第二学期《高等数学B2 》期末试卷

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西北工业大学《高等数学2B》2019-2020学年第二学期期末试卷

.
∫∫ 5. 设曲面 Σ 是圆锥面=z x2 + y2 ( 0 ≤ z ≤ 2) , 则曲面积分 z dS 的值为 Σ
.
二、选择题（共 15 分，每小题 3 分）
1. 下列级数中收敛的是 (
)．
∞
∑ (A) (−1)n n=1
∑ (B) ∞ tan π
n=3 n
∑∞ 4n −1
(C) n=1 n2 + n
2
2
的曲线段.
= 解: P
x= x2 ++ yy2 , Q
y x2
+= − yx2 , 则 ∂∂Py
x= 2( x−22+xyy 2−)2y 2
∂Q , 故曲线积分与路径无关, ∂x
选取= 圆弧 C : x π= cosθ , y π sinθ , θ: π → 0, 则
2
2
∫ ∫ L
(x
+
y)dx x2
六、证明题(本题 5 分)
设常数 a
>
0, 对 ∀ n ∈ N+ ,
un
>
0,
vn
>
0,
且
vn
un un+1
− vn+1
≥
a.
∞
∑ 证明: 级数 un 收敛.
n=1
证明:
vn
un un+1
−
vn+1
≥
a
>
0
即
unvn − un+1vn+1 ≥ a > 0 , un+1
于是
unvn − un+1vn+1 > 0,

@高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ρ，)4,3,2(=b ρ，)2,1,1(-=c ρ，则.)(c b a ρρρ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。

高数b2期末考试试题及答案

高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。

A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。

∑(1/n^2)，n从1到∞。

A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。

A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。

A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。

答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。

答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。

答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。

答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。

经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。

答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。

答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。

高等数学(B2)期末模拟试卷(一)与答案

高等数学（ B2）期末模拟试卷（一）题号一二三五六七总分23四14得分一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3，共 30）:1.z1y 2 ln( x 2 y 2 1) ，其定义域为 ----------------------------------（A ）.4x 2A ( x, y)1 x 2y 2 4B ( x, y) 1 x 2 y 2 4C ( x, y)1 x 2 y 2 4D ( x, y)1 x 2y 24 .2. 设 z x y ，则 dz --------------------------------------------------------------------------（D ）.A x y ln xdx yx y 1dyB yx y 1dx x y dyCyx y 1 ln xdx x y ln xdyDyx y 1 dx x y ln xdy .3. x 2 y21绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（C ）.由椭圆1625A 252dxB 45 y2dx24442dy .y 0Cx 2dyDx4. 设 a(1, 2, 3) ， b (2, 3, 4) ， c(1, 1, 2) ，则 (a b ) c. 为 --------------------（A ）.A 5B1C1D 5 .5. 设: 2x 3 y 4z 50 ， L :x1y z 1 ，则与直 L 的关系为 ---（ A ）.2 3 4A L 与垂直B L 与斜交C L 与平行D L 落于内.6. 若 D (x, y)x 2, y 4 ， D 1 ( x, y) 0 x 2,0y4 , f ( x 2 y 2 ) 为 D 上的连续函数，则f ( x 2y 2 ) d 可化为 ----------------------------------------------------（ C ）.DAf ( x 2y 2 )dB 2f ( x 2y 2 )dD 1D 1C 4f ( x 2y 2 )dD 8f ( x 2y 2 )d .D 1D 17. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.Ay cx e xBy c 1 e c 2 x xC y c 1 e xc 2 xD y c 1 c 2 (x e x ) .8. 下列哪个级数收敛 ---------------------------------------------------------------------------（D ）.A( 1) nB1 n 1C1 n nD100 .n 1n100n100n 1 n 1009. 若d4，其中 D:0xa, 0yax ，则正数 a ---------------------（ B ）.D243A 2 3B 2C 2 3D 22.10. 若幂级数a n (x 1)n 在 x3处条件收敛，则其收敛半径为----------------- （ B ） .n 1A 1B2C 3D 4 .二、计算题（本大题共 4 小题，每题 7 ，共 28 ）:1. 设 zf (u, v) 具有二阶连续偏导数，若zz 2zf (sin x, cos y) ，求 ,.xx y解：z c o sxf 1 ,2z( z ) cos xf 12( sin y)sin y cos xf 12 .xx yy x2. 设 zsin(x 2y 2 ) ，求zdxdy. D :2x 2 y 24 2 .D解：zdxdy = (cos 2cos42 )D3. 设曲线 ye 2 x ， y ln( x 1) 与直线 x 1 及 y 轴所围成的区域为 D ，求D 的面积.解D 的面积=1( e 2 1) 2ln 2 .24. 解微分方程 x dyyx 2 e x .解：dy1 y dxxe xdxxP( x)1, Q (x) xe xxP(x)dxln x ，Q(x)e P( x) dxdxxexeln xdxex故通解为 yx( e x C)y三、计算题（本题 9 ）设 I2dy2ysin x xdx ，（ 1）改变积分次序；（2）计算 I 的值 .解： I2dyy 2ysin xdxxx2 dx 2 2xsin xdy x2sin x ( x2x 2 )dx 12x四、证明题（本题 8 ）求证：曲面xyza 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（ x 0 , y 0 , z 0 ）且设 F ( x, y, z)x yza ，则切平面方程为：1 ( x x 0 )1 ( y y 0 )1(zz 0 )2 x 0 2 y 02 z 0令 y z 0 可得：切平面在 x 轴上的截距为x 0 x 0 y 0 x 0 z 0 x 0 a同理可得：切平面在 y, z 轴上的截距分别为 y 0 a, z 0 a ,因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于x 0 ay 0 az 0 aa 。

