2019高三数学一轮复习单元练习题：数列(2)
高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学
第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。
(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。
2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。
(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。
3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。
(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。
(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。
(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。
(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
2019年高考数学(理)一轮复习第六章 数列习题及答案
第六章⎪⎪⎪列第一节列的概念与简单表示突破点(一) 列的通项公式1．列的定义按照一定顺序排列的一列称为列．列中的每一个叫做这个列的项，列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的称为这个列的第一项(通常也叫做首项)．2．列的通项公式如果列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个列的通项公式．3．列的递推公式如果已知列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子表示，即a n ＝f (a n －1)(或a n ＝f (a n －1，a n －2)等)，那么这个式子叫做列{a n }的递推公式．4．S n 与a n 的关系已知列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这个关系式对任意列均成立．本节主要包括2个知识点： 1.列的通项公式；2.列的单调性.[例1] 写出下面各列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….[解] (1)各项减去1后为正偶，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇项为负，偶项为正，故通项公式中含因式(－1)n ；各项绝对值的分母组成列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的列中，奇项为1，偶项为3，即奇项为2－1，偶项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋－nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇，3n ，n 为正偶.(4)将列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n＝13(10n－1)．[方法技巧]由列的前几项求通项公式的思路方法给出列的前几项求通项时，需要注意观察列中各项与其序号之间的关系，在所给列的前几项中，先看看哪些部分是变的，哪些是不变的，再探索各项中变部分与序号间的关系，主要从以下几个方面考虑：(1)分式形式的列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n ＋1或(－1)n－1调控．(3)熟悉一些常见列的通项公式．(4)对于较复杂列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将列的各项分解成若干个常见列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．利用a n与S n的关系求通项[例2] n n n(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n＋b.[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a 1也适合此等式，所以{a n }的通项公式为a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2×3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． 所以当b ＝－1时，a n ＝2×3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.[方法技巧]已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式．(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段写．利用递推关系求通项[例3] (1)已知列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，则a n ＝________；(2)若列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，则通项a n ＝________；(3)若列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________； (4)若列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________.[解析] (1)由条件知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， 则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋1n －1－1n ，即a n －a 1＝1－1n ，又∵a 1＝12，∴a n ＝1－1n ＋12＝32－1n.(2)由a n ＋1＝nn ＋1a n (a n ≠0)，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1 ＝n －1n ·n －2n －1·…·12·23＝23n. (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n＋1＝2a n －t ，则t ＝－3. 故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，b n ≠0，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1， 即a n ＝2n ＋1－3.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12， 又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差列． ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1. [答案] (1)32－1n (2)23n (3)2n ＋1－3 (4)2n ＋1[方法技巧]由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n .(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .(3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系法确定)，可转为等比列{a n ＋k }．(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常)的列，可通过两边同时取倒的方法构造新列求解．(5)形如a n ＋1＋a n ＝f (n )的列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后按奇偶分类讨论即可．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知n ∈N *，给出4个表达式：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇，1，n 为偶，②a n ＝1＋－n2，③a n ＝1＋cos n π2，④a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2.其中能作为列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④解析：选A 检验知①②③都是所给列的通项公式．2.[考点一]列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N *)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n(n ∈N *)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n(n ∈N *)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *)解析：选D 所给列各项可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，…，通过对比各选项，可知选D.3.[考点二]已知列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.4.[考点三]设列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1，求列{a n }的通项公式．解：由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．5.[考点三]若列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，求列{a n }的通项公式．解：由题意知a n ＋1－a n ＝2n ，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.又因为当n ＝1时满足此式，所以a n ＝2n －1.突破点(二) 列的单调性列的分类[例1] 已知列{a n }的前n 项和为S n ，常λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整n 都成立．(1)求列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？[解] (1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1， 即a 1(λa 1－2)＝0.若a 1＝0，则S n ＝0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0－0＝0， 所以a n ＝0.若a 1≠0，则a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而列{a n }是等比列， 所以a n ＝a 1·2n －1＝2λ·2n －1＝2nλ.综上，当a 1＝0时，a n ＝0； 当a 1≠0时，a n ＝2nλ.(2)当a 1>0且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，由(1)知b n ＝lg 1002n ＝2－n lg 2.所以列{b n }是单调递减的等差列(公差为－lg 2)． 则b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg 1＝0，故当n ＝6时，列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项的和最大．[方法技巧]1．判断列单调性的两种方法 (1)作差比较法a n ＋1－a n >0⇔列{a n }是单调递增列；a n ＋1－a n <0⇔列{a n }是单调递减列；a n ＋1－a n ＝0⇔列{a n }是常列．(2)作商比较法①当a n >0时，a n ＋1a n >1⇔列{a n }是单调递增列；a n ＋1a n<1⇔列{a n }是单调递减列；a n ＋1a n＝1⇔列{a n }是常列．②当a n <0时，a n ＋1a n >1⇔列{a n }是单调递减列；a n ＋1a n<1⇔列{a n }是单调递增列；a n ＋1a n＝1⇔列{a n }是常列．2．求列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到列的最小项．利用列的单调性求参的取值范围[例2] 已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0，且a ≠1)，若列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增列，则实a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C ．(2,3)D ．(1,3)[解析]因为{a n }是递增列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，－a＋2≤a ，解得83≤a ＜3，所以实a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3.[答案] B[方法技巧]已知列的单调性求参取值范围的两种方法(1)利用列的单调性构建不等式，然后将其转为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参将其转为最值问题处．(2)利用列与函之间的特殊关系，将列的单调性转为相应函的单调性，利用函的性质求解参的取值范围，但要注意列通项中n 的取值范围．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]设a n ＝－3n 2＋15n －18，则列{a n }中的最大项的值是( )A.163 B.133 C ．4D ．0解析：选D a n ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函性质，得当n ＝2或n＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选D.2.[考点一]若列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3，则列{a n }的前n 项和值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则a n 是递减列．设{a n }的前k项和值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7.3.[考点二]已知{a n }是递增列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实λ的取值范围是________．解析：∵对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ. 又∵{a n }是递增列，∴a n ＋1－a n >0，且当n ＝1时，a n ＋1－a n 最小， ∴a n ＋1－a n ≥a 2－a 1＝3＋λ>0，∴λ>－3. 答案：(－3，＋∞)4.[考点一、二]已知列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设S n 是列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1. ∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差列． ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n, a 8＝2，则a 1 ＝________.解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 5＝2；由此可以推出列{a n }是一个周期列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12. 答案：123．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．(2016·全国丙卷)已知各项都为正的列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因此{a n}的各项都为正，所以a n＋1a n＝12.故{a n}是首项为1，公比为12的等比列，因此a n＝12n－1.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强运算能力]1．列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n＝( )A.n2n＋1B.n2n－1C.n2n－3D.n2n＋3解析：选 B 由已知得，列可写成11，23，35，…，故该列的一个通项公式为n2n－1.2．设列{a n}的前n项和S n＝n2＋n，则a4的值为( )A．4 B．6 C．8 D．10解析：选C a4＝S4－S3＝20－12＝8.3．已知列{a n}满足a1＝1，a n＋1a n＝2n(n∈N*)，则a10＝( ) A．64 B．32 C．16 D．8解析：选B ∵a n＋1a n＝2n，∴a n＋2a n＋1＝2n＋1，两式相除得a n＋2a n＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.则a10a8·a8a6·a6a4·a4a2＝24，即a10＝25＝32.4．在列{a n}中，a1＝1，a n a n－1＝a n－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3 a5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：选C 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 5．现定义a n ＝5n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ，其中n ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫110，15，12，1，则a n 取最小值时，n 的值为________．解析：令5n＝t >0，考虑函y ＝t ＋1t，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t ＝1时，y 的值最小，再考虑函t ＝5x，当0<x ≤1时，t ∈(1,5]，则可知a n ＝5n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n在(0,1]上单调递增，所以当n ＝110时，a n 取得最小值．答案：110[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝( ) A ．36 B ．35 C ．34 D ．33解析：选C 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝2n －3(n ∈N *)，所以a 2＋a 18＝34.2．列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2516D.3115解析：选A 令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116. 3．在各项均为正的列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析：选C 在各项均为正的列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.4．已知列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23，故选C. 5．