2波动

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大学物理习题详解No.2波动方程

《大学物理》作业 No.2波动方程班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、判断题[ F ] 1. 解：电磁波就可以在真空中传播。

[ F ] 2. 解：波动是振动的传播，沿着波的传播方向，振动相位依次落后。

[ F ] 3. 解：质元的振动速度和波速是两个概念，质元的振动速度是质元振动的真实运动速度，而波速是相位的传播速度，其大小取决于介质的性质。

[ F ] 4. 解：振动曲线描述的是一个质点离开平衡位置的位移随时间的变化关系；波形曲线是某一时刻，波线上各个质点离开平衡位置的情况。

[ F ] 5. 解：对于波动的介质元而言，其动能和势能同相变化，它们时时刻刻都有相同的数值。

二、选择题：1. 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ，则该波的频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动的振幅A (m)依次为：(A) 2/1，2/1，05.0- (B) 2/1，1，05.0-(C) 2/1，2/1，05.0 (D) 2 ，2，05.0[ C ]解：平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式的波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较，可得 )s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。

故选C2. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI)，t = 0时的波形曲线如图所示。

则：(A) O 点的振幅为-0.1 m(B) 波长为3 m (C) a 、b 两点位相差 π21(D) 波速为9 m ⋅s -1解：由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ，)s (m 32231-⋅=⨯==νλua 、b 两点间相位差为：2422πλλπλπϕ===∆ab故选C3. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时的波形曲线如图所示。

第12章-2波动光学

对纵波而言，对纵波而言，由于振动方向和波的传播方向一致，如果过波的传播方向做很多平面，向一致，如果过波的传播方向做很多平面，振动方向总包含在此平面内。振动方向总包含在此平面内。因此没有振动的取向问题，即纵波没有偏振性的问题。动的取向问题，即纵波没有偏振性的问题。要区别横波还是纵波，要区别横波还是纵波，主要就是讨论这种波动是否具有偏振性。波动是否具有偏振性。
§12-5 光的偏振 1212-5-1 自然光与偏振光
E
H
光是一种电磁波（横波）。电矢量光是一种电磁波（横波）。电矢量 E与磁矢量 H相）。互垂直，它们分别又与电磁波的传播方向垂直。互垂直，它们分别又与电磁波的传播方向垂直。
光振动：振动。光振动：电磁波的 E振动。光矢量：矢量。光矢量：电磁波的 E矢量。
E
v
自然光：自然光：在垂直于光传播方向上的所有可能方向上，E 振动的振幅都相等。振动的振幅都相等。
v
Ey
v
Ex
线偏振光：某一光束只含有一个方向的光振动。线偏振光：某一光束只含有一个方向的光振动。振动面：光振动方向与传播方向所确定的那平面。振动面：光振动方向与传播方向所确定的那平面。
部分偏振光：部分偏振光：某一方向的光振动比与之相垂直的另一方向的光振动占优势。一方向的光振动占优势。
12-5-2 偏振片马吕斯定律
偏振片：能吸收某一方向的光振动，偏振片：能吸收某一方向的光振动，而只让与之垂直方向上的光振动通过的一种透明薄片。直方向上的光振动通过的一种透明薄片。偏振化方向：偏振化方向：允许通过的光振动方向。动方向。
偏振片的用途：起偏” 偏振片的用途：“起偏”和“检偏” 检偏”

