湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷(理科)(5月份)解析版

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湖北省华中师范大学第一附属中学高三数学5月押题考试试题理(含答案)

湖北省华中师范大学第一附属中学高三数学5月押题考试试题理本试题卷共4页，23题(含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★―、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1. 已知复数ii i z +-=1)31(，则其共扼复数z 的虚部为 A. -1 B. 1 C.-i D. i2. 已知集合A={01|≥-x xx }，B={)12lg(|-=x y x }，则=B A A.(0，1] B.(0，21) C.( 21,-l] D.( 21,∞)3.设,均为单位向量，当,的夹角为32π,时，在方向上的投影为A. 23-B. 21-C. 21-D. 234. 已知等差数列{n a }满足2334a a =，则{n a }中一定为零的项是 A. 6a B. 6a C. 10a D.12a5.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(以下称合格考)和选择性考试(以下称选择考)，其中“选择考”成绩将计人高考总成绩，即“选择考，’成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”的总人数是2016年参加“选择考”的总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况,现统计了该校2016年和2018年“选择考” 的成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年相比，下列说法正确的是 A.获得A 等级的人数减少了B.获得B 等级的人数增加了1.5倍C.获得D 等级的人数减少了一半D.获得E 等级的人数相同 6.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A.122019- B.222019- C. 122020- D.222020-7.设函数)232sin()322cos()(ππ---=x x x f ，将函数)(x f 的图像向左平移ϕ (ϕ>0)个单位长度，得到函数)(x g 的图像，若)(x g 为偶函数，则ϕ的最小值是A.6π B. 3π C. 32π D.65π8.设数列{n a }的前n 项和为n S ，满足nn nn a S 21)1(+-=，则=++531S S S A.0 B.645 C. 6417 D. 6421 9.已知抛物线C: p px y (22=>0)，过其焦点F 的直线与C 交于A ,B 两点，0是坐标原点，记△AOB 的面积为S,且满足S FB AB 223||3||==，则=p A.21 B.1 C. 23 D.210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 A.π27728 B. π9728C.π272128 D.π92128 11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f ，1)(-=kx x g 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1-=y 的对称点在)(x g 的图像上，则k 的取值范围是A. )43,31(B. )43,21(C. )1,31(D. )1,21(12.在△ABC 中，A 、B 、C 为其三内角，满足tanA 、tanB 、tanC 都是整数，且A>B>C ，则下列结论中错误的是 A.A>52π B . B>3π C. A<94π D.B<125π 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。

2021届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三下学期5月高考押题卷数学(理)试题(解析版)

