专题01 导数及其应用(A卷)-2015-2016学年高一高二数学同步单元双基双测“AB”卷(新人教A版选修2-2)

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2015年高二导数及其应用测试卷

2
(
) A．7 米/秒 C．6 米/秒 B．5 米/秒 D．4 米/秒
8．定义在(0，＋∞)上的可导函数 f x 满足 f x x f x ，且 f(2)＝0，则 A．(0,2) C．(2，＋∞) 9 ．下列图象中有一个是函数 f x B．(0,2)∪(2，＋∞) D．∅
B.

1 2
3 3
C.
3 6
D． 1
3 6
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知曲线 y x 1 在 x x0 点处的切线与曲线 y 1 x 在 x x0 点处的切线互相平行，则 x0 的值为
2 3
20．(本试题满分 12 分) 已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C 25000 200 x （1）要使平均成本最低应生产多少件产品？（2）若产品以每件 500 元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？
2015 年高二导数及其应用测试卷
(时间：120 分钟满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．一个物体的运动方程为 s 1 t t ，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是
2
16．已知函数 f x
3x a 在区间 2, 上单调递减，则实数 a 的取值范围是________． x2
21．(本试题满分 12 分) 已知函数 f x
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本试题满分 10 分) 求函数 f x x 3 x 6 x 2 ， x 1, 1 的最值．

高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2_2【含答案】

高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2-2 知识网络专题探究专题一导数的几何意义及其应用1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x)0)处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用，利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系，在求解参数问题中经常用到．【例1】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．提示：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率k ＝0|x x y ='＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3x 02＋4＝0. ∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0.∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4， ∴x 0＝±2.∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.专题二利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ，e x，－x 3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f ′(x )的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．【例2】若a ≥－1，求函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)的单调区间．解：由已知得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝ax －1x ＋1(a ≥－1)， (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增．综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 上单调递减，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增．【例3】若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)内为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意当x ∈(1,4)时，f ′(x )＜0，当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )＞0. 故4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 因此a 的取值范围是[5,7]．专题三利用导数求函数的极值和最值1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根．(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号：若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值．若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．即导数为零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．【例4】(1)函数f (x )＝1x ＋2x 2＋1x 3，求y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12上的最值； (2)若a ＞0，求g (x )＝1x ＋2x 2＋ax3的极值点．解：(1)f ′(x )＝－(x ＋1)(x ＋3)x，令f ′(x )＞0，得－3＜x ＜－1，令f ′(x )＜0，得x ＜－3，或－1＜x ＜0，或x ＞0， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12时，x ，f ′(x )，f (x )的变化如下表：(2)g ′(x )＝－x 2＋4x ＋3ax 4，设u ＝x 2＋4x ＋3a ，Δ＝16－12a ，当a ≥43时，Δ≤0，即g ′(x )≤0，所以y ＝g (x )没有极值点．当0＜a ＜43时，x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a ＜0.∴g (x )的递减区间为(－∞，x 1)，(x 2,0)，递增区间为(x 1，x 2)． ∴有两个极值点x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a . 【例5】已知f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R .(1)若a ＝0，求函数y ＝f (x )在点(1，f (x ))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2－ln x ，所以f ′(x )＝2x －1x⇒f ′(1)＝1，f (1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x －y ＝0. (2)因为函数在[1,2]上是减函数，所以f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1,2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≤0，h (2)≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，得a ≤－72.(3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)．②当1a≥e 时，g ′(x )＜0在(0，e]上恒成立，所以g (x )在(0，e]上单调递减．g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．③当0＜1a ＜e 时，令g ′(x )＜0⇒0＜x ＜1a，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增．所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3. 专题四利用导数证明不等式从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f (x )＞g (x )，则构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证φ(x )＞0即可，由此转化成求φ(x )最小值问题，借助于导数解决．【例6】已知函数f (x )＝x 2ex －1－13x 3－x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解：(1)f ′(x )＝x (x ＋2)(ex －1－1)，由f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.当－2＜x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0；当x ＜－2或0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的，在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．(2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0，所以设h (x )＝ex －1－x .h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0得x ＝1，则当x ＜1时，h ′(x )＜0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减，因此当x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＞1时，h ′(x )＞0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0，故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )．专题五导数的应用解决优化问题的步骤(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．【例7】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3＜x ＜6)．从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．专题六定积分的应用由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和．【例8】如图所示，求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)，故S ＝1⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋31⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝1⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋31⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝3222136x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231| ＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 专题七恒成立问题解决恒成立问题的方法(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )max ≤m . (2)若关于x 的不等式f (x )≥m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )min ≥m . (3)导数是解决函数f (x )的最大值或最小值问题的有力工具．【例9】已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .又当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x ∈(－∞，－3]，∴a ≥－3.(2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3，即mx ≤2x ·ln x ＋x 2＋3. 又x ＞0，∴m ≤2x ·ln x ＋x 2＋3x.令h (x )＝2x ·ln x ＋x 2＋3x，h ′(x )＝(2x ln x ＋x 2＋3)′·x －(2x ln x ＋x 2＋3)·x ′x2＝(2ln x ＋2＋2x )x －(2x ln x ＋x 2＋3)x2＝2x ＋x 2－3x2，令h ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3(舍)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )min ＝h (1)＝4，即m 的最大值为4.。

2015届高考数学总复习配套专题精讲：专题一高考中的导数应用问题(共64张PPT)