波动方程求解法2

现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:200(3.1)|()|()tt t t t u a u u M u M ϕψ==⎧=Δ⎪=⎨⎪=⎩,,x y z −∞<<+∞,,,0x y z t −∞<<+∞>(,,).M M x y z =其中M 代表空间中任意一点, 这个定解问题采用求平均法来求解.11(,)(()())()22()().22x at x atx at x at x at x at u x t x at x at d a t t d d t at at ϕϕψξξϕξξψξξ+−++−−=−+++⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠∫∫∫先回忆一维的达朗贝尔公式的变形称为函数在区间[x -at , x +at ]1()2x at x atd at ωξξ+−∫()ωξ上的平均值，这个平均值与x, 半径at 和函数有关，()ωξ1(,)().2x at x atv x t d at ωωξξ+−=∫记作于是达朗贝尔公式的变为()(,)(,)(,).u x t tv x t tv x t tϕψ∂=+∂上述方法称为球平均法.23123(,,)(),x x x C R ω∈设函数现在考虑该函数在球面2222112233:()()()r C x x x rξξξ−+−+−=上的平均值.123(,,),r C ξξξ∈对于采用球坐标：123,1,2,3,sin cos ,sin sin ,cos ,0,02.i i i x r i ξααθϕαθϕαθθπϕπ=+====≤≤≤≤21231122332002123112233100211(,,,)(,,),(3.3)41(,,,)(,,),(3.4)4sin ,sin ,r r v x x x r x r x r x r d r v x x x r x r x r x r d d r d d d d d ππωππωωααασπωααασπσθθϕσθθϕ=+++=+++==∫∫∫∫或者其中面积单元：记作引理4.2: 对于给定的则由(3.3)或(3.4)确定的函数v 满足PDE 2220(3.5)v v v r r r∂∂−Δ+=∂∂以及初始条件123(,,)x x x ω在球面上的平均值:r C 23123(,,)(),x x x C R ω∈12312321122332200(,,,)(,,,)11(,,)(3.7)44r r rC v x x x r v x x x r x r x r x r d d r r ωππωααασωσππΔ=Δ=Δ+++=Δ∫∫∫∫故由(3.3)有再由复合函数的求导法则应用奥高公式12300(,,),0.(3.6)r r v v x x x r ω==∂==∂证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下求导r C 33212001111,44r k k r k k kkC v d d r x r x ππωωασασππ==∂∂∂==∂∂∂∑∑∫∫∫∫21,(3.8)4rD v d r r ωπ∂=ΔΩ∂∫∫∫其中是由所围成的区域.r D r C 22000sin ,r r D d d d d ππωωρθθϕρΔΩ=Δ∫∫∫∫∫∫∵2200sin ,r r r D C d r d d d r ππωωθθϕωσ∂∴ΔΩ=Δ=Δ∂∫∫∫∫∫∫∫由(3.8)及上式有223211,(3.9)24r rr D C v d d r r r ωωσππ∂−∴=ΔΩ+Δ∂∫∫∫∫∫由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v 满足方程(3.5).下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v 满足初始条件(3.6).由(3.4)知211223312300001(,,)(,,).4r r r v x r x r x r d x x x ππωααασωπ==∴=+++=∫∫又由(3.8)，利用积分中值定理知31231232123141(,,)(,,),433(,,).r v r r r r D πωξξξωξξξπξξξ∂=Δ=Δ∂其中是内的某点1231230,(,,)(,,),0(0).v r x x x r rξξξ∂→∴→→∂当时趋于球心引理4.2得证.引理4.3: 设v 是由(3.3)确定的函数，则123123(,,,)(,,,)(3.10)u x x x t tv x x x at =是定解问题2001230()|0,|(,,)tt t t t u a u i u u x x x ω==⎧−Δ=⎪⎨==⎪⎩的解.证明：直接计算,得 Δu = t Δv( x1 , x2 , x3 , at ),ut = v( x1 , x2 , x3 , at ) + atvr ( x1 , x2 , x3 , at ), utt = 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) + a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得2 utt − a Δu = a t (vrr − Δv + vr ) = 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.2 2关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 ∂ u ( x1 , x2 , x3 , t ) = u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) ∂t 是定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( ii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ω ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩的解.证明：直接计算,得⎞ ∂ 2u ∂ ⎛ ∂ 2u 2 2 − a Δu = ⎜ 2 − a Δu ⎟ = 0, 2 ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂u u t =0 = = ω ( x1 , x2 , x3 ), ∂t t =0 utt =0∂u = 2 = a 2 Δu ( x1 , x2 , x3 , 0) = 0. ∂t t =02所以引理得证.利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ϕ ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩ ⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iv ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = ψ ( x1 , x2 , x3 ) ⎩的叠加. 