四川省成都市树德中学2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理科
(完整版)2017年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，均为单项选择题，每题5 分，共 60 分）1．抛物线 y2=4x 上一点 M 到准线的距离为3，则点 M 的横坐标 x 为（）A．1B．2C．3D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣ 2 D．﹣ 63．在正项等比数列 { a n} 中， a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，则 a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C． x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3C．2D．16．为了获得函数y=3cos2x 的图象，只要将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．履行以下图的程序框图，若输入n=10，则输出的 S=（）A．B．C．D．8．投掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面次数剩余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知 l 是双曲线的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1，F2是 C 的两个焦点，若 PF1⊥PF2，则△ PF1F2的面积为（）A．12B．C．D．10．已知直线 y=﹣2x 1与椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）订交于 A，B 两点，且线段+AB 的中点在直线 x﹣4y=0 上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．．已知直线l 过点（﹣，），与圆C：（x﹣1）2+y2订交于，两点，则11 1 0l=3 A B弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF1| =212）| BF | ，AF ⊥ x 轴，则椭圆 E 的方程为（A．B．C．D．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，若焦距为4，则 m 等于．14．函数 f（x），x∈ R，知足以下性质： f（x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则 f（2）=．15．函数给出以下说法，此中正确命题的序号为．（ 1）命题“若α=，则cosα= ”的逆否命题；（2）命题 p： ? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（ 4）命题 p：“，使”，命题q：“在△ ABC中，若使sinA＞sinB，则 A＞B”，那么命题（?p）∧ q为真命题．16．抛物线 C：y2=4x 的交点为 F，准线为 l，p 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， PM⊥l 交 C 于点 M ，线段 MF 为抛物线 C 交于点 N，若 PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．已知数列 { a n } 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为 S n，a1=1，且 3a2，S3， a5成等比数列．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（2）设，求数列{b n n} 的前 n 项和 T ．18．如图是某市相关部门依据对某地干部的月收入状况检查后画出的样本频次分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请依据该图供给的信息解答以下问题：（图中每组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[ 1000，1500）（1）求样本中月收入在 [ 2500， 3500）的人数；（2）为了剖析干部的收入与年纪、职业等方面的关系，一定从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步剖析，则月收入在 [ 1500， 2000）的这段应抽多少人？（3）试预计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱 ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1 =AC=CB= AB．（Ⅰ）证明： BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值．20．已知向量，，此中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数 f（ x）的表达式及单一减区间；（2）在△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为其面积，若 f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点 M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点， | F1F2| =2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若点 P 在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）能否存在过定点 N（ 0，2）的直线 l 交椭圆 C 交于不一样的两点 A，B，使∠ AOB=90°（此中 O 为坐标原点）？若存在，求出直线 l 的斜率 k；若不存在，请说明原因．22．已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0）， P 是圆 E 上随意一点，线段PF的垂直均分线和半径PE订交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹Γ的方程；（2）若直线 y=k（x﹣ 1）与（ 1）中的轨迹Γ交于 R，S 两点，问能否在 x 轴上存在一点 T，使适当 k 改动时，总有∠ OTS=∠OTR？说明原因．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，均为单项选择题，每题5 分，共 60 分）1．抛物线 y2=4x 上一点 M 到准线的距离为3，则点 M 的横坐标 x 为（）A．1B．2C．3D．4【考点】抛物线的简单性质．【剖析】第一求出 p，准线方程，而后依据，直接求出结果．【解答】解：设 M （x，y）则 2P=4， P=2，准线方程为 x= =﹣1，解得 x=2．选 B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1B．﹣1 C．﹣ 2 D．﹣ 6【考点】平行向量与共线向量．【剖析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣ 3，3+2m），∵与平行，∴ 3+2m+9=0，解得m=﹣6．应选： D．3．在正项等比数列 { a n} 中， a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，则 a8?a10?a12等于（）A．16 B．32 C．64D．256【考点】等比数列的性质．【剖析】由 a1和19为方程x 2﹣ 10x+16=0 的两根，依据韦达定理即可求出 a1和a12，由数列为正项数列a19的积，而依据等比数列的性质获得 a 和 a19的积等于 a10获得 a10的值，而后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为对于10 的式子，a把 a10的值代入即可求出值．【解答】解：由于 a1和 a19为方程 x2﹣10x+16=0 的两根，因此 a1?a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得： a10=4，则 a8?a10?a12=（a8?a12）?a10=a103=43=64．应选 C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C． x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【剖析】先依据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令两者相等即可求得m 和n的关系，从而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴ 3m2﹣5n2=2m2 +3n2，整理得 m2=8n2，∴ =2双曲线的渐近线方程为y=±=±x应选 D5．已知一个四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4B．3C．2D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【剖析】画出知足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形 ABCD，从而可得可得△ PAB 和△ PAD 都是直角三角形，再由由线面垂直的判断定理可得CB⊥平面 PAB，CD⊥平面 PAD，又获得了两个直角三角形△ PCB 和△ PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：知足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出知足条件的直观图如图四棱锥 P﹣ABCD所示，不如令 PA⊥矩形 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD， PA⊥CB，PA⊥ CD，故△ PAB 和△ PAD都是直角三角形．又矩形中 CB⊥AB， CD⊥ AD．这样 CB垂直于平面 PAB内的两条订交直线 PA、 AB，CD垂直于平面 PAD内的两条订交直线PA、AD，由线面垂直的判断定理可得CB⊥平面 PAB，CD⊥平面 PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4 个．应选 A．6．为了获得函数 y=3cos2x的图象，只要将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωxφ）的图象变换．+【剖析】利用 y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（ x）的图象上每一个点横坐标+向右平移个单位长度，可得函数 y=3cos2x的图象，应选： B．7．履行以下图的程序框图，若输入n=10，则输出的 S=（）A．B．C．D．【考点】循环构造．【剖析】框图第一给累加变量S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2，在输入 n 的值为10 后，对 i 的值域 n 的值大小加以判断，知足i≤ n，履行，i=i+2，不知足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入 n 的值为 10，框图第一给累加变量S 和循环变量 i 分别赋值 0和 2，判断 2≤10 成立，履行，i=2+2=4；判断 4≤10 成立，履行= ，i=4 2=6；+判断 6≤10 成立，履行，i=6 2=8；+判断 8≤10 成立，履行，i=8+2=10；判断 10≤10 成立，履行，i=10+2=12；判断 12≤10 不可立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．应选 A．8．投掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面次数剩余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【剖析】投掷一枚均匀的硬币 4 次，相当于进行 4 次独立重复试验，利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰巧发生 k 次的概率计算公式能求出出现正面次数剩余反面次数的概率．【解答】解：投掷一枚均匀的硬币 4 次，相当于进行 4 次独立重复试验，∴出现正面次数剩余反面次数的概率：p==．应选： D．9．已知 l 是双曲线的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1，F2是 C的两个焦点，若PF12 1 2⊥PF，则△ PF F 的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】设 P 的坐标，利用PF1⊥ PF2，成立方程，求出P 的坐标，则△ PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设 P（y， y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣ y）?（y，﹣ y） =0，∴2y2﹣ 6 y2y =，+ =0，∴| |∴△ PF的面积为=2．1F2应选 D．10．已知直线 y=﹣2x+1 与椭圆+=1（ a＞ b＞ 0）订交于 A，B 两点，且线段AB 的中点在直线 x﹣4y=0 上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的地点关系．【剖析】将直线 y=﹣2x+1 与直线 x﹣4y=0 联立，求得中点坐标，由A，B 在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得 a2=2b2，椭圆的离心率 e= ==．【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段 AB 的中点（，），则 x1+x2= ， y1 +y2= ，由 A，B 在椭圆上，+=1，+ =1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即 a2=2b2，椭圆的离心率 e= ==，应选 D．．已知直线l 过点（﹣ 1，0），l 与圆C：（x﹣1）2+y2订交于，B两点，则11=3A弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【剖析】先找出使弦长 | AB| =2时的状况，再求直线与圆相切时的情况，依据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心 C 是（ 1， 0）半径是，可知（﹣ 1， 0）在圆外要使得弦长| AB|≥ 2，设过圆心垂直于AB 的直线垂足为 D，由半径是，可得出圆心到 AB 的距离是 1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与 x 轴成 60°，斜率为，因此使得弦长的概率为：P==，应选： C．12．设 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，若| AF11， 2⊥x 轴，则椭圆E的方程为（）| =2| BF|AF A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】利用椭圆的性质求出 A，B 的坐标，代入椭圆方程，联合 1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x 轴，∴ | AF2| =b2，∴A 点坐标为（c，b2），设 B（x， y），则∵| AF1| =2| F1B| ，∴（﹣ c﹣c，﹣ b2） =2（x+c，y）∴ B（﹣ 2c，﹣b2），代入椭圆方程可得： 4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴ b2= ，∴x2+=1．应选： C．二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13．已知椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，若焦距为4，则 m 等于4．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】依据椭圆+=1 的长轴在x 轴上，焦距为4，可得 10﹣m﹣m+2=4，即可求出 m 的值．【解答】解：∵椭圆+=1 的长轴在 x 轴上，焦距为 4，∴10﹣m﹣ m+2=4，解得 m=4故答案为： 4．14．函数 f（x），x∈ R，知足以下性质： f（x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则 f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【剖析】推导出 f（ x+3） =﹣ f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数 f（x），x∈R，知足以下性质： f （x）+f（﹣ x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3） =﹣f （x+ ） =f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣ 1） =﹣ f（1）=﹣3．故答案为：﹣ 3．15．函数给出以下说法，此中正确命题的序号为①②④．（ 1）命题“若α=，则cosα= ”的逆否命题；（2）命题 p： ? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（ 4）命题 p：“，使”，命题q：“在△ ABC中，若使sinA＞sinB，则 A＞B”，那么命题（?p）∧ q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题 p：? x0∈R，使 sinx0＞1，则￢ p：? x∈R，sinx≤1，；（3），“φ= +2kπ（k∈Z）”是“函数若 y=sin（ 2x+φ）为偶函数”的充足不用要条件；（ 4），判断命题 p、命题 q 的真假即可【解答】解：对于（ 1），∵ cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（ 2），命题 p：? x0∈R，使 sinx0＞ 1，则￢ p：? x∈ R，sinx≤1，为真命题；对于（ 3），“φ= +2kπ（ k∈Z）”是“函数若 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充足不用要条件，故为假命题；对于（ 4），x∈（ 0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ ABC中，若 sinA＞sinB? 2RsinA＞ 2RsinB? a＞ b? A＞ B，故命题 q 为真命题那么命题（?p）∧ q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线 C：y2=4x 的交点为 F，准线为 l，p 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， PM⊥l 交 C 于点 M ，线段 MF 为抛物线 C 交于点 N，若 PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【剖析】过 N 作 l 的垂线，垂足为Q，则 | NF| =| NQ| ，| PF| =| PM| ，求出 P 的坐标，可得 cos∠MNQ=，即可获得．【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），过 N 作 l 的垂线，垂足为 Q，则 | NF| =| NQ| ，∵ PF的斜率为，∴可得 P（4，4）．∴ M（﹣ 1，4），∴ cos∠MFO=∴cos∠ MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17．已知数列 { a n } 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为 S n，a1=1，且 3a2，S3， a5成等比数列．（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设，求数列{ b n}的前n项和T n．【考点】数列的乞降；数列递推式．【剖析】（1）设出等差数列的公差，由 3a2，S3， a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（ 2）求出等差数列的前n 项和，代入，利用裂项相消法求数列{ b n}的前 n 项和 T n．【解答】解：（1）设数列 { a n} 的公差为 d（d＞0），则 a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵ 3a2， S3，a5成等比数列，∴，即（ 3+3d）2=（3+3d）?（1+4d），解得 d=2．