在列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位，则a 2 015＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选D 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8；所以列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.6．如果列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个列的第10项等于( )A.1210 B.129 C.15D.110解析：选C ∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a na n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15. 二、填空题7．已知列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________．解析：∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比列，即a n ＋1＝2×2n－1＝2n ，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31. 答案：318．在列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．即0.08是该列的第10项．答案：109．已知列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1(a n ＋2)＝a n (n ∈N *)，若b n ＋1＝(n－p )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，b 1＝－p ，且列{b n }是单调递增列，则实p 的取值范围为________．解析：由题中条件，可得1a n ＋1＝2a n＋1，则1a n ＋1＋1＝21a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等比列，所以1a n ＋1＝2n ，可得b n ＋1＝2n (n －p )，则b n ＝2n －1(n －1－p )(n ∈N *)，由列{b n }是单调递增列，得2n (n－p )>2n －1(n －1－p )，则p <n ＋1恒成立，又n ＋1的最小值为2，则p 的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)10．设{a n }是首项为1的正项列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.解析：∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0，∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n，∵a 1＝1，∴a n ＝1n.答案：1n三、解答题11．已知S n 为正项列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②，整得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故列{a n }是首项为1，公差为1的等差列，故a n ＝n . 12．已知列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则列中有多少项是负？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3， 所以列中有两项是负，即为a 2，a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 知该列是一个递增列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实k 的取值范围为(－3，＋∞)． 第二节等差列及其前n 项和突破点(一) 等差列的性质及基本量的计算1．等差列的有关概念(1)定义：如果一个列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列就叫做等差列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常)．(2)等差中项：列a ，A ，b 成等差列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .本节主要包括3个知识点：1.等差列的性质及基本量的计算；2.等差列前n 项和及性质的应用；3.等差列的判定与证明.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n n－2d＝n a1＋a n2.3．等差列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差列，公差为d，则{a2n}也是等差列，公差为2d.(4)若{a n}是等差列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差列．(5)若列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差列，则列{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差列(p，q都是常)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.[例1] (1)(2016·东北师大附中摸底考试)在等差列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则列{a n}的公差为( )A．1 B．2C．3 D．4(2)(2016·惠州调研)已知等差列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )A．1 B.5 3C．－2 D．3[解析] (1)∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.(2)由S 3＝a1＋a32＝6，且a1＝4，得a3＝0，则d＝a3－a13－1＝－2，故选C.[答案] (1)B (2)C[方法技巧]1．等差列运算问题的通性通法(1)等差列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转为方程(组)求解．(2)等差列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．等差列设项技巧若奇个成等差列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶个成等差列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差列的定义进行对称设元．等差列的性质[例2] (1)n396n表示列{a n}的前n项和，则S11＝( )A．18 B．99C．198 D．297(2)已知{a n}，{b n}都是等差列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.[解析] (1)因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)因为{a n}，{b n}都是等差列，所以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.[答案] (1)B (2)211.[考点一]《九章算术》是我国古代的学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱 B.53钱C.32钱 D.43钱解析：选 D 设等差列{a n}的首项为a1，公差为d，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱，故选D.2.[考点一]设S n 为等差列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8.3.[考点二]已知列{a n }为等差列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选D 在等差列{a n }中，因为a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以cos(a 2＋a 12)＝－12.故选D.4.[考点一]设S n 为等差列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.解析：设等差列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求列{a n }的项及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.突破点(二) 等差列前n 项和及性质的应用等差列前n 项和的性质(1)列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)． (3)当项为偶2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项为奇2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．(4){a n }，{b n }均为等差列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)若{a n }是等差列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.[例1] 已知{a n }为等差列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.[解析] 法一：设列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差列，设此列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20[例2] n 1S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？[解] 设等差列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一：S n ＝na 1＋n n －2d＝na 1＋n n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎪⎫n －1722＋28964a 1，因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法二：设此列的前n项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法三：由于S n ＝na 1＋n n －2d ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ，则函y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[方法技巧]求等差列前n 项和S n 最值的三种方法(1)函法：利用等差列前n 项和的函表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项m 使得S n 取得最小值为S m .(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2.[考点二]设S n 为等差列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7 解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整得a n ＜a n ＋1，所以等差列{a n }是递增列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.3.[考点一]已知等差列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝20×2－10＝30，∴S 30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整的正整n 的个是________．解析：由等差列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n为整，故使得a nb n为整的正整n 的个是5.答案：55.[考点一]一个等差列的前12项的和为354，前12项中偶项的和与奇项的和的比为32∶27，则该列的公差d ＝________.解析：设等差列的前12项中奇项的和为S 奇，偶项的和为S 偶，等差列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：5突破点(三) 等差列的判定与证明等差列的判定与证明方法[典例] 已知列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，判断{a n }是否为等差列，并说明你的由．[解] 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1n －＝－12n n －， 所以a n ＋1＝－12n n ＋，而a n ＋1－a n ＝－12n n ＋－－12n n －＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1nn －n ＋.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常，故列{a n }不是等差列．1．若{a n }是公差为1的等差列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差列 B ．公差为4的等差列 C ．公差为6的等差列 D ．公差为9的等差列解析：选C 令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，故b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.即{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差列．2．已知列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：列{b n }是等差列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差列．3．已知公差大于零的等差列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求列{a n }的通项公式； (2)若列{}b n 满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实c 使得{b n }为等差列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明由．解：(1)∵列{}a n 为等差列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n n －2×d ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，其中c ≠0.∵列{}b n 是等差列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实c ＝－12，使列{b n }为等差列．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国乙卷)已知等差列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97解析：选 C ∵{a n }是等差列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差列，S n为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12 解析：选B ∵列{a n }的公差为1，∴S 8＝8a 1＋－2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192. 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋m －d ＝2，S m＝a 1m ＋12m m －d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m m －＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5，选C.4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d＝23，则nS n ＝n 2a 1＋n 2n －2d ＝n 33－10n 23.由于函f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49<6S 6，所以当n ＝7时，nS n 取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2016·全国甲卷)S n 为等差列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求列{b n }的前1 000项和．解：(1)设列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差列？并说明由．解：(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，则a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得列{a n}为等差列．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强运算能力]1．若等差列{a n}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12 B．13C．14 D．15解析：选B 由S 5＝a2＋a42，得25＝＋a42，解得a4＝7，所以7＝3＋2d，即d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.2．在等差列{a n}中，a1＝0，公差d≠0，若a m＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( )A．37 B．36C．20 D．19解析：选A a m＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋9×82d＝36d＝a37，即m＝37.3．在单调递增的等差列{a n}中，若a3＝1，a2a4＝34，则a1＝( )A．－1 B．0C.14D.12解析：选B 由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝34，列{a n}单调递增，∴a2＝12，a4＝32.∴公差d＝a4－a22＝12.∴a1＝a2－d＝0.4．设等差列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．9 B．8C．7 D．6解析：选D 设等差列{a n}的公差为d.因为a3＋a7＝－6，所以a5＝－3，d＝2，则S n＝n2－12n，故当n等于6时S n取得最小值．5．已知等差列{a n}中，a n≠0，若n≥2且a n－1＋a n＋1－a2n＝0，S2n －1＝38，则n等于________．解析：∵{a n}是等差列，∴2a n＝a n－1＋a n＋1，又∵a n－1＋a n＋1－a2n＝0，∴2a n－a2n＝0，即a n(2－a n)＝0.∵a n≠0，∴a n＝2.∴S2n－1＝(2n－1)a n＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：10[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·黄冈质检)在等差列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．95 B．100C．135 D．80解析：选 B 由等差列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．