设 u1 ( x, y, z , t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u = u1 ( x, y, z , t ) + u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.由引理4.3知，只要取 ω = ψ 就可得到定解问题(iv)的解t 2π π ∴ u2 ( x, y , z , t ) = ∫0 ∫0 ψ ( x1 + α1at , x2 + α 2 at , x3 + α 3at ) sin θ dθ dϕ 4π 1 = 2 ∫∫M )ψ dS , dS 是球面面积微元 4π a t Sat (⎞ ∂⎛ 1 ∴ u1 ( x, y, z , t ) = ⎜ ϕ dS ⎟ ⎜ 4π a 2t S ∫∫ ) ⎟ ∂t ⎝ (M at ⎠由引理4.4知，只要取 ω = ϕ 就可得到定解问题(iii)的解所以Cauchy问题(3.1)的解为∂⎛ 1 u( x , y , z , t ) = ⎜ ∂t ⎝ 4πa 2 t1 ⎞ ∫∫Sat ( M ) ϕ dS ⎟ + 4πa 2 t ∫∫Sat ( M )ψ dS (3.12) ⎠可写为:1 ∂ ϕ ( M ′) ψ ( M ′) u( M , t ) = [ ∫∫ dS + ∫∫ dS ] Sat ( M ) 4πa ∂t Sat ( M ) at at上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界空间波动方程的初值问题的解.其中 M ′ 表示以 M 为中心 at 为半径的球面 S at 上的动点.Mϕ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 3 ,ψ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 2 , 定理4.9：若函数则由Poisson公式(3.12)确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 M 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S 上 at 的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:T0dDM1.当 at < d ,即 t < d / a 时, S at 与 T0 不相交, ϕ ( M ′ ) 和 ψ ( M ′) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) = 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.M2.当 d < at < D ,即 d / a ≤ t ≤ D / a 时, S at 与 T0 相交, ϕ ( M ′ ) , ψ ( M ′ ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) ≠ 0 ,这表明扰动正在经过M点. 3.当 at > D ,即 t > D / a , S at 与 T0 也不相交,因而同样 u( M , t ) = 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了. 这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.MM∂u =0 ∂z20001()|(,)|(,)tt xx yy t t t u a u u u x y u x y ϕϕ==⎧=+⎪=⎨⎪=⎩,x y −∞<<+∞,,0x y t −∞<<+∞>要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松公式中两个沿球面的积分转化成沿圆域内的积分,下面以为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:M at S 222()()()x y at ξη−+−≤:M at C 11d 4πM at C S a at ϕ∫∫12111111d d d 4π44πM at S S S S S S a at a at a atϕϕϕπ=+∫∫∫∫∫∫其中分别表示球面的上半球面与下半球面.由于被积函数不依赖于变量z ,所以上式右端两个积分是相等的,即12,S S M atS 11111d d 4π2πM at S S S S a at a atϕϕ=∫∫∫∫把右端的曲面积分化成二重积分可得11222212222(,)11d d d 4π2π()()(,)1d d 2π()()M M at at M at S C C at S a at a at a t x y a a t x y ϕϕξηξηξηϕξηξηξη=−−−−=−−−−∫∫∫∫∫∫同理002222(,)11d d d 4π2π()()M M at at S C S a at a a t x y ϕϕξηξηξη=−−−−∫∫∫∫将这两个等式代入三维波动方程的泊松公式,即得问题的解为022*******(,)1(,,)d d 2π()()(,)d d ()()M at M at C C u x y t a t a t x y a t x y ϕξηξηξηϕξηξηξη⎧∂⎪=⎨∂−−−−⎪⎩⎫⎪+⎬−−−−⎪⎭∫∫∫∫当时, ;表示扰动的前锋尚未到达.当时, ;表明扰动正在经过M 点.当时,由于圆域包含了区域,所以d t a <(,,)0u x y t =d D t a a ≤≤(,,)0u x y t ≠D t a >0T :M at C ,这种现象称为有后效, 即在二维情(,,)0u x y t ≠形,局部范围内的初始扰动,具有长期的连续的后效特性,扰动有清晰的“前锋”,而无“阵尾”,这一点与球面波不同.平面上以点(ξ, η)为中心的圆周的方程在空间坐标系内表示母线平行与z 轴的直圆柱面,所以在过(ξ, η)点平行于z 轴的无限长的直线上的初始扰动,在时间t 后的影响是在以该直线为轴, at 为半径的圆柱面内,因此解称为柱面波.222()()x y r ξη−+−=将给定的初始条件与代入三维波动方程的泊松公式,得到所要求的解为:设已知, ,求方程相应柯西问题的解.(,,)x y z x y z ϕ=++(,,)0x y z ψ=(,,)x y z ϕ(,,)x y z ψ2ππ001(,,,)4πu x y z t a t∂=∂∫∫2(sin cos sin sin cos )()sin d d x y z at at at θϕθϕθθϕθ+++++x y z =++2tt u a u =Δ。

