2018-2019学年高中数学必修二人教A版练习：1.2.3 空间几何体的直观图 Word版含解析
人教A版高中数学必修2第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构习题
1.1空间几何体的结构一．判断正误（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（）（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线；（对）（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（）（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．（对）（5）棱垂直于底面的棱柱是直棱柱（对）（6）底面是正多边形的棱柱是正棱柱（7）棱柱的侧面都是平行四边形．（对）（8）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱（9）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥（10）由五个面围成的多面体一定是四棱锥（11）棱台各侧棱的延长线交于一点（对）（12）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；（13）存在每个面都是直角三角形的四面体；（对）（14）棱台的侧棱延长后交于一点．（对）（15）棱柱的侧面可以是三角形（16）正方体和长方体都是特殊的四棱柱（对）（17）棱柱的各条棱都相等（18）所有的几何体的表面都展成平面图形（19）有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；（20）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；（21）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；（22）侧面都是长方形的棱柱叫长方体．（23）多面体至少有四个面（对）（24）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（25）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；（26）一个三棱锥四个面可以都为直角三角形．（对）（27）有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱（对）（28）直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；（29）以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；（30）一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．（31）两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台（对）（32）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是．（写出所以正确说法的序号）【答案】①③（33）若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【答案】D二．多面体和旋转体表面上的最短距离问题1.已知侧棱长为2的正三棱锥S﹣ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为．【答案】2.如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC 1=，P 是BC 1上一动点，则A 1P+PC 的最小值是 ．【答案】3.如图：已知正三棱锥P ﹣ABC ，侧棱PA ，PB ，PC 的长为2，且∠APB=30°，E ，F 分别是侧棱PC ，PA 上的动点，则△BEF 的周长的最小值为（ ）【答案】C ．224.如图，直三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ，2=BC ，5=AC ，31=AA ，M 为线段1BB 上的一动点，则当1MC AM +最小时，△1AMC 的面积为______。
精品解析-2018-2019学年人教版高二数学必修2第1章第3节空间几何体的表面积与体积单元测试
绝密★启用前2018-2019学年人教版高二数学必修2第1章第3节空间几何体的表面积与体积单元测试考试时间：100分钟；满分：120分学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共12小题，每小题4.0分,共48分)1.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为( )A． 80＋5πB． 80＋10πC． 92＋14πD． 120＋10π【答案】B【解析】由三视图知，几何体是半圆柱与长方体的组合体，下面长方体的长、宽、高分别是4、5、4，体积为4×5×4＝80，上面半圆柱的半径为2，高为5，体积为1·π·4·5＝10π，∴几何体的体积V＝V半圆柱＋V长方体＝80＋10π，故选B.2.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )A．1∶B．1∶C．∶D．1∶5【答案】D【解析】若圆锥的高等于底面直径，则h＝2r，则母线l＝＝5r，而圆锥的底面面积为πr2，圆锥的侧面积为πrl＝5πr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1∶5.3.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈1L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈ 4L 2h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为( )A ．15 50 B ． 5 C ． D ．【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长L ＝2πr ，∴r ＝，∴V ＝1πr 2h ＝1.令1＝4L 2h ，提π＝，故选D.4.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A ．π B ．4 π C ．5 π D ． π 【答案】C【解析】由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12× －1×π×12＝5π.5.现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中.当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降( ) A ． 0.6 cm B ． 0.15 cm C ． 1.2 cmD． 0.3 cm【答案】A【解析】设杯里的水下降h cm，由题意知π( 0)2h＝1× 0×π× 2，解得h＝0.6 cm.6.已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( )A． 2 cmB． 3 cmC． 4 cmD． 8 cm【答案】C【解析】∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，∴铜质的五棱柱的体积V＝1 ×4＝64(cm3)，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，则a3＝64，解得a＝4 cm，故选C.7.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为( )A． (2＋4) cm2B． (4＋8) cm2C． (8＋16) cm2D． (16＋32) cm2【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为2，∴正四棱柱的高为 1 ＝2，∴该棱柱的表面积为 × 2＋4× × ＝8＋16，故选C.8.一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为( ) A．15πB． 0πC． 1 πD．15π或 0π【答案】D【解析】以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积＝πr×l母线长.①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝4π×5＝20π；②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝3π×5＝15π.故选D.9.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A． 0πB． 4πC． πD． π【答案】C【解析】由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝1×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.10.圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是( )A．B．πSC． πSD． 4πS【答案】B【解析】∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS.故选B.11.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为V1；直径为2的球的体积为V2，则V1∶V2等于( )A．1∶1B．1∶C．1∶D．1∶4【答案】B【解析】由三视图知，该几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，圆柱与圆锥的底面半径为1，高都为1，∴几何体的体积V1＝π×12×1－1×π×12×1＝π；直径为2的球的体积V2＝4π×13＝4π，∴V1∶V2＝1∶ .故选B.12.如图，一个正三棱柱的正视图是边长为的正方形，则它的外接球的体积等于( )A． πB．1 5π54C．9πD．π【答案】B【解析】因为正三棱柱ABC－DEF的正视图是边长为的正方形，所以正三棱柱的高是，底面正三角形的高也是.设它的外接球的球心为O，半径为R，底面△ABC的中心为G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，所以OG＝，GA是正三角形ABC的高的，所以GA＝.在△OAG中由勾股定理得R2＝OG2＋GA2.解得R2＝ 5.1.所以球的体积为V＝4×π×3＝1 5π54故选B.分卷II二、填空题(共4小题，每小题4.0分,共16分)13.一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积等于________.(铁皮厚度忽略不计)【答案】15【解析】如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝1×( π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，4所以h＝＝15，所以圆锥的容积为1πr2h＝15 .14.一个体积为12的正三棱柱(底面为正三角形，且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示，则侧视图的面积为________.【答案】6【解析】由三视图可知底面正三角形的高为2，则底面边长为4，所以底面面积为4，因此该三棱柱的高为12÷4＝3，故侧视图的面积为2× ＝6.，则油桶直立15.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14时，油的高度与桶的高度的比值是________.【答案】1－14【解析】设圆柱桶的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为，则(141)h＝πR2x，所以＝14－1.16.(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．【答案】(1)球(2)球【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为r.(1)当6a2＝4πr2时，V球＝4πr3＝πa3>a3＝V正方体．(2)当a3＝4πr3时，S球＝4πr2＝6πa2<6a2＝S正方体．三、解答题(共7小题，每小题8.0分,共56分)17.直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积.【答案】设此直角三角形为ABC，AC＝20，BC＝15，AC⊥BC，则AB＝25.过C作CO⊥AB于点O，直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是OC，且OC＝ 0155＝12，圆锥(1)的侧面积S1＝π×1 × 0＝240π，圆锥(2)的侧面积S2＝π×1 ×15＝180π.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即S＝S1＋S2＝420π.【解析】18.已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积.【答案】由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，所以VD＝＝4＝ 1 ，则S△VBC＝1VD·BC＝1× 1 × ＝ 9，S△ABC＝1×( )2×＝3，所以三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3 9＋3＝3( 9＋).【解析】19.如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1)球的体积等于圆柱体积的；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积．【答案】(1)设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.因为V球＝4πR3，V圆柱＝πR2· R＝2πR3，所以V球＝V圆柱．(2)因为S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR· R＝4πR2，所以S球＝S圆柱侧．【解析】20.设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？【答案】如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF.三角形PAB为轴截面，是正三角形，三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．由题意可知，DO＝CO＝r，AO＝2r＝OP，AC＝r，∴V球＝4πr3，V圆锥＝1π(r)2· r＝ πr3.又设HP＝h，则EH＝h，.∴V水＝1π(h)2h＝π9∵V水＋V球＝V圆锥，h3＋4πr3＝ πr3，即π9∴h＝15r，即圆锥内的水深是15r.【解析】21.如图几何体上半部分是母线长为5，底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2，母线长为2的圆台，计算该几何体的表面积和体积．【答案】几何体的表面积S＝S圆锥侧＋S圆台侧＋S圆台底＝ π×5＋π( ＋ )× ＋π× 2＝15π＋10π＋4π＝ 9π；圆锥的高h＝5＝4，圆台的高H＝1＝，所以几何体的体积V＝V圆锥＋V圆台＝1×π× 2×4＋π×( 2＋22＋ × )×＝1 π＋19π.【解析】22.已知直角三角形ABC，其中∠ABC＝ 0°，∠C＝90°，AB＝2，求△ABC绕斜边AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【答案】如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体．∵AB＝2，CB＝1，∠B＝ 0°，∴CB＝sin 0°·AB＝1，CA＝cos 0°·AB＝，CO＝＝，故此旋转体的表面积S＝π×OC×AC＋π×OC×BC＝π××(＋1)＝π.故此旋转体的体积V＝1·πr2·h＝1·π·CO2·AB＝1×π××4＝π.【解析】23.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1，求棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．【答案】已知长方体是直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h,则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A1DD1的底面积为1S，高为h,故三棱锥C－A1DD1的体积－11＝1×1Sh＝1Sh，余下部分体积为Sh－1Sh＝5Sh.∴棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.【解析】。
高中数学 人教A版 必修2 第一章 空间几何体 高考复习习题(选择题201-300)含答案解析
A． B． C．50πD．200π
14．在菱形 中， ，将 沿 折起到 的位置，若二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的体积为（）
A． B． C． D．
15．已知球的直径 ， 是该球球面上的两点， ， ，则棱锥 的体积为（）
高中数学人教A版必修2第一章空间几何体高考复习习题（选择题201-300）含答案解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()
A． ＋1B． ＋3
11．在三棱锥 中，底面 是边长为2的正三角形，顶点 在底面 上的射影为 的中心，若 为 的中点，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥 的每个顶点都在球 的表面上， 底面 ，且二面角 的正切值为4，则球 的表面积为
A． B． C． D．
A． B． C． D．
5．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为 ，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（）