(2017·东北三校联考)已知列{a n}的首项为3，{b n}为等差列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝( ) A．0 B．－109C．－181 D．121解析：选B 设等差列{b n}的公差为d，则d＝b3－b2＝－14，因为a n＋1－a n＝b n，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝b1＋b72＝72[(b2－d)＋(b2＋5d)]＝－112，又a1＝3，则a8＝－109.3．在等差列{a n}中，a3＋a5＋a11＋a17＝4，且其前n项和为S n，则S17为( )A．20 B．17C．42 D．84解析：选B 由a3＋a5＋a11＋a17＝4，得2(a4＋a14)＝4，即a4＋a14＝2，则a 1＋a17＝2，故S17＝a1＋a172＝17.4．设等差列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足S n＞0的最大自然n的值为( )A．6 B．7C．12 D．13解析：选C ∵a1＞0，a6a7＜0，∴a6＞0，a7＜0，等差列的公差小于零．又∵a3＋a10＝a1＋a12＞0，a1＋a13＝2a7＜0，∴S12＞0，S13＜0，∴满足S n＞0的最大自然n的值为12.5．设列{a n}的前n项和为S n，若S nS2n为常，则称列{a n}为“吉祥列”．已知等差列{b n}的首项为1，公差不为0，若列{b n}为“吉祥列”，则列{b n}的通项公式为( )A．b n＝n－1 B．b n＝2n－1C．b n＝n＋1 D．b n＝2n＋1解析：选 B 设等差列{b n}的公差为d(d≠0)，S nS2n＝k，因为b1＝1，则n＋12n(n－1)d＝k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n＋12×2n n－d，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意的正整n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝14.所以列{b n}的通项公式为b n＝2n－1.6．设等差列{a n}满足a1＝1，a n>0(n∈N*)，其前n项和为S n，若列{S n}也为等差列，则S n＋10a2n的最大值是( )A．310 B．212C．180 D．121解析：选D 设列{a n}的公差为d，依题意得2S2＝S1＋S3，因为a1＝1，所以22a1＋d＝a1＋3a1＋3d，简可得d＝2a1＝2，所以a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n＋n n－2×2＝n2，所以S n＋10a2n＝n ＋2 n－2＝⎝⎛⎭⎪⎫n＋102n－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n－＋2122n－12＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n－12≤121.即S n＋10a2n的最大值为121.二、填空题7．已知等差列{a n}的前n项和为S n，且满足S33－S22＝1，则列{a n}的公差d是________．解析：由S33－S22＝1得a1＋a2＋a33－a1＋a22＝a1＋d－2a1＋d2＝d2＝1，所以d＝2.答案：28．若等差列{a n}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13等于________．解析：因为S17＝a1＋a172×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.答案：39．在等差列{a n}中，a9＝12a12＋6，则列{a n}的前11项和S11等于________．解析：S 11＝a1＋a112＝11a6，设公差为d，由a9＝12a12＋6得a6＋3d＝12(a6＋6d)＋6，解得a6＝12，所以S11＝11×12＝132.答案：13210．在等差列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8 时S n取得最大值，则d的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n＝8时S n有最大值，可得。
高考数学一轮总复习练习数列的前n项和 (2)
1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，它的前n 项和S n ＝7，则项数n 等于( )A ．7B ．49C ．56D ．632．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 019项之和S 2 019等于( ) A ．1 B ．2 010 C ．4 018D ．4 0173．已知在数列{a n }中a 1＝12，且当n ∈N *时na n ＝(n ＋2)·a n ＋1，则数列{a n }的前n 项的和S n 等于( ) A.n n ＋1 B ．－nn ＋1C.1n ＋1D.n －1n ＋14．数列1，12，22，13，23，33，…，1n ，2n ，3n ，…，nn ，…，的前25项和为( )A.20714 B.20914 C.21114D.10675．(2019·温州模拟)在等差数列{a n }中，a 3＝6，a 8＝16，S n 是数列{a n }的前n 项和，若T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，则与52T 9最接近的整数是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．56．设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则⎣⎡⎦⎤1a 1＋1a 2＋1a3＋…＋1a 2 019等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，且a n b n ＝cos 2n π3，则数列{b n }的前59项和为( ) A ．－1 840 B ．－1 760 C ．1 760D ．1 8408．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，则a n 等于( ) A ．(n －2)·2n B ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 9．(2019·嘉兴期末)数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则a n ＝________，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 020＝________.10．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n (n ∈N *)，则S 2 020＝________.11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝10，a 7＝22，则数列{(－1)n ＋1·a n }的前40项和为( ) A ．－60 B ．60 C ．－120 D ．12012．有限数列A ＝{}a 1，a 2，…，a n ，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S n n 为A 的“凯森和”．如有99项的数列{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为1 000，则有100项的数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为( ) A ．991 B ．1 001 C ．999D ．99013．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S nn ＋2(n －1)(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋3n 的前10项的和是( )A ．290 B.920 C.511 D.101114．已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为正奇数，2n －1，n 为正偶数，则S 9＝________.15．已知数列{a n }满足a 1>32，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1，且∑2 018i ＝1 1a i＝2，则4a 2 019－a 1的最大值为______．16．(2020·舟山模拟)已知数列{a n }满足1a n ＝1a n ＋1－1，且a 1＝1，则a n ＝______，数列{b n }满足b n ＝2na n ，则数列{b n }的前n 项和S n ＝________.答案精析1．D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.A 7.B 8．A 9.n 2＋n 2 4 0402 021 10.2×31 010－211．A12．A [设凯森和用T n 来表示，由题意知A 的T 99＝S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1 000，设新的凯森和为T x ，则 T x ＝S 1＋S 2＋…＋S 100100＝100×1＋S 1＋S 2＋…＋S 99100＝100＋99×1 000100＝991.]13．C [由a n ＝S nn＋2(n －1)(n ∈N *)得S n ＝na n －2n (n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，整理得a n －a n －1＝4， 所以{a n }是公差为4的等差数列， 又a 1＝1，所以a n ＝4n －3(n ∈N *)，从而S n ＋3n ＝n (a 1＋a n )2＋3n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，所以1S n ＋3n ＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n ＋3n 的前10项的和S ＝12⎝⎛⎭⎫1－111＝511.] 14．377解析 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为正奇数，2n －1，n 为正偶数，则S 9＝(1＋4＋16＋64＋256)＋(3＋7＋11＋15) ＝1－451－4＋36＝341＋36＝377. 15．－32解析 由题设知，a n ＋1－1＝a n (a n －1)，∴1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n，∴1a n －1－1a n ＋1－1＝1a n ，通过累加得∑2 018i ＝1 1a i ＝ 1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 018＝1a 1－1－1a 2 019－1＝2，即1a 2 019－1＝1a 1－1－2，即a 2 019＝1＋a 1－13－2a 1＝2－a 13－2a 1，∴4a 2 019－a 1＝8－4a 13－2a 1－a 1＝6－4a 1＋23－2a 1－a 1＝23－2a 1＋12(3－2a 1)＋12≤－32，当且仅当23－2a 1＝3－2a 12，即a 1＝52时，等号成立．16.1n(n －1)·2n ＋1＋2 解析 由1a n ＝1a n ＋1－1可得1a n ＋1－1a n＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差、首项都为1，由等差数列的通项公式可得1a n ＝n ，a n ＝1n ；所以2na n ＝n ×2n ，S n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ，① 2S n ＝1×22＋…＋(n －1)2n ＋n ×2n ＋1，② ②－①得S n ＝－(2＋22＋…＋2n )＋n ×2n ＋1 ＝－2(1－2n )1－2＋n ×2n ＋1＝(n －1)×2n ＋1＋2.。
高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)
B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。
高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《等差数列》练习题（含答案）一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（ ） A ．12B ．16C ．8D ．202．在等差数列{}n a 中，49a =，且2410,,a a a 构成等比数列，则公差d 等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．0或33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且125a =，175b =，22120a b +=，则3737a b +的值为（ ） A ．760B ．820C ．780D ．8605．在等差数列{an }中，若a 2+2a 6+a 10＝120，则a 3+a 9等于（ ） A ．30B ．40C ．60D ．806．在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（ ） A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱7．已知数列{an }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为Sn ，满足4325a a =+，则S 9=（ ） A ．35B ．40C ．45D ．50 8．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4B ．8C ．32D ．649．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，则“50a >”是“0d >”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a += ，则9S = （ ） A ．22.5B ．45C ．67.5D ．9012．在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（ ） A ．28 B ．30C ．32D ．36二、填空题13．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若24a =，420S =，则9a =_________.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．15．已知数列{}n a 中，11a =，()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-，则通项公式n a =______. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，636S S =+，则7S =_____． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．18．已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立，求实数λ的最小值．22．这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a =，()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ；②25a =，()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ；③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1．B2．D3．A4．B5．C7．C8．D9．C10．B11．B12．D 13．18 14．6- 15．21nn - 16．717．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由3718a a +=，得112618a d a d +++=，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．（1）因为221nn S n a n +=+，即222n n S n na n+=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-． 20．（1）n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=，依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以8的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . （3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由535S =得151035a d +=， 因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）；因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81N n b n n *=+∈；（2）因为14a <，所以21n a n =+， 所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---，所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立， 所以12λ≥，故λ的最小值为12.22．(1)解：选条件①时，25a =，1123n n n S S S +--+=，整理得()()113n n n n S S S S +----=，故13n n a a +-=（常数），且213a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-；选条件②时，25a =，()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ，整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--，故112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 是等差数列，公差213d a a =-=，故()13131n a a n n =+-=-； 选条件③时，()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ，且121S =， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，32为公差的等差数列，则()33121222n S n n n =+-=+，所以23122n S n n =+，则2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-，所以31n a n =-，*n ∈N . (2)解：由（1）得：31n a n =-，由于n b 是n a 、1n a +的等比中项，所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅，则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。
(完整版)高三数学第一轮复习单元测试--数列
