高考数学复习课时练习函数与方程理北师大版

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高三数学一轮复习课时作业(10)函数与方程理北师大版

[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·郑州模拟] 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜13B ．a ＞13C ．a ≤13D ．a ≥132图K103．[2011·南通调研] 设f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)(－1≤x ≤1)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根4．已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0,1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2,0)B ．(－1,0)C ．[－2,0]D ．(－2，－1) 能力提升5．[2011·郑州模拟] 已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b6．[2011·上海八校联考] 设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的命题中，真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于kB ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内7．[2011·信阳模拟] 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 8．[2011·南阳模拟] 若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |x ≠0，1x ＝0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为( )A ．12B ．14C ．13D ．89．已知函数f (x )＝|lg x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个零点x 1，x 2，则有( )A ．x 1x 2<0B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<110．[2011·常州质检] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为________．11．利用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f (0.625)<0，f (0.725)>0，f (0.6875)<0，则可得到方程精确度为0.1的一个近似解是________．12．[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．13．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若方程g [f (x )]－a ＝0的实数根的个数有4个，则a 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．15．(13分)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在－2所示：图求：(1)方程f [g (x )]＝0实根的个数； (2)方程g [f (x )]＝0实根的个数； (3)方程f [f (x )]＝0实根的个数； (4)方程g [g (x )]＝0实根的个数．难点突破16．(12分)[2011·郑州模拟] 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．课时作业(十)【基础热身】1．B [解析] 由题意，函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，即方程x 2＋2x ＋3a ＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝22－4×3a ＜0，得a ＞13.2．B [解析] 函数图像与横轴的交点的横坐标为零点，但二分法要求在区间[a ，b ]上，有f (a )·f (b )<0，所以只有B 不符合．3．C [解析] ∵f (x )＝x 3＋bx ＋c (b >0)，∴f ′(x )＝3x 2＋b >0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， ∴f (x )在[－1,1]上有实数根且只有一个．4．C [解析] (1)当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在[0,1]上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．(2)当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，①有且只有一根在(0,1)上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；②当f (0)＝0时，m ＝0，f (x )＝x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；③当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2,0]．【能力提升】5．B [解析] 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)；因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2；因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，故h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a <c <b . 6．D [解析] 由题意f (k －1)·f (k )<0，f (k )·f (k ＋1)<0，由零点的存在性判定定理可知区间(k －1，k )，(k ，k ＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故选项D 正确．7．C [解析] ∵f (x )是R 上的增函数且图像是连续的，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝14e－4<0，f (0)＝－2<0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝e 34>0， ∴f (x )定在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内存在唯一零点． 8．B [解析] 如图，当x ∈[0,5]时，结合图像知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时结合图像知共有9个交点．故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有149．D [解析] (0,1)，(1，＋∞)．去掉绝对值符号后，再根据函数的性质寻找其中的关系．根据分析，不妨设0<x 1<1，x 2>1，根据函数零点的概念则有|lg x 1|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝0，|lg x 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝0，即－lg x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1，lg x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，后面的方程减去前面的方程得lg(x 1x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1.由于x 2>x 1，根据指数函数的性质，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1.正确选项为D. 10．3 [解析] f (0)＝－2，即－02＋b ·0＋c ＝－2，c ＝－2；f (－1)＝1，即－(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝1，故b ＝－4.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x >0，－x 2－4x －2，x ≤0，g (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x ，x >0，－x 2－3x －2，x ≤0，令g (x )＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x ＝0，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x －2＝0，x ≤0，解得x ＝2或－2或－1，故有3个零点．11．0.7 [解析] ∵|0.725－0.6875|<0.1，∴精确度为0.1的一个近似解是0.7.12．(－∞，2ln2－2] 【解析】由于f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即e x－2x ＋a ＝0有解，所以a ＝－e x＋2x .令g (x )＝－e x ＋2x ，由g ′(x )＝－e x＋2＝0得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，g ′(x )＝－e x＋2>0，此时g (x )为增函数；当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )＝－e x＋2<0，此时g (x )为减函数．所以，当x ＝ln2时，函数g (x )＝－e x ＋2x 有最大值2ln2－2，即g (x )＝－e x＋2x 的值域为(－∞，2ln2－2]，所以a ∈(－∞，2ln2－2]．13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54 [解析] 由于函数f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1≤1，只有f (x )＝t ，t <1时，方程f (x )＝t 才有两个不同的实根，这样问题就等价于方程g (t )＝a 有两个小于1的不等实根，画出函数g (x )的图像如图，数形结合得1≤a <54.14．[解答] ∵f (x )＝4x＋m ·2x＋即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0时，m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1，不合题意，舍去， ∴2x＝1，x ＝0，符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0应有一正一负两根，即t 1t 2<0，这与t 1t 2＝1>0矛盾． ∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.15．[解答] (1)满足f (x )＝0的x 值在区间[－2,2]上有三个，把这三个看做g (x )对应的y 值，则g (x )等于这三个值的每个x 都有两个，故方程f [g (x )]＝0有且仅有6个根．(2)满足g (x )＝0的x 值有两个，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(0,1)上，把这两个看做f (x )对应的y 值，f (x )等于这两个x 值时，在区间(－2，－1)上只有一个x 与之对应，在区间(0,1)上有三个x 与之对应，故方程g [f (x )]＝0有且只有4个根．(3)满足f (x )＝0的x 值在区间[－2,2]上有三个，把这三个再看做f (x )对应的y 值，在区间(－2，－1)上只有一个x 值，在区间(1,2)上也只有一个x 值，而f (x )＝0所对应的x 值有三个，故方程f [f (x )]＝0有且仅有5个根．(4)同样的方法可知方程g [g (x )]＝0有且仅有4个根．【难点突破】16．[解答] (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b ，于是⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4.故所求的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时f ′(x )、f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x )＋0 － 0 ＋ f (x ) 单调递增 283单调递减－43单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3；当x ＝2时，f (x )有极小值－43.所以函数的大致图像如图．故实数k 的取值范围是－43＜k ＜3.。

高考数学北师大(理)一轮复习课时规范练12 函数与方程 Word含解析

2
1 -
2x,x
≤
0,则函数 g(x)=2f[f(x)]-1 的零点
|lnx|,x > 0,
个数为()
A.3
B.4
C.5
D.6
创新应用组
16.(2018 河北衡水中学押题二,12)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在三个零点,则 a 的取值范围是() A.(-∞,-2) B.(-2,2) C.(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)
D.[-1,1)
参考答案
课时规范练 12 函数与方程
1.CA 中图像表示的函数没有零点,因此不能用二分法求零点;B 中函数的图像不连续;D 中函数在 x
轴下方没有图像.故选 C.
2.B 由 f(1.25)<0,f(1.5)>0 可得方程 f(x)=0 的根落在区间(1.25,1.5)内,故选 B.
( ) 3.Af(x)=
C.(1.5,2)
D.不能确定
( ) 3.已知函数 f(x)=
1 5
x-log3x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 x0<x1,则 f(x1)的值()
A.恒为负
B.等于零
C.恒为正
D.不大于零
4.(2018 新疆乌鲁木齐一模)函数 f(x)=ex+2x-3 的零点所在的一个区间是()
( ) A. - 12,0
C.y=exf(x)-1
D.y=exf(x)+1
8.(2018 北京西城区一模)函数 f(x)=2x+log2|x|的零点个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3
{ 9.(2018 陕西榆林一模)直线 y=x 与函数 f(x)=

近年年高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版(2021学年)

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课时分层训练(五十五）曲线与方程A组基础达标一、选择题1.方程x=错误!所表示的曲线是( ）A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分C．圆的一部分Ｄ.直线的一部分B[ｘ＝＼r(１－４y2)两边平方，可变为x2＋4y2=1(ｘ≥０),表示的曲线为椭圆的一部分.] 2.(2017·银川模拟)已知点P是直线2ｘ－y＋３＝0上的一个动点，定点M(-1，2），Q是线段PM延长线上的一点,且｜PＭ｜=|ＭＱ|，则Q点的轨迹方程是( ）Ａ.２x+y＋1＝０ﻩＢ.２x-y-5＝0C．2ｘ－ｙ-１=０ D.２ｘ-y＋5=0Ｄ[由题意知，M为ＰQ中点，设Q（x，ｙ）,则Ｐ为（－２－ｘ,4－y)，代入2x－y+３＝0，得2x－y＋5＝0.]3.已知动圆Ｑ过定点A（2，0)且与y轴截得的弦MＮ的长为4,则动圆圆心Q的轨迹C的方程为（ )A．y2=2xﻩB．y２=４xC.ｘ2=2ｙＤ.x2=4yB [设Ｑ(ｘ,y），因为动圆Ｑ过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，所以错误!错误!＋｜x|2＝|AQ｜２,所以|x｜2+22＝（ｘ－2)２+y2，整理得y2=4ｘ,所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是ｙ2=４ｘ,故选B。