∴a n=1+2（ n﹣ 1） =2n﹣1；（ 2）由（ 1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市相关部门依据对某地干部的月收入状况检查后画出的样本频次分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请依据该图供给的信息解答以下问题：（图中每组包含左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在[ 1000，1500）（1）求样本中月收入在 [ 2500， 3500）的人数；（2）为了剖析干部的收入与年纪、职业等方面的关系，一定从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100 人作进一步剖析，则月收入在[ 1500， 2000）的这段应抽多少人？（ 3）试预计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、均匀数；频次散布直方图．【剖析】（1）依据频次散布直方图，求出各段的频次，而后再求 [ 2500， 3500）的人数；（2）依据抽样方法，选用抽样的人数，（3）依据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在 [ 1000，1500] 的频次为 0.0008× 500=0.4，且有4000 人，∴样本的容量 n=，月收入在 [ 1500，2000）的频次为 0.0004× 500=0.2，月收入在 [ 2000，2500）的频次为 0.0003× 500=0.15，月收入在 [ 3500，4000）的频次为 0.0001× 500=0.05，∴月收入在 [ 2500，3500）的频次为； 1﹣（ 0.4+0.2+0.15+0.05） =0.2，∴样本中月收入在 [ 2500，3500）的人数为： 0.2×10000=2000．（2）∵月收入在 [ 1500， 2000）的人数为： 0.2×10000=2000，∴再从 10000 人用分层抽样方法抽出100 人，则月收入在 [ 1500， 2000）的这段应抽取（人）．（3）由（ 1）知月收入在 [ 1000，2000）的频次为： 0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱 ABC﹣A1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明： BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）求二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判断．【剖析】（Ⅰ ）经过证明 BC1平行平面 A1CD 内的直线 DF，利用直线与平面平行的判断定理证明 BC1∥平面 A1CD（Ⅱ）证明 DE⊥平面 A1DC，作出二面角 D﹣ A1C﹣E 的平面角，而后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点，又 D 是 AB 中点，连接 DF，则 BC1∥DF，由于 DF? 平面 A1CD，BC1?平面 A1 CD，因此 BC1∥平面 A1CD．（Ⅱ）由于直棱柱 ABC﹣ A1 B1C1，因此 AA1⊥ CD，由已知 AC=CB，D 为 AB 的中点，因此 CD⊥AB，又 AA1∩AB=A，于是， CD⊥平面 ABB1 A1，设 AB=2 ，则 AA1=AC=CB=2，得∠ ACB=90°，CD= ，A1D=，DE=，A1E=3故 A1D2+DE2=A1E2，即 DE⊥ A1D，因此 DE⊥平面 A1DC，又 A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠ DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△ A1DC中， DF==，EF==，因此二面角 D﹣A1C﹣E 的正弦值． sin∠DFE=．20．已知向量，，此中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数 f（ x）的表达式及单一减区间；（2）在△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，S 为其面积，若 f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数目积的运算．【剖析】（1）利用两个向量的数目积公式，三角恒等变换化简函数的分析式，再利用正弦函数的周期性和单一性，得出结论．（ 2）由 f（）=1，求得 A=，依据 S△ABC =，求得 c=4，再利用余弦定理求得 a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωxsin ωxcosωx﹣+= cos2 ωx+ sin2 ω x=sin（ 2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令 2kπ2x≤2kπ，求得kπ≤x≤ kπ，+≤ ++++故函数的减区间为 [ kπ+，kπ+] ， k∈ Z．（ 2）在△ ABC中，∵ f（） =sin（A+） =1，∴A= ，又 b=1，S△ABC= bc?sinA= ?1?c? = ，∴ c=4，∴ a===．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点 M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点， | F1F2| =2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）若点 P 在第一象限，且?≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）能否存在过定点N（ 0，2）的直线 l 交椭圆 C 交于不一样的两点A，B，使∠AOB=90°（此中 O 为坐标原点）？若存在，求出直线l 的斜率 k；若不存在，请说明原因．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【剖析】（Ⅰ ）由椭圆经过点 M （1，），| F1F2| =2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆 C 的标准方程．（Ⅱ）设 P（x， y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P 的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线 l 的方程为 y=kx 2，联立，得（ 1 4k2）x2 16kx 12=0，++++由此利用根的鉴别式、韦达定理、向量的数目积，联合已知条件能求出直线的斜率．【解答】 解：（Ⅰ）∵椭圆 C ：+ =1（a ＞b ＞0）经过点 M （1， ）， F 1，F 2 是椭圆 C 的两个焦点， | F 1F 2| =2 ，∴，解得 a=2， b=1，∴椭圆 C 的标准方程为．（ Ⅱ）∵ c= ，F 1（﹣，），2（），设 （，），0 FP x y则=（﹣ ） ?（）=x 2 +y 2﹣ 3，∵，∴=x 2+y 2 ﹣3== （ 3x 2﹣8），解得﹣，∵点 P 在第一象限，∴ x ＞0，∴ 0＜ x ＜，∴点 P 的横坐标的取值范围是（ 0， ] ．（ Ⅲ）当直线 l 的斜率不存在时，直线l 即为 y 轴，A 、B 、O 三点共线，不切合题意，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=kx 2 ，+联立，得（ 1+4k 2） x 2+16kx+12=0，由△ =（16k ）2﹣48（ 1+4k 2）＞ 0，解得，，，∵∠ AOB=90°，∴=0，∵=x 1x 2 y 1y 2 =x 1x 2 （kx 1 2）（kx 2 2） ==0，+ ++ +解得 k 2=4，知足 k 2＞ ，解得 k=2 或 k=﹣ 2，∴直线 l 的斜率 k 的值为﹣ 2 或 2．22．已知圆 E：（x+1）2+y2=16，点 F（1，0）， P 是圆 E 上随意一点，线段PF的垂直均分线和半径PE订交于 Q（1）求动点 Q 的轨迹Γ的方程；（2）若直线 y=k（x﹣ 1）与（ 1）中的轨迹Γ交于 R，S 两点，问能否在 x 轴上存在一点 T，使适当 k 改动时，总有∠ OTS=∠OTR？说明原因．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】（1）连接 QF，运用垂直均分线定理可得，|QP|=|QF| ，可得| QE|+| QF| =| QE|+| QP| =4＞| EF| =2，由椭圆的定义即可获得所求轨迹方程；（2）假定存在T（t ，0）知足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和鉴别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可获得存在 T（4，0）．【解答】解：（1）连接 QF，依据题意， | QP| =| QF| ，则 | QE|+| QF| =| QE|+| QP| =4＞ | EF| =2，故动点 Q 的轨迹Γ是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．设其方程为，可知 a=2， c=1，∴，因此点 Q 的轨迹Γ的方程为；（ 2）假定存在 T（t ，0）知足∠ OTS=∠OTR．设 R（x1，y1），S（x2， y2）联立，得（ 3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，此中△＞ 0 恒成立，由∠ OTS=∠OTR（明显 TS，TR 的斜率存在），故 k TS k TR=0即②，+由 R，S 两点在直线 y=k（x﹣ 1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有 2x1x2﹣（ t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与 k 的取值没关，当且仅当“t=4时“成立，综上所述存在 T（4，0），使适当 k 变化时，总有∠ OTS=∠OTR．2017年 2月 24日。
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二11月月考理数试题 含答案
数学试题（理）一、选择题（每题5分，共60分） 1。
若直线()1:34350l m x y m +++-=与直线()2:2580lx m y ++-=平行，则m 的值（ ）．A ．-7B ．—1或—7C ．—6D ．133-2.抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上点()5,m -到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）． A ．22yx =- B ．24yx =- C ．22yx = D ．24yx =-或24y x =3。
已知命题p :方程22121x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：方程2211x y m m-=-表示双曲线，则p 是q 的( ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4。
圆心在曲线()30y x x =>上,且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为( ）． A ．((22339x y +=B ．()()22216315x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．()()22218135x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭D ．()223292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭5.已知直线():10l x ay a R +-=∈是圆22:4210C xy x y +--+=的对称轴．过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）．A ．2B ．42C ．6D ．2106. 下列命题中真命题的个数是（ ）．（1）对于命题:p x R ∃∈，使得210xx +-<,则:p x R ⌝∀∈，均有210x x +->；（2)“1m =-”是“直线()1:2110l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直” 的充分不必要条件;(3）命题:,:sin sin p x y q x y ≠≠，则p 是q 的必要不充分条件；（4）设函数()f x 的定义域是R ，则“()(),1x R f x f x ∀∈+>，”是“函数()f x 为增函数”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7。
【数学】2016-2017年四川省成都七中高二上学期数学期末试卷(理科)及答案
本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2016-2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样D．系统抽样3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0C．2x±y=0D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，] 7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200B．180C．150D．2808．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？B．z≤20？C．z≤50？D．z≤52？10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．2016-2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A．2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大，按年级分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选：B．4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0C．2x±y=0D．【分析】利用双曲线的离心率，转化求出a，b关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即，可得，双曲线的渐近线方程为：y=±，即．故选：D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选：C．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，]【分析】根据不等式组画出可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）为区域内一点，根据斜率计算公式可得μ=表示直线OP的斜率，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到μ=的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，可得μ=表示直线OP的斜率，其中P（x，y）在区域内运动，O是坐标原点．运动点P，可得当P与A点重合时，μ=2达到最大值；当P与C点重合时，μ=达到最小值．综上所述，μ=的取值范围是[，2]故选：A．7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200B．180C．150D．280【分析】根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，分析可得有2种分组方法：分成2﹣2﹣1的三组或分成3﹣1﹣1的三组，分别求出每种情况的分组方法数目，由分类计数原理可得分组方法数目，②、将分好的3组对应三个班级，由排列数公式可得其方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，若分成2﹣2﹣1的三组，有=15种情况，若分成3﹣1﹣1的三组，有=10种情况，一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的3组对应三个班级，有=6种方法，则一共有25×6=150种不同分派方法，故选：C．8．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是【分析】利用等可能事件概率计算公式分别求解，能求出结果．【解答】解：∵柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，∴基本事件总数n==15，在A中，取出的鞋是成对的取法有3种，∴取出的鞋不成对的概率是：1﹣=，故A 正确；在B中，取出的鞋都是左脚的取法有=3种，∴取出的鞋都是左脚的概率为：，故B正确；在C中，取出的鞋都是同一只脚的取法有：=6，∴取出的鞋都是同一只脚的概率是p==；在D中，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，由题意，可以先选出左脚的一只有=3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有=2种选法，所以一共6种取法，∴取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是，故D 错误．故选：D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？B．z≤20？C．z≤50？D．z≤52？【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行z=2x+y后，z=1，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=1，第二次执行z=2x+y后，z=3，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=3，第三次执行z=2x+y后，z=5，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=3，y=5，第四次执行z=2x+y后，z=11，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=5，y=11，第五次执行z=2x+y后，z=21，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=11，y=21，第六次执行z=2x+y后，z=43，满足输出条件，故进行循环的条件可以为z≤42？，故选：A．10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．【分析】由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，即可得出结论．【解答】解：由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，故选：B．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小【分析】连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故选：B．12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足=，则﹣S（）A．2B．4C．1D．﹣1【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M是△F1PF2的内心，利用三角形面积计算公式计算即可．【解答】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是∃x0∈R，|x0|≥0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x0∈R，|x0|≥0．故答案为：∃x0∈R，|x0|≥0．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．【分析】利用双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，列出方程求解即可．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，可得：=3，解得m=．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8．【分析】x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2，根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积．【解答】解：x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8，故答案为6π+8．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是4+4．