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）A ．40B ．42C ．43D ．454．在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12，S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为 （ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．665．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ ）A ．310B ．13C ．18D ．196．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．757．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝ （ ）A ．100B ．101C ．200D ．2018．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n -9．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +- 10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 （ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx Λ则设 . 15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第 一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.16．已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1， 则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n 18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）19．（本小题满分12分）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 20．（本小题满分12分） 某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． 22．（本小题满分14分）已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{n b 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列； （2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）（理做文不做）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．参考答案（2）1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ． 3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =． ∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d +＝42． 4．B ． 因为461912a a a a +=+=，所以1999()2a a S +==54，故选B ． 5．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 6．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．7．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．8．C ．因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C ．9．D ． f （n ）=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--，选D ． 10．B ． 正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++Λ则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ，k 最大为6，剩4，选B ．11．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．12．C ．由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30，选C ．13．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3. 14．由()()11=+-x f x f ，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n ΛΛ )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f Λ所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=ΛΛ 6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n 为的 n －1个，于是，借助()21321+=++++n n n Λ估算，取n=10，则第55个整数对为()1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为()7,517．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18．ο1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d －1d =0，∴1+≤n n b b （n =1，2，3，…）成立； 又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1，2，3，…） ∴数列}{n c 为等差数列.ο2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①－②得：)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1，2，3，…），由此，不妨设3d b n =（n =1，2，3，…），则2+-n n a a 3d =（常数） 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=（常数）（n =1，2，3，…）， ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）. 19．（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20．设第n 天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，()()N n ,n n n n n n S n∈≤≤-=⨯-+=3015255021202，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ，公差为30，项数为30－n 的等差数列的和，()()()()(),n n n n n n Tn148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有，(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简，120588612=∴=+-n ,n n 或49=n （舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.21．（1）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；（任一非负偶数均可）; 1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．（任一正奇数均可）; （2） 4d =时，422(21),n a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项 （3）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项． 理由是：①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =， 即{}n b 的项都是{}n a 中的项；②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项． 22．（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0)5.3(12<--=x y'，在（3.5，∞+） 上为减函数. 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0， 0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝－1. （3）先用数学归纳法证明21<<n a ，再证明n n a a <+1. ①当1=n 时，211<<a 成立； ②假设当k n =时命题成立，即21<<k a ，当1+=k n 时，1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立，综合①②有，命题对任意+∈N n 时成立，即21<<n a . （也可设x x f 12)(-=（1≤x ≤2），则01)(2'>=xx f ， 故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ）.下证： n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。
高三数学第一轮复习单元测试--数列(最新整理)
18．（本小题满分 12 分） 设数列{an } 、{bn } 、{cn } 满足： bn an an2 ， cn an 2an1 3an2 （n=1，2，3，…）， 证明：{an } 为等差数列的充分必要条件是{cn } 为等差数列且 bn bn1 （n=1，2，3，…）
19．（本小题满分 12 分） 已知数列 a1 , a2 , , a30 ，其中 a1 , a2 , , a10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a10 , a11 , , a20
则第 60 个整数对是_______________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）
数列{an}的前 n 项和记为 Sn， a1 1, an1 2Sn 1n 1
（1）求{an}的通项公式; （2）等差数列{bn}的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3 15 ，又 a1 b1, a2 b2 , a3 b3 成等比数列，求 Tn
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列， c 、 a 、 b 成等比数列，且 a 3b c 10 ，
则a =
（）
A．4
B．2 C．－2
A．2002
（） B．2004
C．2006
D．2008
12．已知数列 an 对任意的 p，q N* 满足 apq ap aq ，且 a2 6 ，那么 a10 等于（ ）
A． 165
B． 33 C． 30 D． 21
高三数学练习题及答案：数列
高三数学练习题及答案：数列一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.在等差数列{an}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为()A.6B.7C.8D.9解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6.答案：A2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33-S22=1，则数列{an}的公差是()A.12B.1C.2D.3解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，得d=2，故选C.答案：C3.已知数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2011等于()A.1B.-4C.4D.5解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，。
故{an}是以6为周期的数列，∴a2011=a6×335+1=a1=1.答案：A4.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5A.d0B.a7=0C.S9S5D.S6与S7均为Sn的值解析：∵S5又S7S8，∴a80.假设S9S5，则a6+a7+a8+a90，即2(a7+a8)0.∵a7=0，a80，∴a7+a80.假设不成立，故S9答案：C5.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3=3a3，则公比q 的值为()A.-12B.12C.1或-12D.-2或12[解析：设首项为a1，公比为q，则当q=1时，S3=3a1=3a3，适合题意.当q≠1时，a1(1-q3)1-q=3?a1q2，∴1-q3=3q2-3q3，即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0，解得q=1(舍去)，或q=-12.综上，q=1，或q=-12.答案：C6.若数列{an}的通项公式an=5?252n-2-4?25n-1，数列{an}的项为第x 项，最小项为第y项，则x+y等于()A.3B.4C.5D.6解析：an=5?252n-2-4?25n-1=5?25n-1-252-45，∴n=2时，an最小;n=1时，an.此时x=1，y=2，∴x+y=3.答案：A7.数列{an}中，a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25解析：∵3an+1=3an-2，∴an+1-an=-23，即公差d=-23.∴an=a1+(n-1)?d=15-23(n-1).令an0，即15-23(n-1)0，解得n23.5.又n∈N*，∴n≤23，∴a230，而a240，∴a23a240.答案：C8.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()A.1.14aB.1.15aC.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1=a，wan=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.答案：C9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7?a14的值为()A.25B.50C.100D.不存在解析：由S20=100，得a1+a20=10.∴a7+a14=10.又a70，a140，∴a7?a14≤a7+a1422=25.答案：A10.设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn()A.在直线mx+qy-q=0上B.在直线q__my+m=0上C.在直线qx+my-q=0上D.不一定在一条直线上解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，②由②得qn=y-1，代入①得x=mq(y-1)，即q__my+m=0.答案：B11.将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，。
高考数学一轮总复习练习数列小题综合练 (2)
1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．92．在等比数列{a n }中，a 5a 7＝6，a 2＋a 10＝5，则a 18a 10等于( )A ．－23或－32B.23C.32D.23或323．已知等差数列{a n }(n ∈N *)的公差为d ，前n 项和为S n ，若a 1>0，d <0，S 3＝S 9，则当S n 取得最大值时，n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．(2020·绍兴柯桥区调研)已知等比数列{a n }中有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．165．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，(n ＋1)S n ＝(6n ＋18)T n .若a nb n ∈Z ，则n的取值集合为( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,5}D ．{1,2,3,6}6．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99·a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99·a 101－1>0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④7．(2019·杭州期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，S 50＝0.设b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时，n 的值为( ) A ．23 B ．25 C ．23或24D ．23或258．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＝a 2n －1＋(－1)n ，a 2n ＋1＝a 2n ＋3n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2 017项的和为( ) A ．31 003－2 005 B ．32 016－2 017 C ．31 008－2 017D ．31 009－2 0189．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3a n ＋2n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 10．(2019·舟山期末)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝5，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N *，则a 2＝________，S 4＝______.11．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．10012．已知a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，又函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝2n C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2－2n ＋313．已知函数f (x )＝x 2＋2x (x >0)，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 019(x )在[1,2]上的最大值是( ) A ．42 018－1 B ．42 019－1 C ．92 019－1D ．322 019－114．(2020·杭州市学军中学质检)已知数列{a n }满足a 1＝－12，a n ＋1＝a 2n ＋3a n ＋1，若b n ＝1a n ＋2，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则使得|S 2 019－k |最小的整数k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．315．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }，又记数列{c n }满足c 1＝b 1，c 2＝b 2，c n ＝b n －b n －1(n ≥3，n ∈N *)，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 019的值为______．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1且a n ＋1－2a n －1＝0，若(－1)n λ≤S n ＋2n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是__________．答案精析1．