2012中考复习数学讲义 第3章 函数及其图象 第12课 一次函数及其图象
2012年长沙市中考数学总复习 函数之 一次函数的图象与性质 课件
本题考查一次函数图象与性质， 本题考查一次函数图象与性质 ， 关键要能读懂图象的含 理解一次函数与一元一次方程的联系． 义，理解一次函数与一元一次方程的联系．
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► 类型之二 一次函数图象的平移 命题角度： 命题角度： 1．一次函数图象平移的规律 ． 2．求一次函数图象平移后的解析式 ． 乌鲁木齐] 例 3 [2011·乌鲁木齐 将直线 y＝2x 向右平移 1 个单位后所 乌鲁木齐 ＝ ( B ) 得图象对应的函数解析式为 A．y＝2x－1 B．y＝2x－2 ． ＝ － ． ＝ － C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2 ． ＝ ＋ ． ＝ ＋ [解析 根据函数图象平移的法则进行解答即可． 解析] 解析 根据函数图象平移的法则进行解答即可．
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1 [解析 ∵一次函数的图象经过原点， 4k－2＝0， ＝ . 解析] 一次函数的图象经过原点， k＝ 解析 ∴ － ＝ ， 2 的增大而减小． 当 k<0 时，y 随 x 的增大而减小．
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k 和 b 的符号作用： k 的符号改变增减性， k>0 时， y 的符号作用： 的符号改变增减性， 的增大而增大； 的增大而减小． 随 x 的增大而增大； k<0 时， y 随 x 的增大而减小． b 的符 轴上方还是下方(上正 下负)． 上正， 号决定与 y 轴交点在 x 轴上方还是下方 上正 ，下负 ．
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[注意 (1)正比函数性质只与 k 值有关，与 b 的取值无关．图象 注意] 正比函数性质只与 值有关， 的取值无关． 注意 过一、三象限⇔ 过一、 三象限⇔ k>0；图象过二、四象限⇔ k<0. ； 图象过二、四象限⇔ (2)一次函数 y＝kx＋b 可由正比例函数 y＝kx 平移得到 ， b>0， 一次函数 ＝ ＋ ＝ 平移得到， ， 个单位； 上移 b 个单位； b<0，下移b 个单位． ， 个单位． 4． ． 两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴围成的三角形 面积． 面积． (1)一次函数与其他函数图象的交点坐标 (1)一次函数与其他函数图象的交点坐标，解由两个函数关系式 一次函数与其他函数图象的交点坐标， 组成的二元方程组，方程组的解即两函数的交点坐标． 组成的二元方程组，方程组的解即两函数的交点坐标． b (2)直线 y＝kx＋b 与 x 轴的交点为－ ， 0， y 轴的交点为 ， 直线 ＝ ＋ 与 轴的交点为(0， k 1 b b)，且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为 S＝ － × |b| ， ＝ 2 k b2 ＝ . 2k
【初升高数学衔接教材讲义系列】第03章 一次函数与一次不等式(解析版)
第3章 一次函数与一次不等式【知识衔接】————初中知识回顾————1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
（1）它的图象是一条斜率为k ，过点（0，b ）的直线。
（2）k>0⇔是增函数；k<0⇔是减函数。
2、不等式ax>b 的解的情况：（1）当a>0时，ab x >； （2）当a<0时，a b x <； （3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。
类似地，请同学们自行分析不等式ax <b 的解的情况。
————高中知识链接————一次函数y =kx +b （k ≠0，b ≠0）的图象所经过的象限有四种情况：①当k >0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限；②当k >0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限；③当k <0，b >0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限；④当k <0，b <0，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限．一次函数y =kx +b (k ≠0)中，|k |越大，直线y =kx +b 越靠近y 轴，即直线与x 轴正半轴的夹角越大；|k |越小，直线y =kx +b 越靠近x 轴，即直线与x 轴的夹角越小．学#科网【经典题型】初中经典题型1．一次函数y ＝(m －2)x ＋3的图象如图所示，则m 的取值范围是（ ）A．m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜0 D．m＞2【答案】A【解析】如图所示，一次函数y=（m﹣2）x+3的图象经过第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2，故选A．2．如图，把Rt∆ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将∆ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．82【答案】C3．已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．【答案】(,)【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；详解：由题意A（-，），∵A、B关于y轴对称，∴B（，），故答案为（，）．4．星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离是__千米．【答案】1．5．【解析】分析：首先设当40≤t≤60时，距离y（千米）与时间t（分钟）的函数关系为y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于k、b的方程组，解出k、b的值，进而可得函数解析式，再把t=45代入即可．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数解析式．5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出不等式组的解集，再在数轴上表示. 详解：解不等式组得－3＜x ≤2，在数轴上表示为：故选D .点睛：解一元一次不等式组，通常采用“分开解，集中定”的方法，即单独的解每一个不等式，而后集中找它们的解的“公共部分”．在找“公共部分”的过程中，可借助数轴或口诀两种方法确定不等式组的解集．其中确定不等组解集的方法为：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈.6．若实数3是不等式2x –a –2<0的一个解，则a 可取的最小正整数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】解：根据题意，x =3是不等式的一个解，∴将x =3代入不等式，得：6﹣a ﹣2＜0，解得：a ＞4，则a 可取的最小正整数为5，故选D ．学-科网点睛：本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握不等式解得定义及解不等式的能力是解题的关键．高中经典题型1．若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值之差为2，则实数a =（ ）A ． 2B ． 2-C ． 2或2-D ． 0【答案】C【解析】1y ax =+，若0a =，则y 的最大与最小之差为0（舍），若0a >，则()()max 221f x f a ==+，()()min 11f x f a ==+，则()2112a a a +-+==（符合），若0a <，则()()max 11f x f a ==+， ()()min 221f x f a ==+，则()1212a a a +-+=-=，则2a =-（符合），故选C ． 2．若()()0f x ax b a =+>,且()()41ff x x =+，则()3f =__________． 【答案】193【解析】由()()()241f f x af x b a x ab b x =+=++=+， ()24,10a ab b a ∴=+=>，解得()112,,233a b f x x ==∴=+，于是()1933f =，故答案为193． 3．如图，已知函数f(x)的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．【答案】 (－1，－ 12)∪[0,1)4．已知函数()()()110f x ax x a a =+->，且()f x 在[]0,1上的最小值为()g a ，求()g a 的最大值． 【答案】1【解析】试题分析：（1）由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，分三种情况讨论，即可求解函数的最小值，得出()g a 的表达式，即可求解()g a 的最大值． 试题解析：由题意知()11f x a x a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（1）当a 1>时， 1a 0a ->，此时()f x 在[]0,1上为增函数，∴()()1g a f 0a ==；（2）当0a 1<<时， 1a 0a-<，此时()f x 在[]0,1上为减函数，∴()()g a f 1a == ；（3）当a 1=时， ()f x 1=，此时()g a 1=，∴(),01,g a { 1,1,aa a a <<=≥其在()0,1上为增函数，在[)1,∞上是减函数，又当a 1=时，有1a 1a==，∴当a 1=时， ()g a 取得最大值1． 点睛:本题考查了函数最值问题及其应用，其中解答中涉及到一次函数的单调性的应用，以及分段函数的性质，同时考查了分类讨论的思想方法，本题的解答中注意1a =的情况，容易导致错解，试题有一定的基础性，属于基础题．5．(1)求函数y ＝ax ＋1(a≠0)在[0，2]上的最值．(2)若函数y ＝ax ＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2．求a 的值．【答案】(1)详见解析;(2) a ＝±1．6．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．学-科网（1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍。
第12课 一次函数及其图象
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一个防范
一次函数的图象是一条直线，但直线并不一定是一次函数的 图象．
例：已知直线 y＝(m＋3)x＋m2－9 经过点(1，0)，求 m 的值． 解答：当 x＝1 时，y＝0，即 m2＋m－6＝0.解得 m＝2 或 m＝ －3.很多同学误以为 m＋3≠0，m≠－3，舍去 m＝－3，故 m＝2. 其实，当 m＝－3 时，此直线变为 y＝0，而 y＝0 就是 x 轴， 又因为点(1，0)在 x 轴上，即 x 轴经过点(1，0)，所以 m＝－3 也 符合题意，不能舍去．故所求的 m 的值为－3 或 2. 如果把本题中的“已知直线”改为“一次函数的图像”，还是 应考虑 m＋3≠0 这个限制条件的，要予以区分．
解析 ∵直线不经过第二象限，∴m－2<0，m<2.