高中数学必修2(人教A版)第一章几何空间体1.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构一、学习任务认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．二、知识清单典型空间几何体空间几何体的结构特征 组合体展开图 截面分析三、知识讲解1.典型空间几何体空间几何体的概念只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.空间几何体的结构特征多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体．其中，四个面均为全等的正三角形的四面体叫做正四面体．旋转体由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴．棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______．解：棱锥；棱台．⋯⋯余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱，可以用表示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱或棱柱 ．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 或者棱锥 ．棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．⋯⋯⋯⋯ABCDEF−A′B′C′D′E′F′DA′⋯⋯⋯⋯S−ABCD S−AC棱台的结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．圆柱的结构特征以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥（circular cone）．圆台的结构特征例题：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱台与圆台统称为台体．球的结构特征以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球常用表示球心的字母 表示．O下列命题中，正确的是（ ）A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形解：D如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱，令四边形 是梯形，可知 ，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．ABCD−A1B1C1D1ABCD面AB∥面DCB1A1C1D1若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥解：D如下图，正六边形 中，，那么正六棱锥中，，即侧棱长大于底面边长．ABCDEF OA=OB=⋯=AB S−ABCDEF SA>OA=AB描述：3.组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．如图所示的几何体中，是台体的是（ ）A．①② B．①③ C．③ D．②③解：C利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧棱的延长线能交于一点且截面与底面平行．有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中错误的有（ ）A．个 B． 个 C． 个 D． 个解：D圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的是球面，故④错误．1234例题：描述：4.展开图空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容．描述图中几何体的结构特征．解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）解：D）不在同一平面内的有______对．3内．解：C描述：例题：5.截面分析截面用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面．平行截面、中截面与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面．轴截面包含立体图形的轴线的截面称为轴截面．球截面球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截面称为球的小圆．球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 ，其中 为球的半径， 为截面圆的半径， 为球心到截面的距离．+=r 2d 2R 2R r d 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱解：B如图所示，是一个三棱台 ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：如图，过 ，， 三点作一个平面，再过 ，， 作一个平面，就把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 ，，．ABC −A ′B ′C ′A ′B C A ′B C ′ABC −A ′B ′C ′−ABC A ′−B B ′A ′C ′−BC A ′C ′如图，正方体 中，，， 分别是 ，， 的中点，那么正方体中过点 ，， 的截面形状是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1P Q R AB AD B 1C 1P QR作截面图如图所示，可知是六边形．ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 解：四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ．A ．B ．C ．D ．C ()=2,AB =3,=3,BC =4A 1B 1B 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =3A 1B 1B 1C 1A 1C 1=1,AB =2,=1.5,BC =3,=2,AC =4A 1B 1B 1C 1A 1C 1AB =,BC =,CA =A 1B 1B 1C 1C 1A 1答案：2. 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标" "的面的方位是 ．A ．南B ．北C ．西D ．下B △()3. 向高为 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是．A ．H V h ()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)
空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
人教A版高中必修二试题1-2-1、2中心投影与平行投影、空间几何体的三视图
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第1章 1.2.1一、选择题1．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为()A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥C．四棱柱和圆锥D．正方体和球[答案] C[解析]由正视图和侧视图可知，该几何体的上部可能为棱锥或圆锥，下部可能为棱柱和圆柱，结合俯视图为圆和圆心及正方形知，上部是圆锥，下部是四棱柱．2．如果用□表示1个正方体，用表示两个正方体叠加，用■表示三个正方体叠加，那么图中有7个正方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是()[答案] B[解析]从正前方看，中间是3个小正方体，左右两侧各是一个小正方体，上面是两个小正方体，故选B.3．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台[答案] B[解析]该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．4．对几何体三视图，下列说法正确的是()A．正视图反映物体的长和宽B．俯视图反映物体的长和高C．侧视图反映物体的高和宽D．正视图反映物体的高和宽[答案] C5．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]正方体的三个视图都是正方形；圆锥的正视图与侧视图为相同的等腰三角形，而俯视图为圆和圆心；三棱台的三个视图均不相同；正四棱锥的正视、侧视图是全等的等腰三角形，俯视图为正方形及对角线，故选D.[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于识画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.几何体直观图形正视图侧视图俯视图正方体长方体圆柱圆锥圆台球请再练习下题如图，下列四个几何体中，它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相同的是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(3) D．(1)(4)答案为C6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()[答案] A[解析]N点投影为AD中点，M点投影为AA1中点，故选A.7．将正三棱柱截去三个角(A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为图中的()[答案] A8．如图(1)是物体的实物图，则它的俯视图是()[答案] C9．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形是()[答案] C[解析]A、B折叠后，都有一个面重叠，而缺一个面；图D能围成一个正方体，但多了一个重叠面，∴选C(可实际画图剪下折一折以发展想象力)．10．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台[答案] B[解析]由正视图与侧视图知，该几何体为棱锥，由俯视图知，该几何体是四棱锥．二、填空题11．如图E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求把可能的序号都填上)[答案]②③[解析]先考虑四边形BFD1E在面ABCD上的投影，B的投影仍然是B，F的投影是BC的中点，E的投影是AD的中点，D1的投影是D，因此，投影就是图②.同理，可求得在面ABB1A1上的投影也是②，而在面ADD1A1上的投影是一条线段，即③，所以应填②③.12．下面是立体图形的三视图，请根据视图说出立体图形的名称________．[解析]从俯视图可知，该几何体底面是一正方形，结合主视图与左视图可知，是一锥体，由俯视图形可知是一正四棱锥．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为______．[答案]半个圆柱[解析]由正视图和侧视图知，该几何体为柱体，由俯视图知，该几何体底面为半圆，结合侧视图矩形为正视图的一半知，该几何体是沿经过圆柱轴的平面切开的半个圆柱．三、解答题14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．挖去一个小圆柱，故其三视图如下：15．说出下列三视图表示的几何体：[解析]*16.如下图是截去一角的长方体，画出它的三视图．图中反映为不同的三角形，三视图为下图．*17.根据三视图，画出空间图形的大致形状．[解析]。
1.2.3 空间几何体的直观图
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(12分)画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面) 的直观图．
【思路点拨】 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
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【 规 范 解 答 】 画 法 ： (1) 画 轴 ． 画 x′ 轴 、 y′ 轴 、 z′ 轴 ， 使
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解：画法：(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在 的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所 示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.
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(2)如图①所示，过 D 点作 DE⊥x 轴，垂足为 E.如图② 所示，在 x′轴上取 A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝32 3 cm；过 E′作 E′D′∥y′轴，使 E′D′＝12ED＝34cm，再 过点 D′作 D′C′∥x′轴，且使 D′C′＝CD＝2 cm.
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2．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． 画 法 ： (1) 画 轴 ： 画 O′x′ 轴 、 O′y′ 轴 、 O′z′ 轴 ， ∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图．
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【题后总结】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′ 轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平 行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此 确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
高一数学人教A版必修2课后导练：1.2.3空间几何体的直观图(附答案)
课后导练基础达标1斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是（）A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形.答案：B2下列关于用斜二测画法画直观图说法错误的是（）A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的圆的直观图是椭圆解析：斜二测画法中，与x轴、y轴平行的线段继续保持与x′轴、y′轴平行.所以A项正确，从而可知，C、D项也正确，而平行于x轴的或z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一关，所以B项错.答案：B3右图是水平放置的三角形的直观图，AB∥y轴，则△ABC是…（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：因为AB∥y轴，所以AB⊥AC，故选C.答案：C4如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（）解析：在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其一条对角线必2，因此A项正确.在y轴上且长度为2答案：A5利用斜二测画法得到以下结论正确的是（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形A.①②B.①C.③④D.①②③④解析：在斜二测画法的要求下，三角形的直观图仍是三角形，平行四边形的直观图仍为平行四边形.而正方形直观图是平行四边形，菱形的直观图是非菱形的平行四边形.答案：A6以下直观图代表的立体图形是_________________.答案：（1）正六棱柱 （2）圆锥 （3）四棱锥和长方体的组合体 （4）两个三棱锥的组合体7用斜二测画法画一个水平放置的正五角星的直观图，则正五角星的各个角______________. ①相等 ②不等 ③不全等答案：③8画边长为4 cm 的正三角形的水平放置的直观图.画法：（1）以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴，再画对应的x′、y′轴，使∠x′O′y′=45°.（2）在x′轴上截取O′B′=O′C′=2 cm ，在y′轴上截取O′A′=21AO. 连结A′B′,A′C′,则△A′B′C′即为正△ABC 的直观图.综合运用9下列说法正确的是（ ）A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交的直线的直观图可能是相交直线C.互相垂直的直线的直观图仍是垂直的D.平行四边形的直观图是平行四边形E.菱形的直观图是菱形解析：正方形的直观图是平行四边形而不是梯形；两相交直线的直观图一定是相交直线；两垂直直线的直观图是夹角为45°的直线；平行四边形的直观图是平行四边形；菱形的直观图是非菱形的平行四边形.答案：D10如下图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列中的（ ）解析：按斜二测画法的规则：平行于x 轴或y 轴上的线段的长度在新系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新系中变为原来的21，并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°.故选C.答案：C11画右面几何体的直观图.画法：（1）画轴.画出x 轴,y 轴,z 轴.（2）画圆柱的两底面，先画圆O ，在z 轴上取点O′，使OO′等于实物图中相应的高度，过O′作x 轴的平行线O′x′，过O′作y 轴的平行线O′y′.利用O′x′和O′y′画出底面圆O′.（3）连线.连结AA′,BB′，则得到圆柱OO′.拓展探究12已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为（ ） A.23a 2 B.43a 3 C.26a 2 D.6a 2 解析：如图（1）为直观图，（2）为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点.则在直角三角形A′O′M′中，∵O′A′=23a ，∠A′M′O′=45°, ∴M′O′=A′N′=23a ， 故A′M′=26a.（1） （2）在直角坐标系中，在x 轴上方y 轴左侧取到x 轴距离为6a ，到y 轴距离为3[]2a 的点A ，则△ABC 为所求.显然S △ABC =21a·6a=26a 2.∴应选C. 答案：C。
高中数学人教a版(2019)必修第二册《空间直线平面的垂直》测试卷