2021届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三下学期5月高考押题卷数学（理）试题一、单选题1．已知,M N 为R 的两个不相等的非空子集，若()()N M ⊆RR ，则下列结论中正确的是（） A ．,x N x M ∀∈∈ B ．,x M x N ∃∈∉ C ．,x N x M ∃∉∈ D ．R,x M x N ∀∈∉【答案】D 【分析】由()()N M ⊆RR ，得到M N ⊆，结合集合间的关系，即可求解.【详解】根据集合的运算，因为()()N M ⊆RR ，可得M N ⊆，所以,x M x N ∀∈∈，所以R,x M x N ∀∈∉.故答案为：D.2．已知抛物线2(0)y mx m =>上的点()02x ,到该抛物线焦点F 的距离为178，则m =（） A ．1 B ．2C ．12D ．14【答案】B【分析】根据抛物线的定义，得到点()02x ,到焦点F 的距离等于到准线的距离，得到117248m +=，即可求解. 【详解】由题意，抛物线2(0)y mx m =>的准线方程为14y m=-，根据抛物线的定义，可得点()02x ,到焦点F 的距离等于到准线14y m=-的距离，可得117248m +=，解得 2.m = 故选：B.3．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（） A ．325B ．15C ．310D ．35【答案】C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率. 【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解.4．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m ∈N ，满足22519,1m m m m S a m S a m +==-，则数列{}n a 的公比为（） A ．2- B ．2C ．3-D ．3【答案】B 【分析】根据22519,1m m m m S a m S a m +==-，解关于q 的方程，注意1q =还是1q ≠的讨论，代入公式即可求解.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则22mmS S =，与题中条件矛盾，故()()212122*********.19,8.8,111mm mmmm m m mm m a q S a a q m qq q q q S a a q m a q q---+-≠==+=∴=====---33,8,2m q q ∴=∴=∴= .故选：B【点睛】注意公式应用的前提，以及题中没有说明q 的取值时，要考虑q 是否为1.5．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，1Pa =1N/m 2），大气压强p （Pa ）随海拔高度h （m ）的变化规律是0khp p e -=（0.000126k =m -1），0p 是海平面大气压强.已知在某高山12,A A 两处测得的大气压强分别为12,p p ，1212p p =，那么12,A A 两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：ln 20.693≈） A ．550m B ．1818m C ．5500m D ．8732m【答案】C【分析】根据0khp p e-=以及指数的运算即可求解.【详解】在某高山12,A A 两处海拔高度为12,h h ，所以()1122012012kh k h h kh p e p e p p e ----===，所以()121ln ln 22k h h --==-，所以120.69355000.000126h h -≈=（m ）. 故选：C6．在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，4AB =，3AD =，且3CP PD =，则AP AB ⋅=.A ．5B ．6C ．7D ．10【答案】D【分析】建立坐标系，求出各向量坐标，再计算数量积．【详解】如图所示：以A 为原点建立坐标系，则()00A ，，()40B ，，3332D ⎛⎝⎭， ∵ 3CP PD =，∴1DP =，即5332P ⎛ ⎝⎭， ∴533 2AP ⎛=⎝⎭，()4,0AB =， ∴533401022AP AB ⋅=⨯+=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使计算较简单，属于中档题．7．已知函数()()3log 91=+-xf x x ，设910111,,ln 1010a f b f e c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】C【分析】判断出()f x 奇偶性和单调性，得991010b f e f e --⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()1x g x e x =--，利用导数求最值得()10x e x x >+≠判断b a 、的大小，构造()()=ln 10t x x x x -+>，利用导数求最值得()ln 11x x x <-≠，判断c a 、的大小可得答案. 【详解】()()()()33log 91log 33x x xf x x x R -=+-=+∈，()()()3log 33x x f x f x -∴-=+=，()f x 为偶函数，令33x x y -=+，设120x x >>，则()121212121212333333331x x x x x x x x x x y y +--+-=⎛-+--⎫-= ⎪⎝⎭，因为120x x ->，120x x +>，1231x x +>，所以()121212103333x x x x x x ++⎛⎫⎝-->⎪⎭，所以12y y >，所以33x x y -=+在()0,∞+是增函数，又()3log f x x =为增函数，所以()()3log 33x xf x -=+在()0,∞+上为增函数，所以991010b f e f e --⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()1xg x e x =--，得()1xg x e '=-，当0x >时()0g x '>；当0x <时()0g x '<，所以()()00g x g ≥=，当且仅当0x =时取等号，所以()10x e x x >+≠，故9109111010e ->-+=，即b a >，令()()=ln 10t x x x x -+>，()()11=10xt x x x x-'-=>，当1x >时()0t x '<；当01x <<时()0t x '>，所以()()10t x t ≤=，当且仅当1x =时取等号，()11111ln 11,ln1,.101010x x x a c ∴<-≠∴<-=∴> 综上.b a c >> 故选：C.【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小的方法有：（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.8．斜率为13的直线l 经过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点1F ，交双曲线于,A B两点，2F 为双曲线的右焦点且22AF BF =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =±B ．2y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】D【分析】利用点差法代入计算得OM k ，然后结合22AF BF =，可得12==OM OF OF ，设直线AB 的倾斜角为θ，则可得22122tan 33tan21tan 4113θθθ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得2214b a =，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】设AB 的中点为M ，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则22112222222200x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()()12122+--x x x x a()()121220y y y y b+-=，则22223,⋅=∴=ABOMOM b b kk k a a，设直线AB 的倾斜角为θ，又22AF BF =，所以2⊥AB MF ，可得12==OM OF OF ，所以直线OM 的倾斜角为2θ，则OM 的斜率为22122tan 33tan21tan 4113θθθ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2214b a =，所以双曲线的渐近线方程为12y x =±，故选：D .【点睛】一般在圆锥曲线中涉及中点弦的问题通常采用点差法计算，根据中点的坐标代入计算得2a 与2b 的关系.9．已知复数cos140sin140,z i i =+为虚数单位，则下列说法错误的是（） A ．z 的虚部为isin140 B ．z 在复平面上对应的点位于第二象限C ．1z z=D ．3122z =+ 【答案】A【分析】根据复数的概念，可判断A 错误；根据复数的几何意义，结合三角函数的性质，可判定正确；根据复数的运算，可判定C 、D 正确.【详解】由题意，复数cos140sin140z i =+，可得复数的虚部为sin140，所以A 错误；由复数cos140sin140z i =+在复平面内对应的点为,(cos140s )in140，又由0,cos140sin1400<>，所以复数对应的点位于第二象限，所以B 正确；由()()11cos140sin140cos140sin140cos140sin140cos140sin140i i z i i +==--+22cos140sin140cos140sin140cos 140sin 140i i +==++，即1z z =，所以C 正确；由3313(cos140sin140cos420sin420)22z i i i =+=+=+，即312z =+，所以D 正确. 故选：A.10．为庆祝中国共产党成立100周年，A ､B ､C ､D 四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知A ､B ､C ､D 四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（） A ．A 组中位数为2，极差为8 B ．B 组平均数为2，众数为2 C ．C 组平均数为1，方差大于0 D ．D 组平均数为2，方差为3【答案】D【分析】利用统计学知识分别分析判断每个选项.【详解】对A ，因为中位数为2，极差为8，故最大值大于7，故A 错误；对B ，如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B 错误；对C ，如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C 错误；对D ，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于21(82) 3.6310⨯-=>，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D 正确．故选：D11．如图，矩形ABCD 中，已知2,4,AB BC E ==为BC 的中点．将ABE △沿着AE 向上翻折至MAE 得到四棱锥M AECD -．平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为α，直线ME 与平面AECD 所成角为β，则下列说法错误的是（）A ．若F 为AD 中点，则ABE △无论翻折到哪个位置都有平面AEM ⊥平面MBFB ．若Q 为MD 中点，则ABE △无论翻折到哪个位置都有//CQ 平面AEMC ．2sin sin αβ=D 2cos cos αβ= 【答案】C【分析】对于A ：根据线面垂直的判定和面面垂直的判定可判断；对于B ：取AM 中点P ，根据三角形的中位线的性质可证得四边形PECQ 是平行四边形，再由线面平行的判定可判断；对于C ：过M 作MO ⊥平面AECD ，则O 在BF 上，所以平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为(MHB ∠或其补角，根据面面角和线面角的定义可判断；对于D ：根据面面角和线面角的定义可判断．【详解】若F 为AD 中点，连接BF 交AE 于点H ，则AE ⊥面MBF ，又AE ⊂面MAE ，所以平面AEM ⊥平面MBF ，故A 正确；取AM 中点P ，则1//2PQ AD ，12PQ AD =，又11//,22CE AD CE AD =，////PQ CE PQ CE ∴，，所以四边形PECQ 是平行四边形，//,CQ EP ∴又CQ ⊄平面AEM ，PE ⊂平面AEM ，所以//CQ 平面AEM ，故B 正确；过M 作MO ⊥平面AECD ，则O 在BF 上，所以平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为MHB ∠（或其补角），sin ,sin ,sin 2sin 2MO MO MOMH ME MHαβαβ∴===∴=，故C 错误；若2cos cos αβ=，又cos ,cos 2OH OE OEMH ME MHαβ===，则2OE OH =，故D 正确，故选：C ．【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.12．已知函数()sin cos sin21f x x x x =+--，则下列说法错误的是（） A ．()f x 是以π为周期的函数B ．2x π=是曲线()y f x =的对称轴C ．函数()f x 2D ．若函数()f x 在()0,M π上恰有2021个零点，则202110112M < 【答案】B【分析】结合周期函数的定义证明()()f x f x π+=后判断A ，由对称性判断B ，在[0,]x π∈上分类讨论去掉绝对值符号求函数的最大值和最小值判断C ，根据周期性研究()f x 在(0,]π上零点个数后可得参数范围，从而判断D ．【详解】因为()()f x f x π+=，所以()f x 是以π为周期的函数，A 正确；又()()sin cos sin21f x x x x f x π-=++-≠，B 错误；由A 知只需考虑()f x 在[0,]π上的最大值．①当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()()2,t f x t t u t ⎡∈=-+=⎣，易知()u t 在区间[1上单调递减，所以，()f x的最大值为()10u =，最小值为 2.u=②当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()()2,2t f x t t v t ⎡∈=+-=⎣，易知()v t 在区间[1上单调递增，所以，()f x 的最大值为v=()10.v =综合可知：函数()f x 2,C 正确；因为()f x 是以π为周期的函数，可以先研究函数()f x 在(]0,π上的零点个数，易知()0.f π=当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，令()()20f x u t t t ==-+=，解得0t =或1，04t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无解，14t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上仅有一解2x π=．当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()220f x v t t t ==+-=，解得2t =-或1．24t x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上无解，14t x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上也无解．综合可知：函数()f x 在(]0,π上有两个零点，分别为2x π=和.x π=又因为()f x 是以π为周期的函数，所以，若*n ∈N ，则()f x 在(]0,n π上恰有2n 个零点．又已知函数()f x 在()0,M π上恰有2021个零点，所以20211011,D 2M <正确．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期性，对称性，最值，零点等问题，对于最值问题，解题关键是结合周期性根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后结合三角函数性质得出最值．零点问题也是在一个周期内研究即可得．二、填空题 13．n的展开式中，只有第9项的二项式系数最大，则展开式中x 的幂的指数为整数的项共有项__________．【答案】5【分析】根据二项展开式的性质，求得16n =，得到展开式的通项3841161)2(rr r r T C x -+=，进而求得展开式中x 的幂的指数为整数的项，得到答案．【详解】由题意，二项式n的展开式中，只有第9项的二项式系数最大，可得16n =，则展开式通项38164116161)2(rrrrr r r T C C x --+==，当0,4,8,12,16r =时，展开式中x 的幂的指数为整数的项，共有5项．故答案为：5.14．写出一个定义在R 上且使得命题“若()10f '=，则1为函数()f x 的极值点”为假命题的函数()f x =__________．【答案】3(1)(x -答案不唯一)【分析】根据题意，得()10f '=且()f x '在1x =处不存在变号零点，写出符合的函数解析式即可.【详解】由题意，()10f '=且()f x '在1x =处不存在变号零点，例如3()(1)f x x =-，则2()3(1)f x x '=-，所以()01f '=，且2()3(1)0f x x '=-≥，符合题意. 故答案为：3(1)(x -答案不唯一)15．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的表面上，若底面ABCD 是梯形，且1//,2CD AB AD BC CD AB ====，则当球O 的表面积最小时，四棱锥P ABCD -的高的最大值为__________．【分析】作CE AB ⊥，求得AF BF CF DF ====F 为底面梯形外接圆的圆心，利用球的截面性质，得到225R d =+，得到外接球半径最小值，结合PO ⊥面ABCD 时，即可求解.【详解】如图所示，作CE AB ⊥，由对称性可得1222AB CD BE BC -===，可得60ABC ∠=，取AB 的中点F ，连接,CF DF ，则2,AB BF CF DF ===所以AF BF CF DF ====F 为底面梯形外接圆的圆心，则半径r = 球心在平面ABCD 上射影落在四边形ABCD 外接圆圆心F 处(即AB 中点)，设球心O 到平面AB -CD 的距离为d ，由22221554R d AB d =+=+≥当PO ⊥面ABCD16．设()222222*1212,13213521n n n n a b n n n =+++=+++∈-+N ，记最接近n n a b -的整数为n c ，则505c =__________；n c =__________．(用n 表示)【答案】253 2{12nn n n +为偶数为奇数【分析】先求出2222222505505213250550450550550613510091011505506a b ---⨯-=++++-=+，观察特点得111505506505506505+506=+⨯，505505252.5253a b ∴<-<，最接近的数字为253；由11122,11n n a b n n n n ⎛⎫=+∈ ⎪-++⎝⎭得，122n n n n a b +<-<，判断n 为奇数或偶数从而得解. 【详解】2222222250550512350512504505,13510093510091011a b =+++=++++， 222222225055052132505504505505505506150535100910111011505506a b ---⨯∴-=++++-=-=+50550521112506505506505a b ∴<=+<- 505505252.5253a b ∴<-< 505253.c ∴=222121n n n n na b n n n +-=-=++11122,11n n a b n n n n ⎛⎫∴=+∈ ⎪-++⎝⎭122n n n n a b +∴<-< 若()*2n k k =∈N，则2nnck ==，若()*21n k k =-∈N，则112nn ck +=+=， 2{12n nn c n n ∴=+为偶数为奇数故答案为：253；2{12n nn c n n =+为偶数为奇数. 【点睛】求出505505a b - ，关键在于处理111505506505506505+506=+⨯，从而得出505505252.5253a b <-<，将结论进行一般化，要注意n 为奇数还是偶数.