］4．设圆（x+1)2+y２=25的圆心为C,A(1,0）是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点Ｍ,则M的轨迹方程为( )【导学号:7914０301】A.错误!－错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1Ｃ．错误!－错误!=1 ﻩD。

高考数学 2.8函数与方程课时提升作业理北师大版

【全程复习方略】2014版高考数学 2.8函数与方程课时提升作业理北师大版一、选择题1.(2013·九江模拟)设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x) ( )(A)在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点(B)在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点(C)在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点(D)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点2.(2013·安庆模拟)如图是函数f(x)的图像,它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间之中,存在不能用二分法求出的零点,该零点所在的区间是( )(A)[-2.1,-1] (B)[4.1,5](C)[1.9,2.3] (D)[5,6.1]3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是( )(A)x1<x2 (B)x1>x2 (C)x1=x2 (D)不能确定4.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(2013·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为( )(A)4 (B)2 (C)-4 (D)与m有关7.(2013·吉安模拟)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是( )(A)(-,-2] (B)[-1,0] (C)(-∞,-2] (D)(-,+∞)8.若函数y=()|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则m的取值范围是( )(A)m≤-1 (B)m≥1 (C)-1≤m<0 (D)0<m≤19.(2013·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是( )(A)(-∞,-1)∪(-,0) (B){-1,-}(C)(-1,-) (D)(-∞,-1)∪[-,0)10.(能力挑战题)若函数y=4sin(2x+)(x∈[0,])的图像与直线y=m有三个交点且它们的横坐标分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3的值是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题11.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.12.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,则a+b= .13.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是.14.(能力挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图像在区间[-5,5]内的交点个数为.三、解答题15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.答案解析1.【解析】选 D.f'(x)=-,当x∈(0,3)时,f'(x)<0,即f(x)在(0,3)上是减函数,又f(e-1)=e-1+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,∴f(e-1)·f(1)>0,f(1)·f(e)<0,故选D.2.【解析】选C.由图像可以看出函数在[-2.1,-1],[1.9,2.3],[4.1,5],[5,6.1]上各有一个零点,对比四个选项,C中的零点不能用二分法求.3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图像如图所示,由图像知x1<x2.4.【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图像的交点个数.【解析】选C.在同一直角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图像如图,从图中可知,两函数共有2个交点,∴函数f(x)的零点的个数为2.5.【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即sgn(lnx)=lnx,∴lnx=1或lnx=0或lnx=-1,∴x=e或x=1或x=.6.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图像关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.7.【解析】选 A.由题意知函数M(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,则有∴-<m≤-2.8.【解析】选C.由已知得函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.∵|1-x|≥0,∴0<()|1-x|≤1,∴m∈[-1,0).9.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,∴f(x)=函数f(x)的图像如图所示,由图像知,当c<-1或-<c<0时,函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.10.【解析】选C.函数y=4sin(2x+)的图像的对称轴在[0,π]有2条,分别为x=和x=,由对称性可得x1+x2=2×=,x2+x3=2×=,故x1+2x2+x3=x1+x2+x2+x3=+=.11.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=a x与函数y=x+a交点的个数,两函数的图像如图所示,可知a>1时两函数图像有两个交点,0<a<1时两函数图像有唯一交点,故a>1.答案:(1,+∞)12.【解析】由已知x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N+,∴a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3,….又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,∴f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.又∵f(x)为增函数,当x取大于或等于2的整数时,所对应的函数值都大于0,∴a=1,b=2.∴a+b=1+2=3.答案:313.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,∴m的取值集合是{-3,0,1}.答案:{-3,0,1}【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.根据原式将f(x)误认为是二次函数.14.【思路点拨】根据周期性画函数f(x)的图像,根据对称性画函数g(x)的图像,注意定义域.【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图像可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.答案:815.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,只需即解得<a<.【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点. 【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=2或m=-2.又m=-2时,t=1,m=2时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点,∴这种情况不符合题意.综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.。

2019大一轮高考总复习文数北师大版课时作业提升11 函

课时作业提升(十一) 函数与方程A 组夯实基础1．(2018·皖北四校联考)已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B 依题意， f (2)＞0，f (3)＜0，f (4)＞0，f (5)＜0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．2．(2018·汕头检测)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x 2－2D ．y ＝－x 3解析：选B y ＝log 2x 在(－1,0]上没有意义，故A 不满足题意；y ＝x 2－2在(－1,0)上单调递减，故C 不满足题意；y ＝－x 3在(－1,1)上单调递减，故D 不满足题意；因为y ＝2x －1在(－1,1)上单调递增，f (－1)<0，f (1)>0，所以在(－1,1)内存在零点，故选B ．3．(2018·潍坊月考)若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，⎝⎛⎭⎫1，32内，则与f (0)符号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ． f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫32解析：选C 由题意得f (x )的零点在⎝⎛⎭⎫1，32内，∴f (0)与f (1)符号相同，故选C ． 4．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)＜0，即(2－2－a )·(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.5．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B (数形结合法)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图像如图，∴y ＝|x 2－2x |的图像与y ＝a 2＋1的图像总有两个交点．6．(2018·大连月考)已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选D 令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝13，满足题意，可排除选项A ，B ．令m ＝1，由f (x )＝0得x ＝1，满足题意，排除选项C ．7．(2018·天津月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是( )A ．－12＋ 3B ．12＋ 3C ．－1＋32D ．1＋32解析：选B 由f (x )＝0得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2得x ＝1＋3，由g (x )＝－2得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋3，故选B ．8．已知函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______．解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－129．(2018·吉林模拟)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.解析：求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2<ln e ＝1，所以f (2)<0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3>1，所以f (3)> 0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.答案：210．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是__________．解析：令g (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，h (x )＝x ＋a ，分0＜a ＜1，a ＞1两种情况．在同一坐标系中画出两个函数的图像，如图，若函数f (x )＝a x －x －a 有两个不同的零点，则函数g (x )，h (x )的图像有两个不同的交点．根据画出的图像只有当a ＞1时符合题目要求．答案：(1，＋∞)11．(2016· 连云港模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋3，x ∈(0,3]． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的值域；(2)如果函数f (x )在定义域内有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，x ∈(0,3]．所以f (x )的最小值是f (1)＝2，最大值为f (3)＝6，所以函数f (x )的值域为[2,6]． (2)函数f (x )在定义域内有零点即方程ax 2－2x ＋3＝0在x ∈(0,3]上有实根．等价于求函数a ＝2x －3x2在x ∈(0,3]上的值域，令h (x )＝2x －3x 2，则h (x )＝2x －3x 2＝－3⎝⎛⎭⎫1x 2＋2⎝⎛⎭⎫1x ，x ∈(0,3]．令1x ＝t ∈⎣⎡⎭⎫13，＋∞，则g (t )＝－3t 2＋2t ＝－3⎝⎛⎭⎫t －132＋13，当t ＝13时，g (t )有最大值13，所以a ≤13.12．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. ①若Δ＝0，即m 2－4＝0，当m ＝－2时，t ＝1；当m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去． ∴2x ＝1，x ＝0符合题意． ②若Δ>0，即m >2或m <－2， t 2＋mt ＋1＝0有一正一负两根，即t 1t 2<0，这与t 1t 2>0矛盾． ∴这种情况不可能．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.B 组能力提升1．(2018·安阳模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A 注意到函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，因此当0＜x 1＜x 0时，有f (x 1)＞f (x 0)．又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)＞0，即此时f (x 1)的值恒为正值，选A ．2．(2018·兰州月考)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．3．(2018·泰安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·e x ，x ≤0，－ln x ，x >0，其中e 为自然对数的底数，若关于x的方程f (f (x ))＝0有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选B 由f (f (x ))＝0得f (x )＝1，作出函数f (x )的图像，如图所示，当a <0,0<a <1时，直线y ＝1与函数f (x )的图像有且只有一个交点，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)，故选B ．4．若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e ；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0 <x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e 时，函数g (x )单调递增，由此可知当x ＝1e时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e<a <0.答案：－1e<a <05．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数．解：(1)因为f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，所以f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 所以f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)因为g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，所以g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＝e 3－3e 3－14＞0，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．。

2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.8函数与方程练习理北师大版(1)