考点自测
高考题型突破
练出高分第十七页，编辑于星期五：十点十分。
高考题型突破
题型二
利用导数研究与不等式有关的问题
【例 2】已知 f(x)＝xln x，g(x) ＝－x2＋ax－3. (1)求函数 f(x)在[t，t＋2](t>0) 上的最小值； (2) 对一切 x∈(0 ，＋ ∞) ，
思维启迪解析思维升华
综上所述，当 a＝0 时，f(x)在 (－∞，0)上单调递减，在 (0，＋∞)上单调递增；当 a>0 时，f(x)在(－∞，0)，(2a，＋∞)上单调递减，在(0，2a)上单调递增；当 a<0 时，f(x)在(2a，0)上单调递减，在(－∞，2a)，(0，＋∞)上单调递增．
考点自测
高考题型突破
【例 1】已知函数 f(x)＝
思维启迪
解析
思维升华
x2e－ax，a∈R.
(1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x) (1)先求切点和斜率，再求的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程；
切线方程． (2)讨论 f(x)的单调性．
(2)先求 f′(x)，然后分 a＝0， a>0，a<0 三种情况求解．
(3)函数 g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有 g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex ＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数 g(x)在 x∈[－3,2]上单调递增，所以 h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0 在 x∈[－3,2]上恒成立．只要 h(2)≥0，解得 c≥11，所以 c 的取值范围是[11，＋∞)．
递增，求实数 c 的取值范围．
(2)由(1)可知 f(x)＝x3－x2－x＋c.

2015级高三数学导数及其应用专题

导数概念与运算1．导数的概念函数)(x f y =,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆)()(00x f x x f -∆+=，比值x y ∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到0x +x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x y∆∆有极限，我们就说函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '或0x x y ='。

即)(0x f ' =0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(002．导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率。

也就是说，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率是)(0x f '。

相应地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'= 4．两个函数的和、差、积、商的求导法则(.)'''v u v u ±=± .)('''uv v u uv += .)(''Cu Cu =(C 为常数)，)('vu=2''v uv v u -（0≠v ） 5．复合函数的求导①一般地，由几个函数复合而成的函数，称为复合函数。

(完整版)导数及其应用周练练习题(有详细答案).docx

高二数学《导数及其应用》一、选择题1. f ( x0 ) 0 是可导函数 f x 在点x0处取极值的:A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2、设曲线y x2 1 在点( x, f (x ))处的切线的斜率为g ( x) ，则函数y g( x)cos x 的部分图象可以为y yy yO x O x O x O x A. B. C. D.3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为π的点是 () 4A． (0,0)B． (2,4) C.11D.11 4，，4 1624. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点 (0 ，b) 处的切线方程是x－ y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝ 1 B ．a＝－ 1，b＝1 C ．a＝ 1，b＝－ 1 D． a＝－1， b＝－1 5．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋3x－ 9，已知f ( x) 在x＝－ 3 时取得极值，则a等于 () A． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 513226.已知三次函数 f ( x)＝3x－ (4 m－ 1) x＋ (15 m－ 2m－7) x＋ 2 在x∈( －∞，＋∞ ) 是增函数，则m的取值范围是 ()A． <2 或 >4 B ．－ 4< <－ 2C． 2< <4 D ．以上皆不正确m m m m7.直线 y x 是曲线y a ln x 的一条切线，则实数 a 的值为A．1 B ．e C ．ln 2 D ．18.若函数 f(x)x312 x在区间 ( k1, k 1) 上不是单调函数，则实数k 的取值范围（）A．k3或 1k 1或k 3B． 3 k1或1 k 3C．2k2D．不存在这样的实数k9. 10 ．函数f x的定义域为a, b ，导函数 f x在 a, b 内的图像如图所示，则函数 f x在a, b 内有极小值点A． 1 个B． 2 个C．3 个D． 4 个10. 已知二次函数 f (x)ax2bx c的导数为 f '( x) ， f '(0)0 ，对于任意实数x 都有 f ( x)0 ，则f (1)的最小值为A．3B．5C． 2D．3 22二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）11. 函数y sin x的导数为 _________________ x12、已知函数f ( x)x3ax 2bx a 2在x=1处有极值为10，则 f(2)等于 ____________. 13．函数y x 2cos x 在区间 [0,] 上的最大值是214．已知函数f ( x)x3ax 在R上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是15.已知函数 f (x) 是定义在R上的奇函数， f (1)0， xf (x) f (x)0，则不等式x2（x0）x 2f (x) 0 的解集是三、解答题（本大题共 6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0<x<2π，求函数f(x)的单调区间与极值．17.已知函数 f ( x) x3 3x .（Ⅰ）求 f ( 2) 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间.3（ 1）求f ( x)的单调区间和极值；（ 2）若关于x的方程 f ( x) a 有3个不同实根，求实数 a 的取值范围.（ 3）已知当x(1, )时 , f (x) k( x 1) 恒成立，求实数k 的取值范围.19. 已知 x 1 是函数 f (x) mx33(m 1) x2nx 1的一个极值点，其中m,n R, m 0（ 1）求 m 与 n 的关系式；（ 2）求 f ( x) 的单调区间；（ 3）当 x [ 1,1]，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m的取值范围。

高考数学导数及其应用专题卷(附答案)

高考数学导数及其应用专题卷（附答案）一、单选题1.函数的图象在处的切线方程为（）A. B. C. D.2.函数在上的最大值和最小值分别是（）A. B. C. D.3.曲线在处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a的值为( )A. B. 2 C. 4 D. 84.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足是偶函数，，则不等式的解集为（）.A. B. C. D.5.由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.6.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，有（）A. B.C. D.8.已知方程只有一个实数根，则的取值范围是（）A. 或B. 或C.D. 或9.己知与的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题11.如图，阴影部分是由曲线和及轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为________.12.值为________．13.若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________。

