湘南学院常微分方程习题9
常微分方程练习题
一、单项选题
１．微分方程 的阶数是（）．
A.１Ｂ.2C. 3 D．4
2.克莱罗方程的一般形式是()．
A. B.
C. D.
３.Liｐｓｃhitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件．
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 阶齐次线性常微分方程的任意 个解必定(）.
Ａ.可组成方程的一个基本解组Ｂ．线性相关
3．设 为某一常系数二阶非齐次方程的三个解,则此方程为.
4．方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．
５.与初值问题 等价的一阶方程组的初值问题为.
三、求下列一阶微分方程的通解.
1.
2.
3.
四、求下列高阶方程的通解.
1.
2．
五、求解微分方程组 的通解.
六、判定系统 的零解稳定性.
七、证明题.
1.设 在 上连续，且 ，求证:方程 的任意解 均有 .
4.方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是.
5.系统 的零解的是稳定的.
三、求下列一阶微分方程的通解.
１.
2.
3.
四、求下列高阶方程的通解.
1.
2.试用观察法求方程 的通解.
五、求解微分方程组 的通解.
六、判定系统 的零解稳定性.
七、证明题
1．设 在 上连续,且 ，求证:方程 的任意解 均有 .
2.假设 不是矩阵 的特征值，试证非齐线性方程组 ,有一解形如： ．其中 是常数向量．
C.朗斯基行列式不为0D.线性无关
5．用待定系数法求方程 的特解 时，下列特解的设法正确的是().
A. Ｂ.
C. Ｄ.
二、填空题.
1．当 时,微分方程 为伯努利方程.
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程(A)一、就是非题1.任意微分方程都有通解。
()2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3.函数y=3sin x-4cos x就是微分方程y''+y=0的解。
()4.函数y=x2⋅e x就是微分方程y''-2y'+y=0的解。
()5.微分方程xy'-ln x=0的通解就是y=12(ln x)2+C(C为任意常数)。
(6.y'=sin y就是一阶线性微分方程。
()7.y'=x3y3+xy不就是一阶线性微分方程。
()8.y''-2y'+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0。
()9.dydx=1+x+y2+xy2就是可分离变量的微分方程。
()二、填空题1.在横线上填上方程的名称①(y-3)⋅ln xdx-xdy=0就是。
②(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0就是。
③x dydx=y⋅lnyx就是。
④xy'=y+x2sin x就是。
⑤y''+y'-2y=0就是。
2.y'''+sin xy'-x=cos x的通解中应含个独立常数。
3.y''=e-2x的通解就是。
4.y''=sin2x-cos x的通解就是。
5.xy'''+2x2y'2+x3y=x4+1就是阶微分方程。
6.微分方程y⋅y''-(y')6=0就是阶微分方程。
7.y=1x所满足的微分方程就是。
)8.y '=9.2y的通解为。
x dx dy +=0的通解为。
y x5dy 2y 10.-=(x +1)2,其对应的齐次方程的通解为。
dx x +111.方程xy '-(1+x 2)y =0的通解为。
12.3阶微分方程y '''=x 3的通解为。
三、选择题1.微分方程xyy ''+x (y ')-y 4y '=0的阶数就是( )。
常微分方程自学练习题22页word
常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dxdy/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程0652=+-⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ).16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫⎝⎛的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t xu =∂∂， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-∂∂，T )(),(),(1t v t L u t L xuk =-∂∂，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。
《常微分方程》练习题库参考答案
《常微分⽅程》练习题库参考答案江苏师范⼤学数学教育专业《常微分⽅程》练习测试题库参考答案⼀、判断说明题1、在线性齐次⽅程通解公式中C 是任意常数⽽在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。
将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性⾮齐次⽅程求解问题，这⼀⽅法成功了，称为常数变易法。
2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx xx p(x))在p(x)连续的区间有意义，⽽exp(-dx xx p(x))＞0。
如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯⼀。
3、（1）它是常微分⽅程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为⼀元函数，所建⽴的等式是已知关系式。
（2）它是常微分⽅程，理由同上。
（3）它不是常微分⽅程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建⽴的等式不是已知关系式。
4、微分⽅程求解时，都与⼀定的积分运算相联系。
因此，把求解⼀个微分⽅程的过程称为⼀个微分⽅程。
微分⽅程的解⼜称为（⼀个）积分。
5、把微分⽅程的通解⽤初等函数或通过它们的积分来表达的⽅法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能⽤初等函数表⽰出来，我们也认为求解了这个微分⽅程，因为这个式⼦⾥没有未知函数的导数或微分。
6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中⼀个因式仅含有x,另⼀因式仅含y ，⽽⽅程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量⽅程的主要特征，就像f(x,y)⼀样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、⼆元函数f(x,y)满⾜f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。
m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次⽅程。
