福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查(3月)数学(文)试卷word版含答案

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福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查(3月)数学(文)试题(含答案)

（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意
，当且仅当时取等号.
此时令 ∴在
，得
；令
单调递减；在
得
.
上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.
【解析】
由三视图画出如图所示的直观图：
该几何体是直三棱柱
，其中
，
直三棱柱补全成长方体，如图所示：
，
，四边形
是正方形，则将该
∴该长方体的体对角线为
，则外接球的半径为
∴该几何体外接球的表面积是
故选 A.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆
.即在
上单调递增；当
时，
，即在
上单调递减：此时有一个极大值点和一个极小值点 .
（ⅱ）当时，
，所以
时有一个极小值点，无极大值点.
，显然在
单调递减；在
上单调递增；此
（ⅲ）当
时，由（1）可知，对任意
，从而
，而对任意
.
∴对任意
.
此时令 ∴在
，得
；令
单调递减；在
，得
.
上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.
的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射
影位于的中点时，直线与直线垂直，故③正确；对于④，若存在某个位置，
，因为
，所以平面，从而
，这与已知矛盾，故④不正确.
故选 C.
12. 的内角的对边分别为，若
A.
B.
【答案】A
【解析】
C. 3 D. 4
，则的最大值为（）

2018年3月厦门市高三质检数学(文)参考答案

厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查参考答案文科数学一、选择题：DBBCCDAABC CA 二、填空题：13．1414．34-15．m ≤16．三、解答题：17．本题主要考查等差数列的基本量运算，考查分组求和法及等差和等比数列的求和运算；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、分类与整合思想等。

满分12分。

解：（1）由条件可得：11111133()()2254225102a a d a a d a d a d ⎧+=⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⨯⎪⎪+=+=⎩⎪⎩-----------------------------------------------------2分消去d 得：211230a a +-=，解得11a =或13a =-（舍），所以12d =--------------------------------4分所以1n n a +=．-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）得：122,1,2nn n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，---------------------------------------------------------------------------------7分所以数列{}n b 的前21n +项和为：212112342213521222222n n n n n T b b b b b b ++++=++++++=++++++ ---------------------------------8分23135721(2222)()2222n n ++=+++++++++ ---------------------------------------------------10分1223212(12)222221222n n n n n n ++++-+=+⋅=+------------------------------------------------------------12分18．本小题主要考查样本的数字特征，等高条形图和2⨯2列联表等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力；考查统计概率思想。

【数学】福建省厦门市高三下学期3月第一次质量检查试题(文)(解析版)

福建省厦门市高三下学期3月第一次质量检查数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以．故选A．2.是虚数单位，则的虚部是（）A. -2B. -1C.D.【答案】B【解析】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．3.已知，，，则（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】D【解析】∵，，∴．又，∴，∴，∴，∴．故选D．4.设双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴双曲线的方程为．由得，即，∴双曲线的渐近线方程为．故选B．5.在中，，，，则的面积等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由及正弦定理得．在中，由余弦定理得，所以，解得，所以．又，所以．故选D．6.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【解析】对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为，所以B正确．对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C 正确．对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．故选D．7.已知是偶函数，且对任意，，设，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵对任意，，∴函数在上为增函数．又函数为偶函数，∴在上单调递减，在上单调递增．又，∴，即．故选B．8.设函数，若直线是图像的一条对称轴，则（）A. 的最小正周期为，最大值为1B. 的最小正周期为，最大值为2C. 的最小正周期为，最大值为1D. 的最小正周期为，最大值为2【答案】A【解析】∵直线是图象的一条对称轴，∴，即，解得．∴，∴的最小正周期为，最大值为．故选A．9.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．由古典概型概率公式可得，所求概率为．故选A．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上．设球半径为，则在中，，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．11.设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵函数恰有两个零点，∴方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，∴函数的图象和函数的图象有两个不同的交点．①当时，显然不符合题意．②当时，函数的图象为过原点且斜率小于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得两函数的图象总有两个不同的交点．所以符合题意．③当时，函数的图象为过原点且斜率大于0的直线．画出两函数的图象，如下图所示．由图象可得，当时，两函数的图象总有一个交点，所以要使得两函数的图象再有一个交点，只需直线的斜率小于曲线在原点处的切线的斜率．由，得，所以，所以，解得，所以．综上可得或．故选A．12.设动点在抛物线上，点，直线的倾斜角互补，中点的纵坐标为，则不可能为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】设，直线的方程为，由消去y整理得，∵直线和抛物线交于两点，∴，解得且．又点，∴，故，∴．以代替上式中的，可得．∴，由且可得且．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分）13.已知，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∴．故答案为．14.若满足，则的最大值为__________．【答案】2【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由变形得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．由，解得，所以点A的坐标为，所以．故答案为2．15.在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．【答案】【解析】如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．则，设，则，∴，其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，由几何图形可得，∴．故答案为．16.在正三棱锥中，，，分别为的中点，平面过点，平面，平面，则异面直线和所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】画出图形，正三棱锥如图所示．因为平面，平面，平面平面，所以．取的中点，连接，则，所以，所以为异面直线和所成角或其补角．取的中点，则，，又，所以平面，又平面，所以，所以．在中，，，所以，，所以异面直线和所成角的余弦值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）依题意得，又数列为公差为2的等差数列，所以，所以．因为所以，两式相减得：，，所以，，又不满足上式，所以．（2）当时，所以，又当时，满足上式，所以.18.如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，.（1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若，，求多面体的体积.解：（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.理由如下：因为均垂直于平面，所以，因为，，所以四边形为梯形．又分别为中点，所以，，所以，，所以为平行四边形，因为，为中点，所以．又平面，平面，所以．又，所以平面又平面，所以平面平面，所以平行四边形即为所作的截面.（2）法一：过点作于点．因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面在中，，，，得，所以，因为，所以，，所以.法二：将多面体补成直三棱柱，其中，，，，则在中，，，，得，所以，所以，所以.法三：在多面体中作直三棱柱，则，在中，，，，得，所以，设边上的高为，则，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面．所以，，所以．19.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（1）利用散点图判断，和（其中为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.（2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；（3）已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，解：（1）由散点图知，选择回归类型更适合．（2）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.（3）由（2）知，，∴，令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为亿元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.20.已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于点.（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）证明：.（1）解：设点，当垂直于轴时，可得，所以，所以点的坐标为，又，所以，所以直线的方程为．（2）证明：法一：①当直线的斜率不存在时，其方程为，若，则，此时方程为，当时，，所以，因此，所以．若，则，此时方程为，当时，，所以，因此，所以．综上可得．②当直线的斜率存在时，设，由消去y整理得，其中，设，，则，因为，所以直线的方程为当时，得，因为．所以，所以．法二：设直线，由消去x整理得，其中，设，，则，所以，故所以．因为，所以直线的方程为，当时，得，所以，所以．21.设函数.（1）求的极值；（2）证明：.（1）解：因为，所以，因为，所以在上单调递增，又，所以当，单调递减；当，单调递增．所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．（2）证明：法一：的定义域为，要证，只需证，只需证．令，则，因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以，即，故当时，.法二：令，当时，，要证，只需证，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增．所以，即，所以．故当时，．法三：的定义域为．令，因为，由得；由，得；所以在上单调递减，上单调递增，所以，即．要证只需证，只需证，只需证．令，则，因为，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即.故时，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若上恰有2个点到的距离等于，求的斜率.解：（1）当，即时，的普通方程为当，即时，的普通方程为由，及，得即C的直角坐标方程为（2）依题意，设所以上恰有2个点到的距离等于等价于上的点到的距离的最大值为设上任一点，则到的距离（其中，）当时，，解得：，所以的斜率为23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.解：（1）当时，原不等式等价于，解得，所以；当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解；当时，原不等式等价于，解得，所以；综上所述，不等式解集为.（2）由，得当时，恒成立，所以；当时，因为当且仅当即或时，等号成立所以，综上，的取值范围是.。

福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查3月数学文

2
，则 a,b, c 的大小关系是（
）
A． a b c
B
．c a b C ．a c b
D ．b c a
10. 公元 263 年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和
完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法
. 如图是
利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出
2m cos x 在
0,
上单调递增，则 m 的取值范围是．
16. 已知 A, B 是圆 C : x 2 y 2 8 x 2y 16 0 上两点，点 P 在抛物线 x2 2 y 上，当 APB 取得最大
值时， AB ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步
A． 2 3
B
． 2 3 C ．3 D ．4
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量 a 1,2 x 1 , b 2,3 ，若 a / /b ，则 x ．
cos
14. 已知
4
ห้องสมุดไป่ตู้
2 4 ，则 sin 2 ．
1
fx 15. 若函数
2x
sin 2 x 2
B
．A B A C ．A B
D ．A B x 1 x 1
2. 已知 i 为虚数单位， a,b R ，若 a 2i i b 2i ，则 a b （）
A． 2
B ．0 C ．2 D ． 4
3. 甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两
名同学加入同一个社团的概率是（