第10章波动2 平面简谐波的波函数PPT课件

yOAco（ s t＋O ） yPAco（ s t＋P ）
t x u
yP tx yO t0 u
Aco（ s u x＋ P） =Aco（ s O ）
x u
＋P
=O
P
=O
x u
3
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章机械波
P
=O
x u
yPAco（ st＋ P ）
点P 振动方程 yPAcos[(tux)＋O]4
u
T
1 当 x 固定时，波函数表示该点的简谐运动
方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
x2πx
u
λ
y(x,t)y(x,t T )（波具有时间的周期性）
8
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章机械波
波线上各点的简谐运动图
9
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章机械波
y A co ( t s x ) [] A c2 o π (ts x [ )]
第十章机械波
3 若 x,t 均变化，波函数表示波形沿传播方
向的运动情况（行波）.
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
yAco2sπ(Tt x) ( t,x )( t t,x x )
2 π(T t x)2 π(t T t
11
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章机械波
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章机械波
➢ 波函数
A y u
P
Ox*
yAcos(tx)
u
点 O 振动方程
x
yoAcots
x0,0
A
相位落后法

第2章波动方程

引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面上的曲线是曲线 u = F ( x ) 向右平移了 at 个单位，所以齐次弦振动方程的形如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。

2波动方程

数学物理方程1Mathematical Equations for Physics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程—— 牛顿知之者，不如好知者，好知者，不如乐知者。

做一个快乐的求知者——与大家共勉王翠玲西安交通大学数学与统计学院wangcl8@数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.数学物理方程概论☆ 数学和物理的关系☆ 课程的主要内容数学和物理从来是没有分开过的☆ 数学物理方程的定义用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。

三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S. D. Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示物理规律物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。

数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。

二、边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。

不同的初始条件→ 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。

定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。

第2章波动1谐波波函数

真空
机械波的传播 2
二、波面波射线 1. 横波纵波横波：各振动方向与波传播方向垂直纵波：各振动方向与波传播方向一致
横波
u
纵波 x
3
水表面的波既非横波又非纵波
波速
4
波形图：
某时刻各点振动的位移
(广义：任一物理量) 与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线
某时刻
u
x
思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？ 5
Acos t
2π
x
向x轴负向传播
2.角波数（简称波数)
波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）
角波数：2长度内含的波长数目（简称波数）
k 2π
23
平面谐波一般表达： Acos t kx
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波
3.波的表达式的物理意义
•当坐标 x 确定
表达式变成ξ－t 关系表达了 x 点的振动
如图： ξ
x点的振动曲线
o T
t
24
•当坐标 x 确定
表达式变成ξ－t 关系表达了 x 点的振动
• 当时刻 t 确定表达式变成ξ-x关系表达了 t 时刻空间各点位移分布－－波形图
ξ t 时刻的波形曲线
o
x
λ
（空间周期）
25
4.波速相速波是振动状态的传播考察某振动状态
即令 (t kx) const.
π
2
t T 第4个质点准备……
4
1
4
1 4 7 10 13
10
t T 第7个质点准备……
2
1 4 7 10 13
t 3T 4
第10个质点准备……