如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次⽅程。
常微分方程练习题word精品文档7页
常微分方程练习题班级： 学号： 姓名：第一二章一．填空题1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2．一阶微分方程是恰当方程的充分必要条件是________________。
3. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是__________________。
有只含y 的积分因子的充要条件是________________________。
4． 称为伯努利方程，它有积分因子 。
5. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为_____________________。
二.求一曲线，其切线在纵轴之截距等于切点的横坐标。
三.求出伯努利方程的积分因子。
四．求下列方程的通解。
1．33(1)0y x y ''--= 2.dxdy=312+++-y x y x 3． x(4ydx+2xdy)+y 3(3ydx+5xdy)=0 4．（y-1-xy ）dx+xdy=0 5．dxdy=y+sinx 6．(x 2y 3+xy)y '=17．(x 2-1)y '+y 2-2xy+1=08.32y x dx+4223yx y -dy=0 9. 0)(42=++dx y x y xdy 。
10.5d d xy y xy+= 五．证明题。
1．一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解 2．齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其解。
第三章一． 填空：1． 函数f(x,y)称为在矩形域R 上满足利普希兹条件，如果 2． 对毕卡逼近序列，()()≤--x x k k 1ϕϕ 。
3． 若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程()y x f dxdy,=的解()00,,y x x y ϕ=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围是 。
4． 微分方程的奇解是指__________________________。
常微分方程课后练习题含答案
常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。
•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。
综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。
c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。
假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。
轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。
将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。
由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。
常微分方程练习题及答案
常微分方程练习试卷一、23210d x x dt += ()x dy f xy y dx=_______ 3230d y y x dx--=(0)1,(0)2y y '== x y y y e αβγ'''++=*2()x x x y x e e xe =++α=β=γ=()0W t ≡12(),(),,()n x t x t x t L a x b ≤≤22(2320)0xydx x y dy ++-=y()X A t X '=()t Φ()A t =20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x251y y y y ''''''+++=20y y y '''''-+=二、13dy x y dx x y +-=-+ 222()0d x dx x dt dt+=sin y y x '=+22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ηX A dt dX =)(t ΦX A dt dX =η=)0(x2213dyx y dx =--(1,0)(),t ϕ12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦expAt(),()t t Φψ()X A t X '=C ()()t t C ψ=Φ),()(0βαϕ≤≤x x x],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx )}({x n ϕ],[βα)(x ψ],[βα],[βα)()(x x ϕψ≡)(t ϕAX dt dX=ηϕ=)(0t ηϕ)(ex p )(0t t A t -=u xy =11(()1)du dx u f u x =+3,2,1αβγ=-==-3y 1()()t t -'ΦΦ25 00tAt t e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦13dy x y dx x y +-=-+ 10,30x y x y +-=⎧⎨-+=⎩1,2x y =-=1,2,x y ξη=-⎧⎨=+⎩ .d d ηξηξξη+=-z ηξ=2(1)1z dz d z ξξ-=+21arctan ln(1)ln ||2z z C ξ-+=+2arctanln 1y C x -=+ 222()0d x dx x dt dt+= ，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，即，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。
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常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ).12 求解方程y x dxdy /-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫ ⎝⎛的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t x u =∂∂， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-∂∂， T )(),(),(1t v t L u t L xu k =-∂∂，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题 1一、填空题 30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。