A 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.D 8．D 9.2－⎝⎛⎭⎫32n10.4 8511．D [由于f (n )＝sin n π25的周期T ＝50，由正弦函数的图象可知a 1，a 2，…，a 24>0，a 25＝0，a 26，a 27，…，a 49<0，a 50＝0， 且sin 26π25＝－sin π25，Sin 27π25＝－sin 2π25，….但是f (n )＝1n 单调递减，a 26，…，a 49都为负数，但是|a 26|<a 1，|a 27|<a 2，…，|a 49|<a 24.∴S 1，S 2，…，S 25都为正，且S 26，S 27，…，S 50都为正， 同理S 1，S 2，…，S 75都为正，且S 75，…，S 100都为正， 即正数个数为100.]12．C [F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1在R 上为奇函数， 故F (－x )＝－F (x )，代入得f ⎝⎛⎭⎫12－x ＋f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝2，x ∈R ， 当x ＝0时，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，令t ＝12－x ， 则12＋x ＝1－t ，上式即为f (t )＋f (1－t )＝2， 当n 为偶数时，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1) ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1n ＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝2×n2＋1＝n ＋1，当n 为奇数时，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －12n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋12n＝2×n ＋12＝n ＋1，综上所述，a n ＝n ＋1.]13．D [∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )>0， ∴f 1(x )＝f (x )＝x 2＋2x 在[1,2]上为增函数， 即f 1(x )max ＝8＝32－1，且f 1(x )>0，同理f 2(x )max ＝f (f 1(x )max )＝f (32－1＋1)2－1＝34－1＝322－1，且f 2(x )>0， 同理f 3(x )max ＝f (f 2(x )max )＝f (34－1＋1)2－1＝38－1＝323－1，且f 3(x )>0， 依此类推f 2 019(x )max ＝f (f 2 018(x )max )＝322 019－1.] 14．C [因为a n ＋1＝a 2n ＋3a n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n＋1)2≥0， 所以{a n }为递增数列，而a n ＋1＋1＝a 2n ＋3a n ＋2 ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，所以1a n ＋1＋1＝1(a n ＋1)(a n ＋2)＝1a n ＋1－1a n ＋2， 所以b n ＝1a n ＋2＝1a n ＋1－1a n ＋1＋1，因为数列{b n }的前n 项和为S n ，a 1＝－12，所以S 2 019＝1a 1＋1－1a 2＋1＋1a 2＋1－1a 3＋1＋…＋1a 2 019＋1－1a 2 020＋1＝2－1a 2 020＋1.而a 2＋1＝(a 1＋1)(a 1＋2)＝34，a 3＋1＝(a 2＋1)(a 2＋2)＝2116，所以a 2 020＋1>a 3＋1＝2116，从而得到2－1a 2 020＋1∈⎝⎛⎭⎫2621，2， 所以|S 2 019－k |要取最小，k 的整数值为2.] 15．3解析 记“兔子数列”为{a n }，则数列{a n }每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…，可得数列{b n }构成一个周期为6的数列，由题意得数列{c n }为1,1,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1，1,0,1,1，－2，－1，…，观察数列{c n }可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一个周期为6的数列，且每一个周期的所有项的和为0，所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 019＝(c 1＋c 2)＋(c 3＋…＋c 2 018)＋c 2 019＝1＋1＋1＝3. 16．[－3,8]解析 因为a n ＋1－2a n －1＝0， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n ＋1＝2n ，a n ＝2n －1. 因此S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .所以(－1)n λ≤S n ＋2n 对任意n ∈N *恒成立，可化为(－1)n λ≤2n ＋1＋n －2对任意n ∈N *恒成立． 当n 为奇数时，－λ≤(2n ＋1＋n －2)min ， 所以 －λ≤3，即λ≥－3；当n 为偶数时，λ≤(2n ＋1＋n －2)min ， 解得λ≤8.综上，实数λ的取值范围是[－3,8]．。
数列单元能力测试(二)
数列单元能力测试(二) 命题人 蒋红伟一、选择题（5×10=50分）1．已知数列)13(2,,4,10,2-n ，则8是此数列的第（ ）项：A ．10B ．11C ．12D ．13 2．等比数列{}n a 满足6,152415=-=-a a a a ，则公比q 的值为（ ）A ．2B ．21C ．1D ．2或213．等差数列{a n } 中，已知a 3＋a 4＋a 9＋a 14＋a 15=10，则S 17＝（ ）A ．34B ．68C ．170D ．514．一张报纸，其厚度为a ，面积为b ，将此报纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别是（ ）A ．b a 81,8B ．b a 641,64 C ．b a 1281,128 D ．b a 2561,256 5．已知数列{}n a 各项都为正数，并且有294a a ⋅=，则2122210l o gl o g l o g a a a+++的值为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．406．已知数列33,2,+x x x 是一个等比数列中的连续三项，则x 的值为（ ）A ．0或3B ．0C ．3D ．27．已知122,62,32===cb a ，则c b a 、、是（ ）A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列8．数列{}n a 的通项公式为12121,,n n na nb a a a =+=++⋅⋅⋅+则数列{}n b 的前n 项和为（ ） A ．12(2)n n -+ B ．12n n -+ C ．3232(1)(2)n n n +-++ D ．32342(1)(2)n n n +-++ 9．(2010·海淀区)已知f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，当02≤≤-x 时，f (x )＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f (n )，则a 2010＝( )A ．2010B ．4C ．14D ．－4 10．若方程250x x m -+=与2100x x n -+=的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则n m :的值为( )A ．4B ．2C ．12D ．14二、填空题（5×5=25分）11．一个皮球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，其经过的路程为_____________________12．等比数列{}n a 中，,70,1333241=+=+a a a a 则这数列的公比为________ 13．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为___________14．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=__________15．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且,55,1554==S a 则过点),4(),,3(43a Q a P 的直线的斜率是______三、解答题（75分）16．（13分）已知数列{}n a 的通项公式为n a n 225-=，求:（1）求证数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n a 前n 项和的最大值.17．（13分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
2019高考数学文一轮复习：数列综合复习(含答案解析)
2019高考数学文一轮复习： 数列综合复习一、选择题：1.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1=a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018=( ) A.1 B.0 C.2 018 D.－2 018 2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n －1)，则a n = ( ) A.2n B.2n －1 C.2nD.2n－1 3.已知数列{a n }满足a 1=1，a n ＋1a n =2n(n ∈N *)，则a 10=( ) A.64 B.32 C.16 D.8 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=( ) A.52 B.78 C.104 D.208 5.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=( ) A.12 B.13 C.14 D.156.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 6＋a 7>0”是“S 9≥S 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充要也不必要条件7.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4－2，3S 2=a 3－2，则公比q=( ) A.3 B.4 C.5 D.68.在等比数列{a n }中，已知a 3=6，a 3＋a 5＋a 7=78，则a 5=( ) A.12 B.18 C.36 D.249.已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12 C.3－52 D.3＋5210.在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n =34，a 3·a n －2=64，且前n 项和S n =42，则n 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.S n =12＋12＋38＋…＋n2n 等于( )A.2n－n 2n B.2n ＋1－n －22n C.2n －n ＋12n ＋1D.2n ＋1－n ＋22n12.数列{a n }的通项公式是a n =1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A.120B.99C.11D.121二、填空题:13.已知数列{a n }，{b n }，若b 1=0，a n =1n （n ＋1），当n ≥2时，有b n =b n －1＋a n －1，则b 10=________.14.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9=27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11=________. 15.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，则正整数m 的值为________. 16.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4=9，a 2a 3=8，则数列{a n }的前n 项和S n =________. 17.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6=0，则S 6S 3=________.18.设函数f(x)=12＋log 2x 1－x ，定义S n =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，其中n ∈N *，且n ≥2，则S n=________.三、解答题：19.已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和S n =n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.20.已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .21.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3·a4=117，a2＋a5=22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=S nn＋c，是否存在非零实数c使得{b n}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.22.已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n－a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和.23.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n=(n－1)S n＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列.24.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且6S n=3n＋1＋a(n∈N*).(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(1－an)log3(a2n·a n＋1)，求数列{1b n}的前n项和T n.25.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1a n 的前n 项和T n .26.已知S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n =4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.参考答案解析1.解析：选B.因为a 1=1，所以a 2=(a 1－1)2=0，a 3=(a 2－1)2=1，a 4=(a 3－1)2=0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，所以a 2 018=a 2=0.2.解析：选C.当n=1时，a 1=S 1=2(a 1－1)，可得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=2a n －2a n －1，所以a n =2a n －1，所以数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n =2n. 3.解析：选B.因为a n ＋1a n =2n，所以a n ＋2a n ＋1=2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n=2.又a 1a 2=2，a 1=1，所以a 2=2.法一：a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2=24，即a 10=25=32.法二：数列{a 2n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a 10=2×24=32. 4.解析：选C.依题意得3a 7=24，a 7=8，S 13=13（a 1＋a 13）2=13a 7=104，选C.5.解析：选B.设{a n }的公差为d ，由S 5=5（a 2＋a 4）2⇒25=5（3＋a 4）2⇒a 4=7，所以7=3＋2d ⇒d=2，所以a 7=a 4＋3d=7＋3×2=13.6.解析：选A.法一：将它们等价转化为a 1和d 的关系式.a 6＋a 7>0⇒a 1＋5d ＋a 1＋6d>0⇒2a 1＋11d>0；S 9≥S 3⇒9a 1＋9×8×d 2≥3a 1＋3×2×d2⇒2a 1＋11d ≥0.法二：a 6＋a 7>0⇒a 1＋a 12>0，S 9≥S 3⇒a 4＋a 5＋…＋a 9≥0⇒3(a 1＋a 12)≥0.7.解析：选B.由题意知，q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1（1－q 3）1－q ＝a 1q 3－23a 1（1－q 2）1－q＝a 1q 2－2，两式相减可得－3（q 3－q 2）1－q =q 3－q 2， 即－31－q=1，所以q=4. 8.解析：a 3＋a 5＋a 7=a 3(1＋q 2＋q 4)=6(1＋q 2＋q 4)=78⇒1＋q 2＋q 4=13⇒q 2=3，所以a 5=a 3q 2=6×3=18.故选B. 9.解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5=a 3＋a 4，即a 3q 2=a 3＋a 3q ，故q 2－q －1=0，解得q=1＋52或q=1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6=a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2=a 3（1＋q 2）a 4（1＋q 2）=1q =25＋1=2（5－1）（5＋1）（5－1）=5－12，故选A. 10.解析：选A.因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2=a 1·a n =64.又a 1＋a n =34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64=0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2. 又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝32.由S n =a 1－a n q 1－q =2－32q1－q =42，解得q=4.由a n =a 1qn －1=2×4n －1=32，解得n=3.故选A.11.解析：选B.由S n =12＋222＋323＋…＋n 2n ，①得12S n =122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②①－②得，12S n =12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，所以S n =2n ＋1－n －22n. 12.解析：选A.a n =1n ＋n ＋1=n ＋1－n（n ＋1＋n ）（n ＋1－n ）=n ＋1－n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n =(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n)=n ＋1－1=10. 即n ＋1=11，所以n ＋1=121，n=120.13.