数理方程第2章波动方程

π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩

4_2_2波动方程、波的能量、声波

引子：引子：悬浮的小动物究竟是什么力量使小动物悬浮在空中的？动物悬浮在空中的？答案在本次讲课中。答案在本次讲课中。
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程简谐波的波函数为：简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度势能密度
--- 与弹性（形变）有关与弹性（形变）
考虑一棒的线变，考虑一棒的线变，棒长：截面：棒长：l ，截面：S 两端拉力：两端拉力：由0 → F 相应形变：增至，应变。相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2

大学物理-波动学2

2 2 2
x w wk w p A sin [ (t ) 0 ] u
2 2 2
定义：平均能量密度（对时间平均)
1 w T

T
0
x 1 2 2 A sin [ (t ) 0 ]dt A 2 u
2 2 2
能流，能流密度
能流 P —单位时间内通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。设波速为 u，在 t 时间内通过垂直于波速方向截面 S 的能量:
波方程——任意坐标x处的振动方程
x处相位落后 2

x
已知O点振动表达式： y
u

y A cos(t 0 )
p
x
波长为
0
x
y A cos( t 0
2

x)
如果已知的不是O点振动方程
2 x处比 x 0处相位落后（x x0 )
X0点的振动方程：
波的强度
1 2 2 I A u 2
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同
例1 一等幅平面简谐波，在直径d= 0.14m的圆柱管的空气中进行,波的强度I=0.009w/m2 频率为300Hz，波速为 300m/s。试求：波中平均能量密度和最大能量密度；在管中两个相邻同相面间的波带中含有的波的平均能量解：由公式
y A cos( t 0 2

x)
上式与标准形式的波函数相比可得：
A 0.2m, 100Hz, u 40m.s1 , T 0.01s, 0.4m
2) 首先画出t=0时刻的波形曲线
y 0.2 cos[ (200t 5x) / 2] (SI 制)