高等数学(B2)期末模拟试卷及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。

高数B2期末综合复习题

高等数学B2 期末复习题一、填空选择题 1．(,)(1,2)limx y xyx y →=+2. ①函数33z x y =+,则_________=dz . ②y x z ln 2+=，则_________=dz .3. ①微分方程230y y y '''--=的通解为．②微分方程0=+''y y 的通解为______________. ③差分方程021=-+t t y y 的通解____________.4. 设,y z x x =+则22zy∂=∂.5. ①二重积分4d Dσ⎰⎰=，区域{}(,)01,01D x y x y =<<<<.②设二次积分⎰⎰=13),(ydx y x f dy I ，改变积分次序后为_________________.③交换积分次序__________),(210==⎰⎰x xdy y x f dx I . ♍交换积分次序并计算二重积分211d d y xx e y ⎰⎰6. 级数1nn u∞=∑收敛， lim n n u →∞= .7.函数)2)(1(),(+-=y x y x f 的驻点是____________.8.①下列级数中绝对收敛的是( ) A.∑∞=-0)1(n nB.∑∞=-11)1(n nn C.n n n 1)1(1∑∞=- D.211)1(n n n ∑∞=-②已知幂级数∑∞=-0)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则它在2=x 处( )A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定二、计算题1．①2,xyz y e =+求,.z z x y∂∂∂∂ ② 设)ln(2sin 22y x y x z +-=，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,2. ①设sin u z e v =，,u xy v x y ==+，求,.z z x y∂∂∂∂②设f 具有一阶连续偏导数，),(22xy e y x f z -=，求,.z z x y∂∂∂∂3. ①设(,)z z x y =由隐函数21z xz xy -+=确定，求.z x∂∂ ②已知方程z y x e z =++32所确定的函数(,)z z x y =，求,.z z x y∂∂∂∂ ③设隐函数),(y x z z =由12++=+y xz xy e z 所确定，求,.z z x y∂∂∂∂4. ①求方程x e dxdy y sin -=的通解. 5. 求方程21yy x x '-=+的通解.②求方程21yy x x'-=+的通解.③求方程x xe y y y =+'-''2的通解.三、解答题 1.① 计算二重积分d d Dxy x y ⎰⎰ ，D 是由,0,1y x y x ===所围的平面区域.②计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是由2+=x y 和抛物线2x y =所围的平面区域.2.①计算二重积分22()d d Dx y x y +⎰⎰, 其中22{(,)4}D x y x y =+≤. ②计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22, 其中}0,1|),{(22≥≤+=x y x y x D .③计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x )2(, 其中}2|),{(22x y xy x D ≤+=.3.①判定级数2113n n n ∞+=∑的敛散性. 4. ①将1()12f x x =+展开成x 的幂级数.②判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的敛散性 ②将xx f +=21)(展开成x 的幂级数. ③判定级数∑∞=1!3n n n nn 的敛散性 ③将函数x x f -=31)(展开成1-x 的幂级数，并求其收敛区间。

《高等数学B2》期末复习

3 10
第七章微分方程例2 微分方程
dy 1 x y 2 xy 2的通解是（ dx
dy 1 y 2 (1 x)dx
）
dy (1 x)(1 y 2 ) dx
（可分离变量类型）
x2 arctany x c 2 x2 y tan( x c) 为通解 2
x 2 [ x cos x cos xdx c]
x [ x cos x sin x c]
cos x sin x 2 c x x
2
由 y x
2
4