空间直线、平面的垂直同步题一．选择题（共15小题）1．三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n⊥β，α∥βD．m⊂α，n∥β，α⊥β3．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为AB的中点，沿着DE将△ADE翻折到△PDE，使平面PDE ⊥平面EBCD，则PC的长为（）A．2B．2C．4D．65．在如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DD1B．A1E⊥DB C．A1E⊥D1C1D．A1E⊥DB17．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．9．三棱锥V﹣ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC＝45°，VA＝VB，AC＝AB．则（）A．AC⊥BC B．VB⊥AC C．VA⊥BC D．VC⊥AB10．如图，P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面P AC B．AE⊥EF C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC11．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（）A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCDC．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC12．在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，F，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF13．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD14．如图1，已知P ABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△P AD沿AD折起，使平面P AD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面P AB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN15．四面体ABCD中，AB＝CD＝3，其余棱长均为4，E、F分别为AB、CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF二．填空题（共10小题）16．平行四边形ABCD中，AB＞AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'BD，则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是（填所有符合条件的序号）．①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线A'C．17．如图，平面ABC⊥平面α，平面ABC∩平面α＝AB，∠ACB＝，AC＝1，AB＝2，D为线段AB的中点．现将△ACD绕CD旋转至△A′CD，设直线A′C∩平面α＝P，则在旋转过程中，下列说法正确的是（1）三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值；（2）点P的轨迹为椭圆；（3）直线CB与平面CDP所成角的最大值为30°；（4）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为α，则∠PDB≥α．18．在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝．19．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．20．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．21．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α：③m⊂α；④α∥β；⑤α⊥β．当满足条件时，m⊥β．22．已知四边长均为2的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD＝，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为．23．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，PB＝PC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．24．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，则球O的表面积为．25．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面P AD是等边三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，E为棱PC上一点，若平面EBD⊥平面ABCD，则＝．三．解答题（共5小题）26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD ＝，AD＝2，AB＝BC＝1．（1）当四棱锥P﹣ABCD的体积为1时，求异面直线AC与PD所成角的大小；（2）求证：CD⊥平面P AC．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，并且BC＝2AD＝2AB，点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PBD；（Ⅱ）若PM＝AD，求直线P A与CD所成角的余弦值．28．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD．29．如图，在矩形ABCD中，将△ACD沿对角线AC折起，使点D到达点E的位置，且AE⊥BE．（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；（2）若BC＝3，三棱锥B﹣AEC的体积为，求点E到平面ABC的距离．30．如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E，F分别为AD，BD的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面BCE；（Ⅱ）求四面体CDEF的体积．人教A版（2019）必修第二册《8.6 空间直线、平面的垂直》2022年最热同步卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为△ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【分析】三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，根据线面垂直、线线垂直的转化，可得结论．【解答】解：由三棱锥P﹣ABC的三个侧面两两垂直，可得三条侧棱两两垂直，由P A⊥PB，P A⊥PC，PB、PC⊂平面PBC，PB∩PC＝P，∴P A⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC．∴P A⊥BC．设点P在底面ABC的射影是O，则PO⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC．又P A、PO为平面P AO内两条相交直线，∴BC⊥平面P AO，AO在平面P AO内，则BC⊥OA；同理可证AB⊥OC，AC⊥OB，故O为△ABC的垂心．故选：D．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直、线线垂直的判定，以及棱锥的结构特征，属于中档题．2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n⊥β，α∥βD．m⊂α，n∥β，α⊥β【分析】根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理逐一判断每个选项即可．【解答】解：对于A，m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行，无法得出m⊥n，因此错误；对于B，m⊥α，n⊥β，α∥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此错误；对于C，m⊂α，n⊥β，α∥β，可得n⊥α，由线面垂直的性质定理可知，可得m⊥n，因此正确；对于D，m⊂α，n∥β，α⊥β，可得m与n相交或为异面直线，无法得出m⊥n，因此错误；故选：C．【点评】本题考查了空间中线面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理、性质定理是解题关键，考查了学生的空间立体感和论证推理能力，属于基础题．3．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为P A，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面P AD．其中正确的结论个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，因为E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．③直线EF∥平面PBC；由E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．④因为△P AB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面P AB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面P AD，不正确．故选：C．【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．4．已知在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，E为AB的中点，沿着DE将△ADE翻折到△PDE，使平面PDE ⊥平面EBCD，则PC的长为（）A．2B．2C．4D．6【分析】取DE的中点M，连接PM，易知PM⊥DE，由面面垂直的性质可得PM⊥平面BCDE，可得PM ⊥MC，求得PM的长和CM的长，由勾股定理可得PC的长．【解答】解：（1）如图所示，取DE的中点M，连接PM，MC，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即有PM⊥MC，在等腰Rt△PDE中，PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝DE＝，在三角形CDM中，可得CM2＝DM2+CD2﹣2CD•MD•cos∠CDM＝（）2+42﹣2××4×＝10，则PC＝＝＝2，故选：A．【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系，熟练运用空间中线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．5．在如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】对四个图，分别运用异面直线所成角的定义和线面垂直的性质定理和判定定理，即可得到结论．【解答】解：对于①，由AD∥CE，且AB与CE成45°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，由于AB⊥DE，AB⊥CE，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE；对于③，AB与CE成60°的角，不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，连接BF，由正方形的性质可得DE⊥BF，而AF⊥平面EFDB，可得AF⊥DE，则DE⊥平面ABF，即有DE⊥AB，同理可得AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE．综上，②④满足题意．故选：B．【点评】本题考查空间线线、线面的位置关系，主要是线面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．6．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DD1B．A1E⊥DB C．A1E⊥D1C1D．A1E⊥DB1【分析】连结AE，BD，则＝＝，△ABD∽△DAE，从而∠DAE＝∠ABD，进而AE⊥BD，BD ⊥平面A1AE，由此得到A1E⊥DB．【解答】解：连结AE，BD，因为AB＝，所以＝＝，所以△ABD∽△DAE，所以∠DAE＝∠ABD，所以∠EAB+∠ABD＝90°，即AE⊥BD，所以BD⊥平面A1AE，所以A1E⊥DB．故选：B．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA【分析】在A中，推导出AC⊥SD，AC⊥BD，从而AC⊥平面SBD，由此得到AC⊥SB；在B中，推导出AD⊥CD，AD⊥SD，从而AD⊥平面SDC，由此得到AD⊥SC；在C中，推导出AC⊥平面SBD，从而平面SAC⊥平面SBD；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法摔倒导出BD与SA不垂直，【解答】解：由四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，知：在A中，∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD，∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；在B中，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，∴AD⊥CD，AD⊥SD，∵SD∩CD＝D，∴AD⊥平面SDC，∵SC⊂平面SCD，∴AD⊥SC，故B正确；在C中，∵SD⊥底面ABCD，∴AC⊥SD，∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，∴AC⊥BD，∵SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∵AC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面SBD，故C正确；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝a，DS＝b，则D（0，0，0），B（a，a，0），A（a，0，0），S（0，0，b），＝（a，a，0），＝（a，0，﹣b），∵＝a2≠0，∴BD与SA不垂直，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱C1D1的最大值，代入三角形面积公式求解．【解答】解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，当P位于BB1的中点P1时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，BP 1＝B1P1＝1，，求得，OP 1＝，．∴，得OD1⊥OP1．又OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面OP1C，得到P的轨迹在线段P1C上．由C1P1＝CP1＝，可知∠C1CP1为锐角，而CC1＝2，知P到棱C1D1的最大值为．则△D1C1P面积的最大值为．故选：C．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．三棱锥V﹣ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC＝45°，VA＝VB，AC＝AB．则（）A．AC⊥BC B．VB⊥AC C．VA⊥BC D．VC⊥AB【分析】由题易知，△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠ABC＝45°，即选项A错误；过点V作VO⊥BC于O，连接OA，由面面垂直的性质定理可证得VO⊥平面ABC，即V在底面ABC上的投影为点O，从而得VO⊥BC；由VA＝VB和VO⊥平面ABC可推出OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，即OA⊥BC，结合线面垂直的判定定理得BC⊥平面VOA，从而得VA⊥BC，即选项C正确；由三垂线定理可知选项B和D均错误．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AC＝AB，∴△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AC与BC不垂直，即选项A错误；过点V作VO⊥BC于O，连接OA，∵侧面VBC⊥底面ABC，面VBC∩面ABC＝BC，∴VO⊥面ABC，即V在底面ABC上的投影为点O，∵BC⊂面ABC，∴VO⊥BC．∵VA＝VB，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴OA⊥BC，∵VO、OA⊂面VOA，VO∩OA＝O，∴BC⊥面VOA，∵VA⊂面VOA，∴VA⊥BC，即选项C正确；由三垂线定理知，若VB⊥AC，VC⊥AB，则BC⊥AC，BC⊥AB，这与∠ACB＝∠ABC＝45°相矛盾，即选项B和D均错误．故选：C．【点评】本题考查空间中线面的位置关系，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理，以及理解三垂线定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．10．如图，P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（）A．BC⊥平面P AC B．AE⊥EFC．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC【分析】在A中，推导出BC⊥AC，P A⊥BC，从而BC⊥平面P AC，可得正确；在B中，由BC⊥平面P AC，可证BC⊥AE，又AE⊥PC，可证AE⊥平面PBC，即可证明AE⊥EF，可得正确；在C中，由AC⊥BC，得若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，与AC⊥P A矛盾，可得错误；在D中，由AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，即可证明平面AEF⊥平面PBC，可得正确．【解答】解：在A中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，∴BC⊥AC，∵P A⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，故A正确；在B中，∵BC⊥平面P AC，AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AE⊥EF，故B正确；在C中∴若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥P A矛盾，故AC与PB不垂直，故C错误；在D中，∵AE⊥平面PBC，AE⊂面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（）A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCDC．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC【分析】运用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，结合条件和三角形的性质，可得结论．【解答】解：在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，且BC∩BD＝B，可得AD⊥平面BCD，由AD⊂平面ABD，可得平面ABD⊥平面BCD，由AD⊂平面ACD，可得平面ACD⊥平面BCD，故A正确；若平面ABC⊥平面BCD，又平面ACD⊥平面BCD，AC＝平面ABC∩平面ACD，可得AC⊥平面BCD，AC⊥CD，与AD⊥CD矛盾，故B错误；若平面ACD⊥平面ABD，又平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，CD⊥BD，不一定成立，故C 错误；若平面ABD⊥平面ABC，又平面ABD⊥平面BCD，可得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，不一定成立，故D错误．故选：A．【点评】本题考查空间面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于中档题．12．