题型分类 题型二 待定系数法求一次函数的解析式
【例 2】 如图，直线 l1、l2 相交于点 A(2，3)，直线 l1 与 x 轴的交点坐标为(－1，0)，直线 l2 与 y 轴的交点坐标为 (0，－2)，结合图象解答下列问题： (1)求直线 l1、l2 的解析式；
知能迁移 1 (1)衡阳) 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴的交点坐标为(2，0)， 则下列说法：①y 随 x 的增大而减小；②b>0； ③关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解为 x＝2.其中 说法正确的有_①__②__③___．(把你认为说法确 的序号都填上)
(2)已知一次函数 y＝3x＋m－2 的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是___m_<_2___．
解 (1)设直线 AB 的函数解析式为 y＝kx＋b，依题意， 解得得∴直AA((线(111，，)A设B00))直的，，线函BB((数A00B，，解的22析))函，，式数∴∴为解0202y析＝＝＝＝＝式k0k0－＋＋＋＋为2bbbbx，，，，＋y＝解解2k.得得x＋kbkbb＝＝＝＝，－2－2依..22题，，意， ∴当直0≤线yA≤B2的时函，数自解变析量式x为的y取＝值－范2x围＋是2.0≤x≤1. 当 0≤y≤2 时，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤1. (2)线段 BC 即为所求．y 随 x 的增大而增大． (2)线段 BC 即为所求．y 随 x 的增大而增大．
2013中考数学第一轮复习讲义第三章《函数及其图象》自我测试
第三章 《函数及其图象》自我测试[时间：90分钟 分值：120分]一、选择题(每小题3分，共30分) 1. (2012·成都)函数y ＝1x －2中，自变量x 的取值范围是( )A ．x>2B ．x<2C ．x ≠2D ．x ≠－22. (2012·广州)如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A(－1，2)、B(1，－2)两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是( )A ．x ＜－1或x ＞1B ．x ＜－1或0＜x ＜1C ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．－1＜x ＜0或x ＞13. (2012·山西)已知直线y ＝ax(a ≠0)与双曲线y ＝kx (k ≠0)的一个交点坐标为(2，6)，则它们的另一个交点坐标是( )A ．(－2，6)B ．(－6，－2)C ．(－2，－6)D ．(6，2)4. (2012·兰州)抛物线y ＝(x ＋2)2－3可以由抛物线y ＝x 2平移得到，则下列平移过程正确的是( )A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5. (2012·资阳)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c<0 的解集是( )A ．－1<x<5B ．x>5C ．x<－1且x>5D ．x<－1或x>56. (2012·铜仁)如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数y ＝kx的图象过点A ，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－47. (2012·泰安)二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限8. (2012·荆门)如图，点A 是反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y ＝－3x 的图象于点B ，以AB 为边作 ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S ABCD为( )A ．2B ．3C ．4D ．59. (2012·黄石)已知反比例函数y ＝bx (b 为常数)，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则一次函数y ＝x ＋b 的图像不经过第几象限( ) A ．一 B. 二 C. 三 D. 四10. (2012·重庆)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，对称轴为x ＝－12.下列结论中，正确的是( )A ．abc>0B ．a ＋b ＝0C ．2b ＋c ＝0D ．4a ＋c<2b二、填空题(每小题4分，共24分)11. (2012·滨州)下列函数：①y ＝2x －1；②y ＝－5x ；③y ＝x 2＋8x －2；④y ＝3x 2；⑤y ＝12x ；⑥y ＝ax中，y 是x 的反比例函数的有________．(填序号)12. (2012·赤峰)已知点A(－5，a)，B(4，b)在直线y ＝－3x ＋2上，则a_______ b ．(填“>”、 “<”或“＝”号)13．(2011·黄冈)已知函数y ＝ 则使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为________．14. (2012·聊城)如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P(3a ，a)是反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为____________．15. (2012·营口)如图，直线y ＝－x ＋b 与双曲线y ＝1x(x ＞0)交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，连接OA 、OB ，若S △AOB ＝S △OBF ＋S △OAE ，则b ＝__________．16. (2012·东营)在平面直角坐标系xOy 中，点A 1，A 2，A 3，…和B 1，B 2，B 3，…分别在直线y ＝kx ＋b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果A 1(1，1)，A 2(72，32)，那么点A n 的纵坐标是________________．三、解答题(第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分) 17. (2012·北京)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝4x(x>0)的图象与一次函数y ＝kx－k 的图象的交点为A(m ，2)． (1)求一次函数的解析式；(2)设一次函数y ＝kx －k 的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点， 且满足△PAB 的面积是4，直接写出点P 的坐标．18. (2012·嘉兴)如图，一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与反比例函数y 2＝mx 的图象相交于点A(2，3)和点B ，与x 轴相交于点C(8，0)．(1)求这两个函数的解析式； (2)当x 取何值时，y 1＞y 2.19. (2012·菏泽)牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(利润＝销售总价－成本总价)(3)菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？20. (2012·兰州)若x 1、x 2是关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b a 2－4c a＝b 2－4aca 2＝b 2－4ac|a|； 参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与x 轴的两个交点A(x 1，0)，B(x 2，0)，抛物线 的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．(1)当△ABC 为直角三角形时，求b 2－4ac 的值； (2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2－4ac 的值．21. (2012·武汉)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE 、ED 、DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h ＝－1128(t －19)2＋8(0≤t ≤40)，且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？22. (2012·贵港)如图所示，一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x (x<0)的图象相交于A 、B两点，且与坐标轴的交点为(－6，0)，(0，6)，点B 的横坐标为－4. (1)试确定反比例函数的解析式；(2)求△AOB 的面积；(3)直接写出不等式k 1x ＋b>k 2x的解．23. (2012·杭州模拟)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(1，0)、B(－3，0)两点． (1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在， 求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值．若没有，请说明理由．24. (2012·重庆)企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂 处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同 时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y 1(吨)与月份x(1≤x ≤6，且x 取整数)2二次函数关系式为y 2＝ax 2＋c(a ≠0)，其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用z 1(元)与月份x 之间满足函数关系式z 1＝12x ，该企业自身处理每吨污水的费用z 2(元)与月份x 之间满足函数关系式z 2＝34x －112x 2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知 识，分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多，并求出这个最多费 用；(3)今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水 全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a －30)%，为鼓励节能 降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月 的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值． (参考数据： 231≈15.2, 419≈20.5，809≈28.4)。
中考数学 第一部分 基础知识过关 第三章 函数及其图象 第12讲 二次函数精练
第12讲二次函数A组基础题组一、选择题1.(2018陕西)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2018威海)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,下列结论错误的是( )A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>03.(2017甘肃兰州)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为( )A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-64.如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为( )A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥95.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( )二、填空题6.(2017湖北武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是.7.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为m2.8.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为.三、解答题9.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为 m,到墙边的距离分别为 m, m.(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?B组提升题组一、选择题1.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )A.没有交点B.有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧2.(2018枣庄)下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=03.(2018潍坊)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或64.(2018菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题5.(2017青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.6.(2018淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C 是线段AD的三等分点,则m的值为.三、解答题7.(2017广东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值.8.(2018陕西)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y 轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L',且L'与x轴相交于A'、B'两点(点A'在点B'的左侧),并与y轴相交于点C',要使△A'B'C'和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y千米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的( )A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒2.烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-t2+12t+30,若这种礼炮在升空到最高点时引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为( )A.3 sB.4 sC.5 sD.6 s3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,x=-1是对称轴,下列结论:①<0;②a-b+c=-9a;③若(-3,y1),是抛物线上两点,则y1>y2;④将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=a(x2-9).其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度t/℃-4 -2 0 1 4植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想并推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃.5.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是.三、解答题6.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的运营规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1 100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?7.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元/台,就可多售出50台.供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;(2)求售价x的范围;(3)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?8.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A和B(4,m)两点,点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.9.如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B(3,0),C(0,3)两点,抛物线y=ax2+bx+c过A(1,0),B,C三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方的一个动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN 的最大值;(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是以BN为腰的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.(1)求抛物线的函数解析式;(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.