三、解答题17．已知平面四边形ABCD 内接于圆,3,60.O AB BC ABC ∠===（1）若3CD =ABD ∠所对的圆弧AD 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（13；（2）33 【分析】（1）连接AC ，可得3AC =，在ACD △中,由ADC ∠的余弦定理可解出3AD =ABC 中利用正弦定理可得圆的半径3R =AD 对应的圆心角AOD ∠，利用l r α=，即可得出ABD ∠所对的圆弧AD 的长. （2）在ACD △中，由ADC ∠的余弦定理可得3AD CD ⋅，再由△△=+ABCD ABC ACD S S S 计算即可的得出四边形ABCD 面积的最大值.【详解】（1）连接,3,60,3AC AB BC ABC AC ∠===∴=又120ADC ∠=，在ACD △中由余弦定理，222cos1202AD CD AC AD CD+-=⋅，即216,3223AD AD AD--=∴= 又ABC 的外接圆半径32sin60ACR ==OAD ∴为正三角形，3AOD π∠=ABD ∴∠所对的圆弧3.3AD π=（2）在ACD △中，由余弦定理222cos 2AD CD AC ADC AD CD∠+-=⋅ 即229AD CD AD CD ++⋅=．又222,92AD CD AD CD AD CD AD CD +⋅∴-⋅⋅3AD CD ∴⋅当且仅当3AD CD ==111313sin60sin12033322222ABCD ABC ACDS S SAB BC AD DC ∴=+=⋅⋅+⋅⋅⨯⨯⨯+⨯=33ABCD 面积的最大值为33【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形、圆的弧长公式.属于中档题.熟练掌握正余弦定理是解本题的基础.18．七面体玩具是一种常见的儿童玩具．在几何学中，七面体是指由七个面组成的多面体，常见的七面体有六角锥､五角柱､正三角锥柱､Szilassi 多面体等．在拓扑学中，共有34种拓扑结构明显差异的凸七面体，它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的．在如图所示的七面体EABCFD 中，EA ⊥平面,//,//,,2, 4.ABCD EA FC AD BC AD AB AD AB BC FC EA ⊥=====（1）在该七面体中，探究以下两个结论是否正确．若正确，给出证明；若不正确，请说明理由：①//EF 平面ABCD ； ②AF ⊥平面EBD ；（2）求该七面体的体积．【答案】（1）结论①正确；证明见解析；结论②错误；答案见解析；（2）16．【分析】（1）①由平行四边形得线线平行，再得线面平行；②假设AF ⊥平面EBD ，FC ⊥平面ABCD ，得BD ⊥平面AFC ，得BD AC ⊥，但2,4AD AB BC ===，所以22CD BC =≠，与BD AC ⊥矛盾，故②错误. （2）将七面体进行分解，七面体的体积等于E ABD F BED F BCD V V V ---++326E ABD A BED E ABD E ABD V V V V ----=++=，转化为容易求体积的几何体来计算；也可补形为长方体,通过ABCH EIFG B EFI F EGD D FHG V V V V -------来求解；以及利用空间直角坐标系也行.【详解】（1）结论①正确，结论②错误，理由如下：对于结论①，因为//EA FC 且4FC EA ==，连接AC ，所以四边形EACF 是平行四边形，所以//EF AC ，因为EF ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，//EF ∴平面,ABCD ∴结论①正确对于结论②，若AF EBD ⊥平面，则AF BD ⊥，因为 EA ⊥平面ABCD ，//EA FC ，所以FC ⊥平面ABCD ，所以FC BD ⊥，又因为AF FC F ⋂=，所以BD ⊥平面AFC ，所以BD AC ⊥，而在梯形ABCD 中，//,AD BC AD AB ⊥，2,4AD AB BC ===，所以22CD BC =≠，与BD AC ⊥矛盾所以结论②错误．（2）方法一：连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ，则在平面EACF 中，AF 与EG 相交，设交点为H ，则由//AC EF 可得:AG AHEF HF=，又AG AG AD EF AC AD BC ==+2163==， 13AH HF ∴= 该七面体的体积等于E ABD F BED F BCD V V V ---++326E ABD A BED E ABD E ABD V V V V ----=++=1164221632=⨯⨯⨯⨯⨯=方法二：将该七面体补成如图所示的长方体；1124424432ABCH EIFG B EFI F EGD D FHG V V V V -------=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-1111616164424223216323333⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=---=方法三：建立空间直角坐标系，利用空间向量求点F 到平面BED 的距离后求三棱锥F BED -的体积．(参照给分)【点睛】充分利用题目信息，特别是几何体的几何特征，并会假设结论成立，推导，若得出矛盾，则假设错误，否则假设成立.复杂的不规则的几何体体积求解,需要转化为常见几何体的体积来解.19．某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查，通过随机抽样，得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100)数据，统计结果如表所示：（1）把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类，请完成如下22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别有关？（2）为增加员工消防安全知识及自救､自防能力，现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛．在每轮比赛中，小组两位成员各答两道题目，若他们答对题目个数和不少于3个，则小组积1分，否则积0分．已知A 与B 在同一小组，A 答对每道题的概率为1,p B 答对每道题的概率为2p ，且121p p +=，理论上至少要进行多少轮比赛才能使,A B 所在的小组的积分的期望值不少于5分？附：参考公式及2K 检验临界值表)20k 0.152.072()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关；（2）理论上至少要进行16轮比赛．【分析】（1）根据题设条件累加出男性和女性不太熟悉及比较熟悉的人数，填入列联表中即可；并根据卡方公式计算出卡方值，与表中6.635进行比较，即可判断相关性；（2）先求得一轮比赛积1分的概率，因121p p +=，则积一分的概率是有一个范围，存在一个最大值，而A 、B 所在小组在n 轮比赛中的积分设为ξ，则~(,)B n p ξ，则根据二项分布的期望，求得得5分时，至少要进行的比赛数. 【详解】（1）22500(12016014080)8.547 6.635.260240200300K ⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关．（2）,A B 在一轮比赛中积1分的概率为()()()()()()22221221222112221222212211P C p p C p C p C p p C p C p =-+-+()()212121223p p p p p p =+-，又1221,01p p p +=，则()1222110,4p p p p ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦()221212121123333P p p p p p p ⎛⎫∴=-=--+ ⎪⎝⎭，且12104p p max 516P ∴=，此时1214p p =，设､A B 所在的小组在n 轮比赛中的积分为ξ，则(),B n p ξ，55,1616E n n ξ∴=∴，所以理论上至少要进行16轮比赛．【点睛】关键点点睛：先求得,A B 在一轮比赛中积1分的概率，因,A B 答对题得分的概率未知，故求得积1分时的概率是一个关于12,p p 的函数，问题求解最小比赛次数，则需选择函数的最大值最为概率，且､A B 所在的小组在n 轮比赛中的积分(),B n p ξ，从而利用期望值求得结果.20．已知函数()()2ln 1,0.f x x mx m =++> （1）若()f x 在()()1,1f 处的切线斜率为132，求函数()f x 的单调区间；（2）设()()sin g x f x x =-，若0x =是()g x 的极大值点，求m 的取值范围．【答案】（1）增区间为⎛- ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭，减区间为3366⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（2）10,2⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】（1）求得()121f x mx x =++'，由()1312f '=，求得3m =，得到()26611x x f x x ++'=+，结合导数的符号，即可求解；（2）由()()2ln 1sin g x x mx x =++-，求得()12cos 1g x mx x x=+-'+，令()()h x g x '=，由()212sin (1)h x m x x =-++'，得到()021h m '=-，分102m <<和12m ≥，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()()2ln 1f x x mx =++的定义域为()1,-+∞，可得()121f x mx x =++'，则()1131222f m =+='，解得3m =，所以()21661611x x f x x x x ++=+='++，令()0f x '=，解得1316x -=>-，236x -+=，令()0f x '>，可得11x x -<<或2x x >；令()0f x '<，可得12x x x <<，所以()f x 在()11,x -和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，即函数()f x 的单调递增区间为⎛- ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭.（2）由题意，可得()()()2sin ln 1sin g x f x x x mx x =-=++-，则()00g =且()12cos 1g x mx x x=+-'+，可得()00g '= 令()()h x g x '=，则()212sin (1)h x m x x =-++'，可得()021h m '=-，若102m <<，当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，21(1)y x =-+单调递增，所以()h x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．又因为()210210,210212h m h m ππ⎛⎫=-<=+-> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭''，因此存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00h x '=，所以当()01,x x ∈-时()()()()0,0,h x h x g x h x <='=''在()01,x -上单调递减，又由()()000g h '==，所以当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()1,0-上单调递增，在()00,x 上单调递减，符合题意．若12m ≥，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22112sin 1sin 0(1)(1)h x m x x x x =-+≥-++'>+，所以()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()()00,g x g g x '='>在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因此0x =不可能是()g x 的极大值点．综上，当0x =是()g x 的极大值点时，m 的取值范围为10,.2⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.21．已知椭圆221222:1(0),,x y E a b F F a b+=>>分别是椭圆的左､右焦点，P 是椭圆上的动点，直线1PF 交椭圆于另一点M ，直线2PF 交椭圆于另一点N ，当P 为椭圆的上顶点时，有2.PM MF = （1）求椭圆E 的离心率；（2）求12PF F PMNS S的最大值．【答案】（1）3；（2）49．【分析】（1）当P 为椭圆E 的上顶点时，满足2MF PM =，根据椭圆的性质，求得123,22a a MF PM MF ===，在2MPF 中利用余弦定理求得1cos 3MPN ∠=，从而求得sin c MPO a ∠==（2）设()()()0011221122,,,,,,,,(,0)P x y M x y N x y PF F M N PF F λμλμ→→→→==>，方法一，通过向量关系表示出0011,x c y x c y λλ+⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭，代入到椭圆方程中，与2200221x y a b+=联立，求得02x c c λ+=，同理求得0022x c c x c c μ--==-，从而4λμ+=；方法二，把向量关系直接代入椭圆方程，得到)011x x λλ-=-，同理得到)021x x λμ-=-，从而()()2324c c λμλμλμ---=--⇒+=；故()()1212151151PF F PMNS PF PF SPM PNλμλμλμλμλμ⋅====⋅++++，又2,4λμλμλμ+∴，从而12PF F PMNS S的最大值.【详解】（1）当P 为椭圆E 的上顶点时121,,PF a MF PM MF a =∴==+，又因为121232,,22a aMF MF a MF PM MF +=∴===，所以22222222233122cos 32322a a a PM PF MF MPN PM PF a a ∠⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⋅⋅⋅，所以21cos 12sin ,sin 3c MPN MPO MPO a ∠∠∠=-=∴==，e ∴=（2）方法一：设()()()0011221122,,,,,,,,(,0)P x y M x y N x y PF F M N PF F λμλμ→→→→==> ()()()()00110022,,,,,c x y x c y c x y x c y λμ∴---=+--=-，0011,x c y x c y λλ+⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭，又点M 在椭圆上，则2200221x c y c a b λλ+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， ()2222020022221(1)c x c x y a b a λλλ+++⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，又2200221x y a b +=， ()()()222222021(1)131c x c a c λλλλ∴+++=-=-，02x c c λ+∴=，同理022(x c c x c cμ--==-用"c -“代替”")c ， 4λμ∴+=，()()1212151151PF F PMNS PF PF SPM PNλμλμλμλμλμ⋅∴====⋅++++又2,4λμλμλμ+∴，所以12PF F PMNS S的最大值为49方法二：设()()()0011221122,,,,,,,,(,0)P x y M x y N x y PF F M N PF F λμλμ→→→→==>，()()010*******,,00x x c x x c y y y y λλμμλμ⎧⎧+=-++=+⎪∴⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，由2220022211233233x y b x y b⎧+=⎨+=⎩得()()22222220011232331x y x y b λλ+-+=-，即()()()()()22010*********x x x x y y y y b λλλλλ+-++-=-，()()()2201231c c x x b λλλ∴---=-，即)011x x λλ-=-，同理)021x x λμ-=-，))()121132x x c λμμλλμ∴-=--=--，又()()()12112x x c c c λμλμλμ-=-+-+=---，()()232,4c c λμλμλμ∴---=--∴+=， ()()1212151151PF F PMNS PF PF SPM PNλμλμλμλμλμ⋅∴====⋅++++又2,4λμλμλμ+∴，所以12PF F PMNS S的最大值为49【点睛】方法点睛：求面积的比值，可以选择相同的底边或者角来转化，参数之间的关系可以通过联立圆锥曲线方程，化简求得，通过函数或者不等式来求得最值.22．已知圆1O 的圆心为()2,1O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆2O 的方程为2sin .R ρθ= （1）求圆1O 的极坐标方程；（2）若圆1O 与圆2O 的公共弦长为2O 的极坐标方程．【答案】（1）4cos 2sin .ρθθ=+；（2）6sin ρθ=，或30sin ρθ=．【分析】（1）由条件先得出圆1O 的平面直角坐标方程，在由平面直角坐标和极坐标的互化得出答案.（2）由圆1O 和圆2O 都经过极点O ，由题意则另一个交点的极径ρ=方程的极坐标方程联立结合同角三角函数的平方关系可得答案.【详解】（1）根据条件，圆1O 的平面直角坐标方程为22(2)(1)5x y -+-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入该方程,化简得圆1O 的极坐标方程为4cos 2sin .ρθθ=+ （2）圆2O 的极坐标方程为2sin ,R ρθ=∴圆1O 和圆2O 都经过极点O ，设圆1O 和圆2O 另一个交点的为(),ρθ，则,ρθ满足方程组：4cos 2sin 2sin R ρθθρθ=+⎧⎨=⎩由圆1O 与圆2O的公共弦长为ρ=即4cos 2sin 2sin .R θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得sin θθ==，由22sin cos 1θθ+=得，221244R R ⎛⎫⎛+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得，3R =，或15.R =所以，圆2O 的极坐标方程是6sin ρθ=，或30sin .ρθ= 23．已知()2 1.f x ax x =--+（1）若1a =，解关于x 的不等式()1f x ；（2）若1x 时，()2f x x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(],0-∞；（2）1⎡⎤-⎣⎦．【分析】（1）当1a =时，分段讨论得函数()f x 的解析式，再分别求解不等式可得答案；（2）原不等式等价于11,3 1.a x xa x x ⎧-+-⎪⎪⎨⎪++⎪⎩在1x 时恒成立．再令函数11y x x =-+-，由函数的单调性求得最值，以及基本不等式可求得实数a 的取值范围．【详解】（1）当1a =时，()3,1,21,12,3, 2.x f x x x x <-⎧⎪=-+-⎨⎪->⎩当1x <-时，由()1f x 得， 1.x <-当12x -时，由()1f x 得，211x -+，解得一10.x 当2x >时，由()1f x 得，31-，不等式()1f x 解集为.∅ 综上所述，不等式()1f x 的解集为(],0-∞．（2）()1,2 1.x f x ax x ∴=---由()2f x x 得，221ax x x ---，即221axx x -++，22121x x ax x x ∴----++，221,3.ax x x ax x x ⎧--+∴⎨++⎩在1x 时恒成立，即11,3 1.a x xa x x ⎧-+-⎪⎪⎨⎪++⎪⎩在1x 时恒成立．由于1x时，11y x x =-+-是减函数，最大值为331,1211x x x x-++⋅+=，等号在x =所以，实数a 的取值范围是1⎡⎤-⎣⎦．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.。

