数学竞赛《解析几何》专题训练(答案)

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高中数学联合竞赛解析几何试题

全国高中数学结合竞赛解析几何试题分类汇编（00 ~ 05）

一、选择题

1．（00，3）已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积是

（A ）

（B ）233 （C ）33 （D ）36

2．（00，5）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5

35+=x y 的间隔中的最小值是

（A ）

17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30

3．（02，2）若实数x, y 满意(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)

3 (D)

4．（02，4）直线13

4=+y

x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．（03，2）设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是

A B 6．（03，3）过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于

A ．

16 B ．

8 C ．

16 D ．38

7．（05，5）方程

cos 2cos 3sin 2sin 2

2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆

高中数学竞赛解析几何

高中数学联赛（预赛题锦）

解析几何板块

(天津卷2）2.设,B C 是定点且都不在平面π上，动点A 在平面π上且1

in 2

s ABC ∠=

.那么，A 点的轨迹是（）

（A ）椭圆（B ）抛物线（C ）双曲线（D ）以上皆有可能

(天津卷8）8.设M 是椭圆22

143

x y +=上的动点，又设点F 和点P 的坐标分别是()1,0和()3,1，则2MF MP -的最大值是__________.

(天津卷15）在平面直角坐标系中，设,,A B C 是曲线1xy =上三个不同的点，且,,D E F 分别是

,,BC CA AB 的中点.求证：DEF ∆的外接圆经过原点O .

（河北卷6）6.圆O 的方程为2

21x

y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足

()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为．

（河北卷12）

12. （本题满分14分）在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的

通径．如图，已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2

F ，其离心率为12，通径长为3.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，12I I 、分别为1212F BF F AF ∆∆、的内心，延长2BF 交椭圆于点M ．

（ⅰ）求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值

p ；（ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CM CB ⋅为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．

大学生数学竞赛空间解析几何练习题

试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。

解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以

'223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=⨯=为基本向量

建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为

2222

''2222'/B A x x z A B A B A B

y D B x z A B A B z y ⎧=+⎪++⎪

⎪=--

+⎨++⎪

⎪=⎪⎩

在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2''''

)(/)1

B A A

y x z D B x z A B A B A B A B ++

=+++

所以交线的方程为：

'2'

'''22

'6()(/)1

B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ⎧++--+

=⎪++++⎨

⎪=⎩

化简得：

'2'

'22

'6()(/)1

0B A y x D B x A B A B z ⎧+--=⎪++⎨

⎪=⎩

因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得

322A

=-.

试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ⎩

⎨

⎧=+=+++⎩⎨

⎧=+=++020

13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。

解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1

高中数学竞赛专题讲座之五：解析几何_2_

高中数学竞赛专题讲座之五：《解析几何》各类竞赛试题选讲

一、选择题

1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=

与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取

值范围是(C)

A ．)2,12(--

B ．)12,2(--

C ．)12,0[-

D ．)12,0(-

2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 2

=-+

-y x 表示的曲线是表示的曲线是

（）

A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆

B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线

C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆

D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线

3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解: 由,5=

AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三

条共切线。正确答案为C.

4．（06安徽）过原点O 引抛物线2

4y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物

线（线（）上）上

A ．22

13,22y x y x == B ．2

35,2

y x y x =

C ．2

,3y x y x ==

D ．2

3,5y x y x ==

5．若在抛物线)0(2

>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该

圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．

a 21 B ．a

C ．a

D ．a 2

高中数学解析几何试题及答案

解析几何

一.命题趋向与解题方法、技巧 1．圆锥曲线基础题主要是考查以下问题：①圆锥曲线的两种定义、标准方程、焦点、常见距离及其p e c b a ,,,,五个参数的求解；②讨论圆锥曲线的几何性质；③曲线的交点问题，即直线与二次曲线和两圆的交点问题；④圆锥曲线的对称性，一是曲线自身的对称性，二是曲线间的对称性。 2．轨迹问题