①求S关于m的函数表达式;②当S最大时,在抛物线y=-x2+bx+c的对称轴l上是否存在点F,使△DFQ为直角三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图1,平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴分别交于点A、B、C,其中点A(0,8),OB=OA.(1)求二次函数的表达式;(2)若OD=OB,点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点,E为DF的中点.①当△CEF的面积最大时,求出点E的坐标;②如图2,将△CEF绕点E旋转180°,C点落在M处,若M点恰好在该抛物线上,求出此时△CEF 的面积.12.如图,直线y=-x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为(-1,0).(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DE⊥BC于E,作DF∥y轴交BC于F,求△DEF 周长的最大值;(3)在满足第(2)问的条件下,在线段BD上是否存在一点P,使∠DFP=∠DBC.若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC,BC.求四边形PABC面积的最大值,并求出此时点P的坐标;(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.第12讲二次函数A组基础题组一、选择题1.C 当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-<0,=<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.D A.由图象开口可知:a<0,由对称轴可知:->0,∴b>0,∴由抛物线与y轴的交点可知:c>0,∴abc<0,故A正确;B.由图象可知:x=-1时,y<0,∴y=a-b+c<0,∴a+c<b,故B正确;C.由图象可知:顶点的纵坐标大于2,∴>2,∵a<0,∴4ac-b2<8a,∴b2+8a>4ac,故C正确;D.对称轴x=-<1,a<0,∴2a+b<0,故D错误.故选D.3.A4.A5.D二、填空题6.答案-3<a<-2或<a<解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得am2+(a2-1)m-a=0,m==,解得m1=,m2=-a,∵2<m<3,∴2<<3或2<-a<3,解得<a<或-3<a<-2.7.答案75解析设垂直于墙的材料长为x米,则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,故饲养室的最大面积为75平方米.8.答案(,2)解析∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,∴4=4a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2,∵AB⊥x轴,∴B(-2,0),∴OB=2,∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,∴D点在y轴上,且OD=OB=2,∴D(0,2),∵DC⊥OD,∴DC∥x轴,∴P点的纵坐标为2,代入y=x2,得2=x2,解得x=(负值舍去),∴P(,2).三、解答题9.解析(1)根据题意得B,C,把B,C代入y=ax2+bx(a≠0)得解得∴拋物线的函数关系式为y=-x2+2x,∴图案最高点到地面的距离==1 m.(2)令y=0,即-x2+2x=0,解得x1=0,x2=2,∵10÷2=5,∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案.B组提升题组一、选择题1.D ∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,∴ax2-2ax+1=0有两个不相等的实数根,即函数图象与x轴有两个交点,x=>0,故选D.2.D ∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,所以A选项错误;∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴ac<0,所以B选项错误;∵二次函数图象的对称轴是直线x=1,∴-=1,∴2a+b=0,所以C选项错误;∵抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0,所以D选项正确.故选D.3.B 对于二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当x=h时,函数有最大值0,又当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2,2≤x≤5时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去);当h>5,2≤x≤5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),综上可知h=1或6.故选B.4.B ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,∴a>0,∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧,∴a、b异号,即b<0.∵当x=1时,y<0,∴a+b+c<0.∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,故选B.二、填空题5.答案m>9解析∵抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,∴Δ<0,即(-6)2-4×1×m<0,解得m>9.6.答案 2解析如图,∵B,C是线段AD的三等分点,∴AC=BC=BD,由题意得:AC=BD=m,当y=0时,x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),B(1,0),∴AB=3+1=4,∴AC=BC=2,∴m=2,故答案为2.三、解答题7.解析(1)把A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b,得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)当点P是线段BC的中点时,易得点P的横坐标为,当x=时,y=,所以点P的坐标为.(3)由(2)得点C的坐标为,∴OC=,又OB=3,∴BC==.∴sin∠OCB===.8.解析(1)令y=0,得x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,∴A(-3,0),B(2,0).∴AB=5,令x=0,得y=-6,∴C(0,-6),∴OC=6,∴S△ABC=AB·OC=×5×6=15.(2)由题意得A'B'=AB=5.要使S△A'B'C'=S△ABC,只要抛物线L'与y轴的交点为C'(0,-6)或C'(0,6)即可. 设所求抛物线L':y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.∵抛物线L'与抛物线L的顶点的纵坐标相同,∴=,=,解得m=±7,n=±1(n=1舍去).∴抛物线L'的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.C 当x=7时,y=49a+7b;当x=14时,y=196a+14b.根据题意得49a+7b=196a+14b,∴b=-21a,根据二次函数图象的对称性及抛物线的开口方向,得当x=-=10.5时,y最大,即高度最高.故选C.2.B ∵礼炮在升空到最高点时引爆,且二次函数图象的开口向下,∴高度h取最大值时,t=-,即t=-=4.故选B.3.D ∵二次函数的图象开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴<0,故①正确;∵抛物线的对称轴x=-=-1,∴b=2a,当x=2时,y=0,∴4a+2b+c=0,∴4a+4a+c=0,∴c=-8a,∴a-b+c=-9a,故②正确;∵抛物线的对称轴为x=-1,∴当x=-1时,抛物线有最大值,-3距离-1有2个单位长度,距离-1有个单位长度,∴y1>y2,故③正确;设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y=ax2+k,∵c=-8a,∴a+k=-8a,∴k=-9a,∴将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=ax2-9a,即y=a(x2-9),故④正确.正确结论为①②③④.故选D.二、填空题4.答案-1解析设l=at2+bt+c(a≠0),将(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程组解得所以l与t之间的二次函数解析式为l=-t2-2t+49,当t=-=-1时,l有最大值50,即最适合这种植物生长的温度是-1 ℃.5.答案x<-1或x>4解析由题图可知,当x<-1或x>4时,直线y=mx+n的图象在抛物线y=ax2+bx+c的上方,∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<-1或x>4.三、解答题6.解析(1)由题意知,若观光车能全部租出,则0<x≤100,由50x-1 100>0,解得x>22,∵x是5的倍数,∴每辆车的日租金至少应为25元.(2)设每天的净收入为y元,当0<x≤100时,y1=50x-1 100,∵y1随x的增大而增大,∴当x=100时,y1的最大值为50×100-1 100=3 900;当x>100时,y2=x-1 100=50x-x2+20x-1 100=-x2+70x-1 100=-(x-175)2+5 025,当x=175时,y2的最大值为5 025,5 025>3 900,故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多,是5 025元.7.解析(1)根据题中条件售价每降低10元/台,月销售量就可多售出50台,则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式为y=200+50×,化简得y=-5x+2 200.(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务,则解得300≤x≤350.所以售价x的范围为300≤x≤350.(3)w=(x-200)(-5x+2 200),整理得w=-5(x-320)2+72 000.∵x=320在300≤x≤350内,∴当x=320时,w有最大值,为72 000,即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72 000元.8.解析(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,∴m=6,即B(4,6),∵A和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴解得∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)存在.设动点P的坐标为(n,n+2),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2+,∵-2<0,∴抛物线开口向下,有最大值,∴当n=时,线段PC的长有最大值.9.解析(1)由题意将点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)设点M的坐标为(m,m2-4m+3),∵MN∥y轴,∴点N的坐标为(m,-m+3).∵A(1,0),B(3,0)在抛物线上且点M是抛物线在x轴下方的一个动点.∴1<m<3.∵线段MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m=-+,∴当m=时,线段MN取最大值,最大值为.(3)假设存在.设点P的坐标为(2,n).当m=时,点N的坐标为,∴PB==,PN=,BN==.△PBN以BN为腰的等腰三角形,分二种情况:①当PB=BN,即=时,解得n=±,此时点P的坐标为或.②当PN=BN,即=时,解得n=,此时点P的坐标为或.综上可知:在抛物线的对称轴l上存在点P,使△PBN是以BN为腰的等腰三角形,点P的坐标为或或或.10.解析(1)将A、C两点坐标代入抛物线解析式,得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+8.(2)①∵OA=8,OC=6,∴AC==10,过点Q作QE⊥BC与E点,则sin∠ACB===,∴=,∴QE=(10-m),∴S=·CP·QE=m×(10-m)=-m2+3m.②∵S=·CP·QE=m×(10-m)=-m2+3m=-(m-5)2+, ∴当m=5时,S取最大值;在抛物线对称轴l上存在点F,使△DFQ为直角三角形,∵抛物线y=-x2+x+8的对称轴为x=,D的坐标为(3,8), Q的坐标为(3,4),当∠FDQ=90°时,F1,当∠FQD=90°时,则F2,当∠DFQ=90°时,设F,则FD2+FQ2=DQ2,即+(8-n)2++(n-4)2=16,解得n=6±,∴F3,F4,满足条件的点F共有四个,分别为F1,F2,F3,F4,6-.11.解析(1)∵OA=8,∴OB=OA=4,∴B(4,0),∵y=-x2+bx+c的图象过点A(0,8),B(4,0), ∴解得∴二次函数的表达式为y=-x2-x+8.(2)①当y=0时,-x2-x+8=0,解得x1=4,x2=-8,∴C点坐标为(-8,0),∵D点坐标为(0,4),∴设直线CD的解析为y=kx+d(k≠0),故解得故直线DC的解析为y=x+4.如图,过点F作y轴的平行线交DC于点P,设F点坐标为,则P点坐标为, 则FP=-m2-m+4,∴S△FCD=·FP·OC=×-m2-m+4×8=-m2-6m+16,∵E为FD中点,∴=×=-m2-3m+8=-(m+3)2+,当m=-3时,有最大值,∴-m2-m+8=-×9+3+8=,E点纵坐标为×=,∴F,∴E.②∵F点坐标为,C点坐标为(-8,0),D点坐标为(0,4),∴M,又∵M点在抛物线上,∴-(m+8)2-(m+8)+8=-m2-m+12,解得m=-7,故=-m2-3m+8=.12.解析(1)直线y=-x+2与x轴交于B(2,0),与y轴交于C(0,2), 设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),把A(-1,0),B(2,0),C(0,2)的坐标代入,解得a=-1,b=1,c=2,∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2),∴DF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,所以x=1时,DF最大=1,∵OB=OC,∴△OBC为等腰直角三角形,∵DE⊥BC,DF∥y轴,∴∠DFE=∠OCB=45°,∴△DEF为等腰直角三角形,∴△DEF周长的最大值为1+.(3)存在.如图,当△DEF周长最大时,D(1,2),F(1,1).延长DF交x轴于H,作PM⊥DF于M,则DB=,DH=2,OH=1,当∠DFP=∠DBC时,△DFP∽△DBF,∴=,∴DP=,∴===,∴PM=,DM=,∴P点的横坐标为OH+PM=1+=,P点的纵坐标为DH-DM=2-=,∴P.13.解析(1)对于y=x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,∴C(0,2),A(-4,0),由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=-对称,∴点B的坐标为(1,0). ∵抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(1,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),又∵抛物线过点C(0,2),∴2=-4a,∴a=-,∴y=-x2-x+2.(2)设P.过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,∴Q,∴PQ=-m2-m+2-=-m2-2m,∵=×PQ×(x C-x A)=×PQ×4=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,∴当m=-2时,△PAC的面积有最大值4,易知S△ACB=×OC×AB=×2×5=5.则四边形PABC面积的最大值是9,此时P(-2,3).(3)存在.在Rt△AOC中,tan∠CAO=,在Rt△BOC中,tan∠BCO=,∴∠CAO=∠BCO,∵∠BCO+∠OBC=90°,∴∠CAO+∠OBC=90°,∴∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACO∽△CBO,如下图:①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC;③当点M在第四象限时,设M n,-n2-n+2,则N(n,0), ∴MN=n2+n-2,AN=n+4,当=时,MN=AN,即n2+n-2=(n+4),整理得n2+2n-8=0,解得n1=-4(舍),n2=2,∴M(2,-3);当=时,MN=2AN,即n2+n-2=2(n+4),整理得n2-n-20=0,解得n1=-4(舍),n2=5,∴M(5,-18).综上所述,存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.。
中考数学总复习 第三章 函数及其图象 第12课 函数及其图象课件
5．在函数 y＝2x3＋x 4中，自变量 x 的取值范围是_x_≠_－__2___． 6．写出图象经过点(－1，1)的一个函数的表达式是_y_＝__－__x_(答__案__不__唯__一__)_． 7．如图，l1 反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2 反映了该公司产 品的销售成本与销量的关系，当该公司盈利(收入大于成本)时，销售量必须 _大__于__4_．
基础落实
1．函数 y＝ x－5中，自变量 x 的取值范围是( C )
A. x≥－5
B. x≤－5
C. x≥5
D. x≤5
2．若点 A(－2，m)在正比例函数 y＝－12x 的图象上，则 m 的值是( C )
A.