【分析】由圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，求得PC所在直线方程，与直线l求得交点P，再根据对称性可得r=2，由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，画出图形，通过图形观察，当两圆相内切时，求得最小值．【解答】解：根据圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，则PC所在直线的方程为x+y=1，与直线y=x+3联立求得P（﹣1，2），再根据对称性知过点P（﹣1，2）的两条切线必与坐标轴垂直，r=2；由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，如图所示，因此可设以点P（﹣1，2）为圆心，以R为半径的圆，即（x+1）2+（y﹣2）2=R2与圆C内切时，的最小值即为2R，由相切条件易知2R=2（|CP|+2）=2（2+2）=4+4．故答案为：4+4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？【分析】（1）根据频率=小矩形的高×组距来求；（2）根据中位数的左右两边的矩形的面积和相等，所以只需求出从左开始面积和等于0.5的底边横坐标的值即可，运用取中间数乘频率，再求之和，计算可得平均数，求出众数即可；（3）求出月收入在[2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人数，可得答案．【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；众数是：=2250，和=2750；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【分析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），利用列出法求出基本事件个数和甲、乙两人成为好朋友包含的情况种数，由此能求出甲、乙两人成为“好朋友”的概率．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），求出基本事件个数，利用列举法求出丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立包含的基本事件个数，由此能求出抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【解答】解：（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），则基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M，则M包含的情况有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），共4个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率为P（M）==．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），则基本事件有n=4×4×4=64个，记“丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立”为事件N，当丙抽取的编号c=1时，a+b=4，∴（a，b）分别为（1，3），（2，2），（3，1），当丙抽取的编号c=2时，a+b=2，∴（a，b）为（1，1），当丙抽取的编号c=3或c=4时，方程a+b+2c=6不成立．综上，事件N包含的基本事件有4个，∴．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．单价x（万元）88.28.48.88.69销量y（件）908483758068（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）【分析】（1）①根据公式求出和的值，求出回归方程即可；②根据b的值判断即可；（2）求出关于w的表达式，结合二次函数的性质求出w的最大值即可．【解答】解：（1）①依题意：==﹣20，=﹣=80+20×8.5=250，∴回归直线的方程为y=﹣20x+250；②由于=﹣20＜0，则x，y负相关，故随定价的增加，销量不断降低．（2）设科研所所得利润为w，设定价为x，∴w=（x﹣4.5）（﹣20x+250）=﹣20x2+340x﹣1125，∴当时，w max=320，故当定价为8.5元时，w取得最大值．20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，整理直线方程为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，求出直线2x+y﹣7=0，x+y﹣4=0的交点，判断它在圆内，即可得证；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，连接CP，则CP⊥PQ，由平面几何知识可得点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，求得圆心和半径，注意运用中点坐标公式，再由当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小，运用勾股定理即可得到所求值．【解答】解：（1）证明：⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，圆心C（1，2），半径r=5，又直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，化为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，由解得，则直线l恒过定点Q（3，1），由|CQ|==＜5，可得Q在圆C内，则直线l与⊙C恒有两个交点；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，由（1）可知CP⊥PQ，点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，线段CQ的中点为（2，），|CQ|=，则线段AB中点P的轨迹方程为；由圆的几何性质可知，当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小．弦心距，⊙C的半径为5，可得|AB|min=2=4．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，列出方程求解即可．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，联立利用韦达定理，结合向量的数量积推出m2﹣6m+1＜4λ2，对任意实数λ，4λ2的最小值为0，转化求解即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：，化简得y2=4x（x＞0）．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，由得y2﹣4λy﹣4m=0，△=16（λ2+m）＞0，于是①，又，②，又，于是不等式②等价于③，由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4λ2④对任意实数λ，4λ2的最小值为0，所以不等式④对于一切π成立等价于m2﹣6m+1＜0，即．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2，且m的取值范围为．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．【分析】（1）利用椭圆离心率三角形的面积，解得a，b，即可得到椭圆方程．（2）设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及斜率关系，推出结果即可．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），通过，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立直线与椭圆方程，求出E，F坐标，求出E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，推出两个三角形的面积，利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）椭圆离心率，又，解得a=2，b=1，∴椭圆．（2）由已知AB必有斜率，设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立.⇒k（x1﹣n）（x2﹣m）+k（x1﹣m）（x2﹣m）=0⇒2x1x2﹣（m+n）（x1+x2）+2mn=0⇒mn=4．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），因为，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立，联立，所以E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，，∴，（取等条件），λ的最大值为．本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。
2016-2017学年高二上学期期末考试试卷-数学(理)-Word版含答案(四川省成都外国语学校)
成都外国语学校2016-2017学年上期高2015级（高二）期末考试数学试题（理科）满分150分，时间：120分钟. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题:p x ∃∈R ，sin 1x >，则（ ） A ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≤B ． :p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≤C ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≤D ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2.若10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率是（ ）A.37 B. 715 C. 815 D. 473. “35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．7?k > B ．6?k > C ．5?k >D ．4?k >5.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 和线段FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于（ ） A ．14a B ． 12aC ．2aD ．4a 6.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为则这个圆锥的体积为（ ）B. 27C.817.已知a ∈R ，若方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则此圆心坐标（ ）A. (2,4)--B. 1(,1)2-- C. (2,4)--或1(,1)2-- D. 不确定 8.样本（12,,,n x x x ）的平均数为x ，样本（12,,m y y y ）的平均数为()y x y ≠，若样本（12,,,n x x x ，12,,m y y y ）的平均数(1)z a x ay =-+，其中102a <<，则,m n 的大小关系为（ ）A ．n m <B ．n m >C ．n m =D ．不能确定9.某农户计划种植黄瓜和冬瓜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜与冬瓜的产那么黄瓜与冬瓜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A. 50，0B. 30，20C. 20，30D. 0， 5010．已知椭圆2212221(0),x y a b F F a b+=>>、为椭圆的左.右焦点,M 是椭圆上任一点,若12MF MF ⋅ 的取值范围为[3,3]-,则椭圆方程为（ ）A ．22193x y += B ．22163x y += C ．221124x y += D ．2214x y +=11.在等腰直角三角形ABC 中,=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到原点P (如图11).若光线QR 经过ABC ∆的重心,则BP 等于（ ）A ．2B ．1C ．83D ．4312.如图12，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（,0a b >）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.y x =±B.y =C. 12y x =±D. 2y x =± 二、填空题（本大概题共4小题，每小题5分.）13.根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为________.14.若,x y 满足约束条件1020220x yxyx y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =-的最小值为_____________.15.如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2则此双曲线的方程___________.16.设点00(,2)M x x -，设在圆22:1O x y +=上存在点N ,使得030OMN ∠=，则实数0x 的取值范围为_______.三、解答题（应写出文字说明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）某校高二某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下：据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高； （Ⅱ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分.18. （本小题满分12分）命题p ：“关于x 的不等式22(1)0,(0)x a x a a +-+≤>的解集为∅”，命题q ：“在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||(0)x a a ≤>的概率56P ≥”，当""p q ⌝⌝∧与""p q ⌝⌝∨一真一假时，求实数a 的取值范围. 19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF//AB ，90BAF ∠= ,AD=2,AB= AF=2EF=l ，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 为DF 的中点，求证：BF//平面ACP （Ⅱ）若直线PC 与平面FAD 所成角的正弦值为23，求PF 的长度．20. （本小题满分12分）某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2016年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽取的两组数据进行检验。
数学---四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)段考试卷(解析版)
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）段考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x+3y+a=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°2．（5分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．（5分）若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A．3 B．C．2 D．4．（5分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=6 5．（5分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．6．（5分）原点在圆C：x2+y2+2y+a﹣2=0外，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜27．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．（5分）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣110．（5分）已知方程x2+﹣=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2）、B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．随θ值的变化而变化11．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元12．（5分）已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x ﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为．14．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为．15．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的取值范围是．16．（5分）设集合，B={（x，y）|2m ≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（10分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：（1）l1∥l2（2）l1⊥l2．18．（12分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．19．（12分）设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x ﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．20．（12分）设约束条件所确定的平面区域为D．（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．（2）设向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，=m，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．21．（12分）已知圆M：x2+（y﹣1）2=1＜，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．22．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）若S△MON=6tan∠MON，其中O为坐标原点，求|MN|．参考答案一、选择题1．C【解析】设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．∴tanα=﹣，∴α=150°．故选：C．2．B【解析】两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选B．3．C【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示解得A（2，3）、B（1，0）、C（0，1），所以S△ABC=2；（表示的平面区域的面积为：矩形的面积﹣三个三角形的面积=2×3﹣﹣2﹣=2．）故选C．4．A【解析】法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6,答案：a=，b=65．B【解析】联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，斜率k AP＜k＜+∞，即＜k＜+∞，故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）．故选B．6．B【解析】∵圆x2+y2+2y+a﹣2=0，即x2+（y+1）2=3﹣a，∴3﹣a＞0，即a＜3．∵原点（0，0）在圆x2+y2+2y+a﹣2=0的外部，∴a﹣2＞0，∴a＞2．综上可得，2＜a＜3，故选：B．7．B【解析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．8．D【解析】设直线的方程为：y﹣1=k（x﹣1），（k≠0）．令x=0，解得y=1﹣k；令y=0，解得x=1﹣．∴|（1﹣k）（1﹣）|=4，化为（k﹣1）2=±8k，即k2﹣10k+1=0，k2+8k+1=0，由于△＞0，可得两个方程共有4个不同的解．因此直线l共有4条．故选：D．9．D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D10．