在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，F，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF【分析】对于A，D两项：当E，F分别是AB，CD的中点时，易证EF⊥CD，且平面CDE⊥平面ABF．对于B：可利用E在AB上移动时，∠CDE的范围判断．对于C：可将D看成三棱锥的顶点，则过D做底面的垂线只有一条，即高线，从而否定C．【解答】解：（1）对于A，D选项，取E，F分别为AB，CD的中点如图：因为A﹣BCD是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．所以CE＝DE，所以EF⊥CD，同理可证EF⊥AB．故A错误；又因为AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，故AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABF，所以平面ABF⊥平面CED．故D正确．（2）对于B选项，将C看成正三棱锥的顶点，易知当E在AB上移动时，∠CDE的最小值为直线CD 与平面ABD所成的角，即（1）中的∠CDE，显然为锐角，最大角为∠CDB＝∠CDA＝60°，故当E在AB上移动时，不存在E，使得DE⊥CD．故B错误．（3）对于C选项，将D看成顶点，则由D向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC的中心，不落在AB上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C错误．故选：D．【点评】本题考查了空间线线垂直、线面垂直以及面面垂直之间的相互转化．同时也考查了正四面体的性质，以及学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．属于中档题．13．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（）A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD【分析】画出图形，结合直线与平面垂直的判断定理，转化证明平面与平面垂直，推出结果即可．【解答】解：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选：B．【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的结构特征的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．14．如图1，已知P ABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△P AD沿AD折起，使平面P AD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面P AB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN【分析】由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面PCD ⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；再证明AB⊥平面P AD，得到△P AB为直角三角形，判定D 正确；由错误的选项存在可知A错误．【解答】解：如图，图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，又∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；∵AB⊥AD，平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面P AD，则AB⊥P A，即△P AB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．因此错误的只能是A．故选：A．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．15．四面体ABCD中，AB＝CD＝3，其余棱长均为4，E、F分别为AB、CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，使得EF⊥CDB．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABCD．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF【分析】若E，F分别为AB，CD的中点，由三角形的全等和等腰三角形的性质可判断A；由线面垂直的判定和性质，可判断B；由线面垂直的性质和勾股定理的逆定理可判断C；由线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，可判断D．【解答】解：若E，F分别为AB，CD的中点，由△ABC和△ABD全等，可得CE＝DE，则EF⊥CD，故A错误；由等腰三角形的性质可得AB⊥DE，AB⊥CE，则AB⊥平面CDE，可得CD⊥AB，又若CD⊥DE，则CD⊥平面ABD，即CD⊥BD，不成立，故B错误；若DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，可得E为AB的中点，且DE⊥CE，而△CDE中，CD＝3，CE＝DE＝＝，不满足CE2+DE2＝CD2，故C错误；当E为AB的中点时，由等腰三角形的性质可得AB⊥DE，AB⊥CE，则AB⊥平面CDE，而AB⊂平面ABF，可得平面CDE⊥平面ABF，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是垂直的判定和性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．二．填空题（共10小题）16．平行四边形ABCD中，AB＞AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A'BD，则下列直线中有可能与直线A'B垂直的是①②（填所有符合条件的序号）．①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线A'C．【分析】若BC⊥BD，则可能垂直，可判断①；若∠ABD＞45°，∠A′BA为超过90°，故存在∠A′BA＝90°，可判断②，∠A′BD，∠BA′C始终为锐角可判断③④．【解答】解：对于①，若BC⊥BD，当平面ABD⊥平面BCD时，BC⊥平面A′BD，则此时BC⊥A'B，故①成立；对于②若∠ABD＞45°，则在翻折的过程中，∠A′BA为超过90°，故存在∠A′BA＝90°，∵AB∥CD，∴CD⊥A'B，故②成立；对于③，在△ABD中，∵AB＞AD，∴∠ABD为锐角，即∠A′BD为锐角，故直线BD不可能和直线A'B垂直，故③不成立；对于④，∵AB＞AD，∴△A′BC中，A′B＞BC，∴∠BA′C始终为锐角，故直线A′C不可能和直线A'B垂直，故④不成立．故答案为：①②．【点评】本题考查了线线垂直的判断，解题的关键是找到特殊情况，以及根据∠A′BD，∠BA′C始终为锐角进行判断，属于中档题．17．如图，平面ABC⊥平面α，平面ABC∩平面α＝AB，∠ACB＝，AC＝1，AB＝2，D为线段AB的中点．现将△ACD绕CD旋转至△A′CD，设直线A′C∩平面α＝P，则在旋转过程中，下列说法正确的是（1）（2）（3）（1）三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值；（2）点P的轨迹为椭圆；（3）直线CB与平面CDP所成角的最大值为30°；（4）若二面角P﹣CD﹣B的平面角为α，则∠PDB≥α．【分析】当△A′DC所在平面与平面ABC垂直时，A′到平面BCD的距离最大，故A正确；由椭圆定义判断（2）正确；由线面角的定义及∠BCD＝30°判断（3）正确；由角在平面上的射影与已知角的大小关系判断（4）错误．【解答】解：由题意，△BDC的面积为定值，△ADC是边长为1的正三角形，在旋转过程中，△A′DC形状不变，当△A′DC所在平面与平面ABC垂直时，三棱锥A′﹣BCD的体积有最大值，故（1）正确；在旋转过程中，射线CA′可看作是以CD为旋转轴的圆锥的母线，平面α是所得圆锥的斜截面，则P点的轨迹为椭圆，故（2）正确；CB是平面CPD的一条斜线，当CB在平面CPD上的射影与CD重合时，直线CB与平面CDP所成角的最大值为∠BCD＝30°，故（3）正确；当△ACD旋转时，首先是∠PDB＞α，当旋转到满足∠CDP为钝角时，一定有∠PDB＜α，故（4）错误．∴正确的结论是（1）（2）（3）．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18．在四棱锥S﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝．【分析】取SA的中点E，连接PE，QE．由已知证明PE⊥AR，结合已知AR⊥PQ，可得AR⊥平面PEQ，得到AR⊥EQ，进一步得到AR⊥SD，在直角三角形SAD中，由等面积法求解AR．【解答】解：取SA的中点E，连接PE，QE．∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR．又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ．∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在直角三角形ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得．由等面积法可得．故答案为：．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算能力，是中档题．19．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过点A分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连结EF，当△AEF的面积最大时，tan∠BPC＝．【分析】由已知可证AE⊥平面PBC，PC⊥平面AEF，可得△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，从而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，解得当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，即可求得tan∠BPC的值【解答】解：显然BC⊥平面P AB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF，所以△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝，而S△AEF＝AE•EF≤（AE2+EF2）＝（AF）2＝，当且仅当AE＝EF时，取“＝”，所以，当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，不等式的解法及应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题20．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．【分析】①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，利用•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝0，即可得出λ．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．BM∥平面AB1N，可得BM∥EF．根据E点为A1B的中点，可得F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，∴•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝cos60°+λ﹣cos30°﹣λcos60°＝﹣+λ＝0．∴λ＝．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．∵BM∥平面AB1N，∴BM∥EF．∵E点为A1B的中点，∴F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．∵AA1∥DD1，A1F＝FM．∴AA1＝MP＝2D1P．∴＝＝2，∴＝．则λ＝．故答案为：﹣1，．【点评】本题考查了向量三角形法则、数量积运算性质、平行线的性质、线面平行的性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α：③m⊂α；④α∥β；⑤α⊥β．当满足条件②④时，m⊥β．【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项可得m⊥β时，应满足的条件．【解答】解：由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出m⊥β．即②④是m⊥β的充分条件，故当m⊥β时，应满足的条件是②④，故答案是：②④．【点评】本题主要考查直线和平面之间的位置关系，直线和平面垂直的判定方法，属于中档题．22．已知四边长均为2的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若∠BAD＝，平面ABD⊥平面CBD，则该球的体积为．【分析】根据题意画出图形，结合图形得出△ABD与△BCD均为等边三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，再计算外接球的体积．【解答】解：如图所示，设E是△ABD的外心，F是△BCD的外心，过E，F分别作平面ABD与平面BCD的垂线OE、OF，相交于O；由空间四边形ABCD的边长为2，∠BAD＝，所以△ABD与△BCD均为等边三角形；又平面ABD⊥平面CBD，所以O为四面体ABCD外接球的球心；又AE＝＝2，OE＝1，所以外接球的半径为R＝＝；所以外接球的体积为V＝＝×＝．故答案为：．【点评】本题考查了多面体外接球体积的计算问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．23．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，PB＝PC＝4，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为80π．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为O1，连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH．推导出AH⊥BC，PH⊥平面ABC，设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，外接球半径R满足，由此能求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为O1连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH．由题意可得AH⊥BC，且，．因为平面PBC⊥平面ABC，且PB＝PC，所以PH⊥平面ABC，且．设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，则外接球的半径R满足，即，解得OO1＝2，从而R2＝20，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝80π．故答案为：80π．【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，则球O的表面积为π．【分析】通过平面垂直，结合空间几何体的位置关系，判断外接球的球心求值，求出外接球的半径即可推出结果．【解答】解：由题意可知，几何体的图形，如图：△P AD为等边三角形，F为AD的中点，底面ABCD是等腰梯形，侧面P AD是正三角形与底面ABCD垂直，所以四棱锥的外接球的球心是O，在底面ABCD的外心E的垂直直线与侧面P AD的外心G的垂直直线的交点，因为AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，△P AD为等边三角形且平面P AD⊥平面ABCD，所以E是底面ABCD的外心，半径为2，OE＝GF，G是正三角形的外心，OE＝，EA＝2，所以外接球的半径为R＝＝，则球O的表面积为：4π×＝．故答案为：．。
《1.1 空间几何体的结构》(同步训练)高中数学必修2_人教A版_2024-2025学年
《1.1 空间几何体的结构》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、下列几何体中，哪一个是多面体？A、球体B、圆柱C、正方体D、圆锥2、在正方体的一个顶点上，有一个顶点到该顶点所在面的相邻三面的交线所形成的三角形，其内角和是多少？A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°3、在长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm的情况下，该长方体的对角线长度是：A. 5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm4、一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，则其体积为（）。
A、12π cm³B、24π cm³C、36π cm³D、48π cm³5、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点F为棱A1B1上的一点，且BF=BB1，如果AE与EF垂直，则∠EFB=（）A.30°B.45°C.60°D.90°6、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则体对角线A1D的长度为：A、√3aB、2√3aC、√6aD、√2a7、一个直三棱柱的底面是一个直角三角形，其中两个直角边的长度分别为3和4，斜边为5。
该直三棱柱的体积是多少？A. 6B. 12C. 18D. 248、正方体的所有棱长均为2厘米，该正方体的对角线长为（）A、2√3 厘米B、4√2 厘米C、4√3 厘米D、6√3 厘米二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、下列关于空间几何体的说法正确的是（）A. 圆柱是由两个平行的圆形底面和一个曲面侧面组成的立体图形。
B. 棱锥的所有侧棱相交于一点，这一点叫做顶点。
C. 球体可以看作是一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的立体图形。
D. 棱台的上下底面不一定平行。
2、在下列各对几何体中，哪些是全等的关系？A. 正方体和长方体B. 正四面体和正六面体C. 球和圆柱D. 正方体和正方体的一个面E. 正四面体和正方体的一个面3、一个圆柱的底面半径为2，高为4，则该圆柱的侧面积和体积分别为（）。
高中数学人教A版必修2第一章1.2.3空间几何体的直观图-斜二侧画法 课件教学课件
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持 原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm, 2cm的长方体的直观图。
思考：直观图
画法的步骤是 怎样的？
上 分 别 截 取 2 c m 长 的 线 段 A A , B B , C C , D D .