2
c 0,
微分方程的特解为
cos x sin x y 2 x x
例7 求微分方程 y y 2 y 2e x 的通解解对应的齐次线性微分方程为 y y 2 y 0
特征方程为 r 2 r 2 0 , (r 2)(r 1) 0 特征方程的根为 r 1 , r 2 齐次线性微分方程的通解为 Y ( x) c1e x c2e2 x 因 1 不是特征方程的根，所以令原方程特解 y* ( x) aex , 代入，得 a 1 , y* ( x) e x , 所求的通解为 y Y ( x) y ( x) c1e c2e e (c1 , c2 R)
2 dx x
2

2 sin x P( x) , Q( x) x x
2
sin x x dx [ e dx c] 通解为 y e x sin x 2 ln x 2 ln x e [ e dx c] x 2 [ x sin xdx c] x
x 2 [ x sin xdx c] x 2 [ xd cos x c]

高等数学B(二)B期末考卷及解答海大

高等数学B（二）试卷B一、解答下列各题(本大题共13小题，总计59分)1、(本小题2分),。

=ln()2，求z zz xyx y2、(本小题2分)设z x y x,。

=+()arctan，求z zx y3、(本小题4分)设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。

4、(本小题5分)过z 轴及点M (,,)447-，作一平面，求它的方程。

5、(本小题5分)计算二重积分6、(本小题5分)求曲面e e e xz yz +=-22在点(,,)--112处的切平面和法线方程。

7、(本小题5分)求函数z x y xy y=-+++2322的极值。

8、(本小题5分)计算二重积分其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。

9、(本小题6分)设a=2,b=3，求a b a b⨯+⋅22()。

10、(本小题6分)求微分方程满足初始条件的解：''-'-=='=⎧⎨⎩y y y y y 200105(),()二、解答下列各题(本大题共2小题，总计10分) 1、(本小题5分)曲线上任意一点的矢径长等于夹在曲线和ox 轴之间的法线长，求此曲线.2、(本小题5分)证明：l x y z y z 1010:++=++=⎧⎨⎩与l x z x y 21010:++=++=⎧⎨⎩垂直。

三、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、(本小题5分)判别∑∞=+132)1(3cosn n n n π的敛散性。

2、(本小题5分)横截面为半圆形的圆柱形的张口容器，其表面积等于S ，当容器的断面半径与长度各为多大时，容器具有最大容积？3、(本小题5分)判别∑∞=+-1)2ln(1)1(n nn 的敛散性，若收敛，说明是条件收敛，还是绝对收敛？四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)nn n nn x4)1(1⋅-∑∞=2、(本小题6分) 设()xe xf =，试求函数关于()1+x 的幂级数。

《高等数学B2》本科期末考试试卷(A卷)

西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷）L L三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分）1、求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。

2、设22(,),z f x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2zx y∂∂∂。

3、求函数4242z x xy y =-+的极值。

4、计算|1|DI x y dxdy =+-⎰⎰，其中[0,1][0,1]D =⨯。

5、把二次积分4220)dx x y dy +⎰化为极坐标形式，并计算积分值。

6、求幂级数1(2)3nnn x n ∞=-∑g 的收敛半径与收敛域。

………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………7、计算曲线积分423(23)(4)Lxy y dx x xy dy -++-⎰，其中L 是在圆周y =上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。

8、计算曲面积分223()2xy dydz xy z dzdx xydxdy ∑+-+⎰⎰Ò，其中∑是曲面222()z x y =+与平面4z =所围成的立体Ω的边界曲面，取外侧。

西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷（A 卷）参考答案及评分细则一、选择题（每小题3分，共15分）1、B ；2、D ；3、B ；4、A ；5、B ；二、填空题（每小题3分，共15分）1、ln 2；2、1ln y yyx dx x xdy -+；3、111123x y z ---==；4、(2,6,1)--；5、cos cos P Q αβ+；三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、解：令222(,,)14F x y z x y z =++-，000000000000(,,)2,(,,)2,(,,)2x y z F x y z x F x y z y F x y z z ===在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r000123x y z k ===令，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分，在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分，在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。