1 4
B. －14
C. 1
D. －1
3．2015 年 5 月 10 日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的 中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿．接到通知后，小华立即 在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一小会，小华 继续录入并加快了录入速度，直至录入完成．设从录入文稿开始所经过的时 间为 x，录入字数为 y，下面能反映 y 与 x 的函数关系的大致图象是( C )
4．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续 散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离 s(m) 与散步所用时间 t(min)之间的函数关系，根据图象，下列信息错误的是( A )
(第 4 题图) A. 小明看报用时 8 min B. 公共阅报栏距小明家 200 m C. 小明离家最远的距离为 400 m D. 小明从出发到回家共用时 16 min
①出发 1 h 时，甲、乙在途中相遇； ②出发 1.5 h 时，乙比甲多行驶了 60 km； ③出发 3 h 时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中，正确结论的个数是( )
2012年中考复习 第三章 函数及其图象测试(含答案)
第三章 《函数及其图象》自我测试[时间：90分钟 分值：100分]一、选择题(每小题3分，满分30分) 1．(2011·衡阳)函数y ＝x ＋3x －1中自变量x 的取值范围是( )A ．x ≥－3B ．x ≥－3且x ≠1C ．x ≠1D ．x ≠－3且x ≠1 2．(2011·芜湖)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示， 则反比例函数y ＝ax 与一次函数y ＝bx ＋c 在同一坐标系中的大致图象是( )A B C D3．(2011·广州)下列函数中，当x >0时，y 值随x 值增大而减小的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x －1C ．y ＝34xD ．y ＝1x4．(2011·东营)如图，直线l 和双曲线y ＝kx (k >0)交于A 、B 两点，P是线段AB 上的点(不与A 、B 重合)，过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则( ) A. S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1>S 2>S 3 C ．S 1＝S 2>S 3 D ．S 1＝S 2<S 35．(2011·黄石)设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( )A ．1<α<β<2B ．1<α<2 <βC ．α<1<β<2D ．α<1且β>26．(2011·桂林)在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )A ．y ＝－(x ＋1)2＋2B ．y ＝－(x －1)2＋4C ．y ＝－(x －1)2＋2D ．y ＝－(x ＋1)2＋47．(2011·泰州)某公司计划新建一个容积V (m 3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S (m 2)与其深度h (m)之间的函数关系式为S ＝Vh(h ≠0)，这个函数的图象大致是( )A B C D8．(2011·菏泽)如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )A. a ＋b ＝－1 B ．a －b ＝－1 C ．b <2a D ．ac <0(第8题) (第9题) (第10题)9．(2010·常州)如图，一次函数y ＝－12x ＋2的图象上有两点A 、B ，A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为a (0<a <4且a ≠2)，过点A 、B 分别作x 的垂线，垂足为C 、D ，△AOC 、△BOD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1、S 2的大小关系是( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1<S 2 D ．无法确定10．(2011·宜宾)如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )A B C D 二、填空题(每小题3分，满分30分)11．(2011·广州)已知反比例函数y ＝kx的图象经过(1，－2)，则k ＝________.12．(2011·上海)一次函数y ＝3x －2的函数值y 随自变量x 值的增大而________(填“增大”或“减小”)．13．(2011·黄冈)如图，点A 在双曲线y ＝k x上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k ＝______.(第13题) (第17题) (第18题) 14．(2011·黄冈)已知函数y ＝{ ()x －12－1()x ≤3， ()x －52－1()x ＞3，则使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为________．15．(2011·黄石)若一次函数y ＝kx ＋1的图象与反比例函数y ＝1x 的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是________．16．(2011·潍坊)一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2,1)点；②当x >0时，y随x 的增大而减小．这个函数解析式为____________________(写出一个即可)． 17．(2011·内江)在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O 1、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…、A n B n C n C n －1按如图所示的方式放置，其中点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，点C 1、C 2、C 3、…、C n 均在x 轴上．若点B 1的坐标为(1,1)，点B 2的坐标为(3,2)，则点A n 的坐标为____________．18．(2011·衢州)在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝kx (k >0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为_______________．19．(2011·广安)如图所示，直线OP 经过点P (4, 4 3)，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3……S n 则S n 关于n 的函数关系式是________．(第19题) (第20题) 20．(2010·兰州)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__________米．三、解答题(21～22题各6分，23题8分，24～25题各10分)21．(2011·菏泽)已知一次函数y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx ，其中一次函数y ＝x ＋2的图象经过点P (k,5)．(1)试确定反比例函数的表达式；(2)若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．22．(2011·日照)某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表：空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店160150设集团调配给甲连锁店x 台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y (元)． (1)求y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？23．(2011·扬州)如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y(厘米)与注水时间x(分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)图2中折线ABC表示______槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示________槽中的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”、或“乙”)，点B的纵坐标表示的实际意义是______________________________________________________；(2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？(3)若乙槽底面积为36平方厘米(壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积；(4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米(壁厚不计)，求甲槽底面积(直接写结果)．24．(2011·温州)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4,0)，点B 的坐标为(0，b)(b>0). P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y 轴的对称点为P′(点P′不在y轴上)，连结PP′、P′A、P′C.设点P的横坐标为a.(1)当b＝3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是(－1，m)，求m的值；(2)若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D.当P′D∶DC＝1∶3时，求a的值；(3)是否同时存在a、b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a、b的值；若不存在，请说明理由．25．(2011·安徽)如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0).(1)求证h1＝h3;(2)设正方形ABCD的面积为S，求证S＝(h2＋h3)2＋h12；(3)若32h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．参考答案一、选择题(每小题3分，满分30分) 1．(2011·衡阳)函数y ＝x ＋3x －1中自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥－3 B ．x ≥－3且x ≠1 C ．x ≠1 D ．x ≠－3且x ≠1 答案 B解析 由x ＋3≥0且x －1≠0，得x ≥－3且x ≠1.2．(2011·芜湖)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则反比例函数y ＝ax 与一次函数y＝bx ＋c 在同一坐标系中的大致图象是( )A B C D答案 D解析 由抛物线的位置，得a <0，b <0，c ＝0，所以双曲线y ＝ax 分布在第二、四象限，直线y ＝bx ＋c 过原点，且经过第二、四象限．3．(2011·广州)下列函数中，当x >0时，y 值随x 值增大而减小的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x －1C ．y ＝34xD ．y ＝1x答案 D解析 y ＝1x分布第一、三象限，当x >0时，y 随x 的增大而减小．4．(2011·东营)如图，直线l 和双曲线y ＝kx (k >0)交于A 、B 两点，P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合)，过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则( ) A. S 1＜S 2＜S 3 B ．S 1>S 2>S 3 C ．S 1＝S 2>S 3 D ．