主要有三种类型：①曲线形状已知，求其方程；②曲线形状未定，求其方程；③由曲线方程讨论其形状（一般含参数）。

此类问题解题步骤通常是通过建立坐标系，设动点的坐标，依题意设条件，列出等式、代入化简整理即得曲线的轨迹方程。基本方法有：直译法、定义法、代入法、交轨法、几何法、参数法。

3．参数取值范围问题

通常依据题设条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围。基本方法有定义法、函数法、方程法、不等式法及几何法。 4．位置关系

常涉及直线与圆锥曲线交点的判定、弦长、弦中点、垂直、对称、共线等问题。应注意充分利用圆锥曲线的基本性质及韦达定理、方程思想。根据新教材的特点，常结合平面向量的基本知识进行考查。 5．最值问题

通常是依题设条件，建立目标函数，然后用求最值的方法来处理；有时也可用数形结合思想，利用几何法分析。

6．韦达定理在解决解析几何问题中的主要应用

韦达定理在解决解析几何问题中起着重要作用，特别是在解决有关弦长、两条直线互相垂直、弦中点、对称、轨迹、定点问题时能化难为易，化繁为简。

【专题训练】

一、选择题

1．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围

数学竞赛试题及答案

在数学竞赛中，试题的设计和答案的解析非常关键。本文将为读者

提供一些经典的数学竞赛试题以及相应的答案解析，帮助读者更好地

理解数学竞赛试题的特点和解题方法。

一、平面几何

1. 题目：已知正方形ABCD的边长为2，M为AD边上的一点，连

接BM并延长交于E，连接CM并延长交于F。若 BM = CF，则求角ABC的度数。

答案解析：首先连接AC，并设其交BM于H。由于正方形ABCD，所以BH = HM = 2/2 = 1。根据题目条件可知，BH = BM - HM = CF -

CM = MH + HC。将这个等式代入题目图中，并设角ABC的度数为x，则角CBH的度数为90-x。根据余角定理可得：

tan(90-x) = (BH/HC) = (2/2)/(H + HC) = 1/(HC + H/2)

= 1/(HC + 1)

又因为BM = CF，所以BE = CH。利用三角形的正弦定理可得：

sin(90-x)/BE = sinx/1

=> cot(90-x) = 1/tanx

=> HC + 1 = 1/(HC + 1)

解方程可得HC = 0，代入可得角ABC的度数x = 60°。

二、数列与函数

2. 题目：已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 3an + 1，求a20的值。

答案解析：将数列展开可得：

a2 = 3a1 + 1 = 3 + 1 = 4

a3 = 3a2 + 1 = 3*4 + 1 = 13

a4 = 3a3 + 1 = 3*13 + 1 = 40

通过观察前几项数列的规律可知，数列的通项公式为an = 3^n - 2^n。代入n = 20可得a20 = 3^20 - 2^20 = 3^20 - (2^10)^2 = 3^20 - 2^20^2。

高中数学竞赛专题讲座(解析几何)

高中数学竞赛专题讲座（解析几何）

一、基础知识

1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即

e d

PF =|

|(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为

22=+b y a x (a>b>0)，参数方程为⎩

⎨

⎧==θθ

sin cos b y a x （θ为参数）。

若焦点在y 轴上，列标准方程为

22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆

122

22=+b

y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别

为(±a, 0), (0, ±b ), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，

精选2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考试题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷

平面解析几何初步

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、填空题

1．已知A （1，-2，1），B （2，2，2），点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|,则点P 的坐标为；