B【解析】由a和b为方程x2+﹣=0的两个不等的实根，得到a+b=﹣，ab=﹣，又A（a，a2）、B（b，b2），得到直线AB的斜率k==a+b，线段AB的中点坐标为（，）所以直线l AB：y=（b+a）（x﹣）+．由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，则圆心到直线AB的距离d=====1=r．所以直线AB与圆的位置关系是相切．故选B11．C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=280012．D【解析】如图所示，圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，由图可得，PN最大值为PO2+，PM的最小值为PO1﹣，故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，点P（t，t）在直线y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），直线O2O1′与y=x的交点为原点O，则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，即|PN|﹣|PM|的最大值为2．故选D．二、填空题13．【解析】M为AB的中点设为（x，y，z），∴x==2，y=，z==3，∴M（2，，3），∵C（0，1，0），∴MC==，故答案为：．14．【解析】圆的圆心坐标（2，0）半径为，如图：设=k，则y=kx，所以k为过原点与圆x2+y2﹣4x+1=0上的点连线的斜率．由几何意义知，直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值或最小值，圆的半径为，圆心到原点的距离为2，所以k=tan60°=，所以的最大值是．故答案为：．15．[1，]【解析】=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），则||=，设z=||=，则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z==，当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，1≤z≤，即的取值范围是[1，]，故答案为：[1，]．16．[，2+]【解析】依题意可知，若A∩B≠∅，则A≠∅，必有，解可得m≤0或m≥，此时集合A表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，①m=0时，A={（2，0）}，B={（x，y）|0≤x+y≤1}，此时A∩B=∅，不合题意；②当m＜0时，有||＜﹣m或||＜﹣m；则有﹣m＞﹣m，或﹣m＞﹣m，又由m＜0，则（﹣1）m＜，可得A∩B=∅，不合题意；③当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．三、解答题17．解：（1）由题意，，∴a=﹣1；（2）∵（a﹣1）+2a=0，∴a=．18．解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴=3．即2λ2﹣5λ+2=0，∴λ=2，或λ=，∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2）由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|P A|（当l⊥P A时等号成立）．∴d max=|P A|=．19．解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，即b2﹣4＜0，解得：﹣2＜b＜2；（2）当b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，故|AB|的最大值为2，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，|AB|=2=2，故|AB|的最小值为2．20．解：（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，如右图阴影部分则S△OAB|OA|•|AB|=t2，S△DEF=|DE|•|EF|=（1﹣t）2，∴五边形ABCDE面积S=S△OCF﹣S△OAB﹣S△DEF=×2×1﹣t2﹣（1﹣t）2=﹣t2+t+即f（t）=﹣t2+t+，其中0＜t＜1（2）向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，=m，可得（x，y）=m（1，﹣1）+n（2，﹣1），可得，令z=m+3n，∴z=m+3n=2x+y，m+3n的最大值就是2x+y的最大值，由（1）可知可行域D（，）点，并且直线2x+y=z 经过（，）点时取得最大值：，21．解（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，∴=1，∴m=或0，∴QA，QB的方程分别为3x+4y﹣3=0和x=1．（2）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|=．在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，即1=|MQ|，∴|MQ|=3，∴x2+（y﹣2）2=9．设Q（x，0），则x2+22=9，∴x=±，∴Q（±，0），∴MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．22．解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，所以＜1．解得＜k＜．所以k的取值范围为：（，）．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．所以x1+x2=，x1x2=，=x1x2+y1y2=（1+k）2（x1x2）+k（x1+x2）+1=．由题设可得S△MON=6tan∠MON，可得=12．即=12，解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．。
2016-2017学年四川省成都七中高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年四川省成都七中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样 D．系统抽样3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0 C．2x±y=0 D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，]7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200 B．180 C．150 D．2808．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？ B．z≤20？ C．z≤50？ D．z≤52？10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（）A．2 B．4 C．1 D．﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．2016-2017学年四川省成都七中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A2．（5分）成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年级分层抽样 D．系统抽样【解答】解：事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大，按年级分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．3．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．4．（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A．B．x±y=0 C．2x±y=0 D．【解答】解：双曲线的离心率为2，可得，即，可得，双曲线的渐近线方程为：y=±，即．故选：D．5．（5分）函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f （x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C6．（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A．[，2]B．[，]C．[，2]D．[2，]【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，可得μ=表示直线OP的斜率，其中P（x，y）在区域内运动，O是坐标原点．运动点P，可得当P与A点重合时，μ=2达到最大值；当P与C点重合时，μ=达到最小值．综上所述，μ=的取值范围是[，2]故选：A7．（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．200 B．180 C．150 D．280【解答】解：根据题意，分2步进行分析，①、先将5个人分成3组，若分成2﹣2﹣1的三组，有=15种情况，若分成3﹣1﹣1的三组，有=10种情况，一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的3组对应三个班级，有=6种方法，则一共有25×6=150种不同分派方法，故选：C．8．（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A．取出的鞋不成对的概率是B．取出的鞋都是左脚的概率是C．取出的鞋都是同一只脚的概率是D．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是【解答】解：∵柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，∴基本事件总数n==15，在A中，取出的鞋是成对的取法有3种，∴取出的鞋不成对的概率是：1﹣=，故A 正确；在B中，取出的鞋都是左脚的取法有=3种，∴取出的鞋都是左脚的概率为：，故B正确；在C中，取出的鞋都是同一只脚的取法有：=6，∴取出的鞋都是同一只脚的概率是p==；在D中，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，由题意，可以先选出左脚的一只有=3种选法，然后从剩下两双的右脚中选出一只有=2种选法，所以一共6种取法，∴取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是，故D错误．故选：D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A．z≤42？ B．z≤20？ C．z≤50？ D．z≤52？【解答】解：第一次执行z=2x+y后，z=1，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=1，第二次执行z=2x+y后，z=3，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=1，y=3，第三次执行z=2x+y后，z=5，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=3，y=5，第四次执行z=2x+y后，z=11，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=5，y=11，第五次执行z=2x+y后，z=21，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则x=11，y=21，第六次执行z=2x+y后，z=43，满足输出条件，故进行循环的条件可以为z≤42？，故选：A10．（5分）某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5），[5，10），…[35，40]，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由频率分布直方图可得，[25，30），[30，35）的频率相同，频数为3，故选：B．11．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣cosθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故选B．12．（5分）以椭圆+=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y 0＞0）满足=，则﹣S（）A．2 B．4 C．1 D．﹣1【解答】解：∵椭圆方程为+=1，∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0），∴双曲线方程为，设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0），∵=，∴=，整理得：=5，化简得：5x=12y﹣15，又∵，∴5﹣4y2=20，解得：y=或y=（舍），∴P（3，），∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0，∴点M到直线PF1的距离d==1，易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心．故﹣===2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）命题∀x∈R，|x|＜0的否定是∃x0∈R，|x0|≥0．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x0∈R，|x0|≥0．故答案为：∃x0∈R，|x0|≥0．14．（5分）已知双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m的值是．【解答】解：双曲线x2﹣my2=1的虚轴长是实轴长的3倍，可得：=3，解得m=．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8．【解答】解：x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8，故答案为6π+8．16．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l上有唯一的一个点P，使得过点P作圆C的两条切线互相垂直．设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，，则的最小值是4+4．【解答】解：根据圆的对称性知直线l上的唯一点P与圆心C（1，0）所在直线必与直线l垂直，则PC所在直线的方程为x+y=1，与直线y=x+3联立求得P（﹣1，2），再根据对称性知过点P（﹣1，2）的两条切线必与坐标轴垂直，r=2；由题意，知|EF|取得最小值时，一定关于直线y=﹣x+1对称，如图所示，因此可设以点P（﹣1，2）为圆心，以R为半径的圆，即（x+1）2+（y﹣2）2=R2与圆C内切时，的最小值即为2R，由相切条件易知2R=2（|CP|+2）=2（2+2）=4+4．故答案为：4+4．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）．（1）求居民收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为[2500，3000）的人中抽取多少人？【解答】解：（1）月收入在[3000，3500）的频率为0.0003×500=0.15；（2）从左数第一组的频率为0.0002×500=0.1；第二组的频率为0.0004×500=0.2；第三组的频率为0.0005×500=0.25；∴中位数位于第三组，设中位数为2000+x，则x×0.0005=0.5﹣0.1﹣0.2=0.2⇒x=400．∴中位数为2400（元）由1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400，样本数据的平均数为2400（元）；众数是：=2250，和=2750；（3）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000=2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为=，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取2500×=25（人）．18．（12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1，2，3，4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a，b，c．（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立的概率．【解答】解：（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为（a，b），则基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M，则M包含的情况有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），共4个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率为P（M）==．（2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为（a，b，c），则基本事件有n=4×4×4=64个，记“丙抽取的编号能使方程a+b+2c=6成立”为事件N，当丙抽取的编号c=1时，工+子4，∴（a，b）分别为（1，3），（2，2），（3，1），当丙抽取的编号c=2时，a+b=2，∴（a，b）为（1，1），当丙抽取的编号c=3或c=4时，方程a+b+2c=6不成立．综上，事件N包含的基本事件有4个，∴．19．（12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据．（1）①求线性回归方程y=x+；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为 4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：=，=﹣，=8.5，=80）【解答】解：（1）①依题意：==﹣20，=﹣=80+20×8.5=250，∴回归直线的方程为y=﹣20x+250；②由于=﹣20＜0，则x，y负相关，故随定价的增加，销量不断降低．（2）设科研所所得利润为w，设定价为x，∴w=（x﹣4.5）（﹣20x+250）=﹣20x2+340x﹣1125，∴当时，w max=320，故当定价为8.5元时，w取得最大值．20．（12分）已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m ﹣4=0．（1）求证：直线l与⊙C恒有两个交点；（2）若直线l与⊙C的两个不同交点分别为A，B．求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值．【解答】解：（1）证明：⊙C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，圆心C（1，2），半径r=5，又直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，化为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，由解得，则直线l恒过定点Q（3，1），由|CQ|==＜5，可得Q在圆C内，则直线l与⊙C恒有两个交点；（2）由题意知，设点P（x，y）为弦AB的中点，由（1）可知CP⊥PQ，点P的轨迹方程是以CQ为直径的圆，线段CQ的中点为（2，），|CQ|=，则线段AB中点P的轨迹方程为；由圆的几何性质可知，当Q（3，1）是弦AB的中点时，|AB|最小．弦心距，⊙C的半径为5，可得|AB|min=2=4．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在整数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：，化简得y2=4x（x＞0）．（2）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=λy+m，由得y2﹣4λy﹣4m=0，△=16（λ2+m）＞0，于是①，又，②，又，于是不等式②等价于③，由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4λ2④对任意实数λ，4λ2的最小值为0，所以不等式④对于一切π成立等价于m2﹣6m+1＜0，即．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有|FA|2+|FB|2＜|AB|2，且m的取值范围为．22．（12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为，左右顶点分别为P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）过点D（m，0）（m∈（﹣2，2），m≠0）作两条射线分别交椭圆C于A，B两点（A，B在长轴PQ同侧），直线AB交长轴于点S（n，0），且有∠ADP=∠BDQ．求证：mn为定值；（3）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C 交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的λ倍，求λ的最大值．【解答】解：（1）椭圆离心率，又，解得a=2，b=1，∴椭圆．（2）由已知AB必有斜率，设AB：y=k（x﹣n）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立.⇒k（x1﹣n）（x2﹣m）+k（x1﹣m）（x2﹣m）=0⇒2x1x2﹣（m+n）（x1+x2）+2mn=0⇒mn=4．（3）设E（x3，y3），F（x4，y4），因为，直线TM方程为：x=t（y﹣1），直线TN：3x﹣ty﹣t=0，联立，联立，所以E到直线TN：3x﹣ty﹣t=0的距离，，∴，（取等条件），λ的最大值为．。