淮海工学院13-14-1高等数学B2期末试卷答案与评分标准

第１页共3页淮海工学院13 – 14学年第一学期高等数学B （2）期末试卷答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1．向量)0,1,1(-=a，)1,0,1(-=b 所成夹角为--------------------------（C ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π2．由21(),0n y x n Z y -+=∈=及1=x 所围图形的面积为-----------------------------（B ）（A ）121n + （B ）12n （C ）121n - （D ）1n3．设(2,2),xf x y x y y+-=- 则(3,1)f -=----------------------------- (A)(A) 1- (B) 12- (C) 1- (D) 14-4．)tan()1(),(2222y x y y x y x f +-+=，则(,1)xx f x =-----------------------------（B ）（A ）1（B ）2 （C ）x （D ）x 25．二次积分⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(的另一种积分次序为----------------------（B ）（A ） x d y x f dy ye e ⎰⎰10),( （B ） x d y x f dy eey ⎰⎰1),(（C ） x d y x f dy ee ey⎰⎰1),( （D ） x d y x f dy e eey ⎰⎰1),(6．6．22781(21)(1)x y x y d σ+≤++=⎰⎰------------------------------------------------------------（D ）（A ）0 （B ） π （C ）2π （D ）7．若级数6511pn n∞-=∑发散，则p 的取值范围是----------------------------------------------（D ）（A ）(,1)-∞ （B ）(,1]-∞ （C ）(1,)+∞ （D ）[1,)+∞ 8．若幂级数21(1)n n n a x ∞+=+∑在8x =处条件收敛，则其收敛半径为------------------（A ）（A ）9 （B ）10 （C ）81 （D ）100二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1. 设),(y x f z =是由 z x z y 25)35ln(-=- 所确定的隐函数,求23x y z z +. 解：设=),,(z y x F z x z y 25)35ln(+-------------------------------------1则03532,355,5≠--=-=-=zy F z y F F z y x (3分,偏导错一个扣分)则23x y z z+(23)x y z F F F =-+ =5.---------------------------------32．设1(,)z f xy x y x =+，其中(,)f uv 可微，求)0,1(dz . 解：21()x u v z x fx yf f --=-++-----------------------------------------------------------------21()y u v z x xf f -=+----------------------------------------------------------------------------2 )0,1(dz = [(0,1)(0,1)][(0,1)(0,1)]v u v f f dx f f dy -++.-----------33．设D 由,2y x y x ==及2π=x 所围成，若cos(23)1DA x y dxdy -=⎰⎰，求常数A . 解：2201cos(23)cos(23)xxDA x y d dx A x y dy πσ=-=-⎰⎰⎰⎰--------------------------3201(sin 4sin )3A x x dx π=-⎰3A=-----------------------------------------------------2则3A =-.---------------------------------------------------------------------------------24．设D 由,y x y ==x 轴所围成，求1224(1)Dxy dxdy -++⎰⎰.解: :04D r θπ≤≤≤≤-----------------------------------------2 则原式4214001)d r rdr πθ-=+⎰⎰--------------------------------------212241)(1)8r d r π-=++⎰76π=.-----------------------------------------------3第２页共3页三、计算题（8分）过原点的抛物线2(0)y ax a =>及01y x ==，所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为815x V π=. 求a ，并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积y V ．解：由122081()5x V ax dx ππ==⎰-----------------------------------------------------------2得9a =，抛物线为：29y x =----------------------------------------2则9099y y V dy ππ=-⎰92π=．----------------------------------------4四、计算题（本题8分）求曲面3914222=++z y x 上点()3,1,2-P 处的切平面方程和法线方程. 解：记()3914,,222-++=z y x z y x F ，则 ()2,,x z y x F x ='，()y z y x F y 2,,='，()z z y x F z 92,,='-------------------------------2于是曲面在点P 处的法线向量为()()()2(,,)(1,2,)3x y z n F P F P F P '''==-----------2则切平面方程为()()()03321221=-++--⋅z y x ，即06322=-+-z y x ，------2法线方程为3232112-=-+=-z y x .----------------------------------------2 五、计算题（８分）将21()32f x x x =++展开成(4)x +的幂级数，指出展开式成立的区间，并求()(4)n f -，n 为正整数.