2、形如 -的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数 -对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如 -的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是 .2、方程的通解中含有任意常数的个数为 .3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 (有或无)共同零点．7、设是方程的通解，则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解 .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题 31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题 41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题 5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题 6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+2 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题 7一 . 解下列方程 (80%)1. x=+y2. tgydx-ctydy=03. {y-x(+)}dx-xdy=04. 2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
常微分方程作业
常微分方程复习填空题、选择题和解答题----比例是2-3-5。
一．填空题（20分）1． 设微分方程,b x y n+='b 是常数，则.11C bx n x y n +++=+ 2． 设微分方程x x x y 3cos 2sin ++=',则.)3sin 32cos 2(22C x x x y ++-+= 3． 若一阶微分方程),()(t q x t p x =+'则它的通解})({)()(+⎰⎰=-C dt e t q e x dtt p dt t p 。
4． 设函数组是nxxxe e e ,,,25． 若函数x y x y 2cos ,2sin 1-==，则1y 与2y 是线性相关。
6． 若二阶微分方程是032=+'+''x x x ，且设rx e x =，则特征方程是0322=++r r ，特征根是i r i r 21,2121--=+-=，二阶微分方程的解是]2sin 2cos [21t C t C e x t +=-7． 若函数)(),(),(321x y x y x y 是3阶线性齐次方程的3个线性无关的解，则它的朗斯基行列式是0)(≠x W8． 若函数)(,),(),(21x y x y x y n 是n 阶线性非齐次方程所对应的齐次方程的n 个线性无关的解,而)(x y *是非齐次方程的特解，则齐次方程的通解是)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ 非齐次方程的通解是)()()(x y C x y C x y C +++ )(x y *+9． 设函数),(y x f 在闭区域b y y a x x R ≤-≤-00,:上满足李谱茜斯条件，则存在常数b>0，对R 上的点),(),,(21y x y x ,有≤-),(),(21y x f y x f 21y y b - 10．若函数)(t f 的拉普拉斯变换是dt t f e t f L st ⎰∞-=0)()]([，则===][,][,][at at te L e L k L ，2)(1,1,a s a s s k --11．若二阶微分方程是t e x x x 52=+'+''，则它的特征方程是0122=++r r ，它的齐次微分方程通解是te t C C -+)(21，它的非齐次方程的特解应设为tAe 5（A 是待定系数）.二、选择题(30分)1．设函数),(),,(y x q y x p 连续可微，则方程0),(),(=+dy y x q dx y x p 是全微分方程的充分必要条件是（ C ）。
常微分方程习题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
() 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是 。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。
③x yy dx dyx ln ⋅=是 。
④x x y y x sin 2+='是 。
⑤02=-'+''y y y 是 。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是 。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。
7．xy 1=所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。
9．0=+xdy y dx 的通解为 。
10．()25112+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。
常微分9
[a, b] 上线性无关的充分必要条件是
。
4．若 Φ(t ) 是 n 阶齐线性微分方程组 x' = A(t ) x 在区间 [a, b ] 上的一个基解矩 阵，则 n 阶级非齐线性微分方程组 x' = A(t ) x + f (t ) 的一个特解是 。 ⎧ dx ⎪ = −x − y + 1 5．方程组 ⎨ dt 的奇点是 dy ⎪ = x− y −5 ⎩ dt 。
x → +∞ x → +∞
一、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1．形如 y ' = P( x) y + Q( x) （ P( x), Q( x) 连续）的方程是 方程，它的通解为 ⎧ y' = x 2 + y 2 2．初值问题 ⎨ 的解与积分方程 ⎩ y (0) = 0 的解等价。 如果取 ϕ 0 ( x) = 0 ， 试用逐步逼近法求 ϕ1 ( x) = ； 。
，其类型和稳定性为
二、求下列微分方程的解（每题 5 分，共 20 分）
1．
dy y = . dx x + y
2． ( y − 3x 2 )dx − (4 y − x)dy = 0 .
3． (
dy 3 dy ) + 2x − y = 0 . dx dx
4． yy ' '−( y ' ) 2 = 0.
⎧ x' = − x + xy 2 2．利用李雅普诺夫第二方法讨论方程组 ⎨ 零解的稳定性。 2 3 ⎩ y ' = −2 x y − y 五、应用题（9 分） 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例，如果物体在 20 分 钟内由 100� C 冷至 60� C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到 30� C ？ 假设空气的温度为 20� C 。 六、证明题（10 分） 设 y ( x) 在 0 ≤ x < +∞ 上连续可微且 lim [ y ' ( x) + y ( x)] = 0 。证明 lim y ( x) 15 分，共 30 分） 1． x' '−4 x'+4 x = et + e 2t .