平行线的证明 培优专题过关测试题二

八年级数学上册第七章平行线的证明培优专题训练二

1.我们知道：“在三角形的每个顶角处各取一个外角，它们的和就是这个三角形的外角

和”。

（1）猜想三角形的外角和是多少度？证明你的结论。

（2）如果将三角形三条边都向两边延长，并且在每条线上任取两点连接起来，那么在原三角形外又得到三个新三角形，如图所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？并用（1）的结论证明你的猜想。

解：（1）360°

证明：∵∠AMN+∠NMS=180°，∠DNS+∠MNS=180°，∠ESM+∠MSN=180°，∠NMS+∠MNS+∠MSN=180°

∴∠AMN+∠DNS+∠ESM =

（180°-∠NMS）+（180°-∠MNS）+（180°-∠MSN）

=180°×3-（∠NMS+∠MNS+∠MSN）=180°×3-180°=360°

（2）360°

证明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AMN+∠DNS+∠ESM=360°

（1） (2)

2.如图所示，∠xOy=90°，点A、B分别在坐标轴Ox、Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，

BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点C 。试问：∠ACB 的大小是否随A 、B 的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随A 、B 的移动发生变化，请给出变化范围。 解：∠C 的大小保持不变．理由：

∵∠ABY=90°+∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ，

∴∠ABE=12∠ABY=12（90°+∠OAB ）=45°+12∠OAB ，

即∠ABE=45°+∠CAB ，

又∵∠ABE=∠C+∠CAB ，

∴∠C=45°，

故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°． 3.如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方，其中∠OMN=30°。

（1）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，求∠CON 的度数；150°

（2）将图1中的三角尺绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 9秒，27秒 秒时，边MN 恰好与射线OC 平行；在第 12秒，30秒 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC 。（直接写出结果）；

（3）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．∠AOM-∠NOC=30°

解：（1）∵∠AOC=60° ∴∠BOC=120°

又∵OM 平分∠BOC, ∠COM=∠BOC=60°

∴∠CON=∠COM+90°=150°

（2）①当直线ON与OA重合时，MN恰好与射线OC平行∴∠AOM=90°

由题意得10t=90°，∴t=9

∵∠ONM=60°

∴当∠COM=30°时，MN恰好与射线OC平行

∴∠NOM=270°

由题意得10t=270°，∴t=27

∴t=9或27

②延长NO, ∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°

当直线ON恰好平分锐角∠AOC，∠AOD=∠COD=30°

即顺时针旋转360°时NO延长线平分∠AOC

由题意得10t=300°，t=30

当NO平分∠AOC时，∠NOR=30°

即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC

∴10t=120°，∴t=12

∴t=30或12

（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°

∴∠AOM=90°-∠AOC, ∠NOC=60°-∠AON

∴∠AOM-∠NOC=(90°-∠AOC)-( 60°-∠AON)=30°

∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系∠AOM-∠NOC=30°

4.已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B.

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的关系；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；

（1）∠A+∠C=90°（2）提示：延长DB交NC于点E

5.已知△ABC,A,B,D三点在一条直线上，过点D作DE//BC交∠ABC的平分线于点E. （1）如图①，当点E恰好在△ABC的AC边上时，求证：∠ADE=2∠DEB ;

（2）如图②，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的关系。

①②

证明：（1）∵DE//BC，∴∠ADE=∠ABC,∠DEB=∠EBC

∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠EBC

∴∠ABE=∠EBC=∠DEB

∴∠ADE=2∠DEB

(2)∠ADE+2∠DEB=180°

6.已知：△ABC 中，∠C >∠B,AE 平分∠BAC.

（1）如图1，AD ⊥BC 于D ，若∠C ＝70°，∠B ＝40°，求∠DAE 的度数；

（2）若△ABC 中，∠B=α，∠C=β（α<β），请根据第一问的结果，大胆猜想 想∠EAD 与α，β之间的数量关系（不必说明理由）；

（3）如图②，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，F 为AE 延长线上一点，过F 作FG ⊥BC 于点G ，∠C ＝80°，∠B ＝40°，请你运用（2）中的结论，求

∠EFG 的度数。

分析：（1）由三角形内角和定理可求得∠BAC 的度数，在Rt △ADC 中，可求得∠DAC 的度数，AE 是角平分线，有∠EAC=12∠BAC ，故∠EAD=∠EAC-∠DAC ；

（2）推出AD ∥FG ，根据平行线性质得出∠EFG=∠DAE ，代入即可．

（3）推出AD ∥FG ，根据平行线性质得出∠EFG=∠DAE ，代入即可．

试题解析：（1）∵在△ABC 中，AE 是∠BAC 的平分线，且∠B=30°，∠C=70°， ∴∠BAE=∠EAC=12（180°-∠B-∠C ）=12（180°-30°-70°）=40°．

在△ACD 中，∠ADC=90°，∠C=70°，

∴∠DAC=90°-70°=20°，

∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°．

（2）∵∠B=40°，∠C=80°，