解: ()f x =1121(4)2x -+1131(4)3x --+------------------------------------------------211011()(4),23n n n n x ∞++==-+∑-----------------------------------------------------------2因(4)2<1x +，且(4)3<1x +，则(6,2)x ∈--------------------------------------------2 因()11(4)11=!23n n n f n ++--，则()1111(4)=()!23n n n f n ++--.------------------------------2 六、计算题（本题8分）设100xI dx =⎰⎰，请先对I 交换积分次序，再计算I 的值.解：110yI dy =⎰⎰---------------------------------------------------------------3()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=10122221121dy y x d y x y-----------------------------------------1 ()1312220113y x y dy ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦⎰-------------------------------------------------------------2 ()13011134y dy =--=⎰.------------------------------------------------------------------2七、应用题（本题8分）“蒙古包”是满族对蒙古族住房的称谓，“包”是家的意思．蒙古包的侧面是圆柱形，其包顶是半球形，包顶的单位面积造价是其侧面的1.5倍，在搭建时若要求蒙古包容纳的体积π45一定，问怎样搭建才能使总造价最低？解：设蒙古包底圆半径为r ，侧高为h ，侧面的单位面积造价为k ．则323245r h r πππ+= 其造价0,0 ,322>>+=h r r k rh k S ππ---------------------------2该问题为求S 函数在条件0324532=--r h r πππ下的最小值-----------1构造函数)3245(32322r h r r k rh k L πππλππ--++=-----------------1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-='=--+=' 03245 02 022623222r h r r r k L r rh r k rh k L h r πππλππλπλπππ------------------------2 解得3==r h ．-----------------------------------------------------2第３页共3页八、微分方程复习题1、yx ey +='的通解为----------------------------------------------------------------------（ B ）（A ）C ee yx=-- （B ）C e e y x =+- （C ）C e e y x =+- （D ）C e e y x =+注1：一阶可分离变量微分方程()()y f x g y '=的解法为()()dy f x dx g y =⎰⎰.对选择题1，,x yy e e '=yx edy e dx -=⎰⎰，则选（ B ）.如：求23x yy e -'=的通解.2、12xy C C e =+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（ A ）（A ）0='-''y y （B ）0='+''y y （C ）0=-''y y （D ）0=+''y y 注1：0y py qy '''++=的特征方程为20r pr q ++=，0,∆<不要求；若0,∆>特征方程有两个不同实根12r r ≠，原方程通解为1212r xr xy C eC e =+；若0,∆=特征方程有两个相同实根r ，原方程通解为12()rxy C C x e =+.对选择题2，因011,xxxe e e ==为该微分方程的两个特解，则120,1r r ==为其特征方程有两个不同实根，其特征方程为2(1)0r r r r -=-=，故选（A ）如：0=-''y y 的通解为12xx y C e C e -=+；通解为12xx y C eC e -=+，则微分方程为0=-''y y .又如：20y y y '''++=的通解为12()xy C C x e -=+；通解为12()xy C C x e -=+，则微分方程为20y y y '''++=. 3、微分方程xxe y y y 244-=+'+''的一个特解可设为---------------------------（C ）（A ）2()xax b e-+ （B ）xeb ax x 2)(-+ （C ）xeb ax x 22)(-+ （D ）xex 23-注1：xy py qy ce λ'''++=的特解可设为*k xy ax e λ=，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.注2：()x y py qy cx d e λ'''++=+的特解可设为*()k xy ax b x e λ=+，当λ为其相应特征方程20r pr q ++=的非特征根，单根，重根时，k 分别取0,1,2.对选择题3，因2λ=-为其相应特征方程2440r r ++=的重根，取2k =，其特解可设为*22()xy ax b x e -=+；1y y '''+=的特解可设为*y ax =.4、解微分方程.0)0(222⎩⎨⎧==+'-y xe xy y x注1：y Py Q '+=的通解可用公式法()Pdx Pdxy e Qe dx C -⎰⎰=+⎰，也可用构造法，利用()'PdxPdxye Qe ⎰⎰=求其通解.解（一）：公式法：22)(,2)(xxe x Q x x P -==⎰=∴2)(x dx x P ， 2)(222)(x dx e xe dx e x Q x x dxx P =⋅=⎰⎰⎰-故通解为)(22C x ey x +=-由0)0(=y 得0=C ，因此 22x e x y -=.解（二）：构造法：222()'2xdxxdxx ye xe e -⎰⎰=，则2()'2x ye x =，于是222x yexdx x C ==+⎰,有22()x y e x C -=+，下与解（一）相同.如：求解微分方程2111y x y x x +'-=++．简要解答: 公式法， 111121()1dxdx x x x y ee dx C x -+++⎰⎰=++⎰ ln(1)ln(1)21()1x x x e e dx C x +-++=++⎰21(1)()1x dx C x =+++⎰(1)(arctan )x x C =++ 构造法：111121()'1dx dx x x x e y e x --+++⎰⎰=+，则ln(1)ln(1)21()'1x x x e y ex -+-++=+，化简得21()'11y x x =++，则21arctan 11y dx x C x x ==+++⎰，有(1)(arctan )y x x C =++．注意：ln u e u =，如311ln ln ln ln 23ln 22311,,u x x x x x x x e u e e e e e e x x --=====．。