什么是波动和波动现象举例说明

什么是波动和波动现象举例说明知识点：波动与波动现象一、波动的概念波动是指在传播过程中，介质中的质点相对于平衡位置进行的周期性振动。

波动现象是自然界中普遍存在的一种现象，它包括机械波、电磁波等。

二、波动的分类1.机械波：机械波是指通过介质中的粒子振动来传播的波动。

根据振动方向与传播方向的关系，机械波可分为纵波和横波。

2.电磁波：电磁波是由电场和磁场交替变化而产生的一种波动现象。

电磁波在真空中的传播速度为光速，包括无线电波、红外线、可见光、紫外线、X射线和γ射线等。

三、波动现象举例说明1.机械波现象：（1）水波：当石头投入水中时，会引起水面的波动，水波向四周传播。

（2）声波：声波是由物体振动产生的，可以通过空气、水和固体等介质传播，如人说话、乐器演奏等。

2.电磁波现象：（1）光的传播：光是一种电磁波，它在真空中的传播速度为299792458米/秒。

（2）无线电波：无线电波用于通信、广播等，它可以在空气中传播，也可以穿透某些固体物质。

（3）红外线和紫外线：红外线用于电视遥控器、夜视仪等；紫外线具有杀菌作用，可用于消毒、荧光检测等。

四、波动的特性1.周期性：波动具有周期性，即波动的一个完整过程（从起点到终点再回到起点）称为一个周期。

2.波长和频率：波动的波长是指相邻两个波峰（或波谷）之间的距离，用符号λ表示；波动的频率是指单位时间内波动的周期数，用符号f表示。

它们之间存在关系：c = λf，其中c为波动的传播速度。

3.波速：波速是指波动在介质中传播的速度，对于机械波，波速与介质的性质有关；对于电磁波，在真空中的波速为光速。

4.叠加原理：两个或多个波动在同一介质中传播时，它们的作用可以相互叠加，形成一个新的波动。

五、波动的应用1.通信：利用无线电波、微波等电磁波进行通信。

2.医学：利用超声波进行诊断和治疗。

3.声学：利用声波进行回声定位、噪声控制等。

4.光学：利用光波进行照明、显示、摄影等。

通过以上介绍，我们可以了解到波动是一种基本的自然现象，它广泛应用于各个领域，对于中学生来说，掌握波动的基本概念和特性具有重要意义。

大学物理波动2

变化。
•沿着波动传播的方向，每一体积元都在不断地从后方质点获
得能量，又不断把能量传递给前方的介质，能量就随着波动过
程，从介质的一部分传给另一部分。
Y
能量极小
X
极大
极小
2、波的能量密度定义：单位体积介质中的能量就是能量密度
w＝ dE ＝ A2 2 sin 2 t x
dV
u
平均能量密度——一个周期内的能量密度的平均值
关于“波长”的定义，下列说法正确的是（）
（A）同一波线振动位相相同的两质点间的距离
（B）同一波线上位相差为π的两振动质点之间的距离
（C）振动在一个周期内所传播的距离
（D）同一波线上两个波峰之间的距离
已知一平面简谐波沿x轴正向传播,振动
周期T=0.5s, 波长=10m,振幅A=0.1
m . 当t=0时波源振动的位移恰好为正
的最大值. 若波源处为原点, 则沿波传
播方向距离波源为/2处的振动方程为
y=
0.1cos(4t) ; (当SIt)=T/2时,
x=/4处质点的振动速度
为 1.26m/s
。
一列平面简谐波沿x轴正方向无衰减地传播, 波的振幅为2×103m, 周期为 0.01s,波速为400m/s,当t=0时x轴原点处的质元正通过平衡位置向y轴的正方向运动，则该简谐波的表达式为：
15-4 惠更斯原理波的衍射、反射和折射
惠更斯： (Christian Haygens，1629—1695)
荷兰物理学家、数学家、天文学家。 1629年出生于海牙。1655年获得法学博士学位。1663年成为伦敦皇家学会的第一位外国会员。他的重要贡献有：
①建立了光的波动学说，打破了当时流行的光的微粒学说，提出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。 ②1673年他解决了物理摆的摆动中心问题，测定了重力加速度之值，改进了摆钟，得出了离心力公式，还发明了测微计。 ③他发现了双折射光束的偏振性，并用波动观点作了解释。 ④在天文学方面，他供助自己设计和制造的望远镜于1665年，发现了土星卫星----土卫六，且观察到了土星环。

第2章波动《波动理论及其在生物医学工程的应用》课件

第二章波动传播
《波动理论及其在生物医学工程中的应用》
§2-1 波的描述一. 机械波
机械波: 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。
1. 弹性介质和弹性波。
弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播
波源：作机械振动的物体
产生条件
弹性介质：承担传播振动的物质
注意
波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.
振幅
A ymax 0.04 m
波长 π (50t - 0.10 x1) - π (50t - 0.10 x2 ) 2π
x2 - x1 20 m
周期 π (50t2 - 0.10x) - π (50t1 - 0.10x) 2π T t2 - t1 0.04 s
波速 π (50t2 - 0.10 x2 ) π (50t1 - 0.10 x1)
u x2 - x1 500 m/s
(2)
v
y
t2 - t1 -0.04 50π
sin π
(50t
-
0.10x)
t
v max 0.04 50 6.28 m /s u
《波动理论及其在生物医学工程中的应用》
四. 波动过程的几何描述
波面在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。
波线沿波的传播方向作的有方向的线。
波前在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
波面
波
波面
线
波线
平面波
平面波：波面为平面
球面波
球面波：波面为球面
《波动理论及其在生物医学工程中的应用》
y(x,t)Aco 2 s T t x 0
y(x,t)Aco 2 s t x 0

