《丰富多彩的正方形》教学PPT课件 初中数学(人教版) 八年级下册 公开课
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《正方形》教学PPT课件 初中数学人教版八年级下册公开课定稿
（一）正方形的定义 请仿照矩形、菱形的定义给正方形下一个定义。 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 正方形： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
平行四边形
正 矩形 方 菱形
形
二、合作交流，探索新知
（二）正方形有哪些性质？
又∵EF⊥AB，EG⊥BC
∴∠EFB=∠EGB=90o C ∴四边形BGEF是矩形
又∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠EBC ∵BF=EG ∴△BEG≌△BEG（SAS） ∴BF=BG，∴四边形EBFM是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
二、解决问题，发展能力
例2.正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF垂直AC于点F。
(1)求证：BE=CF；（2）求BE的长。
（1）证明：∵四边形EFBG是正方形
A
D ∴∠B=90o
∵EF⊥AC
∴∠EFA=90o
F
∵AE平分∠BAC
B
E
C ∴BE=EF 又AC平分∠BCD
（2）解：设BE=x，则EF=CF=x，
在Rt△CEF中可求得CE= 2x ∵BC=1 ∴ x + 2x =1, 解得x = 2 - 1 即BE的长为 2 - 1
A.四个边相等 B.对角线互相平分
C.对角平分一组对角
D.对角线相等 D.对角线相等
二、合作交流，探索新知
（三）实验探究正方形的判定方法 实验一：利用手中的纸片用最快的方法剪出一个正方形。 实验二：如何将一个活动的菱形框变成一个正方形。
思考1：通过以上两个实验思考下面三个问题： （1）如果四边形ABCD是一个矩形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ （2）如果四边形ABCD是一个菱形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ （3）如果四边形ABCD是一个一般的平行四边形，那么再加上什么条件就可以变 为正方形？
平行四边形
正 矩形 方 菱形
形
二、合作交流，探索新知
（二）正方形有哪些性质？
又∵EF⊥AB，EG⊥BC
∴∠EFB=∠EGB=90o C ∴四边形BGEF是矩形
又∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠EBC ∵BF=EG ∴△BEG≌△BEG（SAS） ∴BF=BG，∴四边形EBFM是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
二、解决问题，发展能力
例2.正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF垂直AC于点F。
(1)求证：BE=CF；（2）求BE的长。
（1）证明：∵四边形EFBG是正方形
A
D ∴∠B=90o
∵EF⊥AC
∴∠EFA=90o
F
∵AE平分∠BAC
B
E
C ∴BE=EF 又AC平分∠BCD
（2）解：设BE=x，则EF=CF=x，
在Rt△CEF中可求得CE= 2x ∵BC=1 ∴ x + 2x =1, 解得x = 2 - 1 即BE的长为 2 - 1
A.四个边相等 B.对角线互相平分
C.对角平分一组对角
D.对角线相等 D.对角线相等
二、合作交流，探索新知
（三）实验探究正方形的判定方法 实验一：利用手中的纸片用最快的方法剪出一个正方形。 实验二：如何将一个活动的菱形框变成一个正方形。
思考1：通过以上两个实验思考下面三个问题： （1）如果四边形ABCD是一个矩形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ （2）如果四边形ABCD是一个菱形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ （3）如果四边形ABCD是一个一般的平行四边形，那么再加上什么条件就可以变 为正方形？
人教版 八年级下册《正方形》课件 (公开课)
(B)
2.从角考虑
四个角都是直角 3.从对角线考虑
O
(D)B
C(A)
对角线互相平分垂直且相等，每条对角线平分一组对角.
4.从对称性考虑
它是轴对称图形，有4条对称轴,又是中心对称图形
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分 成四个全等的等腰直角三角形．
要判定一个三角形是等腰直 角三角形需要什么条件？判定两 个三角形全等的条件又是什么？
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形的性质
四边形
矩形
平行四边形
菱形
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
学习目标
1. 理解并掌握正方形的概念、性质； 2. 经历探索正方形有关性质的过程，了 解正方形与矩形、菱形的关系.