S 1＝S 2<S 3 答案 D解析 S 1＝S △AOC ＝12k ，S 2＝S △BOD ＝12k ，S 3＝S △POE >12k .所以S 1＝S 2<S 3.5．(2011·黄石)设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( )A ．1<α<β<2B ．1<α<2 <βC ．α<1<β<2D ．α<1且β>2 答案 D解析 当y ＝(x －1)(x －2)时，抛物线与x 轴交点的横坐标为1,2，抛物线与直线y ＝m (m >0)交点的横坐标为α，β，可知α<1，β>2.6．(2011·桂林)在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )A ．y ＝－(x ＋1)2＋2B ．y ＝－(x －1)2＋4C ．y ＝－(x －1)2＋2D ．y ＝－(x ＋1)2＋4 答案 B解析 抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的顶点为(－1,2)，与y 轴交于点(0,3)，开口向上；旋转后其顶点为(1,4)，开口向下. 所以y ＝－(x －1)2＋4.7．(2011·泰州)某公司计划新建一个容积V (m 3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S (m 2)与其深度h (m)之间的函数关系式为S ＝Vh(h ≠0)，这个函数的图象大致是( )答案 C解析 S ＝Vh(h ≠0)，S 是h 的反比例函数，当h >0时，图象仅在第一象限．8．(2011·菏泽)如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )A. a ＋b ＝－1 B ．a －b ＝－1 C ．b <2a D ．ac <0 答案 B解析 由OA ＝OC ＝1，得A (－1,0)，C (0,1)，所以{ a －b ＋c ＝0， c ＝1，则a －b ＝－1.9．(2010·常州)如图，一次函数y ＝－12x ＋2的图象上有两点A 、B ，A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为a (0<a <4且a ≠2)，过点A 、B 分别作x 的垂线，垂足为C 、D ，△AOC 、△BOD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1、S 2的大小关系是( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1<S 2 D ．无法确定 答案 A解析 当x ＝2时，y ＝－12x ＋2＝1，A (2,1)，S 1＝S △AOC ＝12×2×1＝1；当x ＝a 时，y ＝－12x ＋2＝－12a ＋2，B (a ，－12a ＋2)，S 2＝S △BOD ＝12×a ×⎝⎛⎭⎫－12a ＋2＝－14a 2＋a ＝－14(a －2)2＋1，当a ＝2时，S 2有最大值1，当a ≠2时，S 2<1.所以S 1>S 2.10．(2011·宜宾)如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )A B C D答案 B解析 当点P 在AD 上时，S △APD ＝0；当点P 在DC 上时，S △APD ＝12×4×(x －4)＝2x －8；当点P 在CB 上时，S △APD ＝12×4×4＝8；当点P 在BA 上时，S △APD ＝12×4×(16－x )＝－2x ＋32.故选B.二、填空题(每小题3分，满分30分)11．(2011·广州)已知反比例函数y ＝kx的图象经过(1，－2)，则k ＝________.答案 －2解析 点(1，－2)在双曲线y ＝kx上，有k ＝1×(－2)＝－2.12．(2011·上海)一次函数y ＝3x －2的函数值y 随自变量x 值的增大而________(填“增大”或“减小”)． 答案 增大解析 一次出数y ＝3x －2，k ＝3>0，可知y 随x 的增大而增大．13．(2011·黄冈)如图，点A 在双曲线y ＝k x上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k ＝______.答案 －4解析 设A (x ，y )．S △AOB ＝12OA ·AB ＝12·|x |·|y |＝12x ·(－y )＝－12xy ＝2.所以xy ＝－4，即k ＝－4.14．(2011·黄冈)已知函数y ＝{ ()x －12－1()x ≤3， ()x －52－1()x ＞3，则使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为________． 答案 3解析 如图，画函数图象．当y ＝3时，对应的x 值恰好有三个，∴k ＝3.15．(2011·黄石)若一次函数y ＝kx ＋1的图象与反比例函数y ＝1x 的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是________． 答案 k <－14解析 直线y ＝kx ＋1与双曲线y ＝1x 没有公共点，则方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1， y ＝1x 无实根，kx ＋1＝1x ，kx 2＋x －1＝0，得{ k ≠0， 1＋4k <0，解之，得⎩⎨⎧k ≠0， k <－14，所以k <－14. 16．(2011·潍坊)一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2,1)点；②当x >0时，y随x 的增大而减小．这个函数解析式为____________________(写出一个即可)． 答案 如：y ＝2x，y ＝－x ＋3，y ＝－x 2＋5等，写出一个即可17．(2011·内江)在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O 1、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…、A n B n C n C n －1按如图所示的方式放置，其中点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，点C 1、C 2、C 3、…、C n 均在x 轴上．若点B 1的坐标为(1,1)，点B 2的坐标为(3,2)，则点A n 的坐标为____________．答案 (2n －1－1,2n －1)解析 可求得A 1(0,1)，A 2(1,2)，A 3(3,4)，A 4(7,8)，…，其横坐标0,1,3,7…的规律为2n－1－1，纵坐标1,2,4,8…的规律为2n －1，所以点A n 的坐标为(2n －1－1,2n －1)．18．(2011·衢州)在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝kx (k >0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为_______________．答案 (8，32)解析 在Rt △AOB 中，AO ＝10.sin ∠AOB ＝AB AO ＝35，则AB ＝6，OB ＝8.又点C 是AC 中点，得C (4,3)，k ＝4×3＝12，y ＝12x .当x ＝8时，y ＝128＝32.∴D 坐标为⎝⎛⎭⎫8，32. 19．(2011·广安)如图所示，直线OP 经过点P (4, 4 3)，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3……S n 则S n 关于n 的函数关系式是________．答案 (8n －4) 3解析 设直线OP 的解析式为y ＝kx ，由P (4,4 3)，得4 3＝4k ，k ＝3，∴y ＝3x .则S 1＝12×(3－1)×(3＋3 3)＝4 3，S 2＝12×(7－5)×(5 3＋7 3)＝12 3，S 3＝12×(11－9)×(9 3＋11 3)＝20 3，……，所以S n ＝4(2n －1)3＝(8n －4) 3.20．(2010·兰州)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__________米． 答案 0.5解析 如下图，建立平面直角坐标系，可得抛物线y ＝ax 2＋c 经过点(－0.5,1)，(1,2.5)，则⎩⎨⎧14a ＋c ＝1， a ＋c ＝2.5，解之，得{ a ＝2， c ＝0.5，∴y ＝2x 2＋0.5，抛物线顶点坐标为(0,0.5)，距地面的距离为0.5米．三、解答题(21～22题各6分，23题8分，24～25题各10分)21．(2011·菏泽)已知一次函数y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx ，其中一次函数y ＝x ＋2的图象经过点P (k,5)．(1)试确定反比例函数的表达式；(2)若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标． 解 (1)因为直线y ＝x ＋2过点P (k,5)， ∴5＝k ＋2，k ＝3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x.(2)解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋2， y ＝3x ，得{ x ＝1， y ＝3，或{ x ＝－3， y ＝－1.故第三象限的交点Q 的坐标为(－3，－1)．22．(2011·日照)某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表：空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店160150设集团调配给甲连锁店x 台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y (元)． (1)求y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？解 (1)根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱(70－x )台， 调配给乙连锁店空调机(40－x )台，电冰箱(x －10)台，则y ＝200x ＋170(70－x )＋160(40－x )＋150(x －10)，即y ＝20x ＋16800.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，70－x ≥0，40－x ≥0，x －10≥0，∴10≤x ≤40.∴y ＝20x ＋16800(10≤x ≤40)．(2)按题意知：y ＝(200－a )x ＋170(70－x )＋160(40－x )＋150(x －10)， 即y ＝(20－a )x ＋16800. ∵200－a ＞170，∴a ＜30.当0＜a ＜20时，y 随x 增大而增大，则x ＝40时，利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a ＝20时，x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润相同；当20＜a ＜30时，y 随x 增大而减小，x ＝10时，利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台．23．(2011·扬州)如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y (厘米)与注水时间x (分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)图2中折线ABC 表示______槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示________槽中的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”、或“乙”)，点B 的纵坐标表示的实际意义是______________________________________________________；(2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？(3)若乙槽底面积为36平方厘米(壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积；(4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米(壁厚不计)，求甲槽底面积(直接写结果)．解 (1)乙，甲；乙槽内的圆柱形铁块的高度为14厘米．(2)设线段AB 的解析式为y 1＝kx ＋b ，由过点(0,2)、(4,14)，可求得解析式为y 1＝3x ＋2； 设线段DE 的解析式为y 2＝mx ＋n ，由过点(0,12)、(6,0)，可求得解析式为y 2＝－2x ＋12； 当y 1＝y 2时，3x ＋2＝－2x ＋12，∴x ＝2.∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．(3)∵水由甲槽匀速注入乙槽，∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍． 设乙槽底面积与铁块底面积之差为S ，则 (14－2)S ＝2×36×(19－14)，解得S ＝30cm 2. ∴铁块底面积为36－30＝6cm 2. ∴铁块的体积为6×14＝84cm 3. (4)甲槽底面积为60cm 2.∵铁块的体积为112cm 2，∴铁块底面积为112÷14＝8(cm 2)． 设甲槽底面积为s (cm 2)，则注水的速度为12s6＝2s (cm 3/min)．由题意得2s ×6－4 19－14－2s ×414－2＝8，解得s ＝60.∴甲槽底面积为60cm 2.24．(2011·温州)如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标为(－4,0)，点B 的坐标为(0，b )(b >0). P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C .记点P 关于y 轴的对称点为P ′(点P ′不在y 轴上)，连结PP ′、P ′A 、P ′C .设点P 的横坐标为a . (1)当b ＝3时，①求直线AB 的解析式；②若点P ′的坐标是(－1，m )，求m 的值；(2)若点P 在第一象限，记直线AB 与P ′C 的交点为D .当P ′D ∶DC ＝1∶3时，求a 的值； (3)是否同时存在a 、b ，使△P ′CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a 、b 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)①设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋3， 把x ＝－4，y ＝0代入上式，得－4k ＋3＝0， ∴k ＝34，∴y ＝34x ＋3.②由已知得，点P 的坐标是(1，m )， ∴m ＝34×1＋3，∴m ＝334.(2)∵PP ′∥AC ， ∴△PP ′D ∽△ACD ， ∴P ′D DC ＝P ′P CA ，即2a a ＋4＝13， ∴a ＝45.(3)以下分三种情况讨论． ①当点P 在第一象限时，i)若∠AP ′C ＝90°，P ′A ＝P ′C (如图1)，过点P ′作P ′H ⊥x 轴于点H ， ∴PP ′＝CH ＝AH ＝P ′H ＝12AC ，∴2a ＝12(a ＋4)，∴a ＝43.∵P ′H ＝PC ＝12AC ，△ACP ∽△AOB ，∴OB OA ＝PC AC ＝12，即b 4＝12， ∴b ＝2.ii)若∠P ′AC ＝90°，P ′A ＝CA (如图2)，则PP ′＝AC ，∴2a ＝a ＋4，∴a ＝4.∵P ′A ＝PC ＝AC ，△ACP ∽△AOB ， ∴OB OA ＝PC AC ＝1，即b4＝1，∴b ＝4. iii)若∠P ′CA ＝90°，则点P ′、P 都在第一象限，这与前提条件矛盾， ∴△P ′CA 不可能是以C 为直角顶点的等腰直角三角形．②当点P 在第二象限时，∠P ′CA 为锐角(如图3)，此时△P ′CA 不可能是等腰直角三角形．③当点P 在第三象限时，∠P ′AC 为钝角(如图4)，此时△P ′CA 不可能是等腰直角三角形．∴所有满足条件的a 、b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝4.25．(2011·安徽)如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3(h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0). (1)求证h 1＝h 3;(2)设正方形ABCD 的面积为S ，求证S ＝(h 2＋h 3)2＋h 12；(3)若32h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况．解 (1)过A 点作AF ⊥l 3分别交l 2、l 3于点E 、F ，过C 点作CH ⊥l 2分别交l 2、l 3于点H 、G ，利用两角一边对应相等，证△ABE ≌△CDG 即可．(2)易证△ABE ≌△BCH ≌△CDG ≌△DAF ，且两直角边长分别为h 1、h 3＋h 2，四边形EFGH 是边长为h 2的正方形，所以S ＝4×12h 1()h 3＋h 2＋h 22＝2h 1h 3＋2h 1h 2＋h 22＝2h 12＋2h 1h 2＋h 22＝(h 1＋h 2)2＋h 12.(3)由题意，得h 2＝1－32h 1，所以S ＝⎝⎛⎭⎫h 1＋1－32h 12＋h 12＝54h 12－h 1＋1＝54⎝⎛⎭⎫h 1－252＋45.又⎩⎪⎨⎪⎧h 1>0，1－32h 1>0， 解得0＜h 1＜23.∴当0＜h 1＜25时，S 随h 1的增大而减小；当h 1＝25时，S 取得最小值45；当25＜h 1＜23时，S 随h 1的增大而增大．。
中考数学复习第三章函数讲义
第三章函数第一节函数及其图象【考点1】平面直角坐标系及点的坐标1. 在平面内两条且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系。
2. 建立了平面直角坐标系的平面称为坐标平面。
3.坐标平面内每一个点P都对应着一个坐标x和一个坐标y，我们称一对有序实数P(x，y)，即点P的坐标。
4. 平面直角坐标系中点的特征【考点2】函数的有关概念及其表达式1. 变量：某一变化的过程中可以取不同数值的量叫做变量。
2. 常量：某一变化的过程中保持相同数值的量叫做常量。
3. 函数：在某一变化的过程中有两个量x和y，如果对于x的每一个值，y都有的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是，y是因变量。
4. 函数的表示方法有：、、。
在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数。
5. 画函数图象的一般步骤：列表、、。
【考点3】函数自变量的取值范围与函数值【中考试题精编】 1. 在函数中3-x =y ，自变量x 的取值范围是 ( )A. x ≠3B. x ＞3C. x ＜3D. x ≥32. 王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料，如图是王芳离家的距离与时间的函数关系图象，若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）A. B. C. D.3. 函数1-x 2=y 中，自变量的取值范围是 。
4. 在函数x x y +-=31中，自变量x 的取值范围是 .5. 根据图中的程序，当输入x=2时，输出结果是 。
第二节 一次函数【考点1】一次函数的概念如果y=kx+b (k,b 为常数，且 )，那么y 叫做x 的一次函数。
当b=0时，也就是y=kx(k ≠0)，这时称y 是x 的正比例函数。
【考点2】一次函数的图象和性质 的增大而减小【考点3】一次函数与一次方程和一次不等式的关系一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0) （1）当y=0时，一元一次方程kx+b=0(2) 当y ＞0或y ＜0时，一元一次不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0【提示】当一次函数中的一个变量的值确定时，可用一元一次方程确定另一个变量的值；当 已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可用一元一次不等式（组）确定另一个变量的取值。
中考数学复习课件(全国通用版)：第三单元 函数及其图象(123张PPT)【学霸笔记、状元学案、名师教案】
第11课时┃ 考点聚焦
考点3 图形变换引起点的坐标的变化
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或 向左)平移a个单位长度，可以得到对应点 点的平移 ________( (x＋a，y) 或( x－a，y) ；将点(x，y)向上 ________) (或下)平移b个单位长度，可以得到对应点 (x，y＋b) 或（ ________ (________) x， y － b） 图形的 平移 图形的平移只改变图形的位置(图形上所 有点的坐标都要发生相应的变化)，不改 变图形的大小和形状
第11课时┃ 考点聚焦
考点6
函数的表示方法
表示方法
(1)列表法
(2)图象法
(3)解析法
使用指导
表示函数时，要根据具体情况选择适 当的方法，解决问题时，常常综合应 用这三种方法来深入研究函数的性质
第11课时┃ 考点聚焦 考点7 函数图象的概念及画法
一般地，对于一个函数，如果以自变量与因变量 的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那 概念 么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象 画法 (1)列表；(2)描点；(3)连线 步骤
点到两坐标轴 的距离 点到原点的距离
第11课时┃ 考点聚焦
(1)x 轴上两点 P1(x1，0)与 P2(x2，0)的距离 P1P2 ＝|x1－x2|； 坐标轴 (2)y 轴上两点 Q1(0，y1)与 Q2(0，y2)的距离 Q1Q2 上两点 ＝|y1－y2|； 间距离 (3)x 轴上一点 P(x，0)与 y 轴上一点 Q(0，y)的 距离 PQ＝ x2＋y2
对应关 坐标平面内的点与有序实数对是 ________ 一一 对 系 应的 (1)各象限内点的坐标的特征 点 P(x, y)在第一象限 ⇔____________ ； x>0 y>0 x<0 y>0 ； 点 P(x, y)在第二象限 ⇔____________ 平面内 点 P(x, y)在第三象限 ⇔____________ x<0 y<0 ； 点 P(x， 点 P(x, y)在第四象限 ⇔____________ x>0 y<0 y)的 (2)坐标轴上点的坐标的特征 坐标的 点 P(x, y)在 x 轴上⇔__________________ y＝0，x为任意实数； 特征 点 P(x, y)在 y 轴上⇔__________________ x＝0，y为任意实数； 点 P(x, y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ⇔x、y 同 时为零，即点 P 的坐标为(0, 0)； 坐标轴上的点 不属于任何象限
精选-中考数学总复习第三单元函数及其图像第12课时一次函数的应用课件
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考点聚焦
考点 一次函数的应用
一次函数在现实生活中有着广泛的应用,在解答一次函数的应用题时,应从给定的信息中抽象
建模思想 出一次函数关系,理清哪个是自变量,哪个是自变量的函数,确定出一次函数,再利用一次函数的
图像与性质求解,同时要注意自变量的取值范围
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课前双基巩固
5. [2018·义乌] 实验室里有一个水平放置的长方体容器,从内部量得它的高是 15 cm,底面的长是 30 cm,宽是 20 cm,
容器内的水深为 x cm.现往容器内放入如图 12-3 的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面),过顶点 A 的三条
棱的长分别为 10 cm,10 cm,y cm(y≤15),当铁块的顶部高出水面 2 cm 时,x,y 满足的关系式是
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2. [八上 P157 问题 2 改编] 某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同.以每月用车里程 x km 计算,甲汽车租
赁公司的月租费是 y1 元,乙汽车租赁公司的月租费是 y2 元.如果 y1,y2 与 x 之间的关系如图 12-1,那么:
(1)每月用车里程 2000 km 时,租用两家汽车租赁公司的
实际问题 中一次函 数的最大(小)值
在实际问题中,自变量的取值范围一般受到限制,一次函数的图像就由直线变成线段或射线, 根据函数图像的性质,就存在最大值或最小值
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对点演练
题组一 必会题
1. 一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,燃烧时剩下的 高度 h(单位:cm)与燃烧时间 t(单位:h)(0≤t≤4) 之间的关系是 h=-5t+20 .