2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。
成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题(共3套)-原创
成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题(共3套)-原创三套模拟题考点、体力、分值分布情况立体几何：主要内容：空间中点、线、面的位置关系、空间中平行和垂直关系的证明、折叠问题、异面直线所成的角、线面角、空间直角坐标系中空间点的坐标等。
题量：选填4个，解答1个；分值：33分。
解析几何-直线与圆主要内容：斜率与倾斜角、两直线平行和垂直的判定、直线方程、直线与圆的综合运用、圆与圆的位置关系等题量：选填3个，解答1个；分值：27分。
解析几何-圆锥曲线主要内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义及图形的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，中点弦问题、过定点问题、定值问题等。
题量：选填3-4个，解答2个；分值：39-44分。
线性规划：主要内容：线性规划及非线性规划问题，线性规划的应用题。
题量：选填1-2个，解答0-1个；分值：10-15分。
算法：主要内容：算法语句、程序框图题量：选填1-2个，解答0-1个；分值：10-15分。
简易逻辑主要内容：四种命题及关系、等价命题、充分条件及必要条件、简单逻辑联结词及真假判断、特称、全称命题的真假判断及否定等。
题量：选填2-3个，解答0-1个；分值15-20分。
成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题（一）一、选择题1、空间直角坐标系中，点()3,4,0A -到(),1,6B x -的距离为86x 的值为( )A、2 B 、8- C 、28-或 D 、28-或2.若直线()1:34350l m x y m +++-=与直线()2:2580lx m y ++-=平行，则m的值（ ）．A ．-7B ．-1或-7C ．-6D ．133- 3．已知命题p ：方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：方程2211x y m m-=-表示双曲线，则p 是q 的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 4、设变量x ，y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数42z x y=+的最大值为( )A、12 B 、10 C 、8 D 、25．设命题p ：函数x y 2sin =的最小正周期为;2π命题q ：函数x y cos =的图象关于直线2π=x 对称，则下列判断正确的是 ( )A ．p 为真B ．⌝q 为假.C p q∧为假.D p q∨为真6．（15届成都零诊6）已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是 （A ）若a ∥b ．b α⊂，则a//α（B ）若a//α，b α⊂，则a ∥b（C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α7.抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点()5,m -到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）． A ．22yx=- B ．24yx=- C ．22yx= D ．24yx=-或24yx=8.已知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF =u u u v u u u u v g ，则P 到x 轴的距离为（ ）．A 23B 2C ．2D 269.（14秋成都期末8）经过点A （3，2）作圆C ：（x ﹣1）2+y 2=4的两条切线，切点分别为B 、D 则四边形ABCD 的面积为（ ） A ． 2 B ．42 C ． 4 D ． 8 10．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题： ①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC ． 其中正确的命题是（ ）A ．③④B ．①②④C ．①②D ．②④11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，作圆2224a x y +=的切线 ，切点为E ,延长FE 交双曲线左支于点,M E MF 且是的中点，则双曲线离心率为（ ）A.10 B.10C.10D.21012.执行如右图的程序框图，如果输入p=8,则输出的S=（ ）A 、6364B 、 12764C 、127128D 、255128二、填空题 13．直线y x =被圆22(2)4xy +-=截得的弦长为________．14. 已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是 15．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为18且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，AB 中点坐标为(2,1)-,则椭圆的离心率 .16．（15成都模拟）已知三棱柱AB ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3，蚂蚁从A 点沿侧面经过棱BB 1上的点N 和CC 1上的点M 爬到点A 1，如图所示，则当蚂蚁爬过的路程最短时，直线MN 与平面ABC 所成角的正弦值为 ．三、解答题17．（10分）已知算法：第一步，输入整数n ；第二步，判断17n ≤≤是否成立，若是，执行第三步；否则，输出“输入有误，请输入区间[]1,7中的任意整数”，返回执行第一步；第三步，判断1000n ≤是否成立，若是，输出n ，并执行 第四步；否则，结束； 第四步，7n n =+，返回执行第三步；第五步，结束．（1）若输入7n =，写出该算法输出的前5各值；（2）画出该算法的程序框图．18．（12分）设:p 实数x 满足22540x ax a -+<(0a >)；:q 实数x 满足222003100x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．（14届成都零诊19）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且2，E、F分别为PC、BD的中点．（I）求证：EF∥平面PAD;（Ⅱ）求三棱锥P—BCD的体积．20.已知圆22:48160C xy x y ++-+=,(1)圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等,且斜率存在，求切线的斜率；(2)从圆C 外一点0(,)P x y 向该圆引一条切线,切点为M ,O 为坐标原点,且有PM PO =,求使得PM 取得最小值时的点P 的坐标.21.已知抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点F 到准线的距离为1.过点(,0)A m (其中0m ≠ )作直线l 交抛物线C 与,P Q 两点（PQ 不垂直于x 轴）(1)若A 与焦点F 重合,且||4PQ =.求直线l 的方程;(2)若点B(,0)m -，设Q 关于x 轴的对称点为M ,求证：P ，M，B 三点共线.22．已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)8x y E b b+=>.(1) 若02b <≤,求离心率e 的取值范围; (2)椭圆E 228:3C x y +=圆C 的切线l 与椭圆E 交于,A B两点，满足OA OB⊥u u u r u u u r（O 为坐标原点）.①求2b 的值；②求ABC∆面积的取值范围.成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题（二）一、选择题 1.命题2",||0"x R x x∀∈+≥的否定是( )||,.2<+∈∀x x R x A 0||,.2≤+∈∀x x R x B||,.2000<+∈∃x x R x C||,.2000≥+∈∃x x R x D2.已知直线0)12(:,02:21=++-=+-a ay x a la y ax l 互相垂直，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣13.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F E 、分别是AD CC 、1的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于( ) A 10B 15 C. 45 D ．234.圆()2249x y -+=和圆()2234xy +-=的公切线有( )A ．1条B ．2条 C. 3条 D ．4条5．双曲线2214x y m -=的焦距为6，则m 的值是A ．6或2B ．5C ．1或9D ．3或56．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x>0 7．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=（ ）A ．8B ．7C ．6D ．58.（15安徽）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或129.执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入角=θ（ ）A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3- 10.已知直线1y x =+与椭圆()2210mxmy m n +=>>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于13-，则双曲线22221y x m n-=的离心率等于（ ）．A ．2B ． 2C ．52D ．5 11．（13届成都零诊9）如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，则下列判断错误．．的 A ．DB 1⊥平面ACD 1 B ．BC 1∥平面ACD 1C ．BC 1⊥DB 1D ．三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关 12. 如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A 1, A 2, B 1, B 2，焦点分别为F 1 ,F 2，延长B 1F 2 与A 2B 2交于P 点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( ) A. 51(0,)4+ B. 51(,1)4+C.51(0,)2- D.51(,1)2-二、填空题13. 十进制数2016等值于八进制数 。
2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷及参考答案(理科)
2017学年四川省成都七中高二上学期期末数学试卷及参考答案(理科)2016-2017学年XXX（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（5分）命题p：“a=-2”是命题q：“直线ax+3y-1=0与直线6x+4y-3=0垂直”成立的（）A。
充要条件 B。
充分非必要条件C。
必要非充分条件 D。
既不充分也不必要条件2.（5分）XXX为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大。
在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A。
简单随机抽样 B。
按性别分层抽样C。
按年级分层抽样 D。
系统抽样3.（5分）圆（x+2）²+y²=4与圆（x-2）²+(y-1)²=9的位置关系为（）A。
内切 B。
相交 C。
外切 D。
相离4.（5分）已知双曲线的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为（）A。
B。
x±y=0C。
2x±y=0 D。
5.（5分）函数f(x)=x²-x-2，x∈[-5,5]，在定义域内任取一点x，使f(x)≤0的概率是（）A。
B。
C。
D。
6.（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（）A。
[，2] B。
[，]C。
[，2] D。
[2，]7.（5分）有5名高中优秀毕业生回母校成都7中参加高2015级励志成才活动，到3个班去做研究经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A。
200 B。
180C。
150 D。
2808.（5分）柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（）A。
取出的鞋不成对的概率是0B。
取出的鞋都是左脚的概率是0C。
取出的鞋都是同一只脚的概率是0D。
取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是1/39.（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（）A。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末试题及答案2016-2017学年度上学期期末考试高二理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.答题前，请填写姓名和准考证号码。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字迹清楚。
3.请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效。
4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.某中学有3500名高中生和1500名初中生。
为了解学生的研究情况，从该校学生中采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本。
已知从高中生中抽取了70人，则n的值为（）。
A。
100B。
150C。
200D。
2502.如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图为（）。
无法提供图像）3.设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为F，点F到渐近线的距离等于2a，则该双曲线的离心率等于（）。
A。
2B。
3C。
5D。
3/44.已知两条直线a,b，两个平面$\alpha,\beta$，下面四个命题中不正确的是（）。
A。
$a\perp\alpha,\alpha//\beta,b\parallel\beta\iff a\perp b$B。
$\alpha//\beta,a//b,a\perp\alpha\implies b\perp\beta$C。
$m//\alpha,m\perp\beta\implies\alpha\perp\beta$D。
$a//b,a//\alpha\implies b//\alpha$5.下列命题中，说法正确的是（）。
2016-2017学年高二上学期数学(理)期末考试题及答案
2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案2017-01-04本试卷分选择题和非选择题两部分共22题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题，共计60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1. 已知命题“q p ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 为假C ．q 为真D ．不能判断q 的真假2．椭圆1422=+y m x 的焦距为2,则m 的值等于（ ） A ．5或3- B ．2或6 C ．5或3 D ．5或33.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是腰长 为3,底边长为2的等腰三角形，则该几何体的体积是（ ）A. π322B. π22C. π28D. π3284. 以双曲线191622=-y x 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）A ．x y 162= B ．x y 122= C ．x y 202-= D ．x y 202=5. 已知直线α⊂a，则βα⊥是β⊥a 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知l 是正方体1111DC BA ABCD -中平面11DB A 与下底面ABCD 所在平面的交线，正视图 俯视图侧视图.下列结论错误的是（ ）.A. 11D B //lB. ⊥l 平面C A 1C. l //平面111D B AD. 11C B l ⊥7. 设原命题：若向量c b a ,,构成空间向量的一组基底，则向量,a b不共线.则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知双曲线1244922=-y x 上一点P 与双曲线的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则三角形21F PF 的面积为（ ）A ．20B ．22C ．28D ．24 9. 两个圆0222:221=-+++y x y x C 与0124:222=+--+y x y x C的公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10. 已知F 是抛物线y x=2的焦点，B A ,是该抛物线上的两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到x 轴的距离为( ) A ．43B ．1C ．45 D ．47 11. 正三棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为3，底面边长为3， 则该球的表面积为( )A ．π4B ．π8C ．π16D ．332π12. 如图，H 为四棱锥ABCD P -的棱PC 的三等分点，且HC PH 21=，点G 在AH 上，mAH AG =.四边形ABCD 为 平行四边形，若D P B G ,,,四点共面，则实数m 等于（ ） A ．43 B ．34 C ．41 D ．21第Ⅱ卷(非选择题，共计90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.命题“2,12≥≥∀xx ”的否定是 .14. 平面α的法向量)2,1,(1-=x n ，平面β的法向量)21,,1(2y n -=， 若α∥β，则=+y x __________________. 15. 已知点A 的坐标为)2,4(，F 是抛物线x y22=的焦点，点M 是抛物线上的动点，当MA MF +取得最小值时，点M 的坐标为 ．16. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在一点P 使2112sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）已知四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形， 侧面是全等的等腰三角形，侧棱长为3 ， 求它的表面积和体积.18.（本小题满分12分）已知直线方程为033)12()1(=-+--+m y m x m . （1）求证:不论m 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点作一条直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.19.（本小题满分12分） 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱111,B D BB 的中点.(1) 求证：⊥EF 平面1ACB ；(2)求二面角C EF A --的余弦值.D ABC OP20.