情景一
菱形
有一个角是
直角
正方形
正方形
★正方形是特殊的菱形
情景一
图中共有多少个等腰直角三 角形？
A
D
O
B
C
例2 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，
PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN
证明: 连接PC
A
∵PM⊥BC ， PN⊥DC
四边形ABCD是正方形
D P
N
∴∠NCM=90°
∴四边形PMCN是矩形
B
MC
∴PC=MN
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等的矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形.
_有__一__个__角__是__直__角__的菱形是正方形. __一__组__邻__边__相__等___的矩形是正方形.
2.从角考虑
四个角都是直角 3.从对角线考虑
O
(D)B
C(A)
对角线互相平分垂直且相等，每条对角线平分一组对角.
4.从对称性考虑
它是轴对称图形，有4条对称轴,又是中心对称图形
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分 成四个全等的等腰直角三角形．
要判定一个三角形是等腰直 角三角形需要什么条件？判定两 个三角形全等的条件又是什么？
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形的性质
四边形
矩形
平行四边形
菱形
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
学习目标
1. 理解并掌握正方形的概念、性质； 2. 经历探索正方形有关性质的过程，了 解正方形与矩形、菱形的关系.
情景一
菱形
有一个角是
直角
正方形
正方形
★正方形是特殊的菱形
情景一
图中共有多少个等腰直角三 角形？
A
D
O
B
C
例2 如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，
PM⊥BC于M， PN⊥DC于N. 试说明：AP=MN
证明: 连接PC
A
∵PM⊥BC ， PN⊥DC
四边形ABCD是正方形
D P
N
∴∠NCM=90°
∴四边形PMCN是矩形
B
MC
∴PC=MN
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等的矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形.
_有__一__个__角__是__直__角__的菱形是正方形. __一__组__邻__边__相__等___的矩形是正方形.
正方形课件PPT数学八年级下册PPT公开课
10．(宜昌中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角 线 AC 上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I， H，J.则图中阴影部分的面积等于( B )
A．1 B．12
C．13
D．14
11．(天水中考)如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原 点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为__(_－__1_，__5_) ___．
5 ． 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD 中 ， 点 F 为 CD 上 一 点 ， BF 与 AC 交 于 点 E ， 若 ∠CBF＝20°，则∠AED等于__6_5_度．
6．(2020·呼伦贝尔)已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是(
)
第18章 平行四边形
正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）.
对角线分别是多少？ 解：∵ABCD是正方形 ∴∠B=90〫
6．(2020·呼伦贝尔)已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°. 若∠BAE＝56°，则∠CEF＝____°.
归纳新知
有一组邻边相等且有一个角是 定义 例5 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
直角的平行四边形是正方形. 对称性：轴对称图形，有四条对称轴.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
新知 正方形的定义及其性质
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
《丰富多彩的正方形》教学PPT课件【初中数学】公开课
丰富多彩正方形
同学们，上面的图 神奇吗？
这是完美正方形，是一个科技术语。指在一正方形内切 割出大小都相异的小正方形。此概念最早由莫伦提出。数学家 对正方形的分割研究一直没有停止，他们又研究了不同大小正 方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还将完美剖分的 问题推广到其他的图形上，也取得了许多有趣的成果。
边形、梯形等图形进行分割研究。
同学们可以通过网络或者去 新华书店阅读相关书籍领悟其中
的奥秘。
数学中的一些美丽定理具有这样
的特性：它们极易从事实中归纳出
来.
——高斯
再见
那我们也一起来对正方形进行“不完美”的分 割吧！把一个正方形分成若干个大小可以一样也 可不一样的正方形。
同学们，动手画一画吧！ 2个分不了、3个分不了、5个分不了
...