2．若3条直线2380,10,0x y x y x ky ++=--=+=相交于一点，则实数k =_____

3．已知||8,||15==a b ，那么||+a b 的取值范围是__________________

4．若原点O 在直线l 射影为点(2,1)M -，则直线l 的方程为____________

5．正方形ABCD 的中心为(3,0)，AB 所在直线的方程为220x y -+=，则正方形ABCD 的外接圆的方程为．

6．直线20x y +与圆222x y +=相交于,A B 两点，O 为原点，则OA OB ⋅= ★ ；

7．设直线l 1、l 2的倾斜角分别为θ1、θ2，斜率分别为k 1、k 2，且θ1+θ2=90°,则k 1+k 2的最小值是 ▲

8．若直径为2的半圆上有一点P ，则点P 到直径两端点,A B

距离之和的最大值为 ▲ ．

9．将圆02222=-++y x y x 按向量(1,1)a =-平移得到圆O ，直线l 与圆O 相交于A 、 B 两点，若在圆O 上存在点C ，使0,.OC OA OB OC a l ++==且求直线l 的方程.

少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围为

竞赛--解析几何

高中数学竞赛专题讲座之解析几何

一、选择题部分

1、(集训试题)过椭圆C ：12

2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足）

，延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（）

A ．]3

B ．]2

3,33(

C ．)1,3

[

D ．)1,2

解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所以

λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：⎪⎩⎪⎨⎧

=-+=

y x x 11)1(3λ

λ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33

[32132232

2∈-=-λλ

λ。故选C 。 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D)

A .212y x =-

B .212y x =

C .216y x =-

D .216y x =

3．（2006年江苏）已知抛物线2

2y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△

POF 是直角三角形，则这样的点P 共有

（ B ）

()A 0个

()B 2个

()C 4个

()D 6个

4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线122

22=-b

y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两

点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ）

高考数学解析几何解答题专项练习题(附解析)

高考数学解析几何解答题专项练习题（附解析）各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大伙儿一定要在平常的练习中不断积存，查字典数学网为大伙儿整理了解析几何解答题专题训练题，期望同学们牢牢把握，不断取得进步!

1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+OB，求的值.

解(1)直线AB的方程是y=22x-p2，与y2=2px联立，从而有4x2-5px+ p2=0，

因此x1+x2=5p4.

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，

因此p=4，从而抛物线方程是y2=8x.

(2)由p=4，知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0，

从而x1=1，x2=4，y1=-22，y2=42，

从而A(1，-22)，B(4,42).

设OC=(x3，y3)=(1，-22)+(4,42)=(4+1,42-22)，

又y23=8x3 ，

因此[22(2-1)]2=8(4+1)，

即(2-1)2=4+1，

解得=0，或=2.

2.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于1

(1)求圆C的标准方程;

(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB

为邻边作平行四边形OADB.是否存在如此的直线l，使得直线OD 与MC

恰好平行?假如存在，求出l的方程;假如不存在，请说明理由.

(参考答案)2023高考数学难点突破2(2)：解析几何

2023高考数学难点突破专题训练（2）

解析几何

★应知应会

椭圆的基本量

1. 如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．

图(1)

图(2)

2. 如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．

3. 椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．

4. 设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线P A与PB的斜率之积为定值________．

1. 2b2

a 2. b

2·tan

2 3. a＋c a－c 4. －

直线与椭圆

1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).

(1) 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：

①Δ>0直线与圆锥曲线________；

②Δ＝0直线与圆锥曲线________；

③Δ<0直线与圆锥曲线________．

2. 圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．

1. (1) ①相交②相切③相离

2. 1＋k2|x2－x1|＝1＋1

k2|y2－y1|

双曲线的基本量运算

1. 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．

2. 如图，P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为________．

高中数学解析几何题型与专题训练

高中数学解析几何题型

考点1.求参数的值考点2. 求线段的长考点3. 曲线的离心率考点4. 求最大(小)值

考点5 圆锥曲线的基本概念和性质

考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题

考点1.求参数的值

例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆2

162

y +=的右焦点重合，则p 的值为（）

A ．2-

B ．2

C ．4-

D ．4

考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.

解答过程：椭圆2

x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，

则4p =，故选D.

考点2. 求线段的长

求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.