（本小题满分12分）已知圆M 满足：①过原点；②圆心在直线x y =上；③被y 轴截得的弦长为2. (1) 求圆M 的方程；(2) 若N 是圆M 上的动点，求点N 到直线8-=x y 距离的最小值.21．（本小题满分12分）． 在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，AO ⊥平面111C B A .︒=∠90BCA ，21===BC AC AA .(1)证明：OE ∥平面11C AB ； (2)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (3)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 和直线L :1=-b y a x , 椭圆的离心率23=e ， 坐标原点到直线L 的距离为552. （1）求椭圆的方程；（2）已知定点)0,1(E ，若直线)0(2≠-=k kx y 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试判断是否存在实数k，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.2016-2017学年度上学期期末考试高二数学（理）答案一. 选择题:1.B2.C3.A4.A5.B6.D7.B8.D9.B 10.C 11.C 12.A二. 填空题: 13. 2,1200<≥∃x x 14. 41515. )2,2( 16. ]21,1(+三. 解答题:17.解：过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ， 由勾股定理得：221922=-=-=BE PB PE所以，棱锥的表面积 28422221422+=⨯⨯⨯+⨯=S -----5分 过点P 作ABCD PO 平面⊥，垂足为O ，连接OE . 由勾股定理得：71822=-=-=OE PE PO所以，棱锥的体积 37472231=⨯⨯⨯=V ------10分18.（1）证明：将方程033)12()1(=-+--+m y m x m 变形为 03)32(=-+++-y x m y x解方程组⎩⎨⎧=-+=+-03032y x y x 得：⎩⎨⎧==21y x 所以，不论m 取何实数值，此直线必过定点)2,1(.-----6分(2)解：设所求直线交x 轴y 轴分别为点),0(),0,(b B a A由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+220120ba4,2==∴b a所以直线的方程为：142=+yx即042=-+y x ------12分19． 解: （1）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系xyz D -， 可得：)1,0,0(),1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1(11D B C B A ，则中点 )1,21,21(),21,1,1(F E因)1,1,0(),0,1,1(),21,21,21(1=-=--=→→→AB AC EF 所以0,01=∙=∙→→→→AB EF AC EF1,AB EF AC EF ⊥⊥ 而A AB AC =⋂1 所以 ⊥EF 平面C AB 1 -------- 6分 （2）设平面AEF 的一个法向量为),,(1z y x n =→，因)21,21,21(),21,1,0(--==→→EF AE由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+0212121021z y x z y 令2=z 得 )2,1,3(1-=→n 同理平面CEF 的法向量为)2,3,1(2--=→n 由71,cos 21->=<→→n n所以二面角C EF A --的余弦值是71 -------12分20.解：(1)设圆M 的方程为)0()()(222>=-+-r r b y a xD C B A由已知可得: ⎪⎩⎪⎨⎧=+==+222221r a b a r b a ,解方程组得: ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===211或211r b a r b a 所以, 圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x -----6分 (2)当圆M 的方程为2)1()1(22=-+-y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离为: 242811=--=d同理, 当圆M 的方程为2)1()1(22=+++y x 时, 圆心M 到直线8-=x y 的距离也为:24=d所以, 点N 到直线8-=x y 距离的最小值为23224=--------12分21.解 解法1：(1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AO ⊥平面A 1B 1C 1， ∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1.又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. ------8分 (3)∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC 1＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2，∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ，∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·(12·A 1C 1·B 1C 1)·AO＝13·S△AA 1B·d.又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7，∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分 解法2：∵O 是A 1C 1的中点，AO ⊥A 1C 1， ∴AC ＝AA 1＝2，又A 1C 1＝AC ＝2， ∴△AA 1C 1为正三角形， ∴AO ＝3，又∠BCA ＝90°， ∴A 1B 1＝AB ＝22，如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则A(0,0，3)，A 1(0，－1，0)，E(0，－12，32)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，C(0,2，3)．(1)∵OE →＝(0，－12，32)，AC 1→＝(0,1，－3)，∴OE →＝－12AC 1→，即OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1. -------4分 (2)∵AB 1→＝(2,1，－3)，A 1C →＝(0,3，3)， ∴AB 1→·A 1C →＝0， 即∴AB 1⊥A 1C ，∴异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°. -------8分 (3)设A 1C 1与平面AA 1B 1所成角为θ，A 1C 1→＝(0,2,0)， A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)，设平面AA 1B 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0.不妨令x ＝1，可得n ＝(1，－1，33)， ∴sin θ＝cos 〈A 1C 1→，n 〉＝22·73＝217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. -------12分22. 解：（1）直线L ：0=--ab ay bx ，由题意得：552,2322=+==b a ab ac e 又有222c b a +=， 解得：1,422==b a椭圆的方程为1422=+y x . ——5分（2）若存在，则EN EM ⊥，设),(),,(2211y x N y x M ，则：21212211)1)(1(),1(),1(y y x x y x y x EN EM +--=-⋅-=⋅)(05))(12()1()2)(2()1)(1(212122121*=+++-+=--+--=x x k x x k kx kx x x联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=14222y x kx y ，得：01216)41(22=+-+kx x k ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⨯⨯--=∆∴221221224112,41160)41(124)16(k x x k k x x k k 代入（*）式，解得：1617=k ，满足0>∆ —— 12分。
四川省成都市树德中学高二数学上学期期末考试试题理
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题（每小题5分，共60分）1、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该高中某学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4、下列说法正确的是 （ ）A.命题“若21x >,则1x >”的否命题为“若21x >，则1≤x ”B.命题“若200,1x R x ∃∈>”的否定是“2,1x R x ∀∈<”C.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题D.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A.85B.1311 C.138 D.21136、在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不．小于．．9 cm 2的概率为（ ） A ．910 B ．45 C ．23 D ．127、直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M 、N 两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（ ） A ．566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8、已知集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为（ ） A ．316π B ．16π C ．32π D ．332π9、已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．310、点M 是抛物线y 2=x 上的点，点N 是圆C 1：（x+1）2+（y ﹣4）2=1关于直线x ﹣y+1=0对称的曲线C 上的点，则|MN|的最小值是（ ） A ．B ．C ．2D ．11、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于 （ ） A.24 B.26 C.30 D.3212、已知圆C的方程()2211x y -+=，P 是椭圆=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A 、B ，则的取值范围为（ ）A ．5639⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．5639⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．6439⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．6439⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二、填空题（每小题5分，共20分）13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，_______运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14、已知圆O 1：x 2＋y 2＝1，圆O 2：(x ＋4)2＋(y －a )2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a ＝______15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则221213e e +=_____ 16、已知直线y =k 14x ⎛⎫+⎪⎝⎭与曲线y =恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；椭圆22=163x y +上存在关于直线y =x +m 对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2λ的概率是_______三、解答题17、（10分）设命题p ：点（1，1）在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部；命题q ：直线mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R )不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点，且||2PF =.（1）若椭圆22:14x y C n'+=与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程； （2）设抛物线C 与（1）中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0， （1）求过()3,2M 点的圆的切线方程；（2）直线:22130l mx y m +--=被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；（3）过原点的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的取值范围.21、（12分）已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦AB 和CD （点A 、C 在第一象限），且M ，N 分别是AB ，CD 的中点． （1）若AB CD ⊥，求△FMN 面积的最小值；（2）设直线AC 的斜率为k AC ，直线BD 的斜率为k BD ，且k AC +4k BD =0，求证：直线AC 过定点，并求此定点.22、（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 与定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与()221:432C x y -+=交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最大值.树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（理科）参考答案一、选择题 ADDDCB CDBADA二、填空题13、乙 14、±25或0 15、4 16、34三、解答题17、解：命题p 11m ⇔-<<，…………3分 命题q 0m ⇔≥……………6分① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥. 故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥………10分18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分 (2)中位数17373.33≈…………6分 (3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)． ∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a ，b ； 在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c ，d ，e ，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A ，所有基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分∴P (A )＝815………12分19、解:（1）P 到焦点距离等于P 到准线距离，所以122pPF =+=，2p =故抛物线的方程为2:4C y x =……………………….3分又由椭圆22:14x y C n '+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y +=……………....6分 （2）由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去).所以22((,33A B ,则双曲线的渐近线方程为y =……………………8分0y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =±………………...……10分 因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==,故所求双曲线方程为: 22312y x -=……………………………………….…………..12分20、解：（1）3x =或3410x y --=………3分（2）直线:22130l mx y m +--=恒过定点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………7分（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP ，CP OP=0∙∴化简得()2211x y -+=………9分由于点P 在圆内，由得所以1C ：()2231122x y x ⎛⎫-+=<≤⎪⎝⎭（注：范围也可写成32x >）………10分k ≤≤或k =12分21、解：（1）抛物线的方程为x 2=2y ，设AB 的方程为联立，得x 2﹣2kx ﹣1=0，21,2M k k ⎛⎫+⎪⎝⎭，同理2111,2N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴S △FMN ＝12|FM |·|FN |1≥ 当且仅当k ＝±1时，△FMN 的面积取最小值1. ……....5分（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），设AB 的方程为，联立，得x 2﹣2kx ﹣1=0，∴x 1x 2=﹣1，同理，x 3x 4=﹣1 ……....7分故k AC +4k BD ()()22221324132413241324112244x x x x y y y y x x x x x x x x ----=+⋅=+⋅----()()1324122x x x x =++⋅+ ()()13131313111112022x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⋅+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注意到点A 、C 在第一象限，x 1+x 3≠0，故得x 1x 3=4， ……....10分直线AC 的方程为()2131122x x x y x x +-=-化简得131322x x x x y x +=-即1322x x y x +=-所以，直线AC 恒经过点（0，﹣2）……....12分22、解：（1=． 两边平方，化简得x 22＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…（3分）（2）因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0，…....5分圆心与直线mx ＋2y ＝0|PQ|=....7分 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4.…....10分 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d＝12∙=令()244m t t +=≥，则S ＝1104t <≤）当1124t =即m =±max 3S =…....12分。
四川省成都市树德中学20162017学年高二数学上学期期末考试试题理科