14.已知不等式恒成立，则的取值范围是________.15.已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为________16.牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton–Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，直到的近似值足够小，即把作为的近似解.设构成数列.对于下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号为________．三、解答题（共5题；共55分）17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求a的取值范围.18.已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．19.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当，时，若对于任意，都存在，使得，证明：.20.已知函数，，是的导函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在可上单调递增，求的取值范围；（3）求证：当时在区间内存在唯一极大值点.21.已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.答案一、单选题1. A2. C3. B4. A5. A6. C7. D8. A9. C 10. A二、填空题11. 12. 13. 14. 15. 16. ②④三、解答题17. （1）解：，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：因为，所以.令，得，令，得.令，得，即函数的减区间为，增区间为，所以，因为恒成立，所以，因为，所以，A的取值范围为.18. （1）解：f（x）的定义域为，f ′（x）=ae x–．由题设知，f ′（2）=0，所以a= ．从而f（x）= ，f ′（x）= ．当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a≥ 时，f（x）≥ ．设g（x）= ，则当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．19. （1）解：由题意得，，①当时，在上恒成立，在上单调递增；②当时，令则；令则，在上单调递增，在单调递减（2）证明：当时，，，令，，，则，，，，设，，则，在上单调递增，.20. （1）解：∵，，又∴在处的切线方程为（2）解：∵∴令，，则∵，，∴，∴在上单调递减，∴，（3）解：∵∴令，∴，显得在上单调递减，而得，取，则故存在使即在上单调递增，在上单调递减也即为的极大值点所以当时，在区间内存在唯一极大值点.21. （1）解：因为，所以，.令，解得或.函数的增区间是和，减区间是.（2）解：，.当时，，只有1个零点，不合题意.当时，.时，，为减函数；时，，为增函数，.极小值又，当时，，使.当时，，，.取，则，，函数有2个零点.当时，由，得或.①当，即时，由，得或，在和递增，在递减..极大值函数至多有1个零点，不符合题意；②当，即时，在单调递增，至多有1个零点，不合题意；③当，即时，由，得或，在和递增，在递减.，时，，.又，函数至多有1个零点，不合题意.综上，的取值范围是.。

湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第1章导数及其应用导数的应用举例分层作业册

A级
必备知识基础练
1. 将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周,当所得圆柱体积最大时,矩形
ABCD的面积为( D )
A.1
2
B.
3
4
C.
3
8
D.
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析设BC=x(0<x<2),因为矩形ABCD的周长为4,则AB=2-x,所以将周长为4
月共 6 个月.故 A 正确.易得 V(t)的最大值只能在(4,10)内达到,此时 V(t)=
(-t2+14t-40)e
1

4
1
1 2 3
1 1

+50,V'(t)=(- t + t+4)e4 =- e4 (t+2)(t-8),令
4
2
4
V'(t)=0,得 t=8,当
4<t<8 时,V'(t)>0,当 8<t<10 时,V'(t)<0,因此,V(t)在(4,8)上单调递增,在(8,10)上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解 (1)由 f(6)=29.6,知 29.6=mln
(2)由已知函数求导,得
600×6
6-6+62 +144 -6,解得
m=12.
12-
144- 2
1
f'(x)= +600 2
=(12-x)[
( +144)2
+
600(12+)
225
件时,总利润最大.
解析设产品单价为m,因为产品单价的平方与产品件数x成反比,所以

专题03 导数及其应用(A卷)-2015-2016学年高一高二数学同步单元双基双测“AB”卷(选修1-1)(解析版)