2.8 函数与方程核心考点·精准研析考点一判断函数零点所在区间1.已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x) ( )A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点3.(2020·扬州模拟)设函数y=x2与y=的图像交点为(x0,y0),则x0所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】1.选B.因为a>1,0<b<1,f(x)=a x+x-b,所以f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.选D.令f(x)=0得x=ln x.作出函数y=x和y=ln x的图像,如图,显然y=f(x)在内无零点,在(1,e)内有零点.3.选B.因为函数y=x2与y=的图像交点为(x0,y0),则x0是方程x2=的解,也是函数f(x)=x2-的零点.因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知,方程的解在(1,2)内.4.选A.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理.(2)数形结合法.【秒杀绝招】用特殊值法可解T2.考点二确定函数零点的个数【典例】1.函数f(x)=|x-2|-ln x零点的个数为( )A.0B.1C.2D.32.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 ( )A.2B.3C.4D.53.已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是 ( )A.9B.10C.11D.18【解题导思】序号联想解题1 由f(x)=|x-2|-ln x的零点,想到|x-2|=ln x.2 由f(x)=2sin x-sin 2x,想到化简,令f(x)=0求sin x与cos x的值.3 由F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数,想到f(x)=|lg x|.【解析】1.选C.作出函数y=|x-2|与g(x)=ln x的图像,如图所示.由图像可知两个函数的图像有两个交点,即函数f(x)在定义域内有2个零点.2.选B.令f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,则sin x=0或cos x=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三个零点.3.选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|lg x|的大致图像如图,由图像可知,它们共有10个不同的交点,因此函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.函数零点个数的判断方法(1)直接求零点.(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数.(3)利用函数图像的交点个数判断.1.函数f(x)=3x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由题意知f(x)单调递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0,1)内连续不断,所以f(x)在区间(0,1)内有一个零点.2.(2020·上饶模拟)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选A.由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图像如图所示.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图像有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.3.已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是.【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=或f(x)=1,作出函数y=f(x)的图像.由图像知y=与y=f(x)的图像有2个交点,y=1与y=f(x)的图像有3个交点.因此函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点有5个.答案:5考点三函数零点的应用命题精解读1.考什么:(1)由函数的零点有无、个数求参数值或范围、图像的交点、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:多以选择、填空题的形式考查.3.新趋势:以函数图像与性质为载体,图像与性质、数与形、求参数值或范围交汇考查.学霸好方法已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.由零点的个数求参数值或范围【典例】已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( ) A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.画出函数f(x)的图像,y=e x在y轴右侧的图像去掉,再画出直线y=-x,并上下移动,可以发现当直线过点(0,1)时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程f(x)=-x-a有两个解,也就是函数g(x)有两个零点,此时满足-a≤1,即a≥-1.已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题的关键是什么?提示:关键是将函数零点个数问题转化为方程解的个数,或两个函数图像交点的个数问题,再去求解.由函数有无零点求参数【典例】若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是.【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可变形为a=-,因为x∈[-1,1],所以2x∈,令2x=t,t∈,a=-,0≤t-≤,0≤≤,-≤-≤2,所以a=-的范围为,所以实数a的取值范围是.答案:函数有(或无)零点如何求参数的范围?提示:先分离参数,再依据有(或无)零点得出等式(或不等式),最后得出结论.与函数零点有关的比较大小【典例】(2019·承德模拟)已知a是函数f(x)=2x-l o x的零点,若0<x0<a,则f(x0)的值满足( ) A.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0D.f(x0)的符号不确定【解析】选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=l o x的图像,由图像可知,当0<x0<a时,有<l o x0,即f(x0)<0.与函数零点有关的函数值如何比较大小?提示:在同一平面直角坐标系中画出图像,根据图像所处的上下位置确定.1.若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为( )A.(0,4)B.(0,+∞)C.(3,4)D.(3,+∞)【解析】选C.令g(x)=|2x-4|,其图像如图所示,若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4).2.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】选B.令y1=2x,y2=ln x,y3=--1,因为函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则y1=2x,y2=ln x,y3=--1的图像与y=-x的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,在同一平面直角坐标系内分别作出函数y1=2x,y2=lnx,y3=--1及y=-x的图像如图,结合图像可得x1<x2<x3.3.(2020·南通模拟)已知f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,当x∈时,f(x)=1-|2x-1|.若函数y=f(x)-log a x(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不相同的零点,则实数a的值为________________.【解析】当x∈时,f(x)=1-|2x-1|=,且f(x)是定义在R上且周期为的周期函数,因为函数y=f(x)-log a x(a>1)在(0,+∞)上恰有4个互不相同的零点,所以函数y=f(x)与y=log a x(a>1)在(0,+∞)上恰有4个不同的交点,分别画出两函数图像如图所示,由图可知,当x=时,有log a=1,所以a=.答案:1.(2020·包头模拟)已知函数f(x)=ln x+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b= ( )A.0B.2C.5D.7【解析】选C.因为f(2)=ln 2+6-8=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+9-8=ln 3+1>0,且函数f(x)=ln x+3x-8在(0,+∞)上为单调递增函数,所以x0∈[2,3],即a=2,b=3,所以a+b=5.2.已知a为正常数,f(x)=若∃x1,x2∈R,使f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是.【解析】由于a>0,函数y=x2+ax+3在[0,+∞)上单调递增,当x=0时有最小值为3.在x<0时,函数为增函数,要使x1,x2存在,使得f(x1)=f(x2),则需20+a>3,解得a>2.答案:(2,+∞)。

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练11 函数与方

课时分层训练(十一) 函数与方程(对应学生用书第223页)A 组基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12 C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f (A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x －a ·2x＋1＋1有零点的概率是( )A.14B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x ＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.] 二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎨⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. [证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示． (2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x ＝ax ，则函数y ＝e x ，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝e x 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数.【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，且g(3)＜0，g(e3)＞0，所以g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．。

高考数学(理)复习训练：《函数与方程》(北师大版)