Z
D
C y
A D
BQ C
MO
Nx
AP B
4成 图 .顺 次 连 接 A,B,C,D,并 加 以 整 理
去 掉 辅 助 线 ,将 被 遮 挡 住 的 部 分 改 为 虚 线 ,
就 可 得 到 长 方 体 的 直 观 图 .
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱；（直棱柱的侧棱和z轴平行，长度保持不变） 4、成图。注意:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
1 画 轴 . 画 x 轴 , y 轴 , z 轴 , 三 轴 交 于 点 O , 使 x O y = 4 5 ,
x O z 9 0 .
Z
y
O
x
2画 底 面 .以 O为 中 心 ,在 x轴 上 取 线 段 MN,使 MN=4 cm;在
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格， 性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景， 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺 健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么 都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更 消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解 别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻， 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态， 是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可
高中数学必修二(人教新A版)教案3空间几何体的直观图
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
2）斜二测画法基本步骤.
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平表示水平面.
（3）在Oz上截取点O′，使OO′等于正视图中OO′的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
（4）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于正视图中相应的高度.
（5）成图.连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图(2)）
画法：（1）画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy= 45°，∠xOz= 90°
（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN= 4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ= cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交
2
教
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设
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教学内容
教学环节与活动设计
②平行四边形的直观图是平行四边形.
③正方形的直观图是正方形.
④菱形的直观图是菱形.
以上结论，正确的是（A）
A．①②B．①
C．③④D．①②③④
4．用斜二测画法画出五棱锥P–ABCDE的直观图，其中底面ABCDE是正五边形，点P在底面的投影是正五边形的中心O（尺寸自定）.
教
学
小
结
1．平面图形斜二测画法.
高中数学必修二教学设计
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1-2空间几何体的三视图和直视图1-2-1~1-2-2含答案精品
的面上的正投影可能是图中的 ________． (要求把所有可能的序号都填上 )
答案 ②③ 解析 其中 ② 可以是四边形 BFD 1E 在正方体的面 ABCD 或面 D 1DCC 1 上的正投影． ③ 可以是 四边形 BFD 1E 在正方体的面 BCC1B1 上的正投影． 四边形 BFD 1E 在正方体任何一个面上的正 投影都不是 ①④ . 类型二 三视图的画法与识别
命题角度 1 三视图的识别
例 2 一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为
()
答案 C
解析 从该几何体可以看出，正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线；俯视图是一个矩形
内有一斜向下的对角线，没有斜向上的对角线，故排除
B 、D 项；侧视图是一个矩形内有一
斜向下的对角线，且都是实线，因为没有看不到的轮廓线，所以排除
A ．全等
B．相似
C ．不相似 答案 B 解析 根据题意画出图形如图．
D ．以上都不对
由图易得 AB ＝ OB ＝ BC ＝ OC ＝ AC ，则 △ ABC∽△ A′ B′ C′ . A′B′ OB′ B′C′ OC′ A′ C′
(2)如图， E， F 分别是正方体的面 ADD 1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD 1E 在该正方体
(2)
引申探究 例 3(2)中的组合体改为如下图形，画出其三视图．
解 图中几何体实际为组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按正方体和圆柱的三 视图画法画出该组合体的三视图，如图所示．
反思与感悟 画三视图的注意事项： (1)务必做到长对正，宽相等，高平齐． (2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视 图在正视图的正下方． (3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的 画法． 跟踪训练 3 如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图．
2018-2019学年高一数学人教A版必修二空间几何体测试卷含答案
2018-2019学年高一数学人教A 版必修二空间几何体测试卷一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的) 1、 下列说法：（1）以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥； （2）以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； （3）圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；（4）分别以矩形的两条不同的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱是不同的圆柱。
其中正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 【答案】B【命题立意】考查旋转体的有关知识。
考查空间想象能力。
2、底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（ ）A 、πB 、2πC 、3πD 、4π 【答案】A【解析】设截面圆的半径为r ，由相似三角形的知识可得212=r ， 所以r ＝1，所以.2ππ==r S【命题立意】考查面积有关的简单计算，关键利用三角形相似求截面圆的半径。
3、下列说法：（1）从投影角度看，三视图是平行投影下画出的；（2）平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；（3）空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交了； （4）空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式。
其中正确的说法有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 【答案】D【解析】上述四种说法都是正确的。
【命题立意】考查平行投影以及中心投影有关的概念与知识。
4、若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）A 、2，32B 、2,22C 、4，2D 、2，4 【答案】D【命题立意】考查三视图与几何体之间的关系。
搞清三视图与几何体对应关系是求解问题的关键。
5、在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（ ）A 、2B 、3C 、26D 、33【答案】B【解析】.3]4)2(43[:622=⨯⨯a a S S ＝：正四面体表正方体表 【命题立意】考查表面积的计算问题，关键搞清组合体边长的关系是求解问题的关键。
人教A版高中数学教材目录(全)
必修 1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2． 1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3． 1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 2第一章空间几何体1 ．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2 ．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3． 1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3 ． 3 直线的交点坐标与距离公式必修 3第一章算法初步1 ．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2 ．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2 ．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图人教 A 版高中数学目录2． 3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3 ．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3． 2 古典概型3． 3 几何概型必修 4第一章三角函数1 ．1 任意角和弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的诱导公式1． 4 三角函数的图象与性质1． 5 函数 y=Asin （ωx+ψ）1． 6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2 ．1 平面向量的实际背景及基本概念2． 2 平面向量的线性运算2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示2． 4 平面向量的数量积2． 5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3 ．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3． 2 简单的三角恒等变换必修 5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式选修 1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修 1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4． 1 流程图4． 2 结构图人教 A 版高中数学目录选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修 2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修 3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝人教 A 版高中数学目录选修 3-2选修 3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修 4-3选修 4-4第一讲坐标系第二讲参数方程第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修 3-4第一讲平面图形的选修 4-5对称群第一讲不等式和绝对值不等式第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第二讲证明不等式的基本方法第三讲对称与群的故事第三讲柯西不等式与排序不等式选修 4-1第四讲数学归纳法证明不等式第一讲相似三角形的判定及有关性质选修 4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修 4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修 4-8选修 4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（ B）教材目录介绍必修一第一章集合1． 1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算人教 A 版高中数学目录第二章函数2．1 函数2． 2 一次函数和二次函数2． 3 函数的应用（Ⅰ）2． 4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3 ．1 指数与指数函数3． 2 对数与对数函数3．3 幂函数3． 4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1． 2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2 ．1 平面真角坐标系中的基本公式2． 2 直线方程2． 3 圆的方程2． 4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1． 2 基本算法语句1． 3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2． 2 用样本估计总体2． 3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3． 2 古典概型3． 3 随机数的含义与应用3． 4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ )1 ．1 任意角的概念与弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2 ．1 向量的线性运算2 ．2 向量的分解与向量的坐标运算2． 3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3 ．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修 1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修 1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修 4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1 ．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式人教 A 版高中数学目录1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2． 1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式 ( 选学 )2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3． 1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
解析版-2018-2019学年人教版高二数学必修2第1章空间几何体章末测试