导数及其应用基础测试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 点P 是曲线323+-=x x y 上的动点，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（） A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．30,,224πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 2. 下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog 3e ；②(log 2x)′＝1ln 2x ⋅；③(e x )′＝e x ；④(1ln x)′＝x ；⑤(x·e x )′＝e x＋1.A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：x x x x x e x e e x x xx x ⋅+='⋅-='='='--)(,)(ln 1))((ln )ln 1(,3ln 3)3(21,所以正确的有②③. 考点：函数导数的运算.3.【改编】若f （x ）=ax 4+bx 2+c 满足f ′（1）=4，则f ′（﹣1）=（） A ．﹣4 B ．﹣2 C ．2 D ．4 【答案】A【解析】∵f （x ）=ax 4+bx 2+c ，∴f ′（x ）=4ax 3+2bx ， ∴f ′（1）=4a+2b=4，∴f ′（﹣1）=﹣4a ﹣2b=﹣（4a+2b ）=﹣4，故选A ．4.【原创】若曲线2)(-=x x f 在点),(2-a a )0(>a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3，则2a =___________.【答案】4考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式.5. 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则( ) A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】B 【解析】试题分析：令()()ln ,1xf x x x=>,所以()221ln 1ln 'x xx x f x x x --==,所以1x e <<时()'0f x >,当x e >时()'0f x <.则函数()f x 在(),e +∞上单调递减.因为ln 2ln 424a ==,所以c a b <<.故B 正确. 考点：1用导数求函数的单调性;2单调性法比较大小.6．已知函数()ln xf x e a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题： ①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是 ( )．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 【答案】C 【解析】试题分析：函数的定义域为()0,+∞，而'()x a f x e x =+，当0a >时，'()0x af x e x=+≥，是增函数，所以①不正确；当0a <时，存在x 使导函数为0，有最小值，所以②正确；函数图象如图，由图知③不正确；当ln a x 时减函数时，存在存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点，所以④正确.考点：导函数的应用、最值问题.7．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负、可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b ≤，则必有 ( )．A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：()()0xf x f x '+≤即[]'()0xf x ≤，所以函数()xf x 为减函数，若a b ≤，则()()af a bf b ≥；又是定义在上的非负可导函数，所以.考点：函数的单调性、导函数.8．设)(x f ，)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且0)3(=-g ，则不等式()()0f x g x <的解集是 ( )A ．(3,0)(3,)-+∞B ．(3,0)(0,3)-C ．(,3)(3,)-∞-+∞D ．(,3)(0,3)-∞-【答案】D. 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性．9．函数f(x)＝e x－x(e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( )A.1＋1eB.1C.e＋1D.e－1【答案】D【解析】f′(x)＝e x－1，令f′(x)＝0，得x＝0.又f(0)＝e0－0＝1，f(1)＝e－1>1，f(－1)＝1e＋1>1，而e－1－11e⎛⎫+⎪⎝⎭＝e－1e－2＝221e ee-->0，所以f(x)max＝f(1)＝e－1.10．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )【答案】B【解析】函数f(x)在[－1,1]上为增函数，当x∈(－1,0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0,1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B项．11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)=2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x+4的解集为( ) A．(－1，1)B．(－1，+∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，+∞)【答案】B12．已知函数在区间[－1，2]上是减函数，那么b+c( )A．有最大值B．有最大值－C ．有最小值D ．有最小值－【答案】B【解析】由f(x)在[－1，2]上是减函数，知，x ∈[－1，2]，则15+2b+2cb+c．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在4=x 处的切线，令()()f x g x x=，则(4)g '= ．【答案】316- 【解析】考点：导数的几何意义，直线方程，商的导数计算法则． 14．已知函数f(x)＝13x 3－x 2－3x ＋43，直线l ：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x ∈[－2,2]时，函数y ＝f(x)的图象恒在直线l 下方，则c 的取值范围是________．【答案】(－∞，－6)【解析】根据题意知13x 3－x 2－3x ＋43<－92x －2c 在x ∈[－2,2]上恒成立，则－2c >13x 3－x 2＋32x ＋43，设g(x)＝13x 3－x 2＋32x ＋43，则g′(x)＝x 2－2x ＋32，则g′(x)>0恒成立，所以g(x)在[－2,2]上单调递增，所以g(x)max ＝g(2)＝3，则c<－6.15. 已知2()(1)()x f x x m g x xe =--+=，，若12x x R ∃∈，,使得12()()f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是_______．【答案】1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：由题可知2()(1)f x x m =--+的最大值为m ，又()'()1xxxg x e xe e x =+=+，当1x <-时，'()0,g x <()g x 减函数，当1x >-时，'()0g x >，()g x 为增函数，所以()g x 有最小值为1e-.若12x x R ∃∈，,使得12()()f x g x ≥成立,只需1m e≥-.考点：利用导数判断函数的单调性.16.【改编】)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时0)()()()(<'+'x g x f x g x f 且0)()(,0)2(<=-x g x f f 则不等式的解集为_______【答案】（－∞，－2）∪（0，2）【解析】考点：利用导数研究函数的单调性．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数错误！未找到引用源。

人教版数学高二导数及其应用练习卷二

14．函数在[1，2]内恒为正值的充要条件是（）
A． B． C． D．
15．若函数与在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题：
16．若函数的单调减区间是（，0），则 _________；
17．已知函数在处有极值为，则 ___________；
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极小值
C．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值
D．如果在点附近的左侧，右侧，那么是极大值
8．函数（）有（）
A．极大值为5，极小值为 B．极大值为5，极小值为
C．极大值为5，无极小值D．极小值为，无极大值
9．函数的极大值是（）
B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
13．已知（为常数），在[ ，2]上有最大值3，那么此函数在[ ，2]上的最小值为（）
A． B． C． D．
A．0 B． C．0和 D．
10．函数在（0，1）内有极小值，则（）
A． B． C． D．
11．若函数是定义在R上的可导函数，则是为函数的极值点的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．下列说法正确的是（）
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
三、解答题：
21．已知函数在点处有极小值，试确定、的值，并求出的单调区间。