厦门市2018届高三数学一模试卷(文科) 含解析

2018年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|y=lg（3﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜3}2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（1）+f（3）=（）A．3 B．0 C．1 D．24．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A．B．C．D．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），则tan（α﹣）的值为（）A．﹣3B．﹣C．﹣D．﹣6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3，a=1．那么在①处应填（）A．T＞2S？ B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？7．实数x，y满足，则z=4x+3y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．248．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，若•=12，则∠BAD=（）A．B．C．D．9．当x＞0时，函数f（x）=（ae x+b）（x﹣2）单调递增，且函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则使得f（2﹣m）＞0成立的m的取值范围是（）A．{m|m＜﹣2或m＞2}B．{m|﹣2＜m＜2}C．{m|m＜0或m＞4} D．{m|0＜m＜4}10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB=α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则α=（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，直线y=x﹣2与圆x2+y2=2a n+2交于A n，B n（n∈N*）两点，且．若a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．[0，+∞）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z满足z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），则z的模为．14．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，则S n的最大值为．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为_____．16．∃x0∈（2，+∞），k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1），则正整数k的最小值为．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）三、解答题：本大题共5小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A （0，0），B （6，0），C 是函数f （x ）图象的一个最高点．a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，满足（a +c ）（sinC ﹣sinA ）=（a +b ）sinB ．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g （x ）的图象，求函数g （x ）的单调递减区间．18．为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2018年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？ K 2=．19．如图，正方形ABCD 的边长等于2，平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ∥BE ，BE=2AF=2，EF=．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEF的体积．20．已知函数f（x）=（x2﹣ax+a+1）e x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点，x1，x2（x1＜x2），其中a＞0．若mx1﹣＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．已知椭圆Γ： +y2=1（a＞1）与圆E：x2+（y﹣）2=4相交于A，B两点，且|AB|=2，圆E交y轴负半轴于点D．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点，点N与点N'关于y轴对称，求证：直线MN'过定点，并求该定点坐标．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．2018年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|y=lg（3﹣x）}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B={x|y=lg（3﹣x）}={x|3﹣x＞0}={x|x＜3}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴=，∴双曲线的离心率为e===故选：D．3．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（1）+f（3）=（）A．3 B．0 C．1 D．2【考点】函数的图象．【分析】由已知中函数的图象，求出f（1），f（3）的值，可得答案．【解答】解：由已知中的函数f（x）的图象可得：f（1）=2，f（3）=1，故f（1）+f（3）=3，故选：A4．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【解答】解：P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译）==，故选：C．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），则tan（α﹣）的值为（）A．﹣3B．﹣C．﹣D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α﹣）的值．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2），∴tanα==﹣，则tan（α﹣）===﹣3，故选：A．6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3，a=1．那么在①处应填（）A．T＞2S？ B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？【考点】程序框图．【分析】由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论．【解答】解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选B．7．实数x，y满足，则z=4x+3y的最大值为（）A．3 B．4 C．18 D．24【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，4），由z=4x+3y得：y=﹣x+z，结合图象得直线过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．8．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，若•=12，则∠BAD=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出答案．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，∴=+=﹣﹣，=+=﹣﹣若•=12，则•=（﹣﹣）•（﹣﹣）=++•=×32+×22+×3×2×cos∠BAD=12，cos∠BAD=，∴∠BAD=．故选：B．9．当x＞0时，函数f（x）=（ae x+b）（x﹣2）单调递增，且函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则使得f（2﹣m）＞0成立的m的取值范围是（）A．{m|m＜﹣2或m＞2}B．{m|﹣2＜m＜2}C．{m|m＜0或m＞4} D．{m|0＜m＜4}【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）=f（﹣2）=0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，即函数y=f（x）的图象关于y轴对称，函数f（x）是偶函数，而f（2）=0，故x＞2时，f（x）＞0，x＜﹣2时，f（x）＞0，故f（2﹣m）＞0，即|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．19πD．22π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；还原出长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；还原出长方体是长为2，宽为1，高为．设该四棱锥的外接球球心为O，则过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；∴OM=，ON=×=；∴外接球的半径满足R2=ON2+AN2=+=，∴外接球的表面积为S=4πR2=4π×=．故选：A．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB=α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则α=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，再根据的最小值为1，即可得到答案．【解答】解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，∵的最小值为1，∴a2+b2﹣2abcosα≥，α=时，不等式恒成立．故选：C．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，直线y=x﹣2与圆x2+y2=2a n+2交于A n，B n（n∈N*）两点，且．若a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．[0，+∞）D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得a1+2a2+3a3+…+na n，代入a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2，分离参数λ，求出得最大值得答案．【解答】解：圆心O（0，0）到直线y=x﹣2，即x﹣y﹣2=0的距离d==2，由d2+=r2，且，得22+S n=2a n+2，∴4+S n=2（S n﹣S n﹣1）+2，+2）且n≥2；即S n+2=2（S n﹣1∴{S n+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n=2a n+2，取n=1，解得a1=2，∴S n+2=（a1+2）•2n﹣1，则S n=2n+1﹣2；∴（n≥2）．a1=2适合上式，∴．令T n=a1+2a2+3a3+…+na n=1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴，两式作差可得：==（1﹣n）•2n+1﹣2，∴，由a1+2a2+3a3+…+na n＜λa n2+2对任意n∈N*恒成立，可得（n﹣1）•2n+1+2＜λ•22n+2对任意n∈N*恒成立，即λ＞对任意n∈N*恒成立，当n=1时，=0；由，知，n=2时，=0，∴当n=2、3时，最大为．∴λ＞．∴λ的取值范围为：．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z满足z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），则z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），∴z（1+i）（1﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，则z=，∴|z|==．故答案为：．14．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，则S n的最大值为30．