绝密★启用前2018-2019学年人教版高二数学必修2第1章空间几何体章末测试考试时间：100分钟；满分：150分学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分)1.如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】A.正方体的正视图为正方形，侧视图为正方形，俯视图也为正方形，不满足条件．B.圆柱的正视图和侧视图为相同的矩形，俯视图为圆，满足条件．C.圆锥的正视图为三角形，侧视图为三角形，俯视图为圆，不满足条件．D.球的正视图，侧视图和俯视图为相同的圆，不满足条件．故选B.2.设正四面体A－BCD中，E、F分别为AC、AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影可能是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于几何体是正四面体，所以B在面ADC上的射影是它的中心，可得到三角形BEF在面ADC上的射影，因为F在AD上，E在AC上，所以观察选项，只有A正确．故选A.3.如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′＝2，则△ABC的面积为()A． 2B． 4C． 2D． 4【答案】D【解析】∵Rt△A′B′C′是一平面图形的直观图，直角边长为A′B′＝2，∴直角三角形的面积是×2×2＝2，∵平面图形与直观图的面积的比为2，∴原平面图形的面积是2×2＝4.故选D.4.如图所示的几何体的平面展开图是四选项中的()A．B．C．D．【答案】D【解析】选项A、C中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符；选项B中折叠后三角形和圆的位置不符，所以正确的是D.故选D.5.已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A．B．C．D．【答案】D【解析】∵正△ABC的边长为2，故正△ABC的面积S＝·22＝，设△ABC的直观图△A′B′C′的面积为S′，则S′＝S＝·＝.故选D.6.如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱的高为8 cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是()A． 6 cmB． 8 cmC． 10 cmD．10π cm【答案】C【解析】连接AB，∵圆柱的底面半径为cm，∴AC＝×2×π×＝6(cm)，在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋CB2＝36＋64＝100，即AB＝10 cm，故选C.7.如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的侧视图是()A．B．C．D．【答案】C【解析】从左边看得到的图形有两列，第一列有两个正方形，第二列有一个正方形，故选C.8.如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()A．B．C．D．【答案】C【解析】几何体是一个组合体，组合体上面的几何体有一个侧面是三角形，从正上方能看到这个三角形的三条边，所以俯视图中应该有一个三角形，只有选项C符合．9.下列几何体不能展开成平面图形的是()A．圆锥B．球C．圆台D．正方体【答案】B【解析】圆锥可以展开成一个扇形和一个圆，球不能展开成平面图形，圆台可以展开成两个圆和一个梯形，正方体可以展开成一个长方形和两个小正方形，故选B.10.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等边三角形【答案】C11.三棱柱的平面展开图是()A．B．C．D．【答案】B【解析】两个全等的三角形在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱．故选B.12.某几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是()【答案】B【解析】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可以看见的线段，所以C，D不正确；几何体的上部中间的棱与正视图方向垂直，所以A不正确.故选B.分卷II二、填空题(共4小题，每小题5.0分,共20分)13.已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有________个．【答案】1【解析】第一个是三棱锥，第二个是三棱柱，第三个是四棱锥，第四个不是棱柱．14.已知三棱锥O－ABC，侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC＝2，则以O为球心，1为半径的球与三棱锥O－ABC重叠部分的体积是__________．【答案】【解析】由已知条件可用等体积转换求得点O到平面ABC的距离为>1，所以重叠部分是以O为球心且1为半径的球的，即V＝×＝××13＝.15.将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.【答案】5【解析】由题意得，扇形的弧长为对应圆锥的底面周长，因此2π(r1＋r2＋r3)＝2π×5⇒r1＋r2＋r3＝5.16.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．【答案】【解析】三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.三、解答题(共7小题，每小题10.0分,共70分)17.已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的表面积与体积.【答案】如图，O′，O是上、下底面的中心，连接OO′，O′B′，OB，在平面BCC′B′内过B′作B′D⊥BC于D，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E.∵△A′B′C′是边长为2的等边三角形，O′是中心，∴O′B′＝×2×＝，同理OB＝，则BE＝OB－O′B′＝.在Rt△B′EB中，BB′＝，BE＝，∴B′E＝，即棱台高为cm.∴三棱台的体积为V棱台＝×(×16＋×4＋＝cm3.由于棱台的侧面是等腰梯形，∴BD＝×(4－2)＝1 cm.在Rt△B′DB中，BB′＝，BD＝1，∴B′D＝，即梯形的高为cm，∴棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋S侧＝×4＋×16＋3××(2＋4)×＝(5＋9)cm2.∴棱台的表面积是(5＋9)cm2，体积是cm3.18.求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比.【答案】如图等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O.设球的半径OE＝R，OA＝＝2OE＝2R，∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R，BD＝AD·tan 30°＝R，∴V＝πR3，V圆锥＝π·BD2×AD＝π(R)2×3R＝3πR3，球则V球∶V圆锥＝4∶9.19.三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，右面是它的正视图和侧视图.(单位：cm)(1)画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积.【答案】(1)作出俯视图如下.(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－×(×2×2)×2＝(cm3).20.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400πcm2.求球的表面积．【答案】(1)当截面在球心的同侧时．如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R，因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7(cm)．同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20(cm)．设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15(cm)．即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2 500π(cm2)．所以球的表面积为2 500π cm2.(2)当截面位于球心O的两侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.设球的半径为R，因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7(cm)．同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20(cm)．设O1O＝x，则OO2＝(9－x)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500π cm2.21.如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【答案】由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π，由V圆台＝××4＝52π，V半球＝×23×＝，所以旋转体的体积为V圆台－V半球＝52π－＝(cm3)．22.如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？【答案】解旋转后的图形草图分别如图①、②所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．23.如图所示，图(2)是图(1)中实物的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的侧视图．【答案】解图(1)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误．俯视图应该画出不可见轮廓(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如下图所示．。
【同步练习】2018年高中数学人教A版 必修2 空间几何体 同步基础练习(含答案解析)
人教A 版 高中数学 必修2 空间几何体柱、锥、台、球的结构特征 同步基础练习基础达标1.下列命题中的假命题是（ ）A.以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥C.以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥D.以圆的任意一条直径所在直线为旋转轴，圆面旋转一周形成的几何体叫做球体2.将长与宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆的底面半径为( ) A.π2 B.π3 C.π2或π3 D.π63.下列命题中正确的是（ ）A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4.在下面的四个图形中，不是正方体表面展开图的是( )5.“两底面直径之差等于母线长”的圆台（ ）A.是不存在的B.其母线与高线必成60°角C.其母线与高线必成30°角D.其母线与高线所成的角不是定值6.在长方体相邻的三条棱上各取一点，过这三点作截面，此截面一定是( )A.锐角三角形于B.钝角三角形C.直角三角形D.多边形7.长方体的表面积为11，所有棱的长度之和为24，求这个长方体的一条对角线的长.8.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，求从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离.9.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从点A沿表面拉到点C1，求绳子的最短长.简单组合体的结构特征同步基础练习基础达标1.下列命题，其中正确命题的个数是（）①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆A.0B.1C.2D.32.下列命题，其中正确命题的个数是（）①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台A.0B.1C.2D.33.以一个等边三角形底边所在的直线为对称轴旋转一周所得的几何体是（）A.一个圆柱B.一个圆锥C.两个圆锥D.一个圆台4.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为（）A.①③B.②④C.①②③D.②③④5.左下图所示的几何体最有可能是由下面哪个平面图形旋转得到的（）6.过球面上两点可能作球的大圆的个数是（）A.有且只有一个B.一个或无数多个C.无数多个D.不存在这种大圆7.用一个平行于底面的平面截圆锥，截得的圆台上下底面的半径之比是1∶4，截去圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长.8.圆台的侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径与两底面面积之和.9.在一个有阳光的时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸展到距离球与地面接触点10 m处，同时有一根长为3 m的木棒垂直于地面，且影子长为1 m，求此球的半径.空间几何体的三视图同步基础练习基础达标1如图，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是（）2.对几何体的三视图，下面说法正确的是（）A.正视图反映物体的长和宽B.俯视图反映物体的长和高C.侧视图反映物体的高和宽D.正视图反映物体的高和宽3.已知某物体的三视图如下图所示，那么这个物体的形状是（）A.长方体B.圆柱C.立方体D.圆锥4.给出下列命题，其中正确命题的个数是（）①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体③如果一个几何体的三视图是矩形，则这个几何体是长方体④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台A.0B.1C.2D.35.如图是一个哑铃的立体图,则以下结论不正确的是（）A.侧视图是一个圆B.侧视图是几个同心圆C.俯视图和正视图一样D.右视图和左视图一样6.如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________.（把可能的序号都填上）7.图中是两个相同的正方体，阴影面选为正面，正方体棱长为1，分别画出它们的三视图.8.如图所示，根据几何体的三视图，画出几何体的直观图.空间几何体的直观图同步基础练习基础达标1.斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是（）A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形2.下列关于用斜二测画法画直观图说法错误的是（）A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的圆的直观图是椭圆3.如图是水平放置的三角形的直观图，AB ∥y 轴，则△ABC 是…（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是（ ）5.利用斜二测画法得到以下结论正确的是（ ）①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形A.①②B.①C.③④D.①②③④6.下列说法正确的是（ ）A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形B.两条相交的直线的直观图可能是相交直线C.互相垂直的直线的直观图仍是垂直的D.平行四边形的直观图是平行四边形7.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列中的（ ）8.已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为（） A.23a 2 B.43a 3 C.26a 2 D.6a 29.画边长为4 cm 的正三角形的水平放置的直观图.柱体、锥体、台体的表面积与体积 同步基础练习基础达标1.圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的（ ）A.4倍B.3倍C.2倍D.2倍2.正三棱锥的底面边长为a,高为66a ，则三棱锥的侧面积等于（ ） A.43a 2 B.23a 2 C.433a 2 D.233a 23.圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，该圆锥体积为（ ） A.8122π B.818π C.8154π D.8110π4.长方体的高等于h,底面积等于a ，过相对侧棱的截面面积等于b ，则此长方体的侧面积等于（ ） A.222ah b + B.2222ah b + C.2222ah b + D.222ah b +5.已知棱台的两个底面面积分别是245 cm 2和80 cm 2，截得这棱台的棱锥的高为35 cm ，则这个棱台的高为（ ）A.20 cmB.15 cmC.10 cmD.25 cm6.已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST 等于（ ）A.91B.94C.41 D.317.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为（ ）A.6π（4π+3）B.8π（3π+1）C.6π（4π+3）或8π（3π+1）D.6π（4π+1）或8π（3π+2）8.轴截面是正方形的圆柱，轴截面面积为S ，则它的全面积是________.9.已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为2,3,6，求长方体的体积.10.用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24 cm，下底半径为16 cm，母线长为48 cm，则矩形铁皮的长边长最少是多少？11.如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为_____________.球的体积和表面积 同步基础练习基础达标1.