四川省成都市树德中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题〔每题5分，共60分〕1、设∈，那么“a ＝1”是“直线l 1：＋2y －1＝0及直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为±2x ，那么其离心率为〔 〕A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y 〔单位：〕及身高x 〔单位：〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔，〕〔1，2，…，n 〕，用最小二乘法建立的回归方程为y ，那么以下结论中不正确的选项是．．．．．．．〔 〕 及x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心〔x ，y 〕 1，那么其体重约增加 1704、以下说法正确的选项是 〔 〕A.命题“假设21x >,那么1x >〞的否命题为“假设21x >，那么1≤x 〞B.命题“假设200,1x R x ∃∈>〞的否认是“2,1x R x ∀∈<〞C.命题“假设x y =，那么y x cos cos =〞的逆否命题为假命题D.命题“假设x y =，那么y x cos cos =〞的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A.856、在长为10 cm 的线段上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于，的长，那么该矩形面积不．小于．．9 cm 2的概率为〔 〕 A ．910 B ．45C ．23D ．127、直线3及圆〔x ﹣2〕2+〔y ﹣3〕2=4相交于M 、N 两点，假设≥2，那么直线倾斜角的取值范围是〔 〕A ．566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 8、集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，假设在区域Ω内任取一点P 〔x ，y 〕，那么点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为〔 〕A ．316π B ．16π C ．32π D ．332π9、实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，那么实数m 等于〔 〕A ．7B ．5C ．4D ．3 10、点M 是抛物线y 2上的点，点N 是圆C 1：〔1〕2+〔y ﹣4〕2=1关于直线x﹣1=0对称的曲线C 上的点，那么的最小值是〔 〕 A ．B ．C ．2D ．11、某算法的程序框图如下图，那么执行该程序后输出的S 等于 〔 〕A.24B.26C.30D.32 12、圆C 的方程()2211x y -+=，P 是椭圆=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A 、B ，那么的取值范围为〔 〕A ．562239⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．562239⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．642239⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．642239⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，二、填空题〔每题5分，共20分〕 13、某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运发动的发挥更稳定．〔填“甲〞或“乙〞〕14、圆O 1：x 2＋y 2＝1，圆O 2： (x ＋4)2＋(y －a )2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么常数a ＝15、12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，那么221213e e += 16、直线14x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭及曲线y x =恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；椭圆22=163x y +上存在关于直线对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合B.假设随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ，1λ，那么1λ>2λ的概率是2三、解答题17、〔10分〕设命题p：点〔1，1〕在圆222+-++-=的内x y mx my m22240部；命题q：直线－y＋1＋2m＝0(k∈R)不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．18、〔12分〕某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下局部频率分布直方图如图.观察图形的信息，答复以下问题：〔1〕求分数在[70,80)内的频率；〔2〕估计本次考试的中位数；〔准确到0.1〕〔3〕用分层抽样〔按[60,70)、[70,80)分数段人数比例〕的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、〔12分〕抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点，且||2PF =.〔1〕假设椭圆22:14x y C n'+=及抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程；〔2〕设抛物线C 及〔1〕中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、〔12分〕圆C ：x 22﹣43=0， 〔1〕求过()3,2M 点的圆的切线方程；〔2〕直线:22130l mx y m +--=被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程； 〔3〕过原点的直线m 及圆C 交于不同的两点A 、B ，线段的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2y k x =-及曲线1C 只有一个交点，求k 的取值范围.21、〔12分〕抛物线x 2＝2 (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦和〔点A 、C 在第一象限〕，且M ，N 分别是，的中点． 〔1〕假设AB CD ⊥，求△面积的最小值；〔2〕设直线的斜率为，直线的斜率为，且40，求证：直线过定点，并求此定点.22、〔12分〕在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 及定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 及()221:432C x y -+=交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最大值.树德中学高2021 级第三期期末考试数学试题〔理科〕参考答案一、选择题二、填空题13、乙 14、±2或0 15、4 16、34三、解答题17、解：命题p11⇔-<<，…………3分m命题q0m⇔≥……………6分①p真q假时，10-<<；②p假q真时，1mm≥.故m的取值范围为10-<<或1mm≥………10分18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1－＋＋＋＋0.005)×10＝1－＝………3分(2)中位数17373.3≈…………6分3(3)由题意，[60,70)分数段的人数为：×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：×60＝18(人)．∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内〞为事件A，所有根本领件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分 ∴P (A )＝………12分19、解:〔1〕P 到焦点距离等于P 到准线距离，所以122p PF =+=，2p =故抛物线的方程为2:4C y x =……………………….3分又由椭圆22:14x y C n '+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y +=……………....6分〔2〕由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去). 所以2222(6),(,6)3333A B ,那么双曲线的渐近线方程为6y x =……………………8分60x y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =± (10)分因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==, 故所求双曲线方程为:22312y x -= (12)分20、解：〔1〕3x =或3410x y --=………3分〔2〕直线:22130l mx y m +--=恒过定点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………7分 〔3〕设点P 〔x ，y 〕，∵点P 为线段的中点，曲线C 是圆心为C 〔2，0〕，半径1的圆，∴⊥，CP OP=0•∴化简得()2211x y -+=………9分 由于点P 在圆内，由得所以1C ：()2231122x y x ⎛⎫-+=<≤ ⎪⎝⎭〔注：范围也可写成32x >〕………10分 3322k -≤≤或255k =±………12分21、解：〔1〕抛物线的方程为x 2=2y ，设的方程为联立，得x 2﹣2﹣1=0，21,2M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2111,2N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴S △＝·＝242411k k k k ++＝2212k k ++1≥ 当且仅当k ＝±1时，△的面积取最小值1. ……....5分〔2〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，C 〔x 3，y 3〕，D 〔x 4，y 4〕，设的方程为，联立，得x 2﹣2﹣1=0，∴x 1x 2=﹣1，同理，x 3x 4=﹣1 (7)分故4()()22221324132413241324112244x x x x y y y y x x x x x x x x ----=+⋅=+⋅----()()1324122x x x x =++⋅+ ()()13131313111112022x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⋅+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注意到点A 、C 在第一象限，x 13≠0，故得x 1x 3=4， ……....10分直线的方程为()2131122x x x y x x +-=-化简得131322x x x x y x +=-即1322x x y x +=-所以，直线恒经过点〔0，﹣2〕……....12分22、解：〔1〕由，得()221222x y x ++=+． 两边平方，化简得＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…〔3分〕〔2〕因不垂直于y 轴，设直线的方程为x ＝－1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由得(m 2＋2)y 2－2－1＝0.y 1＋y 2＝，y 1y 2＝. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝，于是的中点为，故直线的斜率为－，的方程为y ＝－x ，即＋2y ＝0，…....5分 圆心及直线＋2y ＝0的距离为244m m +，222248=232844m m m m ⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭…....7分设点A 到直线的距离为d ，那么点B 到直线的距离也为d ，所以2d ＝.因为点A ，B 在直线＋2y ＝0的异侧，所以(1＋2y 1)(2＋2y 2)<0，于是1＋2y 1|＋2＋2y 2|＝1＋2y 1－2－2y 2|，从而2d ＝.又因为1－y 2|＝＝，所以2d ＝.…....10分故四边形的面积S ＝·2d＝12•=令()244m t t +=≥，那么S＝1104t <≤〕 当1124t =即m =±max S =…....12分。
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期10月段考数学试卷Word版含解析
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）10月段考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线x +3y +a=0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°2．两个圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣2=0与C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1=0的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若实数x ，y 满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（ ）A．3B ．C ．2D ．4．如果直线y=ax +2与直线y=3x ﹣b 关于直线y=x 对称，那么（ ）A ．a=，b=6B ．a=，b=﹣6C ．a=3，b=﹣2D ．a=3，b=65．若直线与直线2x +3y ﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围（ ）A ．B ．C ．D ．6．原点在圆C ：x 2+y 2+2y +a ﹣2=0外，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2B ．2＜a ＜3C ．a ＜2D ．0＜a ＜27．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣，） B ．（﹣，0）∪（0，） C ．[﹣，]D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．过点P （1，1）作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条9．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣110．已知方程x2+﹣=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2）、B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．随θ值的变化而变化11．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元12．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为．14．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为．15．已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的取值范围是．16．设集合，B={（x，y）|2m≤x+y ≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分）17．已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：（1）l1∥l2（2）l1⊥l2．18．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．19．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x ﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．20．设约束条件所确定的平面区域为D．（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．（2）设向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，=m，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．21．已知圆M：x2+（y﹣1）2=1＜，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．（1）求k的取值范围；=6tan∠MON，其中O为坐标原点，求|MN|．（2）若S△MON2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线x+3y+a=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150° D．120°【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．∴tanα=﹣，∴α=150°．故选：C．2．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】圆的切线方程．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选B．3．若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A．3 B．C．2 D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积和周长C即可．【解答】解：不等式组所表示的平面区域如图所示解得A（2，3）、B（1，0）、C（0，1），所以S△ABC=2；（表示的平面区域的面积为：矩形的面积﹣三个三角形的面积=2×3﹣﹣2﹣=2．）故选C．4．如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=6【考点】反函数．【分析】本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．【解答】解：法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6答案：a=，b=65．若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率；两条直线的交点坐标．【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l 的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．方法二、∵直线l 恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，设直线2x +3y ﹣6=0与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．从图中看出，斜率k AP ＜k ＜+∞，即＜k ＜+∞，故直线l 的倾斜角的取值范围应为（，）．故选B ．6．原点在圆C ：x 2+y 2+2y +a ﹣2=0外，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞2B ．2＜a ＜3C ．a ＜2D ．0＜a ＜2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据二次方程表示圆的条件，以及圆心到原点的距离大于半径，列出不等式组，综合可得实数a 的取值范围．【解答】解：∵圆x 2+y 2+2y +a ﹣2=0，即x 2+（y +1）2=3﹣a ， ∴3﹣a ＞0，即a ＜3．∵原点（0，0）在圆x 2+y 2+2y +a ﹣2=0的外部，∴a ﹣2＞0，∴a ＞2． 综上可得，2＜a ＜3， 故选：B ．7．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣，） B ．（﹣，0）∪（0，） C ．[﹣，]D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．【分析】由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y ﹣mx ﹣m=0要有2个交点，根据直线y ﹣mx ﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m 的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．8．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】直线的截距式方程．【分析】设直线的方程为：y﹣1=k（x﹣1），（k≠0）．得出与坐标轴的交点，可得|（1﹣k）（1﹣）|=4，解出k的值即可判断出结论．【解答】解：设直线的方程为：y﹣1=k（x﹣1），（k≠0）．令x=0，解得y=1﹣k ；令y=0，解得x=1﹣．∴|（1﹣k ）（1﹣）|=4，化为（k ﹣1）2=±8k ，即k 2﹣10k +1=0，k 2+8k +1=0， 由于△＞0，可得两个方程共有4个不同的解． 因此直线l 共有4条． 故选：D ．9．x 、y 满足约束条件，若z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．或﹣1B ．2或C ．2或1D ．2或﹣1 【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax +z 斜率的变化，从而求出a 的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）． 