20152016学年高中数学第一章导数及其应用测评A 新人教A版选修22

【优化设计】2015-2016学年高中数学第一章导数及其应用测评A新人教A版选修2-2(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分、在每小题给出的四个选项中,只有一项就是符合题目要求的)1、已知f(x)=,则f'(e)=()A、B、C、-D、-解析:∵f'(x)=,∴f'(e)==-、答案:D2、若函数f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为()A、0B、2C、1D、-1解析:∵f(x)=x3-f'(1)·x2-x,∴f'(x)=x2-2f'(1)·x-1,∴f'(1)=1-2f'(1)-1,∴f'(1)=0、答案:A3、函数f(x)=()A、在(0,2)上单调递减B、在(-∞,0)与(2,+∞)上单调递增C、在(0,2)上单调递增D、在(-∞,0)与(2,+∞)上单调递减解析:f'(x)=、令f'(x)=0,得x1=0,x2=2、∴x∈(-∞,0)与x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,x∈(0,1)与x∈(1,2)时,f'(x)<0,故选B、答案:B4、cos 2x d x=()A、B、C、D、-解析:cos 2x d x=sin 2x、答案:A5、方程2x3-6x2+7=0在(0,2)内根的个数为()A、0B、1C、2D、3解析:设f(x)=2x3-6x2+7,则f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)、∵x∈(0,2),∴f'(x)<0、∴f(x)在(0,2)上递减,又f(0)=7,f(2)=-1,∴f(x)在(0,2)上有且只有一个零点,即方程2x3-6x2+7=0在(0,2)内只有一个根、答案:B6、已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上就是单调函数,则实数a的取值范围就是()A、(-∞,-)B、[-]C、(,+∞)D、(-)解析:f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)恒成立,Δ=4a2-12≤0⇒-≤a≤、答案:B7、若f(x)=-x2+b ln(x+2)在(-1,+∞)上就是减函数,则实数b的取值范围就是()A、[-1,+∞)B、(-1,+∞)C、(-∞,-1]D、(-∞,-1)解析:f'(x)=-x+、∵f(x)在(-1,+∞)上就是减函数,∴f'(x)=-x+≤0在(-1,+∞)上恒成立,∴b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立、又∵x(x+2)=(x+1)2-1<-1,∴b≤-1、答案:C8、设某银行中的总存款与银行付给存户的年利率的平方成正比,若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出,银行为了获得最大利润,支付给存户的年利率为()A、4%B、5%C、6%D、7%解析:设支付给存户的年利率为x,银行获得的利润y就是贷出后收入的利润与支付给存户的利息差,即y=kx2×0、9×0、1-kx2·x=0、09kx2-kx3(x>0),令y'=0、18kx-3kx2=0,得x=0、06或x=0(舍去)、当0<x<0、06时,y'>0;当x>0、06时,y'<0、故当x=0、06时,y取极大值,并且这个极大值就就是函数y的最大值,即当给存户支付的年利率为6%时,银行才能获得最大利润、答案:C9、已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围就是()A、a>-1B、-1<a<0C、0<a<1D、a>1解析:∵f(x)在x=a处取得极大值,∴f(x)在x=a附近左增右减,分a>0,a=0,a<0讨论易知-1<a<0、答案:B10、若函数f(x)在R上可导,且f(x)>f'(x),则当a>b时,下列不等式成立的就是()A、e a f(a)>e b f(b)B、e b f(a)>e a f(b)C、e b f(b)>e a f(a)D、e a f(b)>e b f(a)解析:∵'==<0,∴y=单调递减,又a>b,∴,∴e a f(b)>e b f(a)、答案:D第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分、把答案填在题中的横线上)11、若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=、解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y'=2ax-及导数的几何意义得y'|x=1=2a-1=0,解得a=、答案:12、从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为、解析:S矩形=2×6=12,S阴影=2x3d x=,∴P=、答案:13、已知a<0,函数f(x)=ax3+ln x,且f'(1)的最小值就是-12,则实数a的值为、解析:f'(x)=3ax2+,则f'(1)=3a+、∵a<0,∴f'(1)=-≤-2=-12、当-3a=,即a=-2时,取“=”、答案:-214、点P就是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为、解析:y'=2x-,由2x-=1且x>0得x=1、所以,以(1,1)为切点的曲线的切线与直线y=x+2平行,所求最小距离为、答案:15、函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的减区间就是、解析:f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,得x=±、∴f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-)上单调递减、∴f(-)=6,f()=2、∴解得a=1,b=4、∴f'(x)=3x2-3、∴令f'(x)<0,得-1<x<1、答案:(-1,1)三、解答题(本大题共5小题,共40分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16、(本小题6分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=-与x=1处都取得极值、(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[-2,2]的最大值与最小值、解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b,由题意解得经检验符合题意,∴f(x)=x3-x2-2x、(2)由(1)知f'(x)=3(x-1),令f'(x)=0,得x1=-,x2=1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x -2- 1 (1,2) 2 f'(x )+ 0 -0 + f (x )-6 ↗ 极大值↘ 极小值 - ↗ 2 由上表知f max (x )=f (2)2,min ()(2)617、(本小题6分)已知函数f (x )=ax 3+bx 2的图象过点M (1,4),曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直、(1)求实数a ,b 的值;(2)若函数f (x )在区间[m ,m+1]上单调递增,求m 的取值范围、解:(1)∵f (x )=ax 3+bx 2的图象经过点M (1,4),∴a+b=4、①f'(x )=3ax 2+2bx ,则f'(1)=3a+2b 、由已知得f'(1)·=-1,即3a+2b=9、②由①②,得a=1,b=3、(2)f (x )=x 3+3x 2,f'(x )=3x 2+6x ,令f'(x )=3x 2+6x ≥0,得x ≥0或x ≤-2,故由f (x )在[m ,m+1]上单调递增,得[m ,m+1]⊆[0,+∞)或[m ,m+1]⊆(-∞,-2],∴m ≥0或m+1≤-2,即m ≥0或m ≤-3、∴m 的取值范围为(-∞,-3]∪[0,+∞)、18、(本小题8分)已知函数f (x )=、(1)判断函数f (x )的单调性;(2)若y=xf (x )+的图象总在直线y=a 的上方,求实数a 的取值范围、解:(1)f'(x )=、当0<x<e 时,f'(x )>0,f (x )为增函数;当x>e 时,f'(x )<0,f (x )为减函数、(2)依题意得,不等式a<ln x+对于x>0恒成立、令g (x )=ln x+,则g'(x )=、当x ∈(1,+∞)时,g'(x )=>0,则g (x )就是(1,+∞)上的增函数;当x ∈(0,1)时,g'(x )<0,则g (x )就是(0,1)上的减函数、所以g (x )的最小值就是g (1)=1,从而a 的取值范围就是(-∞,1)、19、(本小题10分)已知函数f (x )=ln x-、(1)若a>0,试判断f (x )在定义域内的单调性;(2)若f (x )在[1,e]上的最小值为,求a 的值、解:(1)由题意f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=,∵a>0,∴f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上就是单调递增函数、(2)由(1)可知,f'(x)=、①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=-(舍去)、②若a≤-e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,∴f(x)min=f(e)=1-⇒a=-(舍去)、③若-e<a<-1,令f'(x)=0得x=-a,当1<x<-a时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;当-a<x<e时,f'(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=⇒a=-、综上所述,a=-、20、(本小题10分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件、经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元,最高不超过41元、(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值、解:(1)由题意,该产品一年的销售量y=,将x=40,y=500代入,得k=500e40、故该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y=500e40-x、L(x)=(x-30-a)y=500(x-30-a)e40-x(35≤x≤41)、(2)由(1)得,L'(x)=500[e40-x-(x-30-a)e40-x]=500e40-x(31+a-x),(35≤x≤41)①当2≤a≤4时,L'(x)≤500e40-x(31+4-35)=0,当且仅当a=4,x=35时取等号、所以L(x)在[35,41]上单调递减、因此,L(x)max=L(35)=500(5-a)e5、②当4<a≤5时,L'(x)>0⇔35≤x<31+a;L'(x)<0⇔31+a<x≤41、所以L(x)在[35,31+a)上单调递增,在(31+a,41]上单调递减、因此,L(x)max=L(31+a)=500e9-a、综上所述,当2≤a≤4时,每件产品的售价为35元,该产品一年的利润L(x)最大,最大为500(5-a)e5万元;当4<a≤5时,每件产品的售价为(31+a)元,该产品一年的利润L(x)最大,最大为500e9-a 万元、。