华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学(理)试题(解析版)

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学（理）试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先化简集合P和Q,再求和.详解：由题得,，所以={x|x＜-2}，所以= ，故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题是易错题，解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，本题，表示的是函数的值域. 集合表示的是函数的定义域.2．已知为虚数单位，若复数（）的虚部为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先化简复数z,再根据复数z的虚部为-1求a的值.详解：由题得=故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的除法和复数的实部与虚部，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)复数的实部是a,虚部是b，不是bi.3．定义在上的函数为偶函数，记，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：，，，然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．详解：∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）.∴，∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|，∴（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2，∴mx=0，∴m=0.∴f（x）=∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且, ,c=f （0）,∵0＜log21.5＜1∴,故答案为：C点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是分析出函数f（x）=的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时，是增函数，是减函数，是增函数，所以函数是上的减函数.4．已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求和的夹角，再求向量在方向上的投影.详解:因为，所以所以所以向量在方向上的投影=故答案为：A点睛：（1）本题主要考查向量的数量积和向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)在方向上的投影=5．已知变量，满足则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先作出不等式组对应的可行域，再化简，最后利用数形结合求的取值范围.详解：由题得不等式组对应的可行域如图所示，,表示可行域内的点(x,y)和点D（-1，-1）的线段的斜率，由图可知，,所以的取值范围是，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查线性规划求最值和直线的斜率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)表示点(x,y)和点（-a,-b）的斜率.6．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，若点关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且，则双曲线的实轴长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设的中点为N,坐标原点为O,先求出ON，再求2a得解.详解：设的中点为N,坐标原点为O,则ON=因为点到渐近线的距离为b,所以故双曲线的实轴长为3，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求出ON的长，由于,根据三角形中位线定理得ON=7．《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著．其中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知在直三棱柱中，，，，，截面将该直三棱柱分割成一个阳马和一个鳖臑，则得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用补形法求得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比.详解：由题得四棱锥为阳马，三棱锥为鳖臑，将两个直三棱柱拼在一起，得到一个长方体，则四棱锥、三棱锥和长方体的外接球是一样的，所以得到的阳马和鳖臑的外接球的半径之比为1:1.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查几何体的外接球半径的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)解答本题的关键是补形，解决几何体的外接球问题有直接法和补形法.8．已知，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：先化简和，再判断和的充要性.详解：因为，所以a>0,且a>b.设f(x)=x|x|=,所以函数f(x)是R上的增函数，因为，所以a>b.所以即研究a>0,且a>b是a>b的充要条件.因为a>0,且a>b是a>b的充分不必要条件.所以是的充分非必要条件.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是化简和，转化为研究a>0,且a>b是a>b 的充要条件.9．运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：运行程序，再对数列求和.详解：运行程序如下：s=1,k=2;s=1-2,k=3;s=1-2+3,k=4;S=(1-2)+(3-4)+(5-6)++(2015-2016)+2017，k=2018.输出S= S=(1-2)+(3-4)+(5-6)++(2015-2016)+2017=1008×（-1）+2017=1009.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查程序框图和数列求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)解答本题的关键是观察到连续两项的和为-1，解答时要注意把好输出关，既不能提前，也不能滞后.10．已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】分析：几何体为圆柱中挖去一个圆锥，分别算出圆柱体积和圆锥的体积即可算出该几何体的体积；分别算出圆柱的侧面积、底面积和圆锥展开的扇形面积即可求得该几何体的表面积．详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为，圆锥的底面圆的半径为，如图所示：∴该几何体的体积为；该几何体的表面积为.故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11．向量，（），函数的两个相邻的零点间的距离为，若（）是函数的一个零点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据函数的两个相邻的零点间的距离为求出w的值，再根据（）是函数的一个零点得到再求的值.详解：====，=.因为函数的两个相邻的零点间的距离为，所以所以.令f(x)=0,则因为，所以所以=.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是变角，，解答三角恒等变换要三看（看角、看名、看式）和三变（变角、变名、变式）.12．若曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，则整数的最值情况为（）A. 最大值为2，没有最小值B. 最小值为2，没有最大值C. 既没有最大值也没有最小值D. 最小值为1，最大值为2【答案】C【解析】分析：先根据公切线求出，再研究函数的最值得解.详解：当a≠0时，显然不满足题意.由得，由得.因为曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则将代入得，由得，设当x＜2时，，f(x)单调递减，当x＞2时，，f(x)单调递增.或a<0.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是求出，再研究函数的最值得解.二、填空题13．已知的展开式中，的系数为，则实数__________．【答案】【解析】分析：先求中的系数，再根据的系数为求出a的值.详解：令的通项为当x=3时，的系数为当x=2时，的系数为，所以1×（-80）+a×40=40a-80=-20,所以a=.故答案为：点睛：（1）本题主要考查二项式定理和二项式展开式的项的系数，意在考查学生对这些基础的掌握能力和分类讨论思想方法. (2)解答本题的关键是求中的系数，然后的系数为1×（-80）+a×40=40a-80.14．已知平面区域，现向该区域内任意掷点，则点落在曲线下方的概率为__________．【答案】【解析】分析：先化简=，再求，再求点落在曲线下方的概率.详解：=，所以，所以点落在曲线下方的概率为.故答案为：点睛：（1）本题考查定积分和几何概型的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是求点落在曲线下方的面积. 15．设抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点，若，则__________．【答案】【解析】分析：先设直线AB方程为再利用求出k的值，最后求|AF|. 详解：设直线AB方程为联立设则由题得因为，所以==0，所以k=0.所以故答案为：2点睛：（1）本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力. (2)解答本题的关键是根据求出k的值.16．如图，在平面四边形中，，，，，射线上的两个动点，使得平分（点在线段上且与、不重合），则当取最小值时，__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再由得ab=3，最后利用基本不等式求的最小值从而求出.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，设B(0，0),A(0，1),D(),C,E(a,0),F(b,0)，由得ab=3,且，BF+4BE=b+4a=b+当b=,时，不等式取等号.此时故答案为：点睛：（1）本题主要考查坐标法，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到利用坐标法解答，其二是由得ab=3.三、解答题17．已知，设是单调递减的等比数列的前项和，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和满足，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】分析: (1)根据，，成等差数列求数列的公比,再求数列的通项公式.（2）先化简，再利用裂项相消求的值详解：（1）设数列的公比为，由，得，即，∴，∵是单调递减数列，∴，又∵，∴，∴．（2）由（1）得，∴，∴，∴或，∵，∴．点睛：（1）本题主要考查等比数列通项的求法和等差中项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力和计算能力.(2) 类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：①，特别地当时，②，特别地当时③④.18．如图1，在中，，，分别为线段，的中点，，．以为折痕，将折起到图2中的位置，使平面平面，连接，，设是线段上的动点，且．（1）证明：平面；（2）试确定的值，使得二面角的大小为．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）利用向量法证明和，再证明平面.(2)利用空间向量二面角的公式得到的方程，解方程即得详解：以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为，，，，．（1），，，∵，∴，∵，∴，又，∴平面．（2）设，则，∴，设平面的法向量为，∵，，∴取，又∵平面的法向量为，∴，得，解得，又∵，∴，∴时，可使得二面角的大小为．点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和空间二面角的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力. (2) 二面角的求法,方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）19．某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．（1）完成列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．附：【答案】(1)答案见解析；(2)改造后的设备更优；(3)答案见解析.【解析】分析：（1）先完成列联表，再利用公式计算，再判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.(2)根据产品合格率比较得到改造后的设备更优．(3)先求X，再求X对应的概率，最后写出X的分布列和期望. 详解：（1）根据图1和表1得到列联表：将列联表中的数据代入公式计算得：，∵，∴没有的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据图1和表1可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为，显然设备改造后合格率更高，因此，改造后的设备更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有合格品产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有合格品产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有合格品产品中随机抽到一件三等品的概率为．由已知得：随机变量的取值为：240,270,300,330,360，，，，，，∴随即变量的分布列为：∴．点睛：（1）本题主要考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和应用能力.(2) 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称……为ξ的均值或数学期望，简称期望．20．已知椭圆：，过上一动点作轴，垂足为点．当点满足时，点的轨迹恰是一个圆．（1）求椭圆的离心率；（2）若与曲线切于点的直线与椭圆交于，两点，且当轴时，，求的最大面积．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）先求点N的轨迹方程得到，再求椭圆的离心率.(2)先转化为求|AB|的最大值，再求，再求|AB|的最大值和面积的最大值.详解：（1）设，，由轴知，∵，∴又∵点在椭圆上，∴，即，又点的轨迹恰是一个圆，那么，，∵，∴．（2）由（1）知椭圆：，圆：．当轴时，切点为与轴的交点，即，此时，，即，故：，：．设直线：（斜率显然存在），，，由直线与相切知，，即，联立直线与椭圆的方程得，其中，有那么，令（），则，又函数在上单调递增，则，故，∴，即的最大面积为．点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析转化推理能力计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求，其二是求|AB|的最大值，本题利用的是换元后利用基本不等式解答，也可以平方后利用导数解答.21．已知函数，其中．（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）对m 分类讨论求函数的单调区间.(2)先求出，再构造函数，，求它的范围.详解：（1）函数定义域为，且，，令，，当，即时，，∴在上单调递减；当，即时，由，解得，，若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；时，的单调递减区间为．（2）因为函数定义域为，且，∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，记，则∴，从而由且，可得，，∴，构造函数，，则，记，，则，令，得（，故舍去），∴在上单调递减，在上单调递增，又，，∴当时，恒有，即，∴在上单调递减，∴，即，∴．点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和函数的取值范围，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是构造函数，，求它的范围.22．以直角坐标系的原点为极点，以轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为．（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值．【答案】(1)，.(2).【解析】分析：（1）将代入到直线的参数方程，消去即可得直线的普通方程，再根据，即可求得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程，根据韦达定理可得，，结合参数的几何意义及三角函数的图象与性质即可求得的最小值．详解：（1）当时，由直线的参数方程消去得，即直线的普通方程为；因为曲线过极点，由，得，所以曲线的直角坐标方程为．（2）将直线的参数方程代入，得.由题意知，设，两点对应的参数分别为，，则，.∴．∵，，.∴当，即时，的最小值为．点睛：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化的方法，直线的参数方程及其几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解.把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.23．已知函数．（1）若在上的最大值是最小值的2倍，解不等式；（2）若存在实数使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）根据在上的最大值是最小值的2倍求出a的值，再解不等式.(2)先分离参数得，再求右边式子的最小值，得到a的取值范围.详解：（1）∵，∴，，∴，解得，不等式，即，解得或，故不等式的解集为．（2）由，得，令，问题转化为，又故，则，所以实数的取值范围为．点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和求绝对值不等式的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，得到，问题转化为，不是转化为,因为它是存在性问题.。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(二)(1)