【A 级】基础训练1．(2014·山东淄博模拟)若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k 等于( )A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析：由题意知，x ≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一直角坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图像，如图所示，由图像可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C.答案：C2．(2014·北京海淀模拟)函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在区间为( ) A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f (12)＝log 212－2＝－3＜0，f (1)＝log 21－1＝－1＜0，f (2)＝log 22－12＝12＞0， ∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在区间为(1,2)，故应选C. 答案：C3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 3(x ≤0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x (x >0)，若x 0是y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．等于0D ．不大于0解析：当x >0时，f ′(x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ln3－1x ln2<0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的，如果函数存在零点x 0，即f (x 0)＝0，则当0<t <x 0时，f (t )>f (x 0)＝0. 答案：B4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2|x |＋12，x ≤0|lg x |－1，x >0的零点个数为________．解析：作出函数f (x )的图像，从图像中可知函数f (x )的零点有4个．答案：45．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.解析：∵2<a <3<b <4，当x ＝2时，f (2)＝log a 2＋2－b <0；当x ＝3时，f (3)＝log a 3＋3－b >0，∴f (x )的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. 答案：26．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1有且仅有一个零点，则实数m 的取值集合是________．解析：当m ＝1时，f (x )＝4x －1＝0，得x ＝14，符合要求．当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0.即m 2＋3m ＝0，解得：m ＝－3或m ＝0，∴m 的取值集合是{－3,0,1}．答案：{－3,0,1}7．(2014·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.8．(2014·海淀区高三期末)已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4e x－3e. (2)令f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根．当－(a ＋2)＞0，即a ＜－2时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：由上表可知函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－(a ＋2))＝a ＋4e a ＋2.因为函数f (x )是(0，－(a ＋2))上的减函数，是(－(a ＋2)，＋∞)上的增函数，且当x ≥－a 时，有f (x )≥e －a ·(－a )＞－a ，又f (0)＝－a .所以要使方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 【B 级】能力提升1．(2014·沈阳四校联考)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：依题意得，a ＞1,0＜b ＜1，则f (x )为R 上的单调递增函数，又f (－1)＝1a －1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，f (－1)·f (0)＜0，因此x 0∈(－1,0)，n ＝－1，选B. 答案：B2．(2014·豫西五校联考)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎨⎧1，x ＞00，x ＝0－1，x ＜0，则函数f (x )＝sgn(lnx )－ln 2x 的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：依题意得，当x ＞1时，ln x ＞0，sgn(ln x )＝1，f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x ＝1－ln 2x ，令1－ln 2x ＝0，得x ＝e 或x ＝1e ，结合x ＞1，得x ＝e ；当x ＝1时，ln x ＝0，sgn(lnx )＝0，f (x )＝－ln 2x ，令－ln 2x ＝0，得x ＝1，符合；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，sgn(ln x )＝－1，f (x )＝－1－ln 2x ，令－1－ln 2x ＝0，得ln 2x ＝－1，此时无解．因此，函数f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x 的零点个数为2. 答案：B3．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析：方法一：数形结合法，令f (x )＝x －cos x ＝0，则x ＝cos x ，设函数y ＝x 和y ＝cos x ，它们在[0，＋∞)的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内有且仅有一个零点．方法二：当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，＋∞时，x >1，cos x ≤1，所以f (x )＝x －cos x >0；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )＝12x＋sin x >0，所以函数f (x )＝x －cos x 是增函数，又因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ π2>0，所以f (x )＝x －cos x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上有且只有一个零点．答案：B4．若函数f (x )的图像是连续不断的，根据下面的表格，可断定f (x )的零点所在的区间为________(只填序号)．①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)解析：用二分法解题时要注意，根据区间两个端点函数值符号的异同，确定零点所在区间．答案：③④⑤5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x <1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x <16．(2014·鄂州模拟)已知函数f (x )＝3x ＋x －5的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N ＋，则a ＋b ＝________.解析：由已知x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N ＋， ∴a ，b 的可能取值为a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝3，… 又f (1)＝3＋1－5＝－1<0，f (2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)f(2)<0，故a＝1，b＝2符合要求．又∵f(x)为增函数，当x取大于或等于2的整数时，所对应的函数值都大于0，∴a ＝1，b＝2.∴a＋b＝1＋2＝3.答案：37．(创新题)已知函数f(x)＝|x|x＋2，如果关于x的方程f(x)＝kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．解：∵f(x)＝|x|x＋2，∴原方程即|x|x＋2＝kx2.(*)①x＝0恒为方程(*)的一个解②当x<0且x≠－2时，若方程(*)有解，则－xx＋2＝kx2，kx2＋2kx＋1＝0.当k＝0时，方程kx2＋2kx＋1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k2－4k≥0，即k<0或k≥1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有解．设方程kx2＋2kx＋1＝0的两个根分别是x1、x2，则x2＋x2＝－2，x1x2＝1k.当k>1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有两个不等的负根；当k＝1时，方程kx2＋2kx＋1＝0有两个相等的负根；当k<0时，方程kx2＋2kx＋1＝0有一个负根．③当x>0时，若方程(*)有解，则xx＋2＝kx2，kx2＋2kx－1＝0.当k＝0时，方程kx2＋2kx－1＝0无解；当k≠0时，Δ＝4k2＋4k≥0，即k≤－1或k>0时，方程kx2＋2kx－1＝0有解．设方程kx2＋2kx－1＝0的两个根分别是x3、x4，则x3＋x4＝－2，x3x4＝－1k.当k>0时，方程kx2＋2kx－1＝0有一个正根；当k≤－1时，方程kx2＋2kx－1＝0没有正根．综上可得，当k∈(1，＋∞)时，方程f(x)＝kx2有四个不同的实数解．。

高考数学总复习课时作业11函数与方程理北师大版

A级1．(2012 ·长沙模拟) 已知函数f ( x) 的图像是连续不停的，有以下的x， f ( x)的对应表x123456f ( x)136.1315.552－ 3.9210.88－52.488－ 232.064则函数 f( x) 存在零点的区间有()A．区间 [1,2]和[2,3]B．区间 [2,3]和[3,4]C．区间 [2,3]、[3,4]和[4,5]D．区间 [3,4]、[4,5]和[5,6]2x－ 1，x≤1，2．已知函数f ( x) ＝2则函数 f ( x)的零点为()1＋ log x，x>1，1B．－ 2,0A. ，021C. 2D． 03．(2012 ·天津模拟 ) 函数f ( x) ＝－1x＋ log 2x的一个零点落在以下哪个区间 ()A． (0,1)B． (1,2)C． (2,3)D． (3,4)4．设f ( x) ＝ 3x＋ 3x－ 8，用二分法求方程3x＋3x－ 8＝0 在x∈ [1,2]上近似解的过程中，计算获得 f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在的区间为() A． [1,1.25]B． [1.25,1.5]C． [1.5,2]D．不可以确立15．已知a是函数f ( x) ＝ln x－log2x 的零点，若0<x0<a，则()A．f ( x0) ＝ 0B．f ( x0)>0C．f ( x0)<0D．f ( x0) 的符号不确立6．用二分法研究函数f (x) ＝x3＋3 －1的零点时，第一次经计算f(0)<0 ，(0.5)>0可x f得此中一个零点x0∈________，第二次应计算________．7．若函数 f ( x)＝log 22＝ ax 的焦点的横坐标，则a＝( x＋ 1) － 1 的零点是抛物线y________.8．以下是函数f ( x) 在区间 [1,2]上一些点的函数值 .x1 1.25 1.375 1.406 5 1.438f ( x)－ 2－ 0.9840.260－ 0.0520.165x 1.5 1.625 1.75 1.8752由此可判断：方程 f ( x)＝0的一个近似解为________． ( 精度为0.1 ，且近似解保存两位有效数字 )9．若函数y＝f ( x)( x∈R)知足 f ( x＋2)＝ f ( x)且 x∈[－1，1]时， f ( x)＝1－ x2，函数lg x x>0，g( x)＝1则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点为______个．－x x<0，10．已知函数 f ( x)＝ x3－x2＋x2＋14.1，使 f ( x0)＝ x0.证明：存在 x0∈0，211．若＝，－，＝ c＋ b，1，1，且＝，＝2＋bx＋c.A{ a, 01}B＋aA B f ( x)axb(1)求 f ( x)零点的个数；(2)当 x∈[－1,2]时，求 f ( x)的值域；(3)若 x∈[1，m]时， f ( x)∈[1，m]，求 m的值．B 级1．(2012 ·山东潍坊高考模拟 ) 若直角坐标平面内的两点P，Q 知足条件：① P， Q都在函数 y＝ f ( x)的图像上；② P，Q对于原点对称．则称点对[ P，Q] 是函数y＝f ( x) 的一对“友好点对”(点对[P ， ]与 [， ]看作同一对“友善点对”)．已知函数f() ＝Q Q P xlog 2，>0，x x则此函数的“友善点对”有()－ x2－4x， x≤0，A．0 对B．1对C．2 对D．3对2．若函数f ( x) ＝ax2－x－ 1 仅有一个零点，则实数 a 的取值范围是________．3．已知二次函数f (x) ＝x2＋ (2a－1)x＋1－ 2a(1)判断命题“对于随意的 a∈R( R为实数集)，方程 f ( x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2) 若y＝f ( x) 在区间 ( －1,0) 及 0，1内各有一个零点，务实数 a 的范围．2答案课时作业 ( 十一 )A级1．C因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，因此在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．2． D当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；21当 x>1时，由 f ( x)＝1＋log2x＝0，解得 x＝2，又因为 x>1，因此此时方程无解．综上函数 f ( x)的零点只有0，应选 D.113． B∵ f(1)＝－1＋log21＝－1<0，f(2)＝－2＋log22＝2>0，∴f (1)· f (2)<0，应选 B.4． B因为f(1)<0，f(1.5 )>0，则第一步计算中点值 f (1.25)<0，又 f (1.5)>0，则确立区间为[1.25,1.5]，应选 B.15． C易知f(a)＝0，函数f(x)＝ln x－log2x在(0，＋∞ )上单一递加，因为0<x0<a，因此 f ( x0)< f ( a)＝0.6．分析：∵ f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f (0)<0， f (0.5)>0，则 f ( x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次考证时需考证 f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)7．分析：令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数 f ( x)的零点为x＝1，于是抛物线y2a>0＝ ax 的焦点的坐标是(1,0) ，即1，解得a＝4.4a＝1答案：48．分析：∵f(1 .438)· f(1.406 5)＜0，且|1.438－1.406 5|＝0.031 5 ＜ 0.1 ，∴ f ( x)＝0的一个近似解为 1.4.答案： 1.49．分析：以下图，因为函数方程 f ( x)－ g( x)＝0根的个数，即函数8个交点．h( x)＝ f ( x)－ g( x)在区间[－5,5]内的零点的个数为f( x) 和g( x) 图像交点的个数，因此画出图像可知有答案：810．证明：令g(x)＝f(x)－x.11111∵g(0)＝4， g 2＝ f 2－2＝－8，1又函数 g ( x ) 在 0， 2 上连续，0， 1 0 0 ) 0∴存在 x ∈ 2 ，使 g ( x ) ＝0. 即 f ( x ＝ x .a ＝ 1a ＝ 10＝ c ＋b11 ．分析：(1)∵＝，∴，∴ b ＝－ 2，A B1c ＝ 2－ 1＝ b ＋ a∴ f ( x ) ＝ x 2－ 2x ＋2.又＝ 4 －4×2＝－ 4<0，因此 f ( x ) 没有零点．( 或因为 f ( x ) ＝( x － 1) 2＋1>0，因此 f ( x ) 没有零点． )(2) ∵f ( x ) 的对称轴 x ＝ 1，∴当 x ∈ [ － 1,2] 时， f ( x ) min ＝ f (1) ＝ 1， f ( x ) max ＝ f ( － 1) ＝ 5，∴ f ( x ) ∈ [1,5] ．(3) ∵f ( x ) 在 x ∈ [1 ， m ] 上为增函数，f1 ＝ 1 1＝ 1∴m ＝m ?2－2 ＋2＝，f m m m ∴ m ＝1 或 m ＝ 2， m ＝ 1 不建立，则 m ＝ 2.B 级log x ， x >0，21． C函数 f (x )＝－ x 2－4x ， x ≤0的图像及函数f ( x ) ＝－ x 2－ 4x ( x ≤0) 的图像对于原点对称的图像如图所示，则 A ， B 两点对于原点的对称点必定在函数f ( x ) ＝－ x 2－ 4x ( x ≤0) 的图像上，故函数 f ( x ) 的“友善点对”有 2 对，选 C.2．分析：当 a ＝ 0 时，则 f ( x ) ＝－ x － 1，易知函数只有一个零点．1当 a ≠0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即＝ 1＋4a ＝ 0，∴ a ＝－ 4，1 综上，当 a ＝ 0 或 a ＝－时，函数只有一个零点．41答案： a | a ＝ 0或－ 43．分析：(1) “对于随意的 a ∈ R( R 为实数集 ) ，方程 f ( x ) ＝ 1 必有实数根”是真命题．依题意： f ( x ) ＝1 有实根，即 x 2＋ (2 a － 1) x －2a ＝ 0 有实根，∵ ＝(2 a － 1) 2＋ 8a ＝ (2 a ＋ 1) 2≥0对于随意的 a ∈ R( R 为实数集 ) 恒建立，即 x 2＋ (2 a － 1) x － 2a ＝0 必有实根，进而 f ( x ) ＝ 1 必有实根．(2 ) 依题意：要使y＝f ( x) 在区间 ( － 1,0)及 0，1内各有一个零点，2f－1 >03－ 4a>0f0 <01－2 <0 1 3只要1即，解得2<a<4.3f2>04－ a>0。

