【数学】2017-2018年福建省莆田市仙游一中高三(上)期中数学试卷与答案

2017-2018学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={y|y=x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{y|y=1或2}C．或}D．{y|y≥1}2．（5分）三个数（0.3）2，20.3，log20.3的大小顺序是（）A．（0.3）2＜20.3＜log20.3 B．C．D．3．（5分）函数f（x）=1﹣e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）空间中，设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若n⊥m，n⊥α，则m∥α5．（5分）若，，均为单位向量，且=0，则|+﹣|的最小值为（）A．B．1 C．+1 D．6．（5分）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．8．（5分）已知函数f（x）=asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线对称，则函数g（x）=sinx+acosx的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．10．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）11．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．412．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf（x）＞0，则（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，则实数k的取值范围为．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，x），若与4平行，则x的值是．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，P，A，B三点共线，且，则S2018=．16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①EF⊥MN②当且仅当时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]，则是奇函数；④四棱锥C1﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；其中正确命题的有．（填序号）三．解答题：（本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（12分）已知x，y满足．（1）求Z1=2x﹣y﹣1取到最值时的最优解；（2）求的取值范围；（3）若ax+y≥3恒成立，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=10，c=7．求角C及a，b的值．19．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．（I）求证：直线B1D∥平面AEC．（II）二面角E﹣AC﹣D的余弦值．20．（12分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和S n，且满足4S n=（2n+1）a n+1，数列满足b1=1，b n+1=2b n+1．（Ⅰ）证明数列{{b n}+1}是等比数列，并求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n（b n+1），求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（Ⅰ）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（Ⅱ）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设a=，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，B={y|y=x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{y|y=1或2}C．或}D．{y|y≥1}【解答】解：A={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，B={y|y=x+1，x∈R}=R，则A∩B={y|y≥1}，故选：D．2．（5分）三个数（0.3）2，20.3，log20.3的大小顺序是（）A．（0.3）2＜20.3＜log20.3 B．C．D．【解答】解：（0.3）2∈（0，1），20.3＞1，log20.3＜0．∴log20.3＜（0.3）2＜20.3，故选：C．3．（5分）函数f（x）=1﹣e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=1﹣e|﹣x|=1﹣e|x|=f（x），故此函数为偶函数，排除B、D∵f（0）=1﹣e|0|=0，故排除C故选：A．4．（5分）空间中，设m，n表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若n⊥m，n⊥α，则m∥α【解答】解：对于A选项，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，不正确，在此条件下，两平面α，β可以相交，对于B选项，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，正确，对于C选项，m⊥β，α⊥β，则m∥α，同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行，故C不正确，对于D选项，n⊥m，n⊥α，则m∥α，由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行，故D不正确．故选：B．5．（5分）若，，均为单位向量，且=0，则|+﹣|的最小值为（）A．B．1 C．+1 D．【解答】解：因为=0，所以=+2=2，则=，所以=+2﹣2（）=3﹣2（），则当与同向时，（）最大，|+﹣|2最小，此时，（）=，所以≥3﹣2，故|+﹣|≥﹣1，即|+﹣|的最小值为﹣1，故选：A．6．（5分）某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是（）A．B．C．D．【解答】解：不妨令该函数解析式为y=Asin（ωx+ϕ），由图知A=1，=，于是，即，因是函数减时经过的零点，于是，k∈Z，所以ϕ可以是，故选：C．7．（5分）已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．【解答】解：∵数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，由﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1==﹣1．∵﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，由﹣4=﹣1q4，求得q2=2，∴b2=﹣1q2=﹣2．则==，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线对称，则函数g（x）=sinx+acosx的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【解答】解：∵函数f（x）=asinx+cosx（a为常数，x∈R）的图象关于直线对称，∴f（0）=f（），即1=a+，∴a=，∴f（x）=asinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），故函数g（x）=sinx+acosx=sinx+cosx=sin（x+），当x=时，g（x）=为最大值，故A错误，故g（x）的图象关于直线对称，即C正确．当x=时，g（x）=≠0，故B错误．当x=时，g（x）=1，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=对称，排除D．故选：C．9．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．1 D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为如图所示的三棱锥，CB⊥侧面PAB．该几何体的体积V=××1=．故选：A．10．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（）A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＞f（cosβ）【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β＞，∴α＞﹣β，∴sinα＞sin（﹣β）=cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选：C．11．（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（6，8），化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为，由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12．∴．则+=（）（）=．当且仅当a=b=时上式等号成立．故选：A．