一、单选题二、多选题1. 2016年某高校艺术类考试中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生，现这6名考生依次出场进行才艺展出，如果3位男生中任何2人都不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么这6名考生出场顺序的排法种数为A ．108B ．120C ．132D ．1442. 已知集合，，则A．B．C ．且D．3. 黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：圆台的侧面积，，为两底面半径，为母线长，其中的值取3，）A．B．C．D．4. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知复数，则复数的虚部为（）A ．2B．C．D．7. 若，且，则称是同阶的，记，当时，是同阶的A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8. 在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是（）A ．异面直线和所成的角为定值B．直线和平面所成的角为定值C ．三棱锥的体积为定值D ．直线和平面平行9. 某校高一（1）班王伟、张诚、赵磊三名同学六次数学测试的成绩及班级平均分如下表，根据成绩表作图，则下列说法正确的是（）湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(二)(1)湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(二)(1)三、填空题四、解答题第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张诚907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6A ．王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平B ．张诚同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平C ．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但与班平均分的差距逐步缩小D ．赵磊同学的数学成绩波动上升10. 已知数据①：，，，…，的平均数为10，方差为5，数据②：，，，…，，则下列说法正确的有（）A ．数据①与数据②的极差相同B．数据②的平均数为C ．数据①与数据②的中位数不同D．数据②的标准差为11. 对于直线.以下说法正确的有（）A．的充要条件是B．当时，C．直线一定经过点D ．点到直线的距离的最大值为512.在正四棱柱中，已知，为棱上的动点（不含端点），则（）A．存在某个位置，使得B ．存在某个位置，使得平面平面C ．设，若，则D ．设，与相交于点，则当最小时，13. 已知，且，那么_____14. 若，则______，______．15. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，在取出球的编号互不相同的条件下，2号红球被取到的概率为___________．16. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，为椭圆上一动点，面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆的另一个交点为，为线段的中点，射线与椭圆交于点．点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．17. 已知A是椭圆C：的左顶点，直线l与椭圆C相交于P，Q两点，满足.当P的坐标为时，的面积为（O为坐标原点）.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F是椭圆C的右焦点，求四边形PAQF面积的最大值.18. 如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．19. 如图所示，已知长方形中，为的中点将沿折起，使得.(1)求证：平面平面；(2)若点在线段上，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，试确定点的具体位置.20.如图，在三棱柱中，底面为等腰直角三角形，侧面底面为中点，.(1)求证：；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.条件①：；条件②：.21. 某省高考改革新方案中，语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个学科中自主选择3个科目参加等级性考试，称为“”模式．为了解数学能力对选考物理的影响，某中学随机调查了该校的200名高三学生，调查结果如下表．数学能力优秀良好中等合格不合格人数5248503020选考物理人463425105数将数学能力在中等以下（不包括中等）的学生评价为数学能力较弱；否则，评价为数学能力不弱．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否有99．9%的把握认为是否选考物理与数学能力有关；不选考物理选考物理合计数学能力不弱数学能力较弱合计（2）以样本估计总体，以频率估计概率，从全省高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考物理的人数为，求的分布列与数学期望．附：，其中0.0500.0100.0050.0013.841 6.6357.87910.828。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(一)

一、单选题二、多选题1. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A ．4B ．3C ．2D ．12. 已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（）A．B．C．D．3. 有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠总计多看电视6842110少看电视203858总计8880168附：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）A．B．C．D．4.将函数的图象向右平移单位，所得图象对应的函数的最小值等于（）A．B．C．D．5. 已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．6. 已知函数的图象的一条对称轴为,则下列结论中正确的是（）A ．是图象的一个对称中心B．是最小正周期为的奇函数C ．在上单调递增D．先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象7. 已知，，则（）A．B．C．D．8. 已知抛物线C ：的焦点为F ，O 是坐标原点，点M 在C 上．若，则=（）A．B．C．D ．49. 有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(一)湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(一)三、填空题四、解答题，则（）A．B．C．D．10. 已知O 为坐标原点，，，，P ，Q 分别是线段，上的动点，则下列说法正确的是（）A ．点M 到直线的距离为B ．若，则点Q的坐标为C ．点M 关于直线对称的点的坐标为D ．周长的最小值为11.已知函数，其中为实数，则（）A．的图象关于对称B ．若在区间上单调递增，则C ．若，则的极大值为1D．若，则的最小值为12.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为B．圆锥的侧面积为C ．圆柱的侧面积与球的表面积相等D ．球的体积是圆锥体积的两倍13. 下图是根据某学校1000位学生的身高（单位：厘米）制成的频率分布直方图，则所调查的学生中身高在内的学生人数是______________.14. 已知函数则________.15. 在中，点、在边上，满足．若，，则的面积为________16.已知是数列的前项和，且满足（其中为常数，，，且，当时．（1）求数列的通项公式；（2）若对于，，不等式恒成立，求的取值范围．17. 已知中内角的对边分别是，.(1)求的值；(2)设是的角平分线，求的长.18. 中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示:分数人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879参考公式: ，期中，19. 已知函数，其中，，．(1)求函数的单调递减区间．(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且向量与共线，求边长b和c的值．20. 国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取2000人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，少于2小时的学生为“非运动达人”.整理分析数据得到下面的列联表：单位：人性别运动时间合计运动达人非运动达人男生11003001400女生400200600合计150********零假设为：运动时间与性别之间无关联.根据列联表中的数据，算得，根据小概率值的独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因.(2)采用样本性别比例分配的分层随机抽样抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为：男生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名同学运动时间的均值与方差.附：，其中.临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82821. 某社区超市购进了A,B,C,D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：顾客产品A11111B11111111C1111111D111111（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）。

湖北省华中师范大学第一附属中学届高三数学押题考试试题理

华中师范大学第一附属中学〔湖北〕三高三5 月押题考试理科数学第一卷〔共60 分〕一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 假设复数 z 满足 (1+2i )z 1 i ，那么复数 z 的虚部为〔〕A ．3B．3 C ．3iD ．3 i 55552. 设集合 M2,2 ， Nx12 ，那么以下结论正确的选项是〔〕xA ． N MB． M NC ． N M2D ． N M R3. 设函数 f ( x) 是以 2 为周期的奇函数， x (0,1) 时，f ( x) 2x ，那么 f ( x) 在(2021,2021)上是〔〕A ．增函数，且f ( x) 0B ．减函数，且 f (x) 0C ．增函数，且 f ( x) 0 D．减函数，且 f ( x)r rrr r r( 3,r r4. 向量 a ， b 满足 a1， b2 ， a b2) ，那么 2a b 〔〕A ． 2 2B． 17C.15D． 2 55. 在“五一〞促销活动中，某商场对5 月 11 日 19 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如下图，12 时到 14 时的销售额为 14万元，那么 9 时到 11 时的销售额为〔〕A ． 3万元B． 6 万元C.8 万元D． 10 万元6. 将正方体〔如图1 所示〕截去两个三棱锥，得到如图2 所示的几何体，那么该几何体的左视图是〔〕A．B． C.D．7. 命题p :x (,0), 2x3x；命题q :x(0,2),sin xx ，那么以下命题为真命题的是〔〕A．p q B． ( p) q C.( p) q D． p ( q)8.函数 f ( x) A cos(x) 满足f()f() f (x) f (x) 那么的3x3x，且66一个可能值是〔〕A．2B． 3 C.4D． 59. 双曲线C的中心在原点，焦点在y 轴上，假设双曲线 C 的一条渐近线与直线2x y 10 平行，那么双曲线C的离心率为〔〕A．6B．2 C.3D．6 2310.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术〞．利用“割圆术〞刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14 ，这就是著名的“徽率〞．以下图是利用刘徽的“割圆术〞思想设计的一个程序框图，那么输出n 的值为〔〕参考数据： 3 1.732,sin15A．12B．24 C.48D． 9611. 二面角AB的平面角是锐角， M, MN,C AB,MCB 为锐角，那么〔〕A．MCN B．MCN C.MCN D．以上三种情况都有可能12. 函数y 1x2的图象在点 (x0 ,1x02 ) 处的切线为 l ，假设 l 也为函数y ln x(0 x 1) 的22图象的切线，那么x0必须满足〔〕A．21B．1 x02C. 2 x03D． 3 x0 2 x02第二卷〔共90 分〕二、填空题〔每题 5 分，总分值20 分，将答案填在答题纸上〕13.(x2 2 x 1)5的展开式中，x3的系数为．〔用数字作答〕x y2014. x, y 满足约束条件x2y20 ，假设可行域内存在 ( x, y) 使不等式 2x y k0 有2 x y20解，那么实数 k 的取值范围为．15.椭圆x2y21(a b0) 的离心率为3，过椭圆上一点 M 作垂线 MA ， MB 交a2b22椭圆于 A, B 两点，且斜率分别为k1 , k2，假设点 A, B 关于原点对称，那么 k1 k2的值为．16.在ABC 中，B, AC5, D 是 AB 边上一点，CD2, ACD 的面积为2，6ACD 为锐角，那么BC．三、解答题〔本大题共 6 小题，共70 分 . 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〕17.公比不为1的等比数列a n的前3 项和为27 ，且2a2为 3a1和 a3的等差中项.〔 1〕求数列a n的通项公式a n；〔 2〕假设数列b n满足b n b n 1log 3 a n 1(n2, n N * ) ，且 b11，求数列b n的前n 项b n 2和 S n.18.华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取 60 名同学〔男同学30 名，女同学 30 名〕，给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。

2019年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷(理科)(5月份)

