016d﹣16d=200，解得d=．故答案是：．15．在△ABC中，，sinB=cosAsinC，E为线段AC的中点，则的值为﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由sinB=sin（A+C）便可得出cosC=0，进而得出，画出图形，从而得到，，这样代入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC；∴sinAcosC=0；∴cosC=0，，如图：===﹣1．故答案为：﹣1．16．对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）=x2，g（x）=2x﹣2；②，g（x）=x+2；③f（x）=e﹣x，；④f（x）=lnx，g（x）=x．则在区间（0，+∞）上存在唯一“友好点”的是①④．（填上所有正确的序号）【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据“友好点”的定义，分别进行判断即可．【解答】解：①f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，∴要使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，则只有当x0=1时，满足条件，∴在区间（0，+∞）上的存在唯一“友好点”，∴①正确．②g（x）﹣f（x）=x﹣+2=，∴不存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，∴函数不存在“友好点”，∴②错误．③设h（x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x+则函数h（x）在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0不唯一，∴③不满足条件，∴③错误．④h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx，（x＞0），h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1﹣0=1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴当x0=1时，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④满足条件．故答案为：①④．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．设命题p ：函数f （x ）=lg （﹣mx 2+2x ﹣m ）的定义域为R ；命题q ：函数g （x ）=4lnx +﹣（m ﹣1）x 的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，命题p ，q 一真一假，进而可得满足条件的m 的取值范围． 【解答】（本小题满分10分） 解：若p 为真命题，则﹣mx 2+2x ﹣m ＞0恒成立，即mx 2﹣2x +m ＜0恒成立．… 当m=0时，不等式为﹣2x ＜0，解得x ＞0，显然不成立；当m ≠0时，，解得m ＜﹣1．∴若p 为真命题，则m ＜﹣1．…若q 为真命题，则当x ＞﹣1时，，，∵，当且仅当x=1时取等号，∴m ＜3．…∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，∴p 真q 假或p 假q 真．…若p 真q 假，则，∴m ∈∅；若p 假q 真，则，∴﹣1≤m ＜3．综上所述，实数m 得取值范围为m ∈[﹣1，3）．…18．已知函数f （x ）=sin ωx ﹣cos ωx +m （ω＞0，x ∈R ，m 是常数）的图象上的一个最高点，且与点最近的一个最低点是．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ac ，求函数f（A ）的值域．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）化简即可得出，根据相邻的最高点和最低点分别为便可求出f （x ）的周期，进而求出ω=2，并得出m=﹣1，从而求出f （x ）=，从而可求出f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）根据数量积的计算公式便可求出cosB=，从而得出B 的值，进而得出A +C=，从而有，这样即可求出f （A ）的值域．【解答】解：（Ⅰ）=；∵点，点分别是函数f（x）图象上相邻的最高点和最低点；∴，且；∴ω=2，m=﹣1；∴；∴令，解得；∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）∵在△ABC中，；∴；∴；∵0＜B＜π，∴；∴；∴，∴，；∴；∵，∴﹣2＜f（A）≤1；∴f（A）的值域为（﹣2，1]．19．已知函数f（x）=（2x2﹣3x）•e x（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若方程（2x﹣3）•e x=有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的导数，利用导数小于0，求解单调递减区间；（Ⅱ）分离变量，通过函数的图象的交点个数，判断零点个数，利用单调性求解函数的极值，推出结果即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可得：f′（x）=（2x2+x﹣3）•e x…令f′（x）＜0，得2x2+x﹣3＜0，解得：…∴函数f（x）的单调递减区间是．…（Ⅱ）∵方程有且仅有一个实根∴方程（2x2﹣3x）•e x=a有且仅有一个非零实根，即方程f（x）=a，（x≠0）有且仅有一个实根．因此，函数y=f（x），（x≠0）的图象与直线y=a有且仅有一个交点．…结合（Ⅰ）可知，函数f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是∴函数f（x）的极大值是，极小值是f（1）=﹣e．…又∵且x＜0时，f（x）＞0．∴当或a=0或a=﹣e时，函数y=f（x），（x≠0）的图象与直线y=a有且仅有一个交点．…∴若方程有且仅有一个实根，实数a的取值范围是．…20．如图，在△ABC中，AB=2，3acosB﹣bcosC=ccosB，点D在线段BC上．（Ⅰ）若∠ADC=，求AD的长；（Ⅱ）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得3sinAcosB=sinA，结合sinA＞0，可求，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而可求，由正弦定理即可求得AD的值．（Ⅱ）设DC=a，则BD=2a，利用已知及三角形面积公式可求a，利用余弦定理可求AC，由正弦定理可得，结合sin∠ADB=sin∠ADC，即可求值得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵3acosB﹣bcosC=ccosB，∴3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，3sinAcosB=sin（B+C），∵B+C=π﹣A，∴3sinAcosB=sinA，∵A∈（0，π），∴sinA＞0，．…∵B∈（0，π），∴．…∵，∴，在△ABD中，由正弦定理得，，∴，．…（Ⅱ）设DC=a，则BD=2a，∵BD=2DC，△ACD的面积为，∴，∴，∴a=2．…∴，由正弦定理可得，∴．，∴，∵sin∠ADB=sin∠ADC，∴．…21．已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+2S n=2n+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：．【考点】数列递推式． 【分析】（Ⅰ）由a n +2S n =2n +2，利用递推关系可得：3a n =a n ﹣1+2，变形为，再利用等比数列的通项公式即可得出．（II ）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．【解答】（Ⅰ）解：∵a n +2S n =2n +2，令n=1，得．由a n +2S n =2n +2得 n ≥2时，a n ﹣1+2S n ﹣1=2（n ﹣1）+2， 两式相减得；3a n =a n ﹣1+2，∴，∴数列{a n ﹣1}是以首项为，公比为的等比数列，∴，∴．（Ⅱ）证明：∵=，∴===．22．已知函数f （x ）=（2﹣a ）lnx ++2ax （a ≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f （x ）的极值；（Ⅱ）当a ＜0时，讨论f （x ）的单调性； （Ⅲ）若对任意的a ∈（﹣3，﹣2），x 1，x 2∈[1，3]，恒有（m +ln3）a ﹣2ln3＞|f （x 1）﹣f （x 2）|成立，求实数m 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f （x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．2016年12月10日。