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，根据a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，可得3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d，a1．令a n≥0，解得n，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，∴3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d=﹣5，a1=15．∴a n=15﹣5（n﹣1）=20﹣5n，令a n=20﹣5n≥0，解得n≤4．则S n的最大值为S4=S3=3×15+=30．故答案为：30．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为_____．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】解：由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，∴A1C1=，A1B=，∴AB=，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为（2++）×1=，故答案为．16．∃x0∈（2，+∞），k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1），则正整数k的最小值为5．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）【考点】特称命题．【分析】根据题意得出k＞，设f（x）=，其中x＞2；利用导数求出f（x）在x＞2的最小值，即可求出正整数k的最小值．【解答】解：∃x0∈（2，+∞），∴x0﹣2＞0，∴k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1）可化为k＞，设f（x）=，其中x＞2；则f′（x）==；令f′（x）=0，得x﹣4﹣2lnx=0，设g（x）=x﹣4﹣2lnx，其中x＞2；则g′（x）=1﹣=，当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）是单调增函数，∴g（x）≥g（2）；且g（2）=2﹣4﹣2ln2=﹣2﹣2×0.6931＜0，g（5）=5﹣4﹣2ln5=1﹣2×1.6094＜0，g（8）=8﹣4﹣2ln8=4﹣6ln2=4﹣6×0.6931＜0，g（9）=9﹣4﹣2ln9=5﹣4ln3=5﹣4×1.0986＞0；∴g（x）在（8，9）内有零点，且在零点处f（x）取得最小值m；∴f（8）==×（3ln2+1）=×（3×0.6931+1）≈4.1＞m，f（9）==×（2ln3+1）=×（2×1.0986+1）≈4.1＞m；∴k≥4.1；即正整数k的最小值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），C是函数f（x）图象的一个最高点．a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sinC﹣sinA）=（a+b）sinB．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），∴sinφ=0，∴φ=0，且==6，∴ω=，∴f（x）=Msin（x）．∵C是函数f（x）图象的一个最高点，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c）（sinC﹣sinA）=（a+b）sinB，∴（a+c）（c﹣a）=（a+b）b，整理可得=﹣，即cosC=﹣，∴C=．由题意可得CA=CB，∴∠A=，设AB的中点为D，则CD⊥AB，且点D（3，0），点C（3，M），根据tan∠A=tan===，∴M=，∴f（x）=sin（x）．（Ⅱ）将函数f（x）=sin（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，可得y=sin （x +1）=sin（x+）的图象；再把横坐标伸长为原来的倍，得到函数g （x ）=sin（•x+）=sin（x+）的图象．令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x ≤4kπ+，故函数g （x ）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k ∈Z ．18．为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：联合国世界卫生组织于2018年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？ K 2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【解答】解：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为（20×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×55）÷（20+40+40+200+200+300）=42.75；（Ⅱ）列联表：K 2==18＞7.879，∴能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．19．如图，正方形ABCD 的边长等于2，平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ∥BE ，BE=2AF=2，EF=．（Ⅰ）求证：AC ∥平面DEF ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣DEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD ，记AC ∩BD=O ，取DE 的中点G ，连结OG 、FG ，推导出四边形AOGF 是平行四边形，从而AC ∥FG ，由此能证明AC ∥平面DEF ．（Ⅱ）在面ABEF 中，过F 作FH ∥AB ，交BE 于点H ，推导出FE ⊥EB ，从而FE ⊥AF ，三棱锥C ﹣DEF 的体积V C ﹣DEF =V A ﹣DEF =V D ﹣AEF ，由此能求出三棱锥C ﹣DEF 的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD ，记AC ∩BD=O ，取DE 的中点G ，连结OG 、FG ，∵点O 、G 分别是BD 和ED 的中点，∴OGBE ，又AF ，∴OG AF ，∴四边形AOGF 是平行四边形，∴AO ∥FG ，即AC ∥FG ，又AC ⊄面DEF ，FG ⊂平面DEF ，∴AC ∥平面DEF ．解：（Ⅱ）在面ABEF 中，过F 作FH ∥AB ，交BE 于点H ，由已知条件知，在梯形ABEF 中，AB=FH=2，EF=，EH=1， ∴FH 2=EF 2+EH 2，即FE ⊥EB ，从而FE ⊥AF ，∵AC ∥平面DEF ，∴点C 到平面DEF 的距离为AF=BH=2﹣1=1，∠AFE=90°，∴．∴三棱锥C ﹣DEF 的体积V C ﹣DEF =V A ﹣DEF =V D ﹣AEF ===．20．已知函数f （x ）=（x 2﹣ax +a +1）e x ．（Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点，x1，x2（x1＜x2），其中a＞0．若mx1﹣＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m＞=恒成立，即m＞﹣+2x2+1恒成立，令t=a﹣2（t＞2），则x2=，令g（t）=，根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=[x2+（2﹣a）x+1]e x，令x2+（2﹣a）x+1=0（*），（1）△=（2﹣a）2﹣4＞0，即a＜0或a＞4时，方程（*）有2根，x1=，x2=，函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减；（2）△≤0时，即0≤a≤4时，f′（x）≥0在R上恒成立，函数f（x）在R递增，综上，a＜0或a＞4时，函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减；0≤a≤4时，函数f（x）在R递增；（Ⅱ）∵f′（x）=0有2根x1，x2且a＞0，∴a＞4且，∴x1＞0，mx1﹣＞0恒成立等价于m＞=恒成立，即m＞﹣+2x2+1恒成立，令t=a﹣2（t＞2），则x2=，令g（t）=，t＞2时，函数g（t）=递增，g（t）＞g（2）=1，∴x2＞1，∴﹣+2x2+1＜2，故m的范围是[2，+∞）．21．已知椭圆Γ： +y2=1（a＞1）与圆E：x2+（y﹣）2=4相交于A，B两点，且|AB|=2，圆E交y轴负半轴于点D．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点，点N与点N'关于y轴对称，求证：直线MN'过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，圆心E到AB的距离为1，求出B坐标代入椭圆方程得a即可．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），N′（﹣x2，y2）．圆E交y轴负半轴于点D（0，﹣），当直线MN斜率存在时，设其方程为：y=kx﹣，直线MN′的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN'过定点，定点一定在y轴上，令x=0，==．【解答】解：（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，∵，圆心E到AB的距离为1，∴，∴，代入椭圆方程得，解得a2=4，∴．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），N′（﹣x2，y2）．圆E交y轴负半轴于点D（0，﹣），当直线MN斜率存在时，设其方程为：y=kx﹣，消去y得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0．∴x1+x2=，x1x2=，直线MN′的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN'过定点，定点一定在y轴上，令x=0，==．当直线MN斜率不存在时，直线MN′的方程为x=0，显然过点（0，﹣2）．直线MN'过定点（0，﹣2）选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用参数方程与普通方程转化，求得C1的普通方程，将l的极坐标方程为转化成曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）由C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16，求得ρ12﹣2ρ1﹣3=0，代入求得ρ1，ρ2，求得丨AB丨，AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2．利用三角形的面积公式，即可求得△PAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=7，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣3=0，直线l的直角坐标方程为y=x．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x﹣4）2+y2=16，由题意设A（ρ1，），B（ρ2，），则ρ12﹣4ρ1cosθ﹣3=0，即ρ12﹣2ρ1﹣3=0，得ρ1=3或ρ1=﹣1（舍），ρ2=8cos=4，则丨AB丨=丨ρ1﹣ρ2丨=1，C2（4，0）到l的距离为d==2．以AB为底边的△PAB的高的最大值为4+2．则△PAB的面积的最大值为×1×（4+2）=2+．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得，由此求得m的值．（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a2+a﹣4，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵m＞1，∴，作出函数f（x）的图象，如图所示：由f（x）＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}及函数图象，可得，得m=3．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，∴f（x）的最小值为2．关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，则2＜a2+a﹣4，即a2+a﹣6＞0，即（a+3）（a﹣2）＞0，∴a＜﹣3，或a＞2，实数a的取值范围{a|a＜﹣3，或a＞2 }．2018年3月29日。