2019年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷（理科）（5月份）一、选择题：本题共12小題，每小題5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1. 已知复数z=i(1−3i)1+i，则复数z的虚部为（）A.1B.−1C.iD.−i【答案】A【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由z=i(1−3i)1+i =3+i1+i=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−i，得z=2+i．则复数z的虚部为1．2. 已知集合A={x|1−xx≥0}，B＝{x|ylg(2x−1)}，则A∩B＝（）A.(0, 1]B.[0, 1]C.(12,1] D.(12,+∞)【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】∵集合A={x|1−xx≥0}={0<x≤1}，B＝{x|ylg(2x−1)}＝{x|x>12}，∴A∩B＝{x|12<x≤1}＝(12,1]．3. 设a→，e→均为单位向量，当a→，e→的夹角为2π3时，a→在e→方向上的投影为（）A.−√32B.−12C.12D.√32【答案】B【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】a →在e →方向上的投影为a →⋅e →|e|→，代入数值计算即可．【解答】因为a →，e →均为单位向量，且a →，e →的夹角为2π3，所以a →在e →方向上的投影为：a →⋅e →|e|→=cos2π3=−12，4. 已知等差数列{a n }满足4a 3＝3a 2，则{a n }中一定为零的项是（） A.a 6 B.a 8 C.a 10 D.a 12 【答案】 A【考点】等差数列的通项公式【解析】利用通项公式即可得出．【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，∵ 4a 3＝3a 2，∴ 4(a 1+2d)＝3(a 1+d)，可得：a 1+5d ＝0， ∴ a 6＝0，则{a n }中一定为零的项是a 6．5. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（） A.获得A 等级的人数减少了B.获得B 等级的人数增加了1.5倍C.获得D 等级的人数减少了一半D.获得E 等级的人数相同【答案】 B【考点】频率分布直方图【解析】根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答．【解答】由题可知：设2016年参加选择考的总人数为：a人；则：2018年参加选择考的总人数为：2a人；2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A:0.28a、B:0.32a、C:0.30a、D:0.08a、E:0.02a；2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A:0.48a、B:0.80a、C:0.56a、D:0.12a、E:0.04a；对各个选项进行比较可得B正确．6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A.22019−1B.22019−2C.22020−2D.22020−1【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+22+ 23+...+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．【解答】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝2+22+23+...+22019的值，由于S＝2+22+23+...+22019=2(1−22019)1−2=22020−2．7. 设函数f(x)＝cos(2x−2π3)+sin(2x−3π2)，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果．【解答】函数f(x)＝cos(2x−2π3)+sin(2x−3π2)，＝sin(2x+π6)，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x+2φ+π6)的图象，由于g(x)为偶函数，故：2x+2φ+π6=kπ+π2(k∈Z)，解得：φ=kπ2+π6(k∈Z)，当k＝0时，φ的最小值为π6．8. 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝(−1)n a n+12n，则S1+S3+S5＝（）A.0B.564C.1764D.2164【答案】D【考点】数列的求和【解析】直接利用函数的关系式的应用和偶函数的性质的应用求出结果．【解答】数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝(−1)n a n+12n，则：当n为偶数时，S n−1=12n，所以：S1+S3+S5=14+116+164=2164．9. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|＝3|FB|=3√22S，则p＝（）A.1 2B.1C.32D.2【答案】D【考点】抛物线的性质【解析】联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式烈士可得．【解答】设直线AB的方程为：x＝ty+p2，将其代入抛物线C的方程得：y2−2pty−p2＝0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2＝2pt ①，y 1y 2＝−p 2②，又|AB|＝3|BF|，∴ |AF|＝2|BF|，∴ y 1＝−2y 2，③∴ s =12|OF|×|y 1−y 2|=12×p2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=p4×√4p 2t 2+4p 2=p 22√1+t 2，联立①②③可得t 2=18，由弦长公式得|AB|＝x 1+x 2+p ＝ty 1+p2+ty 2+p2+p ＝t(y 1+y 2)+2p ＝2pt 2+2p =9p 4，∴ 9p 4=3√22×p 22√1+18，解得：p ＝2．10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A.28√727πB.28√729πC.28√2127πD.28√219π【答案】【考点】由三视图求体积【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，进一步求出球的体积．【解答】根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以：d =√(√33)2+12=2√33，故：R =(2√33)=√213，所以：V =43⋅π⋅(√213)3=28π27√21．故选：C ．11. 已知函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y =−1对称的点在g(x)=kx −1的图象上，则k 的取值范围是( ) A.(13,34) B.(12,34)C.(13,1)D.(12,1)【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性分段函数的应用【解析】由题意可化为函数f(x)图象与y ＝−kx −1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可【解答】解：g(x)=kx −1关于直线y =−1对称的直线方程为y =−kx −1，原题等价于f(x)与y =−kx −1有且仅有四个不同的交点，由y =−kx −1可知，直线恒过点A(0,−1). 当x >0时，f ′(x)=lnx +1−2=lnx −1，所以f(x)在(0,e)上单调递减；在(e,+∞)上单调递增，由此可得f(x)的图象如图所示，其中AB,AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为B,C .由图象可知，当−k ∈(k AC ,k AB )时，f(x)与y =−kx −1有且仅有四个不同的交点.设C(m,mlnm −2m),m >0，则 k AC =lnm −1=mlnm−2m+1m−0，解得m =1.∴ k AC =−1.设B(n,n 2+32n),n ≤0，则 k AB =2n +32=n 2+32n+1n−0，解得n =−1.∴ k AB =−2+32=−12， ∴ −k ∈(−1,−12)，则k ∈(12,1).故选D.12. 在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tanA，tanB、tanC都是整数，且A>B> C，则下列结论中错误的是（）A.A>2π5B.B>π3C.A<4π9D.B<5π12【答案】A【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】由题意易得B，C都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求tanA=tanB+tanCtanBtanC−1>0，可得A也为锐角，由tanC≥1，tanB≥2，tanA≥3，可得(tanA−1)(tanB−1)≤2，结合tanA−1≥2，tanB−1≥1，比较可知只可能tanA＝3，tanB ＝2，tanC＝1，逐项分析即可得解．【解答】由于：tan5π12=2+√3>tanA，可知A<5π12，又5π12<4π9，故选项C正确（1）又由于5π12>A>B，可得选项D正确（2）故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．已知(2+x)5＝a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+……+a5(1+x)5，则a2＝________．【答案】10【考点】二项式定理及相关概念【解析】由二项式定理及展开式通项公式得：[1+(1+x)]5展开式的通项为T r+1=C5r(1+x)r，令r＝2得a2=C52=10，得解．【解答】(2+x)5＝[1+(1+x)]5，则[1+(1+x)]5展开式的通项为T r+1=C5r(1+x)r，令r＝2得a2=C52=10，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q在C的另一条渐近线上，则C的离心率＝________．【答案】2【考点】双曲线的离心率【解析】如图：因为Q，O分别是PF1，F!F2的中点，所以OQ // F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，再根据直线PF1的方程与y=−bax联立得Q的坐标，根据中点公式得P 的坐标，将其代入y =ba x 可得c 2＝4a 2，可得离心率．【解答】如图：因为Q ，O 分别是PF 1，F !F 2的中点，所以OQ // F 2P ， ∵ F 1F 2为圆的直径，∴ OQ ⊥PF 1，直线PF 1的方程为：y =ab (x +c)与y =−ba x 联立解得Q(−a 2c, abc )，根据中点公式得P(c 2−2a 2c, 2ab c)，将其代入y =ba x 得：c 2＝4a 2，∴ e 2=c 2a=4，∴ e ＝2．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(10000, 102)，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况，那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为________台【答案】 375【考点】正态分布的密度曲线【解析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为12，而所求事件“该部件的使用寿命超过10000小时”当且仅当“超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过10000小时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以1000得答案．【解答】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(10000, 102)，得：三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为P =12，设A ＝{超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B ＝{超过10000小时时，元件3正常}，C ＝{该部件的使用寿命超过10000小时}．则P(A)＝1−(1−12)2=34，P(B)=12，∵ 事件A ，B 为相互独立事件，事件C 为A 、B 同时发生的事件， ∴ P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)=34×12=38．∴ 这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为1000×38=375．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，P 为体对角线BD 1上的一点，且BP ＝λBD 1（λ∈(0, 1)），现有以下判断，①A 1D ⊥C 1P ②若BD 1⊥平画PAC ，则λ=13③△PAC 周长的最小值是2√2+2√3④若△PAC 为钝角三角形，则λ的取值范国为(0, 23)．其中正确判断的序号为________．【答案】 ①②④ 【考点】棱柱的结构特征【解析】①根据空间中的垂直关系，即可判断A 1D ⊥C 1P 的正误；②利用正方体的特征，判断BD 1⊥平面PAC 时对应λ的值即可； ③建立空间直角坐标系，即可求得△PAC 周长的最小值；④通过建立空间直角坐标系，求出△PAC 为钝角三角形时λ的取值范围．【解答】对于①，A 1D ⊥面ABC 1D 1，C 1P ⊂面ABC 1D 1，∴ A 1D ⊥C 1P ，①正确；对于②，若BD 1⊥平面PAC ，几何体是正方体，∴ P 在平面AB 1C 中，则λ=13，②正确；对于③，建立空间直角坐标系，如图所示，设P(x, x, 2−x)，x ∈[0, 2]，A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)；|PA|＝|PB|=√(x −2)2+x 2+(2−x)2=√3x 2−8x +8=√3(x −43)2+83≥√83=2√63，∴ △PAC 的周长最小值为2√2+2×2√63=2√2+4√63，∴ ③错误；对于④，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝1，则A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，D(0, 0, 0)，A 1(1, 0, 1)，B 1(1, 1, 1)，C 1(0, 1, 1)，D 1(0, 0, 1)，∴ BD 1→=(−1, −1, 1)，BP →=(−λ, −λ, λ)，PA →=PB →+BA →=(λ, λ−1, −λ)， PC →=PB →+BC →=(λ−1, λ, −λ)，显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos∠APC ＝cos <PA →，PC →>=PA →⋅PC→|PA →|×|PC →|<0，等价于PA →⋅PC →<0，即λ(λ−1)+(λ−1)λ+(−λ)(−λ)＝λ(3λ−2)<0，故0<λ<23，④正确；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步．在△ABC 中，∠BAC ＝90∘，AD 是∠BAC 的内角平分线，点D 在线段BC 上，且BD ＝2CD ．（1）求sinB 的值；（2）若AD ＝1，求△ABC 的面积【答案】在△ABD中，由正弦定理可得：BDsin∠BAD =ADsinB，即：BDsin45=ADsinB，在△ACD中，由正弦定理可得：CDsin∠CAD =ADsin(90−B)，即CDsin45=ADcosB，两式子相除可得：sinBcosB =CDBD=12，即sinB=12cosB，可得：sin2B=14cos2B=14(1−sin2B)，即sin2B=15，又0<B<π，可得：sinB=√55．由∠BAC＝90∘，可得B是锐角，于是cosB=2√55，所以sin∠BDA＝sin(B+45∘)＝sinBcos45∘+cosBsin45∘=3√1010，在△ABD中，由正弦定理可得：AB＝AD⋅sin∠BDAsinB =3√22，于是AC＝ABtanB=3√24，所以S△ABC=12AB⋅AC=12×3√22×3√24=98．【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理可得BDsin45=ADsinB，在△ACD中，由正弦定理可得CDsin45=AD cosB ，两式相除可得sinB=12cosB，结合范围0<B<π，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求cosB，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BDA，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，可求AC＝ABtanB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】在△ABD中，由正弦定理可得：BDsin∠BAD =ADsinB，即：BDsin45=ADsinB，在△ACD中，由正弦定理可得：CDsin∠CAD =ADsin(90−B)，即CDsin45=ADcosB，两式子相除可得：sinBcosB =CDBD=12，即sinB=12cosB，可得：sin2B=14cos2B=14(1−sin2B)，即sin2B=15，又0<B<π，可得：sinB=√55．由∠BAC＝90∘，可得B是锐角，于是cosB=2√55，所以sin∠BDA ＝sin(B +45∘)＝sinBcos45∘+cosBsin45∘=3√1010，在△ABD 中，由正弦定理可得：AB ＝AD ⋅sin∠BDA sinB=3√22，于是AC ＝ABtanB =3√24，所以S △ABC =12AB ⋅AC =12×3√22×3√24=98．如图，等腰梯形ABCD 中，AB // CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE)． (Ⅰ)证明：AE ⊥PB ；(Ⅱ)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为π4，求二面角A −PE −C 的余弦值．【答案】（I ）证明：连接BD ，设AE 的中点为O ， ∵ AB // CE ，AB ＝CE =12CD ，∴ 四边形ABCE 为平行四边形，∴ AE ＝BC ＝AD ＝DE ， ∴ △ADE ，△ABE 为等边三角形， ∴ OD ⊥AE ，OB ⊥AE ，又OP ∩OB ＝O ，∴ AE ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， ∴ AE ⊥PB ．(II)在平面POB 内作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上， ∴ 直线PB 与平面ABCE 夹角为∠PBO =π4，又OP ＝OB ，∴ OP ⊥OB ，∴ O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0, 0, √32)，E(12, 0, 0)，C(1, √32, 0)，∴ PE →=(12, 0, −√32)，EC →=(12, √32, 0)，设平面PCE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅PE →=0n 1→⋅EC →=0 ，即{12x −√32z =012x +√32y =0 ，令x =√3得n 1→=(√3, −1, 1)，又OB ⊥平面PAE ，∴ n 2→=(0, 1, 0)为平面PAE 的一个法向量，设二面角A −EP −C 为α，则|cosα|＝|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=5=√55，易知二面角A −EP −C 为钝角，所以cosα=−√55．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】（1）连接BD ，设AE 的中点为O ，可证AE ⊥PO ，AE ⊥BO ，故而AE ⊥平面POB ，于是AE ⊥PB ；(II)证明PO ⊥OB ，建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（I ）证明：连接BD ，设AE 的中点为O ， ∵ AB // CE ，AB ＝CE =12CD ，∴ 四边形ABCE 为平行四边形，∴ AE ＝BC ＝AD ＝DE ， ∴ △ADE ，△ABE 为等边三角形， ∴ OD ⊥AE ，OB ⊥AE ，又OP ∩OB ＝O ，∴ AE ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， ∴ AE ⊥PB ．(II)在平面POB 内作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上， ∴ 直线PB 与平面ABCE 夹角为∠PBO =π4，又OP ＝OB ，∴ OP ⊥OB ，∴ O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0, 0, √32)，E(12, 0, 0)，C(1, √32, 0)，∴ PE →=(12, 0, −√32)，EC →=(12, √32, 0)，设平面PCE 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅PE →=0n 1→⋅EC →=0 ，即{12x −√32z =012x +√32y =0 ，令x =√3得n 1→=(√3, −1, 1)，又OB ⊥平面PAE ，∴ n 2→=(0, 1, 0)为平面PAE 的一个法向量，设二面角A −EP −C 为α，则|cosα|＝|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=√5=√55，易知二面角A −EP −C 为钝角，所以cosα=−√55．已知点M(2√33, √33)在椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2（1）求C 的方程（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA →・OB →的取值范围【答案】由题意可得：43a 2+13b 2=1，2a ＝2√2，解得a =√2，b ＝1． ∴ 椭圆的标准方程为：x 22+y 2＝1．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．直线OM 的方程为：y =12x ．弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，∴ y 1+y 22=12×x 1+x 22，化为：x 1+x 2＝2(y 1+y 2)．由x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，相减可得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)＝0．∵ x 1−x 2≠0，∴ x 1+x 22+(y 1+y 2)y 1−y2x 1−x 2=0．∴ y 1−y 2x1−x 2=−1＝k AB ．设直线AB 的方程为：y ＝−x +m ，代入椭圆方程可得：3x 2−4mx +2m 2−2＝0．△＝16m 2−24(m 2−1)＝8(3−m 2)>0．解得m 2<3．又x 1+x 22=2m 3∈√3)，∴ 0<m <√3．由根与系数的关系可得：x 1+x 2=4m 3，x 1x 2=2m 2−23．∴ OA →・OB →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+(−x 1+m)(−x 2+m)＝2x 1x 2−−m(x 1+x 2)+m 2＝2×2m 2−23−4m 23+m 2＝m 2−43．而0<m <√3．∴ OA →・OB →=m 2−43∈(−43,53)．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由题意可得：43a2+13b2=1，2a＝2√2，解得a，b．即可得出椭圆的标准方程．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．直线OM的方程为：y=12x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，可得y1+y22=12×x1+x22．由x122+y12=1，x222+y22=1，相减可得：y1−y2 x1−x2=−1＝kAB．设直线AB的方程为：y＝−x+m，代入椭圆方程可得：3x2−4mx+2m2−2＝0．△>0．解得m2<3．把根与系数的关系代入OA→・OB→=x1x2+ y1y2＝x1x2+(−x1+m)(−x2+m)化简即可得出．【解答】由题意可得：43a2+13b2=1，2a＝2√2，解得a=√2，b＝1．∴椭圆的标准方程为：x22+y2＝1．设A(x1, y1)，B(x2, y2)．直线OM的方程为：y=12x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，∴y1+y22=12×x1+x22，化为：x1+x2＝2(y1+y2)．由x122+y12=1，x222+y22=1，相减可得：(x1+x2)(x1−x2)2+(y1+y2)(y1−y2)＝0．∵x1−x2≠0，∴x1+x22+(y1+y2)y1−y2x1−x2=0．∴y1−y2x1−x2=−1＝kAB．设直线AB的方程为：y＝−x+m，代入椭圆方程可得：3x2−4mx+2m2−2＝0．△＝16m2−24(m2−1)＝8(3−m2)>0．解得m2<3．又x1+x22=2m3∈3)，∴0<m<√3．由根与系数的关系可得：x1+x2=4m3，x1x2=2m2−23．∴OA→・OB→=x1x2+y1y2＝x1x2+(−x1+m)(−x2+m)＝2x1x2−−m(x1+x2)+m2＝2×2m2−23−4m23+m2＝m2−43．而0<m<√3．∴OA→・OB→=m2−43∈(−43,53)．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42, 52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47, 52]内的人数为ξ，求P(ξ＝3)（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X （单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X （单位：万人）的影响，其关联关系如表若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大．【答案】年龄在[42, 47)内的游客人数为150，年龄在[47, 52]内的游客人数为100，若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42, 47)内的人数为6人，年龄在[47, 52)内的人数为4人， ∴ P(ξ＝3)=C 63C41C 104=435．①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)＝3（万元），②当投入2艘A 型游船时，若1<X <3，则Y ＝3−0.5＝2.5，此时P(Y =52)＝P(1<X <3)=210=15，若X ≥3，则Y ＝3×2＝6，此时P(Y ＝6)＝P(3≤X ≤5)+P(X >5)=45，此时，Y 的分布列为：此时E(Y)=2.5×15+6×45=5.3（万元）． ③当投入3艘A 型游船时，若1<X <3，则Y ＝3−1＝2，此时P(Y ＝2)＝P(1<K <3)=210=15，若3≤X ≤5，则Y ＝3×2−0.5＝5.5，此时P(Y ＝5.5)＝P(3≤X ≤5)=25，若X >5，则Y ＝3×3＝9，此时P(Y ＝9)＝P(X >5)=25，此时，Y 的分布列如下表：此时，E(Y)＝2×15+5⋅5×25+9×25=6.2（万元）．由于6.2>5.3>3，则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A 型游船使其当时获得的总利润最大．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42, 47)内的人数为6人，由此能求出年龄在[47, 52)内的人数为4人，P(ξ＝3)的值．（2）当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)＝3（万元），当投入2艘A 型游船时，求出Y 的分布列，从而E(Y)=2.5×15+6×45=5.3（万元）．当投入3艘A 型游船时，求出Y 的分布列，从而E(Y)＝2×15+5⋅5×25+9×25=6.2（万元），由此能求出该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A 型游船使其当时获得的总利润最大．【解答】年龄在[42, 47)内的游客人数为150，年龄在[47, 52]内的游客人数为100，若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42, 47)内的人数为6人，年龄在[47, 52)内的人数为4人， ∴ P(ξ＝3)=C 63C41C 104=435．①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则E(Y)＝3（万元），②当投入2艘A 型游船时，若1<X <3，则Y ＝3−0.5＝2.5，此时P(Y =52)＝P(1<X <3)=210=15，若X ≥3，则Y ＝3×2＝6，此时P(Y＝6)＝P(3≤X≤5)+P(X>5)=45，此时，Y的分布列为：此时E(Y)=2.5×15+6×45=5.3（万元）．③当投入3艘A型游船时，若1<X<3，则Y＝3−1＝2，此时P(Y＝2)＝P(1<K<3)=210=15，若3≤X≤5，则Y＝3×2−0.5＝5.5，此时P(Y＝5.5)＝P(3≤X≤5)=25，若X>5，则Y＝3×3＝9，此时P(Y＝9)＝P(X>5)=25，此时，Y的分布列如下表：此时，E(Y)＝2×15+5⋅5×25+9×25=6.2（万元）．由于6.2>5.3>3，则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．已知函数f(x)＝(x+1)e x+12ax2+2ax，a∈R（1）讨论f(x)极值点的个数（2）若x0(x0≠−2)是f(x)的一个极值点，且f(−2)>e−2，证明：f(x0)≤1．【答案】f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x+2)(e x+a)；若a≥0，则e x+a>0；∴当x∈(−∞, −2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(−2, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴x＝−2是f(x)唯一的极小值点，无极大值点，故此时f(x)有1个极值点；若a<0，令f′(x)＝(x+2)(e x+a)＝0，则x1＝−2，x2＝ln(−a)；当a<−e−2时，x1<x2，可知当x∈(−∞, x1)∪(x2．+∞)时，f′(x)>0；当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0；∴x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，故此时f(x)有2个极值点；当a＝−e−2时，x1＝x2，f′(x)≥0，此时f(x)在R上单调递增，无极值点；当−e−2<a<0时，x1>x2，同理可知，f(x)有2个极值点；综上，当a＝−e−2时，f(x)无极值点；当a≥0时，f(x)有1个极值点；当a<−e−2或−e−2<a<0时，f(x)有2个极值点．证明：若x0(x0≠−2)是f(x)的一个极值点，由（1）知a∈(−∞, −e−2)∪(−e−2, 0)；又f(−2)＝−e−2−2a>e−2；∴a∈(−∞, −e−2)；则x0＝ln(−a)；∴f(x0)=f[ln(−a)]=1a[ln2(−a)+21n(−a)−2]；2令t＝ln(−a)∈(−2, +∞)，则a＝−e t；∴g(t)=f[ln(−a)]=−1e t(t2+2t−2)；2∴g′(t)=−1t(t+4)e t；2又∵t∈(−2, +∞)；∴t+4>0；令g′(t)＝0，得t＝0；当t∈(−2, 0)时，g′(t)>0，g(t)单调递增；当t∈(0, +∞)时，g′(t)<0，g(t)单调递减；∴t＝0是g(t)唯一得极大值点，也是最大值点，即g(t)≤g(0)＝1；∴f[ln(−a)]≤1，即f(x0)≤1．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）对f(x)求导，对于a的取值进行分类讨论，进而得出f(x)的增减性与极值点的个数；（2）根据题目条件和第（1）问，确定a的范围，得到f(x0)的表达式，再利用换元法令t＝ln(−a)，求出函数g(t)的最大值，从而得证f(x0)≤1．【解答】f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x+2)(e x+a)；若a≥0，则e x+a>0；∴当x∈(−∞, −2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(−2, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴x＝−2是f(x)唯一的极小值点，无极大值点，故此时f(x)有1个极值点；若a<0，令f′(x)＝(x+2)(e x+a)＝0，则x1＝−2，x2＝ln(−a)；当a<−e−2时，x1<x2，可知当x∈(−∞, x1)∪(x2．+∞)时，f′(x)>0；当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0；∴x1，x2分别是f(x)的极大值点和极小值点，故此时f(x)有2个极值点；当a＝−e−2时，x1＝x2，f′(x)≥0，此时f(x)在R上单调递增，无极值点；当−e−2<a<0时，x1>x2，同理可知，f(x)有2个极值点；综上，当a＝−e−2时，f(x)无极值点；当a≥0时，f(x)有1个极值点；当a<−e−2或−e−2<a<0时，f(x)有2个极值点．证明：若x0(x0≠−2)是f(x)的一个极值点，由（1）知a∈(−∞, −e−2)∪(−e−2, 0)；又f(−2)＝−e−2−2a>e−2；∴a∈(−∞, −e−2)；则x0＝ln(−a)；∴f(x0)=f[ln(−a)]=1a[ln2(−a)+21n(−a)−2]；2令t＝ln(−a)∈(−2, +∞)，则a＝−e t；∴g(t)=f[ln(−a)]=−1e t(t2+2t−2)；2∴ g ′(t)=−12t(t +4)e t ；又∵ t ∈(−2, +∞)； ∴ t +4>0；令g′(t)＝0，得t ＝0；当t ∈(−2, 0)时，g′(t)>0，g(t)单调递增；当t ∈(0, +∞)时，g′(t)<0，g(t)单调递减；∴ t ＝0是g(t)唯一得极大值点，也是最大值点，即g(t)≤g(0)＝1； ∴ f[ln(−a)]≤1，即f(x 0)≤1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosαy =√3sinα （α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为轴的坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=√22．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P(−1, 0)，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．【答案】由{x =3cosαy =√3sinα 消去参数α，得x 29+y 23=1，即曲线C 的普通方程为：x 29+y 23=1，由ρsin(θ−π4)=√22，得ρsinθ−ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为：x −y +1＝0．由（1）知，点P(−1, 0)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为{x =−1+tcos π4y =tsin π4（t 为参数），即{x =−1+√22t y =√22t（t 为参数），代入x 29+y 23=1并化简得2t 2−√2t −8＝0，△>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，得t 1+t 2=√22，t 1t 2＝−1，所以|PA|+|PB|＝|t 1|+|t 2|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√662，所以|PA|+|PB|=√662．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）消去参数α可得曲线C 的普通方程；根据互化公式可得直线l 的直角坐标方程；（2）根据参数t 的几何意义可得．【解答】由{x =3cosαy =√3sinα 消去参数α，得x 29+y 23=1，即曲线C 的普通方程为：x 29+y 23=1，由ρsin(θ−π4)=√22，得ρsinθ−ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为：x −y +1＝0．由（1）知，点P(−1, 0)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为{x =−1+tcos π4y =tsinπ4（t 为参数），即{x =−1+√22t y =√22t（t 为参数），代入x 29+y 23=1并化简得2t 2−√2t −8＝0，△>0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，得t 1+t 2=√22，t 1t 2＝−1，所以|PA|+|PB|＝|t 1|+|t 2|＝|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√662，所以|PA|+|PB|=√662．[选修4-5；不等式选讲]已知函数f(x)＝|x +a|+2|x −1|(a >0)．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>4的解集；（2）若不等式f(x)>4−2x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立，求a 的取值范围．【答案】当a ＝1时，f(x)＝|x +1|+2|x −1|， ∴ f(x)>4等价于{x ≤−1−3x +1>4 或{−1<x ≤1−x +3>4 或{x >13x −1>4，解得x <−1或x >53，∴ 不等式的解集为{x|x <−1或x >53}；当x ∈[−3, −1]时，由f(x)>4−2x 得|x +a|+2−2x +2x −4>0即|x +a|>2，∴ a >2−x 或a <−2−x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立，又(2−x)max ＝5，(−2−x)min ＝−1，∴ a <−1或a >5，又a >0，∴ a >5， ∴ a 的取值范围为：(5, +∞)．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）将a ＝1代入f(x)中，去绝对值，然后分别解不等式；（2）由条件可得|x +a|>2，即a >2−x 或a <−2−x 对任意的x ∈[−3, −1]恒成立，然后解出a 的范围即可．【解答】当a ＝1时，f(x)＝|x +1|+2|x −1|， ∴ f(x)>4等价于{x ≤−1−3x +1>4 或{−1<x ≤1−x +3>4 或{x >13x −1>4，解得x <−1或x >53，∴ 不等式的解集为{x|x <−1或x >53}；当x∈[−3, −1]时，由f(x)>4−2x得|x+a|+2−2x+2x−4>0即|x+a|>2，∴a>2−x或a<−2−x对任意的x∈[−3, −1]恒成立，又(2−x)max＝5，(−2−x)min＝−1，∴a<−1或a>5，又a>0，∴a>5，∴a的取值范围为：(5, +∞)．试卷第21页，总21页。

湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学(理)试题

湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月押题考试数学（理）试题一、单选题1．若复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把变形，利用复数代数形式的乘除运算法则化简即可得结果.详解：,,复数的虚部为，故选B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分..2．设集合，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：判断中的元素是否符合集合的条件，即可得出结论.详解：，，，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合是否属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.3．设函数是以为周期的奇函数，已知时，，则在上是（）A. 增函数，且B. 减函数，且C. 增函数，且D. 减函数，且【答案】C【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性、周期性和单调性的关系进行转化即可得到结论.详解：函数的周期是，函数在上的单调性和上的单调性相同，时，为增函数，函数为奇函数，时，为增函数，当时，，当时，，在上，即在上是增函数，且，故选C.点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.4．已知向量满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，可得，由，将，代入即可得结果.详解：根据题意，，则，可得，结合可得，则，故选A.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.5．在“五一”促销活动中，某商场对5月11日19时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为（）A. 3万元B. 6万元C. 8万元D. 10万元【答案】D【解析】试题分析：由图知时到时的频率为0.35，时到时的为0.25，则时到时的销售额为0.2514100.35⨯=万元.故选D.【考点】频率分布直方图.6．将正方体截去两个三棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】侧视图为在侧面BB1C1C上投影，AD1投影为C1B，为实线；B1C为虚线；所以选B.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．7．已知命题；命题：，，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，即，可得是真命题，命题，令，利用导数研究其单调性可得是假命题，逐一判断选项中的命题真假即可的结果.详解：命题，即，因此是真命题，命题，令，因此函数在单调递增，，因此是假命题，为真命题，故选D.点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查指数函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.8．函数满足，且则的一个可能值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题设可得函数的图象关于对称，也关于对称，由此求出函数的周期的值，从而得出的可能取值.详解：函数，满足，函数的图象关于对称，又，函数的图象关于对称，为正整数，，即，解得为正整数，当时，，的一个可能取值是，故选B点睛：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，属于中档题.求三角函数的周期时，注意运用对称轴与对称中心的“距离”是四分之一周期的整数倍.9．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据双曲线的一条渐近线与直线平行，利用斜率相等列出的关系式，即可求解双曲线的离心率.详解：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，可得，即，可得，离心率，故选A.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．下图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）参考数据：1.732,sin150.258,sin7.50.1305=︒≈︒≈A. 12B. 24C. 48D. 96 【答案】C【解析】试题分析：由程序框图， ,n S 值依次为： 6, 2.59808n S ==； 12,3n S ==；24, 3.10583n S ==，此时满足 3.10S ≥，输出24n =，故选B.【考点】程序框图.【技巧点睛】解题时要注意两种循环结构的区别，这也是容易出错是地方：当型循环与直到型循环.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反. 11．二面角的平面角是锐角，为锐角，则（）A. B.C.D. 以上三种情况都有可能【答案】A【解析】分析：过作于，连接则，则，连接，在中，，即可得结论.详解：如图，过作于，连接则，则，连接，在中，有，在中，，故选A.点睛：本题主要考查二面角的平面角的作法以及空间角的大小判定，意在考查空间想象能力以及转化与划归思想，属于中档题.12．已知函数的图象在点处的切线为，若直线也为函数的图象的切线，则必须满足 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】函数y=x2的导数为y′=x，在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=x0，切线方程为y﹣x02=x0（x﹣x0），设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y=lnx的导数为y′=，可得x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，由0＜m＜1，可得x0＜2，且x02＞1，解得x0＞1，由m=，可得x02﹣lnx0﹣1=0，令f（x）=x2﹣lnx﹣1，x＞1，f′（x）=x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，且f（2）=1﹣ln2＞0，f（）=﹣ln3﹣1=（1﹣ln3）＜0，则有x02﹣lnx0﹣1=0的根x0∈（，2）．故选：D．点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．二、填空题13．的展开式中，的系数为_________．【答案】40【解析】分析：将二项式定理问题转化为排列组合的分组分配问题即可.详解：的展开式中项可以由个项、个项和个常数项相乘或由个项和个常数项相乘而得到，的展开式中项的系数是，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．已知满足约束条件，若可行域内存在使不等式有解，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】分析：由约束条件作出可行域，要使可行域内存在使不等式有解，则目标函数最大值，由此求得的取值范围.详解：由约束条件，作出可行域如图，要使可行域内存在使不等式有解，只需目标函数的有最大值为非负值即可，平移直线，由图可知，当直线经点时，目标函数的有最大值，所以，即，综上，可行域内存在使不等式有解，实数的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知椭圆的离心率为，过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，且斜率分别为，若点关于原点对称，则的值为______.【答案】【解析】∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是e===，a=2b，于是椭圆的方程可化为：x2+4y2=4b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+4n2=4b2，x02+4k2x02=4b2．m2﹣x02=4k2x02﹣4n2，∴k 1•k 2=×===﹣．k 1•k 2=﹣．故答案为：﹣．16．在ABC ∆中， ,6B ACD π∠==是AB 边上一点， 2,CD ACD =∆的面积为2， ACD ∠为锐角，则BC =__________．.【解析】∵在△ABC 中，∠B=30︒，D 是AB 边上一点，CD=2，△ACD 的面积为2，∠ACD 为锐角，∴S △ACD sin ∠ACD=2，解得sin ∠∴cos ∠∴由正弦定理,24sin sin 5A A =⇒=又因为sin sin sin sin BC AC AC A BC A B B =∴==故答案为：．点睛: 本题考查三角形边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想、数形结合思想，是中档题．当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦.三、解答题17．已知公比不为1的等比数列的前3项积为27，且为和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）根据等差数列的前三项积，且为和的等差中项列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）化简，可得，使用累乘法得出通项，从而得出的通项，利用裂项法求出.详解：（1）由前3项积为27，得，设等比数列的公比为，由为和的等差中项得，由公比不为1，解得所以.（2）由，得令，则.点睛：本题主要考查等差数列的通项、累乘法以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取60,名同学（男同学30名，女同学30名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）在犯错误的概率不超过1%是条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？（2）经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间5—8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6—8分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率；（3）现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对题目的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】分析：（1）根据表中数据利用公式求出，从而得到在犯错误概率不超过的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关；（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为分钟，由设甲每次解答一道物理题的时间分别为分钟，乙每次解答一道物理题的时间分别为分钟，利用线性规划由几何概型能求出甲比乙先解答完的概率；（3）由题意知在选择物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，可能取值为0,1,2，分别利用古典概型概率公式结合组合知识求出相应的概率，由此能求出的分布列，利用期望公式可得.详解：(1)由表中数据得的观测值在犯错误概率不超过1%的前提下，不能判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关.（2）设甲、乙解答一道物理题的时间分别为分钟，则，设事件为“甲比乙先解答完此题”，则，作出可行域如图∴.（3）由题设可知选择做物理题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种，恰有一人被抽到有种，两人都被抽到有种∴可能取值为0,1,2，的分布列为∴点睛：本题主要考查古典概型概率公式、离散型随机变量的分布列与期望以及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19．如图，在四棱锥中，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求的值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）先证明四边形为平行四边形，可得，由，可得平面，∴平面；（2）由（1）可得两两垂直以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）∵平面平面，平面平面，∴，分别取中点，，连接，则，所以四边形为平行四边形，∴，∵，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）可得两两垂直以为原点建立空间直角坐标系，如图，则由已知条件有，，，平面的一个法向量记为，则，∴从而.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，交轴于点.（1）判断的形状；（2）若两点在抛物线上，点满足，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆与抛物线在点处的有相同的切线，求点的坐标.【答案】(1) 为等腰三角形.(2) 点的坐标为.【解析】分析：（1）利用导数求得切线方程，令，可求得点坐标，根据抛物线的焦点半径公式，即可求得，则为等腰三角形；（2）根据向量的坐标运算，求得点坐标，分别求得及的中垂线方程，即可求得外接圆的圆心，由，即可求得点的坐标.详解：（1）设，∵，∴，则切线的方程为，即，∴，∵，∴所以为等腰三角形.（2）设，∵，∴是的中点，∴，∵在抛物线上，∴，∴或∴两点的坐标为，设（），则由①②得圆心由得，∴或，∵，∴∴点的坐标为.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21．已知函数在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得？请说明理由.【答案】(1);(2);(3)见解析.【解析】分析：（1）求出导函数，根据导数的几何意义以及函数在点处的切线方程为，可得，进而可得结果；（2）令，问题转化为恒成立，利用导数研究函数的单调性，可得，∴，从而可得结果；（3）对于，假设存在正数，问题转化为，要存在正数使得上式成立，只需上式最小值小于0即可,利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值与最值，可得存在正数，使得成立.详解：（1）函数的定义域为，∵，∴，故函数在点处的切线方程为即又已知函数在点处的切线方程为，∴∴（2）由（1）可知，，∵，∴，即，令，则，∵，∴，∴，∴在为增函数∴，∴，∴（3）对于，假设存在正数使得成立，即，∴要存在正数使得上式成立，只需上式最小值小于0即可令，则，令，得；令，得；∴为函数的极小值点，亦即最小值点，即函数的最小值为令，则∴在上是增函数，∴，∴∴存在正数，使得成立.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和曲线的极坐标方程；（2）已知射线（），将射线顺时针方向旋转得到：，且射线与曲线交于两点，射线与曲线交于两点，求的最大值.【答案】(1),;(2)1.【解析】分析：（1）由曲线参数方程消去参数可得其直角坐标方程，从而能求出曲线极坐标方程，由曲线参数方程消去参数可得其直角坐标方程，从而能求出曲线极坐标方程；（2）设点的极坐标为，即，设点的极坐标为，即，，能求出取最大值.详解：（1）曲线直角坐标方程为，所以极坐标方程为，曲线直角坐标方程，所以极坐标方程为（2）设点的极坐标为，即，设点的极坐标为，即则∵∴当，即时，取最大值1.点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，属于中档题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23．已知函数.（1）若的解集为，求实数的值；（2）若，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）求出的解集，利用的解集为，列方程可求实数的值；（2）将写成分段函数的形式，在上单调递减，在上单调递增，则当时，取到最小值，可得，从而可得结果.详解：（1）显然当时，解集为，，，无解；当时，解集为，令，，，综上所述，（2）当时，令由此可知，在上单调递减，在上单调递增，则当时，取到最小值，由题意知，则实数的取值范围是.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.第 21 页共 21 页。