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf（x）＞0，则（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数【解答】解：根据题意，设g（x）=x3e x f（x），g′（x）=x2e x[（x+3）f（x）+xf′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）=x2e x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）=x3e x f（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）=x3e x f（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+3）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．综上，f（x）＞0．故选：A．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知，则实数k的取值范围为．【解答】解：∵=（）=（）﹣（）=+1∴即2≤+1≤4，解之得≤k≤2故答案为：14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，x），若与4平行，则x的值是2．【解答】解：根据题意，向量=（1，1），=（2，x），则=（3，1+x），4=（6，4x﹣2），若与4平行，则有3（4x﹣2）=6（1+x），解可得x=2，故答案为：2．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，P，A，B三点共线，且，则S2018=1009．【解答】解：∵，P，A，B三点共线，∴a3+a2016=1，∵{a n}是等差数列，∴a1+a2018=a3+a2016=1，∴S2018==1009．故答案为：1009．16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①EF⊥MN②当且仅当时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]，则是奇函数；④四棱锥C1﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；其中正确命题的有①②④．（填序号）【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，所以正确．②因为EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．函数为偶函数，故③不正确．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．三．解答题：（本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（12分）已知x，y满足．（1）求Z1=2x﹣y﹣1取到最值时的最优解；（2）求的取值范围；（3）若ax+y≥3恒成立，求a的取值范围．【解答】解：画出x，y满足．的可行域如图：（1）由图可知：直线3x﹣y﹣2=0与直线2y﹣x﹣1=0交点A（1，1）；直线3x ﹣y﹣2=0与直线2x+y﹣8=0交点B（2，4）；直线2x+y﹣8=0与直线2y﹣x﹣1=0交点C（3，2）；目标函数Z1=2x﹣y﹣1在C（3，2）点取到最小值，B（2，4）点取到最大值∴Z1=2x ﹣y﹣1取到最值时的最优解是C（3，2）和B（2，4）（2）目标函数，由图可知：∴Z2∈（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）（3）由于直线ax+y﹣3=0恒过定点（0，3），∴当﹣a≤﹣2时，ax+y≥3恒成立，∴a≥2，或由题意可知，∴a≥2．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知a，b，c是△ABC三边长，且f（C）=2，△ABC的面积S=10，c=7．求角C及a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，∴2C+=或2C+=，解得：C=0（舍去）或C=，∵S=10，∴absinC=ab=10，即ab=40①，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，将ab=40代入得：a2+b2=89②，联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．19．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．（I）求证：直线B1D∥平面AEC．（II）二面角E﹣AC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE∥B1D，又∵B1D⊄面AEC，OE⊂平面AEC，∴直线B1D∥平面AEC；（Ⅱ）解：以D为原点，建立空间坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，2）．平面DAC的一法向量为=（0，0，1），设面AEC的一个法向量为=（x，y，z），∵，，由，取z=1，得，设二面角E﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ=﹣cos＜＞==，故二面角E﹣AC﹣D的余弦值为．20．（12分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和S n，且满足4S n=（2n+1）a n+1，数列满足b1=1，b n+1=2b n+1．（Ⅰ）证明数列{{b n}+1}是等比数列，并求{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n（b n+1），求数列{c n}的前n项和T n．【解答】证明：（Ⅰ）由4S n=（2n+1）a n+1，得n=1，4S1=3a1+1，a1=S1⇒a1=1；当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=（2n+1）a n﹣（2n﹣1）a n﹣1．∴（n≥2），∴==2n﹣1．当n=1时，a1=2•1﹣1=1，上式成立，∴a n=2n﹣1．由b n=2b n+1⇒b n+1+1=2（b n+1），+1∴数列{b n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，∴，则；解：（Ⅱ）∵，∴…①…②①﹣②得=，∴．21．（12分）设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．（Ⅰ）关于x的不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（Ⅱ）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g （x）的“分界线”．设a=，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）不等式（x﹣1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，等价于（1﹣a2）x2﹣2x+1＞0恰有三个整数解，故1﹣a2＜0，令h（x）=（1﹣a2）x2﹣2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=﹣a2＜0（a＞0），所以函数h（x）=（1﹣a2）x2﹣2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（﹣3，﹣2），这是因为此时不等式解集中有﹣2，﹣1，0恰好三个整数解故h（﹣2）＞0，h（﹣3）≤0，解之得．（Ⅱ）设，则．所以当时，F′（x）＜0；当时，F′（x）＞0．因此x=时，F（x）取得最小值0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为，即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k在x∈R恒成立，则x2﹣2kx﹣e+2k≥0在x∈R恒成立．所以△=≤0成立，因此k=．下面证明g（x）x﹣（x＞0）恒成立．设G（x）=elnx﹣x+，则G′（x）=．所以当时，G′（x）＞0；当x＞时，G′（x）＜0．因此x=时G（x）取得最大值0，则g（x）x﹣（x＞0）成立．故所求“分界线”方程为：y=x﹣．选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转化为普通方程：，即，则C1的极坐标方程为，…（3分）∵直线C2的方程为，∴直线C2的极坐标方程．…（5分）（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），将代入，得：ρ2﹣5ρ+3=0，∴ρ1•ρ2=3，∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣2．（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）+|2x﹣3|＞0的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本大题满分10分）解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．当x≥时，3x＞6．解得x＞2，当x∈（1，）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x．不等式的解集为： (5)（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，所以，f（x）max=|a﹣3|即：|a﹣3|＜2所以，a的取值范围为（1，5） (10)赠送—高中数学知识点二次函数第21页（共23页）（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔第22⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx第23页（共23页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。