第二学期《高等数学B2 》期末试卷素材

精品文档.素材归纳不易，仅供学习参考北京理工大学珠海学院2013 ～ 2014学年第二学期《高等数学（B ）2》期末试卷（B ）适用年级专业: 2013级商学院、会计与金融学院各专业试卷说明：闭卷，考试时间120分钟．一、选择填空题（每小题3分，共18分）【得分：】 1. 21lim ()x y xyx y →→=+ _________. 2．方程210t tty y y 是阶差分方程.3. 设22ln(2)z xyy 则22z x.4. 设zxy ,则dz =.5. 设级数1(1)n n u 收敛,则lim ____________.nnu6.下列级数中条件收敛的是（）(A).()11nn ∞=-∑ (B).()11n ∞=-∑ (C). ()111nn n ∞=-∑ (D).()3111nn n∞=-∑精品文档.二、计算题（每小题6分，共30分）【得分：】1．设2sin(),x z xy y=+ 求,.z z x y ∂∂∂∂2.设2ln z u v =，,u x y v x y =+=-，求,.z z x y∂∂∂∂3. 设(,)z z x y =由隐函数33y z xyz xe -=确定,求.z x∂∂4. 求方程26x y x e ''=+的通解.5. 求方程sin cos x y y x e '-=的通解.精品文档.三、解答题（每小题6分，共30分）【得分：】 1. 计算3d d Dx y ⎰⎰,其中D 是由2,0,1yx y x 所围闭区域.2. 计算2d d Dxy x y ⎰⎰,其中D 是由2,1yx y 所围闭区域.3.计算d Dx y , 其中D 是由圆周221x y 所围成的闭区域在第一象限的部分.4．判断级数2111n n ∞=+∑的敛散性.5. 判断级数113n n n∞-=∑的敛散性.精品文档.四、解答题（第1，2题各6分，第3，4题各5分，共22分）【得分：】1.求级数121n n x n ∞=+∑的收敛区间.2.求解方程26x y y y e '''-+=的通解.3. 设某工厂生产两种产品，产量分别为,x y ，总成本函数为228624042180C x y xy x y =+---+，求总成本的最小值.4.计算10.yxdy dx x ⎰⎰精品素材归纳(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)(素材归纳不易，仅供学习参考，记得收藏)5/5。

高等数学B(二)期末模拟试题参考答案上课讲义

一、选择题（每小题3分共15分）1. 设a>0, 则dx a x ⎰= ( ).(A) x 2a +c ； (B) a a xln +c ； (C) a ln a x +c ； (D) a ln a x 2+c.2. F(x)= dt te 1x t⎰--, 则 F'(x)= ( ).(A) xe -x ； (B) -xe -x ； (C) -xe x ； (D) xe -x -1.3. ⎰10xdx ( ) ⎰102dx x .(A) >； (B) =； (C) <； (D) ≥.4. 级数∑∞=+-1n n1n n )1( () .(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 条件发散； (D) 绝对发散.5. 二元函数y ln 1x z +-=的定义域为 ( ).(A) x>1； (B) x ≥1；(C) x ≥1,y>0； (D) x>1, y ≥0.1 (B)；2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分）1. 若F(x)是f(x)的原函数, 则dx )x (f ⎰=F(x). ( ).2. 若f(x)在区间[a,b]连续, 则有ξ∈[a,b],使得⎰badx )x (f =f(ξ)(b-a). ( ).3. 如果正项级数∑∞=0n n a 收敛, 那么∑∞=1n nna 也收敛. ( ).4. 级数∑∞=13sin 2n n n π收敛. ( ).5. 如果z=f(x,y)在区域D 有二阶导数, 那么y x )y ,x (f ∂∂∂=x y )y ,x (f ∂∂∂在D 成立. (). 6.如果z=f(x,y)在区域D 可导P 0∈D, 在P 0处x f ∂∂=y f∂∂=0, 那么z 在P 0达到极大值.( ).7. ⎰π-02xdx sin <⎰π20xdx sin . ( ). 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√).三、填空题（每小题3分共18分）1.dx )x 31(2⎰-= x-x 3+c . 2. dx x x ⎰--1123)3(= -2 .3. 0x lim →x tdtcos x02⎰ = 1 .4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)= 2)x 1(1-.5. 级数∑∞=-1n n)n 2)(1n 2(x 的收敛半径 = 1 . 6. 设22y x z =, 则y z ∂∂= y x 22.四、计算题（每小题6分共36分，其中6、7题任选一题）1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7538642x x x x 的和函数.解： ∵ (x)...x x 1n 242+++++=2x 11- ∴ S(x)= ...)'x ...x x 1(n 242+++++='x 112⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨⎧>≤+=1x x 21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f 解：∵ 12c x x 21dx )1x (++=+⎰,x ≤1; 22c x xdx 2+=⎰, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 21dx )x (f 22, 其中c 为某常数. 3. 求幂级数1n 1n nx 2n 1-∞=∑的收敛半径，并求和函数解：收敛半径R=n )1n (n 2n 2)1n (lim +∞→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时 (xS(x))'=1n 1n n x 21-∞=∑ =1n 1n )2x (21-∞=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2/x 1121x0⎰-= -)2x 1ln(-, 故 S(x)=)2x 1ln(x 1--. 总之 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈≠--=0x 21)2,2[x 0x )2x 1ln(x 1)x (S 且4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。