由z=y ﹣ax 得y=ax +z ，即直线的截距最大，z 也最大．若a=0，此时y=z ，此时，目标函数只在A 处取得最大值，不满足条件， 若a ＞0，目标函数y=ax +z 的斜率k=a ＞0，要使z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax +z 与直线2x ﹣y +2=0平行，此时a=2，若a ＜0，目标函数y=ax +z 的斜率k=a ＜0，要使z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax +z 与直线x +y ﹣2=0，平行，此时a=﹣1， 综上a=﹣1或a=2， 故选：D10．已知方程x2+﹣=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2）、B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．随θ值的变化而变化【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由a与b为一元二次方程的两个不等的实根，利用韦达定理表示出a+b 和ab，然后根据点A和B的坐标求出直线AB的斜率，利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，根据中点坐标和求出的斜率写出直线AB的方程，根据圆的方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，化简后把表示出的a+b和ab代入即可求出值为1，与圆的半径相等，进而得到直线AB与圆的位置关系是相切．【解答】解：由a和b为方程x2+﹣=0的两个不等的实根，得到a+b=﹣，ab=﹣，又A（a，a2）、B（b，b2），得到直线AB的斜率k==a+b，线段AB的中点坐标为（，）所以直线l AB：y=（b+a）（x﹣）+．由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，则圆心到直线AB 的距离d=====1=r ．所以直线AB 与圆的位置关系是相切． 故选B11．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元 【考点】简单线性规划．【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可． 【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x 桶，y 桶，利润为z 元则根据题意可得，z=300x +400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示 作直线L ：3x +4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z 最大z=280012．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2【考点】两点间的距离公式．【分析】先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求PN﹣PM的最大值转化为PO2﹣PO1+1的最大值，再利用PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，即可求出对应的最大值．【解答】解：如图所示，圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，由图可得，PN最大值为PO2+，PM的最小值为PO1﹣，故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，点P（t，t）在直线y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），直线O2O1′与y=x的交点为原点O，则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，即|PN|﹣|PM|的最大值为2．故选D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】设出点M的坐标，利用A，B的坐标，求得M的坐标，最后利用两点间的距离求得答案．【解答】解：M为AB的中点设为（x，y，z），∴x==2，y=，z==3，∴M（2，，3），∵C（0，1，0），∴MC==，故答案为：．14．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】可看作点（x，y）与原点连线的斜率，所以问题转化为求圆上一点与原点连线中斜率最大值的问题．【解答】解：圆的圆心坐标（2，0）半径为，如图：设=k，则y=kx，所以k为过原点与圆x2+y2﹣4x+1=0上的点连线的斜率．由几何意义知，直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值或最小值，圆的半径为，圆心到原点的距离为2，所以k=tan60°=，所以的最大值是．故答案为：．15．已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的取值范围是[1，] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M（x，y）到定点N（1，0）的距离，数形结合可得答案．【解答】解：=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），则||=，设z=||=，则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z==，当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，1≤z≤，即的取值范围是[1，]，故答案为：[1，]．16．设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是[，2+] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．【解答】解：依题意可知，若A∩B≠∅，则A≠∅，必有，解可得m≤0或m≥，此时集合A表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，①m=0时，A={（2，0）}，B={（x，y）|0≤x+y≤1}，此时A∩B=∅，不合题意；②当m＜0时，有||＜﹣m或||＜﹣m；则有﹣m＞﹣m，或﹣m＞﹣m，又由m＜0，则（﹣1）m＜，可得A∩B=∅，不合题意；③当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．三、解答题（共70分）17．已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：（1）l1∥l2（2）l1⊥l2．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）根据两直线平行关系，得，即可求出a的值．（2）根据两直线垂直的关系，即（a﹣1）+2a=0，即可求出a的值．【解答】解：（1）由题意，，∴a=﹣1；（2）∵（a﹣1）+2a=0，∴a=．18．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．【考点】点到直线的距离公式；两条直线的交点坐标．【分析】（1）直线方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，根据点A（5，0）到l的距离为3，建立方程解出λ值，即得直线方程．（2）先求出交点P的坐标，当l⊥PA时，点A（5，0）到l的距离的最大值，故最大值为|PA|．【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴=3．即2λ2﹣5λ+2=0，∴λ=2，或λ=，∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2）由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．∴d max=|PA|=．19．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x ﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，进而得到b的取值范围；（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．【解答】解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，即b 2﹣4＜0， 解得：﹣2＜b ＜2；（2）当b=1时，l 必过（0，1）点，当l 过圆心时，|AB |取最大值，即圆的直径，由M ：x 2+y 2﹣2x ﹣4=0的半径r=，故|AB |的最大值为2，当l 和过（0，1）的直径垂直时，|AB |取最小值．此时圆心M （1，0）到（0，1）的距离d=，|AB |=2=2，故|AB |的最小值为2．20．设约束条件所确定的平面区域为D ．（1）记平面区域D 的面积为S=f （t ），试求f （t ）的表达式．（2）设向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q （x ，y ）在平面区域D （含边界）上，=m，（m ，n ∈R ），当面积S 取到最大值时，用x ，y 表示m +3n ，并求m +3n 的最大值．【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，得它的形状是由等腰Rt △OCF ，减去等腰Rt △OAB 和等腰Rt △DEF 而得的一个五边形．根据题意算出三个等腰直角形的面积，得到该平面区域的面积S=f （t ）是关于t 的二次函数． （2）利用已知条件的向量关系，求出m +3n 与x 、y 的关系式，然后利用可行域求出最值即可．【解答】解：（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，如右图阴影部分则S △OAB |OA |•|AB |=t 2，S △DEF =|DE |•|EF |=（1﹣t ）2， ∴五边形ABCDE 面积S=S △OCF ﹣S △OAB ﹣S △DEF=×2×1﹣t 2﹣（1﹣t ）2=﹣t 2+t +即f（t）=﹣t2+t+，其中0＜t＜1（2）向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，=m，可得（x，y）=m（1，﹣1）+n（2，﹣1），可得，令z=m+3n，∴z=m+3n=2x+y，m+3n的最大值就是2x+y的最大值，由（1）可知可行域D（，）点，并且直线2x+y=z经过（，）点时取得最大值：，21．已知圆M：x2+（y﹣1）2=1＜，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设出直线方程，利用直线与圆相切，列出方程求解即可．（2）设AB与MQ交于P，求出|MP|．在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，设Q（x，0），求出Q的坐标，然后求解直线方程．【解答】解（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，∴=1，∴m=或0，∴QA，QB的方程分别为3x+4y﹣3=0和x=1．（2）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|=．在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，即1=|MQ|，∴|MQ|=3，∴x2+（y﹣2）2=9．设Q（x，0），则x2+22=9，∴x=±，∴Q（±，0），∴MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．（1）求k的取值范围；=6tan∠MON，其中O为坐标原点，求|MN|．（2）若S△MON【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（1）设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出不等式求解即可．（2）设出M，N的坐标，利用直线与圆的方程联立，通过韦达定理，结合已知条件，转化为向量的数量积，求出直线的斜率，然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可．【解答】解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，所以＜1．解得＜k＜．所以k的取值范围为：（，）．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．所以x1+x2=，x1x2=，=x1x2+y1y2=（1+k）2（x1x2）+k（x1+x2）+1=．=6tan∠MON，可得=12．由题设可得S△MON即=12，解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．2017年1月17日。
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四川省成都市树德中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理一、选择题（每小题5分，共60分）1、设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2、已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．3、设某高中的学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（，）C.若该高中某学生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该高中某学生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4、下列说法正确的是（）A.命题“若,则”的否命题为“若，则”B.命题“若”的否定是“”C.命题“若，则”的逆否命题为假命题D.命题“若，则”的逆命题为假命题5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A.B.C.D.6、在长为10 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9 cm2的概率为（）A．B．C．D．7、直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8、已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式的概率为（）A．B．C．D．9、已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（）A．7 B．5 C．4 D．310、点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．11、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A.24 B.26 C.30 D.3212、已知圆C的方程，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，_______运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14、已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2： (x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝______15、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,椭圆和双曲线的离心率分别为、，则_____16、已知直线y=k与曲线恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；椭圆上存在关于直线y=x+m对称的不同两点，记m的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素，，则>的概率是_______三、解答题17、（10分）设命题p：点（1，1）在圆的内部；命题q：直线mx－y＋1＋2m＝0(k∈R)不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求的取值范围．18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、（12分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，且.（1）若椭圆与抛物线有共同的焦点，求椭圆的方程；（2）设抛物线与（1）中所求椭圆的交点为，求以和所在的直线为渐近线，且经过点的双曲线方程.20、（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过点的圆的切线方程；（2）直线被圆C截得的弦长最短时，求直线的方程；（3）过原点的直线与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为，直线与曲线只有一个交点，求的取值范围.21、（12分）已知抛物线x 2＝2py (p＞0)，其焦点F到准线的距离为1.过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC的斜率为kAC，直线BD的斜率为kBD，且kAC+4kBD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点.22、（12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求动点P的轨迹的方程；（2）过作曲线的不垂直于轴的弦,为的中点,直线与交于两点,求四边形面积的最大值.树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（理科）参考答案一、选择题ADDDCB CDBADA二、填空题13、乙 14、±2或0 15、4 16、三、解答题17、解：命题p，…………3分命题q……………6分1 p真q假时，；②p假q真时，.故m的取值范围为或………10分18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分(2)中位数…………6分(3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)．∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A，所有基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个 (8)分其中事件A包含(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．……10分∴P(A)＝………12分19、解:（1）P到焦点距离等于P到准线距离，所以，故抛物线的方程为……………………….3分又由椭圆, 可知,故所求椭圆的方程为……………....6分（2）由,消去得到,解得(舍去).所以,则双曲线的渐近线方程为……………………8分由渐近线,可设双曲线方程为.由点在抛物线上,解得………………...……10分因为点在双曲线上,,故所求双曲线方程为:……………………………………….…………..12分20、解：（1）或………3分（2）直线恒过定点当直线时，弦长最短，此时直线的方程为………7分（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP，∴化简得………9分由于点P在圆内，由得所以：（注：范围也可写成）………10分或………12分21、解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为联立，得x2﹣2kx﹣1=0，，同理∴S△FMN＝|FM|·|FN|＝＝当且仅当k＝±1时，△FMN的面积取最小值1. ……....5分（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为，联立，得x2﹣2kx﹣1=0，∴x1x2=﹣1，同理，x3x4=﹣1 ……....7分故kAC+4kBD注意到点A、C在第一象限，x1+x3≠0，故得x1x3=4，……....10分直线AC的方程为化简得即所以，直线AC恒经过点（0，﹣2）……....12分22、解：（1）由已知，得．两边平方，化简得＋y2＝1．故轨迹的方程是．…（3分）（2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.y1＋y2＝，y1y2＝. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0，…....5分圆心与直线mx＋2y＝0的距离为，|PQ|…....7分设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.…....10分故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝令，则S＝（）当即时，.…....12分继续阅读。