探一探 4个
究一究 2个、3个、5个分不了
7个
6个
9个
8个
11个
10个
13个
12个
你有何发现？
我发现利用L型可以把一个正方形 分割成除了2以外任意偶数个小正 方形
…
...
…
4个
6个
8个 ... 2n个
我发现只要对正方形每进行一次十
字分割就会在原来的基础上多出三
个小正方形
...
6个
9个
12个
15个
我知道了：结合L型分割和十字型
分割可以把一Βιβλιοθήκη 正方形分成任意（除 了2、3、5）个小正方形。
如果要分成99个可以在A型的基础 上进行31次C型分割；若是要分成 2018个可以在B型的基础上进行670次 C型分割。当然其他分割的方法还有很 多。
A型
B型
C型
同学们，上面的图 神奇吗？
这是完美正方形，是一个科技术语。指在一正方形内切 割出大小都相异的小正方形。此概念最早由莫伦提出。数学家 对正方形的分割研究一直没有停止，他们又研究了不同大小正 方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还将完美剖分的 问题推广到其他的图形上，也取得了许多有趣的成果。
边形、梯形等图形进行分割研究。
同学们可以通过网络或者去 新华书店阅读相关书籍领悟其中
的奥秘。
数学中的一些美丽定理具有这样
的特性：它们极易从事实中归纳出
来.
——高斯
再见
那我们也一起来对正方形进行“不完美”的分 割吧！把一个正方形分成若干个大小可以一样也 可不一样的正方形。
同学们，动手画一画吧！ 2个分不了、3个分不了、5个分不了
...
探一探 4个
究一究 2个、3个、5个分不了
7个
6个
9个
8个
11个
10个
13个
12个
你有何发现？
我发现利用L型可以把一个正方形 分割成除了2以外任意偶数个小正 方形
…
...
…
4个
6个
8个 ... 2n个
我发现只要对正方形每进行一次十
字分割就会在原来的基础上多出三
个小正方形
...
6个
9个
12个
15个
我知道了：结合L型分割和十字型
分割可以把一Βιβλιοθήκη 正方形分成任意（除 了2、3、5）个小正方形。
如果要分成99个可以在A型的基础 上进行31次C型分割；若是要分成 2018个可以在B型的基础上进行670次 C型分割。当然其他分割的方法还有很 多。
A型
B型
C型
丰富多彩的正方形ppt
E A C
图乙
F D
G
E N A
D
M H C P
图丙
G
B
B
课外探索
丰富多彩的正方形
？是真的吗（三）
有人说，周长一定的四边形中，正 方形的面积最大，这是真的吗？
4
A1 A E O D
B C1
F
C
丰富多彩的正方形
二、探索发现
？是真的吗（二）
A1 A E O D
B1
B C1
F
C
丰富多彩的正方形
变式探究
（1）把正方形A1B1C1O变成其他图形，只 要满足什么条件，结论仍成立？
A1 A E O D
B1
B C1
F
C
丰富多彩的正方形
变式探究
（2）把正方形A1B1C1O的顶点放在正方形 ABCD对角线交点O处，在转动过程中，若边 OA1、OC1能与直线AB、 A D BC交于点E、F，线段 A O BE、BF、OB是否存在 E 一定的数量关系？请写 C B 出数量关系式，并证明． B F
1 1
C1
丰富多彩的正方形
三、反馈提升
知识收获 学习体会
丰富多彩的正方形
反馈训练
1、如图，用边长为1的正方形，制成一 副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案， 其中阴影部分的面积是________．
丰富多彩的正方形
反馈训练
2、将n个边长都为1cm的正方形如图摆 放，点A1、A2、A3、……、An分别是正 方形的中心，则n个这样的正方形重叠 部分的面积和为_________．
丰富多彩的正方形
二、探索发现
？是真的吗（一）
有人说，给你两个大小不等的正方形， 可以通过切割的方法把方形
图乙
F D
G
E N A
D
M H C P
图丙
G
B
B
课外探索
丰富多彩的正方形
？是真的吗（三）
有人说，周长一定的四边形中，正 方形的面积最大，这是真的吗？
4
A1 A E O D
B C1
F
C
丰富多彩的正方形
二、探索发现
？是真的吗（二）
A1 A E O D
B1
B C1
F
C
丰富多彩的正方形
变式探究
（1）把正方形A1B1C1O变成其他图形，只 要满足什么条件，结论仍成立？
A1 A E O D
B1
B C1
F
C
丰富多彩的正方形
变式探究
（2）把正方形A1B1C1O的顶点放在正方形 ABCD对角线交点O处，在转动过程中，若边 OA1、OC1能与直线AB、 A D BC交于点E、F，线段 A O BE、BF、OB是否存在 E 一定的数量关系？请写 C B 出数量关系式，并证明． B F
1 1
C1
丰富多彩的正方形
三、反馈提升
知识收获 学习体会
丰富多彩的正方形
反馈训练
1、如图，用边长为1的正方形，制成一 副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案， 其中阴影部分的面积是________．
丰富多彩的正方形
反馈训练
2、将n个边长都为1cm的正方形如图摆 放，点A1、A2、A3、……、An分别是正 方形的中心，则n个这样的正方形重叠 部分的面积和为_________．