解析：由b n =b n －1＋a n －1得b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1=a 1，b 3－b 2=a 2，…，b n －b n －1=a n －1，所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n ，即b n －b 1=a 1＋a 2＋…＋a n －1=11×2＋12×3＋…＋1（n －1）×n =11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n=1－1n =n －1n ，又b 1=0，所以b n =n －1n ，所以b 10=910.答案：91014.解析：因为a 3＋a 9=27－a 6，2a 6=a 3＋a 9，所以3a 6=27，所以a 6=9，所以S 11=112(a 1＋a 11)=11a 6=99.答案：9915.解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，所以a m =S m －S m －1=2，a m ＋1=S m ＋1－S m =3，数列的公差d=1，a m ＋a m ＋1=S m ＋1－S m －1=5，即2a 1＋2m －1=5，所以a 1=3－m.由S m =(3－m)m ＋m （m －1）2×1=0，解得正整数m 的值为5.答案：516.解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n =1－2n1－2=2n －1.答案：2n－117.解析：由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3=a 1q 2，a 6=a 1q 5，所以27a 1q 2=a 1q 5，所以q=3，由S n =a 1（1－q n）1－q ，得S 6=a 1（1－36）1－3，S 3=a 1（1－33）1－3，所以S 6S 3=a 1（1－36）1－3·1－3a 1（1－33）=28.答案：28 18.解析：因为f(x)＋f(1－x)=12＋log 2 x 1－x ＋12＋log 2 1－xx=1＋log 21=1，所以2S n =⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ]＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n =n －1.所以S n=n －12.答案：n －1219.解：(1)由S 2=43a 2得3(a 1＋a 2)=4a 2，解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)=5a 3，解得a 3=32(a 1＋a 2)=6.(2)由题设知a 1=1.当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n =n ＋1n －1a n －1.于是a 1=1，a 2=31a 1，a 3=42a 2，…a n －1=n n －2a n －2，a n =n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n =n （n ＋1）2.显然，当n=1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n =n （n ＋1）2.20.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2=a 1＋d ，a 3=a 1＋2d.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n =2－3(n －1)=－3n ＋5或a n =－4＋3(n －1)=3n －7.故a n =－3n ＋5或a n =3n －7.(2)当a n =－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2，不成等比数列； 当a n =3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件.故|a n |=|3n －7|=⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n=1时，S 1=|a 1|=4；当n=2时，S 2=|a 1|＋|a 2|=5；当n ≥3时，S n =S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |=5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) =5＋（n －2）[2＋（3n －7）]2=32n 2－112n ＋10.当n=2时，满足此式，当n=1时，不满足此式.综上，S n =⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.21.解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4=a 2＋a 5=22.又a 3·a 4=117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117=0的两实根，又公差d>0，所以a 3<a 4，所以a 3=9，a 4=13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n =4n －3.(2)由(1)知a 1=1，d=4，所以S n =na 1＋n （n －1）2×d=2n 2－n ，所以b n =S n n ＋c =2n 2－n n ＋c ，所以b 1=11＋c ，b 2=62＋c ，b 3=153＋c，其中c ≠0.因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2=b 1＋b 3，即62＋c ×2=11＋c ＋153＋c ，所以2c 2＋c=0，所以c=－12或c=0(舍去)，故c=－12.即存在一个非零实数c=－12，使数列{b n }为等差数列.22.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d=a 4－a 13=12－33=3，所以a n =a 1＋(n －1)d=3n(n=1，2，…).设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3=b 4－a 4b 1－a 1=20－124－3=8，解得q=2.所以b n －a n =(b 1－a 1)q n －1=2n －1.从而b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).(2)由(1)知b n =3n ＋2n －1(n=1，2，…).数列{3n}的前n 项和为32n(n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n1－2=2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n(n ＋1)＋2n－1.23.解：(1)因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *)，所以当n=1时，a 1=2×1=2； 当n=2时，a 1＋2a 2=(a 1＋a 2)＋4，所以a 2=4；当n=3时，a 1＋2a 2＋3a 3=2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，所以a 3=8.综上，a 2=4，a 3=8.(2)证明：因为a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n =(n －1)S n ＋2n(n ∈N *).①所以当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1=(n －2)S n －1＋2(n －1).②①－②，得na n =(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2=n(S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2=na n －S n ＋2S n －1＋2. 所以－S n ＋2S n －1＋2=0，即S n =2S n －1＋2，所以S n ＋2=2(S n －1＋2). 因为S 1＋2=4≠0，所以S n －1＋2≠0，所以S n ＋2S n －1＋2=2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.24.解：(1)因为6S n =3n ＋1＋a(n ∈N *)，所以当n=1时，6S 1=6a 1=9＋a ，当n ≥2时，6a n =6(S n －S n －1)=2×3n ，即a n =3n －1，所以{a n }是等比数列，所以a 1=1，则9＋a=6，得a=－3，所以数列{a n }的通项公式为a n =3n －1(n ∈N *).(2)由(1)得b n =(1－an)log 3(a 2n ·a n ＋1)=(3n －2)(3n ＋1)， 所以T n =1b 1＋1b 2＋…＋1b n =11×4＋14×7＋…＋1（3n －2）（3n ＋1）=13(1－14＋14－17＋…＋13n －2－13n ＋1)=n3n ＋1. 25.解：(1)当n=1时，a 1=2.当n ≥2时，S n －1=2a n －1－2， 所以a n =S n －S n －1=2a n －2－(2a n －1－2)，即a n a n －1=2(n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n =2n(n ∈N *). (2)令b n =n ＋1a n =n ＋12n ，则T n =221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，①①×12，得12T n =222＋323＋424＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，②①－②，得12T n =32－n ＋32n ＋1，整理得T n =3－n ＋32n .26.解：(1)由a 2n ＋2a n =4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1=4S n ＋1＋3.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )=4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )=a 2n ＋1－a 2n =(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).由a n >0，得a n ＋1－a n =2.又a 21＋2a 1=4a 1＋3，解得a 1=－1(舍去)或a 1=3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n =2n ＋1. (2)由a n =2n ＋1可知b n =1a n a n ＋1=1（2n ＋1）（2n ＋3）=12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =b 1＋b 2＋…＋b n =12[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3]=n 3（2n ＋3）.。
2019年高三一轮测试(理)3数列(2)(通用版)
2019年高三一轮测试（理）数 列—————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．题目要求的)1．设数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )是一个函数，则它的定义域是( )A ．非负整数B ．N *的子集 C ．N * D ．N *或{1,2,3，…，n }2．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －6＝0上，则a 3－a 5＋a 7的值为( )A ．27B ．6C ．81D ．93．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n (n －1)，则该数列是( )A ．公比为2的等比数列B ．公比为12的等比数列C ．公差为2的等差数列D ．公差为4的等差数列5．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟6．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n－c ，则“c ＝1”是“数列{a n }为等比数列”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．88．在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 2 010＝( )A ．－2B ．－13C ．－12D ．39．在函数y ＝f (x )的图象上有点列{x n ，y n }，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋22n －7(n ∈N *)，{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x＋y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．811．在等差数列{a n }中，a 11a 10＜－1，若它的前n 项和S n 有最大值，则下列各数中是S n 的最小正数的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 2012．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．13413．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 14．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.15．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列{1x n }为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．16．已知S n 是公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和，且S 6＞S 7＞S 5，则下列四个命题：①d ＜0；②S 11＞0；③S 12＜0；④S 13＞0中真命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝21. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．(本小题满分12分)已知数列{a n }，a n ∈N *，前n 项和S n ＝18(a a ＋2)2.(1)求证：{a n }是等差数列；(2)若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．19.(本小题满分12分)某市2008年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市流感病毒新感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日为止，该市在这30日内该病毒新感染者共有8 670人，问11月几日，该市新感染此病毒的人数最多？并求这一天的新感染人数．20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }、{B n }、{C n }，其中A n (n ，a n )、B n (n ，b n )、C n (n －1,0)满足：向量A n A n ＋1与共线，且点列{B n }在方向向量为(1,6)的直线上，a 1＝a ，b 1＝－a .(1)试用a 与n 表示a n (n ≥2)；(2)若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围． 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列？并求其通项公式；(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(本小题满分12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0恒成立，试求m 的取值范围．答案： 一、选择题 1．D2．A 由题意得a n －a n －1－6＝0，即a n －a n －1＝6，得数列{a n }是等差数列，且首项a 1＝3，公差d ＝6，而a 3－a 5＋a 7＝a 7－2d ＝a 5＝a 1＋4d ＝3＋4×6＝27.3．C 由S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )． ∵d ≠0，∴d ＝2a 1. ∴a 2a 1＝a 1＋d a 1＝3a 1a 1＝3. 4．D 由条件可得n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n (n －1)－2(n －1)(n －2)＝4(n －1)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝0， 代入适合，故a n ＝4(n －1)，故数列{a n }表示公差为4的等差数列．5．C 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240， 解得n ＝15，故选C.6．C 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －c ，且c ＝1，则a n ＝2×3n －1(n ≥1)，从而可知c ＝1是数列{a n }为等比数列的充要条件，故选C 项．7．B 因为a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则a 2k ＝a 1a 2k ，[9d ＋(k －1)d ]2＝9d ·[9d ＋(2k －1)d ]， 又d ≠0，则k 2－2k －8＝0，k ＝4或k ＝－2(舍去)． 8．B 由条件可得：a 1＝－2，a 2＝－13，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝－2，…，即{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2 010＝a 2＝－13，故选B.9．D 结合选项，对于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫34x 上的点列{x n ，y n }，有y n ＝⎝⎛⎭⎫34x n .由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n＝⎝⎛⎭⎫34x n ＋1⎝⎛⎭⎫34x n ＝⎝⎛⎭⎫34xn ＋1－x n＝⎝⎛⎭⎫34d ，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列． 10．C 由函数f (n )＝1＋22n －7(n ∈N *)的单调性知，a 1＞a 2＞a 3，且a 4＞a 5＞a 6＞…＞0，又a 1＝35，a 2＝13，a 3＝－1，a 4＝3，故a 3为最小项，a 4为最大项，x ＋y 的值为7. 11．C ∵等差数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴a 1＞0，且d ＜0，由a 11a 10＜－1得a 10＞0，a 11＜－a 10，即a 10＋a 11＜0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)＜0， S 19＝19a 10＞0，又由题意知当n ≥11时， a n ＜0，∴n ≥11时，S n 递减，故S 19是最小的正数． 12．C 由题意可知， lg a 3＝b 3，lg a 6＝b 6.又∵b 3＝18，b 6＝12，则a 1q 2＝1018，a 1q 5＝1012，∴q 3＝10－6.即q ＝10－2，∴a 1＝1022. 又∵{a n }为正项等比数列， ∴{b n }为等差数列， 且d ＝－2，b 1＝22.故b n ＝22＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋24.∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2322＋5294.又∵n ∈N *，故n ＝11或12时，(S n )max ＝132. 