高三数学-2018年厦门市普通中学高中毕业班质量检查数

2018年厦门市普通中学高中毕业班质量检查数学（文科）试题本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案代号填在下面的括号内.)1．对于集合M 、N ，定义M -N ={x |x ∈M ,且x ∉N },M ⊕N =（M -N )∪(N -M ).设A ={1，2，3，4，5，6，7}，B ={4，5，6，7，8，9，10}，则A ⊕B= （）A.{4，5，6，7} B.{1，2，3，4，5，6，7} C.{4，5，6，7，8，9，10} D.{1，2，3，8，9，10}2.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1=3,前三项和为21，则a 3+a 4+a 5= （） A.33 B.72 C.84D.1803.已知直线m 、n 与平面α、β,给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α,则m ∥n ;②若m ∥α,n ⊥α,则n ⊥m ;③若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是（） A.0 B.1 C.2D.34.已知x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥--0120101y x y x y x ，则z =20-2y +x 的最大值是（）A.21B.23C.25D.275.设向量a =(cos 25°，sin 25°),b =(sin20°,cos20°),若t 是实数，且u =a +t b ,则|u |的最小值为（）A.2B.1C.22D.216.若实数x 满足不等式22x -22-x>32x --3x -2，则x 的取值范围是（）A.(-∞,-3)∪(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)7.函数y =x 3-2ax +a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是（） A.(0,3) B.(-∞,3) C.(0,+∞) D.(0,23)8.已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是（） A.a =b ，b =aB.a =c ，b=a ，c=bC.a=c ，b=a ，c=aD.c=a ，a=b ，b=c9.要从10名男生与5名女生中选出6名学生组成课外活动小组，如果按性别分层抽样，试问组成此课外活动小组的概率为（） A.61525410C C C B.61535310C C C C.615615A C D.61525410C A A10.幂函数①y =x -1，②y =x ,③y =1，④x =1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数y =x 23-的图象在第一象限中经过的“卦限”是（） A.Ⅳ，Ⅶ B.Ⅳ，Ⅷ C.Ⅲ，Ⅷ D.Ⅲ，Ⅶ11.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面 ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点.那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（） A.32 B.510 C.54 D.51512.过双曲线12222=-by ax (a >0,b >0)的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若M 为EF 的中点，则该双曲线的离心率为（）A.2 B.3 C.3 D.2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题 (本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.)13.若（1-2x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6,则a 0+a 2+a 4+a 6= .(用数字作答）.14.过点M （1，2）的直线l 将圆：（x -2)2+y 2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程为 .15. 设x,a 1,a 2,,y 成等差数列，x,b 1,b 2,y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是 .16.⎰-202)32(x x d x = .三、解答题 (本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)a = (cos α,sin α),b =(cos β, sin β), |a-b |=552. (1)求cos(α-β)的值；（2）若-202π<α<<β<π-,且sin β=-135,求sin α的值.18.(本小题满分12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB =3， BC =6，点E 在棱P A 上且PE =2EA . (1)求异面直线P A 与CD 所成角；（2）求证PC ∥平面EBD；（3）求二面角A -BE -D 的大小.19.(本小题满分12分)，每盘比赛甲胜的概率为31，乙胜的概率为32，规定：某人胜3盘，则比赛结束.(1)4盘结束比赛且甲获胜的概率是多少？（2）比赛盘数的期望（精确到0.1）？20. (本小题满分12分)已知函数f (x )=-x 3+ax 2+b (a 、b ∈R ).(1)要使f (x )在区间（0，1）上单调递增，试求a 的取值范围；（2）当a >0时，试求f (x )的解析式，使f (x )的极大值为2731，极小值为1；（3）若x ∈［0,1］时，f (x )图像上任意一点处的切线的倾斜角为θ，试求当θ∈［0，4π］时，a 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知两点M （-2，0），N （2，0），动点P （x ,y )在y 轴上的射影为H ，||是2和PN PH ∙的等比中项.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x +y =1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C的方程.22. (本小题满分14分)已知定义在（-1，1）上的函数f (x )满足f ⎪⎭⎫⎝⎛21=1,且对x 、y ∈(-1,1)时，有f (x )-f (y )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--xy y x f 1. (1)判断f (x )在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；（2）令x 1=21,x n +1=212nn x x +,求数列{f (x n)}的通项公式；（3）设T n 为数列{)(1n x f }的前n 项和，问是否存在正整数m ，使得对任意的n ∈N *,有T n <34-m 成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由.参考答案1．D 由题意，A -B ={1，2，3}，B -A ={8，9，10}，∴A ⊕B ={1,2,3,8,9,10}.选 D. 2. C 设公比为q ，则q >0，3+3q +3q 2=21,∴q =2,∴a 3+a 4+a 5=a 1q 2(1+q +q 2)=84.3．C. 4. D .5.C |u |2=|a |2+t 2|b |2+2t a ·b=1+t 2+2t (sin20°cos25°+cos20°sin25°) =t 2+2t +1=(t +22)2+21,|u |2min =21,∴|u |min =22.6.C 由题意有22232322---->-x x x x ,构造函数f (t )=2t -3-t ,则f (t )在R 上递增，且f (x 2)>f (2-x ),∴x 2>2-x ,即x 2+x -2>0,解得x >1或x <-2.7.D f ′(x )=3x 2-2a =0,解得x =±32a ,由题意知只要0<32a<1,即0<a <23,所以选D.8．D9．A 从10名男生、5名女生中选出6名的不同选法只有C 615种；按分层抽样，则组成此课外活动小组需抽取4名男生、2名女生，不同选法有C 410·C 25种，∴P =61525410C C C .10.D .11.D C 1D 1中点G ，连OG ，GE ，则∠GOE 为所求角，在△GEO 中，GE =2，GO =5，OE =3，∴cosGOE =515152235=-+.12．D EF 被渐近线垂直平分，即x 轴、y 轴关于渐近线对称，即渐近线必为y =±x . 则双曲线为等轴双曲线，离心率为2.13．365 令x =1得a 0+a 1+a 2+…+a 6=1,令x =-1，得 a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 6=729,两式相加得a 0+a 2+a 4+a 6=365.14.x -2y +3=0 当l 垂直于圆心与点M 的连线时，所得劣弧最短，故l 的斜率为-2121=-，由点斜式方程即可得出l ：x -2y +3=0.15．),4[]0,(+∞⋃-∞16.34 f (x )=31x 3-31x 2+C ，原式=f (2)-f (0)=34.17．（1）∵|a-b |=552,∴a 2-2a ·b +b 2=54，又a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β), ∴a 2=b 2=1,a ·b =cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β).∴cos(α-β)=532542=-.(2)∵-202π<α<<β<π,∴0<α-β<π,由（1）得cos(α-β)=53, ∴sin(α-β)=54. 又sin β=-135,∴cos β= 1312. ∴sin α=sin ［(α-β)+β］=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=54×6533)135(531312=-⨯+18.(1)∵PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥PD ，∴CD ⊥BD ，又AD =AB =3，过D 作DF ⊥BC 于F ，则四边形ABFD 为正方形.BF =FC=3,∴∠CDF =45°,CF=FB =3，连结AF 则AF ∥CD， ∴异面直线P A 和CD 所成角就是P A 和AF 的夹角，在△P AF 中，AF=P A=PF =32，∴∠P AF =60°，即P A 和CD 所成角为60°. 另法：如图（1）所示建立空间坐标系，P （0，0，3）, A (3,0,0),C (0,-6,0),D (3,-3,0),=（3，0，-3）， =（3，3，0），∴cos 2123239||||=∙=∙>=<CD PAPA∴><,=60°. (2)连AC 交BD 于G ，连结EG ， ∵21,21===EP AE BC AD GC AG 又， ∴EPAEGC AG =，∴PC ∥EG ，又EG ⊂平面EBD ， PC ⊄平面EBD ，∴PC ∥平面EBD.(3)作AH ⊥BE 于H ，连结DH ，∵DA ⊥平面HBD ，∴DH ⊥BE ， ∴∠AHD 即为二面角A-BE-D 的平面角，在△ABE 中，BE =5，AH =55345sin =︒∙∙BE AE AB∴tan ∠AHD =5=AHAD,即二面角A-BE-D 为arctan 5.19.解：（1）2723132)31(223=⨯⨯C. (2)ξ=3,4,5,P (ξ=3)=31323133=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛，P (ξ=4)=2710323132313231223223=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C CP (ξ=5)=,27832313231323122242224=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛CC∴E ξ=3×0.42710727852710431≈=⨯+⨯+ 20.(1)f ′(x )=-3x 2+2ax ,要使f (x )在(0,1)上单调递增，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，即-3x 2+2ax >0恒成立，a >23x 恒成立,∴a ≥23. (2)由f ′(x )=0得x =0或x =23a.x(-∞,0)（0，)32a a 32 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32a f ′(x )- 0 + 0 - f (x ) ↓极小 ↑极大↓∴f (0)=b =1,f (a 32)=-273119427823=+∙+a a a ,∴a =1,故f (x )=-x 3+x 2+1. (3)当x ∈(0,1)时，tan θ=f ′(x )=-3x 2+2ax ,又θ∈[0,4π], ∴0≤f ′(x )≤1,∴0≤-3x 2+2ax ≤1在x ∈(0,1)时恒成立.当x ∈(0,1)时，由-3x 2+2ax ≥0恒成立，得a ≥23x 恒成立， ∴a ≥23, 由-3x 2+2ax ≤1恒成立，得a ≤21(3x +x1)恒成立. 又21(3x +x 1)的最小值为3，∴a ≤3,综上所述，23≤a ≤3.21.解：（1）动点为P （x,y ),则H (0,y )，=(-x ,0),=(-2-x ,-y),=(2-x ,-y),∴PM ·=x 2-4+y 2,且｜PH |2=x 2.由题意得|PH |2=2PM ·，即x 2=2(x 2-4+y 2),14822=+y x 为所求点P 的轨迹方程. (2)若直线x+y =1与双曲线C 右支交于点Q 时，而N （2，0）关于直线x+y =1的对称点E （1，-1），则|QE |=|QN |， ∴双曲线C 的实轴长2a =||QM |-|QN ||=||QM |-|QE ||≤|ME |=10 (当且仅当Q 、E 、M 共线时取“=”），此时，实轴长2a 最大为10；若直线x+y =1与双曲线C 左支交于点Q 时，同理可求得双曲线C 的实轴长2a 最大为10.所以，双曲线C 的实半轴长a =210.又∵c =21|MN |=2,∴b 2=c 2-a 2=23. 故双曲线方程为1325222=-y x .22.解：（1）令x =y =0,得f (0)=0.又当x =0时，f (0)-f (y )=f (-y ),即f (-y )=-f (y).∴对任意x ∈(-1,1)时，都有f (-x )=-f (x ).∴f (x )为奇函数. (2)∵{x n }满足x 1=21,x n +1=12212122=<+=+nnn n x x x x,∴0<x n <1.∴f (x n +1)=f )()()(1)(122n n n n n n n n x f x f x x x x f x x --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+. ∵f (x )在（-1，1）上是奇函数，∴f (-x n )=-f (x n ),∴f (x n +1)=2f (x n ),即2)()(1=+n n x f x f.∵{f (x n )}是以f (x 1)=f ⎪⎭⎫⎝⎛21=1为首项，以2为公比的等比数列， ∴f (x n )=2n -1.(3)T n =112212122112112121211)(1)(1)(1----⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=+++n nn n x f x f x f .假设存在正整数m ，使得对任意的n ∈N *,有T n <34-m 成立，即2-34211-<-m n 对n ∈N *恒成立. 只需34-m ≥2,即m ≥10，故存在正整数m ，使得对n ∈N [*,有T n <34-m 成立. 此时m 的最小值为10.。

厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查文科数学试题

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B ⋂=A.{}1,2B.{}0,1,2C.{}0,1,23，D.φ2．已知命题:p x ∀∈R ，21x >，命题0:q x ∃∈R ，00sin cos x x =，则下列命题中的真命题为A.q ⌝B.p q ∧C.p q ⌝∧D.p q∨⌝3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则A.a b c>> B.c b a >> C.b a c >> D.b c a >>4．已知sin234α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是A.12 B.12- C.14 D.14-5．若x ,y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是A.1B.3C.5D.76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是A.若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB.若a α⊥，αβ⊥，则a ∥βC.若a ∥α，b α⊥，则a b ⊥D.若a ∥α，αβ⊥，则a β⊥7．已知数列{}n a 满足11(1)2n n n a a +++-=，则其前100项和为A.250B.200C.150D.1008．函数sin (1cos 2)y x x =+在区间[2,2]-上的图象大致为A. B. C. D.9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(,0)F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为A.2y x =±B.12y x =±C.4y x =±D.14y x =±10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12 来源于《乾坤谱》中对《易传》大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.右图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =A ．44B ．68C ．100D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ= ．若1·4AD BC = ，则实数λ的值为A.2-B.14 C.12 D.3412．函数2cos y x =0x π<<（）和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为A.3πB.3πC.22πD.23π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =.14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为.15．已知函数221,20,(),0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为.16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x轴，若直线1PF 3，则该椭圆的离心率为.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，D 是边BC 上的点，7AB AD ==,1cos 7BAD ∠=.（1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．（12分）已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD ∥AB ，90BPA BAD ∠=∠=︒．（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，(1,0)F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l 过点(4,0)M 且与Γ交于,A B 两点．当ABF ∆与AOF∆的面积之和取得最小值时，求直线l 的方程．21．（12分）已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()321(225)4g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线OA ：,θα=其中02πα<<．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求OA OB ⋅的最小值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）函数()12f x x x a =-++．（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥；（2）若()f x 的最小值为2，试求a 的值．。

人教版2018届高三下学期第一次质量检查(3月)数学(文)试题(精品解析)

1福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查（3月）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C.D.【答案】D 【解析】 ∵集合∴，故选D.2.已知为虚数单位，，若，则（）A.B. 0C. 2D. 4【答案】B 【解析】∴∴ ∴故选B.3.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中选取一个社团加入，共有种不同的结果，这两名同学加入同一个社团的有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是.1 故选B.4.已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为∴可设双曲线的标准方程为，即∵焦距为∴当时，，即，则双曲线的标准方程为；当时，，即，则双曲线的标准方程为.故选C.点睛：（1）已知双曲线方程求渐近线：；（2）已知渐近线，设双曲线标准方程.5.设满足约束条件则的最小值是（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】约束条件对应的可行域如图所示：平移直线，由图易得，当经过点时，目标函数最小，最小值为1.故选C.点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.6.把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的一个可能值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数∴函数∴把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为.∵函数∴∴∴当时，故选D.7.已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由图可得函数的定义域是，当时，，故排除B，D选项；由图象可得函数图象不关于原点对称，而选项C为奇函数，故排除C.故选A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图画出如图所示的直观图：该几何体是直三棱柱，其中，，，四边形是正方形，则将该直三棱柱补全成长方体，如图所示：∴该长方体的体对角线为，则外接球的半径为∴该几何体外接球的表面积是故选A.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解；(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．9.已知，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，化简,由幂函数的性质可得，从而可得结果.【详解】∵∴，，,∴故选B.【点睛】本题主要考查幂函数、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出的值为24，则判断框中填入的条件可以为（）(参考数据：)A. B. C. D.【答案】C【解析】模拟执行程序可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，因为输出的值为24，则满足条件，退出循环，故判断框中填入的条件为.故选C.11.矩形中，，为中点，将沿所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，；②存在某个位置，；③存在某个位置，；④存在某个位置，.其中正确的是（）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】C【解析】根据题意画出如图所示的矩形：翻折后如图：.对于①，连接，交于点，易证，设，则，，所以，，则，即，，所以翻折后易得平面，即可证，故①正确；对于②，若存在某个位置，，则平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，故②不正确；对于③，若存在某个位置，，则平面，平面⊥平面，则就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故③正确；对于④，若存在某个位置，，因为，所以平面，从而，这与已知矛盾，故④不正确.故选C.12.的内角的对边分别为，若，则的最大值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】A【解析】∵∴，即.∵∴∴∴当，即时，取得最大值为∴故选A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则__________．【答案】【解析】∵，且∴∴故答案为.14.已知，则__________．【答案】【解析】∵∴，即∴∴故答案为.15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数在上单调递增∴在上恒成立∴在上恒成立∵，当且仅当，即时取等号∴故答案为.本题主要考查利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法②求解的.16.已知是圆上两点，点在抛物线上，当取得最大值时，__________．【答案】【解析】依题意可得，当是圆的切线时取得最大值，即是圆的切点，设，.∵圆∴圆心，半径为1∴∵∴令，则.∴当时，，即函数在上为减函数；当时，，即函数在上为增函数.∴，即.∴，即此时最大.∴，即.故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项和味，，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列求数的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题设条件可得，从而解出与的值，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）得数列的通项公式，根据数列的特性采用分组求和法即可求得前项和.试题解析：（1）由条件可得：消去得：，解得或（舍），所以所以.（2）由（1）得：所以数列的前项和为：.18.为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了 50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；（2）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式，其中.临界值表：【答案】（1）；（2）没有的把握认为“阅读达人”跟性别有关.【解析】试题分析：（1）利用该组区间的中点值与频率，即可估计该校学生的每天平均阅读时间；（2）利用数据及等高条形图，可得列联表，代入公式计算出，与临界值比较即可得到结论.试题解析：（1）该校学生的每天平均阅读时间为：（分）.（2）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是人，根据等高条形图列联表由于，故没有的把握认为“阅读达人”跟性别有关.19.如图，平面平面，四边形是菱形，，，，.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）在上有一点，使得，求的值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）由四边形是菱形推出，在根据平面平面证出平面，结合，求出梯形的面积，即可求得四棱锥的体积；（2）在平面内作,且,连接交于，从而四边形是平行四边形，再由菱形推出，通过即可得出的值.试题解析：（1）∵四边形是菱形∴又∵平面平面,平面平面,平面∴平面在中,,设,计算得在梯形中,梯形的面积∴四棱锥的体积为.（2）在平面内作,且,连接交于，则点满足,证明如下：∵,∴,且∴四边形是平行四边形.∴又菱形中,.∴∴四边形是平行四边形∴,即.∵∴又∴.20.设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为.直线与交于两点，的中点为，.（1）求椭圆的方程；（2）设点，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）直线过定点.【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线，推出，结合离心率为，即可求出椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，表示出，，即，，再根据点，即可求出的值，从而求出定点的坐标.试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线.∴∴∵∴∴∴椭圆的方程为:（2）设，.联立,消去整理得：.∴，∴，∵∴∴，整理得：解得：或（舍去）∴直线过定点.点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查；（2）解决定点、定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，证明：；（2）讨论函数极值点的个数.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）依题意，，故原不等式可化为，记，对函数求导，得出的单调性，即可证明不等式成立；（2）对函数求导，记，对函数记再求导，然后对进行分类讨论，判断出函数的单调性，从而得出函数的极值点的个数.试题解析：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证.记，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，即，原不等式成立.（2）.记（ⅰ）当时，，在上单调递增，，.∴存在唯一，且当时，；当.①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点；②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；③若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减：此时有一个极大值点和一个极小值点.（ⅱ）当时，，所以，显然在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.（ⅲ）当时，由（1）可知，对任意，从而，而对任意.∴对任意.此时令，得；令，得.∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号.此时令，得；令得.∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.综上可得：①当或时，有两个极值点；②当时，无极值点；③当时，有一个极值点.点睛：求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）设点，与的交点为，求的最大值.【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）把代入曲线，再化为直角坐标，结合直线的参数方程得直线过点，得直线的普通方程，然后根据即可得到曲线的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，结合韦达定理及三角函数的图像与性质，即可求得的最大值.试题解析：（1）把代入曲线可得化为直角坐标为，又过点，得直线的普通方程为；可化为.由可得，即曲线的直角坐标方程为.（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，化简得，①可得，故与同号.∴，∴时，有最大值.∴此时方程①的，故有最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设关于的不等式的解集为，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，由零点分段法，求不等式的解集，最后取并集即可；（2）由题设条件可得在上恒成立，然后分类讨论去绝对值，即可求得的取值范围.试题解析：（1）当时，，，即或或 .解得或或，所以或或.∴原不等式的解集为.（2）∵，∴当时，不等式恒成立，即在上恒成立，当时，，即，∴∴在上恒成立，∴，即；当时，，即，即.∴在上恒成立，∴，即；综上，的取值范围为.。