《光学》波动2-2

假设球面波在传播过程中无能量损失，假设球面波在传播过程中无能量损失，则通过不同球面的能流相等。过不同球面的能流相等。选一个半径为1（单位长度）的球面，选一个半径为（单位长度）的球面，一个半径为 r 的球面，穿过它们的能量不变，则由：的球面，穿过它们的能量不变，则由：
I0 4π1 = Ip 4πr
z
2
r = x + y +z
2 2 2
P r
Q
r
(x1, y1, z1)
（光源在原点）光源在原点）
y
x
r = (x − x1) + ( y − y1) + (z − z1)
2
2
（光源在 x1、y1、z1 点）
在直角坐标系中：在直角坐标系中：
E0 E(r, t) = cos(kr −ωt +ϕ0 ) （r 为上两式）为上两式） r
r r ~r E(r ) = E0 exp[i(k ⋅ r +ϕ0 )]
= E0 exp[i(kx x + ky y + kz z +ϕ0 )]
= E0 exp{i[k(x cosα + y cos β + z cosγ ) +ϕ0 ]}
= E0 exp{i[2π ( f x x + f y y + f z z) +ϕ0 ]} （2.2.31））
上式我们取正号，上式我们取正号，所以可书为
r r r r −iωt E(r, t) = Re{E0 (r ) exp[i(k ⋅ r +ϕ0 )]e }
济南大学理学院
光学课件目录 14
2011-9-4
~r 随时间变化), 上式称为复波函数(随时间变化), 通常表示成 E(r , t)

高等流体力学2波动-1

清华大学研究生课程：高等流体力学第二章流体中的波（Waves in fluids）后续三部分内容尽管各自独立成章，但均与混沌问题有密切关系。

第二章“流体中的波”，它与流动稳定性分析有密切关系，可以认为是混沌初生分析的基础；第三章“流体中的涡”，涡流是普遍存在的流动形态，点涡系是存在混沌的保守动力学系统的最好例子；第四章“非牛顿流”，它可作为混沌现象更复杂的载体，比如粘弹性流体的热对流中出现的Lorenz怪引子等。

尽管它们之间有非常密切的关系，但已形成相对独立的分支学科：“波动力学”，“涡动力学”，“非牛顿流体力学”。

波动现象广泛地存在于流体之中，水波和声波在我们周围几乎无所引言不在，而有些波仅在特殊情况下才会出现，比如超声速流中的激波波的形式各异，种类繁多。

有些是眼睛直接看不到的，比如空气中和长水渠中的孤波。

的声波；有些却很容易观察到，比如水波。

潮波(tidal bore)海啸(tsunami)天外黑风吹海立,浙东飞雨过江来—宋·苏轼《有美堂暴雨》千尺丝纶直下垂，一波才动万波随．唐·船子和尚《颂钓者》(ripple wave)涟波(pp )风乍起，吹皱一池春水—五代·冯延巳《谒金门》毛细波(capillary wave)惊天骇浪：画家笔下的波流体力学大师笔下的“波”参考书1) James Lighthill, Waves in fluids, Cambridge Univ. Press, 1978 1)James Lighthill Waves in fluids Cambridge Univ Press19782) G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, John Wiely and Sons, Inc. 1974（有中译本，科学出版社1986）3) P. M. Morse and K. U. Ingard, Theoretical Acoustics, Mcgraw-Hill Book Company, 19684) L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Course of Theoretical Physics Vol. 6, Beijing World Publishing Corporation, 1999（有中译本，人民教育出版社1960，1978，高等教育出版社1990）什麽是“波”？1)波的定义(Definition of waves)从经典观点看，波被认为是一种通过介质向外传播的周期性运动。

二阶波动方程求解matlab

二阶波动方程求解MATLAB一、概述二阶波动方程是描述波动现象的重要数学模型，在工程、物理、地球科学等领域都有着广泛的应用。

利用MATLAB对二阶波动方程进行求解，不仅可以加深对波动方程理论的理解，还可以为工程实际问题的求解提供有力的工具。

本文将介绍如何利用MATLAB对二阶波动方程进行求解，并给出相应的示例。

二、二阶波动方程的基本形式二阶波动方程的基本形式可以表示为：∂^2u/∂t^2=c^2∇^2u其中，u表示波函数，t表示时间，c表示波速，∇^2u表示波函数的拉普拉斯算子。