(中考数学复习)第12讲-一次函数及其图象-课件-解析
课堂回顾 · 巩固提升
(2)由题意，得xy＝2 000，
浙派名师中考
－x2＋130x－4 000＝0， 解得x1＝50，x2＝80＞70(舍去)． 答：该机器的生产数量为50台． (3)设每月销售量z(台)与售价a(万元∕台)之间的函数关系式为z＝ ka＋b，由函数图象，得
基础知识 · 自主学习 题组分类 · 深度剖 课堂回顾 · 巩固提升
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浙派名师中考 6．如图12－3所示，直线y＝kx＋b经过点A(－1，－2)和点B(－
2，0)，直线y＝2x过点A，则不等式2x<kx＋b<0的解集为 __－__2_＜__x_＜__－__1___．
图12－3
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B．x＞0
C．x＜2
D．x＞2
图12－2
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浙派名师中考
5．(2013·泰安)把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y ＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是 ( C ) A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4 解析：把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后可得：y＝－x ＋3＋m，求出直线y＝－x＋3＋m与直线y＝2x＋4的交点， 再由此点在第一象限可得出m的取值范围．解得m＞1.
浙派名师中考
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浙派名师中考
题组三 函数、方程、不等式的结合 【例4】 (2012·乐山)已知一次函数y＝ax＋b的图象过第一、
第12章一次函数期末复习一次函数的图象及其性质课件
复习要点 3.正比例函数y =kx的图象及其性质
当k＞0时，y随着x的增大而增大；图象经过第三、一象限.
当k＜0时，y随着x的增大而减小；图象经过第二、四象限.
y
y
y=kx
O
x
y=kx
O
x
复习要点
4.一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx图象的关系
A．y＝－2x＋3
B．y＝－2＋3x
C．y＝－3x－2
D．y＝3－2x
4.一次函数y＝mx＋|m－1|的图象过点(0，2)，且y
随x的增大而增大，则m＝( B ).
A．－1 B．3 C．1 D．－1或3
练习巩固
5.点A(4，m) ，B(4.7，n)都在直线y=2.3x－5上，则
m与n之间的关系是( B ).
Ox
∴ m＋1=－1＜0
A.
B.
y
即k＜0
y
∵ m＜－2 ∴－m＞2
O x∴ 1－m＞1 ＋2＞0
C.
即b＞0
Ox
D.
10.直线y=kx＋2与y=2x＋k在同一坐标系内的
大致图象是( D ).
y
k＞0
k＜0
O
x
y k＞0
k＜0
O
x
A. y k＜0 k＞0
O
x
B.
y k＜0 k＜0
b＞0
O
x
C.
D.
y
y=kx＋b y=kx
O
x
y=kx＋b
复习要点 8.用待定系数法求一次函数解析式一般步骤： (1)先设出一次函数解析式为y=kx＋b； (2)将已知两点的坐标代入所设的解析式，建立
中考数学复习 第三章函数及其图象 第12课 一次函数及其图象课件
x －1 0 1 2
3
4
y
6
4 2 0 －2 －4
解析：观察表格，可得当x＝2时，y＝0，所以方程ax＋b＝ 0的解是x＝2.
(2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式－x＋b>0 的解集是 x<2 ．
解析：直线y＝－x＋b与x轴交于(2,0)，可知x＝2时y＝0， 所以不等式－x＋b>0的解是x<2.
2. 用函数观点看一次函数与一次方程(组)、不等式的内在联系 用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看
问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联 系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a、b为常数， a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值 为0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y ＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标；一元一次不等式都可以转化 为ax＋b>0或ax＋b<0的形式，解一元一次不等式可以看做当一次函 数的函数值y大于或小于0时，求自变量x相应的取值范围．从图象 上看，一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上的部分对应y>0，这时对应 的自变量x的所有取值为不等式ax＋b>0的解集，同理，一次函数图 象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为ax＋b<0的解集．利用一 次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的 解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．
在Rt△AOB中，OA＝5，
则由tan30°＝O5B
，得OB＝
5 3
3 ，即b＝53 3.
题型分类 深度剖析
题型一 一次函数y＝kx＋b对图象及性质的影响
福建专版中考数学复习第三单元函数及其图象第12课时一次函数的应用课件
关系如图12-3所示,下列说法错误的是
( C )
A.小明中途休息用了20分钟
B.小明休息前爬山的速度为每分钟70米
C.小明在上山过程中所走的路程为6600米
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
图12-3
4.如图 12-4,已知函数 y=ax+b 和 y=kx 的图象交于点 P,则根据图象可得,关于 x,y
175
,x>
3
.
3
.
,
例2[2019·德州]下表中给出A,B,C三种手机通话的收费方式.
收费方式
月通话费/元
包时通话时间/时
超时费/(元/分)
A
30
25
0.1
B
50
50
0.1
C
100
不限时
(3)小王、小张今年5月份通话费均为80元,但小王比小张通话时间长,求小王该
月的通话时间.
(3)∵小王、小张今年5月份通话费均为80元,但小王比小张通话时间长,
∴结合图象可得:小张选择的是方式A,小王选择的是方式B,
∴6x-250=80,解得:x=55,∴小王该月的通话时间为55小时.
| 考向精练 |
[2017·衢州]五一期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能
源汽车自驾出游.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需
出的时间 t(分钟)之间的函数关系式是 ( C )
A.Q=20-5t
1
C.Q=20− t
5
1
B.Q= t+20
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第12课时 一次函数课件
设l2：y=kx+b，把点A(2,0)，点C(0,-1)代入，得：
2k b 0 b 1 ,
∴
k
1 2
.
b 1
∴l2的解析式为：y 1 x 1. 2
A.-2或4
B.2或-4
y 4与x b 3
y 的 图4 x象1 3（D）
C.4或-6
D.-4或6
【解析】将一次函数 两y平 行43 x线间变1 的形距为离为4：x
y 4变x 形b为 3
3y 3 0.
4x 3y d
3b
4x 3y 3b 0.
4x 3y 3 3 b 1
3
解得：b=-4或b=6.故选择D选项. 此题4考2 查了3一2 次函数的5性质，以及含绝对值
第三单元 函数及其 图象
第12课时 一次函数
考纲考点
（1）一次函数的意
知识体系图
一次函数
一次函数的定义 一次函数的图象和性质 一次函数解析式的确定 用函数观点看方程（组）不等式
3.2.1 正比例函数的定义与图象
1.定义：一般地，形如y=kx（k是常数，
3.2.2 一次函数的定义
3.2.3 一次函数的图象与性质
【例2】（2016年邵阳）一次函数y=-x+2的图象不经过的象限是 （C）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】此题考查了一次函数的图象与性质，∵k=1＜0∴该图象必过二、四 象限，又∵b=2＞0，∴该图象过第一象限，故C选项符合题意.
【例3】（2016年无锡）一次函数
中考数学总复习 第三单元 函数及其图象 第12课时 一次函数的应用课件
第十四页，共二十六页。
课堂互动探究
【答案】(1) 30≤x≤80
(2) 最低费用 1920，方案把甲仓库 80 吨全部运往 A 港口,再从乙仓库运 20 吨往 A 港口,运 50 吨往 B 港口
【解析】(1)由从甲仓库运 x 吨往 A 港口,知从甲仓库运往 B 港口的有(80-x)吨;从乙仓库运往 A 港口的有(100-x)
∴当 x=80 时总运费最小,最低费用 y=-8×80+2560=1920(元).
此时的方案为:把甲仓库
80 吨全部运往 A 港口,再从乙仓库运 20 吨往 A 港口,运 50 吨往 B 港口.
2021/12/9
第十五页，共二十六页。
课堂互动探究
探究二
建立( jiànlì)一次函数的模型,利用其图象解决行程问题
∴0≤x≤200.
240- ≥ 0,
300-(240-) ≥ 0,
2021/12/9
又∵4＞0,∴y
随 x 的增大而增大,∴当 x=0 时,y 最小=10040.答:最少总运费为 10040 元.
第十二页，共二十六页。
课堂互动探究
【解析】(3) 设减少运费后总运费为 w 元,
则 w=(20-a)x+25(200-x)+15(240-x)+24[300-(240-x)]=(4-a)x+10040(0≤x≤200).
数的图象与性质求解,同时要注意自变量的取值范围.