福建省厦门市2018届高三数学下学期第一次开学考试试题文.doc

厦门外国语学校2017-2018 学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A 1,2,3,4,5,6 ， B x | x2 3x 0 ，则A B （）A. 0,3B. 1,3C. 0,1,2,3D. 1,2,32．设i时虚数单位，若复数zi，则 z （）1 iA. 1 1i B. 11i C. 11i D. 1 1 i2 2 2 2 2 23. 执行如图所示的程序框图，若输入 A 的值为2，则输出的n值为（）A. 3B. 4C. 5D. 64．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）．A．3 B．4 C．34D．2 4(第 3题图)( 第4题图)5．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y 10lg x的定义域和值域相同的是（）A. y 1B. y xC. y 2xD. y lgxx6．直线x y2y2 2(a2A,B ，点O是坐标原点，若AOB 是正3a与圆 x a 1) 相交于点三角形，则实数 a 的值为（）A ． 1B ．-1C ． 1D ．12222227．设椭圆 x2y 2 1，双曲线 x2y 2 1，（其中 m n 0 ）的离心率分别为 e 1 ,e 2 ，则（）mnmnA. e 1 e 2 1B. e 1 e 2 1C. e 1 e 2 1D. e 1 ,e 2 与 1 大小不确定8．已知底面边长为 2 ，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P ABC 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A. 3B.2C. 4D. 439．已知 sin32 3，则 cos（）23A.3B.3 C. 1D.-122 2 2n 2 为奇数 ,10. 已知函数 f (n), n，且 a n f (n) f (n 1)，则 a 1 a 23a ....4102a等于（）n 2，为偶数nA. － 2013B ．－ 2014C ． 2013D ． 201411．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验 . 受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请 120 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对x, y ；再统计两数能与1 构成钝角三角形三边的数对 x, y 的个数 m ；最后再根据统计数 m 估计的值，假如统计结果是 m 34 ，那么可以估计的值约为（）A.22B.47C.51D.53715161712．若关于 x 的不等式 xe xax a 0 的解集为 (m,n)(n 0) ，且 (m,n) 中只有一个整数，则实数 a 的取值范围是（）A.（2 2,12 1 2 1 2 1 3e )B. [ 2 , )C （. 2 , )D. [ 2 , )2e 3e 2e 3e e 3e e二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分．13．已知向量 a 6, 2 ， b 3, m ，且 a / /b ，则 a b __________．2x y 10,14．已知实数x ，y 满足约束条件x 2 y 2 0, 则 z 2x y 的最大值为__________．y 2,15．学校艺术节对同一类的A, B,C, D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“ C作品获得一等奖”丙说：“ B, D 两项作品未获得一等奖”丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________ ．16．已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且 AB 2, BC 4, CD 5, DA 3 ，则四边形ABCD面积的最大值为__________三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12 分）等差数列a n的前n项和为S a110，a为整数，且S S .n ，已知 2 n 4（ 1）求a n 的通项公式；（ 2）设b n1 b n的前n项和T n.，求数列a n a n 118．（本小题满分12 分）如图（ 1），五边形ABCDE 中，ED EA，AB / /CD，CD 2 AB ，, EDC 1500.如图（2），将EAD 沿 AD 折到PAD 的位置，得到四棱锥P ABCD . 点M为线段 PC 的中点，且BM平面PCD．（ 1）求证： BM // 平面PAD .（ 2）若直线 PC 与AB所成角的正切值为1，设AB 1，求四棱锥P ABCD的体积. 219.（本小题满分 12 分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车,, ”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：人数次数[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]年龄18 岁至 31 岁8 12 20 60 140 15032 岁至 44 岁12 28 20 140 60 15045 岁至 59 岁25 50 80 100 225 45060 岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013 年确定新的年龄分段：44 岁及以下为青年人，45 岁至 59 岁为中年人， 60 岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数；（2）若月骑车次数不少于 30 次者称为“骑行爱好者” ，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P(K 20.02 0.01 0.000.0010.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05k)5 0 5k0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.825 8 3 26 1 4 5 9 84K 2n(ad bc)( a c)( a b)(b d )(c d )20．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点 P 1,2 .（ 1）求抛物线 C 的方程；（ 2）设点A， B 在抛物线C上，直线 PA，PB 分别与y轴交于点 M ，N ，PM PN .求证 : 直线AB的斜率为定值 .21．（本小题满分12 分）设函数 f x xe x ax （ a R, a 为常数）， e 为自然对数的底数.（ 1）当f x 0 时，求实数x 的取值范围；（ 2）当 a 2 时，求使得 f x k 0 成立的最小正整数k .22．选修 4－ 4：坐标系与参数方程（本小题满分12 分）在平面直角坐标系xoy 中，圆 C 的参数方程为x 5 2 cost ，（ t 为参数），在以原点 O为极y 3 2sin t点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()2 ， A, B 两4点的极坐标分别为．A(2, ), B(2, )2（ 1）求圆 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（ 2）点P是圆 C 上任一点，求PAB 面积的最小值．23．选修 4-5 ：不等式选讲（本小题满分10 分)已知函数 f x 2x a 2x 3 ， g x x 1 3 （ 1）解不等式：g x 2 ；（ 2）若对任意的x1R ，都有 x2R ，使得 f x1g x2成立，求实数 a 的取值范围.厦门外国语学校201 7-2018 学年第二学期高三第一次考试数学（文科）试题参考答案一. 选择题1---12 DACCA CBACD BB二. 填空题13.10 14． 615． C16． 2 30【选择填空解析】1． D【解析】 B x| x23x 0x |0 x 3 , 所以A B {1 ，2，3}2． A【解析】 z ii 1 i 1i， z 11i .i 1 i 11 i2 2 23． C4． C【解析】几何体是半个圆柱，底面是半径为 1 的半圆，高为2，故几何体的表面积是S 12 2 2 1 2 3 4 ,5． A【解析】函数y 10 lgx 的定义域和值域均为 0, , 函数 y x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y lg x 的定义域为0, ，值域为 R，不满足要求；函数y 2 x的定义域为 R ，值域为 0, 不满足要求；函数y 10, 满足要求，的定义域和值域均为x6． C【解析】试题分析：由题意得，圆的圆心坐标O(0,0) ，所以弦长 2 r 2 d2 r ，得4d2 3r 2 . 所以6 a 2 3a 2 3( a 1)2，解得a 127． Bx 2y2m2 n2 c1 m2 n 2【解析】在椭圆 2 2 1中，c1 ，∴ e1 ，m n m m在双曲线x2 y 21中，c2 2 n 2 e2c2 m2 n 2 2n2 m ，∴m m，mm2 n2 m2 n2 m4 n4 n 4∴ e1 e2 1 1m m m4 m8． A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1, 补成一个正方体( 棱长为 1), 正方体外接球为正三棱锥外接球 , 所以球的直径为,表面积为9． C【解析】 cos πα = cos 2 cos 2 2cos2 1 1 , 3 3 3 2 3 210.D【解析】当 n 为奇数时, a n f (n) f ( n 1) n 2 (n 1)2 (2 n 1);当 n 为偶数时，a n f (n) f ( n 1) n 2 ( n 1)2 2n 1所以 a1 a2 a3 a2014 ( 3 5) ( 7 9) ( 11 13)（- 4017+ 4019）2 2 2 2201411． B【解析】如图，点x, y 在以 OA,OB为邻边的正方形内部，正方形面积为1，x, y,1能构成钝角1 ，如图弓形内部，面积为1 1 1 147三角形的三边，则 { x y ，由题意42 34 ，解得x2 y2 1 4 2 1 120 25 12.B【解析】设 g (x) xe x , y ax a ，由题设原不等式有唯一整数解，即 g( x ) xe x 在直线 y ax a下方， g ( x) （ x+1） e x , g (x)在 (-， -1) 递减，在 (1, ) 递增，故 g( x)min g( 1)1 ，y ax a2 1e恒过定点 P(1,0) ，结合图象得：k PA a k PB ，即a[2,)3e 2e13. 