二、填空题 13．【解析】 设等比数列的公比为q ，则由S 6＝4S 3知q ≠1，∴S 6＝1－q 61－q ＝4(1－q 3)1－q .∴q 3＝3.∴a 1q 3＝3. 【答案】 3 14．【解析】 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153. 【答案】 15315．【解析】 因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20(x 1＋x 20)2＝20(x 3＋x 18)2＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3、x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤(x 3＋x 182)2＝100，即x 3x 18的最大值为100.【答案】 100 16．【解析】 解答本题要灵活应用等差数列性质．由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧S 6＞S 7⇒S 6＞S 6＋a 7⇒a 7＜0S 7＞S 5⇒S 5＋a 6＋a 7＞S 5⇒a 6＋a 7＞0，S 6＞S 5⇒S 5＋a 6＞S 5⇒a 6＞0即a 6＞0，a 7＜0，a 6＋a 7＞0， 因此d ＜0，①正确； S 11＝11a 6＞0②正确；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2＞0，故③错误；S 13＝12(a 1＋a 13)2＝12a 7＜0，故④错误，故真命题的序号是①②. 【答案】 ①② 三、解答题 17．【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝9a 1＋4d ＝21， 解得a 1＝5，d ＝4，∴{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋1. (2)由a n ＝4n ＋1得b n ＝24n ＋1，∴{b n }是首项为b 1＝25，公比q ＝24的等比数列．∴S n ＝25(24n －1)24－1＝32×(24n －1)15.18．【解析】 (1)证明：∵a n ＋1 ＝S n ＋1－S n ＝18(a n ＋1＋2)2－18(a n ＋2)2， ∴8a n ＋1＝(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2，∴(a n ＋1－2)2－(a n ＋2)2＝0，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0. ∵a n ∈N *，∴a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n －4＝0.即a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }是等差数列．(2)由(1)知a 1＝S 1＝18(a 1＋2)，解得a 1＝2.∴a n ＝4n －2，b n ＝12a n －30＝2n －31，由⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤02(n ＋1)－31≥0得 292≤n ＜312.∵n ∈N *，∴n ＝15， ∴{a n }前15项为负值，以后各项均 为正值． ∴S 5最小．又b 1＝－29，∴S 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－22519．【解析】 设第n 天新感染人数最多，则从第n ＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列，其前n 项和S n ＝20n ＋n (n －1)2×50＝25n 2－5n (1≤n ＜30，n ∈N )，而后30－n 天的流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列，其前30－n 项的和T 30－n ＝(30－n )(50n －60)＋(30－n )(29－n )2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850，依题设构建方程有，S n ＋T 30－n ＝8 670，∴25n 2－5n＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670，化简得n 2－61n ＋588＝0，∴n ＝12或n ＝49(舍去)，第12天的新感染人数为20＋(12－1)·50＝570人．故11月12日，该市新感染此病毒的人数最多，新感染人数为570人．20．【解析】 (1)A n A n ＋1 ＝(1，a n ＋1－a n )， ＝(－1，－b n )．因为向量A n A n ＋1与向量共线， 则a n ＋1－a n －b n ＝1－1，即a n ＋1－a n ＝b n .又{B n }在方向向量为(1,6)的直线上， 有b n ＋1－b n n ＋1－n＝6， 即b n ＋1－b n ＝6.所以b n ＝－a ＋6(n －1)，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝a ＋3(n －1)(n －2)－a (n －1) ＝3n 2－(9＋a )n ＋6＋2a (n ≥2)．(2)二次函数f (x )＝3x 2－(9＋a )x ＋6＋2a 的图象是开口向上，对称轴为x ＝a ＋96拋物线．又∵在a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，故对称轴x ＝a ＋96在⎝⎛⎭⎫112，152内，即112＜a ＋96＜152， ∴24＜a ＜36. 21．【解析】 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2， a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1， ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，公差为－1的等差数列， ∴a n ＝－n ＋2.(2)由λ＝3可得，a n ＝3a n －1＋3－2，即a n ＝3a n －1＋1.∴a n ＋12＝3a n －1＋32，∴a n ＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n －1＋12，即b n ＝3b n －1(n ≥2)，又b 1＝a 1＋12＝32，∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列，∴b n ＝32×3n －1＝3n2，∴S n ＝32(1－3n )1－3＝34(3n －1)． 22．【解析】 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28， 得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8， 解之得⎩⎨⎧q ＝2a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n ，(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①－2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1②①－②得，S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1由S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0，即2n ＋1－2－n ·2n ＋1＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1＜0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1＜2－2n ＋1. 对任意正整数n ，m ＜12n －1恒成立．∵12n －1＞－1，∴m ≤－1. 即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
北京市2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：数列
北京市2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练数列一、选择、填空题1、（2018北京高考）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为。
2、（2017北京高考）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则22a b =_________3、（2016北京高考）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______..4、（朝阳区2018届高三3月综合练习（一模））等比数列{}n a 满足如下条件：①10a >；②数列{}n a 的前n 项和1n S <．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式．5、（东城区2018届高三5月综合练习（二模））设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为S n ，则24a S =_______．6、（丰台区2018届高三5月综合练习（二模））已知等比数列{}n a 中，11a =，2327a a =，则数列{}n a 的前5项和5=S ．7、（海淀区2018届高三上学期期末考试）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项的和为．8、（石景山区2018届高三3月统一测试（一模））如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．9、（西城区2018届高三4月统一测试（一模））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．10、（海淀区2018届高三上学期期中考试）已知数列{}n a 满足1222(1,2,3,...)n a a a a n ++⋅⋅⋅+==，则（）（A ）10a <（B ）10a >（C ）12a a ≠（D ）20a =11、（2018顺义区二模）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若35,1101=-=S a ，则20a =_______.12、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．若12a =，32a S =，则2a =，10S =13、（朝阳区2017届高三上学期期中）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23=a ，245S S =，则1a =，4S =14、（丰台区2017届高三上学期期末）在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ）9或-7215、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则23a a +=_____.二、解答题1、（2017北京高考）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…)，其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若a n =n ，b n =2n –1，求c 1,c 2,c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得c m ,c m +1,c m +2,…是等差数列。
高三数学单元测试《数列》
高三数学单元测试《数列》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列}{n a 中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=50，则公比q 的值为 （ ）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{a n }中，a 6=a 3＋a 8=5，则a 9的值是（ ）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程bx 2－2ax+c=0 （ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ）A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且65867424,20042a a a a a a a 则=++等于 （ ）A ．501B ．±501C ．2004D ．±20046．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m等于 （ ）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A ．7)1(p a + B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p p a+-+ D ．()()[]p p pa+-+118 9．已知()1+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()=n g ⎩⎨⎧≥-=)1()],1([)0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1，则数列{}n a 为 （ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%二、填空题（本题每小题5分，共20分）11．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.12．设数列{a n }满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，求数列{a n }的通项公式__________________. 13．设()244+=x xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛112111f f …⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110f 的值为______ ___.14．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块.（理）已知nn a ⎪⎭⎫⎝⎛∙=312，把数列{}n a 的各项排成三角形状；1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a ……记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10，8）= .三、解答题（本大题共6小题，共80分。
2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第五章数列
1. ( 必修 5P34 习题 3 改编 ) 已知数列 {a n} 满足 an＝ 4an－1＋ 3，且 a1＝0，则 a 5＝ ________． 答案： 255 解析： a2＝ 4a1＋ 3＝3， a3＝4a2＋ 3＝4×3＋ 3＝ 15， a4＝ 4a3＋ 3＝4×15＋ 3＝ 63， a5＝ 4a4
9
32
(4)
观察不难发现
1
＝ 2
1＋
2
，
2 5
＝
2
＋
＝ 5
2
＋
2
2＋
1
，
3 10
＝
3＋
10
＝
3＋
3
2＋
1
，…，一般
n2
n2
地，
an＝ n＋n2＋ 1.
则
a
n＝
n＋
n2＋
. 1
变式训练
1
1
1
1
(1) 数列－ 1×２， 2×３，－ 3×４， 4×５，…的一个通项公式 an＝__________；
4 9 16 25 (2) 该数列 5，10， 17， 26，…的一个通项公式为 ________．
2 2， 3 2，42 ， 52，…，分母比分子大
1，因此该数列的一个通项公式为
,
2 由 an 与 Sn 关
系求 an)
,
2)
(1) S n＝3n－ 1；
(2) S n＝2n＋ 1.
已知数列 {a n} 的前 n 项和 Sn，求通项 an.
解： (1) 当 n＝1 时， a1＝S1＝ 2. 当 n≥２时， an＝ Sn －Sn－1＝2·３n－ 1.
第五章 数 列
第 1 课时 数列的概念及其简单表示法
高三数学数列专项练习题及答案
高三数学数列专项练习题及答案一、选择题1.已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，则数列的首项是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2.有一个等差数列的第1项是3，公差是4，求该数列的第10项：A. 23B. 27C. 30D. 33答案：C3.已知数列{an}的前n项和Sn = n^2 + 2n，求该数列的通项公式。
A. an = n^2B. an = n^2 + 2n + 1C. an = n^2 + nD. an = n^2 + 2n答案：D4.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 2n^2 + 3n，求该数列的第10项。
A. 183B. 193C. 203D. 213答案：C5.已知等差数列{an}的前5项之和为10，其中首项为a1，公差为d，求a5的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：D二、填空题1.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 2n^2 + 5n，求a1的值。
答案：22.已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，其中n为自然数，求该数列的前5项之和。
答案：623.已知等差数列{an}的前n项和Sn = n^2 + 3n，求a1的值。
答案：14.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 4n - n^2，求该数列的第7项。
答案：115.已知等差数列{an}的首项为3，公差为-2，求该数列的第8项。
答案：-5三、解答题1.已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前10项。
解答：将n分别代入1到10，得到该数列的前10项为：5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32。
2.已知等差数列{an}的首项是5，公差是3，求该数列的前10项之和。
解答：根据等差数列的图像性质可知，首项和末项之和等于前n项和的两倍。
所以，末项为a10 = 5 + 3 × (10 - 1) = 32。
故前10项之和为(5 + 32) × 10 ÷ 2 = 185。
【4套】2019年高考数学复习第一轮 数列【含4套汇总】
4.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列{an}的通项公式为
()
A.an=2n-3 B.an=2n+3
C.an=
1, n 1 2n 3,
n
2
D.an=
1, n 2n
1 3,
n
2
答案 C 当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,
=f(n)(n
≥2)时,用累乘法求解.
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变式3-1 若将本例中的条件“an+1=an+n+1”改为“an+1= nn1 an”,如何
求解?
解析
∵an+1=
n
n
1
an,
∴ an1 = n , an n 1
∴an= an ·an1 an1 an2
·an2
9
9
9
个通项公式为an= 89 1
1 10n
.
(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4,…项的分子分别比分
母少3,因此把第1项变为- 2 3 ,则原数列可化为- 21 3 , 22 3 ,- 23 3,
2
21
22
23
24 3 ,……,∴原数列的一个通项公式为an=(-1)n· 2n 3 .