丰富多彩的正方形
二、探索发现
？是真的吗（一）
有人说，给你两个大小不等的正方形， 可以通过切割的方法把方形
人教版八年级下册 第十八章 实验与探究《丰富多彩的正方形》课件(共25张PPT)
A G
D E
B F
C
变式探究
变式：在正方形ABCD中，E、F分别是DC、CB延长线上 的点，AE⊥DF，则AE与DF有什么关系？
A
D
G
F
C B E
探究检测
正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且 EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF。
A D
F
B
E
C
探究检测
变式：正方形ABCD中，点E是边BC上（除B、C外）的 任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线 CF于点F。求证：AE=EF。
D A 分组完成，然后展示。） A' E B B' O
F C'
C
从“特殊位置”开始探究
（1）当OA′与OA重合,OC ′与OB重合时,重叠部分的 面积与正方形面积有何关 系? (2)当OA ′垂直AB于E点， OC ′垂直BC 于F点时， 它们之间的关系会改变 吗？
从“一般位置”开始证明
(3)当OA′与AD交于E点，OC′与CD交于F点时，上面的 结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由
A
D
F
B
E
C
探究检测
变式：正方形ABCD中，点E是边BC延长线上（除C外） 的任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分 线CF于点F。求证：AE=EF。
A D F
B
C
E
本节课你学到了哪数学知识？
本节课你体验到了什么数学方法或数学思想？
情感目标：
丰富学生的数学活动经验，让学生体验成功的 喜悦，从而激发学生学数学的热情。
引例（小组交流）
在正方形ABCD中，AC、BD交于O，EF经 过O交AD于E，交BC于F。求阴影部分的面积
人教版数学八年级下册《正方形》ppt课件
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC, ∴四边形PECF是矩形,
B
EC
∴PC=EF. ∴AP=EF.
课堂检测
拓广探索题
四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE， 求∠BEC的大小．
解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①， AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
人教版 数学 八年级 下册
18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形(第1课时)
导入新知
除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？
正方形
怎样研究这类图形？ 想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.
学习目标
2. 能用正方形的定义、性质进行推理与计算. 1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概 念之间的联系和区别.
解： ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD.
B
又∵四边形DEFG也是正方形, ∴DE=DG.
又∵正方形的每个内角为90°,
∴∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC，
∴∠ADE＝∠CDG.
∴△AED≌△CGD(SAS). ∴AE=CG.
D
E G
F C
巩固练习
已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB 的延长线上一点，且DE=BF． 求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
A
D
E
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
B
C
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
人教版数学八下课件-正方形
角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
A
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
D O
是等腰直角三角形,并且
B
C
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
巩固练习
1.已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、
EC. EA = EC吗？说说你的理由.