高考数学总复习课时作业55曲线与方程理北师大版

A 级1．已知两点M( －2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，知足→→→ →| MN|·|MP|＋MN· NP＝ 0，则动点P( x，y) 的轨迹方程为 ()A．y2＝ 8x B．y2＝－ 8xC．y2＝ 4x D．y2＝－ 4x2．方程 ( x2＋y2－ 4)x＋ y＋1＝0的曲线形状是 ()3．已知点P 在定圆 O的圆内或圆周上，动圆C过点 P 与定圆 O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是 ()A．圆或椭圆或双曲线B．两条射线或圆或抛物线C．两条射线或圆或椭圆D．椭圆或双曲线或抛物线4．设点A为圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1上的动点， PA是圆的切线，且| PA|＝1，则 P 点的轨迹方程为 ()A．y2＝ 2x B． ( x－ 1) 2＋y2＝ 4C．y2＝－ 2x D． ( x－ 1) 2＋y2＝ 25．长为 3 的线段的端点，B 分别在x轴、y轴上挪动，→＝ 2→，则点C的轨迹AB A AC CB是 ()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线0，y→→6．平面上有三点A( －2，y) ，B2， C( x， y)，若 AB ⊥B C，则动点 C 的轨迹方程为 ________．7．已知△ABC的周长为6，A( － 1,0)， B(1,0)，则极点 C的轨迹方程为________．8．已知定点A(2,0) ，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是________．9．已知⊙O 的方程是x2＋y2－ 2＝0，⊙′的方程2＋y2－ 8 ＋10＝ 0，由动点P向⊙OO x x和⊙ O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．10．已知点A( － 1,0)， B(2,4)，△ ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．→→11．已知点A(－2,0)， B(2,0)，曲线C上的动点P知足 AP· BP＝－3，(1)求曲线 C的方程；(2) 若过定点M(0，－2)的直线 l 与曲线 C有交点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．B 级1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)， B(－1,3)，若点 C→→→知足 OC＝λOA＋λ OB( O12为原点 ) ，此中λ，λ ∈R，且λ ＋λ ＝1，则点C的轨迹是()1212A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线2．(2011 ·北京卷 ) 曲线C 是平面内与两个定点1(－1,0)和2(1,0)的距离的积等于常F F数a2(a＞1)的点的轨迹．给出以下三个结论：①曲线 C过坐标原点；②曲线 C对于坐标原点对称；③若点P 在曲线C上，则△12 的面积不大于12.F PF2a此中全部正确的结论的序号是________．3．(2012 ·山西省考前适应性训练) 已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点 F1， F2在 y 轴上，它的一个极点为(2，0) ，且中心到直线AF的距离为焦距的1的直线，过点 (2,0)14l 与椭圆交于不一样的两点，，点N在线段上．P Q PQ(1)求椭圆的标准方程；(2)设| PM|·|NQ|＝ | PN| ·|MQ| ，求动点N的轨迹方程．详解答案课时作业 ( 五十五 )A级1．B |→| ＝ 4，|→| ＝x＋ 22＋2，→·→＝4(x－2) ，MN MP y MN NP∴ 4x＋22＋ y2＋4( x－2)＝0，∴ y2＝－8x.2． C由题意可得x2＋ y2－4＝0，或 x＋ y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆 x2x＋y＋1≥0，＋ y2－4＝0在直线 x＋ y＋1＝0右上方的部分．3．C当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆 O内切或外切， O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；当点 P 在定圆 O内时(非圆心)，| OC|＋| PC|＝ r 0为定值，轨迹为椭圆；当 P与 O重合时，圆心轨迹为圆．4． D如图，设 P ( x ，y ) ，圆心为 M (1,0) ．连结 MA ，则 MA ⊥PA ，且 | MA |＝ 1，又∵ | PA | ＝ 1， ∴| PM |＝ | MA |2＋| PA | 2＝ 2，即 | PM |2＝2，∴ ( x －1) 2＋ y 2＝ 2.5． C 设 C ( x ，y ) ， A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ，则 a 2＋ b 2＝ 9，①又 →＝ 2→ ，因此 (x －， ) ＝2( －， b － ) ，ACCB a yx y＝ 3 x ，a即3 ② b ＝ 2y ，2y 2把②代入①式整理可得 x ＋ 4 ＝ 1. 应选 C.→y →y6．分析：AB ＝ 2，－2 ， B C ＝ x ， 2 .→→→ → y y2∵ AB ⊥ B C ，∴ AB ·BC ＝0，得 2·x － 2·2＝ 0. 得 y ＝ 8x .答案：y 2＝ 8x7．分析： ∵A ( － 1,0) ， B (1,0) ，∴ | AB | ＝ 2，又∵△ ABC 的周长为 6，∴ | CA | ＋| CB | ＝ 4>2，∴ C 点的轨迹是以 A ， B 为焦点的椭圆 ( 去掉左、右极点 ) ．22∵ 2a ＝4， c ＝ 1，∴ b ＝ a － c ＝ 3.x 2 y 2∴轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝ 1( x ≠± 2) ．答案：x 2＋ y 2＝ 1( x ≠± 2)438．分析：设 ( 1，1)， ( ， ) ，则y 12＝ 1，①P xy M x yxx 1＋ 2x ＝ 2x 1＝ 2x － 2又 M 为 AP 中点，∴，即，y1y 1＝ 2y ＝ 2代入①得答案：221(2 y ) ＝ 2x － 2，即 y ＝ 2( x －1) ．21y ＝ 2( x － 1)9．分析：由⊙ O ： x 2＋y 2＝ 2，⊙ O ′： ( x － 4) 2＋ y 2＝ 6 知两圆相离，而 2＝2－ 2，2＝ ′ 2－6，PTPO PQ PO22－6，设 P ( x ， y ) ，∴ PO － 2＝ PO ′222 23即得 x ＋ y － 2＝ ( x － 4) ＋ y －6，即 x ＝2.答案： 3x ＝2222010．分析： ∵AB ＝ 3 ＋4 ＝ 5，∴ AB 边上高 h ＝ 5 ＝4.故 C 的轨迹是与直线 AB 距离等于 4 的两条平行线．∵ k AB ＝ 4，3的方程为 4 － 3 y ＋ 4＝0，可设轨迹方程为 4 x－ 3 ＋＝ 0.ABx y c由| c －4|＝ 4 得 c ＝ 24 或 c ＝－ 16，5故动点 C 的轨迹方程为： 4x － 3y － 16＝ 0 或 4x － 3y ＋ 24＝ 0.11．分析：(1) 设 P ( x ， y ) ，→ → 2 2由 AP ·BP ＝ ( x ＋2， y ) ·(x － 2， y ) ＝x － 4＋ y ＝－ 3，得 P 点轨迹 ( 即曲线 C ) 的方程为 x 2＋y 2 ＝1，即曲线 C 是圆．(2) 可设直线 l 方程为 y ＝ kx － 2，其一般方程为： kx － y － 2＝0，由直线l 与曲线 C 有交点，得 |0 －0－ 2|k ≤－ 3或 k ≥ 3，≤1，解得k 2＋ 1即所求 k 的取值范围是 ( －∞，－3] ∪[ 3，＋∞ ) ．B 级1． A 设( ， y ) ，则 →＝ ( x ， y )，→＝(3,1) ， → ＝( － 1,3) ，C xOC OAOB→→→x ＝ 3λ 1－ λ2∵ OC ＝λ1OA ＋ λ2OB ，∴，又 λ1＋ λ 2＝ 1，y ＝λ1＋ 3λ2∴ x ＋2 y － 5＝ 0，表示一条直线．2．分析：设 ( ， y ) 为曲线C 上随意一点，A x122则由 | AF | ·|AF | ＝a ，得C ： x ＋ 1 2＋ y 2· x － 12＋y 2＝ a 2，把 (0,0) 代入方程可得 1＝ a 2，与 a ＞ 1 矛盾，故①不正确；当 M ( x ， y ) 在曲线 C 上时，点 M 对于原点的对称点 M ′( － x ，－ y ) 也知足方程，故曲线C 对于原点对称，故②正确；1 S △ F 1PF 2＝ | PF 1|| PF 2|sin ∠ F 1PF 221＝2a2sin 答案：1∠F1PF2≤2a2，故③正确．②③y2x23．分析：(1) 设椭圆的标准方程是a2＋b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个极点是A( 2 ，0) ，故b2＝2.1π1b2依据题意得，∠ AFO＝6，sin∠ AFO＝a，即 a＝2b， a ＝8，因此椭圆的标准方程是y2＋ x2＝1.82(2) 设P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ，N( x，y) ，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝ (－2) ．k x直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：( k2＋ 4) x2－ 4k2x＋ 4k2－ 8＝ 0.由＝16k 4－ 4(k2＋ 4)(4k2－ 8)>0 ，得－ 2< <2.k依据根与系数的关系得x1＋x2＝4k22，4k2－ 84＋kx x4＋k又 | PM|·|NQ| ＝| PN| ·|MQ|，即 (2 －x1)( x2－x) ＝ ( x－x1)(2 －x2) ．解得 x＝1，代入直线 l 的方程得 y＝－ k， y∈(－2,2)．因此动点 N的轨迹方程为 x＝1，y∈(－2,2)．。