10【解析】由题意可知： 6m6 解得 m1a b 6， 23， 1 3， 1 a b32211014． 6【解析】解：绘制由不等式组表示的平面区域，结合目标函数可知目标函数在点 C 2,2 处取得最大值 z 2x y 6.15． C【解析】若 A 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若B 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若 C 是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若D 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是 C ．16． 2 309【解析】设 AC x ，在ABC中，由余弦定理可得，x2 22 42 2 2 4cosB 20 16cosB .在ACD中，由余弦定理可得，x2 32 52 2 3 5cosD 34 30cosD ，即有15cosD 8cosB 7 ，又四边形 ABCD面积S 12 4sinB 13 5sinD ，即有8sinB 15sinD 2S，又2 215sinD 8sinB 7，两式两边平方可得64 225 240 sinBsinD cosBcosD 49 4s2 . 化简可得，240cos( B D ) 4 S2 240 ，由于 1 cos B D 1，即有S 2 30 ，当cos B D 1即B D 时， 4S2 240 240 ，解得S 2 30 . 故S的最大值为 2 30.三.解答题17. 解：（ 1）由a1 10， a 2为整数知，等差数列a n的公差d为整数．又 S n S4，故 a4 0, a5 0, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分于是 10 3d 0,10 4d 0 ，解得10d54 分3， ,,,,,,,,,,,,,2因此 d 3，故数列a n的通项公式为a n 13 3n ．,,,,,,,,,,,, 6 分（ 2）b n1 1 1 1，,,,,,,,,,,,, 8 分13 3n 10 3n 3 10 3n 13 3n于是 T n b1 b21 1 1 1 1 1 1b n7 10 4 7 10 3n 13 3n31 1 1 n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分3 10 3n 10 10 10 3n18. （ 1）证明：取PD 的中点N，连接AN,MN，则MN / /CD,MN1CD ，12又 AB / /CD, AB AB，,,,,,,,,,, 2 分CD ，所以MN / / AB,MN2则四边形 ABMN为平行四边形，所以AN / /BM ，,,,,,,,,,, 3 分又因为 BM 面 PAD AN 面PCD10所以 BM // 平面PAD ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分（ 2）又 BM平面PCD，∴ AN平面PCD，AN 面 PCD ∴平面PAD平面PCD；取 AD 的中点O，连接PO，因为 AN 平面 PCD，∴ AN PD,AN CD .由 ED EA即 PD PA及N 为 PD 的中点，可得PAD 为等边三角形，∴ PDA 600，又EDC 1500，∴CDA 900，∴CD AD，∴ CD 平面 PAD,CD 平面ABCD ，,,, ,,,,,,,,,,,,,, 7 分∴平面 PAD 平面 ABCD.PO AD 面PAD 面ABCDPO 面PAD 所以 PO 面 ABCD ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9 分所以 PO是锥P ABCD的高.AB/ /CD，∴PCD为直线 PC 与AB所成的角，由（ 1）可得PDC 900，∴tan PCD PD 1 ，∴ CD 2PD，CD 2由 AB 1 ，可知 CD 2,PA AD AB 1，则 V P ABCD 1POS ABCD 3 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分3 219．解（ 1）20 540 15 40 25 200 35 200 45 300 55 34200 42.75，·· 4 分20 40 40 200 200 300 800（ 2）根据题意，得出如下2 2列联表骑行爱非骑行爱总好者好者计青年700 10080人非青800 200 1011年人0018总计300150000·······································8 分K 2 1800 (100 800 700 200) 2 18 7.879300 1500 800 1000根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分20．解：（ 1）依题意，设抛物线C的方程为y2 ax a 0 ．由抛物线C且经过点 P 1,2 ，得a 4，所以抛物线 C的方程为y2 4 x ． ,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分（ 2）因为PM PN ，所以PMN PNM，所以 1 2 ，所以直线 PA 与 PB 的倾斜角互补，所以k PA k PB 0 ． ,,, 6 分依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：y 2 k x 1 k 0 ，将其代入抛物线C的方程，整理得k2 x2 2 k2 2k 2 x k 2 4k 4 0 ．设 A x1,y1 ，则 1 x1 k 2 4k 4k x142 ，2 ， y1 1 2k kk 2 2 4所以．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 8 分A k 2 , k 2k 2 24以 k 替换点A坐标中的 k ，得B , 2 ．,,,,,,,,,,,, 10 分2k k4 4所以 k ABk2k21 ．所以直线AB的斜率为 1 ．,,,,,,, 12 分k 2 k 2k2 k221. 解：（1）由f x 0可知x e x a 0 ，当 a 0时，e x a 0 ，由 x e x a 0 ，解得x 0 ；,,,,,,,,,,,, 2 分当 0 a 1时， lna 0 ，由x e x a 0，解得x 0 或x lna ；,,,,,,, 3 分当 a 1 时， lna 0 ，由 x e x a 0 ，解得x lna 或 x 0；,,,,,,,,, 4 分（ 2）当a 2时，要使 f x k 0 恒成立，即x 2xe k 恒成立，x12令f xx2x h x xx2,h x xx，xe x ，则 f 1 e 2 e当 x , 2 时， h x 0，函数 h x 在, 2 上单调递减；当 x 2, 时， h x 0，函数 h x 的2, 上单调递增． ,,,,,, 6 分又因为 x , 1 时， h x 0 ，且 2h 0 1 0,h 1 2e，2 0所以，存在唯一的x0 0,1 ，使得 f x0 h x0 x0 1 e x0 2 0，当 x , x0 时， f x 0 ，函数 f x 在,x0 上单调递减；当 x x0, 时， f x 0 ，函数 f x 在 x0 , 上单调递增．所以，当 x x0时，f x 取到最小值．,,,,,,,,,,,,,,,,,, 9 分f x0 x0 2x0 2x02x0 4 2 x0 11，x0 ex0 1 x0 1因为 x0 0,1 ，所以 f x0 1,0 ， ,,,,,,,,,,,,, 11 分从而使得 f x k 0 恒成立的最小正整数k 的值为1．,,,,,,, 12 分22．解：（ 1）由x 5 2 cost消去参数 t ，得 ( x 5) 2 ( y 3) 2 2 ，y 3 2 sint所以圆 C的普通方程为( x 5) 2 ( y 3) 2 2 ． ,,,,,,,,,,,,,, 2 分由 cos( ) 2 ，得2cos2sin 2 ，换成直角坐标系为x y 2 0 ，4 2 2所以直线 l 的直角坐标方程为x y 2 0 ,,,,,,,,,,, 5 分（ 2）A(2, ), B(2, ) 化为直角坐标为A(0,2), B( 2,0) 在直线 l 上，2并且 AB 2 2，设P点的坐标为( 5 2cost,3 2sin t) ，5 2 cost 3 2 sint 26 2cos(t则 P 点到直线 l 的距离为d 4 ，,8分2 2dmin 2 2 ，所经PAB 面积的最小值是S 12 2 2 4,,,,,,,, 10 分2223. 解：试题解析：（Ⅰ）由g x 2 得 x 1 3 4 4 x 1 3 4 1 x 1 77 x 1 7 6 x 8. ,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分13（Ⅱ）∵g x 的值域为 3, ，∴对任意的 x1 R ，都有 x2 R ，使得f x1 g x2成立f xmin g x min 3 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 分∵ f x 2x a 2x 3 2x a 2x 3 a 3 ≥3 a 3 30 a 6所以实数 a 的取值范围是a|0 a 6. ,,,,,,,,,,,,,,,, 10 分14。