13-14-2高等数学B2(B卷)答案

2013-2014-2学期高等数学B2期末B 卷答案一、填空题（共 5小题，每题 3分，共计 15分）1、(){}22222,,0x y z x y x y ≤++≠且2、222dz e dx e dy =+3、225y z x += 4、 5、(0,2)二、选择题（共 5小题，每题 3分，共计15分）1、C2、D3、B4、A5、D三、求过点A (2,1,3)且与通过直线11221x y z +-==-的平面方程.（本题8分）解：由已知得点B (1,1,0)-也在所求平面上.(3,0,3)AB =-- ，……………..………2分取 303221i j k n AB s =⨯=--- (6,9,6)3(2,3,2)=--=--………………..…………………4分所求的平面方程为2(2)3(1)2(3)0x y z -----=即 23250x y z --+=……………….………..….……2分四、计算下列偏导数（共 2小题，每题6分，共计12分）1、设(,)z f x y x y =+，f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂. 解：将中间变量按顺序编为1,2号，可得12121z f f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 12121z f f x f xf y∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 2、设x z z e y +=+，求,z z x y∂∂∂∂. 解法一：令(,,)x z F x y z z e y +=--，则,1,1x z x z x y z F e F F e ++=-=-=-，……2分利用隐函数求导公式，有11x z x zx z x zz e e x e e ++++∂-=-=∂--，…………..………..………2分1111x z x z z y e e++∂-=-=∂--…………..………..………2分解法二：方程两边分别关于,x y 求偏导数.解法三：方程两边求全微分.五、计算下列积分：（共3小题，每题6分，共计18分）1、求二重积分22xy D e d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周222x y +=所围成的闭区域.解：222200xy r D e d d rdr πσθ+=⋅⎰⎰⎰ ……..……………………………………3分20122r e π⎡=⋅⎣⎦ ……..………………………………..………2分 ()21e π=- …..………..…………………………………..1分2、求二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由21,2,0,x x y y x ====所围成的平面区域.解：2210x D xydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰ …………..………..………………………..……3分222251101122x xy dx x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰ …………..………..……………..…2分 261121124x ⎡⎤==⎣⎦ …………..……………………..………1分 3、求二重积分sin D x dxdy x⎰⎰，其中D 是由0,,y x y x π===所围成的平面区域. 解：00sin sin x Dx x dxdy dx dy x x π=⎰⎰⎰⎰ …………..………..…………………..…3分 00sin sin x xdx dx xππ=⋅=⎰⎰ …………..………..……………..…2分 []0c o s2x π=-= …………..………..……………..…1分六、求微分方程221y y y x '''+-=+的通解.（本题10分）解：对应的齐次方程为20y y y '''+-=，它的特征方程 220r r +-=有两个实根 122,1r r =-= …………..………..……………..…3分于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+. …………..……….…..…2分由于0λ=不是特征方程的单根，所以设方程的特解*y ax b =+，…….…..…2分把它代入所给方程，得2221a ax b x --=+，即得，1,1a b =-=-，因此所给方程的一个特解为*1y x =--. …….………………………..…2分从而所求的通解为2121x x y C e C e x -=+-- …….…..…1分七、求由22224,0,100x y z x y z +==+-+=所围成的立体的体积.（本题8分）解：所求立体在xoy 面上投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤，所求立体的体积是以曲面2210z x y =++为顶，区域D 为底的曲顶柱体的体积，即 22(10)DV x y d σ=++⎰⎰ …….……………………….…3分22200(10)d r rdr πθ=+⎰⎰ …….……………………...…2分 22401254r r π⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦ …………………………….…..…2分 48π= ……………………………………..…1分八、求函数z xy =在条件1x y +=下的极值. （本题6分）解法一：由1x y +=得1y x =-，代入z xy =，有(1)z x x =- 12z x '=-=0，得12x =， …….………………………………………….…3分从而12y =，20z ''=-<，所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …….………….…3分解法二：设(,,)(1)F x y xy x y λλ=++-，解方程组0010x y F y F x F x y λλλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+-=⎩， …….………………………..…3分得12x y ==，所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …………….…..…3分九、将函数21()32f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛区间.（本题8分）解：21111()32(2)(1)12f x x x x x x x ===-++++++ …….…..………2分因为 011()11n n x x x ∞===-++∑，(1,1)x ∈- …….……………………….…2分 011111()2222212n n x x x x ∞===⋅=-+++∑，(2,2)x ∈- …….………...…3分所以21011()(1)1322n n n n f x x x x ∞+=⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭∑，(1,1)x ∈- …….……………….…1分。