2020届湖北省华中师范大学第一附属中学高三下学期5月押题理科数学试题

2020届湖北省华中师范大学第一附属中学高三下学期5月押题理科数学试题一、单选题1．曲线f(x)=ax 2(a >0)与g(x)=lnx 有两条公切线，则a 的取值范围为（）A ．(0,1e )B ．(0,12e )C ．(1e ,+∞)D ．(12e ,+∞) 2．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足259,,a a a 成等比数列，则5775S S =（） A ．57 B ．79 C ．1011 D ．11233．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离为（）A ．8B ．9C ．10D ．114．已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}1B x x =≥，则()U A B ⋂=（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1x x <D ．{}11x x -≤< 5．下列等式中不恒成立的是（）A ．a b b a ⋅=⋅B ．()a b a b λλ⋅=⋅C ．222()a b a b ⋅=⋅D ．22||()()a b a b a b -=+⋅- 6．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为奇函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．2π 7．已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的体积之比为（）A ．B ．1:3C ．1:9D ．1:278．设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2313[()]f a a a -=（） A ．0 B ．2116π C ．218π D ．21316π9．已知α为第三象限角，且tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin α=（）A B C ．D ． 10．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视人数分别为（）A ．600,?72B ．1200,?90C ．1200,?300D ．600,?8011．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为1，1，则输出的S 是（）A ．25B ．18C ．11D ．312．设i 是虚数单位，如果复数a i+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为（）A ．13B ．13- C ．3 D ．－3二、填空题13．()()5212x x -⋅+展开式中，含2x 项的系数为__________.14．如果规定：z y y x ==,，则 z x = 叫做 z y x ,, 关于相等关系具有传递性，那么空间三直线 c b a ,,关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是 . 15．已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且斜率为1的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点，若1AF AB =，则双曲线的离心率为__________． 16．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.三、解答题17．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l cos()44πθ+=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求4x y --的最小值.18．已知,(0,)αβπ∈，4cos 5α=，5sin()13αβ-=. （1）求cos2α的值.（2）求sin()αβ+的值.19．已知函数()e (0)ax f x bx a =+<在点()()0,0f 处的切线方程为51y x =+,且()()1112f f ='+.(Ⅰ)求函数()y f x =的极值；(Ⅱ)若()23f x x >+在[]1,x m ∈上恒成立，求正整数m 的最大值. 20．设函数f （x ）=|x ﹣4|，g （x ）=|2x+1|．（1）解不等式f （x ）＜g （x ）；（2）若2f （x ）+g （x ）＞ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．21．在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为菱形，侧面ABE 为等边三角形，且侧面ABE ⊥底面BCDE ，O ，F 分别为BE ，DE 的中点.（Ⅰ）求证：AO ⊥CD ；（Ⅱ）求证：平面AOF ⊥平面ACE ；（Ⅲ）侧棱AC 上是否存在点P ，使得BP 平面AOF ？若存在，求出AP PC的值；若不存在，请说明理由.22．已知F 1,F 2是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P （12）在椭圆上,线段PF 1与y 轴的交点M 满足2PM MF =．(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 2的直线l 交椭圆于A,B 两点，且222AF F B =，求直线l 方程23．中学生研学旅行是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，是学校教育和校外教育衔接的创新形式，是综合实践育人的有效途径.每年暑期都会有大量中学生参加研学旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支出情况，在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷调查，从中统计得到中学生暑期研学旅行支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（1）利用分层抽样在[40,45)，[45,50)，[50,55]三组中抽取5人，应从这三组中各抽取几人？（2）从（1）抽取的5人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；（3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点．．．值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值.参考答案1．D【解析】试题分析：设P(x 1,y 1)是f(x)的切点，Q(x 2,y 2)是g(x)的切点，f′(x)=2ax ，g′(x)=1x，则直线切线为y −y 1=2ax 1(x −x 1)，y −y 2=1x 2(x −x 2)，即y =2ax 1x −ax 12，y =1x 2x −1+lnx 2，由题意这两条直线重合，因此{2ax 1=1x 2ax 12=1−lnx 2，消法x 1得14ax 22+lnx 2−1=0，由题意此方程有两个不等实根，记ℎ(x)=14ax 2+lnx −1，则ℎ′(x)=−12ax 3+1x =2ax 2−12ax 3，0<x <√12a 时，ℎ′(x)<0，x >√12a 时，ℎ′(x)>0，因此x =√12a 时，ℎ(x)min =ℎ(√12a )=−12+ln√12a ，所以ℎ(x)min =ℎ(√12a )=−12+ln√12a <0，解得a >12e ．故选D ．考点：导数的几何意义，导数的综合应用．【名师点睛】两曲线的公切线问题，分别在两曲线设出切点坐标，如设P(x 1,y 1)是f(x)的切点，Q(x 2,y 2)是g(x)的切点，利用导数的几何意义分别写出切线方程：y −y 1=f′(x 1)(x −x 1)，y −y 2=f′(x 2)(x −x 2)，由这两条直线是同一条直线（即重合）得出x 1,x 2的关系，并求出x 1,x 2．本题中关于x 1,x 2的方程有两解，可转化为一个函数有两个零点，这又可利用导数来研究函数的单调性与极值从而得出结论．2．C【解析】【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差的关系，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【详解】解：设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，因为2a ，5a ，9a 成等比数列，可得2529a a a =，即2111(4)()(8)a d a d a d +=++，整理可得18a d =，故1553741775()7821025583117()2a a S a d d S a d d a a ⨯++====+⨯+．故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．B【解析】由抛物线的标准方程可知抛物线的准线方程为1x =-设点M 的坐标为(),M M M x y ，由题意结合抛物线的定义可得：()110,9M M x x --=∴=，则M 到y 轴的距离为9.本题选择B 选项.4．B【解析】【分析】按照并集和交集的概念求解即可.【详解】由题可知{}1U B x x =<，则{}()1,0U A B ⋂=-. 故选：B .【点睛】本题考查并集和交集的求法，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题. 5．C【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。

湖北省华中师范大学第一附属中学高三题考试数学(理)PDF

B. 减函数，且 f x 0
C. 增函数，且 f x 0
D. 减函数，且 f x 0
4.已知向量 a, b 满足 a 1, b 2, a b 3, 2 ，则 2a b
A. 2 2
B. 17 C. 15
D. 2 5
5.在 “五一”促销活动中，某商场对 5 月 1 日 19 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 12 时到 14 时的销售额为 14 万元，则 9 时到 11 时的销售额为
也为函数
y
ln
x
0
x
1
-2-
的图象的切线，则 x0 必须满足
A.
2 2
x0
1
B. 1 x0 2
C. 2 x0 3
D. 3 x0 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. x2 2x 1 5 的展开式中， x3 的系数为
.（用数字作答）
x y 2 0
21.（本题满分 12 分）已知函数 f x ln x ax 在点 t, f t 处的切线方程为 y 3x 1.
C. 3
D. 6 3
10.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正多边形的边数无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值 3.14，这就
是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出 n
的值为
参考数据： 3 1, 732,sin15 0.258,sin 7.5 0.1305.
8.函数
f
x
A cos x 满足
f
3
x

2021年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷(5月份)

气压强．已知在某高山 A1，A2 两处测得的大气压强分别为 p1，p2， = ，那么 A1，A2
2
2
两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：ln2≈0.693）
A．550m
B．1818m
C．5500m
D．8732m
→
→
→
→
6．（5 分）在平行四边形 ABCD 中，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝3，且CP = 3PD，则AP ⋅
《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考
核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率
为（）
3
A．
25
1
B．
3
C．
5
3
D．
10
5
2
4．（5 分）已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若存在 m∈N+满足

= 9，
2
且 CD∥AB，AD＝BC＝CD =
的高的最大值为
16．（5 分）设a =
1
= 5，则当球 O 的表面积最小时，四棱锥 P﹣ABCD
2
．
2
2
12 22
12 22
+ +⋯ +
，b = + +⋯ +
（n∈N*），记最接近 an
2 ― 1
2 + 1
3
3
5
1
﹣bn 的整数为 cn，则 c505＝
A．f（x）是以 π 为周期的函数

B．x = 2是曲线 y＝f（x）的对称轴
C．函数 f（x）的最大值为 2，最小值为 2 ― 2

2022届湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月高考押题(全国卷)理科数学试题(word版)

2022届湖北省华中师范大学第一附属中学高三5月高考押题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在()8i x +（其中i 为虚数单位）的展开式中，4x 项的系数为（）A ．-1B ．1C ．-70D ．702．设U =R ，已知两个非空集合M ，N 满足()UM N ⋂=∅，则（）A ．M N ⋂=RB ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M N ⋃=R3．已知命题:q x ∀∈R ，210x x +->，则（） A ．命题:q x ⌝∀∈R ，210x x +-≤为假命题 B ．命题:q x ⌝∀∈R ，210x x +-≤为真命题 C ．命题:q x ⌝∃∈R ，210x x +-≤为假命题D ．命题:q x ⌝∃∈R ，210x x +-≤为真命题4．已知实数a ，b ，()0,1c ∈，e 为自然对数的底数，且22aae e =，33bbe e =，2ln 2c c e =，则（） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．A ，B ，C ，D ，E ，F 这6位同学站成一排照相，要求A 与C 相邻且A 排在C 的左边，B 与D 不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（） A ．72B ．48C ．36D ．246．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 交双曲线C 于P ，Q两点且使得()2201PF F Q λλ=<<．A 为左支上一点且满足120F A F P +=，1222133F F AF AQ =+，2AF P △的面积为2b ，则双曲线C 的离心率为（）ABCD7．下列说法正确的是（）A ．随机变量X 服从两点分布，若()103P X ==，则()13E X = B ．随机变量()~,X B n p ，若()30E X =，()10D X =，则43p =C ．随机变量X 服从正态分布()4,1N ，且()50.1587P X ≥=，则()350.8413P X <<=D ．随机变量X 服从正态分布()3,4N ，且满足23X Y +=，则随机变量Y 服从正态分布()0,1N8．设函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω>，下列说法错误的是（） A ．当2ω=时，()f x 的图像关于直线12x π=对称B ．当ωπ=时，()f x 的图象关于点4,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 C ．当12ω=时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若()f x 在[]0,π上的最小值为-2，则ω的取值范围为76ω≥9．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（） A ．18B ．19C ．20D ．2110．设P 为直线:10l x y -+=上一点，过P 作圆22:2220C x y x y ++--=的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．12B ．0C ．12-D ．1211．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且2PA =，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，下列说法错误的是（）A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AC 所成的角为3πC ．过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P ABCD -所得的截面为五边形D ．当点T 在平面ABCD 内运动，且满足AGT △的面积为12时，动点T 的轨迹是圆12．已知函数()()212x x k f x k k⋅-=∈+R 是定义域不为R 的奇函数．定义函数()()()()()22117x f x a f x a a ϕ=++++-∈R ．下列说法错误的是（）A ．1k =-B ．()f x 在定义域上单调递增C ．函数()x ϕ不可能有四个零点D ．若函数()x ϕ仅有三个零点1x ，2x ，3x ，满足123x x x <<且130x x +=，则a 的值唯一确定且()3,2a ∈-- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(二)

一、单选题二、多选题1. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A ．1B．C．D．2. 一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别频数1213241516137则样本数据落在上的频率为A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.643. 已知P 是等边三角形ABC 所在平面内一点，且，，则的最小值是（）A ．1B．C．D ．24. 若函数在内有且仅有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为（）A ．1B．C．D ．55.设函数，，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．B．C．D．6. 设集合，，则等于（）A．B．C．D．7. 已知为虚数单位，则复数的虚部是（）A．B ．2C．D．8.已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（）A．的最小正周期为B．的单调递减区间是，C．的图象关于直线对称D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数9.已知，且.则下列选项正确的是（）A．的最小值为B．的最小值为C．湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(二)湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题(二)三、填空题四、解答题D．10.如图所示，函数，的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，以下结论正确的是（）A ．点的纵坐标为B．是的一个单调递增区间C ．对任意，点都是图象的对称中心D．的图象可由图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位得到11. 甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（）班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135A ．甲、乙两班学生成绩的平均数相同B ．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大C ．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）D ．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数12. 设P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P 是一个数域．例如，有理数集Q 是数域．下列命题正确的是（）A ．数域必含有0，1两个数B ．整数集是数域C ．若有理数集，则数集M 一定是数域D ．数域中有无限多个元素13. 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为______．14. 若函数为奇函数，则实数的值为______.15.若向量，满足，，且，则与的夹角为___________.16. 已知分别为三个内角的对边，且满足，.（1）求；（2）若是中点，，求面积.17. 如图1，平面图形是一个直角梯形，其中，，，，是上一点，且．将沿着折起使得平面平面，连接、，过点作，垂足为，如图2．(1)证明；(2)若是上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．18. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且.(1)求的值；(2)若，求△ABC的面积.19. 已知．（1）当时求的极值点个数；（2）当时，，求a的取值范围；（3）求证：，其中．20. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率；(3)现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值.参考数据：.21. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的最小值；若不存在，说明理由.设数列为等差数列，是数列的前项和，且___________，.记，为数列的前项和，是否存在实数，使得对任意的都有注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.。

2023-2024学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三下学期5月压轴数学试题(二)+答案解析

2023-2024学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三下学期5月压轴卷数学试题(二)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则A. B.C. D.2.设集合，，且，则()A. B.1 C.2 D.33.如图，在中，点D在BC的延长线上，，如果，那么()A.，B.，C.，D.，4.若的展开式中的系数为40，则A.2B.4C.D.5.已知直线l：上的两点A，B，且，点P为圆D：上任一点，则的面积的最大值为A. B. C. D.6.已知等差数列的首项为1，前n项和为，且对任意，，则()A. B. C. D.7.已知椭圆C：的左焦点为F，离心率为倾斜角为的直线与C交于A，B两点，并且满足，则C的离心率为()A. B. C. D.8.设，，则下列关系正确的是A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量单位：次：6338254256485339284745525948416248505227则这组数据的A.众数是48B.中位数是48C.极差是37D.分位数是2510.已知高和底面边长均为2的正四棱锥，则A.B.PA与底面ABCD的夹角的正弦值为C.二面角的平面角的正切值为2D.四棱锥的体积为11.已知曲线关于y轴对称，关于原点对称，设函数，则()A. B.C.函数的最小正周期是D.函数的值域是12.已知抛物线C：，为C上位于焦点右侧的一个动点，O为坐标原点，则A.若，，，则B.若满足，则C.若MF交C于点B，则D.直线l交C于A、B两点，且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的总数是__________.14.已知在中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则__________.15.已知三棱锥中，，，若A，B，C，D均在半径为2的球面上，则的最大值为__________.16.已知函数且，若函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。