在实际应用中，波动方程的形式会有所不同，但以上基本形式仍然适用。

三、MATLAB求解二阶波动方程的基本步骤1. 定义问题：首先要确定二阶波动方程的边界条件、初值条件和区域范围。

2. 离散化：利用有限差分或有限元等方法将波动方程离散化，得到差分方程或代数方程组。

3. 求解方程组：利用MATLAB内置的求解器对离散化后的波动方程进行求解。

4. 可视化结果：利用MATLAB的绘图函数将求解得到的波函数在空间和时间上进行可视化展示。

四、MATLAB求解二阶波动方程的示例假设我们要求解的二阶波动方程为一维波动方程：∂^2u/∂t^2=c^2∂^2u/∂x^2其中，u为波函数，c为波速，x为空间坐标，t为时间。

边界条件和初值条件为：u(0,t)=u(L,t)=0u(x,0)=sin(2πx/L)∂u/∂t|t=0=0其中，L为空间范围的长度。

1. 定义问题根据给定的边界条件和初值条件，我们可以利用MATLAB的变量定义语句将问题中的各个量表示为MATLAB中的变量。

2. 离散化利用有限差分方法将波动方程进行离散化，得到差分方程组。

假设空间范围被均匀地分为N个小区间，时间范围被均匀地分为M个小区间，我们可以得到N*M个未知量，从而得到N*M个代数方程。

这些方程可以表示为矩阵形式，即AU=B，其中A为系数矩阵，U为未知量向量，B为右端向量。

NO2波动1答案之欧阳数创编

NO.2 机械波(1)班级学号姓名成绩一选择题1.一沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时的波形曲线如图所示，则原点O(A))21(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)． (B) )2121(cos 50.0ππ-=t y ， (SI)．(C))2121(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)． (D))2141(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)．【 C 】2.图示一简谐波在t = 0时刻的波形图，波速u = 200 m/s ，则图中O (A))21cos(4.02π-ππ=t a (SI)． (B))23cos(4.02π-ππ=t a (SI)． (C))2cos(4.02π-ππ-=t a (SI)． (D))212cos(4.02π+ππ-=t a (SI) 【 D 】3.如图所示，一平面简谐波沿x 轴正向传播，已知P 点的振动方程为)cos(0φω+=t A y y (m)(m) y (m)(A) }]/)([cos{0φω+--=u l x t A y ． (B) })]/([cos{0φω+-=u x t A y ． (C) )/(cos u x t A y -=ω． (D)}]/)([cos{0φω+-+=u l x t A y ．【 A 】二填空题1. 一横波的表达式为：mx t y )]5.2(10cos[01.0-=π，在t =0.1s 时，x =2m 处，质点的位移是 0m ，速度是 -0.25πm/s 。

2．图示为一平面简谐波在t=2s 时刻的波形图，波的振幅为0.2m ，周期为4s ，则图中P 点处质点的振动方程为:mt y P )22cos(2.0ππ-= 。

um ）3．如图所示为一平面简谐波在t=2s 时刻的波形图，该简谐波的波动方程是mu x t u A y ]23)2(2cos[πλπ+--=；P处质点的振动方程是mt u A y ]2)2(2cos[πλπ+-= 。

2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解

x
1 F (0) − G (0) G ( x) = , ∫ψ (s)ds − 2a 0 2
x
于是得：
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) x − at x + at 1 1 =− ∫ ψ (s)ds + 2a ∫ ψ (s)ds 2a 0 0 0 x + at 1 1 = ∫atψ (s)ds + 2a ∫ ψ ( s)ds 2a x − 0
由课本第31页练习16的结论，方程在变换
{
ξ = x − at , η = x + =utt − a 2u xx = 0
ξ +η
下化为 uξη = 0, 积分两次得：
2 η −ξ t= ; 2a
,
u = F (ξ ) + G (η ),
其中 F 和 G 为 C (R ) 上的任意函数。于是，
我们只要利用初始条件来确定这两个函数，即可得出问题 (2)(3)(4)之解。
u ( x, t ) t =0 = [ F ( x − at ) + G ( x + at ) ] t =0 = F ( x) + G ( x) = 0, ut ( x, t ) t =0 = [ − aF ′( x − at ) + aG′( x + at ) ] t =0
=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 − 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
t x + a ( t −τ ) ⎤ 1 ⎡ − ∫ ⎢ ∫ f ( s,τ )ds ⎥ dτ 2a 0 ⎢ x − a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