2019大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：11 函数与方程

课时作业提升(十一)　函数与方程A 组　夯实基础1．(2018·皖北四校联考)已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( )A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个解析：选B 依题意， f (2)＞0，f (3)＜0，f (4)＞0，f (5)＜0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．2．(2018·汕头检测)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝－x 3解析：选B y ＝log 2x 在(－1,0]上没有意义，故A 不满足题意；y ＝x 2－2在(－1,0)上单调递减，故C 不满足题意；y ＝－x 3在(－1,1)上单调递减，故D 不满足题意；因为y ＝2x －1在(－1,1)上单调递增，f (－1)<0，f (1)>0，所以在(－1,1)内存在零点，故选B ．3．(2018·潍坊月考)若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f (0)符(1，32)号相同的是( )A ．f (4)B ．f (2)C ． f (1)D ．f (32)解析：选C 由题意得f (x )的零点在内，∴f (0)与f (1)符号相同，故选C ．(1，32)4．函数f (x )＝2x －－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )2x A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)＜0，即(2－2－a )·(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.5．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B (数形结合法)∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图像如图，∴y ＝|x 2－2x |的图像与y ＝a 2＋1的图像总有两个交点．6．(2018·大连月考)已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选D 令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝，满足题意，可排除选项A ，B ．令m ＝1，13由f (x )＝0得x ＝1，满足题意，排除选项C ．7．(2018·天津月考)已知函数f (x )＝Error!g (x )＝Error!则函数f (g (x ))的所有零点之和是( )A ．－＋B ．＋123123C ．－1＋D ．1＋3232解析：选B 由f (x )＝0得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2得x ＝1＋，由g (x )＝－2得3x ＝－，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－＋1＋＝＋，故选B ．121231238．已知函数f (x )＝＋a 的零点为1，则实数a 的值为______．23x ＋1解析：由已知得f (1)＝0，即＋a ＝0，解得a ＝－.231＋112答案：－129．(2018·吉林模拟)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.解析：求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2<ln e ＝1，所以f (2)<0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3>1，所以f (3)> 0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.答案：210．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是__________．解析：令g (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，h (x )＝x ＋a ，分0＜a ＜1，a ＞1两种情况．在同一坐标系中画出两个函数的图像，如图，若函数f (x )＝a x －x －a 有两个不同的零点，则函数g (x )，h (x )的图像有两个不同的交点．根据画出的图像只有当a ＞1时符合题目要求．答案：(1，＋∞)11．(2016· 连云港模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋3，x ∈(0,3]．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的值域；(2)如果函数f (x )在定义域内有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，x ∈(0,3]．所以f (x )的最小值是f (1)＝2，最大值为f (3)＝6，所以函数f (x )的值域为[2,6]．(2)函数f (x )在定义域内有零点即方程ax 2－2x ＋3＝0在x ∈(0,3]上有实根．等价于求函数a ＝在x ∈(0,3]上的值域，2x －3x 2令h (x )＝，则h (x )＝＝－32＋2，x ∈(0,3]．2x －3x 22x －3x 2(1x )(1x )令＝t ∈，则g (t )＝－3t 2＋2t ＝－32＋，1x [13，＋∞)(t －13)13当t ＝时，g (t )有最大值，所以a ≤.13131312．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解：∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.①若Δ＝0，即m 2－4＝0，当m ＝－2时，t ＝1；当m ＝2时，t ＝－1不合题意，舍去．∴2x ＝1，x ＝0符合题意．②若Δ>0，即m >2或m <－2，t 2＋mt ＋1＝0有一正一负两根，即t 1t 2<0，这与t 1t 2>0矛盾．∴这种情况不可能．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.B 组　能力提升1．(2018·安阳模拟)已知函数f (x )＝x －log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且(12)0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A 注意到函数f (x )＝x －log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，因此当0＜x 1＜x 0(12)时，有f (x 1)＞f (x 0)．又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)＞0，即此时f (x 1)的值恒为正值，选A ．2．(2018·兰州月考)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．3．(2018·泰安模拟)已知函数f (x )＝Error!其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选B 由f (f (x ))＝0得f (x )＝1，作出函数f (x )的图像，如图所示，当a <0,0<a <1时，直线y ＝1与函数f (x )的图像有且只有一个交点，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)，故选B．4．若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图像有两个交点．g ′(x )＝lnx ＋1，令g ′(x )<0，即lnx <－1，可解得0<x <；令g ′(x )>0，即ln1e x >－1，可解得x >，所以，当0 <x <时，函数g (x )单调递减；当x >时，函数g (x )单调递1e 1e 1e 增，由此可知当x ＝时，g (x )min ＝－.在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，1e 1e 据图可得－<a <0.1e答案：－<a <01e 5．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝－4ln x 的零点个数．f (x )x 解：(1)因为f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，所以f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.所以f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)因为g (x )＝－4ln x ＝x －－4ln x －2(x >0)，x 2－2x －3x 3x 所以g ′(x )＝1＋－＝.3x 24x (x －1)(x －3)x 2令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：x (0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g ′(x )＋0－0＋g (x )极大值极小值当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0.又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＝e 3－－14＞0，因而g (x )在3e3(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．。