例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于

A.3

B.4

C.32

D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，

由22123

301y x x x b x x y x b

⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨

=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11

(,)22

M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，

∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．故选C

专题05 解析几何(解答题10种考法)讲义(原卷版)2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练

C
上不同于顶点的任意一点，射线 PF1 、 PF2
分别与椭圆
C
交于点
A、
B，△PF1B 的周长为 8．
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若 PF1 1 F1A ， PF2 2 F2B ，求证： 1 2 为定值．
【变式】 1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为短轴长的 2 倍，若椭圆
b
0 的左、右焦点为
F1,
F2
，离心率为
1 2
.点 P 是椭圆 C 上不同于顶点的任意一点，射线 PF1, PF2 分别与椭圆 C
交于点 A, B ，
△PF1B 的周长为 8.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设 △PF1F2
， △ PF1 B
， VPAB
的面积分别为
S1, S2 , S3
.求证：
C 经过点 P 2, 2 ，
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若 A, B 是椭圆上不同于点 P 的两个动点，直线 PA, PB 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，证明：直线 AB 的斜率为定值．
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
10, 0 ，线段 AB 的垂直平分线与直线 AC 交于点 D ．

高中数学竞赛(强基计划)历年真题练习专题7 解析几何 (学生版+解析版)

【高中数学竞赛真题·强基计划真题考前适应性训练】

专题07解析几何真题专项训练（全国竞赛＋强基计划专用〉

一、单选题

1. (2020·北京高三强基计划〉从圆～

切J羔间的线段称为切J羔弦，贝0椭困C内不与任何切点弦相交的区域丽积为（〉

－

A B.!!.3c.主4 D.前三个答案都

不对

2. (2022·北京·高三校考强基计划〉内接于椭圆王→L=1的菱形周长的最大值和最小

4 9

值之利是（〉

A. 4..{Jj

B.14.J]3c孚♂D上述三个选项都不对

3. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉己知直线11:y=-..!.x，乌：y=..!.x ，动点户在椭

圆ι4= l(a > b > 0）上，作PM Ill，交12于点M，作PN I I以忏点N若

。－－

IPMl2 +IPN l2为定值，则（〉

A.ab=2

B.ab=3

C.a=2b

D.a=3b

4. (2020北京·高三强基计划〉设直线y=3x+m与椭圆三＋丘＝I交于A,B两点，0为

25 16

坐标原点，贝I],.OAB面积的最大值为（〉

A.88.JO c.12 D.前三个答案都不对

s. (2022·贵州·高二统考竞赛〉如圈，c,,c2是离心率都为e的椭圆，点A,B是分别是C2的右顶点和上顶点，过A,B两点分别作c,�］切线，，' 12 .若直线l，，儿的斜率分别芳、J k, , k2，则lk儿｜的值为（〉

A .e 2 B.e 2 -1

C.I-e

-i e 6. (2020湖北武汉·高三统考强基计划〉过椭圆！....＋L =I 的中心作两条互相垂直的弦

最新2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整考题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷

平面解析几何初步

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．过点P （2，1），且倾斜角是直线l ：01=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程为（）

A 、012=--y x

B 、2=x

C 、)2(21-=-x y

D 、012=--y x

二、填空题

2．已知直线l 的斜率为，则其倾斜角为．

3．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心坐标为(3，2)，其一边AB 所在直线的方程为x-y+1=0，则边AB 的对边CD 所在直线的方程为。

4．已知m n s t *∈、、、R ，2m n +=，

9m n s t +=其中m n 、是常数，且s t +的最小值是49

，满足条件的点(,)m n 是圆4)2()2(22=-+-y x 中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为 .

5．已知向量a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，0，λ），

若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ= ▲ .

（理）10

6．设直线l 的方程为30()ax y a a R ++-=∈

（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，则l 的方程为____________-

（2）若l 不经过第一象限，则实数a 的取值范围为_______________；

（3）若l 恒过定点，则这个定点的坐标为_____________

7．已知圆O 的方程为222x y +=，圆M 的方程为22

(1)(3)1x y -+-=，过圆M 上任一

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