正方形矩 形
〃
探究新知
【思考】2.菱 形有一个角是 直角时变成怎 样的图形呢?
∟
∟
∟ 正菱方形形
∟
探究新知
小结： 矩形
邻边 相等
发现： 正方形 一组邻边相等的矩
形叫正方形.
菱 形 一个角 是直角
∟
发现： 正方形 一个角为直角的
菱形叫正方形.
如何来给正方形下定义？
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
A
D
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
B
C
AB= BC=CD=AD.
探究新知
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于
点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
有一组邻边相等，并且有一个角 是直角的平行四边形叫做正方形. 1.四个角都是直角 2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
第二课时
正方形的判定
返回
导入新知 宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正
人教版八年级下册数学正方形-课件.ppt
你是否能完整的 写出答题过程？
2 如图，△ABC的外
面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、 CE，交点为N。 求证：∠CEA＝ ∠ABG
Back
证明： ∵四边形ABDE和四边形 ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋ ∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝ 90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG(SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
补偿提高
在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出 两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)
总结反思
披荆斩棘，勇往直前
能站在更高的角度想问题 认识到学习的重要性
正方形
18.2.3
复习导入
平行四边形 矩形 菱形
穿越— 回到小结
边：对边平行且相等 角：对角相等 对角线：互相平分 边：对边平行且相等 角：对角相等且每个角都是90度 对角线：对角线互相平分且相等 边：对边平行，四条边都相等 角：对角相等 对角线：互相垂直平分且平分一组对
1、正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形。 由正方形的定义可知，
矩形： 菱形：
例2 在正方形ＡＢＣＤ中，
点E,F,G,H分别在AB， BC,CD,DA上，且 AE＝BF＝CG＝DH. 四边形EFGH是正方 形吗？为什么？
请同学们自己讨论分析， 做出解答
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你是否能完整的 写出答题过程？
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人教版八年级数学下册第十八章《正方形》优课件(共17张PPT)
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是
（填上一个条件即可）
矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
合作探究
已知:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交 于点O，从下列条件中取出哪些条件后，可 使平行四边形ABCD成为正方形。
（１） ＡＢ＝ＡＤ；
A
（２） ＡＣ＝ＢＤ；
（３） ∠ＢＡＤ＝９０；
（４） ＡＣ⊥ＢＤ。
B
D O
C
判断对错
1. 四边相等的四边形是正方形 2．四角相等的四边形是正方形 3．四条边相等且有一个角是直角的四边 形是正方形 4．对角线互相垂直平分且相等的四边形 是正方形 5．对角线垂直的平行四边形是正方形
请同学们画一个四边形，
要求它既是矩形又是菱形。
18.2.3
正方形
正方形的定义 (P125)
有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形（square）。
请填出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形的性质
边---- 对边平行，四条边相等A 角---- ４个角都是直角 对角线---- 相等、垂直且互相平分，B
每一条对角线平分一组对角
对称性---- 是轴对称图形．
D O
C
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打 ”√”
对边平行且相 等
四边都相等
四个角都是直 角
对角线互相平 分
对角线互相垂 直
对角线相等
平行四边 形
√
√
矩形
√
丰富多彩的正方形说课课件(优秀)
b
将n个边长都为acm的正方形按如图所
示摆放，点A1A2...An分别为正方形的 中心，则重叠部分的面积为＿＿＿.