高考数学一轮复习 2-8函数与方程课时作业文北师大版

第8讲函数与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、选择题 1．(2014·青岛统一检测)函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析因为函数y ＝2x ，y ＝x3在R 上均为增函数，故函数f(x)＝2x ＋x3－2在R 上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0，2)内只有一个零点，故选B. 答案 B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图像交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图像交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x ＋1)－1x 的零点，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 3－12＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．答案 B 3．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间 ( ) A ．(a ，b)和(b ，c)内 B ．(－∞，a)和(a ，b)内 C ．(b ，c)和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a)和(c ，＋∞)内解析依题意，注意到f(a)＝(a －b)(a －c)＞0，f(b)＝(b －c)·(b －a)＜0，f(c)＝(c －b)(c －a)＞0，因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a ，b)和(b ，c)内，故选A. 答案 A 4．(2014·南昌统考)若函数f(x)＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－1，15D ．(－∞，－1)解析当a ＝0时，f(x)＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.答案 B5．已知函数f(x)＝x ＋2x ，g(x)＝x ＋ln x ，h(x)＝x －x －1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是 ( ) A ．x2＜x1＜x3 B ．x1＜x2＜x3 C ．x1＜x3＜x2 D ．x3＜x2＜x1解析依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x1＜0＜x2＜1＜x3. 答案 B 二、填空题 6．(2015·淄博期末)函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．解析函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图像的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图像，如图，由图可知函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2. 答案 27．函数f(x)＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N)内，则n ＝________．解析求函数f(x)＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2. 答案 28．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x2－2x ，x ≤0，若函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析画出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x2－2x ，x ≤0的图像，如图．由函数g(x)＝f(x)－m 有3个零点，结合图像得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)．答案 (0，1) 三、解答题9．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．解法一 (换元法)设t ＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f(t)＝t2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t1，t2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a2－4（a ＋1）≥0，t1＋t2＝－a>0，t1·t2＝a ＋1>0，解得－1<a≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a ＋1<0，解得a<－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意．综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x(t>0)，则a ＝－t2＋1t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎡⎦⎤（t ＋1）＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a≤2－2 2.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．10．已知关于x 的二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围．解由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.即－56<m<－12. 故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12. 能力提升题组(建议用时：25分钟) 11．(2014·合肥检测)若函数f(x)＝ax2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为 ( ) A ．0B ．－14C ．0或－14D ．2解析当a ＝0时，函数f(x)＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．答案 C 12．(2014·洛阳统一考试)已知方程|x2－a|－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，4) B ．(4，＋∞) C ．(0，2) D ．(2，＋∞)解析依题意，知方程|x2－a|＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x2－a|的图像与函数y ＝x －2的图像有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4，选B.答案 B 13．(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝|x2－2x ＋12|.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f(x)，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图像有10个不同交点，在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图像如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1214．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x 的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x ≤3，x ∈R}． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f （x ）x－4ln x 的零点个数．解 (1)∵f(x)是二次函数，且关于x 的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x ∈R}， ∴f(x)＝a(x ＋1)(x －3)＝ax2－2ax －3a ，且a>0. ∴f(x)min ＝f(1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x －3.(2)∵g(x)＝x2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x>0)，∴g ′(x)＝1＋3x2－4x ＝（x －1）（x －3）x2.令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x 变化时，g ′(x)，g(x)的取值变化情况如下：当又因为g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点．。

高考数学一轮复习课时训练：函数与方程北师大

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()．解析图A没有零点，因此不能用二分法求零点．图B与图D中均为不变号零点，不能用二分法求零点；故只有C图可用二分法求零点．答案 C2．(2012·安康模拟)函数f(x)＝sin x－x零点的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x－x的零点是唯一的．答案 B3．(★)方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析(数形结合法)∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．答案 B【点评】本题采用数形结合法解题，画出对应函数的图象，观察函数的交点情况确定解的个数.4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析由于函数f (x )是连续的，故只需两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，只需f (－1)f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)．答案 A5．(2010·天津)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )． A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析 f (x )＝2x ＋3x 在R 上为增函数，且f (－1)＝2－1－3＝－52，f (0)＝1，则f (x )＝2x ＋3x 在(－1,0)上有唯一的一个零点．答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·西安五校联考)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．解析当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx 2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0. 答案 (－∞，0]∪{1}7．函数f (x )＝2－x ＋x 2－3的零点个数是________．解析令2－x ＋x 2－3＝0，即2－x ＝3－x 2，在同一坐标系中作出y＝2－x与y＝3－x2的图象如图所示，因此f(x)＝2－x＋x2－3有两个零点．答案 28．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2ag(x)＝－2ax2－ax＝－2ax⎝ ⎛⎭⎪⎫x＋12则g(x)的零点是x＝0，x＝－12.答案0，－12三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·桂林五校联考)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．解设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝1＞0，则应有f(2)≤0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m≤－32.②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥00＜－m－12＜2f(2)≥0，，∴⎩⎨⎧(m－1)2－4≥0，－3＜m＜1，4＋(m－1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.10．(12分)(2012·重庆模拟)对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0) (1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R )恒成立．于是Δ′＝(4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1.B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(★)方程x 2＋2x －1＝0的解可视为函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝1x 的图象交点的横坐标，若x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是( )． A ．R B ．∅C ．(－6,6)D ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)解析 (转化法)方程的根显然x ≠0，原方程等价于x 3＋a ＝4x ，原方程的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标；而曲线y ＝x 3＋a 是由曲线y ＝x 3向上或向下平移|a |个单位而得到的．若交点⎝ ⎛⎭⎪⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，因直线y ＝x 与y ＝4x 交点为：(－2，－2)，(2,2)；所以结合图象可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，x 3＋a ＞－2，x ≥－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，x 3＋a ＜2，x ≤2，⇒a ∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D. 答案 D【点评】转化法能够在一定程度上简化解题过程.2．(2012·东北三校联考)已知函数f (x )＝x e x －ax －1，则关于f (x )零点叙述正确的是( )．A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点B ．函数f (x )必有一个零点是正数C ．当a ＜0时，函数f (x )有两个零点D ．当a ＞0时，函数f (x )只有一个零点解析 f (x )＝0⇔e x ＝a ＋1x在同一坐标系中作出y ＝e x与y ＝1x 的图象，可观察出A、C、D选项错误，选项B正确．答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·辽宁)已知函数f(x)＝e x－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析由原函数有零点，可将问题转化为方程e x－2x＋a＝0有解问题，即方程a ＝2x－e x有解．令函数g(x)＝2x－e x，则g′(x)＝2－e x，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a ∈(－∞，2ln 2－2]．答案(－∞，2ln 2－2]4．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解析设至少需要计算n次，由题意知1.5－1.42n＜0.001，即2n＞100，由26＝64,27＝128知n＝7.答案7三、解答题(共22分)5．(★)(10分)(2012·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．思路分析由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．解∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.【点评】方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．6．(12分)(2012·汉中模拟)(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②法一设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.由题意，在⎩⎨⎧Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＞0(x 1＋1)(x 2＋1)＞0(x 1＋1)＋(x 2＋1)＞0⇔⎩⎨⎧m 2－3m －4＞03m ＋4－2m ＋1＞0－2m ＋2＞0⇔⎩⎨⎧m ＞4或m ＜－1，m ＞－5，m ＜1，∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．法二由题意，知⎩⎨⎧Δ＞0，－m ＞－1，f (－1)＞0，即⎩⎨⎧m 2－3m －4＞0，m ＜1，1－2m ＋3m ＋4＞0.∴－5＜m ＜－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)． (2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，即|4x－x2|＝－a.令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的图象．由图象可知，当0＜－a＜4，即－4＜a＜0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．。