高中数学第一章导数及其应用单元同步测试(含解析)新

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章导数及其应用单元同步测试（含解析）新人教A 版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒f ′(x )>0.答案 A2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案 B3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°解析 ∵y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案 B4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( ) A ．(0，－1)或(1,0) B ．(1,0)或(－1，－4) C ．(－1，－4)或(0，－2)D ．(1,0)或(2,8)解析设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 20＝1，∴x 0＝1，或x 0＝－1. ∴P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案 B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2xB ．y ＝x 3－xC ．y ＝x e xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )解析对于C ，有y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)>0. 答案 C6．下列积分值为2的是( ) A.⎠⎛05(2x －4)d xB .⎠⎛0πcos x d xC .⎠⎛131xd xD .⎠⎛0πsin x d x解析 ⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝－cos π＋cos 0＝2.答案 D7．函数f(x)在其定义域内可导，y ＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象为( )解析由y＝f(x)的图象知，有两个极值点，则y＝f′(x)的图象与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D项．答案D8．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x，x∈(－2,2)，则f(x)有( )A．极大值5，极小值为－27B．极大值5，极小值为－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)．当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<3时，f′(x)<0.∴x＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．答案C9．已知f(x)为三次函数，当x＝1时f(x)有极大值4，当x＝3时f(x)有极小值0，且函数f(x)过原点，则此函数是( )A．f(x)＝x3－2x2＋3x B．f(x)＝x3－6x2＋xC．f(x)＝x3＋6x2＋9x D．f(x)＝x3－6x2＋9x解析设f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)＝3ax2－12ax＋9a.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝4，f 3＝27a ＋9b ＋3c ＝0，c ＝9a.解得a ＝1，b ＝－6，c ＝9. 所以f(x)＝x 3－6x 2＋9x. 答案 D10．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A .23B ．1C .43D .53解析如图所示，阴影部分的面积为S 1＝⎠⎛0－1(x 2－x)d x＝(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪ 0－1＝56. S 2＝⎪⎪⎪ ⎠⎛01(x 2－x)d x⎪⎪⎪ ＝－(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪ 10＝16，故所求的面积为S ＝S 1＋S 2＝1. 答案 B11．函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意知，3a×(1a )2＋2b×1a ＋c ＝0，即3a ＋2ba ＋c ＝0， ∴2b＋ac ＝－3. 答案 A12．设函数f(x)满足x 2f′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝e 28，则x>0时， f(x)( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析由题意知，f′(x)＝e xx3－2f xx＝e x －2x 2f xx3.令g(x)＝e x －2x 2f(x)，则g′(x)＝e x－2x 2f′(x)－4xf(x)＝e x－2[x 2f′(x)＋2xf(x)]＝e x－2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g′(x)＝0，得x ＝2.当x ＝2时，g(x)有极小值g(2)＝e 2－2×22f(2)＝e 2－8·e 28＝0.∴g(x)≥0.当x>0时，f′(x)＝g xx 3≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)既无极大值也无极小值．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．函数f(x)在R 上可导，且f ′(0)＝2.∀x ，y ∈R ，若函数f (x ＋y )＝f (x )f (y )成立，则f (0)＝________.解析令y ＝0，则有f (x )＝f (x )f (0)． ∵f ′(0)＝2，∴f (x )不恒为0，∴f (0)＝1. 答案 114．解析答案π2－115．若函数f(x)＝13x 3－f′(1)·x 2＋2x ＋5，则f′(2)＝________.解析 ∵f′(x)＝x 2－2f′(1)x＋2， ∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2. ∴f′(1)＝1. ∴f′(x)＝x 2－2x ＋2. ∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2. 答案 216．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪⎪84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2. 答案 261.2米三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．解 f′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2. 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)，减区间为(－2,2)．(1)当x ＝－2，f(x)取得极大值，故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283，∴m＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4，又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解设容器底面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x)m .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x>0，x>0，解得0<x<1.6，设容器的容积为y m 3，则有y ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， y′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使y′＝0，且x ＝1是极大值点， ∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m .因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 19．(12分)设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求证：f (x )为R 上的单调递增函数； (2)当x ∈[1,3]时，若f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6＝6(x －1)2≥0， ∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．①当a ≤1时，f (x )在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f (1)＝3a －1，∴3a －1＝4，∴a ＝53>1(舍去)；②当1<a <3时，f (x )在(1，a )上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在[1,3]上的最小值为f (a )＝2a 3－3(a ＋1)a 2＋6a 2＝4.化简得(a ＋1)(a －2)2＝0，∴a ＝－1<1(舍去)，或a ＝2；③当a ≥3时，f (x )在区间(1，a )上是减函数，故f (3)为最小值， ∴54－27(a ＋1)＋18a ＝4，解得a ＝229<3(舍去)．综上可知，a ＝2.20．(12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得a ∈[1,9]，即a 的取值范围是[1,9]．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.①又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－19)＝－1，得3a ＋2b ＝9.②由①，②解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0，或x ≤－2，若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则 [m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0，或m ＋1≤－2，即m ≥0，或m ≤－3， ∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)． 22．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0. 解 (1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x， xf ′(x )＝x ln x ＋1，题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点， g (x )≤g (1)＝－1.综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)． (2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即g (x )＋1≤0，即ln x －x ＋1≤0，当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x (ln x ＋1x－1)＝ln x －x (ln 1x －1x＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0.。