高等数学B2期末试卷及其答案

华南农业年夜学期末测验试卷〔A 卷〕2010学年第2学期测验科目：初等数学B Ⅱ 测验范例：〔闭卷〕测验测验时刻：120分钟学号姓名年级专业一、填空题〔本年夜题共5小题，每题3分，共15分〕 1.曲面是由坐标面xoy 上的曲线绕轴扭转一周而成。

2．设函数在点处存在偏导数，那么它在该点处获得极值的须要前提是。

3．设，那么。

4.设发散，那么。

5.已经知道某二阶常系数齐次线性微分方程的通解为，那么该微分方程为。

二、选择题〔本年夜题共5小题，每题3分，共15分〕 6.与向量跟都垂直的单元向量是〔〕〔A〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。

7.设函数可微，且，假设，那么的值为〔〕〔A〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。

8．设是延续函数，那么〔〕〔A 〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。

9.以下级数前提收敛的是〔〕〔A 〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。

10.差分方程的一个特解方式为〔是待定常数〕〔〕〔A 〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。

三、盘算题〔本年夜题共8小题，每题7分，共56分〕11.求平行于立体且与球面相切的立体的方程。

12.求二重极限。

13.设，而，，求14.设，责备微分。

15.盘算二次积分。

1.5CM16.推断级数的敛散性，假如收敛，是相对收敛依然前提收敛，并阐明来由。

17.求解初值咨询题：。

18.求幂级数的收敛域，并求其跟函数。

四、使用题〔此题8分〕19.设某公司所属的甲、乙两厂消费统一种产物，当甲、乙两厂的产量分不为跟〔单元：千件〕时，总本钱函数为〔单元：万元〕现有总本钱53万元，咨询怎样布置消费才干使甲、乙两厂的产量之跟最年夜？五、证实题〔此题6分〕20.设跟收敛，且〔〕，证实也收敛。

2010初等数学BⅡ期末测验试卷参考谜底：一、填空题：1．，。

2．。

3．。

4．。

5．。

二、选择题：6.〔A〕。

7.〔B〕。

8．〔C〕。

9.〔D〕。

10.〔D〕。

三、盘算题：1.5CM11.【解】依题意可设立体的方程为…………………………〔2分〕又因为立体与球面相切，故球心到立体的间隔即是球面半径，即…………………………〔5分〕那么，故立体的方程为或……………〔7分〕12.【解】因为，因而……………〔4分〕因而，有……………〔7分〕13.【解】由链式法那么，有……………………………………〔2分〕………………〔6分〕……………〔7分〕14.【解】因为，，故，……………………………………〔3分〕因而，有…………………………〔7分〕15.【解】…………………………〔3分〕………………………〔7分〕16.【解】设，因为〔〕，由比拟判不法可知，原级数不相对收敛。

武汉大学2013-2014学年第二学期期末考试高等数学B2试题及答案

武汉大学2013-2014学年第二学期期末考试高等数学B2试题及答案（共计12道题）一、（8分）利用二重积分的性质，比较积分d σ=+⎰⎰221ln()DI x y 与d σ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰2222ln()DI x y 的大小，其中22:2D e x y e ≤+≤.解 ∵221ln()1ln 2,x y ≤+≤+ ……4分22222ln()ln(),x y x y ⎡⎤+≤+⎣⎦∴12I I < ……4分二、（8分）设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．解121211()0z f y f yf f x y y ∂''''=⋅+⋅+=+∂， ……4分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.xf xyf f f y y''''''=+-- ……..4分三、（8分）求过点(1,2,3)M -的平面，使它与平面π:30x y z +--=垂直，且与直线:L x y z ==平行.解因为已知直线与已知平面不平行，故所求平面得法向量为()1,1,1(1,1,1)(2,2,0)n =-⨯=-r， ……4分故平面方程为 (1)(2)0x y --+=,即30x y --=。

……4分四、（8分）设函数(,)z z x y =是由方程arctan()xyz x y z =++所确定的隐函数，求全微分d z 在点(0,1,1)- 处的值.. 解 21()dx dy dzyzdx xzdy xydz x y z ++++=+++ ， ……4分2222[1()]1[1()]1d 1[1()]1[1()]yz x y z xz x y z z dx dy xy x y z xy x y z +++-+++-=+-+++-+++，故(0,1,1)2d z d x d y -=--……4分五、（10分）计算曲线积分d d (2)-+⎰L a y x x y ，式中L 是从原点(0,0)O 沿曲线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >）到点(2,0)A a π的弧段.解 )0 , 0(O 对应0=t ，)0 , π2(a A 对应π2=t 。