高三数学下学期第一次质量检查(3月)试题文(扫描版,含答案)(2021学年)

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【全国市级联考word】福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查(3月)文数试题

福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查（3月）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}11,1,0,1A x x B =-<<=-，则（）A.A B B ⋂= B ．A B A ⋃= C ．A B ⋂=∅ D ．{}11A B x x ⋃=-≤≤ 2.已知i 为虚数单位，,a b R ∈，若()22a i i b i +=+，则a b +=（） A ．2- B ．0 C ．2 D ．43.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（） A ．14 B ．13C ．12D ．23 4.已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为25，则该双曲线的标准方程是（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=或2214x y -=D ．2214y x -=或2214y x -=5. 设,x y 满足约束条件1,1,0,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．26.把函数()sin 23cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2sin g x x =的图象，则ϕ的一个可能值为（） A ．3π-B ．3πC ．6π-D ．6π 7.已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．()ln xx f x e =B ．()ln x f x e x =C ．()ln x f x x=D ．()()1ln f x x x =-8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A ．8πB ．9πC ．163π D ．283π9.已知0.3121,log 0.3,2b a b c a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出n 的值为24，则判断框中填入的条件可以为（） (参考数据：3 1.732,sin150.2588,sin7.50.1305≈︒≈︒≈)A ． 3.10?S ≤B ． 3.11?S ≤C ． 3.10?S ≥D ． 3.11?S ≥11．矩形ABCD 中，2BC AB =，E 为BC 中点，将ABD ∆沿BD 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，BD AE ⊥； ②存在某个位置，BC AD ⊥； ③存在某个位置，AB CD ⊥； ④存在某个位置，BD AC ⊥. 其中正确的是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④12.ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ，若21,23sin b a c A ==，则c 的最大值为（） A ．23+ B ．23+ C ．3 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,21,2,3a x b =+=，若//a b ，则x = ．14.已知2cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α= ．15.若函数()12sin 22cos 2f x x x m x =-+在()0,π上单调递增，则m 的取值范围是．16.已知,A B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，AB = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和味n S ，11230,2a a a >⋅=，510S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列2,,,n a n nn b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,求数{}n b 的前21n +项和21n T +.18. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了 50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：19.如图，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，60,//,ABC AF CE AF AC ∠=︒⊥,2AB AF ==, 1CE =.（1）求四棱锥B ACEF -的体积；（2）在BF 上有一点P ，使得//AP DE ，求BPPF的值. 20.设O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为255.直线():0l y kx m m =+>与C 交于,A B 两点，AF 的中点为M ，5OM MF +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1,4P PA PB ⋅=-，求证:直线l 过定点，并求出定点的坐标. 21.已知函数()2,32x a a f x x e x x a e ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数.（1）当0,0a x =>时，证明：()2f x ex ≥；（2）讨论函数()f x 极值点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()221sin 8ρθ+=.（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0,2πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设点()23,1P --，l 与C 的交点为,A B ，求11PA PB+的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()31f x x a x a R =++-∈. （1）当1a =-时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）设关于x的不等式()31f x x≤+的解集为M，且1,14M⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DBBCC 6-10:DAABC 11、12：CA二、填空题13. 1414.34- 15.2m≤ 16.455三、解答题17.解：（1）由条件可得：()11132545102a a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩()1113222a a d a d ⎧+=⎪⇒⎨⎪+=⎩消去d 得：211230a a +-=，解得11a =或13a =-（舍），所以12d = 所以12n n a +=. （2）由（1）得：122,1,2n n n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数所以数列{}n b 的前21n +项和为：212112342213521222222n n n n n T b b b b b b ++++=++++++=++++++ ()2313572122222222n n ++⎛⎫=+++++++++ ⎪⎝⎭()121321212222221222n n n n n n ++++-+=+⋅=+--18. 解：（1）该校学生的每天平均阅读时间为：8101211721030507090110505050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1.661215.412.6 4.452=+++++=（分）（2）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是117220++=人，根据等高条形图22⨯列联表()225061218142254.3272030242652K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯ 由于4.327 6.635<，故没有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关. 19.解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ,平面ACEF ⋂平面ABCD AC =,BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥平面ACEF在ABC ∆中,60,2ABC AB ∠=︒=,设BD AC O ⋂=,计算得2,3AC BO ==在梯形ACEF 中,//,,2,1AF CE AF AC AC AF CE ⊥===梯形ACEF 的面积()112232S =⨯+⨯=∴四棱锥B ACEF -的体积为1133333V S BO =⨯⨯=⨯⨯=.（2）在平面ABF 内作//BM AF ,且1BM =,连接AM 交BF 于P 则点P 满足//AP DE ,证明如下： ∵//,1AF CE CE =,∴//BM CE ,且BM CE =,且,∴四边形BMEC 是平行四边形. ∴//,BC ME BC ME =又菱形ABCD 中,//,BC AD BC AD =,∴//,ME AD ME AD = ∴四边形ADEM 是平行四边形 ∴//AM DE ,即//AP DE . ∵//BM AF ,∴BPM FPA ∆∆ ,又1BM =,∴12BP BM PF AF ==.20.解：（1）设椭圆的右焦点为1F ，则OM 为1AFF ∆的中位线，所以111,22OM AF MF AF==，所以152AF AF OM MF a ++=== 因为255c e a ==，所以25c =所以5b =，所以椭圆C 的方程为:221255x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y联立221255y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得：()22215105250k x mkx m +++-=所以0∆>，212122210525,1515km m x x x x k k -+=-=++ 所以()121222215my y k x x m k +=++=+()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222222525105251515k m k k m m k m k m k k --++-+==++ 因为()0,1,4P PA PB ⋅=-所以()()()1122121212,1,114x y x y x x y y y y -⋅-=+-++=-所以222222525252+50151515m k m m k k k --+-+=+++ 整理得：23100m m --=解得：2m =或53m =-（舍去）所以直线l 过定点()0,2.21.解：（1）依题意，()x f x xe =，故原不等式可化为2x xe ex ≥，因为0x >，只要证0x e ex -≥，记()(),0x g x e ex x =->，则()(),0x g x e e x '=->当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增所以()()10g x g ≥=，即()2f x ex ≥，原不等式成立. （2）()211213232x x f x e ax ax x e ax a ⎛⎫⎛⎫'=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()11x x e ax x =+-+()()1x x e ax =+-记()(),x x h x e ax h x e a '=-=-（ⅰ）当0a <时，()0xh x e a '=->，()h x 在R 上单调递增，()010h =>，1110a h e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以存在唯一()001,0,0x h x a ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，且当0x x <时，()0h x <；当()0,0x x h x >>①若01x =-，即1a e=-时，对任意()1,0x f x '≠->，此时()f x 在R 上单调递增，无极值点②若01x <-，即10a e-<<时，此时当0x x <或1x >-时，()0f x '>.即()f x 在()()0,,1,x -∞-+∞上单调递增；当01x x <<-时，()0f x '<，即()f x 在()0,1x -上单调递减；此时()f x 有一个极大值点0x 和一个极小值点1-③若010x -<<，即1a e <-时，此时当1x <-或0x x >时，()0f x '>.即()f x 在()()0,1,,x -∞-+∞上单调递增；当01x x -<<时，()0f x '<，即()f x 在()01,x -上单调递减：此时()f x 有一个极大值点1-和一个极小值点0x .（ⅱ）当0a =时，()x f x xe =，所以()()1x f x x e '=+，显然()f x 在(),1-∞-单调递减；在()1,-+∞上单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大值点（ⅲ）当0a e <<时，由（1）可知，对任意()0,0x x x h x e ax e ex ≥=->-≥，从而()0h x > 而对任意()0,0x x x h x e ax e <=->>，所以对任意(),0x R h x ∈> 此时令()0f x '<，得1x <-；令()0f x '>，得1x >-所以()f x 在(),1-∞-单调递减；在()1,-+∞上单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大值点（ⅳ）当a e =时，由（1）可知，对任意(),0x x x R h x e ax e ex ∈=-=-≥，当且仅当1x =时取等号此时令()0f x '<，得1x <-；令()0f x '>得1x >-所以()f x 在(),1-∞-单调递减；在()1,-+∞上单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大值点综上可得：①当1a e <-或10a e -<<时，()f x 有两个极值点；②当1a e =-时，()f x 无极值点；③当0a e ≤≤时，()f x 有一个极值点.22.（1）把0,2Q πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入曲线C 可得2,2Q π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,2Q ，又l 过点()23,1P --，得直线l 的普通方程为322y x =+； ()221sin 8ρθ+=可化为()22sin 8ρρθ+=.由222,sin x y y ρρθ=+=可得()2228x y y ++=，即曲线C 的直角坐标方程为2228x y +=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得，()()22cos 232sin 18t t αα-+-=，化简得()()22sin 14sin 3cos 60t t ααα+-++=，① ()()224sin 3cos 24sin 1ααα⎡⎤∆=-+-+⎣⎦ 可得()1212224sin 3cos 6,0sin 1sin 1t t t t αααα++==>++，故1t 与2t 同号 12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +++=+==4sin 3cos 4sin 633ααπα+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以6πα=时，4sin 33πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值43.此时方程①的340∆=>，故11PA PB +有最大值43.23.（1）当1a =-时，()131f x x x =-+-，()11311f x x x ≤⇒-+-≤. 即131131x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或1131311x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或11311x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得1314x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ 或11312xx ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 或134x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1143x ≤≤或1132x <≤ 或∅. 所以原不等式的解集为1142x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为1,14M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，所以当1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()31f x x ≤+恒成立，即3131x a x x ++-≤+在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， ①当11,43x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1331x a x x ++-≤+，即6x a x +≤，所以66x x a x -≤+≤，所以75x a x -≤≤在11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以()()min min 75x a x -≤≤，即7544a -≤≤；②当1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3131x a x x ++-≤+，即2x a +≤，即22x a -≤+≤，所以22x a x --≤≤-在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()()min min 22x a x --≤≤-，即713a -≤≤；综上，a 的取值范围为713a -≤≤.。