高中数学第一章导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的运用同步练习(含解析)新人教A版选修22

1.3导数在研究函数中的运用1. 曲线f(x )=x ㏑x 在点x =1处的切线方程是（）A ． y=2x +2B ．y=2x -2C ．y=x -1D ．y=x +1 答案：C解析：解答：根据导数的几何意义求出函数f （x ）在x =1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可解：y=x ln x , y '=1×ln+x •1x =1+ln x , y '=1又当x =1时y=0，∴切线方程为y=x -1即x -y-1=0，故选：C分析：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题2.曲线y=2x x -在点（1，-1）处的切线方程为 A ．y=x -2B ．y=-3x +2C ．y=2x -3D ．y= -2x +1 答案：D解析：解答：根据题意，由于曲线y=2x x -,则可知其导数2222(2)(2)x x y x x ---'==--，故当x =1时，则可知导数值为-2，则由点斜式方程可知为y= -2x +1，选D.分析：主要是考查了导数在研究曲线的切线方程中的运用，属于基础题。

3. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（） A.(-1，1]B.(0，1]C.[1，+∞)D.(0，+∞) 答案：B解析：解答：根据题意，对于函数21ln 2y x x =-，由于1(1)(1)x x y x x x-+'=-=（x >0），可知，当y ’<0时，则可知0<x <1能满足题意，故可知单调减区间为(0，1]，选B. 分析：本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域4.已知f(x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c R ∈，且a ＋b>0，a ＋c>0，b ＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )A ．一定大于0B ．一定等于0C ．一定小于0D ．正负都有可能答案：A解析：解答：由2()31f x x '=+可知函数在定义域内为增函数,又3()f x x x =+为奇函数，则a+b>0得a>-b ，()()()f a f b f b >-=-，故()()0f a f b +>，同理()()0f a f c +>，()()0f b f c +>，三式相加可得2()2()2()0f a f b f c ++>，即()()()0f a f b f c ++>. 分析：此题利用函数的单调性解决不等式，有一定的技巧，属于中档题。

高中数学第一章导数及其应用测试题 A选修22 试题(共5页)

文昌中学高中数学选修2-2?第一章导数(dǎo shù)及其应用?测试题一选择题〔每一小题5分，一共60分〕1、函数，那么其单调递增区间是( )2、点P在曲线上挪动，设点P处切线的倾斜角为，那么α的取值范围是( )3、，函数在上是单调增函数，那么a的最大值是( )A. 0B. 1C. 2D. 34.函数在[0，3]上的最大值、最小值分别为( )5、设，那么( )6、设函数且为函数的极值，那么有( )C. 当0a>时，为极大值C. 当时，(0)f为极小值7、设函数，，那么在[0，1]上的最大值为( )A. 0B. 1C.D.8、曲线上一点M处的切线与垂直，那么此切线方程只能是( )9、,那么以下各命题中正确的命题是( )时，；时，时，1'()f xx=；0x<时，无意义(yìyì)时，都有1 '()f xx=D. 因为时无意义，所以对不能求导10、，那么( )A. 0B. 1C.D.11、设函数是一次函数，，那么( )12、函数在(0，1)内有极小值，那么( )二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕13、 .14、函数,那么曲线()y f x=在处的切线方程为 .15、设，那么()f x单调增区间为_____________。

16、，那么_____________。

三、解答题〔每一小题10分，一共40分〕17、函数的图像经过点(0，1)，且在1x=处的切线方程是。

(1) 求()y f x=的解析式； (2) 求()y f x=的单调区间。

18、当时，求证(qiúzhèng)：。

19、，，(1) 求()f x的解析式。

(2) 求()f x的最小值，并求此时与的夹角大小。

20、函数在上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程(f āngch éng)有三个根，它们分别是。

(1)求c 的值； (2)求证：高中数学测试题〔四〕答案：一、DDDAB BDDCB BD 二、13.14.15.16.三、17.解：(1)，又在1x =处的切线方程是2y x =-，切点坐标为且，，，。

高中数学第一章导数及其应用阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版选修2-2(2021学年)

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第一章导数及其应用(Ａ卷学业水平达标)(时间12０分钟,满分150分)一、选择题（本大题共１0小题,每小题5分,共5０分)1.下列各式正确的是（)A.(ｓｉn ａ)′＝ｃｏs a（a为常数）B．(coｓx)′=ｓｉn ｘC.(ｓin x）′＝ｃos ｘD.（x-5)′＝－错误!x-6解析:选C 由导数公式知选项A中（ｓin ａ)′=0；选项B中(cos ｘ)′＝-ｓin x;选项D中(x-5）′＝-5x－6．2．下列函数中，在(0,＋∞)内为增函数的是（)A．y＝siｎx B.y＝x e２Ｃ.ｙ＝x３-x D．y=ln x－ｘ解析:选Ｂ只有B中y′=e２＞0在(０，＋∞）内恒成立．3.若曲线y=2x2的一条切线l与直线ｘ＋4ｙ-8＝0垂直,则切线ｌ的方程为（）A．x+4y+３=０ B.x＋4y-9＝0C.４x-ｙ+３＝０D．4x-ｙ-2=0解析:选D 设切点坐标为(x0，y0），y′＝4x，由题意得4ｘ0＝4，解得x0＝１,所以y0＝2，故切线l的方程为y-2＝4（ｘ-１),即４x－y－２＝0。