栏目索引
方法指导 (1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住 以下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法, 它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠 的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
安徽省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：数列(附答案)
安徽省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练数列一、选择、填空题1、（2018全国I 卷高考题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ） A ．12-B ．10-C ．10D ．122、（2017全国I 卷高考题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．83、（滁州市2018届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63a =，812S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1-B ．1 C.2 D ．34、（滁州市2018届高三上学期期末）若在各项都为正数的等比数列{}n a 中，12a =，393a a =，则2018a = ．5、（合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测）若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是A.2B.162-C.2D.1626、（合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，若数列{}n S n +也是公差为d 的等差数列，则=n a .7、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）已知等差数{}n a ，若2510,1a a ==，则{}n a 的前7项的和是（ ）A ．112B ．51C ．28D ．188、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ）A ．201821- B ．201836- C ．20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭9、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第二次联考）已知是等差数列的前n 项和，且对，下列说法不正确的是（ ）A 、B 、C 、成等差数列；D 、数列是等差数列；10、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第一次联考）已知等比数列{}n a 满足12a =，23564a a a =，则3a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．14D ．1211、（马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测）等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为（ ）A ．13B ．13- C. 19D ．19-12、（马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测）已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，且对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为（ ）A ．2448B ．2525 C. 2533 D ．2652 13、（皖南八校高三2018届高三第三次联考）删去正整数数列1,2,3, 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ） A ．2062 B ．2063 C ．2064 D ．2065参考答案：一、选择、填空题1、B2、C3、B4、201825、D6、1n a =-或1524n a n =- 7、C 8、A 9、B 10、A11、B 12、B 13、B二、解答题1、已知数列{}n a 满足12211,4,44n n n a a a a a ++===-. （1）求证：1{2}n n a a +-是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式.2、若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22n n n S a a =+()n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0()n a n N *>∈，令1(+2)n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．3、（A10联盟（合肥八中、屯溪一中等）2018届高三最后一卷 ）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若639S S =，2536a a +=，数列{}n b 满足2log n n n b a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T .4、（安庆市2018届高三模拟考试（二模））已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n .5、（蚌埠市2018届高三第二次教学质量检查）设数列{}n a 的前n 项乘积为n T ，对任意正整数n 都有1n n T a =-(I ）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(II ）求证：21T 22+T +223n T +6、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第一次联考）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足212()(*)2n n S a n =+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1221n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 前n 项和n T 的值．7、（黄山市2018届高三一模检测）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且211==b a , 833==b a . （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;（2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .8、（江淮十校2018届高三第三次（4月）联考 ）已知数列{}n a 的前n 项的和23122n T n n =+，且*213log 0()n n a b n N ++=∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项的和n S .9、（江南十校2018届高三3月综合素质检测）等差数列{}n a 的首项*1a N ∈，公差11,35d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，前n 项和n S 满足512S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若94n n b a =-，数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证12n T <.10、（江南十校2018届高三冲刺联考（二模））数列{}n a 满足12322322n nn a a a na ++++⋅⋅⋅+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)(1)nn n n a b a a +=+⋅+，求{}n b 的前n 项和n T .11、（马鞍山市2018届高三第三次教学质量监测）已知数列{}n a 是递减等比数列，24a =，且2a ,32a ,43a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2116log ()n n nb a a =，求数列{}n b 的前n 项和为n S ．12、（皖南八校高三2018届高三第三次联考）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n a S 成等差数列。
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2019高三数学一轮复习单元练习题：数列（Ⅱ）一、选择题1．在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ） A ．11项 B ．12项 C ．13项 D ．14项2．在等比数列{a n }中，首项a 1<0，则{a n }是递增数列的充要条件是公比q 满足（ ） A ．q >1 B ．q <1 C ．0<q <1 D ．q <03．b 2=ac 是实数a ,b ,c 成等比数列的什么条件A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知等差数列{a n }的前n 项和分别为S n ，若a 4=18-a 5，则S 8等于 （ ） A ．18 B ．36 C ．54 D ．725．在等比数列{a n }中，若a 3，a 9是方程3x 2-11x +9=0的两根，则a 6的值是 （ ） A ．3 B ．±3 C ．3±D ．以上答案都不对．6．直角三角形的三条边长成等差数列，则其最小内角的正弦值为 （ ） A ．53 B ．54C ．215-D ．415+7．等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ） A ．a 11 B ．a 10 C ．a 9 D ．a 88．设某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为 （ ）A ．pB ．12pC ．(1+p )12D ．(1+p )12-19．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且132+=n nT S n n ，则55b a （ ） A ．32 B ．97 C ．3120 D ．14910．若正项等差数列{a n }和正项等比数列{b n }，且a 1=b 1,a 2=b 2,公差d ＞0,则a n 与b n（n ≥3）的大小关系是 （ ） A ．a n ＞b n B ．a n ≥b n C ．a n ＜b n D ．a n ≤b n11．{a n }为公比不为1的正项等比数列，则 （ ） A ．a 1+a 8>a 4+a 5 B ．a 1+a 8<a 4+a 5 C ．a 1+a 8=a 4+a 5 D ．a 1+a 8与a 4+a 5大小不定 12．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26则2004在 （ ） A ．第251行，第1列 B ．第251行，第3列 C ．第250行，第2列 D ．第250行，第5列 ．二、填空题13．等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=15，a 3+a 6+a 9=3，则S 9= ． 14．数列,43211,3211,211++++++的前n 项之和为 ． 15．在1,2之间依次插入个正数a 1，a 2，a 3，…，a n ，使这n +2个数成等比数列， 则a 1a 2a 3…a n = ．16．设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项的和,若{S n }是等差数列,则公比q = ．三、解答题17．设{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,且a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2b 4=a 3分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10．18.已知等差数列{a n }的前项和为S n ，且S 13＞S 6＞S 14,a 2=24． (1)求公差d 的取值范围；（2）问数列{S n }是否成存在最大项，若存在求,出最大时的n ，若不存在,请说明理由．19．设首项为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项的为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比．20．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对所有正整数n ，t 与a n 的等差中项和t 与S n 的等比中项相等，求证数列{n S }为等差数列，并求{a n }通项公式及前n 项和．21．某地今年年初有居民住房面积为a m 2,其中需要拆除的旧房面积占了一半．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m 2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x 是多少？ （2）依照(1)拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？ 下列数据供计算时参考：22．已知函数f(x )=a 1x +a 2x 2+…+a n x n (n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求证：1)31(<f ．参考答案： 一、选择题1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．A 7．A 8．D 9．D 10．C 11．A 12．B二、填空题13．27 14．2+n n15．22n16．1三、解答题17．解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则：⎩⎨⎧=+=+4221)21(2qd q d 解得：22,83±=-=q d ∴32)22(3111,855451010110110±=--=-=+=q q b T d a S18．解：(1)由题意：⎩⎨⎧<+=+++=->=+++=-0)(40711101487614101387613a a a a a S S a a a a S S ∴)1748,3(01720822--∈⇒⎩⎨⎧<+>+d d a d a （2）由（1）知，a 10＞0,a 10+a 11＜0,∴a 10＞0＞a 11，又公差小于零，数列{a n }递减，所以{a n }的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。
∴n =10时，S n 最大。
19．解：设该等比数列为{a n }，且公比为q若q =1，则S n =na 1,S 2n =2na 1,与题意不符，故q ≠1。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=65601180112121q q a S q q a S nn nn 两式相除，得1+q n =82，q n=81，∴111=-q a q =a 1+1＞1，数列{a n }为递增数列，前n 项中最大的项为a n =a 1q n -1=54811=⋅qa解得：a 1=2,q =3 20．证明：由题意：n ntS a t =+2即n n a t tS +=2 当n =1时，t S t S S t a t tS ==-∴+=+=121111,0)(,2当n ≥2时，0)()(22121=--∴-+=+=--n n n n n n S t S S S t a t tS0))((11=---+--t S S t S S n n n n 。
因为{a n }为正项数列，故S n 递增，0)(1=-+-t S S n n 不能对正整数n 恒成立， ∴t S S n n =--1即数列{n S }为等差数列。
公差为t21,)1(tn S t n t n S S n n =∴=-+=，t n a nt tS t a n n n )12(,22-=∴==+所以数列{n S }为等差数列，{a n }通项公式为a n =(2n -1)t 及前n 项和S n =tn 2。
21．解：（1）设今年人口为b 人，则10年后人口为b (1+4.9‰)10＝1.05b ,由题设可知，1年后的住房面积为(110%) 1.1a x a x ⨯+-=-．2年后的住房面积为22(1.1)(110%) 1.1 1.1 1.1(1 1.1)a x x a x x a x -⨯+-=--=-+． 3年后的住房面积为23232(1.1 1.1)(110%) 1.1 1.1 1.1 1.1(1 1.1 1.1)a x x x a x x x a x --⨯+-=---=-++ ……10年后的住房面积为1029101.1(1 1.1 1.1 1.1)1(1 1.1)2.61 1.12.616.a x a x a x ⨯-++++⨯-=-⨯-=-由题设得2.61621.05a x a b b-=⨯ ，解得132x a =． （2）全部拆除旧住房还需116232aa ÷=． 答：（1）每年拆除的旧住房面积为2116a m ．（2）按此速度全部拆除旧住房还需16年．另外：设今年为第一年，第n 年年底的住房面积为a n ，由题意知a 1=1.1a -x ,当n ≥2时a n =1.1a n -1-x ，a n -10x =1.1(a n -1-10x ) ,∴{a n -10x }为等比数列。
a 10-10x =(a 1-10x )1.19，同样可以求解此题。
22．（1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n ∈N *)n =1时，a 1=1n ≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n -1)=n 2-(n -1)2=2n -1∴对n ∈N *总有a n =2n -1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.(2)n n f 31)12(313311)31(2-+++⋅==)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n 1311)31(,3223231)12(311311923131)12()313131(2311)31(32111132<+-=∴+-=----⋅+=--+++⋅=∴++-+n n n n n n n f n n n f。