A2 A1
A3 A4
在正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点， AE⊥DF，则AE与DF有什么关系？
A
D
GE
B
C
F
变式探究2
变式：在正方形ABCD中，E、F分别是DC、CB延长线上 的点，AE⊥DF，则AE与DF有什么关系？
观察归纳 能力
教学目标
理解从特殊到一般的思想方法，会用正方形的性质 研究和解决相关问题
理解剪拼的基本原理，掌握基本的 实验操作 方法
拥有积极参与学习活动的态度，学会与他人 的沟通、合作与分享。
重点：Leabharlann 教学重难点探究实验1中结论的推导与证明
难点：
探究实验2中理解切割原理、找出切割点
教法和学法
教学方法
情境导入法 任务驱动法 研讨法 实践操作法
学习方式
自主学习 合作探究 分享成果 互评交流
教学设计及流程
情境导入 概念认知 合作探究与分享交流 生活应用
总结收获
如图是一块正方形的绿地，要在绿地上修建两条交叉 的小路，使得两条小路将草地分成面积相等的四部分， 你有多少种方案？
试一试
实验探究1
A E A1 B B1
A
D
G
F
B
C
E
L/O/G/O
D O
F
C
C1
把正方形A′B′C′O改为矩形、直角三角形结果怎样？
实验与探究2
给你两个边长分别为a、b(a＞b)的正方形，你
能通过切割的方式把它们拼接成一个大正方形吗？
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感谢指导！
如图，正方形ABCD的对角线交于点O, 点E、F分别在AB 、BC上（AE＜BE）,且∠EOF=90°, OE与DA的延长线交于点M,OF与AB的延长线交于点N. (1)求证：OM=ON (2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN得长.
D
C
O
AE M
F
N B
课堂小结
• 1 本节课你学到了哪些数学知识？ • 2 本节课你体验到了什么数学方法或数学 思想？
实验1 猜想→特殊情形→
探究：正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶 点，而且这两个正方形的边长相等， 现将正方形 A1B1C1O绕点O转动. （1）当OA1与OA重合，OC1与OB重合时，重叠部分的面积与一个正方 形的面积有何关系？
实验2
猜想→特殊情形→
探究：正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶 点，而且这两个正方形的边长相等， 现将正方形 A1B1C1O绕点O转动 . （2）当OA1⊥AB于点E，OC1⊥BC于点F时，它们之间的关系会改变吗？
实验 猜想→特殊情形→一般情形证明→结论
• （4）从以上你能得出什么结论
1
S 4 s 重叠
正方形ABCD
把正方形A1B1C1O改为矩形，直角三角形结果怎样？
归纳建模（一）
小试牛刀
如图（1），将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的 直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交 CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.
义务教育课程标准实验教科书(人教版) 八年级下册
知识回顾
正方形的性质
边： 四边相等，对边平行 角： 四角相等，都是直角
对角线：对角线相等且平分、垂直； 每条对角线线平分一对对角。
对称性：
（菱形）
(矩形)
面积=边长的平方= 1 对角线的平方
2
请将任务袋中的图形拼成正方形。
1
2
3
将正方形分割成面积相等的四个部分,请你在图中添加两条直 线，设计出分割方案．
分割方法有什么共同点？ 1、两条直线都经过正方形对角线的交点 2、两条直线互相垂直 猜想：经过正方形对角线的交点O，且互相垂直的两条直 线将正方形分割成等面积的四部分.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶 点，而且这两个正方形的边长相同，当正方形A1B1C1O绕点O转动，两个正 方形重叠部分的面积是否发生变化，为什么？
实验3 猜想→特殊情形→一般情形→
探究：正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶 点，而且这两个正方形的边长相等， 现将正方形 A1B1C1O绕点O转动. （3）当OA1 与AB交于点E，OC1与BC交于点F时上面的结论是否成立？若成 立，请证明，若不成立，请说明理由.
(1)求证：EF=EG
(2)如图（2）所示，移动三角板，使 顶点E始终在正方形的对角线AC上， 其他不变，（1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请给予证明；若不成立， 请说明理由.
归纳建模（二）
AA BB
注意条件： 点A在正方形的对 角线上,AB⊥AC
CC
抢答
如图，在四边形ABCD中，∠ADC= ∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB 于P.若四边形的面积 是25，则DP的长是( )。