两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是（ ）A.1B.2C.3D.42.三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A.95倍 B.59倍 C.2倍 D.3倍3.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的面积之比为（ ）A.4∶3B.3∶1C.3∶2D.9∶44.两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个球，这个大球的半径为（ ） A.2 B.32 C.2 D.34215.一个圆锥的底面直径和高都与同一个球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为（ ）A.1∶3B.2∶3C.1∶2D.2∶96.两球面积之差为60 cm 2，它们的大圆周长之和为30 cm ，两球的直径之差为___________.7.如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________.8.在xOy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）、（0，3），求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积.9.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，PD=a ，PA=PC=2a ，且PD 是四棱锥的高. 在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径.参考答案柱、锥、台、球的结构特征 同步基础练习1.解析：由柱、锥、球的定义可知，选项B 是假命题，因为圆锥是以直角三角形的一直角边所在直线为轴旋转而成的.故选B.答案：B2.解析：该题分类讨论，若以6为圆周长，则半径为π3；若以4为圆周长，则半径为π2，故选C.答案：C3.解析：由棱柱的定义可知，选D.答案：D4.解析：利用排除筛选，将展开图一一折叠可选C.答案：C5.解析：画出轴截面则AB 、CD 分别为两底直径.AD 为母线，由条件知AE=21（AB-CD ）=21AD ，故选C.6.解析：利用特例法，设该长方体为正方体，ABCD —A 1B 1C 1D 1取截面为AB 1D 1可知△AB 1D 1为正三角形.故选A.答案：A7.解：设长方体的长、宽、高和一条对角线的长分别是a 、b 、c 、l.由题意可知2(ab+bc+ac)=11，①a+b+c=6.②由②2-①,得a 2+b 2+c 2=25，∴l=222c b a ++=5. 8.解：如图，矩形E 1F 1GH 是圆柱沿着其母线EF 剪开半个侧面展开而得到的，由题意可知GH=5，GF 1=25π,GE 1=4252542522+=+ππ. ∴从点E 沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是4252+π. 9.解：①沿AB 剪开，铺展成平面，此时AC 1=23. ②沿AD 剪开，铺展成平面，此时AC 1=52. ③沿AA 1剪开，铺展成平面，此时AC 1= 26.故绳子的最短长为23.简单组合体的结构特征 同步基础练习1.解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确.故选择C.答案：C2.解析：①若以斜边为轴旋转一周可得组合体（两个重底面的圆锥），故①错.②若以不垂直于底的腰为轴，则得组合体圆锥与圆台，所以②错，④若截面不平行于底面，则得到的不是圆锥和圆台，所以④错，只有③正确.故选择B.答案：B3.解析：如下图，等边三角形底边的高线将其分成两个直角三角形，所以，旋转成两个圆锥，故选C.4.解析：若截面为正方体的对角面，则选②；若截面平行于正方体一个面，则选③；否则，选①.故选择C.答案：C5.解析：B 图旋转后可得两个圆锥；C 图旋转后可得一个圆锥和一个圆柱；D 图旋转后可得两个圆锥和一个圆柱.故选择A.答案：A6.解析：当球面上两点与球心不共线时，此时只能作一个大圆；当球面上两点与球心共线时，能作无数多个大圆，故选择B.答案：B7.解：设圆台的母线长为y ，截得的圆锥底面与圆锥半径分别是x 、4x ， 根据相似三角形的性质得xx y 433=+解此方程得y=9,所以，圆台的母线长为9. 8.解：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图，∠ASO=30°,在Rt △SA ′O ′中，A S r '=sin30°， ∴SA ′=2r. 在Rt △SAO 中，SA r 2=sin30°，∴SA=4r. ∴SA-SA ′=AA ′，即4r-2r=2a,r=a. ∴S=S 1+S 2=πr 2+π(2r)2=5πr 2=5πa 2.∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.9.解：如图（1）设球与地面接触点为A ，则PA=10，过P 作球的切线，切线为B ，又知木棒长为3，且影子长为1，如图（2）.所以∠CQD=60°，即∠BPA=60°.连PO ，则∠OPA=30°.∴OP=2OA.∵OA 2+102=4OA 2，∴OA=3310空间几何体的三视图同步基础练习1.解析：圆锥的俯视图是一个圆和圆心，而长方体的俯视图是一个长方形，故选D.答案：D2.解析：正视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；侧视图反映物体的高和宽.答案：C3.解析：由俯视图知，该几何体的上、下底面均为圆，又由正视图与侧视图均为矩形，所以该物体应为圆柱.答案：B4.解析：①不一定为正方体，也可能是球；②不一定为长方体，有可能是圆柱；③正确；④若是圆台，则俯视图是两个同心圆.答案：B5.解析：该物体的俯视图应该是多个矩形组合而成，所以A错.答案：A6.解析：四边形BFD1E在面BCC1B1或面ADD1A1上的射影应是E与F重合，D1与C1重合，A与B重合，所以③正确；在下底面射影是B1与B重合，D1与D重合，E、F的射影分别为AD与BC的中点，所以②正确.在前后两面的射影也是②.答案：②③;7.解析：其三视图分别是图中的（1）（2）.8.解：根据几何体的三视图可知此几何体是一个圆柱和它的内切球组成的组合体.如下图.空间几何体的直观图同步基础练习基础达标1.解析：根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形.答案：B2.解析：斜二测画法中，与x轴、y轴平行的线段继续保持与x′轴、y′轴平行.所以A项正确，从而可知，C、D项也正确，而平行于x轴的或z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一关，所以B项错.答案：B3.解析：因为AB∥y轴，所以AB⊥AC，故选C.答案：C4.解析：在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其一条对角线必2，因此A项正确.答案：A在y轴上且长度为25.解析：在斜二测画法的要求下，三角形的直观图仍是三角形，平行四边形的直观图仍为平行四边形.而正方形直观图是平行四边形，菱形的直观图是非菱形的平行四边形.答案：A6.解析：正方形的直观图是平行四边形而不是梯形；两相交直线的直观图一定是相交直线；两垂直直线的直观图是夹角为45°的直线；平行四边形的直观图是平行四边形.答案：D7.解析：按斜二测画法的规则：平行于x 轴或y 轴上的线段的长度在新系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新系中变为原来的21，并注意到∠xOy=90°,∠x ′O ′y ′=45°.故选C.8.解析：如图（1）为直观图，（2）为实际图形，取B ′C ′所在直线为x ′轴，过B ′C ′中点O ′与O ′x ′成45°的直线为y ′轴，过A ′点作A ′N ′∥O ′x ′，交y ′轴于N ′点，过A ′点作A ′M ′∥O ′y ′，交x ′轴于M ′点.则在直角三角形A ′O ′M ′中，∵O ′A ′=23a ，∠A ′M ′O ′=45°,∴M ′O ′=A ′N ′=23a ，故A ′M ′=26a.（1） （2）在直角坐标系中，在x 轴上方y 轴左侧取到x 轴距离为6a ，到y 轴距离为3[]2a 的点A ，则△ABC 为所求.显然S △ABC =21a ·6a=26a 2.∴应选C.答案：C 9.画法：（1）以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴，再画对应的x ′、y ′轴，使∠x ′O ′y ′=45°.（2）在x ′轴上截取O ′B ′=O ′C ′=2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′=21AO. 连结A ′B ′,A ′C ′,则△A ′B ′C ′即为正△ABC 的直观图.柱体、锥体、台体的表面积与体积 同步基础练习基础达标1.解：设底面半径为R ，由条件知母线长为2R ，S 侧=πR ·2R=2πR 2=2S 底.答案：D2.解：VO=66a ，OA=63332=∙a a ，∴VA=21a ，∴S 侧=21·3a ·21a=43a 2，故选A.3.解：设圆锥底面半径为R ，高为h ，则2πR=180240π ∴R=32，h=531941=-，∴V=31πR 2h=π5814，故选C.答案：C 4.解：如图，由条件知AB ·BC=a ，且AC ·h=b ，∴AC=hb ，即AB 2+BC 2=22h b =（AB+BC ）2-2a ，∴AB+BC=h ah b 222+. ∴S 侧=2（AB+BC ）·h=2222ah b +，故选C.答案：C5.解析：设棱台高为h ，则截去的小棱锥的高为35-h ，由截面性质知2)3535(24580h -=解得h=15 cm. 答案：B6.已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST 等于（ ）A.91 B.94 C.41 D.31 6.解析：设正四面体ABCD 的棱长为a ，如图所示，则EF=32MN=31BD=31a ，所以S T =91，选A. 答案：A7.解析：圆柱的侧面积S 侧=4π×6π=24π2.（1）以边长为6π的边为底时，2πR=6π，R=3，∴S 全=2πR 2+24π2=18π+24π2.（2）以边长为4π的边为底时，2πR=4π，R=2，∴S 全=2πR 2+24π2=8π+24π2.答案：C8.解析：设底面半径为R ，则高为2R ，∴4R 2=S ，S 全=2πR 2+2πR ·2R=6πR 2=6π·234=S πS. 9.解：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则由条件知ab=2，ac=3，bc=6.∴（abc ）2=36，∴V=abc=6.10.解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角为∠A ′OB=α，OA=x ， 由相似三角形知识得241648=+x x ，∴x=96，则α=60°，∴△BOB ′为等边三角形. BB ′=OB=144 cm ，即矩形铁皮的长边长最少为144 cm.11.解：不妨设A 在面B 1DC 的射影为H ，连结DH ，（令棱长为a ）则∠ADH 为AO 与面B 1DC 所成角.即sinADH=AD AH ，下面求AH. 由等体积公式易知AD C B D C B A V V --=11，AH=5522121111=∙∙∙∙DC D B A A AC D B a. ∴sinADH=5425552=a a .答案：54 球的体积和表面积 同步基础练习基础达标1.解析：设两球半径分别为r 1和r 2，且r 1≥r 2，则有34π（r 13+r 23）=12π， ∴r 13+r 23=9，又2π（r 1+r 2）=6π，∴r 1+r 2=3，∴（r 1+r 2）（r 12-r 1r 2+r 22）=9，∴r 12-r 1r 2+r 22=3，∴（r 1+r 2）2-3r 1r 2=3，∴r 1r 2=2，∴（r 1-r 2）2=（r 1+r 2）2-4r 1r 2=9-8=1，∴r 1-r 2=1，故选A.答案：A2.解析：设三个球的半径分别为r 1、r 2、r 3，则有r 1∶r 2∶r 3=1∶2∶3，令r 1=1，r 2=2，r 3=3，则有S 3=4πr 32=36π，S 1+S 2=4π（r 12+r 22）=20π，故选B.答案：B3.解析：作轴截面，设球半径为r ，则AO=2r ，OD=r ，∴∠BAO=30°∴AB=32r ，BE=3r ，∴S 锥∶S 球=3∶2，选C.答案：C4.解析：只需求出大球的体积，就可求出大球的半径，设大球的半径为R ，则有V 大球=34πR 3=2×34π×13=38π，∴R=32，故选B.答案：B 5.解析：设球半径为R ，则V 球=34πR 3，圆锥高为2R ，底半径为R ，则V 锥=31πR 2·2R ， ∴V 锥∶V 球=1∶2.答案：C6.解析：设两球半径分别为r 1与r 2，则r 1＞r 2，则有4π（r 12-r 22）=60，又2π（r 1+r 2）=30.∴r 1-r 2=1 cm ，故2（r 1-r 2）=2 cm.答案：2 cm7.解析：设球半径为R ，则高为2R ，∴V 圆柱∶V 球∶V 圆锥=πR 2·2R ∶34πR 3∶31πR 2·2R=3∶2∶1. 答案：3∶2∶18.解：该几何体是由一个圆台和一个圆锥组合而成，即在圆台内挖去一个圆锥，圆台的上、下半径分别是1，3，高是2，所以V 圆台=31π（R 2+rR+r 2）h=326π.圆锥的底面半径是1，高是1，所以圆锥的体积V=31πR 2h=31π.所以所求几何体的体积是V=325π. 9.解：当这个球是四棱锥的内切球时，球半径最大.设球心为O ，半径为R ，则V O —PAB +V O —ABCD +V O —APD +V O —PBC +V O —PDC =V P —ABCD ，即R （S △PAB +S ABCD +S △PAD +S △PBC +S △PDC ）=PD ·S ABCD ，由条件知PD=a ，AB=a ，PA=PC=2a.∴BD=2a ，∴PB=3a ，从而由勾股定理逆定理知PA ⊥AB ，PC ⊥BC.∴S ABCD =a 2，S △PAD =21a 2， S △PAB =22a 2，S △PBC =22a 2，S △PDC =21a 2.∴R （2a 2+2a 2）=a ·a 2∴R=222 a.。
人教新课标版数学高一人教A版必修2练习1-1-2-3空间几何体的直观图
双基达标(限时20分钟)1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段()．A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等解析斜二测是平行投影中的斜投影，所以其直观图不会改变平行线段的长度之比．答案 A2．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()．A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.答案 C3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()．A．AB B．AD C．BC D．AC解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．答案 D4．平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中对应点M′，则M′的坐标为________．解析根据斜二测画法可知M′的坐标为(4,2)．答案(4,2)5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．解析将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为52.答案5 26．画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图．解画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形ABCD的直观图．(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2))．综合提高(限时25分钟)7．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是()．A．16 B．64 C．16或64 D．都不对解析在直观图中边长为4的边若与x′轴平行，则原图中正方形的边长为4，此时面积为16；若与y′轴平行，则正方形的边长为8，此时面积为64.答案 C8．如图，一个正方形在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )．A.12 B.22 C ．1D. 2解析 直观图如图所示，则B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°. ∴B ′到x ′轴的距离为1×sin 45°＝22. 答案 B9．已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )． A.32a 2 B.34a 2 C.62a 2 D.6a 2解析 画△ABC 直观图如图(1)所示：图(1) 图(2) 则A ′D ′＝32a ，又∠x ′O ′y ′＝45°， ∴A ′O ′＝62a .画△ABC的实际图形，如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，∴S△ABC ＝12BC·AO＝62a2.答案 C10．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．解析由比例可知长方体的长、宽、高和锥高，应分别为4 cm，1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm,2 cm,1.6 cm.答案 4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm11．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．解在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示．在直观图中，O′D′＝12，梯形的高D′E′＝24，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝12(1＋2)×24＝328.12．(创新拓展)如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画两底面．由三视图知该几何体为正六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A、B′B、C′C、D′D、E′E、F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二《空间几何体》全章复习与巩固(知识讲解+例题演练)