４．若函数f（x)=错误!ｘ3-ｆ′（1）·x2－x，则f′（１)的值为（）A.０Ｂ．2C．1 D．－1解析:选A ∵f（x)＝＼f（1,3）x３-f′(1)·x2－x，∴ｆ′（x）＝ｘ２-2f′（1)·x-1,∴ｆ′(1)=1－2f′（１)－1,∴f′(1)=０．５．对任意的x∈R，函数f（x）＝x３+aｘ2+7ax不存在极值点的充要条件是( )A．0≤a≤２1 B．a=0或a=7C.a〈0或a>21 Ｄ．a=０或a＝２1解析:选A f′(ｘ）＝3x2+2ax＋7a，当Δ＝4a2－84ａ≤0,即０≤ａ≤2１时，f′（x)≥0恒成立，函数f（ｘ）不存在极值点．6.已知,对于任意实数x,有f(-x)＝－ｆ（x），ｇ（－x）＝g（x),且x〉0时，f′(ｘ)〉0，ｇ′(x)〉0，则x＜０时,（）A．f′（x）〉0,g′(x）>0B．f′(x）〉0，g′(x)<０Ｃ.ｆ′（x)＜0,g′(x）>0Ｄ．f′(x）〈0,ｇ′(x)<０解析:选Ｂf(ｘ）为奇函数且x>0时单调递增,所以x＜０时单调递增，f′(x)〉0；g(x）为偶函数且x〉０时单调递增,所以x＜０时单调递减,g′(x)〈0。

高中数学第一章导数及其应用 1.7.2 定积分在物理中的应用高效测评新人教A版选修22

2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用 1.7.2 定积分在物理中的应用高效测评新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．一物体从A 处向B 处运动，速度为1.4t m/s(t 为运动的时间)，到B 处时的速度为35 m/s ，则AB 间的距离为( )A ．120 mB ．437.5 mC ．360 mD ．480 m解析：从A 处到B 处所用时间为25(s)．所以AB ＝∫2501.4t d t ＝0.7t 2| 250＝437.5(m)．答案： B2．一物体沿直线以速度v (t )＝2t －3(t 的单位为：s ，v 的单位为：m/s)做变速直线运动，该物体从时刻t ＝0至时刻t ＝5运动的路程是( )A ．292 mB ．15 mC ．10 mD ．294m解析： ∵当0≤t ≤32时，v (t )＝2t －3≤0；当32≤t ≤5时，v (t )＝2t －3≥0， ∴物体从t ＝0至t ＝5间运动的路程＝94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋94＝292(m)．答案： A3．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 3x ＋4 x(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝0运动到x ＝4(单位：m)，则力F (x )做的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x | 42＝46(J)．答案： B4．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A ．1603 mB ．803 mC ．403mD ．203m解析：由v ＝40－10t 2＝0，得到物体达到最高时t ＝2，高度h ＝⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝1603(m)．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2014·广东东莞模拟)一物体以v ＝9.8t ＋6.5(m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析： ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )| 84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2(m)．答案： 261.2 m6．某一物体在某种介质中作直线运动，已知t 时刻，它的速度为v ，位移为s ，且它在该介质中所受到的阻力F 与速度v 的平方成正比，比例系数为k ，若已知s ＝12t 2，则该物体由位移s ＝0移动到位移s ＝a 时克服阻力所作的功为______________．(注：变力F 做功W ＝⎠⎛s 2s 2F (s )ds ，结果用k ，a 表示．解： ∵在该介质中所受到的阻力F 与速度v 的平方成正比，比例系数为k ， ∴F ＝kv 2，∵t 时刻，它的速度为v ，位移为s ， ∴s ＝12t 2，s ′(t )＝t ，即v ＝s ′(t )＝t ，∴s ＝12t 2＝12v 2，即v 2＝2s ，即F ＝kv 2＝2ks ，则由W ＝⎠⎛s 1s 2F(s)ds 得W ＝⎠⎛0a2ksds ＝ks 2 |a 0＝ka 2，故答案为：ka 2. 答案： ka 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，求该物体在12 s ～6 s 间的运动路程．解析：由图可得v (t )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2t t ，t，13t ＋t，由变速直线运动的路程公式，可得：所以该物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494m.8．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，求由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功．解析： W ＝⎠⎛21F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛2132(5－x 2)d x＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3| 21＝433(J)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车．设汽车以减速度a ＝1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解析：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间．当t ＝0时，汽车速度v 0＝32千米/小时＝32×1 0003 600米/秒≈8.89米/秒，刹车后汽车减速行驶，其速度为v (t )＝v 0－at ＝8.89－1.8t ，当汽车停住时，速度v (t )＝0，故从v (t )＝8.89－1.8t ＝0解得t ＝8.891.8≈4.94秒于是在这段时间内，汽车所走过的距离是s ＝∫4.940 v (t )d t ＝∫4.940(8.89－1.8t )d t＝⎝⎛⎭⎪⎫8.89t －1.8×12t 2| 4.940≈21.95米，即在刹车后，汽车需走过21.95米才能停住．。