一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量x的取值范围是全体实数,图象是直线,因此一次函数没有最大值与最小值,但由实际
(shíjì)问题得到的一次函数表达式,自变量的取值一般受到限制,其图象为线段或射线,根据函数图象的性质,就存在最大值或最小值.
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们结合起来使用．
基础自测
1．(2011· 潼南)目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用 水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约 0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测
试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，
请写出y与x之间的函数关系式是( B ) A．y＝0.05x B. y＝5x
答案： 增大．
题型三
一次函数与一次方程、一次不等式综合问题
【例3】 (1)已知一次函数y＝ax＋b(a≠0)中，x、y的部分对应值如 下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是________． 答案 解析 x＝2 观察表格，可得当x＝2时，y＝0，所以方程ax＋b＝0的解
是x＝2.
题型三
一次函数与一次方程、一次不等式综合问题 x＝2
一般地，每个二元一次方程组，也对应两条直线，从“数”的
角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等， 以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标．
方程(组)、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它 们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它
探究提高
1.数形结合，把数式和图形结合起来进行思考，互相解释、 互相补充．
2.认真审题，理解题意，看懂坐标轴及图象上的点所表示的
实际意义，是解决这类问题的关键，注意分段函数是由自变量 的取值决定的．
知能迁移4
(2010· 巴中)“保护环境，人人有责．”为了更好地治
理巴河，巴中市污水处理厂决定购买A、B两型治水处理设备， 共10台，其信息如下表：
y的值随x增大的增减情况(即增减性)；反之，若知道一次函数的增
减性，就能推断系数k的符号；一次函数的图象直线y＝kx＋b与y 轴交点(0,b)，根据交点的位置，就能推断b的符号．
知能迁移1
(1)(2011· 衡阳)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x
轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y随x的增大而减小； ②b>0；③关于x的方程kx＋b＝0的解 为x＝2.其中说法正确的有 ①②③ (把你认为说法正确的序号都填上)；
OB 5 5 3 ，得OB＝ 3 ，即b＝ . 5 3 3
题型分类 深度剖析
题型一 一次函数y＝kx＋b对图象及性质的影响 B．第二象限 D．第四象限
【例 1】 (1)一次函数y＝x＋2的图象不经过( D )
A．第一象限 C．第三象限
解析：直线y＝x经过第一、三象限，向上平移2个单位得
直线y＝x＋2，而直线y＝x＋2经过第一、二、三象限， 不经过第四象限，应选D.
(2)一次函数的图象过点(0,2)，且函数y的值随自变量x的增大而增 大，请写出一个符合条件的函数解析式 y＝x＋2(只需k>0即可) ． 解析：设y＝kx＋2，又y随x的增大而增大，所以k>0， ∴符合条件的有：y＝x＋2(只需k>0即可)． 探究提高 根据一次函数的性质，若已知系数k的符号就可以直接说出函数
在边长为1的正方形网格格点上． (1)求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自 变量x的取值范围； (2)将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请画出线 段BC.若直线BC的函数解析式为y＝mx＋n，则y随x的增大而 (填“增大”或“减小”)．
解：(1)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b， 依题意，得A(1,0)，B(0,2)， 0＝k＋b， k＝－2， ∴ 解得 2＝0＋b， b＝2， ∴直线AB的函数解析式为y＝－2x＋2. 当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1. (2)线段BC即为所求．
当x>100时，y＝80x＋2000.
(2)100<x<400时，选方案二购买； x＝400时，两种方案都可以；
[3分]
x>400时，选方案一购买．
[6分]
(3)设甲、乙单位购买本次足球赛门票分别是a张、b张, ∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球赛门票, ∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况b≤100或b>100. a＋b＝700, ①当b≤100时， (60a＋10000)＋100b＝58000, a＝500, 解得 不合题意，舍去． [8分] b＝150 a＋b＝700, ②当b>100， (60a＋10000)＋(80b＋2000) ＝58000, a＝500, 解得 符合题意． b＝200 故甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张，200张.[10分]
第12课 一次函数及其图象
要点梳理
1. 概念： 形如函数 y＝kx＋b(k、b都是常数，且k≠0) 叫做一次函数， 其中x是自变量．特别地，当b＝0时，则把函数 正比例函数． 2. 正比例函数y＝kx的图象： 过 (0,0)，(1,k) 两点的一条直线． y＝kx 叫做
3. 正比例函数y＝kx的性质： (1)当k>0时， y随x的增大而增大 4. 一次函数y＝kx＋b的图象： ； (2)当k<0时， y随x的增大而减小 ．
x&l(2,0)，可知x＝2时y＝0， 所以不等式－x＋b>0的解是x<2. 探究提高 进一步熟悉函数图象的作法，通过图象体会一次函数与一元一
次方程，一元一次不等式的内在联系，提高识图能力，一次函数
y＝kx＋b，当y＝0，则kx＋b＝0，得到一元一次方程，当y>0，则 有kx＋b>0，得到一元一次不等式．
解析：因为直线过第一、二、三象限，所以x＝1>0，b>0，
故选D.
4．(2011· 泰安)知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，
则m、n的取值( D ) A．m＞0，n＜2
B．m＞0，n＞2
C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2 解析：由直线位置得 m＜0， ∴ m＜0， 故选D. n－2＞0， n＞2，
解：①当x＝1时，y＝x＋1＝1＋1＝2. ∴P(1,2)，b＝2. x＝1 ②方程组的解为 y＝2 ③∵点(1,2)在直线l2：y＝mx＋n上， ∴2＝m＋n.
当x＝1时，l3：y＝n＋m＝2.
∴点P在l3：y＝nx＋m上， 即直线y＝nx＋m经过点P.
题型四
方案优化问题
【例4】 在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x(张)，总费 用为y(元)．现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格 为每张60元(总费用＝广告赞助费＋门票费)； 方案二：购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，y与x的函数关系式 为 式为 ；方案二中， ； ； 当0≤x≤100时，y与x的函数关系 当x＞100时，y与x的函数关系式为
(2)已知一次函数y＝3x＋m－2的图象不经过第二象限，则m的 取值范围是 m<2 ． 解析：m－2<0，m<2.
题型二
待定系数法求一次函数的解析式
【例2】 如图，直线l1、l2相交于点A(2,3)，直线l1与x轴的交点坐 标为(－1,0)，直线l2与y轴的交点坐标为(0,－2)，结合图象解答
下列问题：
5. 一次函数y＝kx＋b的性质：
过
(0,b)， b，0 －
k
的一条直线．
(1) 当k>0时，y随x的增大而增大 ； (2) 当k<0时，y随x的增大而减小 ．
[难点正本 疑点清源]
1. 正确理解正比例函数与一次函数之间的关系 从解析式上看，对于一次函数的一般形式y＝kx＋b(k、b为常 数，k≠0)，当b＝0时，即可得到正比例函数的解析式y＝kx (k为常数，k≠0)．正比例函数是一次函数，而一次函数不全是 正比例函数．例如：函数y＝2x＋3是一次函数，但不是正比
4 －4
【例3】 (1)已知一次函数y＝ax＋b(a≠0)中，x、y的部分对应
值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是
x y －1 6 0 4 1 2 2 0 3 －2
．
解析：观察表格，可得当x＝2时，y＝0，所以方程ax＋b＝ 0的解是x＝2.
(2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式－x＋b>0 的解集是
单价(万元/台) 每台处理污水量(吨/月)
A型
B型
12
10
240
200
(1)设购买A型设备x台，所需资金共为W万元，每月处理污水总 量为y吨，试写出W与x，y与x的函数关系式； (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月 处理污水量不低于2040吨，请你举出所有购买方案，并指出哪 种方案最省钱，需要多少资金？
直线l2：y2＝ x－2与y轴交于点(0,－2)． 2 ∴三角形的面积＝ 1×[1－(－2)]×2＝3. 2 探究提高 k、b是一次函数y＝kx＋b的未知系数，这种先设待求函数关 系式，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而得出 所求结果的方法，就是待定系数法．
知能迁移2
(2011· 福州)如图，在平面直角坐标系中，A、B均
(2)如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案， 使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票 共700张，花去总费用计58000元．求甲、乙两单位各购买门票 多少张．
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：(1)y＝60x＋10000； 当0≤x≤100时，y＝100x； [1分] [2分]
例函数；而函数y＝2x是正比例函数，也是一次函数．即一次
函数包含正比例函数，二者不能并列；从函数图象上看，正 比例函数y＝kx的图象与y轴交于原点(0, 0)，一次函数y＝kx＋
b的图象与y轴交于(0, b)点，由此可知，直线y＝kx通过适当的
平移可得到直线y＝kx＋b.
2. 用函数观点看一次函数与一次方程(组)、不等式的内在联系 用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看 问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联 系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a、b为常数， a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值 为0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y ＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标；一元一次不等式都可以转化 为ax＋b>0或ax＋b<0的形式，解一元一次不等式可以看做当一次函 数的函数值y大于或小于0时，求自变量x相应的取值范围．从图象 上看，一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上的部分对应y>0，这时对应 的自变量x的所有取值为不等式ax＋b>0的解集，同理，一次函数图 象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为ax＋b<0的解集．利用一 次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的 解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．