空间几何体结构及其三视图【学习目标】（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【知识网络】【要点梳理】要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图1．多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．2．旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．要点二．空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．3．平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．要点三．空间几何体的表面积和体积1．旋转体的表面积名称图形表面积圆柱S=2πr（r+l）圆锥S=πr（r+l）圆台22()S r r r l rrl π''=+++球24S R π=2．几何体的体积公式 （1）设棱（圆）柱的底面积为S ，高为h ，则体积V =Sh ；（2）设棱（圆）锥的底面积为S ，高为h ，则体积V =13Sh ； （3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为S '，S ，高为h ，则体积V =13（'S 'S S S ）h ；（4）设球半径为R ，则球的体积V =43π3R ． 要点诠释：1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．【典型例题】 类型一．空间几何体的结构特征例1．若沿△ABC 三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABC （ ）A ．一定是等边三角形B ．一定是锐角三角形C ．可以是直角三角形D ．可以是钝角三角形【思路点拨】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，进而逐一分析△ABC 为不同形状时沿△ABC 三条边的中位线能否拼成一个三棱锥，最后结合讨论结果，可得答案．【答案】B【解析】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，当△ABC为锐角三角形时，三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，当△ABC为为直角三角形时，在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，同理当△ABC为钝角三角形时，在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，综上可得：△ABC一定是锐角三角形，故选B．【总结升华】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形形状的判断，其中正确理解：三棱锥的展开图中，过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，是解答的关键．举一反三：【变式】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定【思路点拨】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH 得四边形EFGH为平行四边形【答案】B【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为B例2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【思路点拨】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．【答案】D【解析】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．【总结升华】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题．举一反三：【变式】用一个平面去截正面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）A．6个B．7个C．10个D．无数个【思路点拨】根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．【答案】D【解析】∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选D．类型二．空间几何体的三视图例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．举一反三：【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）【答案】A【解析】A中，的三视图：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选A例4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【思路点拨】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为1D AD C -，棱1CD 在左侧面的投影为1BA ，故选B ．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．332πB ．3π+C ．32πD ．532π+【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．【答案】A【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为12π，观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为132232⨯⨯⨯=，则该几何体的表面积为332π+．故选A．【变式2】一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可．【答案】B【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为14112 2⨯⨯⨯=由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形13222(13)23-=此棱锥的体积为1232 3⨯⨯=故选B【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为13×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．类型三．几何体的直观图例5．如图所示，正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 （ ）A ．6B ．8C ．2＋3 2D ．2＋2 3【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x '轴，长度保持不变，已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y '轴，且长度为原来一半．【答案】B【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB ＝22，OA ＝1，∴AB ＝3，所以周长为8．故选B【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．举一反三：【变式】对于一个底边在x 轴上的正三角形ABC ，边长AB =2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是________．【思路点拨】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，13''22O C OC ==，作C ＇D ＇⊥x ＇，可得26''''2C D O C ==．因此其直观图的面积1''''2C D A B =⋅⋅． 【答案】6 【解析】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，13''22OC OC ==， 作C ＇D ＇⊥x ＇，则26''''C D O C ==． ∴其直观图的面积1166''''22244C D A B =⋅⋅=⨯⨯=． 故答案为：64． 类型四．空间几何体的表面积与体积例6．有一根长为3πcm ,底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD （如图），由题意知BC =3πcm ，AB =4πcm ，点A 与点C 分别是铁丝的起．止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC 22AB BC +5πcm ，故铁丝的最短长度为5πcm ．【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．举一反三：【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______．【答案】圆半径r =10，面积S =100π，圆锥母线2230101010l =+=．例7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3．【思路点拨】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【答案】72，32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，则其表面积为22×(24－6)=72 cm 2，其体积为4×23=32，故答案为：72，32【总结升华】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象力．举一反三：【变式】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）A ．363(2)π+B ．363(2)π+C ．1083πD ．108(32)π+ 【思路点拨】几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果．【答案】B【解析】由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12， ∴根据勾股定理知圆锥的高是63， ∴半个圆锥的体积是21166336323ππ⨯⨯⨯⨯=，后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是63，∴三棱锥的体积是111266372332⨯⨯⨯⨯=，∴几何体的体积是363723363(2)ππ+=+，故选B ．。
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1.2.3 空间几何体的直观图
【选题明细表】
1.在斜二测画法的规则下,下列结论正确的是( C )
①角的水平放置的直观图一定是角;
②相等的角在直观图中仍然相等;
③相等的线段在直观图中仍然相等;
④若两条线段平行且相等,则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等;
⑤同一个平面图形,由于在直角坐标系中的位置不同,它们直观图的形状可能不同.
(A)①②③(B)①③⑤
(C)①④⑤(D)④⑤
解析:角在直观图中可以与原来的角不等,但仍然为角,故①正确;由正方形的直观图可排除②③;由于斜二测画法保持了平行性不变,因此④正确;而⑤显然正确.故选C.
2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( D )
(A)45°(B)135°
(C)90°(D)45°或135°
解析:由斜二测画法知,平行于坐标轴的线段仍平行于x′,y′轴,故∠A′为45°或135°.选D.
3.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为( C )
(A)12 (B)24 (C)6(D)12
解析:因为原矩形的面积S=6×4=24,所以其直观图的面积为24×=6.
4.如图是水平放置的三角形的直观图,D为△ABC中BC的中点,则原图形中AB,AD,AC三条线段中( B )
(A)最长的是AB,最短的是AC
(B)最长的是AC,最短的是AB
(C)最长的是AB,最短的是AD
(D)最长的是AC,最短的是AD
解析:因为AB∥y轴,BC∥x轴,根据斜二测画法规则,在原图中应有AB⊥BC,所以△ABC为B=90°的直角三角形,所以在AB,AD,AC三条线段中AC最长,AB最短.
5.如图,△A′O′B′为水平放置的△A O B的直观图,且O′A′=2, O′B′=3,则△AOB的周长为( A )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)7
解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5,
所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.
6.如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为.
解析:过C′作C′M′∥y′轴,且交x′轴于M′.
过C′作C′D′⊥x′轴,且交x′轴于D′,且C′D′= a.
所以∠C′M′D′=45°,
所以C′M′= a.
所以原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原, 所以S原=·a2=a2.
答案:a2
7.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点
B′到x′轴的距离为.
解析:点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d,
而O′A′=OA=1,∠C′O′A′=45°,所以d=O′A′=.
答案:
8.一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形,则原三角形的面积是( C )
(A)a2(B)a2(C)a2(D)a2
解析:因为S△A′B′C′=a2sin 60°=a2,
所以S△ABC=2S△A′B′C′=a2.
9.如图,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x′轴上,A′O′和x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为.
解析:由直观图与原图形中边OB长度不变,
且S原=2S直观,
得OB·h=2×·2O′B′.
因为OB=O′B′,
所以h=4.
10.在△ABC中,AC=10 cm,边AC上的高BD=10 cm,则其水平放置的直观图的面积为.
解析:S△ABC=×10×10=50(cm)2,其直观图的面积为S=S△ABC=(cm)2.
答案: cm2
11.有一个正六棱锥(底面为正六边形,侧面为全等的等腰三角形的棱锥),底面边长为3 cm,高为3 cm,画出这个正六棱锥的直观图.
解:(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图,如图①
所示;
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,画出正六棱锥的顶点V′,在
z′轴上截取O′V′=3 cm,如图②所示;
(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③所示;
(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.
12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其
解:四边形ABCD的真实图形如图所示,
因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形, 所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,
所以在原四边形ABCD中,
DA⊥AC,AC⊥BC,
因为DA=2D′A′=2,
AC=A′C′=,
所以S四边形ABCD=AC·AD=2.。