新教材老高考适用2024高考数学一轮总复习课时规范练13函数与方程北师大版

课时规范练13 函数与方程基础巩固组1.(2024陕西西安高三月考)函数f (x )=xx 2-1−12的零点的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.42.(2024山东威海高三期中)已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数,若函数h (x )=[x ]-1,函数f (x )=2x -ln x 的零点是x 0,则h (x 0)=( )A.1B.2C.3D.43.(2024湖北武汉高三期中)若函数f (x )={√x -a,x ≥1,ln(1-x),x <1有两个零点,则实数a 的取值范围是 ( )A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,1]4.(2024山东潍坊高三期末)若函数g (x )=x 2,h (x )=4x-ln |x-2|,则函数f (x )=g (x )-h (x )的全部零点之和等于( ) A.0 B.2 C.4D.85.(2024山东潍坊二模)关于函数f (x )={2x -a,0≤x <2,b -x,x ≥2,其中a ,b ∈R ,给出下列四个结论:甲:6是该函数的零点; 乙:4是该函数的零点; 丙:该函数的零点之积为0; 丁:方程f (x )=52有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误,则错误结论是 ( )A.甲B.乙C.丙D.丁6.已知函数f (x )=2x+x-2的零点为a ,函数g (x )=log 2x+x-2的零点为b ,则下列说法不正确的是( ) A.a+b=2B.2a+log 2b=2 C.a 2+b 2>3D.0<ab<17.(2024广东汕头高三月考)已知函数f (x )=2lg x+x-4的零点在区间(k ,k+1),k ∈Z 上,则实数k= .综合提升组8.(2024山东东营高三期中)已知函数f (x )=ax 2+bx+1,有下列四个说法:p 1:x=12是f (x )的零点;p 2:x=2是f (x )的零点;p 3:f (x )的两个零点之和为1;p 4:f (x )有两个异号零点,若只有一个说法错误,则该说法是( ) A.p 1B.p 2C.p 3D.p 49.(2024湖南师大附中高三期末)已知函数f (x )={lnx,x ≥1,-ln(2-x),x <1,则方程(x-1)f (x )=1的全部实数根之和为( ) A.2B.3C.4D.110.(2024山东烟台高三二模)已知函数f (x )是定义在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )={2|x -1|,0<x ≤2,f(x -2)-1,x >2,则方程f (x )+18x 2=2根的个数为( )A.3B.4C.5D.611.(2024北京通州高三一模)已知函数f (x )={x 2+2x,x ≤t,lnx,x >t(t>0)有2个零点,且过点(e,1),则常数t 的一个取值为 .12.(2024浙江绍兴高三月考)已知函数f (x )={2x +12,-6≤x <-4,(x +2)2,-4≤x ≤0,若其图象上存在互异的三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),使得y 1x 1=y 2x 2=y3x 3=k ,则实数k 的取值范围是 .创新应用组13.(2024福建厦门第三次质检)已知函数f (x )=x 2-x-a sin πx+1有且仅有一个零点,则实数a=( )A.12B.34C.43D.214.已知函数f (x )={|lnx|,x >0,-x 2+1,x ≤0,若方程f (x )=a 有三个不同的实数根x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,则下列选项错误的是( ) A.0<a ≤1 B.-1<x 1≤0 C.x 2x 3=eD.ax 1x 2x 3的取值范围是-2√39,0课时规范练13 函数与方程1.B 解析:令函数f (x )=x x 2-1−12=0,即x 2-2x-1=0,解得x=1±√2,经检验x=1±√2都是方程f (x )=0的解,f (x )有两个零点,故选B .2.A 解析:因为f (2)=1-ln2>0,f (3)=23-ln3<0,所以x 0∈(2,3),所以h (x 0)=[x 0]-1=1,故选A . 3.A 解析:当x<1时,f (x )=ln(1-x )有一个零点0,因此当x>1时,函数有另一个零点,所以a=√x ≥1,即实数a 的取值范围是[1,+∞).4.C 解析:由f (x )=x 2-(4x-ln |x-2|)=0得ln |x-2|=-x 2+4x ,画出y=ln |x-2|,y=-x 2+4x 两个函数的图象(如图),由图可知,两个函数图象都关于直线x=2对称,故交点横坐标之和为4,即f (x )的全部零点之和等于4.5.B 解析:若甲是错误的结论,则由乙正确可得b=4,由丙正确得a=1,此时丁不正确,不符合题意;若乙是错误的结论,则由甲正确可得b=6,由丙正确得a=1,此时丁也正确,符合题意;若丙、丁是错误的结论,则甲和乙不行能同时正确,不符合题意,故选B .6.C 解析:由f (x )=0,g (x )=0得2x=2-x ,log 2x=2-x ,函数y=2x与y=log 2x 互为反函数,在同一坐标系中分别作出函数y=2x,y=log 2x ,y=2-x 的图象,如图所示,则A (a ,2a),B (b ,log 2b ).由反函数的性质知A ,B 关于点(1,1)对称,则a+b=2,2a+log 2b=2.因为a>0,b>0,且a ≠b ,所以0<ab<a+b 22=1,故A,B,D 正确.因为f (x )=2x +x-2在R 上单调递增,且f12=√2−32<0,f (1)=1>0,所以12<a<1.因为a 2+b 2=a 2+(2-a )2=2(a-1)2+212<a<1,所以a 2+b 2∈2,52,故C 不正确,故选C .7.3 解析:由题意有函数f (x )=2lg x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又因为f (3)=2lg3+3-4=2lg3-1=lg9-1<0,f (4)=2lg4+4-4=2lg4>0,即f (3)f (4)<0,则函数f (x )=2lg x+x-4的零点在区间(3,4)上,即k=3.8.A 解析:由题意,若p 1,p 2正确,则p 3,p 4均错误,不合题意,故p 1,p 2中必有一个错误.若p 1错误,p 2,p 3正确,则f (x )的另一个零点为x=-1,此时p 4正确,符合题意;若p 2错误,p 1,p 3正确,则f (x )的另一个零点为x=12,此时p 4错误,不符合题意,故选A . 9.A 解析:当x>1时,2-x<1,所以f (2-x )=-ln[2-(2-x )]=-ln x=-f (x ),当x<1时,2-x>1,所以f (2-x )=ln(2-x )=-f (x ),当x=1时,f (1)=0,所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称.明显x=1不是方程的根,当x≠1时,原方程可变为f (x )=1x -1,画出函数y=f (x )和y=1x -1的图象(如图),由图知,二者仅有两个交点,设为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为函数y=f (x )和y=1x -1的图象都关于点(1,0)对称,所以A ,B 关于点(1,0)对称,所以x 1+x 22=1,即x 1+x 2=2,故选A .10.D 解析:要求方程f (x )+18x 2=2根的个数,即为求函数f (x )的图象与函数y=2-x 28的图象的交点个数,当x ∈(0,+∞)时图象如下:由图知在区间(0,+∞)上有3个交点,又因为f (x )和函数y=2-x 28在(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,所以在(-∞,0)上也有3个交点,故一共有6个交点,故选D .11.2(答案不唯一) 解析:由x 2+2x=0可得x=0或x=-2,由ln x=0可得x=1,因为函数f (x )={x 2+2x,x ≤t,lnx,x >t(t>0)有2个零点,且过点(e,1),所以e >t ≥1,即常数t 的取值范围是[1,e).12.(-1,0) 解析:画出函数f (x )的图象如图,由题意得函数图象上存在互异的三个点,且y 1x 1=y 2x 2=y 3x 3=k ,则可看作函数y=kx 与函数f (x )的图象有三个不同的交点,由图知,当k=-1或k=0时,有且仅有两个交点,要使两个函数图象有三个不同的交点,则k 的取值范围为(-1,0).13.B 解析:依题意,方程x 2-x-a sin πx+1=0有且仅有一个实数根,令g (x )=x 2-x+1,h (x )=a sin πx ,所以函数g (x ),h (x )的图象有且仅有一个交点.明显a ≤0不合题意,当a>0时,函数g (x ),h (x )在x=12处分别取得最小值34和最大值a ,由图象(图略)易知a=34.14.C 解析:作出函数y=a 与函数y=f (x )的图象如图所示:对于A 选项,由图可知,当0<a ≤1时,方程f (x )=a 有三个不同的实数根,选项A 正确;对于B 选项,由图可知,x 1≤0,由f (x 1)=-x 12+1∈(0,1],解得-1<x 1<1,此时-1<x 1≤0,选项B 正确;对于C 选项,当0<x<1时,f (x )=|ln x|=-ln x ;当x>1时,f (x )=|ln x|=ln x ,由图可知,0<x 2<1<x 3,由f (x 2)=f (x 3)得-ln x 2=ln x 3,即ln x 2+ln x 3=0,所以x 2x 3=1,选项C 错误;对于D 选项,因为x 2x 3=1,所以ax 1x 2x 3=ax 1=(-x 12+1)x 1,且-1<x 1≤0,记h (x )=(-x 2+1)x ,-1<x ≤0,则h'(x )=-3x 2+1,令h'(x )=-3x 2+1=0,得x=-√33x=√33舍去,所以当-1<x<-√33时,h'(x )<0,当-√33<x ≤0时,h'(x )>0,所以h (x )的微小值也是最小值,h (x )min =h -√33=-2√39,因为h (-1)=0,h (0)=0,所以ax 1x 2x 3的取值范围是-2√39,0,选项D 正确,故选C .。